UNIVERSIDAD DE SEVILLA
FACULTAD DE MATEM ´
ATICAS
T abajo de Fin de M´as e
CLASIFICACI ´
ON DE
CONEXIONES MEROMORFAS
FORMALES EN UNA VARIABLE
Po :
Luis F ancisco Cu quejo O e o
Di igido po :
Luis Na ´aez Maca o
M´as e Uni e si a io en Ma em´a ica A anzada
Se illa - Cu so 2016-2017
´
Indice
Abs ac III
Resumen V
1. In oducci´on 1
B e e in oducci´on his ´o ica y posible con inuaci´on . . . . . . . . . . . . . 1
Sob e la bibliog a ´ıa y la es uc u a del abajo . . . . . . . . . . . . . . . 4
2. Elemen os b´asicos de la eo ´ıa de D-m´odulos 7
2.1. El ´algeb a D.................................. 7
2.1.1. De inici´on del ´algeb a D........................ 8
2.1.2. P opiedades como anillo de D..................... 9
2.1.3. Ideales a la izquie da de D. Di isi´on en D............... 12
2.2. D-m´odulos hol´onomos y conexiones me omo as . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.1. Sis emas di e enciales, il aciones y holonom´ıa . . . . . . . . . . . . 16
2.2.2. Conexiones me omo as y el pol´ıgono de New on . . . . . . . . . . . 18
3. Clasi icaci´on de las conexiones me omo as o males en una a iable 27
3.1. Conexiones me omo as o males egula es . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2. Conexiones me omo as o males en gene al . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.1. Descomposici´on en suma de conexiones me omo as o males de
pendien e´unica............................. 36
3.2.2. Descomposici´on en suma de conexiones me omo as o males ele-
men ales................................. 43
3.3. El eo ema cl´asico de Le el -Tu i in y su u ilidad . . . . . . . . . . . . . 53
3.3.1. La ap oximaci´on cl´asica al eo ema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3.2. El eo ema de Le el -Tu i in y su elaci´on con el eo ema de Mal-
g ange.................................. 56
3.4. Posible p o undizaci´on en la eo ´ıa algeb aica de las ecuaciones di e enciales 57
i
ii ´
INDICE
Bibliog a ´ıa 59
Abs ac
The s udy o sys ems o linea di e en ial equa ions is, since i s incep ion du ing he
XV II h cen u y, a co e and ich a ea in ma hema ics. I is no only ui ul by i sel , bu
i also p o ides a wonde ul ool o modelling a ple ho a o si ua ions in applied ields,
such as physics, chemis y, enginee ing o epidemiology. Thus, ma hema icians ha e cons-
an ly ied o a ack he p oblems in his ield using di e en echniques. Du ing he
XX h cen u y algeb aic ools s a ed o be used wi h he pu pose o s udying singula-
i ies o di e en ial equa ions and o ob ain a mo e p o ound knowledge o he so-called
S okes phenomenon. In his wo k, an in oduc ion o his algeb aic iewpoin will be
de eloped, wi h emphasis in he classi ica ion o o mal me omo phic connec ions, he
so-called Hukuha a-Le el -Tu i in, Le el -Tu i in o Le el -Tu i in-Malg ange de-
composi ion.
The i s chap e con ains a sho in oduc ion o he subjec , explaining he gene al
s uc u e o his wo k, p e ious esul s, some his o ic ema ks and a b ie bibliog aphic
discussion.
The second chap e deals wi h some basics abou D−modules and ela ed no ions, such
as he New on polygon o an ope a o , which will be ins umen al in he p oo o he main
heo ems.
Finally, in he hi d and las chap e , he abs ac algeb aic app oach o Malg an-
ge o he Hukuha a-Le el -Tu i in decomposi ion will be s udied. Also, a sho , non-
exhaus i e s udy o he classical app oach o he decomposi ion o a o mal di e en ial
ope a o — which is a di e en ial analogue o he Jo dan-Che alley decomposi ion — will
be included. A ew ema ks abou he mo e in-dep h s udies will be co e ed as well.
iii

