P oyec o Fin de Ca e a
Ingenie ía de Telecomunicación
Fo ma o de Publicación de la Escuela Técnica
Supe io de Ingenie ía
Au o : F. Ja ie Payán Some
Tu o : Juan José Mu illo Fuen es
Dep. Teo ía de la Señal y Comunicaciones
Escuela Técnica Supe io de Ingenie ía
Uni e sidad de Se illa
Se illa, 2013
T abajo de Fin de G ado
Ingenie ía Ae oespacial
Es udio de in eg ación de senso es en UAVs
Au o : José Luis Ca e e o Rod íguez
Tu o a: Juana Ma ía Ma ínez He edia
Depa amen o de Ingenie ía Elec ónica
Escuela Técnica Supe io de Ingenie ía
Uni e sidad de Se illa
Se illa, 2016
T abajo de Fin de G ado
Ingenie ía Ae oespacial
Es udio de in eg ación de senso es en UAVs
Au o :
José Luis Ca e e o Rod íguez
Tu o a:
Juana Ma ía Ma ínez He edia
Depa amen o de Ingenie ía Elec ónica
Escuela Técnica Supe io de Ingenie ía
Uni e sidad de Se illa
Se illa, 2016
T abajo de Fin de G ado: Es udio de in eg ación de senso es en UAVs
Au o : José Luis Ca e e o Rod íguez
Tu o a: Juana Ma ía Ma ínez He edia
El ibunal nomb ado pa a juzga el abajo a iba indicado, compues o po los siguien es p o eso es:
P esiden e:
Vocal/es:
Sec e a io:
acue dan o o ga le la cali icación de:
El Sec e a io del T ibunal
Fecha:

Índice gene al
1. In oducción 4
2. Modelado en el Espacio de Es ados 7
2.1. Rep esen ación de sis emas en el espacio es ados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2. Ob ención de la ep esen ación en espacio de es ados de sis emas disc e os . . . . . . . 9
2.2.1. Mé odo de p og amación di ec a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.2. Mé odo de p og amación anidada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3. Relación en e la ep esen ación en espacio de es ados y la unción de ans e encia . . 13
2.4. No unicidad de la ep esen ación en espacio de es ados de un sis ema . . . . . . . . . . 15
2.5. Resolución de las ecuaciones del espacio de es ados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5.1. P ocedimien o ecu si o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5.2. Ma iz de ansición de es ados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5.3. Mé odo basado en la ans o mada Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6. Linealización de las ecuaciones de es ado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6.1. In e p e ación G á ica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.6.2. Ap oximación lineal del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.7. Disc e ización de las ecuaciones de es ado con inuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.8. Con olabilidad y Obse abilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.8.1. Con olabilidad del es ado comple o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.8.2. Con olabilidad de la salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.8.3. Obse abilidad .................................... 27
2.8.4. P incipio de Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.9. T ans o mación de un sis ema en o mas canónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.9.1. Fo ma Canónica Con olable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.9.2. Fo ma Canónica Obse able . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.10. Desc ipción de un sis ema en pa e con olable/obse able y no con olable/no obse able 31
2.10.1. Pa e con olable/no con olable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.10.2. Pa e obse able/no obse able . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3. Modelado de Senso es en los Vehículos Aé eos no T ipulados 34
3.1. Ca ac e ización de los Senso es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
ii
0 ÍNDICE GENERAL
3.1.1. Desc ip o es es á icos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.2. Desc ip o es dinámicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2. Uso co ec o de los senso es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.1. Calib ación de senso es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.2. Modelado de simulaciones SIL-HIL - So wa e-in- he-loop yHa dwa e-in- he-loop 39
3.3. Senso es pa a medi dis ancias y p oximidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.1. Senso es capaci i os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.2. Senso esinduc i os.................................. 42
3.3.3. Basados en e ec o Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3.4. Basados en ul asonidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3.5. Senso es de Espec o In a ojo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3.6. Visióna i icial.................................... 45
3.4. Senso esdeluz ........................................ 47
3.5. Senso esdeVelocidad .................................... 48
3.5.1. TubodePi o ..................................... 50
3.6. Codi icado es (Encode s)................................... 51
3.7. Al íme os........................................... 52
3.8. Gi oscopios, Acele óme os y Magne óme os: Los pila es de una IMU (del inglés, Ine -
ial Measu emen Uni - Unidad Ine cial de Medida) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.9. GPS - Global Posi ioning Sys em . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.9.1. Segmen os....................................... 57
3.9.2. Disponibilidad, In eg idad y Con inuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4. Fil o de Kalman 60
4.1. In oducción.......................................... 60
4.2. ¿Quéesel il odeKalman?................................. 60
4.3. El modelo mul idimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5. Caso p ác ico - Simulación en Ma lab del Fil o de Kalman 68
5.1. P ocesamien odeda os ................................... 68
5.1.1. Medida de la ayec o ia - GPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.1.2. Medida de la ayec o ia - Google Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2. Pa áme os del il o de Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.3. Resul ados ob enidos de la simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6. Conclusiones y Líneas Fu u as 76
A. Va ianza & Co a ianza 78
B. Código Ma lab de caso p ác ico 79
iii
0 ÍNDICE GENERAL
Bibliog a ía 86
1
2 Modelado en el Espacio de Es ados
2.1. Rep esen ación de sis emas en el espacio es ados
Con la ep esen ación en espacio de es ados se ob iene la capacidad de conoce y con ola en
cie a medida la dinámica in e na de un sis ema y su espues a. Las a iables con enidas en el ec o
de es ado deben se capaces en su conjun o de de e mina las condiciones de la dinámica del sis ema.
Cabe des aca en es e pun o que es posible que exis an a ias ep esen aciones en a iables de es ado
pa a un mismo sis ema.
Pa a una mejo comp ensión de los concep os que aquí se a a án, se p ocede a de ini b e emen e
los siguien es é minos [4], [13]:
Sis ema, se en ende á como una elación en e en adas y salidas.
Sis ema De e minis a, si a cada en ada le co esponde una y solo una salida
Sis ema Mono a iable. Es aquel que solo iene una en ada y una salida. Si el sis ema iene
más de una en ada o más de una salida se le conside a á mul i a iable.
Sis ema Causal o No An icipa o io. Es aquel que su salida pa a cie o iempo 1, no depende
de en adas aplicadas después de 1. Obsé ese que la de inición implica que un sis ema no causal
es capaz de p edeci en adas u u as, po lo an o la causalidad es una p opiedad in ínseca de
cualquie sis ema ísico.
Sis ema Dinámico. Es aquel cuya salida p esen e depende de en adas pasadas y p esen es. Si el
alo de la salida en 1depende solamen e de la en ada aplicada en 1, el sis ema se conoce como
es á ico o sin memo ia. La salida de un sis ema es á ico pe manece cons an e si la en ada no
cambia. En un sis ema dinámico la salida cambia con el iempo aunque no se cambie la en ada,
a menos que el sis ema ya se encuen e en es ado es able.
Sis ema In a ian e en el Tiempo. Es aquel que iene pa áme os ijos o es aciona ios con
espec o al iempo, es deci , sus ca ac e ís icas no cambian al pasa el iempo o dicho de o a
o ma, sus p opiedades son in a ian es con aslaciones de iempo.
Sis ema No Lineal. Un sis ema es no lineal si no se aplica el p incipio de supe posición. Po
ello, pa a un sis ema que sea no lineal, la espues a a la suma de dos en adas no puede calcula se
a ando po sepa ado a cada en ada y sumando los esul ados ob enidos.
La dinámica de un sis ema se puede desc ibi en unción del alo del ec o de es ados y de la
señal de en ada (asumiendo que el sis ema es no au ónomo) median e las siguien es exp esiones:
x(k+ 1) = (x(k), u(k), k)
y(k) = g(x(k), u(k), k)(2.2)
donde la no ación ξkindica el alo omado po ξen el ins an e de iempo ky ygpueden se
unciones de cualquie ipo. O a posible ep esen ación de es e ipo de sis emas es la siguien e:
x(k+ 1) = Gx(k) + Hu(k)
y(k) = Cx(k) + Du(k)(2.3)
la cual es u ilizada pa a abaja con sis emas lineales e in a ian es en el iempo (LTI), y donde
x(k) = Vec o de es ado (dimensión n)
y(k) = Vec o de salida (dimensión m)
8

2 Modelado en el Espacio de Es ados
u(k) = Vec o de en ada (dimensión )
G(k) = Ma iz de es ado (dimensión n×n)
H(k) = Ma iz de en ada (dimensión n× )
C(k) = Ma iz de salida (dimensión m×n)
D(k) = Ma iz de ansmisión di ec a (dimensión m× )
Las ecuaciones 2.3 ambién se pueden ep esen a median e el diag ama de bloques de la Figu a
2.1
Figu a 2.1: Diag ama de bloques de la ep esen ación en espacio es ados de un sis ema LTI [13]
2.2. Ob ención de la ep esen ación en espacio de es ados de sis emas
disc e os
Pa a comenza es a sección, se explica á p e iamen e la di e encia que exis e en e un sis ema
con inuo y un sis ema disc e o.
Sis ema en iempo Con inuo. Es aquel en el que las señales con las que abaja el sis ema son
unciones de la a iable con inua iempo . Un ejemplo de señal con inua [x( )] se ía la a iación
de empe a u a que se p oduce en los componen es de un sis ema, la in ensidad luminosa que se
ecibe del sol, señales sinusoidales, e c.
Sis ema en iempo Disc e o. Es aquel sis ema en el cual una o más de las a iables in oluc a-
das pueden cambia solamen e en alo es conc e os de iempo. A dichos ins an es se les deno a á
como kokT, e indican los iempos en los que se lle a a cabo alguna medición de ipo ísico o
el ins an e en el que se ex aen da os de algún pa áme o, a iable u o o sis ema. Es deci , una
señal disc e a [x(kT)] solo oma alo es pa a cie os pun os, de o ma que en e dos ins an es
en los que se oman alo es se man end á el úl imo alo omado. Las señales digi ales son el
mejo ejemplo de señales disc e as. Como ejemplos, las señales de GPS son disc e as po que se
en ían cada cie o pe iodo de iempo, los pulsos ca díacos y los semá o os, en e o as. En la
sección 2.7 se explica á el p oceso median e el cual una señal con inua pod á se disc e izada
pa a su uso den o del modelado en espacio es ados. En el caso bajo es udio, de la simulación de
la in eg ación de dos señales de GPS y de IMU de un UAV, se u iliza á un sis ema en iempo
disc e o. Es o se á debido a que las señales an o po pa e del GPS como de la IMU se eciben
en ins an es de iempo conc e os, disc e os.
Se puede deci que el sis ema disc e o bajo es udio es desc i o po la siguien e exp esión:
y(k) + a1y(k−1) + a2y(k−2) + ... +any(k−n) = b0u(k) + b1u(k−1) + ... +bnu(k−n)(2.4)
9
2 Modelado en el Espacio de Es ados
donde u(k) es la en ada (con sus co espondien es coe icien es bj) e y(k) es la salida (con sus co-
espondien es coe icien es aj) del sis ema en el ins an e de mues eo k. Es posible que alguno de
los coe icien es ai(i=1,2,...,n) y bj(j=0,1,2,...,n) pueden se ce o. En o as palab as, es a exp esión
signi ica que la salida del sis ema ac ual y(k)(lo que po ejemplo pod ía se la posición ac ual del
ehículo), depende an o de las posiciones an e io es y(k−n)y de las a iables de en ada u(k)(las
cuales pod ían se una ue za que desplaza a el ehículo como el ien o, la g a edad, una a iación de
elocidad desde los mandos de con ol, e c.).
A pa i de su unción de ans e encia se á posible ob ene la ep esen ación de espacio de es ados
del sis ema. Pues o que la unción de ans e encia p opo ciona la elación que exis e en e las en adas
y salidas del sis ema, se ob iene:
G(z) = Y(z)
U(z)=b0+b1z−1+b2z−2+... +bnz−n
1 + a1z−1+a2z−2+... +anz−n(2.5)
Exis en dos mé odos pa a ob ene la ep esen ación de espacio de es ados a pa i de 2.5: el Mé-
odo de p og amación di ec a y el Mé odo de p og amación anidada, los cuales se explica án
a con inuación. [13] [16] [25].
2.2.1. Mé odo de p og amación di ec a
Se eesc ibe la unción de ans e encia como:
G(z) = b0+(b1−a1b0)z−1+ (b2−a2b0)z−2+... + (bn−anb0)z−n
1 + a1z−1+a2z−2+... +anz−n(2.6)
y ambién eniendo en cuen a que G(z) = Y(z)
U(z), se ob iene:
Y(z) = b0U(z) + (b1−a1b0)z−1+ (b2−a2b0)z−2+... + (bn−anb0)z−n
1 + a1z−1+a2z−2+... +anz−nU(z)(2.7)
que puede eesc ibi se como:
Y(z) = b0U(z) + ˜
Y(z)U(z)⇔˜
Y(z) = (b1−a1b0)z−1+ (b2−a2b0)z−2+... + (bn−anb0)z−n
1 + a1z−1+a2z−2+... +anz−n(2.8)
Conociendo la exp esión de ˜
Y(z)se puede consegui una a iable auxilia in e media en e las
en adas y salidas, Q(z), a pa i de la cual se pod án de ini las elaciones en e el es ado en un
ins an e y en el ins an e an e io (como se e á en la o mulación del modelo de espacio es ados de la
exp esión 2.13), y que además cumple lo siguien e
Q(z) = ˜
Y(z)
(b1−a1b0)z−1+ (b2−a2b0)z−2+... + (bn−anb0)z−n=U(z)
1 + a1z−1+a2z−2+... +anz−n
(2.9)
De ahí se ob iene que:
Q(z) = −a1z−1Q(z)−a2z−2Q(z)−... −anz−nQ(z) + U(z)(2.10)
˜
Y(z)=(b1−a1b0)z−1Q(z)+(b2−a2b0)z−2Q(z) + ... + (bn−anb0)z−nQ(z)(2.11)
Las a iables de es ado del p oblema se ían:
10
2 Modelado en el Espacio de Es ados
X1(z) = z−nQ(z)
X2(z) = z−(n−1)Q(z)
...
Xn(z) = z−1Q(z)
U ilizando las p opiedades de la ans o mada de Z:
zX1(z) = X2(z)⇔x1(k+ 1) = x2(k)
zX2(z) = X3(z)⇔x2(k+ 1) = x3(k)
... ⇔...
zX(n−1)(z) = Xn(z)⇔x(n−1)(k+ 1) = xn(k)
Teniendo en cuen a las exp esiones an e io es, es posible ob ene Q(z) = zXn(z), y po an o se
puede eesc ibi la exp esión de 2.10 como:
zXn(z) = −a1Xn(z)−a2X(n−1)(z)−... −anX1(z) + U(z)⇔
xn(k+ 1) = −anx1(k)−an−1x2(k)−... −a1xn(k) + u(k)(2.12)
Con es a in o mación ya es posible ob ene aquello que se es aba buscando: la exp esión de la
ecuación de es ado. De o ma ma icial, queda ía de la siguien e o ma:







x1(k+ 1)
x2(k+ 1)
.
.
.
x(n−1)(k+ 1)
xn(k+ 1)







=







0 1 0 ... 0
0 0 1 ... 0
.
.
..
.
..
.
.....
.
.
0 0 0 ... 1
−an−an−1−an−2... −a1














x1(k)
x2(k)
.
.
.
x(n−1)(k)
xn(k)







+







0
0
.
.
.
0
1







uk(2.13)
En la ecuación 2.13 se puede obse a cómo el siguien e es ado (x1(k+ 1)) depende del an e io
(x2(k)). Es a ecuación es una exp esión bas an e cla a donde se pueden obse a los es ados in e nos
del sis ema, de una o ma bas an e isual, enómeno que no se p oducía cuando se enía cuando se
obse aba di ec amen e la unción de ans e encia. La ecuación 2.13 es la nomb ada an e io men e
como “Ecuación de es ado”. Si del sis ema bajo es udio se quie en analiza los da os de la posición y
elocidad (es ados), po ejemplo, pues es a exp esión se ía la necesa ia pa a calcula dichos da os, los
cuales se basan en los es ados an e io es y en las en adas.
Pa a calcula aho a la denominada “Ecuación de salida” p oceden e de la unción de ans e encia
an e io , simplemen e bas a ía con eesc ibi la ecuación 2.11:
˜
Y(z)=(b1−a1b0)Xn(z)+(b2−a2b0)X(n−1)(z) + ... + (bn−anb0)X1(z)
⇓an i ans o mando
y(k)=(bn−anb0)x1(k)+(bn−1−an−1b0)x2(k) + ... + (b1−a1b0)xn(k) + b0u(k)
(2.14)
Se llega a una exp esión de la ecuación de la salida de la siguien e o ma:
11
2 Modelado en el Espacio de Es ados
y(k) = bn−anb0bn−1−an−1b0· · · b1−a1b0







x1(k)
x2(k)
.
.
.
x(n−1)(k)
xn(k)







