LA INVERSIÓN RESPECTO DE
UNA CIRCUNFERENCIA
F ancisco Jesús Mo illa O ega
LA INVERSIÓN RESPECTO DE UNA
CIRCUNFERENCIA
F ancisco Jesús Mo illa O ega
Memo ia p esen ada como pa e de los equisi os pa a
la ob ención del í ulo de G ado en Ma emá icas po la
Uni e sidad de Se illa.
Tu o izada po Miguel Ángel Olalla Acos a
Índice gene al
Resumen 1
Abs ac 3
In oducción 5
1. Rec as y ci cun e encias 7
1.1. Ciclos ................................... 7
1.2. Posiciones ela i as ec a-ci cun e encia. Rec a angen e ........ 9
2. Po encia 13
2.1. Po encia .................................. 13
2.2. Eje y cen o adical ............................ 16
3. Ángulos en e ciclos 23
3.1. Ángulo en e ec a y ci cun e encia ................... 23
3.2. Ángulo en e dos ci cun e encias ..................... 24
4. Haces de ciclos 27
4.1. De iniciones y p opiedades ........................ 27

ii la in e sión espec o de una ci cun e encia
4.2. Clasi icación de haces de ciclos ...................... 29
5. In e sión 35
5.1. De inición de in e sión .......................... 35
5.2. In e sión en el plano in e si o ...................... 37
5.3. P opiedades ................................ 38
6. Aplicaciones de la in e sión 45
6.1. Teo ema de P olomeo ........................... 45
6.2. P oblemas de Apolonio .......................... 47
6.2.1. P oblema de ipo (0,0,3) ..................... 47
6.2.2. P oblema de ipo (0,3,0) ..................... 47
6.2.3. P oblema de ipo (0,1,2) ..................... 47
6.2.4. P oblema de ipo (1,0,2) ..................... 48
6.2.5. P oblema de ipo (0,2,1) ..................... 49
6.2.6. P oblema de ipo (1,1,1) ..................... 49
6.2.7. P oblema de ipo (2,0,1) ..................... 50
6.2.8. P oblema de ipo (3,0,0) ..................... 50
6.3. Ejemplos de p oblemas de Apolonio ................... 51
Resumen
La in e sión es una ans o mación en el plano euclídeo ex endido, que ans o -
ma ec as y ci cun e encias en ec as y ci cun e encias. Sus aplicaciones an desde
la esolución al e na i a de p oblemas de geome ía clásica, has a el análisis com-
plejo (g acias a sus elaciones con las ans o maciones biholomo as de la es e a de
Riemann, las ans o maciones de Möbius). En es e abajo se in oducen algunos
concep os undamen ales sob e ec as y ci cun e encias, se a an los concep os bá-
sicos de geome ía in e si a, y se aplican pa a la esolución de p oblemas clásicos,
pa icula men e p oblemas de Apolonio.
Abs ac
In e sion is a ans o ma ion de ined in he ex ended Euclidean plane, mapping
lines and ci cles o lines and ci cles. Applica ions ange om al e na i e esolu ions
o classic geome y p oblems, o complex analysis ( hanks o i s connec ions wi h
biholomo phic mappings o he Riemann sphe e, he Möbius ans o ma ions). In
his wo k, undamen als abou lines and ci cles a e in oduced; basic concep s abou
in e si e geome y a e wo ked wi h and used o sol e classic p oblems, pa icula ly
p oblems o Apollonius.
10 la in e sión espec o de una ci cun e encia
sis ema como soluciones de es a ecuación, po lo que la in e sección de Cy es acía
(0soluciones), un único pun o (1solución), o dos pun os dis in os (2soluciones).
Si enemos A= 0 po se A, B no ambos 0, debemos ene B= 0 y hay un a-
zonamien o análogo del que emos que la in e sección es o acía, o un único pun o,
o dos dis in os. ■
De es a p oposición se e mo i ada la siguien e de inición:
De inición 1.4 (Rec a angen e). Sea Cuna ci cun e encia eal de adio > 0,
y sea P∈Cun pun o suyo. Sea una ec a que pase po P. Decimos que es la
ec a angen e a Cen Psi C∩ ={P}.
P oposición 1.2. Sea Cuna ci cun e encia eal de adio > 0y cen o O, y P
un pun o suyo. En onces cualquie ec a que pase po Pco a a Cen dos pun os
dis in os, sal o la pe pendicula al adio −→
OP que es la (única) ec a angen e a Cen
P.
Demos ación. Vamos a e los pun os de co e de una ec a que pasa po Pcon
C. Conside amos u=−−−−→
(u1, u2)∈R2un ec o no nulo cualquie a. La ec a que pasa
po Py iene di ección ues el subespacio a ín =P+⟨u⟩: un pun o a bi a io
de es de la o ma P+λu, pa a λ∈R. Usamos es o pa a e los pun os de que
es án en la ci cun e encia C: pues los pun os de co e de con Cse án aquellos que
e i iquen d(O, P +λu)2= 2. Si O= (x0, y0), P = (a, b), en onces los pun os de
co e C∩ co esponde án con los λque sean solución de
d((x0, y0),(a, b) + λ−−−−→
(u1, u2))2= 2;
es deci , las soluciones de
(x0−a−λu1)2+ (y0−b−λu2)2− 2= 0.
Desa ollando cuad ados enemos
(x0−a)2−2λ(x0−a)u1+λ2u2
1+ (y0−b)2−2λ(y0−b)u2+λ2u2
2− 2=
λ2(u2
1+u2
2)−2λ((x0−a)u1+ (y0−b)u2)+(x0−a)2+ (y0−b)2− 2= 0,
la ecuación que sa is acen los λ ales que d(O, P +λu) = . No emos que λ= 0
debe se solución, ya que d(O, P) = al es a Pen la ci cun e encia C. Po lo que
sus i uyendo λ= 0 debemos ene (x0−a)2+ (y0−b)2− 2= 0 (que no es más que

1. ec as y ci cun e encias 11
d(O, P) = ). Así que los pun os de co e de Cy son los co espondien es a las
soluciones de
λ2(u2
1+u2
2)−2λ((O1−P1)u1+ (O2−P2)u2)=0.
Una solución es λ= 0 que co esponde al pun o P, y la o a es
λ= 2(x0−a)u1+ (y0−b)u2
u2
1+u2
2
=−2−→
OP ·u
∥u∥2,
eniendo en cuen a que −→
OP = (a−x0, b −y0). Ob enemos que la ec a =P+⟨u⟩
co a a Cen los pun os {P, P −2−−→
OP ·u
∥u∥2u}. Son dos pun os dis in os si y solo si
−→
OP ·u= 0, y son el mismo pun o (el p opio P) si y solo si −→
OP ⊥u. Po an o,
cualquie ec a que pasa po Pco a a Cen dos pun os dis in os, sal o la que iene
di ección pe pendicula a −→
OP, que la co a en un único pun o y es la única ec a
angen e a Cen P.■
C
OP
−→
OP
u
=P+⟨u⟩
Figu a 1.1. Rec a angen e
aCen el pun o P,−→
OP ⊥u
Po úl imo amos a e que es e concep o de ec o angen e a una ci cun e encia
coincide con el de geome ía di e encial. Como es habi ual ( e [HP10], de inición
1.1.1), se de ine el ec o angen e a una cu a pa ame izada egula como su de-
i ada espec o del pa áme o.
P oposición 1.3. Sea Cuna ci cun e encia eal de adio > 0, y de cen o O.
En onces el ec o angen e de Cen un pun o suyo P, en el sen ido de la geome ía
12 la in e sión espec o de una ci cun e encia
di e encial, es pe pendicula al adio en ese pun o. Dicho de o a o ma, la ec a
angen e en Pcomo en la de inición 1.4 es la misma que la ec a angen e en Pa
la cu a di e enciable de imagen C.
Demos ación. Bas a oma una pa ame ización de Ccualquie a. Podemos con-
side a γ: [−π, π)→C,γ( )=(x0+ cos , y0+ sen ), donde el cen o es
O= (x0, y0). En onces el adio en el pun o P=γ( 0)es −−−−−−−−−−−→
( cos 0, sen 0), y el
ec o angen e en ese pun o es γ′( 0) = −−−−−−−−−−−−−→
(− sen 0, cos 0). Es ácil e que el adio
en Pyγ′( 0)son pe pendicula es, luego po la p oposición 1.2 el ec o γ′( 0)es
angen e, en el sen ido de la de inición 1.4.■
2 Po encia
En es e capí ulo es udia emos un concep o muy impo an e sob e las ci cun e-
encias: el de po encia. Si bien iene in e és po él mismo, sob e odo nos a a se
de g an u ilidad en o os ámbi os que es udia emos en capí ulos pos e io es.