Resumen
El es udio de los sis emas de ecuaciones di e enciales lineales es un ´a ea de las ma-
em´a icas uc ´ı e a y que ha mo i ado nume osos desa ollos e´o icos ya desde su con-
cepci´on en el siglo XVII. Adem´as del in e ´es pu amen e ma em´a ico de las ecuaciones
di e enciales su e sa ilidad a la ho a de modeliza p oblemas en o as ´a eas del conoci-
mien o ( ´ısica, qu´ımica, ingenie ´ıa, epidemolog´ıa...) ha p opiciado que sean un campo de
pe manen e ac ualidad en el cu´al se buscan con inuamen e nue as ´ecnicas de es udio. En
pa icula , a mediados del siglo XX se comenz´o a a on a el es udio de las singula idades
de las ecuaciones di e enciales u ilizando he amien as de ´algeb a abs ac a. Asimismo,
en la misma ´epoca, se comenz´o a es udia desde el pun o de is a algeb aico el en´omeno
de S okes, un en´omeno cl´asico del ´a ea. En el p esen e abajo se p e ende ealiza una
in oducci´on a es a ´a ea desde el pun o de is a algeb aico a ando la clasi icaci´on de las
conexiones me omo as o males en una a iable, lo que se conoce como descomposici´on
de Hukuha a-Le el -Tu i in, Le el -Tu i in o Le el -Tu i in-Malg ange.
El p ime cap´ı ulo con iene una b e e in oducci´on al ema, en la que se explica ´a la
es uc u a gene al del abajo, esul ados p e ios, algunas no as his ´o icas y una b e e
discusi´on bibliog ´a ica.
El segundo cap´ı ulo consis e en un epaso de algunos aspec os b´asicos de la eo ´ıa de
D−m´odulos y aspec os elacionados, como el pol´ıgono de New on. Es os concep os se ´an
undamen ales a la ho a de p oba los esul ados p incipales.
Finalmen e en el e ce cap´ı ulo se comen a ´a la ap oximaci´on abs ac a, debida a
Malg ange, a la descomposici´on de Hukuha a-Le el -Tu i in. Tambi´en se inclui ´a un
b e e es udio no exhaus i o sob e la ap oximaci´on cl´asica a la descomposici´on, que es un
an´alogo di e encial de la descomposici´on de Jo dan-Che alley. Asimismo se p esen a ´an
algunas pinceladas sob e las l´ıneas de p o undizaci´on en el ´a ea de es udio.
Cap´ı ulo 1
In oducci´on
B e e in oducci´on his ´o ica, obje i o del abajo y posible con-
inuaci´on
Las ecuaciones di e enciales y su es udio han sido un elemen o cen al de las ma em´a i-
cas desde su nacimien o, de la mano de New on y Leibniz, a mediados del siglo XVII.
Es a p eeminencia se obse a an o en un ni el pu amen e e´o ico, con la g an can idad
de a ances ma em´a icos que ha impulsado la b´usqueda de una mayo comp ensi´on de
las ecuaciones di e enciales, como en un plano p ´ac ico, debido a la e sa ilidad de las
ecuaciones di e enciales pa a modeliza g an can idad de si uaciones en m´ul iples ´a eas
de la ciencia: desde las aplicaciones m´as elemen ales asociadas a la mec´anica cl´asica has a
algunos de los aspec os m´as pun e os y con m´as in e ´es p esen e como las ecuaciones de
Na ie -S okes, pasando po mul i ud de ´a eas den o de la biolog´ıa, la epidemolog´ıa, la
ingenie ´ıa, la ´ısica y la qu´ımica, en e o os campos.
De en e odos los ipos de ecuaciones di e enciales exis en es podemos des aca uno:
las ecuaciones di e enciales lineales. Son ecuaciones de la o ma
n
X
i=0
ai
di
dxi= 0,
donde los aison unciones complejas de a iable compleja (en la a iable x), posible-
men e me omo as. Po supues o, es e es el caso 1−dimensional: ambi´en exis en ecua-
ciones di e enciales n−dimensionales, pe o po ija ideas y es ingi nos al ´ambi o que
amos a es udia en el cue po p incipal del abajo nos queda emos siemp e en el caso
1−dimensional. Soluciona es a ecuaci´on equi ale a encon a una unci´on de una a iable
compleja de o ma que e i ique la igualdad an e io . En an o es as ecuaciones apa ecen
con ecuencia an o en las ma em´a icas e´o icas como aplicadas (po ejemplo, en ´ısica)
1
8CAP´
ITULO 2. ELEMENTOS B ´
ASICOS DE LA TEOR´
IA DE D-M ´
ODULOS
dada po el p oduc o de se ies habi ual. Es e ope ado es i ialmen e lineal, ca ac e ´ıs ica
que compa e con la de i aci´on habi ual. Con es o en men e podemos c ea , como e emos
en es a secci´on, cie as ´algeb as de ope ado es. Adem´as, los ideales de es as ´algeb as
end ´an cie as p opiedades in e esan es.
2.1.1. De inici´on del ´algeb a D
Conside a emos en odo momen o los anillos C{x}de se ies de po encias con e gen es
yCJxKde se ies o males de po encias. Ob iamen e, se e i ica la elaci´on de inclusi´on
C{x} ⊂ CJxK. Do amos a es os conjun os de es uc u a de anillo de la o ma habi ual: la
suma es la suma ´e mino a ´e mino y el p oduc o es el p oduc o de Cauchy dado po
(
∞
X
i=0
aixi)·(
∞
X
i=0
bixi) =
∞
X
i=0
cixi
siendo ci=
i
P
j=0
ajbi−j. Adem´as, en es os anillos nos encon amos una de i aci´on ∂
∂x (a
la cual deno a emos, po comodidad, ∂x) que ac ´ua de la mane a habi ual. N´o ese adem´as
que la de i aci´on habi ual es un ope ado C-lineal y que cada elemen o del anillo iene
asociado un ope ado dado po la mul iplicaci´on1. Po an o, podemos u iliza el ope ado
conmu ado [·,·] sob e ∂xy un elemen o cualquie a de nues o anillo, ob eni´endose la
elaci´on
[∂x, ] = ∂x◦ − ◦∂x=∂
∂x
siendo el elemen o de la de echa el ope ado mul iplica po ∂
∂x . Es a elaci´on no es
m´as que una mane a al e na i a de esc ibi la egla de Leibniz cl´asica. Con es os elemen os
es amos en condiciones de de ini las ´algeb as Dyˆ
D.
De inici´on 2.1.1. El ´algeb a Dse de ine como el ´algeb a gene ada de la siguien e o ma:
D:= C{x}< ∂x>

{[∂x, ]−∂x }.
Asimismo el ´algeb a ˆ
D iene dada como el ´algeb a gene ada de la siguien e o ma:
D:= CJxK< ∂x>

{[∂x, ]−∂x }.
1Sea Run anillo, ∈R. En onces exis e un ope ado ˜
:R→Rde o ma que pa a cada g∈Res
˜
(g) = ·g. Es i ial comp oba que se a a de un endomo ismo de anillos.

