Un análisis estadístico del DAX 30

FACULTAD DE TURISMO Y FINANZAS GRADO EN FINANZAS Y CONTABILIDAD UN ANÁLISIS ESTADÍSTICO DEL DAX 30 T abajo Fin de G ado p esen ado po José Bu gos Esc ibano, siendo el u o del mismo el p o eso José Manuel Ga ilán Ruiz. Vº. Bº. del Tu o Alumno: D. José Manuel Ga ilán Ruiz D. José Bu gos Esc ibano Se illa. Mayo de 2015 GRADO EN FINANZAS Y CONTABILIDAD FACULTAD DE TURISMO Y FINANZAS TRABAJO FIN DE GRADO CURSO ACADÉMICO [2014-2015] TÍTULO: UN ANÁLISIS ESTADÍSTICO DEL DAX 30 AUTOR: JOSÉ BURGOS ESCRIBANO TUTOR: D. JOSÉ MANUEL GAVILÁN RUIZ DEPARTAMENTO: ECONOMÍA APLICADA I ÁREA DE CONOCIMIENTO: MÉTODOS CUANTITATIVOS PARA LA ECONOMÍA Y LA EMPRESA RESUMEN: En es e abajo se analizan algunas de las p emisas básicas que es ablece el modelo de Black-Scholes pa a la e olución empo al de los p ecios de un ac i o inancie o, conc e amen e del DAX 30. P incipalmen e, se analiza el ajus e de los log e u ns del DAX 30 con la dis ibución No mal, su ag egación gaussiana y su independencia. Además, se p opone como al e na i a una dis ibución más p ecisa y lexible, la dis ibución No mal In e sa Gaussiana. Pa a ealiza los cálculos y g á icas necesa ias, se u iliza el so wa e es adís ico R. PALABRAS CLAVE: Modelo de Black-Scholes; log e u ns; No mal; No mal In e sa Gaussiana; so wa e R. TFG-FICO. Un análisis es adís ico del DAX 30 -I- ÍNDICE 1. INTRODUCCIÓN ................................................................................................. 1 2. EL DAX 30 ........................................................................................................... 1 3. EL MODELO DE BLACK-SCHOLES .................................................................... 5 3.1. INTRODUCCIÓN .......................................................................................... 5 3.2. MOVIMIENTO BROWNIANO ........................................................................ 6 3.2.1. His o ia: o igen y au o es ..................................................................... 7 3.2.2. Ma co eó ico: ca ac e ís icas y modelos ma emá icos ........................ 7 3.2.3. Simulación del mo imien o b owniano ................................................. 8 4. DATOS EMPÍRICOS DEL DAX 30 ....................................................................... 9 5. AGREGACIÓN GAUSSIANA ............................................................................. 10 5.1. TEST DE NORMALIDAD............................................................................. 11 5.1.1 . Con as e de Kolmogó o -Smi no (Co ección de Lillie o s) ............ 11 6. COLAS PESADAS ............................................................................................. 12 6.1. VALUE AT RISK .......................................................................................... 12 6.2. DENSIDADES EN ESCALA LOGARÍTMICA ............................................... 13 7. MEDIDAS DE FORMA ....................................................................................... 13 7.1. ASIMETRÍA ................................................................................................. 13 7.2. CURTOSIS .................................................................................................. 14 7.3. TEST JARQUE-BERA ................................................................................. 15 8. AUTOCORRELACIONES .................................................................................. 16 9. ALTERNATIVA PARA EL MODELO BLACK-SCHOLES: NORMAL INVERSA GAUSSIANA.. .................................................................................................... 18 9.1. LA DISTRIBUCIÓN NORMAL INVERSA GAUSSIANA ............................... 18 9.2. ESTIMACIÓN DE LA NORMAL INVERSA GAUSSIANA ............................. 20 10. CONCLUSIONES............................................................................................. 23 Bibliog a ía ............................................................................................................. 25 Anexo ..................................................................................................................... 27 TFG-FICO. Un análisis es adís ico del DAX 30 -1- 1. INTRODUCCIÓN En la ac ualidad, apa ecen cada ez más modelos pa a p edeci el u u o en muchos campos. En e odos ellos, los más u ilizados son aquellos pa a p edeci enómenos na u ales como el iempo, e emo os, e c. Es os modelos es án muy p esen es en los me cados inancie os, ya que pe mi en p edeci el mo imien o u u o de los p ecios y ob ene g andes bene icios de ello. Uno de es os modelos, es el de Black-Scholes. Aunque es á diseñado pa a la alo ación de opciones eu opeas, exis en di e sas adap aciones pa a alo a o os p oduc os inancie os. Los obje i os p incipales del p esen e abajo son analiza algunas ca ac e ís icas del modelo de Black-Scholes, medi la alidez de és e pa a la modelización del DAX 30 y compa a lo con un modelo al e na i o que puede modeliza las a iaciones en los p ecios más adecuadamen e. Pa a cumpli los obje i os, y u ilizando el so wa e es adís ico R, se han lle ado a cabo las siguien es acciones: es imación de los pa áme os de la dis ibución No mal y No mal In e sa Gaussiana (NIG) ajus ada a los log e u ns del DAX 30, simulación del mo imien o b owniano es ánda , ep esen ación g á ica de las densidades de los log e u ns del DAX 30, de