+b0u(k)(2.15)
Como se ha dicho an e io men e al p incipio de es a sección, exis en a ias ep esen aciones de
espacio de es ados pa a un mismo sis ema. Las ecuaciones de es ado2.13 y de salida 2.15 son un ejemplo
de una de esas ep esen aciones. Ambas ep esen an el espacio es ados del sis ema cuya unción de
ans e encia es la exp esión 2.5, que se denomina o ma canónica con olable (FCC). Más adelan e se
explica án con más de alle es e ipo de ep esen ación.
2.2.2. Mé odo de p og amación anidada
Se pa e en es e caso de la misma unción de ans e encia 2.5, pa a encon a o o ipo de ep e-
sen ación del espacio de es ados.
Y(z)−b0U(z) + z−1(a1Y(z)−b1U(z)) + ... +z−n(anY(z)−bnU(z)) = 0 ⇔
Y(z) = b0U(z) + z−1(b1U(z)−a1Y(z) + z−1(b2U(z)−a2Y(z) + z−1(b3U(z)−a3Y(z) + ...))) ⇔
Y(z) = b0U(z) + Xn(z) =⇒an i ans o mando =⇒y(k) = xn(k) + b0u(k)
(2.16)
A pa i de es a exp esión se pueden de ini las siguien es a iables de es ado:
Xn(z) = z−1(b1U(z)−a1Y(z) + X(n−1)(z))
X(n−1)(z) = z−1(b2U(z)−a2Y(z) + X(n−2)(z))
...
X2(z) = z−1(bn−1U(z)−an−1Y(z) + X1(z))
X1(z) = z−1(bnU(z)−anY(z))
(2.17)
Si se sus i uye la úl ima exp esión de 2.16 en las a iables de es ado, y a su ez se mul iplica po
z en ambos miemb os de la igualdad:
zXn(z) = X(n−1)(z)−a1Xn(z)+(b1−a1b0)U(z)
zX(n−1)(z) = X(n−2)(z)−a2Xn(z)+(b2−a2b0)U(z)
...
zX2(z) = X1(z)−an−1Xn(z)+(bn−1−an−1b0)U(z)
zX1(z) = −anXn(z)+(bn−anb0)U(z)
(2.18)
An i ans o mando la ecuación 2.18:
x1(k+ 1) = −anxn(k)+(bn−anb0)u(k)
x2(k+ 1) = x1(k)−an−1xn(k)+(bn−1−an−1b0)u(k)
...
x(n−1)(k+ 1) = x(n−2)(k)−a2xn(k)+(b2−a2b0)u(k)
xn(k+ 1) = x(n−1)(k)−a1xn(k)+(b1−a1b0)u(k)
(2.19)
12
2 Modelado en el Espacio de Es ados
Teniendo en cuen a la an i ans o mada que se ob u o en la ecuación 2.16 y 2.19, se pueden ob ene
la ep esen ación de espacio de es ados de el sis ema bajo es udio.







x1(k+ 1)
x2(k+ 1)
.
.
.
x(n−1)(k+ 1)
xn(k+ 1)







=







0 0 · · · 0 0 −an
1 0 · · · 0 0 −an−1
.
.
..
.
.....
.
..
.
..
.
.
0 0 · · · 1 0 −a2
0 0 · · · 0 1 −a1














x1(k)
x2(k)
.
.
.
x(n−1)(k)
xn(k)







+







bn−anb0
bn−1−an−1b0
.
.
.
b2−a2b0
b1−a1b0







u(k)
y(k) = 0 0 · · · 0 1 







x1(k)
x2(k)
.
.
.
x(n−1)(k)
xn(k)







+b0u(k)
(2.20)
A es e ipo de ep esen ación, donde en la exp esión 2.20 se ap ecian la ecuación de es ado y de
salida, se le denomina o ma canónica obse able (FCO). Se es udia á más adelan e po qué mo i os
se u iliza á es a o ma de ep esen ación o la an e io . Cuando se ealiza un análisis y diseño de un
modelo conc e o en el dominio de es ado, ípicamen e se ans o man las ecuaciones de las que se
dispone en alguna de es as o mas pa icula es debido a las en ajas que o ecen. Po ejemplo, la FCC
posee p opiedades in e esan es que la hacen con enien e pa a p uebas de con olabilidad, mien as
que la FCO se u iliza más pa a p uebas de obse abilidad. Ambos concep os (con olabilidad y
obse abilidad) se án in oducidos en la sección 2.8.
2.3. Relación en e la ep esen ación en espacio de es ados y la un-
ción de ans e encia
El modelado y con ol de sis emas basado en la ans o mada de Laplace o ece un en oque sencillo
y de ácil aplicación. Pe mi e analiza sis emas u ilizando una se ie de eglas algeb aicas en luga
de abaja con ecuaciones di e enciales. Pe o no en odas sus o mas iene la misma elegancia. Las
unciones de ans e encia cuen an con una se ie de limi aciones a la ho a de desc ibi un sis ema
[4]:
No p opo ciona in o mación sob e la es uc u a ísica del sis ema
Sólo es álida pa a sis emas lineales con una en ada y una salida e in a ian es en el iempo.
Es e es uno de los mo i os po los cuales se desca a abaja con unciones de ans e encia
y se op a po el espacio es ados. En el sis ema bajo es udio, en el cual se in eg an señales de
sis emas GPS e IMU, las señales ecibidas son disc e as (con las que abaja el modelado en
espacio es ados) y no con inuas (con las que abaja la ans o mada de Laplace). Como se e á
en el apa ado de Senso es, exis en múl iples en adas y múl iples salidas (se ob ienen señales de
al íme os, elocíme os, cáma as, codi icado es, gi óscopos, acele óme os, magne óme os, e c.)
que se que án in eg a unas con o as pa a ob ene el mejo esul ado posible, lo cual no puede
lle a se a cabo con una unción de ans e encia ( abaja con una única en ada y única salida).
No p opo ciona in o mación de lo que pasa den o del sis ema. Si se quie e ob ene un da o
in e medio de alguno de los senso es o sis emas que se encuen an ope a i os en el p oceso, es
más complejo ob ene lo en el caso de abaja con es e ipo de desc ipciones.
Se necesi a que las condiciones iniciales del sis emas sean nulas. De hecho, la unción de ans e-
encia de un sis ema lineal in a ian e en el iempo se de ine como la ans o mada de Laplace de
13

2 Modelado en el Espacio de Es ados
la espues a al impulso, con odas las condiciones iniciales iguales a ce o. En el caso del ehículo
bajo es udio, po ejempli ica , se quie en oma da os de una ayec o ia ec ilínea con elocidad
cons an e de 8m/s. Es deci , comenzando y e minando con esa elocidad. En es e caso la elo-
cidad inicial no es nula, y po an o, no se pod ía modela es e p oceso median e la unción de
ans e encia. O o mo i o po el cual se u iliza á el modelado en espacio es ados, po que al y
como se ha demos ado, no limi a la maniob abilidad de ac uaciones que se pueden lle a a cabo
No solamen e el caso bajo es udio se encuen a ue a del ango de ac uación de la unción de
ans e encia, sino que la mayo ía de sis emas dinámicos no cumplen con dichos equisi os. Los sis e-
mas eales, po lo gene al, p esen an no linealidades, cuen an con más de una en ada y salida, sus
pa áme os cambian con el iempo y sus condiciones iniciales no siemp e son ce o.
Con un sencillo análisis de la ep esen ación de espacio de es ados se puede ob ene la unción de
ans e encia.
˙x=Ax +Bu
y=Cx +Du =⇒Laplace =⇒sX(s) = AX(s) + BU(s)
Y(s) = CX(s) + DU(s)(2.21)
De la ecuación de es ado se puede ob ene :
(sI −A)X(s) = BU(s) =⇒X(s) = (sI −A)−1BU(s)(2.22)
Y sus i uyéndolo en la ecuación de salida:
Y(s) = [C(sI −A)−1B+D]U(s) =⇒G(s) = Y(s)
U(s)= [C(sI −A)−1B+D](2.23)
Pe o lo in e esan e en es e ema no es ob ene la unción de ans e encia a pa i de la ep esen a-
ción de espacio es ados, sino al con a io. Como se ha epe ido an e io men e, el p oceso de con e i de
unción de ans e encia a espacio de es ados no es único. Se puede deci que odas las ans o maciones
son ”equi alen es”, pues o que las p opiedades del sis ema no cambian. Lo a ac i o de es e p oceso es
que algunas ep esen aciones de espacio de es ados pueden ene mas en ajas que o as dependiendo
del caso pa a una a ea pa icula . Algunas posibles ep esen aciones son [14]:
1. Fo ma canónica con olable (Fi s companion o m)
2. Fo ma canónica obse able (Second companion o m)
3. Fo ma canónica de Jo dan
4. Fo ma canónica con olable al e na i a / Fo ma canónica Diagonal (Al e na i e i s companion
o m, Toepli z i s companion o m)
En con aposición a los incon enien es de la unción de ans e encia, el espacio de es ados p esen a
una se ia de en ajas [4], como se mencionó an e io men e:
Aplicable a sis emas lineales y no lineales
Pe mi e analiza sis emas de más de una en ada y una salida
Pueden se a ian es o in a ian es en el iempo
Las condiciones iniciales no necesa iamen e deben se nulas
14
2 Modelado en el Espacio de Es ados
Es capaz de p opo ciona in o mación de lo que es á sucediendo en el in e io del sis ema en cada
momen o
Los esul ados que o ece los p esen a de una o ma sencilla y elegan e, lo cual es un pun o a
a o en cuan o a una mejo comp ensión del es udio. Es e pun o pa ece de poca impo ancia,
pe o cuando se a an sis emas complejos en los que se ienen múl iples da os in e elacionados
en e sí, una buena isualización ayuda bas an e a su mejo en endimien o.
2.4. No unicidad de la ep esen ación en espacio de es ados de un
sis ema
Como ya se iene ad i iendo en los apa ados an e io es y se ha comp obado con los dos mé odos
analizados (Mé odo de p og amación di ec a yMé odo de p og amación anidada), a un sis ema desc i o
po su unción de ans e encia le co esponden al menos dos ep esen aciones en espacio de es ados
di e en es (FCC yFCO espec i amen e). Es o es debido p incipalmen e al hecho de que la dinámica
de un sis ema puede se desc i a po mul i ud de a iables de es ado. Se pueden oma a iables de
es ado que sean combinaciones lineales de o as, que no al e en las p opiedades del sis ema, pe o que
sin emba go obliguen a modi ica la es uc u a de esolución del p oblema. En es e caso se ob end ían
unas ep esen aciones dis in as pe o equi alen es.
Pa a demos a es e enómeno, se u iliza á una ans o mación median e una ma iz in e ible
P, la cual elaciona á el ac ual ec o de es ado x(k)con o o ˜x(k)con a iables de es ado dis in as
median e [13]:
x(k) = P˜x(k)(2.24)
Se ob end ía una nue a ecuación de es ado del sis ema:
P˜x(k+ 1) = GP ˜x(k) + Hu(k) =⇒˜x(k+ 1) = P−1GP ˜x(k) + P−1Hu(k)(2.25)
Po lo que las ecuaciones que de inen la nue a ep esen ación del sis ema se ían las siguien es:
˜x(k+ 1) = ˜
G˜x(k) + ˜
Hu(k)
y(k) = ˜
C˜x(k) + ˜
Du(k)=⇒
˜
G=P−1GP, ˜
H=P−1H
˜
C=CP, ˜
D=D(2.26)
Se ob iene así un sis ema en espacio de es ados equi alen e al an e io , pe o con a iables di e en es.
2.5. Resolución de las ecuaciones del espacio de es ados
Pa a la esolución de es as ecuaciones, es impo an e p ime o sabe cuáles son los equisi os pa a
su ob ención. És as se pueden ob ene median e las ecuaciones di e enciales que ep esen an un sis ema.
Los pasos a segui a g andes asgos son los siguien es [4] [17]:
1. Iden i ica las leyes o eo ías que gobie nan el compo amien o que sigue el sis ema (Leyes de
e modinámica, Leyes dinámicas, Segunda Ley de New on, Ley de ol ajes y co ien es de
Ki cho , Ley de Ampe e, Ley de Ohm, Ley de Boyle, e c.)
2. Selecciona las a iables de es ado. Son las mínimas a iables que de e minan el compo amien o
dinámico del sis ema. En es e paso se de e mina el o den ndel sis ema que se a a es udia .
15
2 Modelado en el Espacio de Es ados
3. Encon a la dinámica de cada es ado. Es deci , se debe conoce cómo a ía esa a iable con
espec o al iempo, o lo que es lo mismo, su de i ada con espec o al iempo. En es e paso son
de inidas las ma ices A, B, C y D del sis ema ep esen ado en 2.21.
En es e abajo se explica án es mé odos pa a ob ene el alo del ec o de es ado. A pa i del
alo inicial x0, se ob end á el alo pa a cualquie ins an e de iempo k > 0, median e alguno de los
siguien es p ocesos:
P ocedimien o ecu si o
Ma iz de ansición de es ados
Mé odo basado en la ans o mada Z
2.5.1. P ocedimien o ecu si o
Es e p ocedimien o debe su nomb e al hecho de que es necesa io ealiza un p oceso i e a i o
pa a ob ene la solución. Si se ealiza dicho p oceso sob e las ecuaciones 2.3, las cuales ep esen an un
sis ema LTI a pa i de k= 0:
x(1) = Gx(0) + Hu(0)
x(2) = Gx(1) + Hu(1) = G2x(0) + GHu(0) + Hu(1)
x(3) = Gx(2) + Hu(2) = G3x(0) + G2Hu(0) + GHu(1) + Hu(2)
...
(2.27)
Lo cual gene alizado pa a cualquie k > 0queda ía de la siguien e o ma:
x(k) = Gkx(0) +
k−1
X
j=0
Gk−j−1Hu(j)(2.28)
Simplemen e obse ando la ecuación 2.28 se puede obse a que los alo es del ac ual x(k)depen-
de án an o del es ado inicial x0como de los alo es de la en ada u(j). La exp esión 2.29 de e mina
la salida del sis ema.
y(k) = CGkx(0) + C
k−1
X
j=0
Gk−j−1Hu(j) + Du(k)(2.29)
2.5.2. Ma iz de ansición de es ados
Es e p oceso es un poco más limi ado que el an e io , pues o que se p esupone que no exis e una
señal de en ada u(k), y po an o el es ado ac ual solamen e depende ía del an e io . Con i iendo
es a in o mación en una ecuación ma emá ica se ob iene lo siguien e:
x(k+ 1) = Gx(k)(2.30)
Pues o que no posee una señal de en ada, se puede exp esa la solución de la ecuación e i iéndose
al es ado inicial, pues o que és e es el único que se debe conoce pa a i a e iguando los siguien es
es ados ac uales. Es deci , se necesi a una unción que, al conoce el momen o en el que que emos
calcula el es ado, sea capaz de calcula dicho es ado a pa i del ins an e inicial. A es a unción se le
llama á ψ:
16
2 Modelado en el Espacio de Es ados
x(k) = ψkx(0) =⇒con :ψ(k+ 1) = Gψ(k)y ψ(0) = I=⇒es deci :ψ(k) = Gk(2.31)
A dicha unción ψkse le denomina ma iz de ansición de es ados, y con iene oda la in o mación
sob e mo imien os lib es del sis ema desc i o po 2.30. Es os mo imien os lib es son de los que se
hablaba an e io men e, y se e ie en a los cambios de es ado o su e olución en ausencia de la en ada
uk.
Las soluciones de la ecuación de es ado y de la ecuación de salida son las siguien es:
x(k) = ψ(k)x(0) +
k−1
X
j=0
ψ(k−j−1)Hu(j)
=ψ(k)x(0) +
k−1
X
j=0
ψ(j)Hu(k−j−1)
y(k) = Cψ(k)x(0) + C
k−1
X
j=0
ψ(j)Hu(k−j−1) + Du(k)
(2.32)
2.5.3. Mé odo basado en la ans o mada Z
.
Es e mé odo es complejo debido a que se necesi a calcula la ans o mada de algunas de las ex-
p esiones. Como se ha dicho con an e io idad, la ans o mada Z di ie e de la ans o mada de Laplace
en que la p ime a se u iliza pa a sis emas que hacen uso de señales disc e as (modelo espacio es a-
dos), mien as que el segundo se u iliza con señales con inuas ( unción de ans e encia, po ejemplo).
Pa iendo de 2.3 y ealizando la ans o mada Z a ambos lados de la igualdad se ob iene:
zX(z)−zx(0) = GX(z) + HU(z)⇔(zI −G)X(z) = zx(0) + HU(z)
⇔X(z)=(zI −G)−1zx(0) + (zI −G)−1HU(z)(2.33)
cuya an i ans o mada se ía la siguien e:
x(k) = Z−1[(zI −G)−1z]x(0) + Z−1[(zI −G)−1HU(z)] (2.34)
Si se compa a es a exp esión con la ob enida en el mé odo ecu si o 2.28, se pueden iguala algunos
é minos, con lo que queda ía:
Gk=Z−1[(zI −G)−1z]y
k−1
X
j=0
Gk−j−1Hu(j) = Z−1[(zI −G)−1HU(z)] (2.35)
2.6. Linealización de las ecuaciones de es ado
La mayo ía de los p ocesos que suceden en la na u aleza con ienen un al o g ado de no linealidad.
Po es e mo i o, es impo an e que la ciencia y la écnica sean capaces de p opo ciona mé odos de
esolución pa a es e ipo de p oblemas. Pues o que la no linealidad de un enómeno conc e o iene
unas ca ac e ís icas muy pa icula es, desa olla écnicas capaces de esol e un de e minado ipo de
17
2 Modelado en el Espacio de Es ados
El concep o de obse abilidad es á elacionado con la condición de “obse ación” o es imación
de las a iables de es ado a pa i de las a iables de salida, las cuales son gene almen e medibles.
Tiene que e con la posibilidad de de e mina el alo del ec o de es ados de un sis ema a pa i de
obse aciones de las salidas y las en adas de dicho sis ema.
“Se dice que un sis ema es comple amen e obse able si cada a iable de es ado del sis ema
a ec a a alguna de las salidas”. [10] [13]
Con el in de acla a es os é minos, se ilus a el siguien e diag ama de bloques, y una explicación
de la aplicación de la e minología sob e con olabilidad y obse abilidad.
Figu a 2.5: a) Sis ema de Con ol con ealimen ación del es ado. b) Sis ema de con ol con ealimen ación del
es ado y obse ado .
La Figu a 2.5 mues a un sis ema con la dinámica desc i a po la ecuación 2.55. Realimen ando
las a iables de es ado g acias a la ma iz de ganancia K, desc i a en la ecuación 2.56, se ob iene un
sis ema en bucle ce ado que se desc ibe median e 2.57.
˙x( ) = Ax( ) + Bu( )(2.55)
u( ) = −Kx( ) + ( )(2.56)
˙x( ) = (A−BK)x( ) + B ( )(2.57)
Es e p ocedimien o o man las bases del diseño po ubicación de polos median e el p oceso de
ealimen ación. El obje i o se ía encon a la ma iz Kde ealimen ación, al que los alo es ca ac e-
ís icos de (A−BK) engan cie os alo es p ede e minados a los que se p e ende llega . En es e caso,
se puede a i ma lo siguien e
1. El sis ema de la ecuación 2.55 es con olable si exis e una ma iz de ealimen ación cons an e
K que pe mi e que los alo es ca ac e ís icos de (A−BK)sean asignados de o ma a bi a ia.
La con olabilidad juega un papel impo an e en la ubicación de polos en los sis emas de con ol.
2. Se puede da el caso en el que no odas las a iables de es ado es én ísicamen e disponibles,
y po an o, se necesi e implemen a un “obse ado ” que sea capaz de es ima el ec o de
es ado a pa i del ec o de salida y( ), al y como se mues a en la Figu a 2.5. El ec o ¯xse
denomina ec o de es ado obse ado, y se usa pa a gene a el con ol u( )a a és de la ma iz
de ealimen ación K. La condición de que al obse ado pueda se diseñado pa a el sis ema se
conoce como obse abilidad del sis ema.
24