2.1. EL ´
ALGEBRA D9
Con iene de ene se un momen o en es as de iniciones: en el cocien e
C{x}< ∂x>

{[∂x, ]−∂x }
el nume ado es un anillo lib e espec o a ∂x, que no conmu a con los obje os de C{x}.
Adem´as, el ideal del denominado ha de se un ideal bil´a e o (i.e, an o a izquie da como a
de echa), pues si no lo uese, no se he eda ´ıa la es uc u a de anillo. Es ´acil comp oba que
dicha p opiedad se e i ica. En es e azonamien o podemos sus i ui sin p oblemas C{x}
po CJxK, y cuando m´as adelan e nomb emos el ´algeb a de Weyl ambi´en se ´a ´alido. Un
hecho in e esan e sob e es as ´algeb as es el siguien e:
P oposici´on 2.1.2. Cada elemen o de D( esp. ˆ
D) se puede esc ibi de una ´unica o ma
como
n
P
i=0
i∂i
xcon i∈C{x}( esp., en CJxK) pa a cada i.
P ueba. Se puede encon a una p ueba en [Sab93, Chap e 1, P oposi ion 1.2.3.]
2.1.2. P opiedades como anillo de D
Pa a es udia adecuadamen e los ideales de Dyˆ
Dhemos de de ini p e iamen e
algunos concep os:
De inici´on 2.1.3. Tan o el anillo Dcomo el anillo ˆ
Dse pueden equipa con una il a-
ci´on, a la cual no a emos FD( esp. Fˆ
D) de la siguien e mane a: un ope ado Pes ´a en
FkD( esp. Fkˆ
D) si la mayo po encia de ∂xque apa ece en cualquie monomio de Pes
meno o igual que k. El g ado de P(deno ado deg P) espec o a la il aci´on FD( esp.
Fˆ
D) es el ´unico en e o kde o ma que Pes ´a en FkD Fk−1D( esp. Fkˆ
D Fk−1ˆ
D)
N´o ese que es a de inici´on del g ado es independien e de como esc ibamos P. Tambi´en
end emos que FkD( esp. Fkˆ
D) es 0 cuando kes nega i a2y que F0D( esp. F0ˆ
D) es
igual al anillo base C{x}( esp. CJxK). A pa i de aho a, sal o que se haga e e encia
expl´ıci a a o a il aci´on, al hace e e encia al g ado de un ope ado lo ha emos espec o
a la il aci´on Fque acabamos de de ini . N´o ese que en el caso pa icula de esc ibi
nues os ope ado es de acue do al lema 2.1.2 end emos que si P=
n
P
i=0
ai∂i
x(exp esi´on en
la cual podemos conside a anno nulo), en onces el g ado de Pes n. Adem´as, enemos
las siguien es p opiedades:
Lema 2.1.4. Pa a odo iyjse iene que FiD·FjD=Fi+jD(y an´alogo pa a ˆ
D).
2Reco demos que conside amos s´olo las po encias posi i as de ∂xy, caso de apa ece alguna en una
´o mula, se la conside a 0.
10 CAP´
ITULO 2. ELEMENTOS B ´
ASICOS DE LA TEOR´
IA DE D-M ´
ODULOS
P ueba. La p ueba no es m´as que una comp obaci´on di ec a, como se indica en [Cou95,
Chap e 7, Sec ion 2]
Lema 2.1.5. Sean P, Q ∈Dope ado es de g ado kyl, espec i amen e. En onces, el
g ado del conmu ado [P, Q]es meno o igual que k+l−1.
P ueba. Bas a conside a de mane a expl´ıci a an o el p oduc o P Q como QP. Ya que el
g ado no depende de la o ma de esc ibi los polinomios podemos conside a exp esiones
de la o ma
P=
k
X
i=0
ai∂i
xQ=
l
X
j=0
bj∂j
x
Haciendo las ope aciones pe inen es se llega a
PQ =akbl∂k+l
x+R1QP =akbl∂k+l
x+R2
donde R1yR2son ope ado es de g ado, a lo sumo, k+l−1. Po an o, end emos
que
[P, Q] = PQ −QP =R1−R2,
con lo que se iene el esul ado. 
Como consecuencia, enemos el siguien e hecho:
P oposici´on 2.1.6. El anillo D( esp. ˆ
D) es simple, es deci , sus ´unicos ideales bil´a e os
son el 0y el o al.
P ueba. Una p ueba se puede consul a en [Sab93, Chap e 1, P oposi ion 1.3.3.]. 
A pa i de la de inici´on de g ado enemos de mane a na u al el siguien e esul ado,
que enunciamos pa a Dsiendo an´alogo pa a ˆ
D:
P oposici´on 2.1.7. El anillo g aduado
g FD:=
∞
M
k=0
FkD

Fk−1D
es isomo o como anillo g aduado al anillo de polinomios en una a iable ξcon coe i-
cien es en C{x}, con la g aduaci´on dada po el g ado de ξy siendo ξla clase de ∂x.
2.1. EL ´
ALGEBRA D11
P ueba. La demos aci´on consis e en e que la aplicaci´on
ϕ: g FD→C{x}[ξ]
a∂k
x7→ aξk
es, en e ec o, un isomo ismo de anillos g aduados. Es a es una comp obaci´on i ial
que omi imos. 
Es e isomo ismo es ´u il, en e o as azones, a la ho a de p oba el siguien e eo ema.
Como an es, lo enunciamos pa a Dsiendo an´alogo pa a ˆ
D:
P oposici´on 2.1.8. El anillo Des noe he iano a izquie da y a de echa.
P ueba. Se puede encon a una p ueba de allada en [Sab93, Chap e 1, Co ola y 1.3.5.].