2.1 Po encia
De inición 2.1 (Po encia). Sea Cuna ci cun e encia eal, de cen o Oy adio
> 0. Sea P∈A2(R)un pun o a ín cualquie a. Sea una ec a cualquie a que pase
po Py co e a Cen dos pun os QyR, no necesa iamen e dis in os. Se de ine la
po encia del pun o P espec o de la ci cun e encia C, deno ada ΠC(P)(o simplemen e
Π(P)si no hay ambigüedad), como el alo del p oduc o −→
PQ ·−→
PR.
P oposición 2.1. En las condiciones de la de inición an e io , la po encia solo
depende del pun o Py la ci cun e encia C, pe o no de la ec a . Es más: enemos
que Π(P) = ∥−→
OP∥2− 2
Demos ación. Bas a e que pa a cualquie ec a que co e a Cen dos pun os
QyR, enemos que −→
PQ ·−→
PR =∥−→
OP∥2− 2(que es independien e de ). Dis ingui-
mos cua o casos, dependiendo de la posición del pun o P.
Si el pun o Pes á en el ex e io de la ci cun e encia (d(O, P)> ), en onces a-
zamos la ec a sque pasa po Py po O(como son pun os dis in os po se P
ex e io la ec a es única). Además es a ec a, al pasa po el cen o de la ci cun-
e encia, la co a en dos pun os dis in os SyT,Sel más ce cano a P. Vamos a
e −→
PQ ·−→
PR =−→
PS ·−→
PT. En e ec o, las diagonales SR yQT se co an en un pun o
M. Po el eo ema del ángulo insc i o (o a co capaz, e [Cox61] III.21, o [Moi63]
16.4.2) los ángulos [
QRS y[
QTS son iguales. Po es a P, Q, R alineados (en la ec a
14 la in e sión espec o de una ci cun e encia
), y P, S, T alineados (en la ec a s), podemos esc ibi la igualdad de los ángulos de
a iba como [
PRS =[
QTP. Po o o lado, el ángulo [
RPS es el mismo que [
QPT (es
el ángulo que o man sy ). Así que los iángulos △PRS y△PTQson cong uen es,
y ob enemos
PS
PR =PQ
PT ,
o lo que es lo mismo
∥−→
PQ∥·∥−→
PR∥=∥−→
PS∥·∥−→
PT∥.(2.1)
Como Pes ex e io a C,−→
PQ y−→
PR ienen el mismo sen ido (es deci , el ángulo
que o man en e ellos es 0). Así que el p oduc o de sus módulos es simplemen e el
p oduc o escala . Po o o lado, como la ec a spasa po el cen o O enemos que
PS =PO −OS =OP − , po que S∈C; igualmen e PT =PO +OT =OP +
po que T∈C. En (2.1) enemos po an o
−→
PQ ·−→
PR = (OP − )(OP + ) = ∥−→
OP∥2− 2,
que es lo que que íamos e .
Si Pes á en el in e io de la ci cun e encia pe o no es el cen o O, azamos la
ec a sque pasa po PyO, y co a a Cen dos pun os SyT(la co a en algún
pun o po que al pasa po Ohay un pun o en sa dis ancia 0del cen o, y la ec a
no es aco ada po lo que debe habe algún pun o en sa dis ancia de O; además no
puede se angen e po que si digamos ue a angen e en el pun o S, po la p oposi-
ción 1.2 el ec o di ec o de s,−→
OP, es pe pendicula a −→
OS. Pe o como O, P, S ∈s
se iene −→
OP ∥−→
OS, lo que no es posible). Además sea Sel pun o más ce cano a P,
yTel más alejado: sabemos que no son equidis an es a Ppo que el único pun o de
la ec a sque equidis a de SyTes O(y P=O). Igual que en el apa ado an e io
po el eo ema del ángulo insc i o [
QRS =[
QTS; po se P∈s∩ la igualdad de
ángulos se puede esc ibi [
PRS =[
QTP. Además las ec as sy son secan es en P
así que los ángulos opues os son iguales: po eso [
SPR =[
QPT. Po lo que dos pa es
de ángulos son iguales, y los iángulos △PRS y△PTQ son cong uen es. Luego
PS
PR =PQ
PT ,
y
∥−→
PQ∥·∥−→
PR∥=∥−→
PS∥·∥−→
PT∥.(2.2)
2. po encia 15
Aho a, como Pes in e io , y es á alineado con QyR,∥−→
PQ∥·∥−→
PR∥=−−→
PQ·−→
PR (el
ángulo que o man los dos ec o es es π). Po o o lado PS =OS −OP = −∥−→
OP∥,
yPT =PO +OT =∥−→
OP∥+ : ya que Ses el pun o más ce cano a Py po an o
es á en el mismo adio que P, y Tes el más alejado. De (2.2) enemos que
−−→
PQ ·−→
PR = ( −∥−→
OP∥)(∥−→
OP∥+ );
es deci ,
−→
PQ ·−→
PR =∥−→
OP∥2− 2.
Si Pes á en C, en onces una ec a que pasa po Py que co a a Cen dos pun-
os, la co a en Py en o o dis in o Q. Po de inición de po encia −→
PP ·−→
PQ = 0;
que además coincide con ∥−→
OP∥2− 2ya que OP = : luego Π(P) = ∥−→
OP∥2− 2= 0.
Si Pes el cen o Oen onces cualquie ec a que pasa po Pco a a la ci cun e-
encia en dos pun os diame almen e opues os QyR. En ese caso la po encia es
−→
OQ ·−→
OR =− 2, po que −→
OQ y−→
OR son adios, que apun an en sen idos opues os.
Po o o lado, ∥−→
OP∥2− 2=− 2= Π(P), po que O=P.■
O O
R
Q
S
TP
T
Q
S
P
R
Figu a 2.1. Po encia de un pun o ex e io y de un
pun o in e io , −→
PQ ·−→
PR =−→
PS ·−→
PT =∥−→
OP∥2− 2
Obse ación 2.1. En base a la p oposición an e io , enemos que si Ces una
ci cun e encia eal de cen o Oy adio > 0:
1. Dado un pun o Pcualquie a, Π(P)>0si y solo si Pes ex e io a C(es deci ,
d(O, P)> ); Π(P) = 0 si y solo si P∈C;Π(P)<0si y solo si d(O, P)< .
Es más, Π(P) = − 2si y solo si P=O.
2. La po encia de un pun o ex e io iene una in e p e ación geomé ica ob ia
po el eo ema de Pi ágo as: como Π(P) = ∥−→
OP∥2− 2>0, enemos que
+qΠ(P)es la longi ud de Pal pun o de angencia de una ec a angen e a C

16 la in e sión espec o de una ci cun e encia
que pasa po P, pues qΠ(P)es el ca e o del iángulo ec ángulo que iene a
−→
OP como hipo enusa y un ca e o . Si el segmen o es pe pendicula al adio,
po la p oposición 1.2 es angen e.
3. De la exp esión Π(P) = ∥−→
OP∥2− 2, ex endemos la de inición de po encia a
ci cun e encias imagina ias o colapsadas a un pun o.
4. Si C iene ecuación (x−x0)2+ (y−y0)2− 2= 0, en onces dado un pun o
P= (a, b)a bi a io, ∥−→
OP∥2es (a−x0)2+ (b−y0)2. Po an o la po encia
de Pes Π(P) = (a−x0)2+ (b−y0)2− 2: es deci , si la ecuación no mal
de Ces = 0, en onces la po encia de Pes (P). Es o es cie o ambién en
ci cun e encias no eales.
5. Tenemos una aplicación Π : A2(R)→R, de inida po Π(P) = ∥−→
OP∥2− 2,
que solo depende de la dis ancia de Pal cen o Ode la ci cun e encia. Po
an o si C′es una ci cun e encia eal concén ica con C, odo pun o de C′ iene
po encia espec o de Ccons an e. Es o es cie o ambién en ci cun e encias no
eales.
O
P∥−→
OP∥
qΠ(P)
Figu a 2.2. In e p e ación geomé ica
de po encia po un pun o ex e io
2.2 Eje y cen o adical
Vamos a e cómo podemos usa las po encias de un pun o espec o de dos
ci cun e encias pa a deduci p opiedades sob e ellas.
P oposición 2.2. Sean C1,C2dos ci cun e encias no concén icas ( eales, ima-
gina ias o colapsadas a un pun o), cen adas en O1y en O2, y de adios 1, 2,
espec i amen e. En onces el luga geomé ico de los pun os del plano que ienen
igual po encia espec o de C1y de C2es una ec a, pe pendicula al ec o −−−→
O1O2.
2. po encia 17
Demos ación. El luga geomé ico que se busca es
nP∈A2(R) : ΠC1(P)=ΠC2(P)o.
Sean O1= (x1, y1), y O2= (x2, y2)las coo denadas de los cen os. En onces la
ecuación no mal de C1es 1= (x−x1)2+ (y−y1)2− 2
1= 0, y la de C2es
2= (x−x2)2+ (y−y2)2− 2
2= 0. Po la obse ación 2.1 la po encia de P
espec o de C1es 1(P); igualmen e ΠC2(P) = 2(P)pa a cualquie pun o P. Así
que el luga geomé ico buscado es el conjun o
nP∈A2(R) : 1(P) = 2(P)o.