la No mal y de la NIG, así como las mismas en escala loga í mica, es de no malidad, cálculo de las medidas de o ma y análisis de las au oco elaciones. La o ganización del abajo es como sigue: la p ime a sección con iene la in oducción. En la segunda, se exponen la composición, la ó mula de cálculo y algunos da os his ó icos del DAX 30. En la e ce a, se in oduce el modelo de Black- Scholes y se analiza la p emisa elacionada con el mo imien o b owniano, ealizando una simulación del mismo. En la cua a, se ep esen an da os empí icos del DAX 30 y se ob ienen pa áme os desc ip i os de in e és. En la quin a, se expone el enómeno de la ag egación gaussiana y se ealiza un es de no malidad. En la sex a, se analiza la subes imación de las colas pesadas po pa e de la dis ibución No mal. En la sép ima, se es udian las medidas de o ma (asime ía y cu osis) y se ealiza un es pa a comp oba el ajus e de és as con la dis ibución No mal. En la oc a a, se u ilizan las au oco elaciones pa a comp oba la dependencia en e los log e u ns del DAX 30. En la no ena, se expone una al e na i a pa a el modelo de Black-Scholes, la NIG, y se compa a con és e. En la décima, se exponen de o ma esumida las conclusiones ex aídas del es udio ealizado. Po úl imo, se incluye la bibliog a ía u ilizada pa a la elabo ación del abajo, así como un anexo con las líneas de código in oducidas en el so wa e es adís ico R pa a los cálculos y g á icas ealizadas a lo la go del abajo. 2. EL DAX 30 El DAX (Deu sche Ak ienindex) es el índice de e e encia de la Bolsa de F ánc o , así como el más impo an e de la Bolsa Alemana. Es á compues o po las 30 emp esas alemanas más g andes en é minos de capi alización y olumen de negocio. También se le conoce como DAX 30 o DAX XETRA. Las 30 acciones con enidas en el índice ep esen an en o no al 80% de la capi alización del me cado alemán. En él es án ep esen ados odos los sec o es con in luencia en la economía del país, como, po ejemplo, la indus ia de la cons ucción, del au omó il, bancos, sec o ecnológico y sec o de se icios. Además, el DAX 30 ue diseñado desde un p incipio pa a se u ilizado como subyacen e de p oduc os inancie os. La pla a o ma elec ónica de negociación de la Bolsa de Alemania es el XETRA. En ella se negocia más del 90% del olumen de los alo es bu sá iles del país. Además de acciones, ambién se negocian odo ipo de de i ados a a és de es a pla a o ma. Bu gos Esc ibano, José -2- El DAX 30 es un índice la go con base 1000 el 30 de diciemb e de 1987, lo que quie e deci que se ijó su base en esa echa y desde ese momen o puede conside a se su e olución his ó ica. Pa a la o mulación o exp esión ma emá ica de cálculo del índice se u iliza la ó mula de Laspey es, que mide los cambios de p ecios en e a una base ija:   =  ∙∑  ∙  ∙  ∙  ∑  ∙  ∙ donde: • es el momen o en que se calcula el índice, • T es el momen o en el que se hacen ajus es (momen o del úl imo encadenamien o), • K es el ac o que pe mi e encadena los iempos T y , • p i es el p ecio de la acción i en el momen o , • iT es el capi al lo an e de la acción i en el momen o T, • q iT es el núme o de acciones de la compañía i en el momen o T, • c i es el ac o de ajus e de la compañía i en el momen o T (po ampliaciones o educciones de capi al, di idendos, e c), • p i0 es el p ecio de cie e de la acción i en el día de negociación siguien e a la p ime a inclusión en el índice, • q i0 es el núme o de acciones de la compañía i en el día de negociación siguien e a la p ime a inclusión en el índice • Base del índice es, en nues o caso, 1000. Aunque exis en alo es his ó icos del DAX 30 desde el 28 de sep iemb e de 1959, su e olución his ó ica se conside a a pa i del 30 de diciemb e de 1987. La mayo subida dia ia del índice se p odujo el 13 de oc ub e de 2008, cuando subió un 11,40% (518,14 pun os) as la ap obación de un plan de esca e po pa e de la zona eu o pa a desbloquea el sis ema inancie o. Sin emba go, du an e la semana an e io (del 6 al 10 de oc ub e de 2008) acumuló una caída de 1.252,72 pun os debido a la ines abilidad del sis ema inancie o y a la c isis desa ada po la quieb a de Lehman B o he s. Desde su c eación has a el año 2000, el DAX 30 expe imen ó una len a y con inua subida, pe o desde ese año y has a el 2003 su ió una ue e caída debido a la c isis ecnológica (bu buja “pun ocom”). A pa i de en onces, comenzó un ascenso p og esi o que inalizó en 2008, con la llamada c isis de las hipo ecas subp ime. A pa i de 2009, se p oduce una subida en la que se encuen a inme so ac ualmen e, ma cando máximos his ó icos en 2015 po encima de los 12.300 pun os ( e Figu a 3). En la Figu a 1 se puede e la composición del DAX 30 po sec o es, así como el peso de cada uno de ellos den o del índice a 30 de ene o de 2015. TFG-FICO. Un análisis es adís ico del DAX 30 -3- Figu a 1. Composición del DAX 30 po sec o es. Fuen e: Elabo ación p opia a pa i de dax-indices.com. En la Tabla 1 se mues an los componen es del DAX 30, así como su úl imo p ecio, capi alización y el peso de cada uno de los alo es den o del índice a echa 27 de eb e o de 2015. ÚLTIMO PRECIO (€) CAPITALIZACIÓN (millones de €) PESO (%) ADIDAS 69,430 14.525,88 1,4672% ALLIANZ 149,600 68.292,40 7,7838% BASF SE 85,650 78.667,70 7,9113% BAYER 113,000 68.025,46 3,5756% BEIERSDORF 132,050 95.066,35 10,1687% BMW 77,630 19.562,76 0,8394% COMMERZBANK 12,055 13.724,70 1,2733% CONTINENTAL 213,300 42.661,28 