2 Modelado en el Espacio de Es ados
La con olabilidad se puede de ini an o pa a los es ados (Con olabilidad del es ado) como pa a
la salida (Con olabilidad de la salida). Exis en di e encias en su de inición, y se explica a con inuación
pa a un sis ema de con ol en iempo disc e o (ya que se ha explicado como disc e iza sis emas
con inuos en la sección an e io ), lineal e in a ian e en el iempo.
2.8.1. Con olabilidad del es ado comple o
Se conside a el sis ema LTI de con ol de inido po
x((k+ 1)T) = Gx(kT) + Hu(kT)(2.58)
donde
x(kT) = ec o es ado (dimensión n) en el k-ésimo ins an e de mues eo
u(kT) = señal de con ol en el k-ésimo ins an e de mues eo. Se supone cons an e pa a kT ≤ <
(k+T)T
G= ma iz de n×n
H= ma iz de n×1
T = pe íodo de mues eo
Se dice que un sis ema es de es ado comple amen e con olable, o simplemen e de es ado
con olable, si exis e una señal de con ol cons an e po in e alos u(kT)de inida a lo la go de un
núme o ini o de pe íodos de mues eo de o ma que, pa iendo de un es ado inicial, el es ado x(kT)
puede se ans e ido al es ado deseado x en npe íodos de mues eo como máximo.
Se deduce a con inuación la condición pa a la con olabilidad comple a del es ado
x(nT) = Gnx(0) +
n−1
X
j=0
Gn−j−1Hu(jT)
=Gnx(0) + Gn−1Hu(0) + Gn−2Hu(T) + ... +Hu((n−1)T) =⇒
x(nT)−Gnx(0) = [H.
.
.GH.
.
.· · · .
.
.Gn−1H]




u((n−1)T)
u((n−2)T)
.
.
.
u(0)





(2.59)
donde la ma iz Mc= [H.
.
.GH.
.
.· · · .
.
.Gn−1H]se denomina ma iz de con olabilidad.
Pues o que Hes una ma iz n×1, se iene que cada una de las ma ices que componen la ma iz
de con olabilidad es una ma iz de n×1o un ec o columna. La condición necesa ia y su icien e pa a
que el sis ema sea comple amen e con olable es
Rango[H.
.
.GH.
.
.· · · .
.
.Gn−1H] = n(2.60)
Se puede demos a que es a condición ambién es álida pa a un sis ema en el que u(kT)sea un
ec o de dimensión . [13]
25
2 Modelado en el Espacio de Es ados
2.8.2. Con olabilidad de la salida
O o caso posible que se puede encon a a la ho a de diseña un sis ema de con ol, es p e e i
con ola la salida en ez del es ado. Es e ipo de con olabilidad no necesi a que se p oduzca una
con olabilidad comple a del es ado, y po es a azón, es necesa ia de ini la po sepa ado. Es uno de
los obje i os más comunes, con ola la e olución de la salida del sis ema. En base a las ecuaciones
x((k+ 1)T) = Gx(kT) + Hu(kT)
y(kT) = Cx(kT) + Du(kT)(2.61)
donde
x(kT)= ec o es ado (dimensión n) en el k-ésimo ins an e de mues eo.
u(kT)= señal de con ol (dimensión ) en el k-ésimo ins an e de mues eo
y(kT)= ec o de salida (dimensión m) en el k-ésimo ins an e de mues eo
G= ma iz de n×n
H= ma iz de n×
C= ma iz de m×n
D= ma iz de m×
Se dice que el sis ema 2.61 es de salida comple amen e con olable (o simplemen e salida
con olable) si es posible ene una señal de con ol no es ingida u(kT), de inida en un conjun o
ini o de pe íodos de mues eo 0≤kT ≤nT ales que, pa iendo de la salida inicial y(0), la salida
y(kT)pueda se ans e ida al pun o deseado (pun o a bi a io) y en el espacio de salidas, en n
pe íodos de mues eo como máximo.
Se deduce a con inuación las condiciones necesa ias pa a que se p oduzca la con olabilidad de la
salida. La salida puede se dada po
y(nT) = Cx(nT) + Du(nT)
=CGnx(0) +
n−1
X
j=0
CGn−j−1Hu(jT) + Du(nT)(2.62)
ob eniéndose
y(nT)−CGnx(0) =
n−1
X
j=0
CGn−j−1Hu(jT) + Du(nT)
=CGn−1Hu(0) + CGn−2Hu(T) + ... +CHu((n−1)T) + Du(nT)
= [D.
.
.CH.
.
.CGH.
.
.· · · .
.
.CGn−1H]



u(nT)
u((n−1)T)
...
u(0)




(2.63)
Una condición necesa ia y su icien e pa a que el sis ema sea de salida comple amen e con olable
es que la ma iz de la úl ima exp esión de 2.63 sea de ango m, es deci
26
2 Modelado en el Espacio de Es ados
Rango[D.
.
.CH.
.
.CGH.
.
.· · · .
.
.CGn−1H] = m(2.64)
Cabe des aca que la exis encia de la ma iz D en la ecuación de salida ayuda a es ablece la
con olabilidad del sis ema. En el caso de que no exis ie a la ma iz D (salida y(kT) = Cx(kT)), la
condición necesa ia y su icien e se ía
Rango[CH.
.
.CGH.
.
.· · · .
.
.CGn−1H] = m(2.65)
En es e caso, la con olabilidad de la salida se p oduce si y sólo si los m englones de C son
linealmen e independien es.
Si se ealiza un análisis de ambos casos es udiados, la o ma en la que apa ece D iene más
p obabilidades de se con olable. Al in oduci se una columna ex a en la ma iz de con olabilidad
(la co espondien e a D), se pod ía da la si uación en la que se pase de ene m−1columnas linealmen e
independien es a m, po lo que se consegui ía la con olabilidad. Po simpli ica , encon a m ec o es
linealmen e independien es es igual o más ácil en e n+ 1 ec o es que en solo n ec o es. [13]
2.8.3. Obse abilidad
Pa a analiza la obse abilidad de un sis ema de con ol, se ha á uso de un sis ema LTI disc e o
desc i o po
x((k+ 1)T) = Gx(kT)
y(kT) = Cx(kT )(2.66)
donde
x(kT) = ec o de es ado (dimensión n) en el k-ésimo ins an e de mues eo
y(kT) = ec o de salida (dimensión m) en el k-ésimo ins an e de mues eo
G= ma iz de n×n
C= ma iz de m×n
El hecho de u iliza en es e caso un sis ema sin exci ación es que, pa a la in es igación de la
condición necesa ia y su icien e pa a la comple a obse abilidad, bas a conside a el sis ema 2.66,
pues o que las ma ices que se añaden e un sis ema con a iables de en ada son conocidas y solamen e
supond ían “complejidad” al es udio de las ecuaciones.
Se dice que un sis ema es comple amen e obse able si cualquie es ado inicial x(0) puede
de e mina se a pa i de la “obse ación” de y(kT)sob e un núme o ini o de pe íodos de mues eo,
es deci , si cualquie ansición del es ado de mane a e en ual a ec a a odos los elemen os del ec o
de salida. O a posible de inición se ía: un sis ema es comple amen e obse able si cada a iable de
es ado del sis ema a ec a alguna de las salidas.
La obse abilidad es un enómeno ealmen e ú il pa a da solución a un p oblema en el que las
a iables de es ado de un sis ema no son medibles pues o que dichas a iables no son accesibles. La
solución de la ecuación 2.66 se á
x(kT) = Gkx(0) =⇒po an o
y(kT) = CGkx(0) (2.67)
27
2 Modelado en el Espacio de Es ados
La comple a obse abilidad implica lo siguien e: conocidos y(0), y(T), y(T), ..., es posible de e -
mina x1(0), x2(0), ..., xn(0). Pues o que se necesi an encon a nincógni as, se necesi an únicamen e
n alo es di e en es de y(kT ). Es o signi ica que se pueden u iliza los p ime os n alo es de y(kT)ó
y(0), y(T), y(T), ..., y((n−1)T)que pe mi en de e mina x1(0), x2(0), ..., xn(0). Es deci , dados
y(0) = Cx(0)
y(T) = CGx(0)
.
.
.
y((n−1)T) = CGn−1x(0)
se debe se capaz de de e mina x1(0), x2(0), ..., xn(0). Realizando el análisis dimensional co es-
pondien e, se puede obse a que y(kT )es un ec o de dimensión m, y pues o que se ienen necua-
ciones, se llega a un sis ema de n×mecuaciones, odas ellas incluyendo x1(0), x2(0), ..., xn(0). Si se
ija como obje i o ob ene una solución de x1(0), x2(0), ..., xn(0) a pa i de esas n×mecuaciones, se
debe impone que exac amen e nde ellas sean linealmen e independien es, o lo que es lo mismo
Rango[C∗.
.
.G∗C∗.
.
.· · · .
.
.(G∗)n−1C∗] = n(2.68)
donde C∗signi ica la anspues a conjugada de C. Se ha llegado, po an o, a la condición necesa ia
y su icien e pa a que el sis ema de las ecuaciones 2.66 sea comple amen e obse able. La ma iz de 2.68
se conoce como ma iz de obse abilidad. [13]
2.8.4. P incipio de Dualidad
Aho a que se han de inido los concep os de con olabilidad y obse abilidad, se analiza á a con-
inuación la elación que exis e en e ambas de iniciones. Pa a ello, se conside a án los dos sis emas
siguien es
x((k+ 1)T) = Gx(kT) + Hu(kT)
y(kT) = Cx(kT)(2.69)
el cual se á nomb ado como S1. Pa a S2se end á lo siguien e
ˆx((k+ 1)T) = G∗ˆx(kT ) + C∗ˆu(kT)
ˆy(kT) = H∗ˆx(kT)(2.70)
donde
x(kT) y ˆ
x(kT) = ec o de es ado (dimensión n) en el k-ésimo ins an e de mues eo
u(kT) y ˆ
u(kT) = ec o de con ol (dimensión ) en el k-ésimo ins an e de mues eo
y(kT) y ˆ
y(kT) = ec o de salida (dimensión m) en el k-ésimo ins an e de mues eo
G= ma iz de n×n,G∗= anspues a conjugada de G
H= ma iz de n× ,H∗= anspues a conjugada de H
28
2 Modelado en el Espacio de Es ados
C= ma iz de m×n,C∗= anspues a conjugada de C
La analogía que exis e en e con olabilidad y obse abilidad se denomina P incipio de dualidad,
y se conoce g acias a Kalman. Y dice así
“El sis ema S1de inido po las ecuaciones 2.69 es de es ado comple amen e con olable (obse -
able), si y sólo si el sis ema S2de inido po las ecuaciones 2.70 es de es ado comple amen e
obse able (con olable)”.
La demos ación de es e p incipio es bas an e sencilla y se basa en las condiciones necesa ias
y su icien es pa a la con olabilidad y obse abilidad comple as. Si se esc iben ambas condiciones,
analizando ambos sis emas po sepa ado, se comp ende á mejo
1. Con olabilidad S1: Rango[H.
.
.GH.
.
.· · · .
.
.Gn−1H]=n
2. Obse abilidad S1: Rango[C∗.
.
.G∗C∗.
.
.· · · .
.
.(G∗)n−1C∗]=n
3. Con olabilidad S2: Rango[C∗.
.
.G∗C∗.
.
.· · · .
.
.(G∗)n−1C∗]=n
4. Obse abilidad S2: Rango[H.
.
.GH.
.
.· · · .
.
.Gn−1H]=n
Como se puede obse a compa ando ambas condiciones, se e idencia la e dad del p incipio
de dualidad. Median e la u ilización de es e p incipio, la obse abilidad de un sis ema dado puede
e i ica se al p oba la con olabilidad del es ado de su dual. [13]
2.9. T ans o mación de un sis ema en o mas canónicas
Exis en una se ie de las llamadas ans o maciones de simili ud las cuales son ealmen e ú iles a
la ho a de abaja en el análisis y el diseño en el dominio de es ado. Es posible que se quie a abaja
con es e ipo de ecuaciones pa icula es po di e sas azones, como se explica án a con inuación.
Se denominan ans o maciones de simili ud pues o que an o el sis ema de pa ida como el sis-
ema ans o mado conse an las mismas ecuaciones ca ac e ís icas, ec o es ca ac e ís icos, alo es
ca ac e ís icos y la unción de ans e encia. A con inuación se desc iben las ans o maciones de la
Fo ma Canónica Con olable (FCC) y de la Fo ma Canónica Obse able (FCO) a pa i del siguien e
sis ema
x(k+ 1) = Gx(k) + Hu(k)
y(k) = Cx(k) + Du(k)(2.71)
2.9.1. Fo ma Canónica Con olable
Conside ese la ma iz de ans o mación P=SM, donde
S=hH.
.
.GH .
.
.G2H.
.
.· · · .
.
.Gn−1Hi, M =







a1a2· · · an−11
a2a3· · · 1 0
.
.
..
.
.....
.
..
.
.
an−11· · · 0 0
1 0 · · · 0 0







(2.72)
29

2 Modelado en el Espacio de Es ados
donde Ses conocida como la ma iz de con olabilidad yaison los coe icien es de la ecuación
ca ac e ís ica de G, la cual es
|sI −A|=sn+an−1sn−1+· · · +a1s+a0= 0 (2.73)
De iniendo el es ado x(k)a pa i de la ma iz de ans o mación Pen unción de o o es ado ˆx(k)
x(k) = Pˆx(k)(2.74)
Se puede a i ma que el sis ema
ˆx(k+ 1) = ˆ
Gˆx(k) + ˆ
Hu(k)
y(k) = ˆ
Cx +ˆ
Du(k)(2.75)
se encuen a en Fo ma Canónica Con olable (FCC) si
ˆ
G=P−1GP =







010· · · 0
001· · · 0
.
.
..
.
..
.
.....
.
.
000· · · 1
−a0−a1−a2· · · −an−1







,ˆ
H=P−1H=







0
0
.
.
.
0
1







ˆ
C=CP, ˆ
D=D
(2.76)
donde las ma ices ˆ
Cyˆ
Dno siguen ningún pa ón en pa icula . Es e ipo de ans o maciones
iene un equisi o indispensable: que la ma iz P−1exis a, lo cual implica que la ma iz S enga in e sa,
pues o que la in e sa de Msiemp e exis e (su de e minan e es (−1)n−1, nunca ce o). [10] [13]
Es a o ma de exp esa en modo de espacio es ados una unción de ans e encia ga an iza que el
sis ema que se es é modelando sea con olable, é mino que se ha desc i o con an e io idad. Cuando
un sis ema es con olable, es deci , se pueden modi ica odos y cada uno de los es ados median e las
en adas, se puede exp esa median e su FCC. En el caso del es udio de la ayec o ia de un ehículo no
ipulado, in e esa que el modelo que simula el sis ema sea con olable, y po an o, se pod ía exp esa
según su FCC. Esa con olabilidad se á la que pe mi a al pilo o modi ica la elocidad, posición, ac i ud
y cualquie o a a iable de inida como es ado del sis ema.
2.9.2. Fo ma Canónica Obse able
Es e mé odo es bas an e simila , y se le conside a una o ma dual de la ans o mación de la FCC.
El sis ema de 2.71 se ans o ma a la Fo ma Canónica Obse able median e la ma iz Q
x(k) = Qˆx(k), Q = (MV )−1(2.77)
donde M iene de inido po la ecuación 2.72, y
V=







C
CG
CG2
.
.
.
CGn−1







(2.78)
30
2 Modelado en el Espacio de Es ados
V se denomina comúnmen e ma iz de obse abilidad, y debe cumpli el equisi o de que V−1
debe exis i pa a que la ans o mación FCO sea posible. Las dis in as ma ices in oluc adas en las
ecuaciones ans o madas queda ían de la siguien e o ma
ˆ
G=Q−1GQ =







0 0 · · · 0−a0
1 0 · · · 0−a1
0 1 · · · 0−a2
.
.
..
.
.....
.
..
.
.
0 0 · · · 1−an−1