Es deci , P= (x, y) iene igual po encia espec o de ambas ci cun e encias si y solo
si
(x−x1)2+ (y−y1)2− 2
1= (x−x2)2+ (y−y2)2− 2
2.
Desa ollando cuad ados y eo ganizando emos que el luga geomé ico que busca-
mos es p ecisamen e el de los pun os (x, y)que sa is acen
2(x1−x2)x+ 2(y1−y2)y+ 2
1− 2
2−(x2
1+y2
1−x2
2−y2
2)=0.(2.3)
Es os pun os o man una ec a ya que como las ci cun e encias no son concén icas
(x1, y1)= (x2, y2): así que los coe icien es de xey,2(x1−x2)y2(y1−y2), no
son ambos nulos y la ecuación (2.3) es la ecuación de una ec a. Además el ec o
no mal de la ec a, que iene po coo denadas los coe icien es de la xy la yen (2.3),
es n= 2−−−−−−−−−−−−→
(x1−x2, y1−y2). Pe o como las coo denadas de los cen os son (x1, y1)y
(x2, y2)el ec o no mal no es más que n=−2−−−→
O1O2: es deci , la ec a de ecuación
(2.3) (el luga geomé ico de los pun os que ienen igual po encia espec o de ambas
ci cun e encias) es pe pendicula a la ec a que une a los cen os O1yO2.■
Obse ación 2.2. Si C1yC2son ci cun e encias cualesquie a, no emos que aunque
sean concén icas el conjun o {P: ΠC1(P)=ΠC2(P)} ambién es á de inido po la
ecuación (2.3), donde (x1, y1) = (x2, y2)son los cen os y 1, 2son los adios (pues
la hipó esis de que no sean concén icas se u iliza pa a e que (2.3) de ine una
ec a). Aho a bien, la ecuación queda 2
1− 2
2= 0: de ine al conjun o acío si 1= 2
(es deci , son concén icas pe o dis in as), y a odo el plano a ín si son la misma
ci cun e encia.
De acue do con es a p oposición podemos de ini ya el eje adical:
18 la in e sión espec o de una ci cun e encia
De inición 2.2 (Eje adical). Sean C1,C2dos ci cun e encias cualesquie a que
no son concén icas. Se de ine el eje adical de C1yC2como la ec a de pun os
que ienen igual po encia espec o de ambas ci cun e encias. Se deno a e(C1,C2), o
simplemen e e.
Además en casos gene ales exis e un único pun o que iene igual po encia espec o
de 3ci cun e encias eales: el cen o adical.
De inición 2.3 (Cen o adical). Sean C1,C2,C3 es ci cun e encias cualesquie-
a, cuyos cen os es án en posición gene al (es deci , son 3 pun os dis in os que no
es án alineados). Se de ine el cen o adical de C1,C2yC3como el único pun o que
iene igual po encia espec o de las es ci cun e encias. Se deno a po R(C1,C2,C3)
(o simplemen e R).
P oposición 2.3. El cen o adical es á bien de inido: es o es, en las condiciones
de la de inición an e io exis e un único pun o que iene igual po encia espec o de
las es ci cun e encias.
Demos ación. Como los cen os es án en posición gene al se comp ueba ácil-
men e que los ejes adicales de los 3pa es de ci cun e encias se co an en un único
pun o. Po de inición de eje adical es el único pun o que puede ene igual po encia
espec o de las es ci cun e encias. ■
e(C1,C2)
e(C2,C3)
e(C1,C3)
O1
O2
O3
R
C1
C2
C3
Figu a 2.3. Cen o adical
2. po encia 19
Obse ación 2.3. Tenemos las siguien es p opiedades sob e el eje adical ede dos
ci cun e encias eales no concén icas C1yC2:
1. Si las ci cun e encias se co an en algún pun o P, en onces P∈e: pues en
i ud de la obse ación 2.1 po se Pun pun o de C1 enemos ΠC1(P) = 0;
igualmen e como P∈C2,ΠC2(P) = 0. Luego las po encias en Pcoinciden y
Pes á en el eje adical.
2. En pa icula si las ci cun e encias se co an en dos pun os dis in os debemos
ene que el eje adical es la única ec a que pasa po ellos.
3. Recíp ocamen e si el eje adical co a a una de las ci cun e encias (digamos
C1) en un pun o P, debemos ene ambién que P∈C2: ya que como Pes á
en C1y en el eje adical e,0=ΠC1(P)=ΠC2(P), lo que po la obse ación
2.1 equi ale a que P∈C2.
4. De nue o po el mismo azonamien o si las ci cun e encias son disjun as am-
bién su eje adical es disjun o con cada una de ellas (si no lo ue a el pun o de
co e de econ alguna ci cun e encia es común con la o a).
5. Si C1yC2se co an exac amen e en un pun o P, en onces ees la ec a angen e
a ambas po P(las ec as angen es en el pun o Pcoinciden y son el eje
adical). Es o se debe a que epasa po P(po la p ime a obse ación), y si e
co ase a C1en algún o o pun o Q end íamos que po la e ce a obse ación
ambién Q∈C2(lo que no es posible po que las ci cun e encias se co an solo
en P). Es deci , esolo co a a C1en un pun o y es angen e (con C2es análogo).
Po el mismo azonamien o que an es el ecíp oco es cie o: si el eje adical
ees angen e a una ci cun e encia en onces es angen e a la o a, y ambas se
co an en un único pun o (que es el pun o de angencia con e).
6. Si 1= 0 y 2= 0 son ecuaciones no males espec i amen e de C1yC2,
en onces po la obse ación 2.1 la po encia es e alua el pun o en la exp esión
de la ecuación no mal. Po an o el eje adical es
e={P: 1(P) = 2(P)};
es o es, la ec a que iene ecuación 1− 2= 0. Es o es cie o ambién en
ci cun e encias imagina ias o colapsadas a un pun o.
Es deci : al in oduci el eje adical de dos ci cun e encias podemos habla de la
elación en e ellas es udiando posiciones ela i as de una ec a y una ci cun e encia,
que ya las conocemos. Conc e amen e enemos el siguien e eo ema:
Teo ema 2.1. Sean C1,C2dos ci cun e encias eales, de adios 1≥ 2>0y
cen os O1yO2, espec i amen e. Sea d=d(O1, O2)la dis ancia en e los cen os.
En onces las posibles posiciones ela i as de C1yC2son:
26 la in e sión espec o de una ci cun e encia
P(po el Teo ema de Pi ágo as, ya lo sabíamos de la obse ación 3.4). Es
deci , d2− 2
1= 2
2, lo que en po encia signi ica que ΠC1(O2) = 2
2(lógicamen e
po sime ía enemos ambién ΠC2(O1) = 2
1). Es o es o a ca ac e ización: dos
ci cun e encias son o ogonales si y solo si el cen o de cualquie a de las dos
iene po encia el cuad ado de su adio espec o de la o a.
3. También podemos e que dos ci cun e encias o man ángulo 0si o bien 2
1+
2
2−d2= 2 1 2o bien d2− 2
1− 2
2= 2 1 2: es o es, o bien ( 1− 2)2=d2o
bien ( 1+ 2)2=d2. Po el eo ema 2.1 es o equi ale a que sean angen es
(como imos en la obse ación 3.3).
4. Podemos ex ende la de inición de o ogonalidad de ci cun e encias a casos
más gene ales: en e ec o, sean C1,C2ci cun e encias cualesquie a de cen os
O1yO2, y adios 1y 2( adio posi i o en el caso eal, igual a ce o en el
caso de ci cun e encia colapsada a un pun o, y adio imagina io en el caso
imagina io). Se dice que son o ogonales si 2
1+ 2
2=d2, donde d=d(O1, O2).

4 Haces de ciclos
4.1 De iniciones y p opiedades
De inición 4.1 (Haz de ciclos). Sean C1,C2ciclos dis in os, de inidos po ecua-
ciones 1= 0, 2= 0 espec i amen e. Se llama haz de ciclos gene ado po C1y
C2, no ado H(C1,C2), al conjun o de ciclos que ienen una ecuación de la o ma
λ1 1+λ2 2= 0, pa a λ1yλ2núme os eales no ambos nulos.
Si no hay ambigüedad ace ca de los ciclos que gene an al haz, se suele no a a
es e simplemen e po H. Al ciclo del haz Hde inido po los escala es λ1yλ2se le
deno a á po Cλ1,λ2, de nue o siemp e que es é cla o qué haz es amos eniendo en
cuen a.