2,3230% DAIMLER 86,510 92.551,64 8,5255% DEUTSCHE BANK 29,375 40.516,15 4,0208% DEUTSCHE BOERSE 72,900 14.069,70 1,3511% DEUTSCHE LUFTHANSA 30,430 36.810,34 3,1718% DEUTSCHE POST 16,670 75.607,97 5,1105% DEUTSCHE TELEKOM 14,445 28.904,45 3,4358% E.ON 73,170 22.702,88 1,6196% FRESENIUS MED.CARE 51,180 27.673,06 2,0882% FRESENIUS SE 71,130 13.366,50 1,0053% HEIDELBERGCEMENT 105,850 18.858,54 1,9274% HENKEL 10,345 11.666,18 1,1984% INFINEON TECHNO N 28,825 5.517,11 0,5059% K+S AG NOM. 46,035 4.213,26 0,4337% LANXESS 181,800 33.766,29 3,2468% LINDE 13,100 6.040,08 0,7732% MERCK KGAA 92,200 11.916,14 1,2551% MUNICH RE 185,500 32.080,86 3,1181% RWE 24,985 14.385,00 1,5701% SAP 62,840 77.199,21 6,5700% SIEMENS 99,820 87.941,42 9,0480% THYSSENKRUPP 23,790 13.463,66 1,1428% VOLKSWAGEN AG VZO 225,500 40.734,65 3,5396% Tabla 1. P ecios, capi alización y peso de las acciones del DAX 30 a 27/02/2015. Fuen e: dax-indices.com. 23% 19% 11% 10% 6% 5% 5% 21% DAX 30 PRODUCTOS QUÍMICOS AUTOMÓVIL SEGUROS INDUSTRIAL SOWTWARE TELECOMUNICAIONES FARMACIA Y SALUD OTROS Bu gos Esc ibano, José -10- donde   es el p ecio ac ual, 9 es la a iación media de la co ización del subyacen e ( endencia), * es la des iación ípica ( ola ilidad) y   es el mo imien o b owniano es ánda (Ben h, 2004). Po an o, los log e u ns en e dos pe iodos se calculan de la siguien e o ma: @AB  C   CDE F=9∆"+*∆  que es una a iable alea o ia no mal de media 9∆" y a ianza *  ∆". En la Figu a 4, se han simulado dos ayec o ias del mo imien o b owniano geomé ico ajus adas a los pa áme os dia ios es imados en la Tabla 2. La co ización en el p ime momen o del iempo de la mues a se ha de inido como S 0 y, a pa i de ella, se ha ealizado la suma acumulada de cada uno de los alo es alea o ios de la mues a y se ha pasado és a a escala exponencial. Figu a 4. Simulación de dos ayec o ias del mo imien o b owniano geomé ico ajus ado a los da os dia ios. 5. AGREGACIÓN GAUSSIANA La dis ibución no mal se emplea pa a el es udio de di e sas dis ibuciones empí icas, como el peso, el coe icien e in elec ual, e o es come idos al medi cie as magni udes, e c. El Teo ema Cen al del Lími e o hipó esis de Lindebe g-Lé y a i ma que la ipi icación de la suma de n a iables alea o ias independien es e idén icamen e dis ibuidas se ap oxima en su compo amien o al de la dis ibución No mal es ánda N(0,1). Habi ualmen e, cuando n es mayo o igual que 30 el pa ecido en e las unciones de dis ibución de las a iables ipi icadas y de la N(0,1) ya se conside a g ande. La Ag egación Gaussiana es un enómeno según el cual la densidad de una mues a empí ica iende a con e ge hacia la de una dis ibución No mal a medida que aumen a el pe iodo de iempo en e obse aciones. Es a con e gencia puede da se en los log e u ns semanales y, sob e odo, mensuales del DAX 30. Sin emba go, los pe íodos co os de iempo como los log e u ns dia ios se encuen an lejos de la dis ibución No mal. Debido a la p opiedad adi i a de los log e u ns mencionada en apa ados an e io es, los log e u ns semanales y mensuales se pueden ob ene a pa i de los TFG-FICO. Un análisis es adís ico del DAX 30 -11- dia ios. U ilizando los cinco días de co ización en una semana, el log e u n 5 H I pa a la semana i se ía: 5 H I=J55I−1+% M NO El índice i se mide en semanas, po lo que 5 H 2 es la a iación loga í mica en el p ecio desde el inal de la p ime a semana has a el inal de la segunda. Del mismo modo, asumiendo 20 días de co ización en un mes, el log e u n 5 P I pa a el mes i se ía: 5 P I=J520I−1+%  NO Si suponemos que los log e u ns dia ios son mues as independien es de la misma dis ibución (no es necesa io que sea no mal), el Teo ema Cen al del Lími e implica que los log e u ns semanales y mensuales se asemejan a una dis ibución No mal. En la Figu a 5 se mues an las densidades empí icas de las mues as dia ias, semanales y mensuales del DAX 30 jun o con la densidad eó ica de la No mal. Figu a 5. Densidades empí icas (línea con inua) y eó icas (línea discon inua) de las mues as dia ias, semanales y mensuales del DAX 30. En la igu a an e io se puede ap ecia el enómeno de la Ag egación Gaussiana, ya que, cuan o mayo son los pe iodos de iempo en e las obse aciones, mayo es el pa ecido con la dis ibución No mal. Sin emba go, se obse a cómo la mues a dia ia se encuen a lejos de és a. 5.1. TEST DE NORMALIDAD Además de compa a las g á icas de las densidades empí icas y eó icas de la mues a, se ealiza un es de no malidad pa a de e mina la simili ud en e la dis ibución de los log e u ns del DAX 30 y la dis ibución No mal. Se a a, po an o, de un con as e de hipó esis en el que la hipó esis nula (H 0 ) es que la dis ibución de los log e u ns se ajus a a una dis ibución No mal, mien as que la hipó esis al e na i a (H 1 ) es que no se ajus a a ella. 5.1.1. Con as e de Kolmogó o -Smi no (Co ección de Lillie o s) El con as e de Kolmogó o -Smi no (K-S), compa a los alo es de una dis ibución empí ica con los que se de i a ían de la dis ibución supues a como hipó esis nula. En nues o caso, la hipó esis nula (H 0 ) es que la dis ibución de la mues a es No mal. La co ección de Lillie o s es una mejo a que se in oduce pa a el caso de la dis ibución No mal, ya que es e con as e se puede plan ea pa a o as dis ibuciones dis in as de la No mal. El es adís ico de K-S (D) consis e en la máxima di e encia obse ada en e ambas unciones de dis ibución: =Rá5|U N 5  −U  5  | Bu gos Esc