,ˆ
C=CQ =0 0 · · · 0 1 
ˆ
H=Q−1H, ˆ
D=D
(2.79)
donde los elemen os de las ma ices ˆ
Hyˆ
Dno es án es ingidos de ninguna o ma, sino que
depende án de la unción de ans e encia de pa ida. Cabe des aca que si se analizan es as ma ices
de ˆ
Gyˆ
Cse puede obse a que equi alen a las aspues as de las ma ices ˆ
Gyˆ
Hde la exp esión 2.76,
y po ello se le denominaba o ma dual. [10] [13]
Pa a pode exp esa un modelo median e su FCO es necesa io que el sis ema bajo es udio sea
comple amen e obse able, es deci , que no haya salidas que no dependan de los es ados di ec amen e,
o dicho de o a o ma, que cada a iable de es ado a ec e a alguna salida. La p incipal en aja que
poseen es as dos ep esen aciones, FCC y FCO, son p incipalmen e la apidez con la que pueden se
calculadas. Una ez que se conozca que el sis ema modelado cumple con los equisi os de con olabilidad
u obse abilidad, ob ene el modelo de espacio es ados a a és de su ecuación di e encial o unción de
ans e encia es inmedia o, simplemen e mi ando los coe icien es. En el caso de no cumpli con dichos
equisi os, se ía necesa io ealiza cálculos más ediosos pa a ob ene las ma ices del modelo de espacio
es ados.
2.10. Desc ipción de un sis ema en pa e con olable/obse able y no
con olable/no obse able
En la p ác ica, es posible que el p oblema bajo es udio no sea comple amen e con olable/obse -
able, es deci , que engan elemen os del sis ema que sí lo son pe o o os no. Se e á en es e apa ado
que es posible descompone un sis ema en pa e con olable/no con olable y obse able/no obse able.
Es a idea esul a de u ilidad pa a un mejo análisis de los da os de un sis ema, pudiendo esol e la
pa e con olable/obse able po un mé odo y es udia minuciosamen e la pa e es an e del sis ema.
Se conside a án las mismas ecuaciones de es ado que se han enido es udiando has a el momen o,
como las de la exp esión 2.71.
2.10.1. Pa e con olable/no con olable
Una condición que se p esupone pa a que en un sis ema exis a pa e no con olable, es que su ango
sea meno que la dimensión de la ecuación de es ado, como se demos ó en las condiciones necesa ias
y su icien es pa a la con olabilidad. Es deci
Rango H GH · · · Gn−1H=n1< n (2.80)
De nue o se usa á la ma iz Pcomo ma iz de ans o mación o cambio de coo denadas, de
dimensión n, de inida como
P−1=p1p2· · · pn1· · · pn(2.81)
31
2 Modelado en el Espacio de Es ados
donde las n1p ime as columnas son linealmen e independien es pa a que se cumpla la condición de
la exp esión 2.80. El es o se eligen a bi a iamen e con el obje i o de hace Puna ma iz no singula .
Es a ans o mación (¯x=Px) lle a al sis ema a la siguien e exp esión
˙
¯xC
˙
¯x¯
C=¯
GC¯
G12
0¯
G¯
C xC
x¯
C+¯
HC
0u
y=¯
CC¯
C¯
Cx+Du
(2.82)
Los es ados en las nue as coo denadas se descomponen en
¯xC:n1es ados con olables
¯x¯
C:n−n1es ados no con olables
Figu a 2.6: Descomposición pa e con olable y no con olable
La ecuación de es ado de o den educido (pues o que se le eliminan aquellos elemen os no con o-
lables) de los es ados con olables queda ía
˙
¯xC=¯
GC¯xC+¯
HCu
¯y=¯
CC¯x+Du (2.83)
el cual es con olable y iene la misma unción de ans e encia que el es ado o iginal. Como
da o in e esan e, la unción de Ma lab c b ans o ma una ecuación de es ado en su o ma canónica
con olable/no con olable.
2.10.2. Pa e obse able/no obse able
Es e enómeno es bas an e pa ecido al an e io , pe o iene algunas di e encias debido a la dualidad
mencionada p e iamen e. En es e caso, se supond á que el ango se á
Rango 




C
CG
.
.
.
CGn−1





=n2< n, P =










p1
p2
.
.
.
pn2
.
.
.
pn










(2.84)
donde P uel e a se la ma iz pa a cambia de coo denadas y sus p ime as n2 ilas son lineal-
men e independien es, y el es o se eligen a bi a iamen e pa a que no sea singula . De nue o, con la
ans o mación ¯x=Px el sis ema queda ía
32
2 Modelado en el Espacio de Es ados
˙
¯xO
˙
¯x¯
O=¯
GO0
¯
G21 ¯
G¯
O ¯xO
x¯
O+¯
HO
H¯
Ou
y=¯
CO0¯x+Du
(2.85)
Los es ados en las nue as coo denadas se descomponen en
¯xO:n2es ados obse ables
¯x¯
O:n−n2es ados no obse ables
Figu a 2.7: Descomposición pa e obse able y no obse able
La ecuación de es ado de o den educido (pues o que se le eliminan aquellos elemen os no obse -
ables) de los es ados obse ables queda ía
˙
¯xO=¯
GO¯xO+¯
HOu
¯y=¯
CO¯x+Du (2.86)
el cual es obse able y iene la misma unción de ans e encia que el es ado o iginal. Como da o
in e esan e, la unción de Ma lab obs ans o ma una ecuación de es ado en su o ma canónica
obse able/no obse able.
33
3 Modelado de Senso es en los Vehículos Aé eos no T ipulados
Ren abilidad y p o o ipado. Requie e menos ha dwa e en compa ación con los p o o ipos
ísicos, de modo que supone meno cos e y son más ápidos de cons ui .
Fidelidad y e osimili ud. Alcanzan ni eles de idelidad inalcanzables po simulaciones pu-
amen e i uales, pues o que es os no son capaces de ep oduci comple amen e algunas de las
ca ac e ís icas o a ibu os del sis ema eal.
Velocidad de simulación. Alcanzan mayo elocidad que las simulaciones i uales de los
mismos enómenos (po ejemplo, simulaciones de mo o IC basados en Dinámica de Fluidos
Compu acional).
Repe i i idad. Aquellos sis emas que no malmen e ope an en en o nos muy a iables (po
ejemplo, los sis emas de suspensión de ehículos ue a de la ca e e a) a menudo pueden se
p obados en en o nos de labo a o io con olados a a és de la simulación HIL, que pueden
aumen a signi ica i amen e la epe ibilidad.
No al e a la na u aleza. Hace posible la simulación de e en os des uc i os (acciden es de
ehículos, in e cep ación de misiles, e c.) sin incu i en una des ucción eal, y po lo an o,
cos osa.
In eg alidad. Hace posible la simulación de un sis ema en un ango mucho más amplio de sus
condiciones de uncionamien o posibles, a a és de la c eación de p o o ipos pu amen e ísicos.
Segu idad. Se pueden u iliza pa a en ena a los ope ado es humanos (po ejemplo, pilo os de
a ión) o a sis emas c í icos pa a la segu idad (po ejemplo, a iones supe sónicos) en en o nos
signi ica i amen e más segu as (po ejemplo, simulado es de uelo).
Coexis encia de sis emas de ingenie ía. Pe mi e que di e en es equipos desa ollen las di-
e en es pa es de un sis ema en el ha dwa e sin pe de de is a los p oblemas de in eg ación,
pe mi iendo de es e modo la ingenie ía de sis emas concu en es.
Po o a pa e, el sis ema SIL co en ambién en iempo eal con RTOS (del inglés, Real Time
Ope a i e Sys ems) y si en pa a desa olla leyes de con ol y de na egación, donde odo se simula
po so wa e ( an o los senso es como los ac uado es). En el caso de los ehículos aé eos no ipula-
dos, el simulado SIL pod ía consis i en a ios o denado es en los que se simula la GCS (del inglés,
G ound Con ol S a ion), y un o denado en el que se simula el modelo de ae ona e (modelo dinámico,
ae odinámico, de masa e ine cial, ligh con ol: na egación-guiado-con ol, el sis ema de ges ión de la
misión, gene ación y en ío de las medidas omadas po los senso es y ac uado es, e c.).
En cualquie caso, ambas écnicas son u ilizadas pa a lle a a cabo expe imen os que sean lo
más simila es posibles a las ac uaciones eales que end án que ealiza los sis emas emba cados. De
es a o ma, se pueden analiza los allos o ca encias que posean los disposi i os an es de pone los en
uncionamien o, po lo que supond á un aho o conside able en el diseño de sis emas.
3.3. Senso es pa a medi dis ancias y p oximidad
Se desc iben es e ipo de senso es en p ime luga debido a su impo ancia. Den o de las dis in as
uncionalidades que puede ene un UAV, en la mayo ía de ellas se á necesa io conoce los obje os
que lo odean pa a ealiza una unción conc e a. Po ejemplo, en campañas an i-incendios se necesi a
conoce el á ea in adida po las llamas, en con ol de plagas en ag icul u a es necesa io cub i odo el
e eno con los co espondien es agen es plaguicidas, en mensaje ía aé ea ambién es p eciso conoce
el pun o exac o de en ega, e c. Es os senso es de p oximidad su gen de es a necesidad, de conoce la
posición en la que no exis e con ac o en e el ac uado y el de ec o .
Pa a odas aquellas unciones, exis en los senso es que miden la p oximidad y la p esencia de
obje os si uados a una dis ancia máxima de alcance del senso . Se desc ibi án en p ime luga senso es
40