Obse ación 4.1. Deducimos las siguien es p opiedades de los haces de ciclos:
1. Dado un haz Hgene ado como en la de inición an e io , si (λ1:λ2)=(µ1:µ2)
( is os como pun os p oyec i os de P1(R)), en onces Cλ1,λ2=Cµ1,µ2, en en-
diéndose la igualdad de ciclos no solo como conjun os sino que en el caso
de ci cun e encias imagina ias coincidan los cen os y los adios (imagina-
ios). En e ec o po de inición de espacio p oyec i o exis e un β∈R∗ al que
(λ1, λ2) = β(µ1, µ2). Po an o las ecuaciones λ1 1+λ2 2= 0 yµ1 1+µ2 2= 0
son p opo cionales y de inen el mismo ciclo.
2. Po cada pun o del plano pasa al menos un ciclo: en e ec o, sea H(C1,C2), con
C1yC2de ecuaciones espec i as 1= 0 y 2= 0. Si Pes á en C1oC2ya hay
un elemen o del haz que pasa po P; si no, el ciclo C− 2(P), 1(P)con iene a P
ya que [− 2(P)] 1(P)+[ 1(P)] 2(P)=0.
3. Ob iamen e un haz solo depende de los ciclos que lo gene en y no de las
ecuaciones que escojamos, pues las ecuaciones de un ciclo son la misma sal o
múl iplo po un escala . Po ello podemos supone sin pé dida de gene alidad
28 la in e sión espec o de una ci cun e encia
que las ecuaciones de las ci cun e encias que gene an un haz (si es que hay
alguna) son no males.
4. Sea el haz H(C1,C2), donde las ci cun e encias ienen ecuaciones no males
1= 0 y 2= 0 espec i amen e. En onces, si no son concén icas, su eje
adical e, según se io en la obse ación 2.3, iene ecuación 1− 2= 0, y
po an o es á en el haz H.
P oposición 4.1. Sean C1,C2ciclos dis in os de inidos po 1= 0 y 2= 0. Sean
C,Dciclos del haz H(C1,C2)dis in os. En onces H(C1,C2) = H(C,D).
Demos ación. Sean CyDde inidos po λ1 1+λ2 2= 0,µ1 1+µ2 2= 0,
espec i amen e. En onces C=D(como ciclos) si y solo si

λ1λ2
µ1µ2= 0
(es deci , si las ecuaciones no son p opo cionales). Es o es, se iene que λ1µ2−λ2µ1=
0. Veamos la igualdad po doble inclusión.
⊇Las ecuaciones de CyDson combinaciones lineales no nulas de las de C1y
C2, luego oda combinación lineal no nula de las ecuaciones de CyDes ambién
combinación de 1= 0 y 2= 0. Así que odo ciclo de H(C,D)es ciclo de H(C1,C2).
⊆No emos que una combinación lineal de las ecuaciones de CyDes
µ2(λ1 1+λ2 2)−λ2(µ1 1+µ2 2) = 0;
es combinación lineal no nula po que si λ2=µ2= 0, en onces C=D=C1, lo que
con adice la hipó esis de que ue an dis in as. Pe o la ecuación queda
(λ1µ2−λ2µ1) 1= 0,
que es múl iplo no nulo de la ecuación de C1(no nulo po la hipó esis sob e el de e -
minan e). Luego C1∈ H(C,D). De igual o ma se e que C2∈ H(C,D). Usando un
azonamien o como el de a iba, emos que oma haz gene ado po dos ciclos espe a
las inclusiones, así que como C1,C2∈ H(C,D), enemos H(C1,C2)⊆ H(C,D).■
Co ola io 4.1. Si un pun o pe enece a dos ciclos dis in os de un haz H, pe enece
a odos los ciclos del haz.
Demos ación. Supongamos P∈C1∩C2, con C1,C2ciclos de H. En onces po la
p oposición an e io H=H(C1,C2). Si Pes a ín, 1= 0, 2= 0 son ecuaciones de
los ciclos espec i amen e, en onces un ciclo Ccualquie a del haz iene una ecuación
de la o ma λ1 1+λ2 2= 0, no ambos coe icien es nulos. En ese caso λ1 1(P) +
4. haces de ciclos 29
λ2 2(P) = 0, luego P∈C. Si P=∞, los dos ciclos son ec as, el haz gene ado es
de ec as (po que la combinación lineal de ecuaciones lineales es lineal), y odo ciclo
del haz es una ec a así que pasa po P.■
Se e mo i ada po an o la siguien e de inición:
De inición 4.2 (Pun os base). Sea H=H(C1,C2)un haz de ciclos. En onces
se de inen los pun os base del haz como
B(H) = C1∩C2=
C∈H
C.
No emos que, como imos, po cada pun o del plano pasa al menos un ciclo del
haz. Además si po un pun o pasan dos ciclos, pasan odos los del haz. Luego po
odo pun o a ín que no sea base pasa exac amen e un ciclo del haz.
4.2 Clasi icación de haces de ciclos
•Haces gene ados po dos ec as
Si un haz Hcon iene a dos ec as ys(y po an o es á gene ado po ellas), odo
ciclo del haz es una ec a (ob iamen e, pues la combinación lineal de ecuaciones
lineales es lineal). Hay dos opciones:
1. ysson pa alelas. En ese caso, el único pun o base es el in ini o. Además,
po se las ec as pa alelas podemos oma las ecuaciones de ambas como :
Ax+By+C= 0, s :Ax+By+D= 0,A, B no ambos nulos y C=D. En onces
cualquie ec a de H iene una ecuación de la o ma Ax +By +(λ1C+λ2D)
λ1+λ2= 0,
con λ1+λ2= 0. Dado β∈R, emos que omando λ1=β−D, λ2=C−β,
el ciclo Cλ1,λ2del haz iene una ecuación de la o ma Ax +By +β= 0. Es o
es, Hcon iene a odas las ec as pa alelas a ys.
2. ysno son pa alelas. En ese caso los pun os base son el in ini o y un pun o
a ín P= (x0, y0). Las ecuaciones de ambas son :A(x−x0) + B(y−y0) =
0, s :A′(x−x0) + B′(y−y0)=0, donde además pa a que sean dis in as
debemos ene

A A′
B B′= 0.
30 la in e sión espec o de una ci cun e encia
Dados α, β ∈Rno ambos nulos, el sis ema
A A′
B B′! λ1
λ2!= α
β!
iene solución: es o es, exis en λ1yλ2, no ambos nulos, ales que λ1A+λ2A′=
α, λ1B+λ2B′=β. En ese caso el ciclo Cλ1,λ2del haz iene ecuación (λ1A+
λ2A′)(x−x0)+(λ1B+λ2B′)(y−y0)=0: es deci , α(x−x0) + β(y−y0) = 0.
Po an o el haz Hes á o mado po odas las ec as que pasan po P.
Figu a 4.1. Haces gene ados po ec as
•Haces que no con ienen ec as
Si H(C1,C2)no con iene ec as es po que C1yC2no ienen eje adical: pues de
ene lo es e pe enece a H( is o en la obse ación 4.1). Si no ienen eje adical
es po que son concén icas, de cen o O= (x0, y0). Suponiendo que las ecuaciones
son C1: (x−x0)2+ (y−y0)2− 2
1= 0,C2: (x−x0)2+ (y−y0)2− 2
2= 0, con los
adios posiblemen e iguales a 0o imagina ios, y 1= 2, el haz con iene a odas las
ci cun e encias con ecuaciones de la o ma
(x−x0)2+ (y−y0)2−λ1 2
1+λ2 2
2
λ1+λ2
= 0,
donde λ1+λ2= 0. Po an o oda ci cun e encia del haz es á cen ada en O. Sea
β∈Rcualquie a. Tomando λ1=β− 2
2, λ2= 2
1−β enemos que el ciclo Cλ1,λ2
iene ecuación (x−x0)2+ (y−y0)2−β= 0: es o es, la ci cun e encia de cen o Oy
adio √βes á en el haz pa a odo β. Así que el haz Hcon iene exac amen e a odas
las ci cun e encias eales, imagina ias y colapsadas a un pun o cen adas en O.
4. haces de ciclos 31
Figu a 4.2. Haz de ci cun e encias concén icas
Po an o, si un haz con iene al menos dos ec as es o bien un haz de ec as pa alelas
o bien un haz de ec as inciden es en un pun o. Si no con iene ec as es un haz de
ci cun e encias concén icas. Así que el es o de haces iene una única ec a.
De inición 4.3 (Haz excepcional). Un haz de ciclos Hque sea de ec as pa ale-
las, de ec as inciden es en un pun o, o de ci cun e encias concén icas se denomina
haz excepcional o haz singula .