ibano, José -12- donde U N 5   es la unción de dis ibución mues al , U  5   la unción eó ica (No mal, en nues o caso) y 5  es el i-ésimo alo obse ado en la mues a (cuyos alo es han sido o denados p e iamen e de meno a mayo ). Cuan o más ce cano a ce o se encuen e el es adís ico D, mayo se á la simili ud en e la dis ibución mues al y la eó ica no mal. El p- alo de e mina has a qué alo se debe baja el ni el de signi icación pa a no ene que echaza H 0 . Gene almen e, el p- alo iene que se meno o igual que 0,05 pa a que H 0 sea echazada con un ni el de signi icación del 5% (es el ni el gene almen e acep ado). En la Tabla 3, se ha calculado el es adís ico D y el p- alo pa a las se ies dia ia, semanal y mensual del DAX 30. En los es casos, el es adís ico D se encuen a muy alejado de ce o, así como el p- alo muy po debajo de 0,05. Po an o, según es e es , las mues as no se ajus an a una dis ibución no mal y se echaza ía la hipó esis nula. En cuan o al enómeno de la Ag egación Gaussiana, se ap ecia cómo el p- alo a aumen ando a medida que se inc emen an los pe iodos de iempo, pe o queda muy lejos del alo c í ico 0,05. D p - alo Dia io 0,0713 < 2,2E-16 Semanal 0,0579 0,000001642 Mensual 0,0852 0,002935 Tabla 3. Es adís ico y p- alo del con as e K-S pa a las se ies dia ia, semanal y mensual del DAX 30. 6. COLAS PESADAS Cuando hablamos de colas pesadas, nos e e imos a la p obabilidad concen ada en los alo es ex emos, es deci , en las colas de la unción de densidad. En es a sección se analiza en qué medida conside a la dis ibución No mal la p obabilidad concen ada en las colas, u ilizando pa a ello el Valo en Riesgo (VaR) y la ep esen ación g á ica en escala loga í mica de las cu as de densidad de la Figu a 5. 6.1. VALUE AT RISK El VaR, es un sis ema de alo ación de iesgo basado en el plan eamien o de escena ios pesimis as o de a e sión al iesgo. Se u iliza habi ualmen e en el campo de las inanzas y de los segu os. Bajo el supues o de que las a iaciones en e pe iodos del DAX 30 siguen una dis ibución No mal, u iliza emos el VaR pa a de e mina la exis encia de colas pesadas. Pa a ello, calcula emos los pe cen iles 1%, 2%, 98% y 99% pa a de e mina la p obabilidad exis en e po debajo de ellos en la dis ibución no mal y empí ica. Si exis en colas pesadas, el alo absolu o de los pe cen iles empí icos se á mayo que el de los eó icos, ya que exis e mayo p obabilidad concen ada en los ex emos. La Tabla 4 mues a cómo la dis ibución No mal subes ima la p obabilidad en los ex emos, es deci , que la dis ibución empí ica de los log e u ns del DAX 30 iene colas más pesadas que la dis ibución eó ica No mal ajus ada a la mues a dia ia de los log e u ns del índice. Pe cen il Empí ico Teó ico 0,01 -0,0470 -0,0359 0,02 -0,0351 -0,0317 0,98 0,0318 0,0319 0,99 0,0413 0,0361 Tabla 4. Valo es de los pe cen iles de la se ie dia ia empí ica y eó ica del DAX 30. TFG-FICO. Un análisis es adís ico del DAX 30 -13- En la Tabla 5, se han calculado los pe cen iles eó icos co espondien es a los alo es de los pe cen iles empí icos 1%, 2%, 98% y 99%. Pa a e has a qué pun o la dis ibución No mal subes ima la p obabilidad de los sucesos ex emos, u iliza emos el siguien e ejemplo con los alo es de la Tabla 5: eó icamen e, una caída igual o supe io a un 4,70% se p oduce 0,12 de cada 100 días, mien as que empí icamen e se p oduce 1 de cada 100 días. Valo Pe cen iles empí icos Pe cen iles eó icos -0,0470 0,01 0,0012 -0,0351 0,02 0,0115 0,0318 0,98 0,9796 0,0413 0,99 0,9961 Tabla 5. Pe cen iles eó icos co espondien es a los alo es de los pe cen iles empí icos 1%, 2%, 98% y 99%. 6.2. DENSIDADES EN ESCALA LOGARÍTMICA La siguien e Figu a ep esen a las cu as de densidad empí ica y eó ica de las mues as dia ia, semanal y mensual ya is as en la Figu a 5, pe o es a ez en escala loga í mica. Si obse amos los ex emos de las g á icas, emos como la cu a de densidad empí ica (línea con inua) se encuen a po encima de la cu a de densidad eó ica (línea discon inua). Es e hecho demues a, una ez más, que la dis ibución No mal subes ima la p obabilidad concen ada en los ex emos. 7. MEDIDAS DE FORMA En es e apa ado se analizan las medidas de o ma (asime ía y cu osis) y se con as an con la dis ibución No mal a a és del Tes Ja que-Be a. 7.1. ASIMETRÍA Las medidas de asime ía se u ilizan pa a de e mina el g ado de sime ía o asime ía que p esen a una dis ibución sin necesidad de ealiza una ep esen ación g á ica. Además, pe mi e ealiza compa aciones en e dis ibuciones dis in as. Si una dis ibución es simé ica, exis e el mismo núme o de alo es a la de echa que a la izquie da de la media y, po an o, el mismo núme o de des iaciones con signo posi i o que con signo nega i o, siendo la suma de las des iaciones posi i as igual a la suma de las nega i as (Ma ín-Pliego, 2009). Pa a medi numé icamen e la asime ía se u iliza un coe icien e de asime ía. El más usado es el coe icien e de asime ía de Fishe (A  ): Figu a 6 . Densidades empí icas (línea con inua) y eó icas (línea discon inua) de las mues as dia ias, semanales y mensuales del DAX 30 en escala loga í mica. Bu gos Esc ibano, José -14- A  =9 V * V siendo 9 V el momen o cen al de o den 3 y * la des iación ípica: 9 V =∑5  −9 V %   El signo de A  de e mina la sime ía o asime ía de la dis ibución y depende solo del nume ado . Po an o, si A  =0 la dis ibución es simé ica A  >0 la dis ibución es asimé ica posi i a A  <0<la dis ibución es