Del isomo ismo podemos ob ene ambi´en una buena de inici´on del F-s´ımbolo de un
ope ado . Realmen e (y como e emos m´as adelan e) es a es una de inici´on o almen e
gene al ela i a a il aciones, pe o explici amos el caso pa icula :
De inici´on 2.1.9. Sea Pun ope ado di e encial y sea Fla il aci´on an e io . El F-
s´ımbolo de un ope ado , no ado σF(P), es la clase de equi alencia de Pen el conjun o
Fdeg(P)D

Fdeg(P)−1D.
No a. Se iene la de inici´on an´aloga pa a D.
El ´algeb a de Weyl
Reco demos que lo la go de la secci´on hemos conside ado las ´algeb as Dyˆ
Dcon o me
a la de inici´on 2.1.1. De mane a an´aloga podemos de ini el ´algeb a de Weyl: en luga de
conside a como coe icien es de los ope ado es las se ies (ya sea o males o con e gen es)
conside amos el anillo de los polinomios C[x].
De inici´on 2.1.10. El ´algeb a de Weyl, deno ada A1(C)se de ine como el ´algeb a gene-
ada de la siguien e o ma:
A1(C) := C[x]< ∂x>

{[∂x, ]−∂x }.
Es a ´algeb a e i ica odos y cada uno de los eo emas indicados en la secci´on an e io :
el ´algeb a de Weyl es simple y noe he iana an o a de echa como a izquie da. En pu i-
dad, pod ´ıamos de ini de mane a sencilla el ´algeb a de Weyl (y el es o de ´algeb as) en
dimensiones supe io es de mane a o almen e an´aloga e incluso con o os anillos de coe i-
cien es (como pod ´ıan se los polinomios o se ies con coe icien es en un cue po a bi a io
12 CAP´
ITULO 2. ELEMENTOS B ´
ASICOS DE LA TEOR´
IA DE D-M ´
ODULOS
k) pe o omi i emos es os casos del p esen e es udio debido a lo ex enso y complejo de la
gene alizaci´on, pues no odas las p opiedades se p ese an. El p incipal p oblema eside
en el paso a ca ac e ´ıs ica posi i a. Se pueden encon a de alles sob e es e pa icula en
[Cou95, Chap e 2, Sec ion 3], que a su ez emi e, pa a un a amien o en p o undidad,
a [Smi86].
Con iene ambi´en des aca en es e pun o que las de iniciones dadas an es no son las
´unicas ´alidas. Po ejemplo, en [Cou95] encon amos una de inici´on en ´e minos del ´algeb a
de endomo ismos de un anillo, y en [HTT08] una simila pe o m´as gene al y usando el
lenguaje de los haces, lo cual pe mi e pasa con mayo acilidad al es udio en a ias
a iables. Aunque el lib o de Cou inho es ´a dedicado al caso del ´algeb a de Weyl, buena
pa e de los azonamien os ambi´en alen pa a Dyˆ
D, o se pueden adap a ´acilmen e.
2.1.3. Ideales a la izquie da de D. Di isi´on en D.
Los ideales izquie dos de Dyˆ
D ienen un in e ´es especial pues es ´an´ın imamen e ela-
cionados con la desc ipci´on algeb aica de los sis emas lineales de ecuaciones di e enciales,
como e emos m´as adelan e. Es os ideales, adem´as, ienen algunas buenas p opiedades: a
pa i de una cie a di isi´on azonable en Doˆ
Dse puede p oba que los ideales izquie -
dos es ´an gene ados po , a lo sumo, dos elemen os. Aunque los esul ados que amos a
p esen a a con inuaci´on los enunciamos pa a D odo el desa ollo es an´alogo pa a ˆ
D.
De inici´on 2.1.11. Sea Pun ope ado de D. Conside ´emoslo exp esado como P=
n
P
i=0
ai∂i
xcon anno nulo. En onces, el exponen e de P, no ado exp(P)se de ine como
el pa de en e os no nega i os dado po
exp(P) = ( (an), n)
donde nes el g ado de Py (an)es la alo aci´on de an.
Es e exponen e e i ica la siguien e p opiedad:
Lema 2.1.12. El exponen e es adi i o bajo el p oduc o, es deci , dados dos ope ado es P
yQde Dse e i ica
exp(PQ) = exp(P) + exp(Q).
P ueba. Es e esul ado se ob iene de mane a di ec a calculando expl´ıci amen e el p oduc o
PQ: si P=an∂n
x+R1yQ=bm∂m
x+R2, con deg R1< n y deg R2< m se iene
que PQ =anbm∂n+m
x+Rcon deg R < n +m. Cla amen e, deg PQ = deg P+ deg Q.
Asimismo, si an iene o den de anulaci´on k1, end emos que an=xk , con una unidad.
An´alogamen e, si el de bmes k2 end emos que bm=xk2gcon guna unidad. Po an o,
anbm=xk1+k2 g, con lo que (anbm) = (an) + (bm), lo cual p ueba el esul ado. 
2.1. EL ´
ALGEBRA D13
La demos aci´on an e io mo i a el conside a una “di isi´on” en Dde la siguien e
mane a:
P oposici´on 2.1.13. Sean AyPelemen os de Dde o ma que exp(P) = ( , d). En on-
ces, exis e un ´unico pa (Q, R)de elemen os de Dde o ma que
1. A=PQ +R
2. R=
−1
P
k=0
deg A
P
l=d
uk,lxk∂k
x+Scon deg S < d yuk,l unidades pa a cada ky cada l.
P ueba. La p ueba es po inducci´on en el g ado de A. Es una p ueba sencilla aunque un
an o labo iosa que omi imos po se esencialmen e ´ecnica. Se pueden encon a de alles
en [BM84]. Con iene des aca que el eo ema de B ian¸con y Maisonobe ue gene alizado
a a ias a iables po F. Cas o ([Cas84]) 
Es a di isi´on po un ´unico ope ado puede se ex endida a la di isi´on po a ios
ope ado es. Pa a ello, es ablecemos las siguien es de iniciones:
De inici´on 2.1.14. Sea Iun ideal de D. De inimos el conjun o de exponen es de I,
Exp(I)como
Exp(I) = {exp(P)|P∈I}.
Ya que Ies un ideal, y g acias al lema 2.1.12, se iene i ialmen e que Exp(I) +N2=
Exp(I). N´o ese que Exp(I) end ´a una o ma simila a la que se puede e en la siguien e
igu a:
d
La in e p e aci´on de es a g ´a ica es sencilla. Reco demos que los pa es que con o man
Exp(I) son de la o ma ( , d), donde es una alo aci´on y des un g ado. Ya que ambas
can idades son na u ales, en un ideal Ihab ´a an o g ados m´ınimos como alo aciones