•Haces que con ienen una sola ec a
Si un haz Hcon iene una única ec a e, debe con ene ambién una ci cun e encia
C1, de cen o O1y adio 1(posiblemen e 0o imagina io). En onces no emos que
si una ci cun e encia C2es á en Hy no es concén ica con C1debemos ene que el
eje adical de ambas ambién sea un ciclo del haz (po la obse ación 4.1). Pe o
como la única ec a del haz es e, se iene que e=e(C1,C2). Es o es, odo pa de
ci cun e encias no concén icas del haz iene a ecomo eje adical. Recíp ocamen e,
si g= 0 es una ecuación de e, y 1= 0 es la ecuación no mal de C1, sea C2 al que
ees el eje adical de C1yC2. En ese caso sabemos que, si 2= 0 es la ecuación
no mal de C2, 1− 2= 0 es una ecuación de e, po lo que es p opo cional a g= 0,
digamos que λ= 0 es al que 1− 2=λg. En onces 2= 1−λg = 0 es una
combinación lineal no nula de ecuaciones de ciclos del haz, de donde concluimos que
C2∈ H. Además Hno con iene a dos ci cun e encias concén icas, pues en onces lo
gene a ían, y se ía un haz sin ec as según hemos is o. Po an o, dada C1∈ H, una
ci cun e encia C2es á en el haz si y solo si e=e(C1,C2). Es o es, podemos desc ibi
los haces no excepcionales diciendo que son el conjun o de pa es de ci cun e encias
cuyo eje adical es una ec a común. A eces, a la única ec a del haz po abuso de
lenguaje se le llama á "eje adical del haz", aunque en es e caso debe queda cla o

32 la in e sión espec o de una ci cun e encia
que nos e e imos al eje adical de cualquie pa de ci cun e encias del haz.
Aho a, como se io en la p oposición 2.2, el eje adical de dos ci cun e encias
es pe pendicula a la ec a que une sus cen os. Sea C1ci cun e encia ija de H, de
cen o O1. En onces pa a cada C2∈ H, de cen o O2, se iene que −−−→
O1O2⊥e: es o
es, odo cen o de una ci cun e encia del haz es á en la ec a pe pendicula a eque
pasa po O1.
De inición 4.4 (Rec a de cen os). Dado un haz no excepcional Hque con iene
a la ec a e, se denomina ec a (o línea) de cen os del haz a la ec a que con iene a
odos los cen os de odas las ci cun e encias de H, que es pe pendicula a e.
Además, no solo es que odo cen o es é den o de la ec a de cen os del haz,
sino que odo pun o de la ec a de cen os es cen o de alguna ci cun e encia de H.
P oposición 4.2. Sea Hun haz no excepcional, que con iene a la ec a e. Si Oes
un pun o de la línea de cen os, exis e una única ci cun e encia del haz Cde cen o
O.
Demos ación. La unicidad es á cla a, pues si exis en dos ci cun e encias de cen-
o Oque son dis in as, gene an al haz y po an o es un haz de ci cun e encias
concén icas, que no con iene ec as. Pa a e la exis encia, sea C1∈ H, de cen o
O1y adio 1, posi i o, 0o imagina io. Bas a e que exis e una ci cun e encia C,
de cen o O=O1, al que e=e(C,C1): pues po lo que hemos comen ado an es
es o implica que Ces á en el haz. Sea Qla in e sección de econ la línea de cen os
(exis e po que son pe pendicula es). Sea 2=∥−−→
OO1∥2+2−−→
OO1·−−→
O1Q+ 2
1. En onces,
pa a cualquie Pde e, se iene que −→
QP es ec o di ec o de e(o el ec o nulo), y
po an o es o ogonal a −−→
OO1al se es e ec o di ec o de la línea de cen os. Sea C
la ci cun e encia de cen o Oy adio . En onces la po encia de P espec o de Ces:
ΠC(P) = ∥−→
OP∥2− 2=∥−−→
OO1+−−→
O1P∥2−∥−−→
OO1∥2−2−−→
OO1·−−→
O1Q− 2
1
| {z }
− 2
=
=∥−−→
OO1∥2+ 2−−→
OO1·−−→
O1P+∥−−→
O1P∥2−∥−−→
OO1∥2−2−−→
OO1·−−→
O1Q− 2
1.
Aho a, como dijimos −→
QP es pe pendicula a −−→
OO1. Po an o se iene: −−→
OO1·−−→
O1P=
−−→
OO1·(−−→
O1Q+−→
QP) = −−→
OO1·−−→
O1Q. Sus i uyendo a iba enemos que
ΠC(P) = 2−−→
OO1·−−→
O1P
|{z }
2−−→
OO1·−−→
O1Q
+∥−−→
O1P∥2−2−−→
OO1·−−→
O1Q− 2
1=∥−−→
O1P∥2− 2
1= ΠC1(P),
po de inición de po encia. Es deci , que pa a odo P∈e, la po encia de P espec o
de Ces igual a la po encia espec o de C1. Luego e=e(C,C1)y enemos C∈ H.■
4. haces de ciclos 33
Así que de los haces no excepcionales sabemos que con ienen solo una ec a e,
que es eje adical común de odas las ci cun e encias del haz, y que además odos los
cen os es án en una ec a pe pendicula a e. Hay es posibilidades pa a los pun os
base: que no haya pun os base, que haya uno o que haya dos (pues son los posibles
co es de una ec a con una ci cun e encia).
1. Si hay dos pun os base, B(H) = {P1, P2}, el eje adical ees la ec a que
pasa po ellos. Si una ci cun e encia pasa po ellos dos, su cen o es á en la
media iz MP1,P2+⟨−−→
P1P2⟩⊥, que es pe pendicula a ey po an o pa alela a
la línea de cen os. Es deci , que el cen o es á en la línea de cen os y en una
ec a pa alela a ella, luego la media iz de P1yP2es la ec a de cen os. Si una
ci cun e encia es á en el haz pasa po P1y po P2, po de inición de pun os
base; ecíp ocamen e si C1es á en el haz y Cpasa po P1yP2, en onces su eje
adical pasa po P1yP2, luego es e. Como e=e(C1,C),C∈ H. Po an o el
haz es el conjun o de ciclos que pasan po P1yP2, odas las ci cun e encias
son eales po que pasan po dos pun os. A es e ipo de haz se le denomina haz
elíp ico o haz de ipo in e secan e.
2. Si hay un solo pun o base, B(H) = {P}, no hay ci cun e encias imagina ias
( odas las ci cun e encias pasan al menos po P). Sea O1un pun o de la línea
de cen os que no es á en e, y sea C1la ci cun e encia del haz de cen o O1.
Como O1no es P(pues P∈e), la ci cun e encia C1debe se eal, digamos de
adio 1>0. Aho a, la ci cun e encia colapsada a Pes á en el haz, po que el
eje adical de {P}( is o como ci cun e encia colapsada a un pun o) y C1es e,
po la obse ación 2.1. Además, se iene que oda ci cun e encia angen e a
C1en Ppe enece al haz po ene eje adical e; ecíp ocamen e si Ces á en
el haz debe co a a C1solo en Py po an o son angen es. Es o es, el haz
es el conjun o de ci cun e encias angen es en e sí (y angen es con e) en P,
además del eje e. A es e ipo de haz se le denomina haz pa abólico o haz de
ipo angencial.
3. Si no hay pun os base, sea Pel co e de la línea de cen os con e. Sea C1una
ci cun e encia del haz cualquie a ( eal o no), de adio 1y cen o O1, y sea O
un pun o de la línea de cen os que no es P. Sea Cla ci cun e encia del haz
de cen o O, de adio . Como Pes á en el eje adical e enemos que
ΠC(P) = ∥−→
OP∥2− 2=∥−−→
O1P∥2− 2
1= ΠC1(P),
luego 2=∥−→
OP∥2−∥−−→
O1P∥2+ 2
1. Si C1es eal, como no hay pun os base el eje
eno co a a la ci cun e encia, así que ∥−−→
O1P∥2− 2
1>0. Si C1es imagina ia o
colapsada a un pun o, la desigualdad es á cla a po que 2
1≤0. En onces, si O
34 la in e sión espec o de una ci cun e encia
es uno de los pun os de la línea de cen os al que d(O, P) = q∥−−→
O1P∥2− 2
1,
po la igualdad an e io
2=∥−−→
O1P∥2− 2
1−∥−−→
O1P∥2+ 2
1= 0;
así que la ci cun e encia Ces colapsada al pun o O. No emos que hay dos pun-
os dis in os O′, O′′ ∈e(equidis an es de P) ales que d(O′, P) = d(O′′, P) =
q∥−−→
O1P∥2− 2
1, luego hay en Hdos ci cun e encias colapsadas a un pun o. Si
Oes á en el in e io del segmen o O′O′′, en onces el adio de la ci cun e encia
co espondien e es
2=∥−→
OP∥2−∥−−→
O1P∥2+ 2
1<∥−−→
O′P∥2−∥−−→
O1P∥2+ 2
1= 0,
po que al es a Oen el in e io del segmen o, es á a meno dis ancia del pun o
medio Pque los ex emos. Po an o, las ci cun e encias de cen o en el in e io
de O′O′′ son imagina ias: igualmen e un cálculo simila mues a que las ci -
cun e encias del haz de cen o en el ex e io de O′O′′ son eales. A O′, O′′ se les
denomina pun os lími e del haz. A es e ipo de haz se le llama haz hipe bólico
o de ipo no in e secan e.