asimé ica nega i a Cabe des aca que, cuando la dis ibución es simé ica, en onces A  =0, pe o el ecíp oco no iene po qué cumpli se. Po an o, es necesa io acompaña el es udio numé ico con la ep esen ación g á ica. En la Tabla 6 hemos calculado los coe icien es de asime ía de la mues a empí ica dia ia, semanal y mensual de los log e u ns del DAX 30. También se han calculado los p- alo es pa a de e mina el ni el de signi icación con el que podemos conside a si el alo de A  es á signi ica i amen e lejano o ce cano a ce o. Cabe des aca que el p- alo se ha ob enido a pa i de la dis ibución asin ó ica no mal del es adís ico usado. En es e caso, la hipó esis nula o H 0 es que el coe icien e de asime ía es ce o. En unción de los da os ob enidos, el p- alo de la se ie dia ia es mayo que el ni el de signi icación gene almen e acep ado (0,05), po lo que no se echaza H 0 y se acep a que el coe icien e de asime ía de la se ie dia ia es ce o. En las se ies semanal y mensual, sin emba go, el p- alo se encuen a muy po debajo de 0,05 y se obse a que p esen an asime ía nega i a, es deci , p esen an alo es más alejados de la media po debajo de és a que po encima. Se ie Y Z p- alo Dia ia 0,0166 0,6752 Semanal -0,6568 6,217E-14 Mensual -0,9954 4,977E-8 Tabla 6. Coe icien e de asime ía de Fishe y p- alo es de las se ies dia ia, semanal y mensual de log e u ns del DAX 30. 7.2. CURTOSIS La cu osis es o a medida de o ma que mide an o el apun amien o (anchu a del pico) como la pesadez de las colas de la dis ibución. Las medidas de cu osis a an de de e mina el núme o de obse aciones que se encuen an muy lejos o muy ce ca de la media. Pa a es a medida, una cu osis ele ada signi ica que más a ianza de la a iable es esul ado de obse aciones ex emas in ecuen es en oposición a obse aciones menos des iadas de la media y más ecuen es. Pa a es udia la cu osis, se u iliza la dis ibución No mal como modelo de e e encia. El hecho de u iliza es a dis ibución, es po que se p esen a en múl iples casos, e implica que la mayo ía de los alo es de la a iable es án ce ca de la media, y aquellos que se encuen an muy dis anciados de ella, a ambos lados, son poco nume osos (Ma ín-Pliego, 2009). El coe icien e de cu osis es el cocien e en e el momen o cen al de o den cua o y la a ianza a la cua a. No obs an e, a es a ó mula se le es a 3 pa a medi el exceso de cu osis espec o a la dis ibución No mal: TFG-FICO. Un análisis es adís ico del DAX 30 -15- A  =9 [ * [ −4 siendo 9 [ el momen o cen al de o den 3 y * la des iación ípica: 9 [ =∑5  −9 [ %   En unción del signo de A  , podemos dis ingui en e dis ibuciones: mesocú icas si A  =0 lep ocú icas si A  >0 pla icú icas si A  >0 Al igual que con la asime ía, se han calculado en la Tabla 7 los coe icien es de cu osis y sus co espondien es p- alo es pa a la es se ies empo ales. En los es casos, se obse a un exceso de cu osis ele ado, aunque és e a disminuyendo a medida que se educe el pe iodo de iempo en e obse aciones. Las dis ibuciones son, po an o, lep ocú icas. En los es casos el p- alo del con as e es p ác icamen e nulo, con lo que hay un cla o echazo de la hipó esis nula de que el coe icien e de cu osis es ce o. Se ie Y ] p- alo Dia ia 4,2686 0 Semanal 5,1965 0 Mensual 3,1209 0 Tabla 7. Coe icien e de cu osis y p- alo es de las se ies dia ia, semanal y mensual de log e u ns del DAX 30 7.3. TEST JARQUE-BERA Se a a de un es exclusi o pa a la dis ibución No mal y se basa en el ajus e en e las medidas de o ma (asime ía y cu osis) de la dis ibución empí ica y una dis ibución No mal eó ica. El es adís ico de es e es es X 2 , y su ó mula de cálculo la siguien e:   = N ^ &A   +  [ A   ' En la Tabla 8 se han calculado el es adís ico X 2 y su co espondien e p- alo pa a con as a si las mues as de los log e u ns dia ios, semanales y mensuales del DAX 30 se ajus an a la dis ibución No mal. En los es casos se obse a cómo los p- alo es se encuen an muy po debajo del ni el de signi icación del 5%, po lo que, según es e es , ninguna de las dis ibuciones de los log e u ns del DAX 30 es No mal. Aun así, el es adís ico a disminuyendo su alo a medida que aumen an los in e alos empo ales en e obse aciones, con lo que se demues a, una ez más el enómeno de ag egación Gaussiana. Se ie X 2 p- alo Dia ia 2.901,819 <2,2E-16 Semanal 936,116 <2,2E-16 Mensual 102,206 <2,2E-16 Tabla 8. Tes de Ja que-Be a pa a las se ies dia ia, semanal y mensual de log e u ns del DAX 30. Bu gos Esc ibano, José -16- 8. AUTOCORRELACIONES El modelo de Black-Scholes es ablece inc emen os independien es de los log e u ns. En los me cados inancie os, exis en pe iodos de mucha ola ilidad en los que las a iaciones son mayo es y o os en los que hay menos ola ilidad. Es e hecho se puede obse a en la Figu a 7, en la que se han ep esen ado las a iaciones dia ias del DAX 30 (log e u ns). Se puede e cómo las a iaciones son sis emá icamen e mayo es en de e minados momen os del iempo y meno es en o os. Es o nos lle a a pensa que los log e u ns no son independien es en e sí, sino que exis e una dependencia en de e minados momen os del iempo. Figu a 7. Log e u ns de la se ie dia ia del DAX 30. Conside ando la se ie empo al /"0 < O _ de log e u ns como es aciona ia en el sen ido de que el alo espe ado de " no es una unción de iempo y la co a ianza en e " y "+ solo depende de  (in e alo empo al), podemos es ablece la exp esión ma emá ica @`a","+b=c pa a una unción c donde