14 CAP´
ITULO 2. ELEMENTOS B ´
ASICOS DE LA TEOR´
IA DE D-M ´
ODULOS
m´ınimas. La g ´a ica an e io exp esa la idea de la “ on e a” de Exp(I), en an o g ados
y alo aciones m´ınimas del ideal o, m´as conc e amen e, pa a alo aci´on m´ınima ijada,
odos los g ados que oman los elemen os con esa alo aci´on (y ice e sa). Con es as ideas
en men e podemos de ini la siguien e colecci´on de concep os:
De inici´on 2.1.15. Sea Iun ideal de D. Sea Exp(I). Sea
p=min
P∈Ideg P.
Sea
q=min {deg P|P∈Iy (P) = min
Q∈I (Q)}.
En onces, se de inen las escale as de I, deno ado ES(I), como el conjun o
ES(I) = {(αp, p),(αp+1, p + 1),...,(αq, q)}
donde αjes la meno alo aci´on de un elemen o de g ado j.
N´o ese que a pa i de la de inici´on an o de pcomo de qes inmedia o p oba que q
es mayo o igual que p. A pa i de la de inici´on de las escale as del ideal ob enemos la
de base de G ¨obnne , o base de di isi´on. Es a nomencla u a se jus i ica po el eo ema
2.1.17 que enunciamos m´as adelan e y que esul a an´alogo a los eo emas de di isi´on en
anillos de polinomios.
De inici´on 2.1.16. Sea Iun ideal de D. En onces, una base de G ¨obne de Ies una
colecci´on de elemen os de I,{Pp, Pp+1, . . . , Pq}, de o ma que pa a cada (αj, j)de ES(I)
se e i ica exp(Pj) = (αj, j).
Con es a e minolog´ıa esul a sencillo enuncia y p oba el siguien e hecho:
P oposici´on 2.1.17. Sea Iun ideal p opio de D, y sea Pp,··· , Pquna base de di isi´on
de I. En onces se iene:
1. Pa a cada Ade Dexis en unos ´unicos Qp, Qp+1,··· , Qq−1∈C{x}yQq, R ∈Dde
o ma que
A=QpPp+···+QqPq+R
e i icando Rque
R=
degA
X
l=p
αl−1
X
k=0
uk,lxk∂l
x+S
con deg S < p.
2. Con es a no aci´on Ape enece al ideal Isi, y s´olo si, R= 0.
2.1. EL ´
ALGEBRA D15
P ueba. Como en el caso de la p oposici´on 2.1.17, la demos aci´on de es e esul ado es
esencialmen e ´ecnica. Una e e encia con los pun os cla es de la p ueba se encuen a en
[Sab93], y una e e encia comple a en [BM84]. 
Como consecuencia inmedia a de es e eo ema se iene lo siguien e:
Co ola io 2.1.18. Sean I0⊂Idos ideales de Dcon ES(I) = ES(I0). En onces, I0=I.
P ueba. Debido a que las escale as coinciden, una base de G ¨obne de I0se ´a ambi´en
base de G ¨obne de Iy po an o si un elemen o pe enece a I, pe enece ´a ambi´en a I0
lo cual p ueba el esul ado. 
Gene ado es de un ideal
De la p oposici´on 2.1.17 se deduce di ec amen e que una base de G ¨obne de un ideal
Ies un sis ema de gene ado es de I. Pe o podemos consegui un esul ado a´un m´as ue e:
bas an dos elemen os conc e os de dicha base pa a gene a I.
P oposici´on 2.1.19. Sea Iun ideal a izquie da de D. Sea Pp,··· , Pquna base de G ¨obne
de I. En onces, I=< Pp, Pq>.
Pa a p oba es a p oposici´on siguiendo el a gumen o p esen ado en [Sab93, Chap e
1, Sec ion 2.3]algunos lemas que, adem´as, son in e esan es po si mismos.
Lema 2.1.20. Sea Iun ideal izquie do con base de G ¨obne Pp,··· , Pq. Pa a cada ien e
pyqel D-m´odulo izquie do I

< Pi>es un m´odulo de o si´on3
Co ola io 2.1.21. Sea Iun ideal izquie do con base de G ¨obne Pp,··· , Pq. El D-m´odulo
izquie do I