3 Modelado de Senso es en los Vehículos Aé eos no T ipulados
que hacen uso de ca ac e ís icas eléc icas (capaci i os); después se explica án aquellos que usan p o-
piedades eléc icas y magné icas (induc i os, basados en e ec o Hall); y po úl imo los que hacen uso
de p opiedades óp icas y ul asonidos.
3.3.1. Senso es capaci i os
Cabe des aca en p ime luga la di e encia exis en e en e senso es capaci i os e induc i os. Los
capaci i os uncionan de ec ando los cambios que se p oducen en la capacidad pa ási a que se o igina
en e el de ec o y obje o que se desea medi . Son u ilizados pa a medi la dis ancia a obje os me álicos
y no me álicos, como pueden se la made a, líquidos y plás icos. Po su pa e, los senso es induc i os
es án basados en el amo iguamien o que se p oduce en el campo magné ico a causa de co ien es
inducidas (o co ien es de Foucaul ) de los ma e iales si uados al ededo del senso . En es e caso el
ma e ial debe se me álico pa a su uncionamien o.
Los senso es capaci i os se basan en el esquema ep esen ado en la Figu a 3.4. Se obse an con-
densado es gené icos, en los cuales se dispone de dos placas me álicas llamadas a madu as, sepa adas
po un dieléc ico.
Figu a 3.4: Esquemas de senso es capaci i os [22]
Los elemen os capaci i os u ilizados como condensado es son a iables, de o ma que el despla-
zamien o a medi p o oca á un desplazamien o en algún componen e del condensado , y po
lo an o, una modi icación de su capacidad. En la Figu a 3.4 se obse a cómo al ace ca un obje o
se desplaza un componen e en el condensado y po lo an o, se modi ica la capacidad. Esa a iación
pe mi e medi el desplazamien o su ido o la ce canía con el obje o.
En e las dos placas se almacena una elec icidad, la cual puede e se a iada po la modi icación
de la posición del dieléc ico o la disposición de las mismas. En el caso de placas pa alelas en e sí, el
campo eléc ico c eado en e ellas es uni o me, y la di e encia de po encial es
VR=1
a
Qd
S(3.2)
donde Qes la ca ga de cada lámina, Sel á ea, ala cons an e dieléc ica del medio, y dla
sepa ación. La capacidad del condensado es la siguien e
C=a
S
d(3.3)
El cálculo de la dis ancia a medi se basa en el p incipio de que el po encial que se almacena
es in e samen e p opo cional a la dis ancia que sepa a las placas del condensado . La ce canía con
el obje o p o oca á un aumen o de la capaci ancia. Dicho aumen o, median e el p oceso de calib ado
con enien e, es aducido a una dis ancia como señal de salida del senso . Pa a medi dis ancias mayo es
a algunos milíme os, la sensibilidad de es os senso es disminuye no ablemen e. En la Figu a 3.5 se
puede obse a cómo la ce canía de un obje o, sea o no conduc i o, implica un aumen o del campo
eléc ico.
41
3 Modelado de Senso es en los Vehículos Aé eos no T ipulados
Figu a 3.5: Esquema de senso capaci i o como de ec o de p oximidad
Una o ma ácil de simpli ica es e uncionamien o se ía: un cambio en la dis ancia se aduce en
un desplazamien o en algún componen e que p o oca cambio de capacidad, median e la a iación del
campo eléc ico, y esa capacidad es aducida a un cambio en la salida del senso pa a su pos e io
in e p e ación.
3.3.2. Senso es induc i os
Pa a u iliza es e ipo de senso es es necesa io que el obje o del cual se quie e medi su dis ancia
sea e omagné ico. Los senso es poseen una bobina y un imán pe manen e. Al coloca el iman ce ca
de la bobina y cambia de posición el obje o e omagné ico, en e ambos componen es se p oduci á
una a iación del lujo magné ico a a és de la bobina, lo que induci á una ue za elec omo iz. Es a
co ien e es la que se u iliza á como de ec o de p esencia del obje o a medi .
No malmen e son u ilizados cuando el desplazamien o ela i o en e el senso y el obje o es lineal.
Un ejemplo de senso es que u ilizan es e p incipio son los llamados ans o mado es di e enciales. Se
dispone de una bobina p ima ia cen al y dos bobinas secunda ias la e ales en olladas sob e un núcleo
magné ico, de o ma que los desplazamien os que an a medi es os senso es an a se los de es e
núcleo. Se p opo ciona una in ensidad y ensión conocidas a la p ima ia, la cual es ans o mada en
las bobinas secunda ias en in ensidades y ensiones di e en es.
Figu a 3.6: Ejemplo de ans o mado di e encial [22]
En la Figu a 3.6 se puede obse a el uncionamien o del ans o mado di e encial. El desplaza-
mien o p oducido en el núcleo magné ico se p oduce de al o ma que alguna de las bobinas secunda ias
no cub a comple amen e el núcleo. Como consecuencia de es o, la co ien e inducida en una secunda ia
se á mayo que en la o a, y a pa i de es a di e encia, se pod á medi el desplazamien o su ido po
el núcleo. Con el núcleo cen ado, la salida se á de 0V, mien as que si se desplaza a algún lado hab á
más o menos co ien e inducida en una de las dos secunda ias, la cual se aduci á en dis ancia de
desplazamien o.
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3 Modelado de Senso es en los Vehículos Aé eos no T ipulados
Figu a 3.7: Senso es capaci i os e induc i os eales (co esía de Si io ed)
Es e ipo de senso es, a pesa de no pode medi g andes desplazamien os, ienen en ajas como
su ápida espues a, al a esolución, linealidad, baja his é esis y epe i i idad.
3.3.3. Basados en e ec o Hall
Pa a u iliza un senso que se base en es e p incipio, es necesa io que el obje o a medi sea capaz de
p oduci un campo magné ico. Se ob end á una e e encia de su ce canía o del desplazamien o que ha
su ido a pa i de la di e encia de po encial gene ada como consecuencia del e ec o Hall. Es a di e encia
de po encial se á mayo cuan o más in enso sea el campo magné ico o más p óximo se encuen e el
obje o a medi .
¿Cómo uncionan ealmen e es e ipo de senso es? U ilizando la p esencia de un campo magné ico
en un semiconduc o pa a p oduci cambios en la co ien e eléc ica gene ada. Se u iliza es a p esencia o
ausencia del campo magné ico pa a p opo ciona un de e minado ni el de ensión V, como se mues a
en la Figu a 3.8. Se obse a que el campo magné ico es pe pendicula a la co ien e eléc ica que
a a iesa la placa conduc o a. Se gene a así el campo eléc ico debido a la pola ización de la placa en
lado posi i o y nega i o, compensando el campo magné ico.
Figu a 3.8: E ec o Hall [22]
En e ambos ex emos de la placa se gene a la siguien e di e encia de po encial
V=KH
B i
d(3.4)
donde KHes el coe icien e de Hall, B es la densidad del lujo magné ico, ies la in ensidad
de co ien e y del g oso de la placa. Típicamen e es e ipo de senso es se encuen an ins alados
en semiconduc o es. La elec ónica in eg ada que poseen les pe mi e p opo ciona una señal que se
encuen a ampli icada y condicionada, lo cual supone una ac uación más di ec a, ácil y económica.
En [5], p oyec o en el que se in en a mejo a el sis ema anemomé ico y de moni o ización ene -
gé ica en un UAV (P oyec o Cé i o del Depa amen o de Ae oespacial de la Uni e sidad de Se illa),
se u ilizan es e ipo de senso es basados en el e ec o Hall. En dicho p oyec o, se con aban los pasos
de las bobinas de un mo o eléc ico po un pun o es á ico median e un senso de e ec o Hall, pa a la
medición del égimen de gi o del mo o . En es e caso se u ilizó un Alleg o 1120 EUA-T. Dicho senso
ac uaba como in e up o , el cual se accionaba debido al paso del campo magné ico gene ado po cada
bobina del mo o , pues o que es a ele aba la ensión e minal del senso de 0Va 5V. De es a o ma
e a capaz de con a el iempo en e uel as, y así, la elocidad de gi o del mo o .
43
3 Modelado de Senso es en los Vehículos Aé eos no T ipulados
3.3.4. Basados en ul asonidos
Los ul asonidos son ondas con la capacidad de se e lejadas si encuen an en su camino una
discon inuidad o algún elemen o ex año en el medio en el que iajan. Son p ác icamen e iguales a las
ondas sono as, po lo que iajan a una elocidad de 340m/s, pe o poseen una mayo ecuencia (en
o no a los 20kHz, po encima del umb al del oído humano, 16kHz). Su uncionamien o es “sencillo”:
el emiso lanza un en de pulsos ul asónicos y espe a el ebo e en el ecep o , pa a medi el iempo
anscu ido pa a así calcula la dis ancia a la que se encuen a. La e lexión de la onda en el obje o a
medi se p oduce debido a la di e encia de impedancias acús icas en e el medio y el obje o.
El ango de ac uación, en cuan o a dis ancia que pueden medi es os senso es, es mayo del
que poseen los p esen ados con an e io idad. Pe o ambién cabe des aca que p esen an una se ie
de p oblemas de implemen ación bas an e comunes, los cuales di icul an las buenas mediciones de
dis ancias lejanas. Algunos de los p oblemas más comunes son:
Ángulo de incidencia. La di ección del e lejo de la onda depende di ec amen e de es e ángulo.
Cuan o meno sea, más p obable se á que no se de ec e el eco o que se p oduzcan medidas
e óneas.
Figu a 3.9: Explicación del e o p oducido debido al ángulo de incidencia
Supe icie. Una supe icie lisa ag a a el p oblema del ángulo de incidencia. Cuan a más ugosi-
dad, más supe icie donde la onda pod á ebo a y po an o, más p obabilidad de que la lec u a
sea co ec a. Se suele conclui que pa a que se p oduzca una buena e lexión, las i egula idades
deben se del o den de magni ud de la longi ud de onda del ul asonido.
Ambien e. Las u bulencias debidas a las co ien es de ai e pueden di icul a la de ección del
ul asonido. La empe a u a p o oca cambios en la densidad del ai e, y po an o, en la elocidad
con la que se p opaga la onda, con el co espondien e e o en la medición de la dis ancia.
Ce canía. Algunos de es os senso es necesi an un in e alo de iempo desde que en ían la señal
pa a p epa a al ecep o . Si el eco ebo a an es de ese iempo, no lee á la señal. Se suele deci que
se necesi a una dis ancia mínima pa a la de ección de dis ancias debido a es e iempo mínimo
de espe a.
Rango de de ección. El campo de acción de la onda ul asónica iene una o ma cónica, de
o ma que solamen e se pueden ob ene da os de los obje os den o de dicho cono. Es e hecho
limi a el ango de de ección del senso y además, supone una ince idumb e debido a que no se
especi ica la localización angula den o de dicho cono.
C oss alk. De ección de alsos ecos, p oducida en aquellas á eas en las que se usan dis in os
senso es de ul asonidos. Se p oduce c oss alk cuando una señal es ecibida po un senso dis in o
del emiso . También se p oducen e o es cuando la onda su e a ias e lexiones an es de ol e
al ecep o , lo cual p opo ciona una medida e ónea de la dis ancia.
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3 Modelado de Senso es en los Vehículos Aé eos no T ipulados
Figu a 3.10: Senso es de e ec o Hall (izquie da, Be ns ein) y ul asonidos (de echa, A duino HCSR04 [9])
3.3.5. Senso es de Espec o In a ojo
Es e ipo de senso es a menudo es de inido en apa ados de senso es de luz, pe o su p incipal
aplicación eside en el seguimien o o e i ación de obs áculos, po lo que se ha decidido inclui lo en es e
apa ado.
Los senso es in a ojos u ilizan pa e del espec o denominado in a ojo, in isible pa a el se
humano. A di e encia de o os senso es de luz, es os p esen an una baja p opo ción de in e e encias.
No p opo cionan in o mación di ec a de la dis ancia hacia un obje o en gene al (exis en modelos como
GP2D02 y GP2D12 de la emp esa Sha p que sí lo hacen), pe o sí indican in o mación ace ca de si hay
obs áculo o no en su cono de de ección, que suele se más es echo que el de ul asonidos.
Cons an de una uen e luminosa (lámpa as, diodos LED, láse , e c.) y una célula enca gada de la
ecepción de la señal, que puede se un o odiodo o un o o ansis o (ambos explicados en el apa ado
de senso es de luz). Suelen se ú iles pa a dis ancias de decenas de milíme os, o incluso algunos
cen íme os. El senso de la Figu a 3.11 de la emp esa Sha p consigue medi has a unos 24cm, lo cual
no lo con ie e en el más adecuado pa a su uso en UAVs, pues o que se a a de una dis ancia de muy
co o alcance. Es necesa io que los sis emas emba cados sean capaces de de ec a obje os en la gas
dis ancias, pa a dispone del iempo necesa io pa a oma una decisión y lle a la a cabo. Es posible
que se use como sis ema de isión de o ma complemen a ia, como po ejemplo pa a ac uaciones en el
in e io de edi icios pa a as eado de g ie as en mu os, pe o siemp e suelen es a in eg ados con algún
o o de más alcance. Es e es el undamen o del enómeno “Sense and A oid”, explicado más en de alle
en el siguien e apa ado de isión a i icial.
Figu a 3.11: Senso es de in a ojos, Sha p GP2D15)
Algunas de las aplicaciones donde su uso es común es en el seguimien o de un azado de líneas,
de pa edes y de ección de obs áculos en un ci cui o de baja elocidad. Tiene el incon enien e de se
sensible a la luz ambien e y a la e lec i idad de los obje os.
3.3.6. Visión a i icial
Cada ez más se p e ende que los ehículos aé eos no ipulados sus i uyan a los se es humanos en
dis in as labo es de localización y econocimien o, ya sea po medidas de segu idad, apidez, e icacia
o una combinación de odas ellas. Pa a que es e enómeno sea posible, es necesa io do a de una
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3 Modelado de Senso es en los Vehículos Aé eos no T ipulados
isión idimensional al UAV, pues o que el en o no en el que abaja án end á dichas ca ac e ís icas
espaciales. Apa e de es o, ambién se á necesa io implemen a algún ipo de sis ema que sea capaz de
adap a se a los cambios en sus al ededo es, pues o que el en o no de abajo eal, ue a de labo a o io,
es dinámico.
A su ez, el ámbi o en el que se abaja suele se de ipo no es uc u ado, es deci , no se ienen
conocimien os a p io i y p ecisos de cómo se an a compo a los elemen os que lo con o man. Po
ejemplo, en el caso de econocimien o de cul i os, se ienen conocimien os de lo que se espe a e , pe o
no se a a de una plan a indus ial en la que se conoce cómo an a ac ua los obo s manipulado es
en cada momen o.
Es po es e mo i o que es necesa io do a a los d ones con capacidades senso iales lo más simila es
posibles a las del se humano den o de lo posible. Pa a acla a el concep o, [22] hace un símil en e
los elemen os del ojo biológico y el sis ema isual a i icial:
Sis ema de en ada de in o mación equi alen e al ojo: es a ía o mado po un conjun o de cáma as
de ídeo y de algún sis ema de adquisición de imágenes. Más adelan e se án p ocesadas.
Sis ema de almacenamien o y p ocesamien o equi alen e al ce eb o: o mado po una a je a de
p ocesamien o y algún o denado cuya CPU se enca gue de ealiza aquellos p ocesos que la
a je a no es é capaci ada.
Sis ema de salida/ isualización (sin equi alen e en el ojo biológico): suele se un moni o pa a
mos a la in o mación que ha sido p ocesada. Lo más ecomendable es que sea en iempo eal
pa a una mayo apidez de ac uación en caso de algún imp e is o.
Exis e una amplia a iedad de cáma as que pueden se implemen adas en UAV. Dependiendo de
la unción que aya a ealiza , de la capacidad de sopo a ca ga del ehículo, de la esolución que se
necesi e, del p ecio que se es é dispues o a paga ..., se pod á escoge la más adecuada.
Exis e un g an in e és en desa olla so wa e y ha dwa e capaces de p opo ciona sis emas iables
den o del ámbi o del llamado “Sense and A oid”. Es e concep o hace e e encia a la in eg ación de odo
ipo de sis emas capaces de ealiza a eas simila es a las que puede ealiza un se humano en cuan o
a emas de segu idad y igilancia. Pa a ello, es necesa io el uso de senso es de isión a i icial capaces
de de ec a obs áculos y calcula a qué dis ancia se encuen an pa a así e i a colisiones indeseadas.
Se p e ende mejo a la calidad del “Sense and A oid” p ime o con ehículos aé eos no ipulados
de pequeño amaño, pe o con el obje i o de en un u u o implemen a lo en g andes ae ona es pa a
e o za el abajo de los pilo os o incluso, en un u u o no se sabe cómo de lejano, sus i ui los. Exis en
dos unciones cla amen e di e enciadas:
Sense. Hace e e encia a la obse ación del llamado “in uso”, pa a ob ene la mayo in o mación
posible ace ca de sus ca ac e ís icas y égimen de uelo. Como obje i os p io i a ios se encuen an
conoce el posicionamien o, umbo y elocidad. En uelos ipulados isuales VFR (del inglés,
Visual Fligh Rules), es a unción se ealiza a simple is a con ayuda de una simple adio. En
uelos ins umen ales IFR (del inglés, Ins umen al Fligh Rules) o noc u no VFRN (del inglés,
Visual Fligh Rules Nigh ) se p ecisan sis emas de ayuda a la isión del pilo o, como son es os
senso es de isión a i icial.
A oid. Es a unción es la enca gada de analiza y p ocesa la in o mación ecibida del Sense.
Debe ene la capacidad de decidi si el in uso de ec ado es con lic i o o no, si exis e iesgo de
colisión o no, y en caso a i ma i o ad e i al pilo o. En el caso de los ehículos no ipulados,
debe en ia in o mación a la es ación e es e pa a ale a al pilo o al mando. En el caso de los
d ones que se encuen en bajo el modo de pilo o au omá ico, es a unción es au ónoma, y po lo
an o, debe á de e mina y ejecu a po sí misma la maniob a ap opiada pa a e i a colisiones.
Además, ambién es necesa io que sea capaz de e o na a la u a o iginal es ablecida, po lo que
el ni el de con ol au omá ico implemen ado en es os sis emas es signi ica i o.
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3 Modelado de Senso es en los Vehículos Aé eos no T ipulados
Figu a 3.12: Di e en es ipos de cáma as de isión a i icial. U-Came a de Ai elec onics, He o 3 de GoP o,
Te acam ADC Ligh , Tau de FLIR (G upo Ac e)
En la Figu a 3.12 se pueden obse a cua o cáma as. Las dos p ime as p opo cionan imágenes
den o del espec o isible ienen peso y amaños educidos y g an calidad de imagen. La e ce a se a-
a de una cáma a mul iespec al. Se u iliza sob e odo en cul i os, pues o que las imágenes in a ojas
(basadas en el p incipio explicado an e io men e) indican cambios en la ege ación an es de que apa-
ezcan en el espec o isible. La úl ima cáma a se a a de una e mog á ica, basada en el p incipio de
la adiación del cue po neg o (en o ma ambién in a oja) en unción de la empe a u a. Los cue pos
con mayo empe a u a emi an más adiación in a oja que los que poseen menos empe a u a. [12]
3.4. Senso es de luz
Es os senso es son capaces de cuan i ica la p esencia de luz usando una se ie de disposi i os como
pueden se las células o oeléc icas. Son u ilizados pa a medi la in ensidad de luz inciden e, y algunos
de ellos son capaces de o ien a se pa a mejo a el ap o echamien o de los ayos sola es. Una aplicación
p ác ica que se le pod ía da , se ía la siguien e: en los d ones que u ilizan la ene gía sola como uen e
de ene gía, ins ala es e ipo de senso es pod ía op imiza la o ien ación de las placas sola es pa a
saca le el mayo pa ido a la incidencia de los ayos del sol.
Como se ha explicado an e io men e, den o de es e apa ado se pod ían inclui aquellas cáma as
de ídeo con ci cui e ía compleja, pe o se decidió inclui la en el apa ado de senso es de dis ancia y
p oximidad debido a su uncionalidad. Aquí se explica án los senso es de luz sencillos, como pueden
se los o odiodos, o o ansis o es y o o esis encias.
1. Fo o esis encias. También llamado o o esis o o LDR (del inglés, Ligh -Dependen Resis o ),
consis e en un disposi i o con una esis encia eléc ica cuyo alo a ía en unción de la luz
inciden e sob e él. Así, en los momen os en los que mucha (poca) luz incida sob e el senso ,
es a esis encia disminui á (aumen a á). Es a a iación suele p oduci se de mane a no lineal, es
ela i amen e len a y además no se compo a de la misma o ma al pasa de oscu o a cla o que
de cla o a oscu o.
O ecen mayo sensibilidad a la luz que los o o ansis o es. Típicamen e se ab ican con un c is al
semiconduc o o osensible, como pod ía se el sul u o de cadmio (CdS), pues o que son sensibles
a un amplio ango del espec o isible y no isible (in a ojos y ul a iole a).
Figu a 3.13: Esquema o o esis encia
2. Fo odiodos. Es e disposi i o de luz es comúnmen e u ilizado debido a que su espues a a la luz
es bas an e ápida, de o ma que se pod ía ob ene un ango de ensiones lineal pa a un ango de
47
3 Modelado de Senso es en los Vehículos Aé eos no T ipulados
luminosidad. El o odiodo es á o mado po un diodo semiconduc o , cons uido como el diodo
de unión-PN. En es e caso, el semiconduc o se encuen a expues o a la luz debido a una len e
anspa en e, y end á sensibilidad su icien e pa a la luz isible e in a oja.
El undamen o de un diodo se basa en ene un sen ido no mal de ci culación de la co ien e,
llamado pola ización di ec a. En el sen ido con a io no pe mi e pasa co ien e. Pe o en es e
caso, el o odiodo se encuen a pola izado de o ma in e sa, es deci , la co ien e que se modi ica
con los cambios de in ensidad lumínica, ci cula en sen ido in e so al pe mi ido po la jun u a del
diodo. Es a aumen a cuando el senso es exci ado po la luz.
Dependiendo de la aplicación se u iliza án unos o odiodos u o os, cuyas di e encias esiden en el
ma e ial semiconduc o u ilizado (silicio, ge manio, indio-galio-a sénico, sul u o de plomo, e c.),
con sus co espondien es ango de espec o.
Figu a 3.14: Esquema o odiodo
3. Fo o ansis o es. Al igual que el uncionamien o del o odiodo se pa ecía al del diodo, es e
senso unciona de mane a simila a un ansis o , con sus es conexiones ex e nas base-colec o -
emiso . De nue o en es e disposi i o se gene a una co ien e (colec o -emiso ) p opo cional a la
luz inciden e en él (base-colec o ), g acias a una cápsula con una en ana anspa en e pa a el
paso de la luz. De hecho, un ansis o se puede con e i ácilmen e en un senso o o ansis o
conec ando un o odiodo en e colec o y base.
Pueden p opo ciona una co ien e mucho mayo que las de un o odiodo es ánda , ya que son más
sensibles a la luz que los an e io es. Tienen, al igual que los o odiodos, un iempo de espues a
muy co o. Una ca ac e ís ica impo an e de es os o o ansis o es es que p opo ciona a iaciones
mayo es de co ien e como espues a a a iaciones de in ensidad luminosa, debido a que cuen an
con un ac o de ampli icación.
Figu a 3.15: Esquema o o ansis o
Aplicaciones inmedia as que un UAV puede ex ae de es e ipo de senso es se ía po ejemplo en
almacenamien os de na es indus iales. El ehículo con un senso de luz, pod ía de ec a cuando una
se ie de obje os apilados alcanzan una al u a de e minada pa a da la o den de comenza a amon ona
en o a columna di e en e. También se pod ía u iliza pa a conoce y ellena huecos acíos en e una
se ie de obje os en una es an e ía, lo cual aho a ía el iempo que emplea ía un se humano en de ec a
dicho espacio acío.
3.5. Senso es de Velocidad
En el caso de los ehículos aé eos no ipulados, es necesa io ene un con ol p eciso sob e la
elocidad a la que se es á desplazando, pa a así pode man ene la cons an e, anula la pa a deja lo
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3 Modelado de Senso es en los Vehículos Aé eos no T ipulados
es á ico o lle a la al máximo, po ejemplo. Se necesi a que el sis ema que acciona la elocidad de gi o
de los mo o es de sus hélices sea con olable desde un ci cui o emo o.
En es e apa ado se habla á de los acóme os o acogene ado es, los cuales son unos senso-
es capaces de medi elocidades angula es. Un acogene ado sencillo se desc ibe en la Figu a 3.16,
donde se obse a que se u iliza un in e up o que u iliza ue zas magné icas pa a ac i a se o no. Es a
ac i ación depende á de la ce canía o lejanía a la que se encuen e un dien e magne izado de la ueda
den ada, de o ma que cada ez que se ace que lo su icien e se á accionado, y de es a o ma se pod á
ob ene la elocidad de gi o. Po cada uel a, el disposi i o se ac i a y gene a á un ol aje de salida,
el cual se u iliza á pos e io men e pa a calcula dicha elocidad.
Figu a 3.16: Tacogene ado : ueda den ada acciona el in e up o magné ico [22]
El ipo más u ilizado en la ac ualidad de senso de elocidad es el acóme o de co ien e con inua.
Funcionan de mane a in e sa a los mo o es de co ien e con inua: a pa i de una elocidad angula
son capaces de ob ene una ensión de salida p opo cionales a la elocidad de gi o, es deci , consigue
ene gía eléc ica a pa i de mecánica. La Figu a 3.17 explica el uncionamien o de es e disposi i o. El
o o suele ene unas nbobinas, po lo que se p oducen 2ncon ac os al habe 2 es á o . Si el eje gi a
con una elocidad de ω, se gene a á una ensión al e na con un alo de
Vs=B Ssin (ω )(3.5)
donde B es la inducción del campo magné ico y Sla supe icie de la bobina en con ac o. Después de
calcula es a ensión al e na (p opo cional a la elocidad de gi o), se ec i ica la ensión de mane a que
se ob enga una onda p ác icamen e cons an e, Vsen la Figu a 3.17
Figu a 3.17: Esquema del uncionamien o de un acóme o. [22]
La emp esa SkyRC o ece un modelo de acóme o bas an e ap opiado pa a el ae omodelismo
an o de d ones como helicóp e os, el cual se puede obse a en la Figu a 3.18.
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3 Modelado de Senso es en los Vehículos Aé eos no T ipulados
Figu a 3.27: Medida de los pseudo angos de 4 sa éli es usados pa a iangula la posición del ecep o [3]
En la Figu a 3.27 se obse an los 4 sa éli es necesa ios pa a iangula la posición en 3D del
ecep o , en es e caso un UAV. ¿Po qué son necesa ias cua o medidas del pseudo ango? Pues bien,
pa a calcula una posición en es dimensiones bas a ía con u iliza es medidas di e en es, así se
ob end ían las coo denadas (x,y,z) o(la i ud, longi ud, al i ud). Pe o pa a esol e el p oblema del
o se de los elojes, se necesi a una medida adicional. De es a o ma se ob end ía un sis ema de cua o
ecuaciones no lineales con cua o incógni as: la i ud, longi ud, al i ud y el o se del eloj del ecep o .
El GPS es el más desa ollado y usado de los di e en es sis emas GNSS (del inglés, Global Na i-
ga ion Sa elli e Sys em). En Feb e o del 2012, el Cong eso de los Es ados Unidos ins ó a la Agencia
Fede al de A iación FAA, (del inglés Fede al A ia ion Agency), que lle a a a cabo un plan pa a la
segu idad de la ápida inco po ación de los UAVs den o del ámbi o ci il. Se pedía un aumen o de
segu idad pa a la na egación de es e ipo de ehículos pues o que u ilizaban la señal de GPS de uso
come cial y no la de uso mili a , la cual iene una mayo p ecisión y segu idad. Como ejemplo, la
Uni e sidad de Texas demos ó que e a capaz de accede a la señal GPS de uso ci il y modi ica la,
in oduciendo in o mación alsa en dichas señales ( ue on capaces de des ia el cu so de un ele o
cien os de me os que se encon aba en el Medi e áneo). Una medida pa a no es a comple amen e
expues os a es os a aques de in usismo, al y como se hace ac ualmen e y se p opone en [19], es u i-
liza uen es independien es que p opo cionen in o mación sob e la na egación. Po ejemplo , el a ión
come cial B-787 ac ualmen e u iliza a ios sis emas de GNSS como GPS (EEUU), BeiDou (China),
GLONASS (Rusia) y Galileo (Eu opa). Con a ias señales que p opo cionan la misma in o mación es
más complejo accede y modi ica los da os.
Al igual que en odos los sis emas senso iales, el GPS no se lib a de posee uen es de e o es que
son necesa ias ene en cuen a pa a mi iga sus e ec os. La p ecisión de la medida que se ob iene de
la posición depende á an o de la p ecisión de los pseudo angos como de la geome ía de los sa éli es
que el ecep o iene a su alcance. La mejo posición es o mando un e aed o con el ecep o en el
cen o de una de las ca as, y el é ice opues o a dicha ca a sob e el usua io. Pa a ene en cuen a los
e o es debidos a la geome ía, se u ilizan una se ie de ac o es denominados DOP (del inglés, Dilu ion
o P ecision). También se p oducen e o es debido al iempo de p opagación de la señal. Pues o que
es as iajan a la elocidad de la luz, po que son señales elec omagné icas, un e o de 10ns pod ía
esul a en un e o en posición de has a 3m. Algunas uen es que p o ocan e o es en los iempos de
p opagación son b e emen e desc i os a con inuación.
Da os de la e emé ides. La e emé ides es una desc ipción ma emá ica de la ó bi a del sa éli e.
Pa a calcula la posición del ecep o es necesa io conoce la del emiso con p ecisión, es deci ,
no come e e o es en esa desc ipción ma emá ica sob e su ó bi a.
Reloj del sa éli e. Los elojes u ilizados son a ómicos, ab icados de cesio y ubidio. A lo la go
del día a as an un e o de 10ns, po lo que como se dijo an e io men e p o ocan al ededo de
3m de e o en posición. Es e p oblema se soluciona ac ualizando los elojes cada 12 ho as, po
lo que el e o en posición medio es de 1 o 2 me os.
56