c0=c>0. La au oco elación con  e a dos iene dada po la siguien e exp esión: @))a","+b=@`a","+b "a"b"a"+b=c c La au oco elación desc ibe la in ensidad con la que el log e u n ac ual ecue da a los an e io es, es deci , la dependencia lineal en e ambos. Po an o, a a és de la au oco elación podemos p edeci los p ecios u u os (Ben h, 2004). En la Figu a 8, se han ep esen ado las au oco elaciones de los log e un s de la se ie dia ia del DAX 30. Se obse a cómo a ían sin o den alguno po encima y po debajo de ce o y la g an mayo ía de ellas se encuen an den o de la banda de con ianza del 95% cen ada en ce o. Po an o, los log e u ns de la se ie dia ia del DAX 30 no es án co elados. -0.05 0.00 0.05 0.10 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 2014 TFG-FICO. Un análisis es adís ico del DAX 30 -17- Figu a 8. Au oco elaciones de los log e u ns dia ios del DAX 30 con e a dos de has a 100. Sin emba go, al ep esen a las au oco elaciones en la Figu a 9 u ilizando el alo absolu o de los log e u ns (g á ica de a iba) y su cuad ado (g á ica de abajo), es deci , las au oco elaciones en e los amaños de los log e u ns, se obse a que las au oco elaciones son siemp e posi i as y signi ica i amen e alejadas de ce o. Además, se ap ecia un descenso p og esi o en el alo de la au oco elación, lo que signi ica que, cuan o meno es la dis ancia en el iempo en e los log e u ns, la co elación en e ellos se hace mayo . Si los log e u ns ue an independien es al y como a i ma el modelo de Black- Scholes, sus au oco elaciones debe ían se signi ica i amen e iguales a ce o en odos los casos, cosa que no ocu e con el alo absolu o y el cuad ado de los log e u ns. Se p ueba en onces que exis e un cie o g ado de dependencia en e los amaños de los log e u ns, lo que con adice una de las p emisas básicas del modelo de Black- Scholes. Bu gos Esc ibano, José -18- Figu a 9. Au oco elaciones de los alo es absolu os (a iba) y cuad ados (abajo) de los log e u ns dia ios del DAX 30. 9. ALTERNATIVA PARA EL MODELO BLACK-SCHOLES: NORMAL INVERSA GAUSSIANA Has a aho a, hemos is o cómo la dis ibución No mal no es un modelo adecuado pa a los log e u ns del DAX 30 debido a a ios ac o es. En p ime luga , subes ima las p obabilidades en las colas de la dis ibución. Además, la mues a empí ica p esen a asime ía y cu osis, lo cual no ocu e en la dis ibución No mal. En es e apa ado, se in oduce un modelo más complejo y lexible que se adap a mejo a las se ies empo ales inancie as, a los log e u ns del DAX 30 en nues o caso. Es e modelo, es la dis ibución No mal In e sa Gaussiana (NIG). 9.1. LA DISTRIBUCIÓN NORMAL INVERSA GAUSSIANA Se a a de un ipo de dis ibución hipe bólica y ue in oducida po Ba n o -Nielsen en 1977 como un modelo de dis ibución pa a el amaño de los g anos de a ena en las playas danesas. Más a de, se comenzó a u iliza en las inanzas como un buen modelo pa a los log e u ns. TFG-FICO. Un análisis es adís ico del DAX 30 -19- La NIG p esen a cua o pa áme os: d,e,9< <g. El pa áme o 9 ma ca el cen o de la dis ibución en el eje ho izon al, mien as que la asime ía es á de inida po e. El pa áme o g es un pa áme o de escala pa ecido a la des iación ípica de la dis ibución No mal. Po úl imo, d modela las colas pesadas de la dis ibución. La exp esión de la unción de densidad de la dis ibución No mal In e sa Gaussiana es la siguien e:  Nh 5;d,e,9,g=j kl:   &dmg  +5−9  ' mg  +5−9  donde j es una cons an e y   es la unción de Bessel modi icada de e ce a clase con índice 1: j = n   gd  o m p q  k q    5  = 1 2     l a s ; s D E b _  En la unción de densidad, se iene que cumpli que 0≤|e|≤d. Adicionalmen e, g iene que se mayo que ce o. La media y a ianza de una a iable alea o ia 5 que sigue una dis ibución No mal In e sa Gaussiana son las siguien es: u 5 w = 9 + ge m d  − e  x) 5 w = g d   d  − e   V /  En la Figu a 10 se han ep esen ado 4 dis ibuciones NIG (línea con inua) y las co espondien es No males (línea discon inua) con la misma media y a ianza, de modo que sea compa ables. Los pa áme os ijados pa a cada g á ica son los siguien es: G á ica z { | } 1 30 0 0 0,015 2 150 0 0 0,015 3 30 10 0 0,015 4 30 -10 0 0,015 Tabla 9. Valo es de los pa áme os de las dis ibuciones NIG ep esen adas en las Figu as 10 y 11 . En las g á icas 1,3 y 4 se obse a la o ma hipe bólica que p esen an las colas, mien as que en la segunda g á ica son p ác icamen e lineales. Es o se debe a que, pa a la g á ica 2, se ha ijado el peso de las colas (d) en 150, mien as que en el es o ha sido 30. En los ejemplos 3 y 4, se ha ijado una asime ía (e) posi i a y nega i a espec i amen e. Se obse a como la NIG ecoge es e enómeno, a di e encia de la dis ibución No mal. Los pa áme os 9 y g se han man enido cons an es en odas las ep esen aciones. TFG-FICO. Un análisis es adís ico del DAX 30 -27- Anexo En el desa ollo de es e abajo se ha usasdo el so wa e es adís ico R pa a ealiza di e sas g á icas y cálculos. A con inuación, se exponen las líneas de código u ilizadas a lo la go del abajo. Simulación del mo imien o b owniano es ánda (Figu a 2) se .seed(250) pa (ma =c(2,2,2,2) BA <- cumsum( no m(500,0,1)) plo (x=c(0:500),y=c(0,BA), ype="l",l y=1,xlab="",ylab="",ylim=c(- 40,40)) BB <- cumsum( no m(500,0,1)) lines(x=c(0:500),y=c(0,BB), ype="l",l y=2,xlab="",ylab="") BC <- cumsum( no m(500,0,1)) lines(x=c(0:500),y=c(0,BC), ype="l",l y=3,xlab="",ylab="") Lec u a de da os de yahoo inance y ep esen