< Pp, Pq>es de o si´on.
Lema 2.1.22. Sea Mun D−m´odulo izquie do de ipo ini o que ambi´en sea de ipo
ini o sob e C{x}. En onces, Mes lib e como C{x}−m´odulo.
P ueba (De odos los esul ados an e io es).Se puede encon a un desa ollo de allado
en [Sab93, Chap e 1, Sec ion 2.3]. 
3Sea Run anillo y Mun R−m´odulo. Un elemen o mde Mse dice de o si´on si exis e un en Rde
o ma que m = 0. Un m´odulo se dice de o si´on si odos sus elemen os son de o si´on. A su ez, se dice
lib e de o si´on si ninguno de sus elemen os no nulos es de o si´on.
16 CAP´
ITULO 2. ELEMENTOS B ´
ASICOS DE LA TEOR´
IA DE D-M ´
ODULOS
2.2. D-m´odulos hol´onomos y conexiones me omo as
2.2.1. Sis emas di e enciales, il aciones y holonom´ıa
No a. Todo lo dicho aqu´ı es ´alido ambi´en pa a ˆ
D.
Sea Pun ope ado di e encial de D. Asociada iene la ecuaci´on di e encial lineal
Pu = 0.
Si ues soluci´on de P(upuede se una unci´on anal´ı ica, una dis ibuci´on o cualquie
o o obje o azonable que que amos conside a ) ambi´en lo se ´a de QP pa a cualquie Q
en D. Es deci , se iene que dado un espacio de obje os sob e los que ac ua D(es deci , un
D-m´odulo a la izquie da) F, un ope ado Py una soluci´on ude Pse de ine un mo ismo
D

D·P→ F
Q7→ Q(u).
Es e mo ismo es D−lineal a izquie da. Es deci , a una ecuaci´on di e encial lineal le
asociamos el D−m´odulo D

D·P. An´alogamen e, a un sis ema de ecuaciones di e enciales
{P1,··· , Pn}le asocia emos el D−m´odulo D

< P1,··· , Pn>. La jus i icaci´on de es a
asignaci´on la podemos encon a en [Cou95, Chap e 6, Theo em 1.2], que eza lo siguien e:
Teo ema 2.2.1. Sea {P1,··· , Pn}un sis ema de ecuaciones di e enciales ac uando sob e
un D-m´odulo a la izquie da F. En onces, el espacio de soluciones del sis ema es isomo o
(como espacio ec o ial) a
HomD(D

D·P,F).
P ueba. Viene de allada en [Cou95, Chap e 6, Theo em 1.2]. 
Su ge pues la siguien e de inici´on algeb aica de un sis ema de ecuaciones di e enciales
lineales:
De inici´on 2.2.2. Un sis ema di e encial lineal es un D−m´odulo a izquie da de ipo
ini o.
Reco dando la il aci´on Fque de inimos an e io men e, y que il aba Dpo g ado,
end emos que si Mes un sis ema di e encial, es deci , M ≃ D

< P1,··· , P >. En onces
([Sab93, Chap e 1, Lemma 3.2.7]) se iene el g FD−m´odulo g aduado
g FM=g FD

< σF(P1),··· , σF(P )>.
Se iene ambi´en el concep o de buena il aci´on:
2.2. D-M ´
ODULOS HOL ´
ONOMOS Y CONEXIONES MEROMORFAS 17
De inici´on 2.2.3. Sea Mun D−m´odulo. Sea FMuna il aci´on del m´odulo con ´ındices
en Z. Di emos que el pa (M, FM)es un m´odulo il ado sob e (D, F D)si e i ica
M=[
k∈Z
FkM
y exis e un lde o ma que pa a cualquie kmeno o igual que el les FkM= 0.
Adem´as, exigimos que se e i ique que FkM · FlM ⊂ Fk+lM. Si adem´as es a ´ul ima
con enci´on es una igualdad y cada FkMes un C{x}−m´odulo de ipo ini o di emos que
la il aci´on es una buena il aci´on.
En [Sab93, Chap e 1, Sec ion 3.2] podemos encon a un eo ema de ca ac e izaci´on de
buenas il aciones, as´ı como algunos esul ados complemen a ios in e esan es. A e ec os
de nues o desa ollo, lo ele an e es con a con el concep o y pode a i ma que la il aci´on
Fan es p esen ada es una buena il aci´on. Una p ueba de es e hecho la encon amos en
la e e encia an e io de Sabbah.
A pa i del concep o de buena il aci´on podemos ob ene el de a iedad ca ac e ´ıs ica
De inici´on 2.2.4. Sea Mun sis ema di e encial lineal y FMuna buena il aci´on de
M. El sopo e de Mes el conjun o de ideales p imos de C{x}[ξ]asociados al anulado
de M, es deci , los pide o ma que
√Ann M= pi.
La a iedad ca ac e ´ıs ica de M, deno ada Ca M, es el sopo e de g F(M).
La jus i icaci´on de es a de inici´on eside en el eo ema 2.1.7. Adem´as, se puede p oba
([Sab93]) que la a iedad ca ac e ´ıs ica no depende de la il aci´on elegida. De inida la
a iedad ca ac e ´ıs ica se puede de ini asimismo el concep o de D−m´odulo hol´onomo:
De inici´on 2.2.5. Un sis ema di e encial lineal se dice hol´onomo si M= 0 o Ca M ⊂
{x= 0}∪{ξ= 0}.
En la p ´ac ica, la g an mayo ´ıa de sis emas en una a iable son hol´onomos. In ui i a-
men e, los sis emas hol´onomos se ´an aquellos cuyo espacio de soluciones sea un espacio
ec o ial de dimensi´on ini a. No en a emos en mayo es de alles ace ca de ellos ( emi imos
a [Sab93], [Cou95, Chap e 10] y a [HTT08]), pues lo que nos in e esa de los D−m´odulos
hol´onomos en el p esen e abajo es su elaci´on con las conexiones me omo as. La co-
nexi´on se ´a, conc e amen e, que oda conexi´on me omo a es isomo a a un D−m´odulo
holonomo localizado. Los p incipales esul ados pa a es e abajo son los que siguen:
24 CAP´
ITULO 2. ELEMENTOS B ´
ASICOS DE LA TEOR´
IA DE D-M ´
ODULOS
Figu a 2.2: F on e as de los conjun os (i, i − (ai)) −N2pa a P.
La en ol en e con exa de la uni´on de esos conjun os es
i
i− (ai)
Figu a 2.3: Pol´ıgono de New on de x5∂2
x+x5∂x+ 1.
Ma camos el pun o asociado al monomio x5∂xcomo e e encia.
Ejemplo 2.2.3.En es e ´ul imo ejemplo e emos como, sal o aslaci´on, el pol´ıgono de
New on depende de la conexi´on me omo a o mal y no del ope ado . Po ejemplo, sea
P=1
x2∂2
x+x∂x+1
x. Sea Mˆ
Kla conexi´on me omo a o mal asociada a P. Ob iamen e,
es la misma conexi´on me omo a o ma que la asociada a Q=∂2
x+x3∂x+x, es deci ,
Q=x2P. Ya que x2es una unidad en ˆ
Kes o no a ec a a la conexi´on me omo a. El
pol´ıgono de New on de P, ob enido po cualquie m´e odo de los an es comen ados, es