3 Modelado de Senso es en los Vehículos Aé eos no T ipulados
Ionos e a y T opos e a. La ionos e a es la capa más ex e na de la a mós e a, donde se p oducen
los mayo es e o es en la p opagación (al ededo de 2 y 5 me os) debido a la p esencia de
elec ones lib es. La opos e a, po el con a io, es la capa más baja de la a mós e a, donde se
concen a la mayo masa de la a mós e a. Ahí se p oduce la mayo ac i idad me eo ológica, po
lo que los cambios de p esión, empe a u a y humedad a ec a a la elocidad de la señal en iada.
Los e o es que és a in oduce son ce canos al me o.
Mul i ayec o ia. Se p oduce cuando el ecep o ecibe señales e lejadas en edi icios u o os
g andes obs áculos que p o ocan e o es po debajo de un me o en la mayo ía de las ci cuns-
ancias. Es as señales e lejadas ocul an y dañan la medida eal de la posición.
La can idad de in o mación que se ob iene a pa i del uso de GPS es bas an e llama i a. En el
p opio código de la señal que llega al ecep o se indican alo es no solo de posición, sino ambién de
elocidad, núme o de sa éli es u ilizados, ho a UTC (del inglés, Coo dina ed Uni e sal Time), DOPs,
ele ación y azimu de sa éli es, calidad del mensaje, e c. Todos es os apa ados se e án con más
p o undidad a la ho a de analiza los da os ob enidos en el o ma o NMEA p opo cionado po el
ecep o GPS.
3.9.1. Segmen os
Es e sis ema de posicionamien o y na egación consis e en es segmen os: segmen o espacial, seg-
men o de con ol y segmen o de usua io. Las Fue zas Aé eas de los Es ados Unidos son las enca gadas
del desa ollo, man enimien o y ope ación de las dos p ime as.
Segmen o Espacial. Se a a de la cons elación de los sa éli es ansmi iendo adio señales a
los usua ios. Cons a de 24 sa éli es ope acionales el 95% del iempo. Se encuen an dis ibuidos
en 6 planos o bi ales, con 4 sa éli es si uados en cada plano. Es a disposición pe mi e que cada
usua io pueda e al menos cua o sa éli es desde cualquie pun o del plane a.
Vuelan en ó bi as medias denominadas MEO (del inglés, Medium Ea h O bi ), las cuales son
ci cula es, y a una al u a de 20.200km ap oximadamen e. Cada sa éli e o bi a al ededo de la
Tie a dos eces al día.
Segmen o de Con ol. Consis e en la ed de ins alaciones que moni o izan los sa éli es de GPS,
in e p e an las ansmisiones, ealizan análisis y mandan ins ucciones y da os a las cons elacio-
nes. Son las enca gadas de ac ualiza la posición eal de los sa éli es (las e emé ides) basándose
en obse aciones, además de sinc oniza los elojes a ómicos. Las es aciones de con ol se encuen-
an dis ibuidas po odo el plane a, y cons a de: una es ación de con ol p incipal (en Colo ado,
EEUU), una es ación de con ol p incipal al e na i a (en Cali o nia, EEUU), 11 an enas de con-
ol y o den, y 15 luga es de moni o ización.
57
3 Modelado de Senso es en los Vehículos Aé eos no T ipulados
Vandenbe g AFB
Cali o nia
Al e na e Mas e Con ol S a ion
Ai Fo ce Moni o S a ion
Hawaii
Mas e Con ol S a ion
Sch ie e AFB
Colo ado
NGA Moni o S a ion
Sou h Ko ea
Aus alia
Bah ain
Sou h A ica
Uni ed Kingdom
Ecuado
USNO Washing on
Alaska
New
Zealand
AFSCN Remo e T acking S a ion
Ascension Diego Ga cia
Cape Cana e al
Flo ida
Kwajalein
G ound An enna
New Hampshi e
G eenland
Guam
Upda ed Ap il 2016
GPS Con ol Segmen
Figu a 3.28: Segmen os de Con ol de GPS
Segmen o de Usua io. El GPS se ha con e ido en los úl imos años en uno de los pila es
ecnológicos en los que se basan nume osas aplicaciones que se u ilizan de o ma co idiana. El
segmen o de usua io cons a de los ecep o es que poseen los usua ios de GPS pa a ob ene
su posición a pa i de las señales ecibidas. Es e ecep o debe con ene un eloj de cua zo
pa a sinc oniza lo con los elojes de los sa éli es y así ob ene una medida más iable de la
posición. Es os ecep o es deben ambién decodi ica el mensaje en iado po el sa éli e. Suelen
es a o mados po : an enas, ecep o es, mic op ocesado es, almacenamien o de da os pa a el
cálculo de u as, unidades de con ol pa a acili a el uso al usua io, en e o as. Algunas de las
p es aciones de es e disposi i o son las siguien es:
•Ac ualización de la posición de 0.5 a 1 segundo
•P ecisión en o no a los 15m
•P ecisión de 0.1m/s en cuan o a la elocidad del usua io
•P ecisión de 100ns en cuan o a la e e encia empo al
3.9.2. Disponibilidad, In eg idad y Con inuidad
La p incipal limi ación con la que cuen a es e sis ema es con la dependencia de los Es ados
Unidos, más en conc e o con el depa amen o de de ensa. Se es án desa ollando o os sis emas de
posicionamien o global como son el Galileo (Eu opa) o GLONASS (Rusia) pa a palia es a dependencia,
ya que en cualquie momen o pod ían decidi limi a el uso del GPS po pa e de la población ci il.
Ac ualmen e el sis ema GPS es el que consigue una mayo p ecisión con espec o al es o de
sis emas de na egación en uso. Sin emba go, la p ecisión de un sis ema no es la única a iable a ene
en cuen a a la ho a de u iliza un sis ema u o o, pues o que exis en o os concep os como pueden se
su disponibilidad, in eg idad y con inuidad. En es e apa ado se desc iben b e emen e.
Disponibilidad. Po cen aje de iempo que dicho sis ema se encuen a u ilizable, den o de su
á ea especi icada de cobe u a. El concep o de u ilizable hace e e encia a que cumpla unos
equisi os mínimos p e iamen e especi icados pa a que la in o mación que p opo ciona sea míni-
mamen e iable. Un ejemplo ípico se ía limi a alguno de los DOP a alo conc e o, po debajo
del cual no se end á en cuen a la señal ecibida y po an o los da os con enidos en ella. El
á ea de cobe u a del GPS incluye oda la supe icie e es e, aunque hay que ene en cuen a
el ángulo de ele ación del sa éli e en el ho izon e a pa i del cual se conside a isible pa a el
ecep o , llamado “ángulo de másca a”. És e se á mayo en en o nos u banos que despejados.
58
3 Modelado de Senso es en los Vehículos Aé eos no T ipulados
In eg idad. Capacidad del sis ema pa a con ola que el p opio sis ema no debe se u ilizado,
ya sea po que no se encuen e ope a i o o po que posea e o es. Se le conside a un pa áme o que
equi ald ía a una medida de con ianza que se pueda ene en el sis ema. Los e ec os de adiación
del espacio que al e en los elojes o la elec ónica, los allos de los sa éli es, o el e o humano
de so wa e o ha dwa e en el segmen o de con ol son algunas de las causas que p o ocan que la
in eg idad del sis ema no se la espe ada. La p obabilidad de que sucedan es e ipo de allos son
bajos, pe o inadmisibles pa a aplicaciones de na egación aé ea.
Pues o que se a a de un pa áme o ealmen e impo an e pues o que en él eside la con ianza
en el sis ema, se han desa ollado di e sos p ocedimien os pa a aumen a la in eg idad del GPS.
Una de las écnicas más conocidas es el GPS di e encial oDGPS (del inglés, Di e en ial
GPS). Se a a de u iliza una se ie de es aciones en ie a (GBAS, del inglés, G ound-Based
Augmen a ion Sys ems) cuya posición se conoce con g an p ecisión. Es as es án equipadas con un
ecep o GPS y se encuen an en comunicación con el usua io, pa a p opo ciona mayo p ecisión
a la señal del sa éli e.
Figu a 3.29: Ejemplo de DGPS basado en GBAS
Con inuidad. P obabilidad de que el sis ema de na egación pueda se usado de mane a con inua
du an e la ealización de una misión u ope ación. Que pueda se usado hace de nue o e e encia
al concep o p e iamen e de inido de “u ilizable”, es deci , que cumpla unos equisi os mínimos
impues o po la ope ación a ealiza , y que de nue o pod ían se exp esados en é minos de los
DOPs. Dependiendo de la misión u ope ación que se lle e a cabo, la con inuidad se á una u o a,
pe o en cualquie caso se encon a á ín imamen e ligada con allos no plani icados en los sa éli es.
La p obabilidad de que en un sa éli e se p oduzca un allo que p oduzca que dicho sa éli e deje
de emi i de o ma no plani icada es del 0.0001 %.
Muchos sis emas mili a es de na egación ine cial pod ían se eemplazados con sis emas con
menos iabilidad y cos e si se ga an iza a la con inua disponibilidad del GPS. Es a con inua
disponibilidad se i ía pa a ac ualiza al sis ema ine cial y limi a así su e o , el cual se p opaga
a lo la go del iempo. Pues o que no es á ga an izada, se desa ollan sis emas al e na i os de
na egación ine cial más cos osos pe o cuya iabilidad es mucho mayo , debido a que se conoce
que no a a su i a aques ex e nos. [19]
59
4|Fil o de Kalman
Es a sección se cen a á en la explicación, o mulación y análisis de una he amien a muy común-
men e u ilizada, el Fil o de Kalman. Se á necesa io comp ende sus exp esiones y algo i mos pa a
el p oblema que se encuen a bajo es udio. Es muy ípico encon a es e ipo de p ocedimien o en
mul i ud de sis emas, ya que o ece una amplia gama de aplicaciones en di e sos ámbi os.
En es e caso, pues o que el obje i o inal es implemen a en Ma lab una simulación median e la
cual se puedan in eg a dos señales ecibidas po un UAV, señal GPS y señal de una IMU. Se explica án
ambién o os ipos de il os u ilizados ac ualmen e.
(EXTENDER CUANDO TERMINES)
4.1. In oducción
El il o de Kalman ue desa ollado en p ime luga pa a su uso en la na egación de ae ona es,
pe o su implemen ación se ha is o ampliada, aba cando odo ipo de ámbi os y campos. Su p incipal
uso eside en es ima los es ados de un sis ema, de los cuales se ha hablado con an e io idad en es e
abajo. Dichos es ados suelen ene una p opiedad común la cual hace necesa ia que se le apliquen
es e ipo de il os: solamen e pueden se obse ados de o ma imp ecisa po el p opio sis ema. Es o
es debido a que el es ado de un sis ema es p opo cionado po los da os p oceden es de los sis emas
senso iales an e io men e de allados, los cuales se han is o que poseen di e sas uen es de uido
que p oducen e o es en las medidas. Po es e mo i o se ha decidido aplica es e ipo de sis ema de
il ado pa a mejo a la calidad de las señales ecibidas (en el caso de GPS) o de los da os ob enidos
(en el caso de la IMU). Exis en o o ipo de azones po las cuales ha sido elegido es e il o, como su
a ac i o debido a que minimiza la a ianza del e o de la es imación, las cuales se án explicadas más
adelan e.
El obje i o de es e apa ado es in oduci los concep os básicos sob e los algo i mos del Fil o de
Kalman, y u iliza los en una simulación pa a esol e un p oblema eal sob e la na egación de un
ehículo, en es e caso aé eo y no ipulado. Es e mé odo p opo ciona una he amien a su icien emen e
iable pa a es ima la posición (o cualquie o a a iable a con ola ) ac ual del ehículo.
En el momen o de la ob ención de da os median e las señales mencionadas an e io men e, es
ine i able que se p oduzcan e ec os indeseados de uido, los cuales pueden co ompe el mensaje.
Un buen algo i mo de il ado debe ía se capaz de elimina es e uido de las señales (el acumulado
al u iliza un acele óme o, al a a esa la a mós e a la señal de GPS, e c.) a la ez que e iene la
in o mación ú il que se desea ob ene . Es po ello que an e io men e se han de allado las uen es de
e o es de odo ipo de senso es, po que un mejo conocimien o del o igen de es e e o p opo ciona
in o mación necesa ia pa a diseña un modelo lo más ealis a posible.
4.2. ¿Qué es el il o de Kalman?
El il o de Kalman es un p oceso ma emá ico i e a i o que u iliza una se ie de ecuaciones y da os
de en ada cons an es pa a ápidamen e es ima el alo eal de la posición, elocidad, o cualquie a
que sea la a iable, del obje o medido, cuando los alo es medidos con ienen e o es imp edecibles o
alea o ios, ince idumb e o a iación. Se dice que es un p oceso ápido pues o que es capaz de ace ca se
al alo eal omando un núme o ela i amen e bajo de esos da os de en ada.
60
4 Fil o de Kalman
Figu a 4.1: P oceso i e a i o del Fil o de Kalman
En la Figu a 4.1, ob enida de [24], se mues a a g andes asgos, un diag ama de los p incipios en
los que se basa en il o de Kalman. Se á ealmen e ú il cuando llegue el momen o de explica las es
p incipales ecuaciones o cálculos necesa ios. En la misma igu a se puede e que de hecho se a a de
un p oceso i e a i o.
El p ime é mino que se necesi a calcula , en cada i e ación, es el llamado “Ganancia de Kalman”.
Después, se á calculado la “Es imación Ac ual”, la cual signi ica que se p ocede á a ac ualiza el alo
es imado. Po úl imo, el “Nue o E o en la Es imación” se á ecalculado a pa i de los dos cálculos
an e io es. Se u iliza á po comodidad el é mino e o siemp e como sinónimo de ince idumb e. Los
cálculos de es os es é minos de e mina án las es p incipales ecuaciones mencionadas an e io men e.
Es os son los equisi os y la uncionalidad de cada uno de los é minos:
Ganancia de Kalman. Se necesi a án dos da os, el e o en la es imación y el e o en la
medida, como se puede obse a en el diag ama de la Figu a 4.1 (dos lechas llegan a la ganancia
de Kalman).
•P ime o, el e o en la es imación, que puede se an o el e o en el an e io o si es el
caso de la p ime a i e ación, el e o o iginal. La es imación, como se e á más adelan e,
es á basada en el modelo dinámico que se emplee pa a modela el sis ema. Po ejemplo, en
el caso del seguimien o de una ayec o ia de un UAV, el modelo se egi á po las leyes de
New on de la Cinemá ica x=x0+ + 1/2a 2. El e o en la es imación se p oduce en el
in en o de pasa a modelo ma emá ico un p oblema eal, pues o que se come en allos an o
debido a ap oximaciones, como a edondeos, simpli icaciones, e c.
•Segundo, el e o en el da o de en ada ecibido en ese ins an e. És e es debido a los
e o es que se come en al oma medidas con senso es, y depende á del sis ema senso ial
que se es é u ilizando. En el apa ado an e io se han explicado los di e en es e o es que
se come en con los di e en es senso es. En el caso bajo es udio, donde se oma án da os de
un GPS y una IMU, los e o es se án los co espondien es a dichos sis emas. Po comen a
algún ejemplo, el GPS come e e o es de sinc onización en e sus elojes, y la IMU acumula
e o es a lo la go de la ayec o ia.
El obje i o de la Ganancia de Kalman se á ponde a una impo ancia ela i a en el p ime e o
(de la es imación EEST ) e sus el segundo e o (da o de en ada), llamado en es e caso EMEA
61