ación de co izaciones dia ias (Figu a 3) lib a y(" se ies") lib a y("zoo") indice="^GDAXI" echa.ini="2000-01-01" echa. in="2014-12-31" p ecios="Close" DAXd <- ge .his .quo e(ins umen =indice, s a = echa.ini, end= echa. in, comp ession="d", quo e=p ecios) DAXw <- ge .his .quo e(ins umen =indice, s a = echa.ini, end= echa. in, comp ession="w", quo e=p ecios) DAXm <- ge .his .quo e(ins umen =indice, s a = echa.ini, end= echa. in, comp ession="m", quo e=p ecios) nd=leng h(DAXd); nw=leng h(DAXw); nm=leng h(DAXm); pa (ma =c(2,2,2,2)) plo (DAXd,xlab="",ylab="", ype="l",l y=1) Log e u ns del DAX 30 XDAXd <- di (log(DAXd)) XDAXw <- di (log(DAXw)) XDAXm <- di (log(DAXm)) nXDAXd <- as.nume ic(XDAXd) nXDAXw <- as.nume ic(XDAXw) nXDAXm <- as.nume ic(XDAXm) Es adís ica desc ip i a de los log e u ns del DAX 30 (Tabla 2) mud <- mean (XDAXd) sigmad <- apply(XDAXd,2,sd);sigma2d <- sigmad^2; muw <- mean (XDAXw) sigmaw <- apply(XDAXw,2,sd);sigma2w <- sigmaw^2; mum <- mean (XDAXm) sigmam <- apply(XDAXm,2,sd);sigma2m <- sigmam^2; op ions(scipen=100) op ions(digi s=6) summa y(XDAXd) summa y(XDAXw) summa y(XDAXm) Bu gos Esc ibano, José -28- lib a y(pas ecs) s a .desc(nXDAXd) s a .desc(nXDAXw) s a .desc(nXDAXm) Simulación de dos ayec o ias del mo imien o b owniano geomé ico ajus ado a los da os dia ios y mensuales (Figu a 4) se .seed(1000) lsd0=log(as.nume ic(DAXd[1])) I <- no m(nd-1, mean=mud, sd=sigmad) ssimul <- exp(cumsum(c(lsd0,I))) ssimul <- zoo(ssimul,index(DAXd)) plo (ssimul, ype="l",l y=1) I <- no m(nd-1, mean=mud, sd=sigmad) ssimul <- exp(cumsum(c(lsd0,I))) ssimul <- zoo(ssimul,index(DAXd)) lines(ssimul, ype="l",l y=3) se .seed(1000) lsd1=log(as.nume ic(DAXm[1])) II <- no m(nm-1, mean=mum, sd=sigmam) ssimul <- exp(cumsum(c(lsd1,II))) ssimul <- zoo(ssimul,index(DAXm)) plo (ssimul, ype="l",l y=1) II <- no m(nm-1, mean=mum, sd=sigmam) ssimul <- exp(cumsum(c(lsd1,II))) ssimul <- zoo(ssimul,index(DAXm)) lines(ssimul, ype="l",l y=3) Cu as de densidad del DAX 30 y de la No mal con pa áme os dia ios, semanales y mensuales. También las mismas cu as, pe o en escala loga í mica (Figu as 5 y 6) densi yXDAXd <- densi y(XDAXd,n=500) plo ( densi yXDAXd, ype="l",l y=1,xlab="",ylab="",main="",xlim=c(- 0.08,0.08)) cu e(dno m(x,mean=mud,sd=sigmad),add=TRUE,xlim=c(- 0.06,0.06),n=500, ype="l",l y=2,xlab="c(-0",ylab="",main="") x <- seq( om=-0.06, o=0.06,leng h.ou =500) plo (densi yXDAXd$x,log(densi yXDAXd$y), ype="l",l y=1,xlab="",ylab="" ,main="",xlim=c(-0.07,0.07), ylim=c(-2,4)) y <- log( dno m(x,mean=mud,sd=sigmad)) lines(x,y,l y=2) densi yXDAXw <- densi y(XDAXw,n=500) plo ( densi yXDAXw, ype="l",l y=1,xlab="",ylab="",main="",xlim=c(- 0.15,0.15)) cu e(dno m(x,mean=muw,sd=sigmaw),add=TRUE,n=500, ype="l",l y=2,xlab=" c(-0",ylab="",main="") x <- seq( om=-0.15, o=0.15,leng h.ou =500) plo (densi yXDAXw$x,log(densi yXDAXw$y), ype="l",l y=1,xlab="",ylab="" ,main="",xlim=c(-0.12,0.12), ylim=c(-4,4)) y <- log(dno m(x,mean=muw,sd=sigmaw)) lines(x,y,l y=2) densi yXDAXm <- densi y(XDAXm,n=500) plo ( densi yXDAXm, ype="l",l y=1,xlab="",ylab="",main="",xlim=c(- 0.20,0.20)) cu e(dno m(x,mean=mum,sd=sigmam),add=TRUE,n=500, ype="l",l y=2) x <- seq( om=-0.25, o=0.25,leng h.ou =500) plo (densi yXDAXm$x,log(densi yXDAXm$y), ype="l",l y=1,xlab="",ylab="" ,main="",xlim=c(-0.20,0.20), ylim=c(-2,2)) y <- log(dno m(x,mean=mum,sd=sigmam)) lines(x,y,l y=2) TFG-FICO. Un análisis es adís ico del DAX 30 -29- Con as e de Kolmogó o -Smi no (Co ección de Lillie o s) (Tabla 3) lib a y(no es ) lillie. es (nXDAXd);lillie. es (nXDAXw);lillie. es (nXDAXm) Pe cen iles empí icos y eó icos (Tabla 4) qno m(p=c(0.01,0.02,0.98,0.99),mean=mud,sd=sigmad) qe <- quan ile(x=XDAXd,p obs=c(0.01,0.02,0.98,0.99)) P obabilidades eó icas acumuladas po los pe cen iles empí icos (Tabla 5) pno m(qe,mean=mud,sd=sigmad) Asime ía y cu osis de los log e u ns del DAX 30 y sus espec i os p- alues (Tablas 6 y 7) lib a y(momen s) skewness(XDAXd); skewness(XDAXw); skewness(XDAXm) ku osis(XDAXd)-3; ku osis(XDAXw)-3; ku osis(XDAXm)-3 sk.d <- skewness(XDAXd);s a <- abs(sk.d/sq (6/nd));2*(1-pno m(s a )) sk.w <- skewness(XDAXw);s a <- abs(sk.w/sq (6/nw));2*(1-pno m(s a )) sk.m <- skewness(XDAXm);s a <- abs(sk.m/sq (6/nm));2*(1-pno m(s a )) ku.d <- ku osis(XDAXd)-3;s a <- abs(ku.d/sq (24/nd));2*(1- pno m(s a )) ku.w <- ku osis(XDAXw)-3;s a <- abs(ku.w/sq (24/nw));2*(1- pno m(s a )) ku.m <- ku osis(XDAXm)-3;s a <- abs(ku.m/sq (24/nm));2*(1- pno m(s a )) Tes de Ja que-Be a (Tabla 8) lib a y( se ies) ja que.be a. es (nXDAXd);ja que.be a. es (nXDAXw);ja que.be a. es (nXD AXm) Log e u ns de la se ie dia ia del DAX 30 (Figu a 7) plo (XDAXd, ype="l",xlab="",ylab="", col="blue" ) Au oco elaciones de los log e u ns dia ios del DAX 30, así como de sus alo es absolu os y cuad ados (Figu as 8 y 9) lib a y(FinTS) au oco <- apply(XDAXd,2,Ac ,lag.max = 100, ype = "co ela ion",xlab = "", ylab="", main="") au oco <- apply(abs(XDAXd),2,Ac ,lag.max = 100, ype = "co ela ion",xlab = "", ylab="", main="") au oco <- apply(XDAXd^2,2,Ac ,lag.max = 100, ype = "co ela ion",xlab = "", ylab="", main="") G á icas de la unción de densidad de la NIG y sus co espondien es No males (Figu a 10) pa (m ow=c(2,2) alpha=30; be a=0; mu=0; del a=0.015; cu e(dnig(x,alpha,be a,del a,mu),xlim=c(0.075,0.075),ylim=c(0,30),n=5 00, ype="l",l y=1,xlab="",ylab="",main="1") emp=sq (alpha^2-be a^2) mean <- mu +( (del a*be a)/( emp)); sigma2= (del