2.2. D-M ´
ODULOS HOL ´
ONOMOS Y CONEXIONES MEROMORFAS 25
i
i− (ai)
Figu a 2.4: Pol´ıgono de New on de P=1
x2∂2
x+x∂x+1
x.
Es deci , el pol´ıgono es uno con una ´unica pendien e ho izon al. Si es udiamos el
pol´ıgono de New on de Qob enemos
i
i− (ai)
Figu a 2.5: Pol´ıgono de New on de Q=∂2
x+x3∂x+x.
Es deci , el pol´ıgono de New on de Qes el de P asladado dos unidades hacia abajo
en el eje e ical. N´o ese que Q=x2P. Si es udiasemos el pol´ıgono de Qi=xiP, con i
un n´ume o en e o, el pol´ıgono de New on de Qise ´ıa el de P asladado iunidades en el
eje e ical.
Cap´ı ulo 3
Clasi icaci´on de las conexiones
me omo as o males en una a iable
En es e cap´ı ulo a on a emos la clasi icaci´on de las conexiones me omo as o males
en una a iable desde una pe spec i a menos cl´asica que la seguida po Hukuha a-Le el -
Tu i in. Dada una conexi´on me omo a o mal (Mˆ
K,∇) en luga de descompone el
ope ado ∇descompond emos Mˆ
K. La descomposici´on de Mˆ
Kpe mi i ´a adem´as clasi-
ica , sal o isomo ismo, odas las conexiones me omo as o males. Es a ap oximaci´on se
debe, o iginalmen e, a Malg ange [Mal79]. Ve emos, adem´as, que es a descomposici´on es
equi alen e a la cl´asica de Hukuha a-Le el -Tu i in, y nos asoma emos a eo ´ıas elacio-
nadas di ec amen e con la de las conexiones me omo as. A lo la go de odo el cap´ı ulo
deno a emos po (Mˆ
K,∇) a una conexi´on me omo a o mal. En ocasiones ha emos e-
e encia s´olo a Mˆ
K, debiendo sob een ende se la p esencia de ∇. De hecho, aunque el
desa ollo de las demos aciones se puede hace pa a una conexi´on ∇a bi a ia, amos a
pa icula iza lo al caso en el que la de i aci´on subyacen e es la dada po x∂x. Siguiendo
es a idea, no a emos a la conexi´on, en luga de ∇, como x∂x. Se sob een ende ´a en ca-
da caso si es amos hablando de la conexi´on o de la de i aci´on subyacen e. Asimismo, de
mane a gene al y sal o que indiquemos lo con a io, dse ´a la dimensi´on de Mˆ
Kcomo
ˆ
K−espacio ec o ial.
3.1. Conexiones me omo as o males egula es
An es de es udia las conexiones me omo as o males de mane a o almen e gene al
con iene que es udiemos el caso conc e o de las conexiones me omo as o males egula es.
Veamos, en p ime luga , que en endemos po una conexi´on me omo a o mal egula :
27
28 CAP´
ITULO 3. “TEOREMA DE ESTRUCTURA” DE MALGRANGE
De inici´on 3.1.1. Una conexi´on me omo a o mal Mˆ
Kse di ´a egula si e i ica que
su ´unica pendien e es la ho izon al, L1.
La idea subyacen e es que dado un ope ado Pde o ma que Mˆ
K=Dˆ
K