4 Fil o de Kalman
debido al inglés measu emen .
KG =EEST
EEST +EMEA
KG ∈[0,1] (4.1)
Se ha que ido explica el signi icado de es a ecuación median e el esquema de la Figu a 4.2. La
Ganancia de Kalman puede oma alo es comp endidos en e 0 (baja) y 1 (al a). ¿Qué signi ica
ob ene una ganancia de Kalman al a? Como se obse a en el esquema, una ganancia de Kalman
al a implica que el E o de la Es imación es g ande compa ado con el E o de la Medida. Y
si el E o de la Medida es más pequeño que el E o que se ha es imado, in e esa ene más
en cuen a la medida (da o ob enido), y “desp ecia ” el alo de la es imación po que con iene un
e o al o. Es e concep o de da más impo ancia a un alo que a o o es la unción p incipal de
la ganancia de Kalman, como se e á al ealiza el siguien e cálculo: Es imación Ac ual.
Figu a 4.2: Explicación del uso de la Ganancia de Kalman
Es imación Ac ual. Pa a el cálculo de la es imación ac ual EST se necesi a án es a iables
( es lechas llegan a la es imación ac ual), al y como se puede e en el diag ama de la Figu a
4.1: la es imación an e io EST −1, el alo medido po el senso MEA, y la ganancia de Kalman
calculada an e io men e KG. Es a es imación se ige po la siguien e exp esión, en las cuales
apa ecen dichas a iables
EST =EST −1+KG[MEA −EST −1]
=EST −1[1 −KG] + KG ∗MEA (4.2)
•P ime o, la es imación an e io . Como se ha dicho con an e io idad, el il o de Kalman
es un p oceso i e a i o, y po lo an o, en cada i e ación, cualquie a que sea la es imación
ac ual pa a un iempo pasa á a se la es imación an e io en el iempo +1. En el diag ama
de la Figu a 4.1 se obse a que la es imación an e io se puede ob ene de dos o mas: si
es la p ime a i e ación se le asigna á un alo o iginal que se conside e opo uno, y si se
a a de la segunda o siguien es i e aciones, co esponde á a la an e io es imación ac ual.
Una de las ca ac e ís icas más impo an es del il o de Kalman que lo hacen an especial
eside en dicho “ alo o iginal” que se le asigna al comienzo del p oceso. Es e il o iene la
p opiedad de que no impo a qué alo es de e minado como inicial, pues o que ápidamen e
se á capaz de ace ca se al alo eal basándose en los e o es.
•Segundo, el alo medido po el senso . Es e es el da o de en ada que se ecibe de los
senso es, en es e caso, del GPS y/o de la IMU. Es os senso es p opo ciona án da os sob e
62
4 Fil o de Kalman
posición y elocidad que, como ya se ha explicado, con ienen uen es de e o es, y según
el g ado de e o que con engan las señales, se end án más o menos en cuen a a la ho a de
calcula la nue a es imación.
•Y e ce o, la ganancia de Kalman. Pues bien, ha llegado el momen o de decidi . En es-
e pun o se iene: una es imación an e io (a pa i de la cual, con el modelo ma emá ico
co espondien e se consegui á calcula la es imación ac ual) con su co espondien e e o , y
unos nue os da os de en ada con sus co espondien es e o es. ¿Cómo decidi a qué alo
de es os da le más impo ancia? ¿Se oma uno y se desp ecia el o o po comple o? Pa a
esponde a es as p egun as se dispone de la ganancia de Kalman y de la ecuación 4.2. La
ganancia de Kalman se á la he amien a u ilizada pa a ponde a en e ambos alo es basán-
dose en cuál de los dos posee un mayo e o , como se indicó en la Figu a 4.2. A endiendo
a la ecuación, se obse a cómo,
◦si la ganancia de Kalman es al a (KG=1, e o en la es imación al o), el é mino
EST −1[1 −KG]se anula ía pues o que con iene al o e o , mien as que el é mino
KG ∗MEA se man end ía po que el e o en la medida es bajo (en compa ación con
el de la es imación).
◦si la ganancia de Kalman es baja (KG=0, e o en la medida al o), el é mino KG ∗
MEA se anula ía po que con iene al o e o , mien as que el é mino EST −1[1 −KG]
se man end ía pues o que el e o en la es imación es bajo (en compa ación con el de
la medida).
Nue o E o en la Es imación. Pa a es e apa ado se necesi a án dos a iables (dos lechas
llegan a es e pun o en la Figu a 4.1): la es imación ac ual y la ganancia de Kalman. Es deci , los
dos pasos an e io es son necesa ios pa a calcula es e e o .
EEST =EMEAEEST −1
EMEA +EEST −1
=⇒EEST = [1 −KG]EEST −1(4.3)
Es en es e pun o en el que comienza la nue a i e ación, y po lo an o el é mino EEST −1, hace
e e encia al e o en la es imación calculada jus o en el apa ado an e io , en donde se hablaba
de ac ual pe o que ya ha pasado a se la an e io .
Es in e esan e des aca que el e o en la es imación ac ual siemp e se á más pequeño que el
an e io , debido a que KG ∈[0,1]. Cuan o mayo sea KG, más ápido encon a á el alo
e dade o.
En cada i e ación, algunos alo es son ob enidos del p oceso i e a i o, los cuales se án usados pa a
ob ene un mejo esul ado de aquello que se es é calculando. En el caso bajo es udio se á la posición
y la elocidad de un sis ema UAV median e simulación de la oma de da os de un GPS y una IMU.
Cuan as más i e aciones se ealicen, más p ecisos se án es os alo es ob enidos.
4.3. El modelo mul idimensional
En la sección an e io se in oducen unas b e es pinceladas de sob e qué a a el il o de Kalman,
así como las ecuaciones y cálculos básicos con el in de en ende el p oceso. Pe o el p oblema bajo
es udio es más complicado que eso, pues o que es necesa io ene en cuen a no sólo una medida en
cada ins an e de iempo, sino que se ob ienen a ios da os de en ada ( es medidas pa a las es
di ecciones de la posición, o as es pa a las de la elocidad, e c.). Po ello, es necesa io explica el
modelo mul idimensional de es e ipo de il os.
63
4 Fil o de Kalman
Figu a 4.3: P oceso I e a i o que explica el modelo mul idimensional median e las ecuaciones del algo i mo
En la Figu a 4.3 se in en a ep esen a los di e en es pasos a segui a la ho a de implemen a el
il o de Kalman median e las ecuaciones que componen el algo i mo. Se in en a á desa olla cada uno
de los ecuad os señalados indicando qué signi ica cada a iable y pa a pos e io men e acla a cómo se
calcula cada una de ellas.
a) Es ado Inicial. Es ado desde el cual pa e la simulación o el modelado del sis ema. Cons a
de
x(0) = Ma iz de es ados iniciales. En dicha ma iz se inclui án los alo es iniciales de las a iables
que se quie en il a . En el caso del mo imien o de un ehículo, no malmen e se es udia án la
posición y la elocidad, y po lo an o, es a ma iz cons a á de 6 elemen os: las 3 coo denadas
en posición y las 3 coo denadas en elocidad.
P(0) = Ma iz de la co a ianza inicial del p oceso. Hace e e encia a los e o es en las es-
imaciones, de los cuales se habló an e io men e. Es e es el é mino que co esponde con el
nume ado de la ecuación 4.1. Pos e io men e se explica á cómo se cons uye es a ma iz.
b) Es ado An e io . En la p ime a i e ación el es ado inicial se con ie e en el es ado an e io .
Una ez que se comience a ealiza el p oceso comple o, es e es ado an e io end á de inido po los
cálculos p opios del es ado en un ins an e (ac ual) y no del inicial. En es e pun o las ma ices x(k-1)
yP(k-1) signi ican lo mismo que en el paso an e io , ma iz de es ados y ma iz de co a ianza del
p oceso (e o en la es imación).
c) Nue o Es ado. A es as al u as ya se puede p edeci el es ado ac ual kpen el que se encuen a
el sis ema. Las ecuaciones co espondien es a es e pun o son las siguien es
x(0) =⇒x(k−1) =⇒x(kp) = Ax(k−1) + Bu(k) + w(k)
P(0) =⇒P(k−1) =⇒P(kp) = AP(k−1)AT+Q(k)(4.4)
donde
64
4 Fil o de Kalman
x(k) = Ma iz de es ados del sis ema en el ins an e ac ual k(posición ac ual, elocidad ac ual,
o cualquie o a a iable que se es é conside ando). Es a p ime a ecuación de la exp esión 4.4 se
denomina “Ecuación de es ado”.
u(k) = Ma iz de a iables de con ol en el ins an e ac ual k. En el caso bajo es udio, donde se
p e ende con ola un ehículo que uela al ai e lib e, una de esas a iables de con ol pod ía se
po ejemplo la g a edad. Es a acele ación de la g a edad es cons an e y a ec a di ec amen e a
la posición del ehículo en cada ins an e, po lo que se ía necesa io modela la como una a iable
de con ol.
w(k) = Ma iz del uido en el es ado calculado. Como se ha hablado an e io men e, pasa
de un modelo eal a un modelo ma emá ico implica e o es de ap oximaciones, edondeos o
simpli icaciones que deben se enidos en cuen a en algún pun o. De ello se enca ga es a a iable
w(k). Cuan o más p óximos es én el modelo simulado y el modelo eal, meno se á es a a iable.
P(k) = Ma iz de la co a ianza del p oceso. La unción es la misma que la explicada en el
es ado inicial: el e o en la es imación calculada. Se e á cómo es necesa io conoce la ma iz
Ay su aspues a pa a ac ualiza la en cada i e ación. Es a depende de la co a ianza calculada
an e io men e y de la co a ianza del uido del p oceso Q
A,B = Ma ices u ilizadas pa a con e i el es ado de en ada en el es ado nue o (A), y las
a iables de en ada en es ado nue o (B). Dependiendo del modelo que se ealice del sis ema se á
necesa io u iliza unas ma ices u o as. Más adelan e se explica á ambién cómo se o man es as
ma ices dependiendo de las a iables que se oman como es ados y del modelo u ilizado.
Q= Ma iz de la co a ianza del uido del p oceso. La unción p incipal de Qes p e eni que la
ma iz Pde co a ianza del es ado se con ie a en un alo muy pequeño o e en ualmen e que
llegue a ce o. Si Pllegase a ale ce o, signi ica ía que las medidas omadas po los senso es
que se es án u ilizando se ían igno adas po comple o, aunque u ie an una in o mación de g an
alo . [24]
En la p ime a ecuación de 4.4, se puede obse a , po an o, cómo pa a calcula el nue o es ado
(po ejemplo, la nue a posición del obje o), es necesa io conoce el es ado an e io (la posición an e io ),
la acele ación que su e el ehículo (o cualquie o a a iable de con ol que a ec e a su ayec o ia), y
el e o p oducido po modela un sis ema eal (si se u ilizan las leyes de la Cinemá ica se desp ecia el
ozamien o, po ejemplo).
d) En ada de la medida. Aquí en a en juego el papel de los senso es. Es os son los que
oman las medidas y en es e paso es en el que esas medidas se p ocesan pa a inclui las en el p oceso
de il ado de la señal. Pa a p ocesa esa medida es necesa io ene en cuen a la siguien e exp esión
y(k) = Hx(km) + z(k)(4.5)
que es la denominada “Ecuación de salida”, y donde
y(k)= Es el alo que se in oduce en el p oceso de il ado, el cual co esponde a la medida
omada po el senso x(kM), pe o a la cual se le añade el co espondien e alo del e o que co-
me e el senso z(k). El nomb e puede da luga a con usión, pues o que comúnmen e se denomina
ecuación de salida (salida del senso , pues o que saca da os), pe o que aquí se le ha nomb ado
como en ada de la medida (pues o que es el da o que en a en el il o)
x(kM)= Medida (de ahí el subíndice kM) omada di ec amen e po el senso . Es a a iable
ípicamen e es un ec o de da os, como po ejemplo, las 3 da os pa a la posición y 3 da os pa a
la elocidad.
65
5 Caso p ác ico - Simulación en Ma lab del Fil o de Kalman
x. Es e hecho se á impo an e pa a explica el esul ado ob enido al inaliza la simulación del
il o.
w= E o en el p oceso.
Q=Pn−1
i=0 (wi−¯w)(wi−¯w)T
n−1=⇒donde
¯w=Pn−1
i=0 (x −1−x −i−1)
n
wi= (x −1−x −i−1)
(5.2)
R= Ma iz de co a ianza del uido de los senso es.
z= E o en la medida.
R=Pn−1
i=0 (zi−¯z)(zi−¯z)T
n−1=⇒donde
¯z=Pn−1
i=0 (y −i−H −ix −i)
n
zi= (y −i−H −ix −i)
(5.3)
Los cálculos ealizados en Ma lab se pueden encon a en el apéndice B. Según [11] y [24], a la
ma iz de co a ianza del p oceso P se le puede asigna un alo cualquie a pues o que su alo se a
ac ualizando en cada i e ación del il o y iene la peculia ca ac e ís ica de que con e ge ápido a su
alo eal. También en es a li e a u a se indica que se u iliza una ma iz diagonal, de o ma que se
imponga la no exis encia de co elación en e las a iables de es ado. En el caso bajo es udio, es o
signi ica que el desplazamien o p oducido en una a iable de es ado xno a ec a al desplazamien o en
las o as dos a iables de es ado yyal i ud, y con es as dos el mismo caso. Con es o, se ha decidido
asigna a P el alo siguien e
P=

700
070
007

(5.4)
5.3. Resul ados ob enidos de la simulación
Una ez que se han de inido odos los pa áme os pa a implemen a el il o de Kalman, se comienza
con el p oceso i e a i o, al y como se mos aba en el diag ama de la Figu a 4.3. De es a o ma, al
y como se puede islumb a en el código ejecu ado en el apéndice B, se pueden ob ene unos da os
sob e una ayec o ia es imada, basada en los da os ob enidos po el GPS y po Google Maps. El
il o de Kalman asegu a ob ene un esul ado en el cual la a ianza del e o es la mínima, es deci ,
la ayec o ia es imada una ez lle ado a cabo el algo i mo del il o se á la más pa ecida a la
ayec o ia eal (la que cuen a con menos e o ).
La Figu a 5.5 se ha gi ado y colocado de o ma que se ea lo más cla o posible el e ec o del il o
sob e las señales.
La g á ica en colo e de discon inua se co esponde con los da os ob enidos del GPS. Como se
puede obse a , la al i ud p opo cionada po el GPS no es muy iable, pues o que se conoce que la
ayec o ia calculada ue omada en un puen e, el cual no a ía de al i ud del o den de los 8 me os
(de 166m a 174m) al y como se e en la igu a.
72

5 Caso p ác ico - Simulación en Ma lab del Fil o de Kalman
La g á ica en colo azul discon inua co esponde con los da os calculados a pa i de Google Maps.
Se obse a cla amen e que se a a de un mo imien o ec ilineo, pues o que la al u a es comple amen e
cons an e e igual a 167m. És a di ie e un pa de me os de los 169m que se ob ienen de media si se
oman los da os del GPS. Es a ayec o ia se puede deci que es aquella que se in en aba ob ene
cuando se oma on las mues as. Se p e endía ci cula a elocidad cons an e en un amo donde la
al u a con espec o al ni el del ma uese lo más cons an e posible, po lo que su gió la idea de oma
mues as sob e un puen e.
¿Cuál es el p oblema? Que exis en múl iples ac o es que in oducen e o en es os da os. Pa a
empeza , es muy di ícil con ola que la elocidad de un ehículo sea comple amen e cons an e. Po ello
se decidió u iliza un coche que u iese la opción de conduci con elocidad de c uce o, pe o aun así no
se asegu a que dicha elocidad no a íe en ningún pun o. A la ho a de con ola el coche, ambién una
uen e de e o eside en los pequeños desplazamien os que se p oducen po mo imien os en el olan e.
También es posible que se des íe de la ayec o ia ideal debido a ue zas ex e nas, como pueden se la
acción del ien o o i egula idades en el e eno. Y po supues o, los alo es han sido omados po una
he amien a como Google Maps, la cual no se lib a de e o es a la ho a de p opo ciona la posición
del pun o que se señale en el mapa. Con es o se p e ende deci que es a “señal ic icia” dis a ambién,
aunque en meno medida, de la ayec o ia eal seguida po el ehículo.
4.93454.9354.9355
x 106
−6.046−6.0455−6.045−6.0445−6.044−6.0435−6.043−6.0425
x 105
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
Eje Y
Fil ado de señales de GPS y Google Maps
Eje Z
Da os GPS
Google Maps
Kalman
Figu a 5.5: Compa ación de las señales GPS, Google Maps y il o de Kalman en al i ud
Ob ene una ayec o ia que dis e lo menos posible de la ayec o ia eal es el obje i o po el que
se ha ealizado es a simulación. In ui i amen e, la ayec o ia eal que se ha seguido con el ehículo
se á bas an e pa ecida a la ayec o ia calculada po Google Maps, en el sen ido de que se ía muy
simila a una línea ec a, pues o que las des iaciones p oducidas po los ac o es de e o explicados
en el apa ado an e io son pequeños en es e caso.En el caso de es udia un UAV de e dad, dichos
ac o es cob a ían más impo ancia debido a que son más sensibles a pe u baciones ex e nas, debido
a su meno peso, amaño y es abilidad. Es deci , es más ácil que se des íe un UAV 3 me os debido a
á agas de ai e que a un coche. Dicha ayec o ia casi ec ilínea se ía in e esan e dibuja la ambién en
la Figu a 5.5, pa a de e dad comp oba lo que se p e ende en es a simulación: que la ayec o ia de
Kalman es la más ace ada a la ho a de es ima una ayec o ia eal.
Cen ados de nue o en la Figu a 5.5, se obse a cómo la ayec o ia es imada po el il o de
Kalman (en colo ojo, con inua) se encuen a en odo momen o en un pun o in e medio en e la señal
de GPS y la señal de Google Maps. Se ecue da que es o es debido a que la ganancia de Kalman
e a un ac o que ponde aba la impo ancia ela i a que se le debe da a una señal con espec o a la
o a, basándose en el e o en cada momen o. Es deci , en cada i e ación cuando se ob ienen nue os
73
5 Caso p ác ico - Simulación en Ma lab del Fil o de Kalman
da os, la ganancia de Kalman ha á que el nue o da o de la es imación cons e de un po cen aje de una
señal (po ejemplo, ganancia de Kalman=0.6 implica que oma á un 60 % de la señal GPS) y de o o
an o po cien o de la o a (en es e caso end ía un 40% de la señal de Google Maps).
Se obse a cómo al p incipio de la g á ica la ayec o ia de Kalman se encuen a en un alo más
ce cano al GPS y luego se ap oxima cada ez más a la señal de Google Maps. El inicio de la ayec o ia
de Kalman es an inexac o debido a que se de inió en p ime luga una P alea o ia y de alo al o
pa a, de hecho, comp oba que dicha ma iz con e ge y se a ace cando cada ez más al alo que posee
meno e o , en es e caso la ayec o ia de Google Maps. Pa a isualiza mejo es e hecho, la Figu a
5.6 se co esponde con una ma iz P que en luga de se una diagonal de alo 7, es una diagonal de
alo 1. Se obse a cómo la g á ica de la ayec o ia de Kalman comienza más p óxima al alo más
ace ado, en es e caso la señal de Google Maps, la cual posee menos e o es que la de GPS (en al i ud).
4.93464.93474.93484.93494.9354.9351
x 106
−6.046−6.0455−6.045−6.0445−6.044−6.0435−6.043−6.0425
x 105
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
Eje Y
Fil ado de señales de GPS y Google Maps
Eje X
Eje Z
Da os GPS
Google Maps
Kalman
Figu a 5.6: Compa ación de las señales GPS, Google Maps y il o de Kalman en al i ud, P más baja
An e io men e se dijo que se ía in e esan e el alo de la ma iz Q pa a in e p e a el esul ado,
y aquí se e cla amen e po qué: se obse a cómo ápidamen e el il o decide que debe ace ca se más
a la ayec o ia de Google Maps, po lo an o, conside a que dicha medida posee meno e o que la
medida del GPS. Pues o que los e o es esiden en las ma ices Q y R, hab á que analiza las pa a
encon a el po qué de es e enómeno. Pues bien, compa ando ambas, se obse a que la ma iz Q iene
la siguien e o ma
Q=