a*(alpha^2))/( emp^3); sigma=sq (sigma2); cu e(dno m(x,mean=mean,sd=sigma),add=TRUE,n=500, ype="l",l y=2,xlab=" ",ylab="",main="") Bu gos Esc ibano, José -30- alpha=150; be a=0; mu=0; del a=0.015; cu e(dnig(x,alpha,be a,del a,mu),xlim=c(0.075,0.075),ylim=c(0,50),n=5 00, ype="l",l y=1,xlab="",ylab="",main="2") emp=sq (alpha^2-be a^2) mean <- mu +( (del a*be a)/( emp)); sigma2= (del a*(alpha^2))/( emp^3); sigma=sq (sigma2); cu e(dno m(x,mean=mean,sd=sigma),add=TRUE,n=500, ype="l",l y=2,xlab=" ",ylab="",main="") alpha=30; be a=10; mu=0; del a=0.015; cu e(dnig(x,alpha,be a,del a,mu),xlim=c(0.075,0.075),ylim=c(0,30),n=5 00, ype="l",l y=1,xlab="",ylab="",main="3") emp=sq (alpha^2-be a^2) mean <- mu +( (del a*be a)/( emp)); sigma2= (del a*(alpha^2))/( emp^3); sigma=sq (sigma2); cu e(dno m(x,mean=mean,sd=sigma),add=TRUE,n=500, ype="l",l y=2,xlab=" ",ylab="",main="") alpha=30; be a=-10; mu=0; del a=0.015; cu e(dnig(x,alpha,be a,del a,mu),xlim=c(0.075,0.075),ylim=c(0,30),n=5 00, ype="l",l y=1,xlab="",ylab="",main="4") emp=sq (alpha^2-be a^2) mean <- mu +( (del a*be a)/( emp)); sigma2= (del a*(alpha^2))/( emp^3); sigma=sq (sigma2); cu e(dno m(x,mean=mean,sd=sigma),add=TRUE,n=500, ype="l",l y=2,xlab=" ",ylab="",main="") G á icas de la unción de densidad de la NIG y sus co espondien es No males en escala loga í mica (Figu a 11) x<-seq( om=-0.09, o=0.09,leng h.ou =500) cu e(log(dnig(x,alpha= 30,be a= 0,del a= 0.015,mu= 0)), ype="l", l y=1,xlab="",ylab="",main="1",xlim=c(-0.15,0.15), ylim=c(-2,4)) y<-log( dno m(x,mean=mean,sd=sigma)) lines(x,y,l y=2) x<-seq( om=-0.19, o=0.19,leng h.ou =500) cu e(log(dnig(x,alpha= 150,be a= 0,del a= 0.015,mu= 0)), ype="l", l y=1,xlab="",ylab="",main="2",xlim=c(-0.20,0.20), ylim=c(-20,5)) y<-log( dno m(x,mean=mean,sd=sigma)) lines(x,y,l y=2) x<-seq( om=-0.09, o=0.09,leng h.ou =500) cu e(log(dnig(x,alpha= 30,be a= 10,del a= 0.015,mu= 0)), ype="l", l y=1,xlab="",ylab="",main="3",xlim=c(-0.15,0.15), ylim=c(2,4)) y<-log( dno m(x,mean=mean,sd=sigma)) lines(x,y,l y=2) x<-seq( om=-0.09, o=0.09,leng h.ou =500) cu e(log(dnig(x,alpha= 30,be a= -10,del a= 0.015,mu= 0)), ype="l", l y=1,xlab="",ylab="",main="4",xlim=c(-0.15,0.15), ylim=c(2,4)) y<-log( dno m(x,mean=mean,sd=sigma)) lines(x,y,l y=2) Es imación de los pa áme os de la dis ibución NIG pa a las se ies dia ia, semanal y mensual de los log e u ns del DAX 30 (Tabla 10) nigFi (nXDAXd, alpha = 49, be a = -4.8, del a = 0.01, mu = 0.001) nigFi (nXDAXw, alpha = 33, be a = -7.8, del a = 0.03, mu = 0.01) nigFi (nXDAXm, alpha = 15, be a = -7, del a = 0.1, mu = 0.01) alpha d <- 49.195961699;be a d <- -4.883579874;del a d <- 0.011800869;mu d <- 0.001274932 alpha w <- 33.031597136;be a w <- -7.923094366;del a w <- 0.033472579;mu w <- 0.008741963 alpha m <- 17.28097973;be a m <- -7.13702345;del a m <- 0.05487273;mu m <- 0.02689937 TFG-FICO. Un análisis es adís ico del DAX 30 -31- G á icas de las cu as de densidad empí ica, No mal y NIG con pa áme os del DAX 30, así como las mismas cu as en escala loga í mica (Figu a 12) pa (m ow=c(3,2)) densi yXDAXd <- densi y(XDAXd,n=500) plo ( densi yXDAXd , ype="l",l y=1,xlab="",ylab="",main="",xlim=c(- 0.06,0.06),col="blue") cu e( dno m(x,mean=mud,sd=sigmad), om=-0.06, o=0.06,add=TRUE,n=500, ype="l",l y=2,xlab="",ylab="",main="",col="black") cu e(dnig(x,alpha=alpha d,be a=be a d,del a=del a d,mu=mu d),n=500 ,add=TRUE, ype="l", om=-0.06, o=0.06, l y=1,xlab="",ylab="",main="",col=" ed") plo ( densi yXDAXd$x, log(densi yXDAXd$y) , ype="l",l y=1,xlab="",ylab="", main="",xlim=c(-0.08,0.08), ylim=c(-4,4),col="blue") cu e( log(dno m(x,mean=mud,sd=sigmad)), om=-0.08, o=0.08,add=TRUE,n=500, ype="l",l y=2,xlab="",ylab="",main="",col="black") cu e(log(dnig(x,alpha=alpha d,be a=be a d,del a=del a d,mu=mu d)), n=500,add=TRUE, ype="l", om=-0.08, o=0.08, l y=1,xlab="",ylab="",main="",col=" ed") densi yXDAXw <- densi y(XDAXw,n=500) plo ( densi yXDAXw , ype="l",l y=1,xlab="",ylab="",main="", xlim=c(-0.10,0.10), ylim=c(0,17),col="blue") cu e( dno m(x,mean=muw,sd=sigmaw),add=TRUE,n=500, ype="l",l y=2,xlab="",ylab="",main="",col="black") cu e(dnig(x,alpha=alpha w,be a=be a w,del a=del a w,mu=mu w),n=500 ,add=TRUE, ype="l", om=-0.10, o=0.10, l y=1,xlab="",ylab="",main="",col=" ed") plo ( densi yXDAXw$x, log(densi yXDAXw$y) , ype="l",l y=1,xlab="",ylab="", main="",xlim=c(-0.12,0.12), ylim=c(-3,3),col="blue") cu e( log(dno m(x,mean=muw,sd=sigmaw)), om=-0.12, o=0.12,add=TRUE,n=500, ype="l",l y=2,xlab="",ylab="",main="",col="black") cu e(log(dnig(x,alpha=alpha w,be a=be a w,del a=del a w,mu=mu w)), n=500,add=TRUE, ype="l", om=-0.12, o=0.12, l y=1,xlab="",ylab="",main="",col=" ed") densi yXDAXm <- densi y(XDAXm, n=500) plo ( densi yXDAXm , ype="l",l y=1,xlab="",ylab="",main="", xlim=c(-0.2,0.2),ylim=c(0,10),col="blue" ) cu e( dno m(x,mean=mum,sd=sigmam),add=TRUE,n=500, ype="l",l y=2,xlab="",ylab="",main="",col="black") cu e(dnig(x,alpha=alpha m,be a=be a m,del a=del a m,mu=mu m),n=500 ,add=TRUE, ype="l", om=-0.2, o=0.2, l y=1,xlab="",ylab="",main="",col=" ed") plo ( densi yXDAXm$x, log(densi yXDAXm$y) , ype="l",l y=1,xlab="",ylab="", main="",xlim=c(-0.2,0.2), ylim=c(-2,3),col="blue") cu e( log(dno m(x,mean=mum,sd=sigmam)), om=-0.20, o=0.20,add=TRUE,n=500, ype="l",l y=2,xlab="",ylab="",main="",col="black") cu e(log(dnig(x,alpha=alpha m,be a=be a m,del a=del a m,mu=mu m)), n=500,add=TRUE, ype="l", om=-0.2, o=0.2, l y=1,xlab="",ylab="",main="",col=" ed")