Figu a 4.3. Haces no excepcionales: elíp ico, pa abólico e hipe bólico
5 In e sión
5.1 De inición de in e sión
Vamos a es udia la ans o mación undamen al en la que se basa es e abajo:
la in e sión.
De inición 5.1 (In e sión). Sea O∈A2(R)un pun o a ín cualquie a, y α∈R∗
un eal no nulo. Se de ine la in e sión de polo Oy po encia αcomo la aplicación
φ:A2(R) {O} → A2(R) {O}dada po φ(P) = P′, donde el pun o P′es el único
que e i ica
−−→
OP′=α
∥−→
OP∥2−→
OP.
Es deci , que
φ(P) = O+α
∥−→
OP∥2−→
OP.
A la ci cun e encia Cde cen o Oy adio √α(quizá imagina io) la llamamos ci -
cun e encia de in e sión. A menudo nos e e i emos a φcomo la in e sión espec o
de la ci cun e encia C.
Obse ación 5.1. Sea φla in e sión de polo O∈A2(R)y po encia α∈R∗.
Tenemos:
1. φes in olu i a en A2(R) {O}(es o es, φ=φ−1). En e ec o po la de inición
an e io , llamando P′=φ(P), se iene ∥−−→
OP′∥=|α|
∥−−→
OP ∥, po lo que
−→
OP =∥−→
OP∥2
α−−→
OP′=α
∥−−→
OP′∥2
−−→
OP′;
es deci , P=φ(P′)y po an o φ=φ−1.
42 la in e sión espec o de una ci cun e encia
el esul an e de mul iplica el adio de Dpo el alo absolu o de la azón de homo-
ecia. Como Des la ci cun e encia de cen o Ay adio , se iene que k=OA2− 2
po de inición de po encia, así que la azón de homo ecia es
α
OA2− 2,
de donde se sigue la exp esión de Cyρ.■
Po an o, en base a las p oposiciones an e io es enemos el siguien e esul ado:
Teo ema 5.1. La in e sión, conside ada como aplicación en el plano in e si o
ˆ
A2(R), manda ciclos en ciclos. En conc e o manda ciclos que pasan po el polo en
ec as, y ciclos que no pasan po el polo en ci cun e encias.
Además de es e impo an e esul ado, enemos o o sob e la con o midad de la
in e sión.
De inición 5.3 (Aplicación con o me). Sean U, V abie os no acíos de A2(R).
Sea :U→Vdi e enciable; decimos que es con o me en P∈Usi conse a los
ángulos en P. Es o es, si αyβson cu as di e enciables con α( 0) = β( 1) = P,
en onces el ángulo en e α′( 0)yβ′( 1)coincide con el ángulo en e ( ◦α)′( 0)y
( ◦β)′( 1).
Pa a e que una aplicación es con o me, se puede usa la de inición 3.9.1de
[HP10]: en las condiciones an e io es, si J (P)es la ma iz jacobiana de en cada
Pde U, en onces es con o me si y solo si exis e λ:U→Rdi e enciable, que no
se anula en ningún pun o, al que pa a odos u, ∈R2y pa a odo P∈Use iene
(J (P)·u)·(J (P)· ) = λ(P)(u· ).
Podemos demos a aho a uno de los p incipales esul ados sob e la in e sión: que
es con o me.
Teo ema 5.2. Sea φ:A2(R) {O} → A2(R) {O}la in e sión de polo Oy
po encia α. En onces φes con o me en odo A2(R) {O}.
Demos ación. Pa a e que φes con o me podemos oma un sis ema de e e-
encia, usa las ecuaciones ca esianas de φcomo en la obse ación 5.1, y usa la
ca ac e ización mencionada an e io men e. Es deci , bas a e que pa a cada pa de
ec o es u, ∈R2y pa a cada Pse iene
(Jφ(P)·u)·(Jφ(P)· ) = λ(P)(u· ),

5. in e sión 43
pa a una cie a λdi e enciable que no se anula. Pe o po de inición de p oduc o
escala es o es equi alen e a e que
u (Jφ(P)) (Jφ(P)) =λ(P)u ;
luego si emos que exis e λdi e enciable, que no se anula al que en cada Pse iene
(Jφ(P)) (Jφ(P)) = λ(P)·I, donde Ies la ma iz iden idad, hemos e minado: pues
en ese caso
u (Jφ(P)) (Jφ(P)) =λ(P)u I =λ(P)u ,
luego φse ía con o me. Po an o, es su icien e e que (Jφ(P)) (Jφ(P)) es un múl-
iplo de la ma iz iden idad po una unción di e enciable que no se anula. Veámoslo.
Conside amos un sis ema de e e encia, al que el polo es O= (x0, y0). En on-
ces, según imos en la obse ación 5.1, las ecuaciones de φson φ(x, y)=(x′, y′),
donde
x′=x0+α
(x−x0)2+ (y−y0)2(x−x0),
y′=y0+α
(x−x0)2+ (y−y0)2(y−y0),
pa a odo (x, y)= (x0, y0). Llamando X=x−x0, Y =y−y0, podemos ab e ia
un poco la exp esión de φ:
φ(x, y) = (φ1(x, y), φ2(x, y)) = x0+α
X2+Y2X, y0+α
X2+Y2Y,
no emos que como (x, y)= (x0, y0)se iene X2+Y2= 0. De i ando ob enemos la
ma iz jacobiana de φ,Jφ(P) = ∂φ1
∂x
∂φ1
∂y
∂φ2
∂x
∂φ2
∂y !P
:
Jφ(P) = 

αY2−X2
(X2+Y2)2−2αXY
(X2+Y2)2
−2αXY
(X2+Y2)2αX2−Y2
(X2+Y2)2
=α
(X2+Y2)2 Y2−X2−2XY
−2XY X2−Y2!.
Aho a, enemos que
(Jφ(P)) (Jφ(P)) = α2
(X2+Y2)4 Y2−X2−2XY
−2XY X2−Y2! Y2−X2−2XY
−2XY X2−Y2!=
=α2
(X2+Y2)4 X4−2X2Y2+Y4+ 4X2Y20
0X4−2X2Y2+Y4+ 4X2Y2!=
=α2
(X2+Y2)4(X2+Y2)2 1 0
0 1!=α2
(X2+Y2)2 1 0
0 1!.
44 la in e sión espec o de una ci cun e encia
Si de inimos λ:A2(R) {O} → R,
λ(x, y) = α2
(X4+Y2)2=α2
((x−x0)2+ (y−y0)2)2,
se iene que λes di e enciable y no se anula al se α= 0 po de inición de in e sión.
Según hemos is o an es, como (Jφ(P)) (Jφ(P)) = λ(P)I,φes con o me, que es lo
que que íamos e . ■
Obse ación 5.4. No emos que el con enio que omamos al de ini los ángulos de
ec as en el in ini o al p incipio del capí ulo 3, aho a que sabemos que la in e sión es
con o me, ienen sen ido y con dicho con enio se siguen conse ando los ángulos en
el in ini o. En e ec o, si dos ec as ysson secan es, de inimos el ángulo en el in ini o
como el mismo ángulo que o man en su in e sección a ín P: pues po la in e sión φ
de polo Py po encia 1, el in ini o y Pse in e cambian, y ysse quedan ijas, así
que el ángulo que o man en Pes el ángulo que o man en φ(∞). Pa a que φsea
con o me en in ini o ambién debemos oma el con enio como lo hemos omado.
Igualmen e, si dos ec as ysson pa alelas omando una in e sión φde cen o
O /∈ ∪sy de po encia 1, ysse ans o man en dos ci cun e encias que se co an
únicamen e en φ(∞) = O(pues yssolo se co an en ∞), así que son angen es
en O. Pa a que la in e sión siga siendo con o me en el in ini o debemos de ini ys
como angen es en ∞. Así que podemos deci que la in e sión es con o me en odo
el plano in e si o.
Obse ación 5.5. Se podía habe demos ado la con o midad de la in e sión pa a
ciclos sin usa geome ía di e encial: pa a una o ma de hace lo e [Pam19]. Sin
emba go lo que hemos demos ado es más gene al, pues la in e sión no solo conse a
los ángulos en e ciclos sino en e odo pa de cu as egula es.
6 Aplicaciones de la in e sión
En es e abajo nos cen a emos p incipalmen e en dos aplicaciones de la geo-
me ía in e si a, aunque como se mencionó en la in oducción hay muchísimas más.
Pa a e algunas de ellas e po ejemplo [Sch79]o[Pam19].
6.1 Teo ema de P olomeo
El eo ema de P olomeo es un impo an e esul ado en geome ía clásica, que
ca ac e iza a los cuad ilá e os cíclicos (los que se pueden insc ibi en una ci cun e-
encia). Si bien o iginalmen e se p obó usando mé odos elemen ales, podemos usa
geome ía in e si a pa a ob ene una demos ación al e na i a.