**0
**0
000

(5.5)
Es e enómeno se debe a que los e o es dependen de cuán o a ían las medidas con espec o a su
alo medio (así se calcula la co a ianza, ecuación 5.2), y se sabe que la al i ud calculada según Google
Maps es cons an e, po lo que dicha di e encia se á nula. Es e hecho de ene un alo nulo hace que la
ganancia de Kalman siemp e se aya a decan a un poco más po es e alo que po o o que sí enga
dicho e o , po muy pequeño que sea se á mayo que és e.
Pa ece que, pues o que el GPS p opo ciona medidas bas an e e óneas de al i ud, que no se debe ía
con ia en el alo p opo cionado po dicho sis ema. Pe o en la Figu a 5.7, se ha in en ao o ien a la
igu a pa a que se ea en los ejes (x,y), al y como se eía en la imagen de Google Ea h 5.3.
74
5 Caso p ác ico - Simulación en Ma lab del Fil o de Kalman
4.9347
4.9347
4.9348
4.9348
4.9349
4.9349
4.9349
4.935
4.9351
4.9351
x 106
−6.046 −6.0455 −6.045 −6.0445 −6.044 −6.0435 −6.043 −6.0425
x 105
Fil ado de señales de GPS y Google Maps
Eje Y
Eje X
Da os GPS
Google Maps
Kalman
Figu a 5.7: Compa ación de las señales GPS, Google Maps y il o de Kalman en ejes (x,y)
En es a igu a ya es más di ícil di e encia qué señal se encuen a más p óxima a la ayec o ia
es imada po el il o de Kalman. También pa ece se que desde es a pe spec i a se ap ecia que sigue
mejo a la señal de Google Maps, pe o en es e caso no dis a an o de la señal de GPS. En es e caso sí
que se pod ía a i ma que GPS p opo ciona da os bas an e iables, ace ados con la posición “ eal”, en
el caso de que la señal de Google Maps ue a comple amen e la eal. En cualquie caso, si se quisie a
conoce con mayo exac i ud el camino eal seguido po el ehículo, hab ía que mi a la g á ica de
colo ojo, la cual se co esponde con la ayec o ia es imada po el il o de Kalman, pues o
que es la que menos e o es posee.
75
6|Conclusiones y Líneas Fu u as
Con es e es udio se ha in en ado analiza el es ado ac ual en el que se encuen an los senso es y los
sis emas que in eg an un UAV. Pa a comenza el p oyec o, se examinó la he amien a de espacio es a-
dos, pues o que se conside a el ins umen o más ú il a la ho a de abaja con sis emas mul i a iables,
como pueden se los ehículos aé eos no ipulados.
Con el es udio sob e el espacio de es ados, se ob iene una isión gene al de cómo plan ea un
p oblema eal de seguimien o de ayec o ias, es deci , qué a iables se deben oma como es ados pues o
que de inen el sis ema modelado. Pa a ello, ue necesa io in oduci un apa ado sob e los di e en es
ipos de senso es que se encuen an implemen ados en los d ones. Se ob iene de es e apa ado que el
desa ollo de es a ecnología an pun e a, no depende sólo de un ámbi o de la ingenie ía como puede se
la ae oespacial, sino que se a a de un en o no en el que se necesi a abaja con g upos de ingenie os de
muchas especialidades, como pueden se au omá icos, elec ónicos, de a iónica, mecánicos, de ene gía,
e c.
Al es udia dichos sis emas, se obse ó que es e sec o de los UAVs es á bas an e a anzado en el
ámbi o mili a , como es lógico, pues o que allí se desa olla on en p ime luga an es de sali al me cado
ci il. De hecho, muchas eces, a la ho a de indaga más a ondo sob e el uncionamien o de algunos
senso es aplicados en es os ehículos, no se disponía de la in o mación su icien e pa a conoce en de alle
las ca ac e ís icas del uncionamien o del sis ema, debido a la con idencialidad an o de emp esas como
de mili a es.
En es e caso de los senso es, son undamen ales los sis emas de na egación como pueden se la
IMU y el GPS. Se puede deci que el es o de senso es son más bien opcionales, los cuales se usa án
cuando se diseñe un d on especí ico pa a unos ines especí icos. Pe o los sis emas de na egación an o
ine ciales como po sa éli es son, como ya se ha dicho an e io men e, un “mus ” den o del mundo de
los UAVs.
Es e dad que la ecnología a anza a pasos agigan ados, pe o en es e es udio se ha comp obado
que exis en disposi i os muy u ilizados a día de hoy con p oblemas de p ecisión. Po an o, es necesa io
segui abajando pa a consegui educi aún más sus uen es de e o pa a ob ene da os que sean
lo más p ecisos y segu os posible. No solamen e se necesi a desa olla en pa icula la es uc u a y/o
diseño de un sis ema, sino que se deben desa olla mé odos de in eg ación de sis emas que sean más
iables, capaces de minimiza los e o es y que se ap oximen lo más posible a la ealidad que se desea
medi .
La ac ual implemen ación de nue os senso es y sis emas en dis in os disposi i os g acias a los
a ances ecnológicos hace necesa io que el es udio y desa ollo de la in eg ación de señales no se quede
a ás. Toda ía exis en nume osos aspec os en los que el il o de Kalman puede se mejo ado, es
po ello que a día de hoy se siguen publicando es udios en los cuales se p oponen nue os mé odos
de implemen ación de dicho il o. Es necesa io conoce co ec amen e los p incipios en los que se
undamen a el algo i mo u ilizado po es e il o, pa a así islumb a los posibles e o es que se come e
al ealiza el p oceso i e a i o y así, pode mejo a lo desa ollando una écnica al e na i a.
Se ha obse ado ambién la acilidad con la que se encuen a ac ualmen e una amplia gama de
componen es elec ónicos, desde ba a os que e o ecen un se icio básico has a los más ca os que
cuen an con unos angos de e o es bas an e educidos y aba can un mayo espec o den o de las
ac uaciones que puede lle a a cabo. De hecho, mismo en los sma phones que se u ilizan cada día,
se encuen an po ejemplo el GPS, acele óme os, gi óscopos y magne óme os. Con es o se p e ende
señala que los sis emas de na egación no son algo que se encuen e ue a de nues o alcance, sino que
76
Conclusiones y Líneas Fu u as
además es amos en con ac o con ellos a dia io.
En cuan o al caso p ác ico lle ado a cabo en es e es udio del T abajo de Fin de G ado, se han
encon ado di icul ades al in en a ma e ializa los concep os eó icos. La li e a u a que se ha u ilizado
pa a en ende los algo i mos en los que se basa el il o de Kalman es bas an e con usa. Ha sido odo un
e o en ende la in o mación encon ada, descub iendo que pa a el desa ollo de p oblemas pa ecidos,
exis en di e sas o mas de in e p e a el il o de Kalman. Se ecomienda que en es udios pos e io es,
se de alle en p o undidad la uncionalidad de cada pa áme o u ilizado, y po qué adop a la o ma que
iene.
También se ha obse ado cla amen e que el GPS no p opo ciona unos da os demasiado iables en
cuan o a la a iable al i ud, al y como se puede ap ecia en las g á icas ep esen adas en el apa ado del
Caso P ác ico. La dependencia que p esen a es e sis ema de una o ganización es adounidense, anima al
es o de la comunidad ecnológica a desa olla sus p opios mé odos de na egación basados en GNSS,
como son la eu opea con Galileo, la usa con GLONASS, la china con BeiDou, e c. La in eg ación
de a ios sis emas de es e ipo aumen a ía no ablemen e la calidad de la señal ecibida, y po an o,
la iabilidad de la in o mación, pues o que a día de hoy se encuen a muy suje a a las decisiones que
omen las au o idades es adounidenses sob e es e ámbi o.
Como líneas u u as pa a es e abajo, se ía in e esan e implemen a el il o de Kalman pa a
señales p oceden es no solamen e del GPS, sino ambién de una IMU. Como se dijo en el apa ado
del es udio sob e el GPS, es ecomendable, cuando un ehículo se encuen a na egando, dispone de
sis emas de medidas ine ciales apa e de sis emas GNSS. De hecho, la IMU es el sis ema ine cial más
ex endido den o del ámbi o de los UAVs. Típicamen e los d ones que se encuen an en el me cado
cuen an con GPS+IMU, po lo an o, aplica un il o de Kalman a las señales ecibidas po dichos
sis emas se ía un p oblema que despie a bas an e in e és po el ex endido uso que se le pod ía da .
De es a o ma, se ía posible es udia el caso en el que ambas señales son ob enidas de senso es
eales e in eg adas. Es deci , la señal con la que se ha abajado en es e es udio ob enida median e
Google Maps se ía sus i uida po una eal. En ese caso, la simpli icación de ayec o ia ec ilínea y
uni o me lle ada a cabo en es e documen o no se ía necesa ia.
En el p esen e abajo, se ha simulado en Ma lab un il o de Kalman sencillo pa a escla ece los
concep os que se u ilizan en dicho algo i mo, pe o exis en o os ipos de il os ambién u ilizados en la
li e a u a elacionada. Po ejemplo, [6] p opone u iliza un mé odo denominado “Squa e Roo Cuba u e
Kalman Fil e , CKF” con el in de educi los p oblemas elacionados con el il o de Kalman usual:
can idad de cálculos a ealiza , complejidad de las ó mulas y las ans o maciones, “baja” exac i ud,
poca con e gencia o incluso di e gencia. Median e su es udio, se demues a que u ilizando es e mé-
odo se ob ienen mayo es es abilidad y p ecisión que u ilizando el il o de Kalman y o a modalidad
llamada “Unscen ed Kalman Fil e , UKF”. También según [6], es e úl imo UKF a ae la a ención en
es e á ea pues o que ob iene una media y una co a ianza usando un mues eado de e minis a, pe o
como incon enien e pe o a da más iempo que po ejemplo el “Ex ended Kalman Fil e , EKF” [23].
Además, cuando el núme o de es ados es mayo de 3, el UKF no unciona co ec amen e, incluso puede
llega a de ene su ope ación. Se p opone es udia alguna de es as a ian es del il o de Kalman pa a
implemen a la en un sis ema que in eg e señales IMU y GPS.
Como se ha ecalcado a ias eces du an e es e abajo, la na egación de cualquie ipo de ehículo
es no malmen e un p oblema de es imación de es ado al amen e no lineal. El EKF ha jugado un
papel impo an e en dicha es imación du an e décadas [1]. Se ía in e esan e in en a implemen a
es as e siones del il o de Kalman y compa a los esul ados con los ob enidos con o os mé odos de
il ado.
77

Apéndice A
Va ianza & Co a ianza
Medida indi idual: xi
Media de las medidas: ¯x
Des iación de la media: ¯x−xi
Cuad ado de la des iación: (¯x−xi)2
Va ianza: σ2
x=PN
i=1(¯x−xi)2
N
Co a ianza: σxσy=PN
i=1(¯x−xi)(¯y−yi)
Des iación Es ánda : σx=pσ2
x=qPN
i=1(¯x−xi)2
N
2D=σ2
xσxσy
σyσxσ2
y
3D=

σ2
xσxσyσxσz
σyσxσ2
yσyσz
σzσxσzσyσ2
z


78
Apéndice B
Código Ma lab de caso p ác ico
Implemen ación del il o de Kalman
% Jose Luis Ca e e o Rod iguez
% T abajo Fin de G ado - e sion 3D
% S e al GPS/Google Maps con Fil o de Kalman
% Nomencla u a:
% LLH = La i ud, Longi ud, Al i ud
% [x;y; ec _al ] = da os GPS
% [x_es ;y_es ;al i ud_es ] = da os GoogleMaps
% [ ec _x_kalman; ec _y_kalman; ec _al _kalman] = da os il o
clea ; clc; o ma long
%% Inicia a iables
con =0; any_sou h_la =0; any_wes _long=0;
ec o _la =[]; ec o _long=[]; ec _al =[];
x=[];y=[];z=[];
elocidad=[];
ec o _kalman=[];
% Modelo de la Tie a WGS-84
a=6378137;
=1/298.257223563;
%% Ob engo da os del iche o NMEA
TLINE = open('puen e1.log');
line = ge s(TLINE);
while ischa ( line);
oken=s ok( line);
% VELOCIDADES
% Ob engo la elocidad a pa i de la linea GPVTG
i s cmp( line(2:6),'GPVTG')==1
[~,~,~,~,~,~,speed]=NMEA_VTG( line);
% Comp uebo que no hay e o es en el mensaje
lag=checksum( oken);
i lag==0
disp('E o ')% Si hay e o , mues o po pan alla
else
% Con ie o la cadena a n me o
speed=s 2num(speed);
% Almaceno las elocidades
elocidad=[ elocidad; speed]; % Si no hay e o , gua do
end
% LATITUD LONGITUD ALTITUD
% Ob engo la posicion a pa i de la linea GPGGA
elsei s cmp( line(2:6),'GPGGA')==1
lag=checksum( oken);
i lag==0
disp('E o ')
end
[u c,la ,NS,long,EW,~,~,~,al ,uni _al ]=NMEA_GGA( line);
al ;
i s cmp(NS,'S')% Si es oy en el Su , mos a
%disp('Hay su ') % Nunca es oy en el Su en es e caso
la =num2s (-s 2double(la ));
any_sou h_la =1;
end
i s cmp(EW,'W')% Si es oy en el Oes e, mos a
%disp('Hay Oes e') % Siemp e es oy en el Oes e en es e caso
long=num2s (-s 2double(long)); % Cambia signo
any_wes _long=1;
79
B Código Ma lab de caso p ác ico
end
% Gua do odas las medidas de posicion. LLH
% Fo ma o s ing
ec o _la =[ ec o _la ; la ];
i size(long)~=9
long=s ca (long,'0'); % dimensiones co ec as
end
ec o _long=[ ec o _long; long];
% Fo ma o nume o
ec _al =[ ec _al ; s 2double(al )];
end
line= ge s(TLINE); % Ob ene nue a l nea
end
% Con e i la y long de s ing a nume o
o i=1:leng h( ec o _la )
ec _la (i,1)=s 2double( ec o _la (i,1:2))+...
s 2double( ec o _la (i,3:end))/60;
ec _long(i,1)=s 2double( ec o _long(i,2))+...
s 2double( ec o _long(i,3:end))/60;
end
% Con e i LLH->xyz
o i=1:leng h( ec o _la )
xyz=llh2xyz([ ec _la (i) - ec _long(i) ec _al (i)],a, );
% Da os de posicin del GPS (x,y,z)
x=[x; xyz(1)];
y=[y; xyz(2)];
z=[z; xyz(3)];
end
% Calcula al i ud media
al _media=sum( ec _al )/66;
% plo (x)
% plo (y)
% plo ( ec _al ); hold on
% plo (al _media*ones(66,1))
% plo 3(x,y,z,'LineWid h',2),g id
% xlabel('Eje X')
% ylabel('Eje Y')
% zlabel('Eje Z')
% Ma iz de co a ianza R - e o en GPS
% P ime o calculo la media del e o z
suma o io_GPS=[0;0;0];
o i=1:65
suma o io_GPS=suma o io_GPS+...
[x(i+1)-x(i);...
y(i+1)-y(i);...
ec _al (i+1)- ec _al (i);];
end
media_z=suma o io_GPS/66;
% Calculo R
R1=0*ones(3);
o i=1:65
R1=R1+[x(i+1)-x(i)-media_z(1);...
y(i+1)-y(i)-media_z(2);...
ec _al (i+1)- ec _al (i)-media_z(3);]*...
[x(i+1)-x(i)-media_z(1);...
y(i+1)-y(i)-media_z(2);...
ec _al (i+1)- ec _al (i)-media_z(3);]';
end
R=R1/65; % 65 segundos du a la ayec o ia - 65 mues as.
80
B Código Ma lab de caso p ác ico
%% Google Maps
% Puen e segun Google Maps (la ,long,al )
la _ini_es =38.878408; long_ini_es =-6.980620;
la _ in_es =38.883509; long_ in_es =-6.984960;
al _es =167;
% Con ie o a (x,y,z)
es _ini=llh2xyz([la _ini_es long_ini_es al _es ],a, );
x_ini_es =es _ini(1);
y_ini_es =es _ini(2);
es _ in=llh2xyz([la _ in_es long_ in_es al _es ],a, );
x_ in_es =es _ in(1);
y_ in_es =es _ in(2);
% Calculo elocidades - ( inal-inicial)/ iempo
elocidad_x=(x_ in_es -x_ini_es )/65;
elocidad_y=(y_ in_es -y_ini_es )/65;
% C eo ec o de componen es de posicion
o =1:66
x_es ( )=x_ini_es + elocidad_x* ;
y_es ( )=y_ini_es + elocidad_y* ;
al i ud_es ( )=al _es +0* ;
end
x_es =x_es ';
y_es =y_es ';
al i ud_es =al i ud_es ';
% Ma iz de co a ianza Q
% P ime o el uido medio de w
suma o io_es =[0;0;0];
o i=1:65
suma o io_es =suma o io_es +...
[x_es (i+1)-x_es (i);...
y_es (i+1)-y_es (i);...
al i ud_es (i+1)-al i ud_es (i);];
end
media_w=suma o io_es /66;
% Ma iz Q
Q1=0*ones(3);
o i=1:65
Q1=Q1+...
[x_es (i+1)-x_es (i)-media_w(1);...
y_es (i+1)-y_es (i)-media_w(2);...
al i ud_es (i+1)-al i ud_es (i)-media_w(3);]*...
[x_es (i+1)-x_es (i)-media_w(1);...
y_es (i+1)-y_es (i)-media_w(2);...
al i ud_es (i+1)-al i ud_es (i)-media_w(3);]';
end
Q=Q1/65;
% igu e('Name','Posicin x')
% plo (x_es ,' '); hold on
% plo (x,'b')
%
% igu e
% plo (y_es ,' '); hold on
% plo (y,'b')
%
% igu e
% plo (x,y,' '); hold on
% plo (x_es ,y_es ,'b')
% xlabel('Eje X')
% ylabel('Eje Y')
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