P oposición 6.1 (Relaciones mé icas). Sea Cuna ci cun e encia eal de cen o
Oy adio > 0. En onces, si φes la in e sión espec o de C, y P, Q son pun os
dis in os de O, se iene
∥−−→
P′Q′∥= 2∥−→
PQ∥
∥−→
OP∥∥−→
OQ∥,
donde P′=φ(P), Q′=φ(Q).
Demos ación. Lo amos a e usando p opiedades de la in e sión. La ec a que
pasa po O, P, P′in ie e sob e ella misma, e igual con la que pasa po O, Q, Q′.
Po de inición de in e sión, −→
OP ·−−→
OP′=−→
OQ ·−−→
OQ′= 2, y como O, P, P′yO, Q, Q′
es án alineados se iene que
∥−→
OP∥
∥−→
OQ∥=∥−−→
OQ′∥
∥−−→
OP′∥.
46 la in e sión espec o de una ci cun e encia
Así que los iángulos △OPQ y△OQ′P′son semejan es (compa en el ángulo
[
OPQ =
OQ′P′po que las ec as que o man el ángulo son ijas pa a la in e sión, y
un pa de lados son p opo cionales). Po an o
∥−−→
P′Q′∥
∥−→
PQ∥=∥−−→
OP′∥
∥−→
OQ∥=∥−→
OP∥∥−−→
OP′∥
∥−→
OP∥∥−→
OQ∥= 2
∥−→
OP∥∥−→
OQ∥,
de donde se deduce lo que que íamos e . ■
Obse ación 6.1. Lo an e io es cie o ambién en la in e sión espec o de una
ci cun e encia imagina ia, sal o que hay que pone alo absolu o en el 2. Se ob iene
di ec amen e eniendo en cuen a que la in e sión espec o de una ci cun e encia
imagina ia Cde adio < 0es la in e sión espec o de una ci cun e encia eal de
adio | |seguida de una sime ía cen al en O.
Teo ema 6.1 (P olomeo). Sea ABCD un cuad ilá e o con exo. En onces se
e i ica la desigualdad en e lados y diagonales
AB ·CD +AD ·BC ≥AC ·BD,
con igualdad si y solo si el cuad ilá e o es cíclico (es deci , si exis e una ci cun e encia
que pasa po odos los é ices).
Demos ación. Sea Cuna ci cun e encia eal cen ada en B, y de adio > 0
a bi a io. Conside amos la in e sión φ espec o de C. Dicha φen ía la ci cun e encia
Dque pasa po A, B, C en la ec a sque pasa po A′yC′. Po la desigualdad
iangula se iene
A′C′≤A′D′+D′C′;
es deci , po la p oposición an e io
2AC
AB ·BC ≤ 2AD
AB ·BD + 2CD
BC ·BD.
Mul iplicando po AB ·BC ·BD y di idiendo po 2se iene que
AC ·BD ≤AD ·BC +AB ·CD.
Además po la desigualdad iangula , la igualdad se da si y solo si A′, C′yD′es án
alineados: es deci , si y solo si D′es á en la ec a s. Como s=φ(D), la igualdad se
da si y solo si D∈D: es deci , si y solo si el cuad ilá e o es cíclico. ■
6. aplicaciones de la in e sión 47
6.2 P oblemas de Apolonio
Los p oblemas de Apolonio a an de a e igua las ci cun e encias simul ánea-
men e angen es a es dadas. Es con enien e, como o iginalmen e lo hizo Apolonio
de Pe ga en su a ado sob e las angencias, ex ende un poco el p oblema y es-
udia las ci cun e encias angen es a es obje os, donde los obje os pueden se
ci cun e encias, ec as o pun os. Así, di emos que un p oblema de Apolonio es de
ipo (a, b, c), donde a+b+c= 3, si enemos aci cun e encias, b ec as y cpun os.
Po ejemplo, el p oblema o iginal es de ipo (3,0,0) (ci cun e encias angen es a 3
ci cun e encias dadas). Usa emos la in e sión (y ocasionalmen e los haces de ciclos)
pa a busca las soluciones de algunos ipos de p oblemas. No es un obje i o de es e
abajo clasi ica los p oblemas de Apolonio en su o alidad, ya que es edioso (de
hecho, hay 49 posibles posiciones ela i as de es ci cun e encias de adios dis in os,
y si incluimos la posibilidad de que los adios coincidan hay muchas más). Sin em-
ba go, se busca enseña de qué o ma podemos esol e cualquie ipo de p oblema
de Apolonio. Pa a una clasi icación comple a e , po ejemplo, [Mui95].
6.2.1 P oblema de ipo (0,0,3)
En es e caso, buscamos las ci cun e encias que pasan po 3pun os dis in os.
Como imos en el capí ulo 1no hay solución si es án alineados, y hay una única
solución si es án en posición gene al.
6.2.2 P oblema de ipo (0,3,0)
En es e caso buscamos las ci cun e encias que son angen es a 3 ec as , s, a la
ez. Si las es son pa alelas no hay solución. Si ysson pa alelas, y es secan e
con ambas, hay dos soluciones. Si son secan es en un mismo pun o no hay solución,
y si se co an dos a dos hay 4soluciones dis in as ( e po ejemplo [Pam21c]).
6.2.3 P oblema de ipo (0,1,2)
En es e caso buscamos las ci cun e encias que pasan po dos pun os AyB, y son
angen es a una ec a dada . Si AyBes án en un mismo semiplano (conside ando

48 la in e sión espec o de una ci cun e encia
la di isión en dos semiplanos de A2(R)que hace la ec a ), no es án en la ec a , y
AB no es pa alelo a , hay dos soluciones dis in as, que se pueden halla , po ejemplo,
eniendo en cuen a que si Pes la in e sección de la ec a AB con ,PT2=PA·PB,
donde Tson los pun os de angencia de las ci cun e encias solución con la ec a
(po po encia). Si AyBes án en un mismo semiplano, no es án en la ec a yAB
es pa alelo a hay una única solución, que es angen e a en la in e sección con la
media iz de AB. Si AyBes án en un mismo semiplano y uno de ellos, po ejemplo
A, es á en la ec a , hay una solución, angen e a en Ay que pasa po B(única
po que la solución debe pe enece al haz pa abólico de angen es a en A, y po
an o hay una única ci cun e encia que pasa po B). Si AyBes án ambos en o
en dis in os semiplanos no hay solución.
6.2.4 P oblema de ipo (1,0,2)
Buscamos ci cun e encias angen es a o a ci cun e encia Cy que pasen po dos
pun os dados AyB. Podemos educi es e caso al an e io median e una in e sión
espec o de una ci cun e encia cen ada en algún pun o de C, que ans o ma a C
en una ec a , y AyBen dos pun os A′yB′, eniendo po an o el caso (0,1,2)
an e io que sí sabemos cuando iene solución. Resol iendo el p oblema asociado a
{ , A′, B′}e in i iendo de nue o enemos las soluciones del p oblema o iginal.
O a o ma de esol e el p oblema es la siguien e: suponemos que AyBes án
en el ex e io de C(es deci , ienen po encia posi i a), y que su media iz no pa-
sa po Oel cen o de C. Sea Hel haz elíp ico de pun os base AyB. En onces
exis e un único pun o Cque es el "cen o adical" de CyH, en el siguien e sen-
ido: ΠC(C)=ΠC′(C)pa a odo C′de H. En e ec o, omando dos ci cun e encias
C1,C2cualesquie a de H, el cen o adical Cde C,C1yC2es un cie o pun o C,
ya que la ec a de cen os del haz es la media iz de AB, que no pasa po Oy
po an o los cen os es án en posición gene al. Aho a, dada C′cualquie a del haz,
ΠC(C)=ΠC1(C)=ΠC2(C)=ΠC′(C)po que al es a Cen el eje adical del haz
la po encia espec o de cualquie pa de ci cun e encias es cons an e. En onces, las
ec as angen es a Cque pasan po Cco an a Cen los dos pun os de angencia de
las dos soluciones del p oblema, TyT′, ya que ΠC(C) = ΠD(C) = CT2, donde D
es la ci cun e encia del haz que pasa po T. Po an o Des angen e a la ec a CT
en Ty es angen e po an o a Cen T(el azonamien o con T′es análogo). O os
casos se pueden con e i a es e median e una in e sión ap opiada: po ejemplo, si
AyBson in e io es, omando la in e sión espec o de Clos hacemos ex e io es (si
6. aplicaciones de la in e sión 49
el caso no admi e dos soluciones siemp e se puede esol e pasando al ipo (0,1,2)).
6.2.5 P oblema de ipo (0,2,1)
Buscamos ci cun e encias angen es a dos ec as , s y que pasen po un pun o
dado A. Si Ano es ∩spodemos educi al caso (0,1,2) omando Bel simé ico de A
espec o de la bisec iz del ángulo en e las ec as ys, y hallando las ci cun e encias
que pasen po A, B y sean angen es a (hay dos bisec ices, pe pendicula es en e
sí, pe o una de ellas no da solución po que AyBno es án en el mismo semiplano,
sal o que Aes é en una de las ec as). Si Aes la in e sección de ysno hay solución.
6.2.6 P oblema de ipo (1,1,1)
Buscamos las ci cun e encias angen es a o a dada C, a una ec a sy que pasen
po un pun o A. Supongamos p ime o que Ano es á ni en Cni en s. Sea Duna
ci cun e encia cualquie a cen ada en A. En onces, la in e sión espec o de Dlle a
Aal in ini o, Ca o a ci cun e encia C′ysa una ci cun e encia D. Po an o, las
ci cun e encias angen es a C, s y que pasan po Ain ie en en ec as angen es
aC′yD. Con e imos po an o el p oblema en halla las ec as angen es a dos
ci cun e encias, que puede ene 0,1,2o4soluciones, dependiendo de si las ci cun e-
encias son in e io es (0), angen es in e io es (1), angen es ex e io es o secan es (2)
o ex e io es (4); las in e sas de es as ec as se án las soluciones del p oblema o iginal.
Si el pun o Aes á en C, sea la ec a angen e a Cen A. En onces las solucio-
nes al p oblema o iginal son las angen es a s, que pasan po A, que es de ipo
(0,2,1). Si el pun o Aes á en s, y es el adio de C, las ci cun e encias angen es a
Cque son angen es a sen A ienen cen o en la pe pendicula a sen A. Hallamos
los dos pun os de dicha pe pendicula que es án a dis ancia de A, y a e iguamos
los cen os de las ci cun e encias que pasan po O, po dichos pun os de la pe -
pendicula en A, y que ienen cen o en dicha pe pendicula . En onces, como son
cen os de ci cun e encias que pasan po el cen o de C, y es án a dis ancia de A
en la pe pendicula a spo A, las ci cun e encias de esos mismos cen os y adios
dila ados o con aídos po (según co esponda) son las soluciones. Dependiendo
de las con igu aciones pueden habe 0,1,2,3o4soluciones (e incluso in ini as en el
caso i ial en el que yCson angen es en A).
50 la in e sión espec o de una ci cun e encia
6.2.7 P oblema de ipo (2,0,1)
Buscamos las ci cun e encias angen es a dos dadas C1yC2, que pasen po un
pun o A. Es e caso se puede educi al an e io median e una in e sión espec o de
una ci cun e encia cen ada en algún pun o de C1, que la ans o ma en una ec a;
C2se ans o ma en o a ci cun e encia y enemos un p oblema de ipo (1,1,1). O a
opción es di ec amen e in e i espec o de una ci cun e encia cen ada en A, que
ans o ma el p oblema en uno de angencias de ec as: en gene al, las ci cun e-
encias in e i án en o as dos ci cun e encias C′
1,C′
2, y las soluciones del p oblema
(2,0,1) se co esponde án con ec as angen es a C′
1yC′
2. Exis en, igual que an es,
casos excepcionales: po ejemplo, si las dos ci cun e encias son angen es en A, hay
in ini as soluciones que con o man el haz pa abólico H(C1,C2); o o caso se ía que
las ci cun e encias sean in e io es y Asea in e io a ambas (no hay solución).
6.2.8 P oblema de ipo (3,0,0)
Es os p oblemas son los p oblemas de Apolonio o iginales: busca las ci cun e en-
cias angen es a es dadas C1,C2,C3. Sean O1, O2, O3los cen os y 1≥ 2≥ 3>0
los adios, espec i amen e. A cada solución le asociamos la no ación (∗∗∗), donde
los ∗son +o−. Cada posición indica si la solución es in e io (−) o ex e io (+)
con la ci cun e encia co espondien e (en casos excepcionales puede ocu i que haya
a ias soluciones que engan la misma no ación). Po ejemplo, (+−−) indica que
dicha solución es la ex e io con C1e in e io con C2,C3. La o ma de esol e los en
gene al es la siguien e:
1. Se eemplaza la ci cun e encia más pequeña (C3) con su cen o.
2. Se eemplazan C1yC2con ci cun e encias de igual cen o, pe o de adios 1± 3
y 2± 3 espec i amen e (es deci , se dila an o se con aen las ci cun e encias
3unidades). Llamamos a es as ci cun e encias ˜
C1y˜
C2.
3. Pa a cada caso, se hallan los cen os de las ci cun e encias que pasen po O3
y sean angen es a ˜
C1y˜
C2(p oblema (2,0,1)). De odos ellos hay dos cen os
de las soluciones que buscamos.
Conc e amen e, si po ejemplo elegimos ˜
C1de adio 1+ 3y˜
C2de adio 2− 3, los
cen os de las ci cun e encias que son soluciones del p oblema (3,0,0) son los cen os
de las ci cun e encias (+−−)y(−+ +). Dependiendo de las posiciones ela i as
de las ci cun e encias, de los cen os y de los adios, pueden habe como mucho 8
6. aplicaciones de la in e sión 51
soluciones (sal o algún caso muy excepcional en el que haya in ini as, po ejemplo
es ci cun e encias de un haz pa abólico).
6.3 Ejemplos de p oblemas de Apolonio
C1
C2
C3
Supongamos que enemos un p oblema de Apolonio como el de a iba. En onces,
podemos colapsa C3a un pun o, y conside a las ci cun e encias ˜
C1y˜
C2dila adas y
con aídas po el adio 3. Po ejemplo, aumen amos el adio en C1y en C2. Tenemos
en onces el p oblema auxilia siguien e:
C1
C2
O3
˜
C1
˜
C2
Aho a, buscamos las ci cun e encias angen es a ˜
C1y˜
C2que pasen po O3. Pa a
calcula las podemos in e i espec o de un pun o de alguna de ellas y esol e un
58 la in e sión espec o de una ci cun e encia
También podemos esol e o os p oblemas de Apolonio "gene alizados", como po
ejemplo p oblemas (2,1,0): a a és de una in e sión espec o de una ci cun e encia
que no es é cen ada en ningún pun o de los ciclos dados en el p oblema, los es
ciclos in ie en sob e 3 ci cun e encias. Se esuel e el p oblema (3,0,0) asociado y
ol iendo a in e i enemos las soluciones del p oblema (2,1,0) o iginal. Algunos
ejemplos:

6. aplicaciones de la in e sión 59
Bibliog a ía
[Be 09] Ma cel Be ge . Geome y I. Sp inge Science & Business Media, 2009.
[Cox61] Ha old Sco Macdonald Coxe e . In oduc ion o geome y. John Wiley
& Sons, Inc., 1961.
[Cox68] HSM Coxe e . The p oblem o apollonius. The Ame ican Ma hema ical
Mon hly, 75(1):5–15, 1968.
[GR04] Da id Gisch and Jason M Ribando. Apollonius’ p oblem: A s udy o
solu ions and hei connec ions. Ame ican Jou nal o Unde g adua e Re-
sea ch, 3(1):15–25, 2004.
[HP10] Ma ía de los Ángeles He nández Ci e and José An onio Pas o Gonzá-
lez. Un cu so de geome ía di e encial: eo ía, p oblemas, soluciones y
p ác icas con o denado , olume 47. Edi o ial CSIC-CSIC P ess, 2010.
[Joh13] Roge A Johnson. Ad anced euclidean geome y. Cou ie Co po a ion,
2013.
[Kun07] Paul Kunkel. The angency p oblem o apollonius: h ee looks. BSHM
Bulle in, 22(1):34–46, 2007.
[Moi63] Edwin E Moise. Elemen a y geome y om an ad anced iewpoin .
Addison-Wesley Publishing Company, 1963.
[Mui95] R. F. Mui head. On he numbe and na u e o he solu ions o he apollo-
nian con ac p oblem. P oceedings o he Edinbu gh Ma hema ical Socie y,
14:135–147, 1895.
[Pam19] Pa is Pam ilos. In e sion. h p://use s.ma h.uoc.g /~pam ilos/
eGalle y/p oblems/In e sion.pd , 2019.
62 la in e sión espec o de una ci cun e encia
[Pam21a] Pa is Pam ilos. Apollonius p oblem. h p://use s.ma h.uoc.g /
~pam ilos/eGalle y/p oblems/ApolloniusP oblem.pd , 2021.
[Pam21b] Pa is Pam ilos. Pencils o ci cles o coaxal ci cles. h p://use s.ma h.
uoc.g /~pam ilos/eGalle y/p oblems/Ci clePencils.pd , 2021.
[Pam21c] Pa is Pam ilos. T i angen ci cles. h p://use s.ma h.uoc.g /
~pam ilos/eGalle y/p oblems/T i angen .pd , 2021.
[SCE70] Vi gil Snyde , A hu B Coble, and A nold Emch. Selec ed opics in
algeb aic geome y, olume 189. Ame ican Ma hema ical Soc., 1970.
[Sch79] Hans Schwe d ege . Geome y o Complex Numbe s: Ci cle Geome y,
Moebius T ans o ma ion, Non-euclidean Geome y. Cou ie Co po a ion,
1979.