Dˆ
K·Pel
monomio de mayo o den de P“se compo a bien” en el o igen, i.e., el monomio de mayo
o den iene polos en el 0 de o den igual al del ´e mino independien e, y odos los o os
monomios ienen o den del polo mayo que el del ´e mino independien e. N´o ese que es o
equi ale a la condici´on de egula idad de Fuchs que nomb ´abamos en la in oducci´on ( e
[Sab10, Th´eo `eme 1.4.9] pa a m´as de alles). Un ope ado di e encial Pse di ´a egula si
la conexi´on me omo a o mal asociada es egula . Las conexiones me omo as o males
egula es e i ican algunas p opiedades in e esan es. Se puede p oba lo siguien e:
Lema 3.1.2. Sea Mˆ
Kuna conexi´on me omo a egula . Exis e una base de Mˆ
Kde o ma
que la ma iz de x∂x iene coe icien es en CJxK.
P ueba. P obemos en p ime luga el siguien e lema:
Lema 3.1.3. Sea
∂x:Mˆ
K→ Mˆ
K
una conexi´on me omo a. Sea el ope ado di e encial
x∂x:Mˆ
K→ Mˆ
K.
En onces, es e ope ado e i ica
(x∂x)n=
n
X
i=1
S(n, i)xi∂i
x,
donde S(n, i)deno a al n´ume o de S i ling de segunda especie.1
P ueba. La p ueba es sencilla po inducci´on. El caso n= 1 es una igualdad i ial.
Supongamos cie a la p opiedad pa a ny lo p obamos pa a n+ 1. Tend emos
(x∂x)n+1 = (x∂x)(
n
X
i=1
S(n, j)xj∂j
x) = x
n
X
j=1
S(n, j)(jxj−1∂j
x+xj∂j+1
x)
=
n
X
j=1
jS(n, j)xj∂j
x+
n
X
j=1
S(n, j)xj+1∂j+1
x=
n
X
j=1
jS(n, j)xj∂j
x+
n+1
X
j=2
S(n+ 1, j −1)xj∂j
x
=S(n, 1)x∂x+S(n, n)xn+1∂n+1
x+
n
X
j=2
(jS(n, j) + S(n, j −1))xj∂j
x.
1El n´ume o de S i ling de segunda clase S(n, k) indica el n´ume o de mane as de di idi un conjun o
de nelemen os en ksubconjun os. Cla amen e, S(n, 1) = S(n, n) = 1 pa a cualquie n.
3.1. CONEXIONES MEROMORFAS FORMALES REGULARES 29
Ya que S(n, 1) = S(n, n) = 1 pa a cualquie n, en la iden idad an e io podemos
sus i ui S(n, 1) y S(n, n) po S(n+ 1,1) y S(n+ 1, n + 1) espec i amen e. Asimismo,
se puede p oba ( e [Big89]) que los n´ume os de S i ling de segunda especie e i ican la
elaci´on de ecu encia
S(n+ 1, j) = jS(n, j) + S(n, j −1).
U ilizando es o y sus i uyendo en la an e io iden idad queda ´ıa p obado el esul ado.

Sea aho a mun ec o c´ıclico de Mˆ
K, es deci , m, ∂xm, ··· , ∂d−1
xmes una base de
Mˆ
K. Vamos a p oba que m, x∂xm, ··· ,(x∂x)d−1mes asimismo una base de Mˆ
K.
En e ec o, supongamos cons an es a0,··· , ad−1de o ma que
a0m+a1x∂xm+···+ad−1(x∂x)d−1m= 0.
Si desa ollamos expl´ıci amen e cada ´e mino de acue do al lema 3.1.3 end emos la
igualdad
d−1
X
i=0
bi∂i
xm,
donde
bi=xi
d−1
X
j=i
S(j, i)ai,
siendo S(j, i) el n´ume o de S i ling de segunda especie. Ya que sabemos que los ∂i
xm
(con i a iando en e 0 y d−1) o man una base de Mˆ
K end emos que pa a cada ies
bi= 0. Si comenzamos azonando po el caso i=d−1, llegamos a que
bd−1=xd−1S(d−1, d −1)ad−1
de donde deducimos que ad−1= 0. Es udiando los alo es de ide o ma o denada y
descenden e llegamos a que ai= 0 pa a cada i, con lo que
{m, x∂xm, (x∂x)2m, ··· ,(x∂x)d−1m}
es una base de Mˆ
K. Veamos aho a que, espec o de es a base, la de i aci´on x∂x iene
ma iz con en adas en CJxK.
Es i ial e , de en ada, que la ma iz se ´a de la o ma

30 CAP´
ITULO 3. “TEOREMA DE ESTRUCTURA” DE MALGRANGE











0 0 0 ··· 0 0 c0
1 0 0 ··· 0 0 c1
0 1 0 ··· 0 0 c2
.
.
..
.
..
.
.....
.
..
.
..
.
.
0 0 0 ··· 1 0 cd−2
0 0 0 ··· 0 1 cd−1











con ci∈ˆ
Kpa a cada ien e 0 y d−1. Conc e amen e, los cison coe icien es de o ma
que
(x∂x)dm=
d−1
X
i=0
ai(x∂x)im.
Ya que Mˆ
Kes egula , podemos supone que es os cies ´an en CJxK. En e ec o: ya que
Mˆ
Kes egula , end emos que Mˆ
K≃Dˆ
K

Dˆ
K·Pcon P egula . La egula idad de P,
como imos en el 3.1.1 equi ale a que si esc ibimos Pde la o ma P=
d
P
i=0
ci(x∂x)icon cada
cien CJxK end emos que cdes una unidad. Dicha esc i u a, como se azon´o an e io men e,
siemp e es posible (bas a mul iplica po la po encia adecuada de x). Debido a la elaci´on
en e conexiones me omo as y D−m´odulos hol´onomos localizados end emos que pa a el
ec o c´ıclico mes
Pm = 0.
En pa icula , se deduce que
cd(x∂x)d=
d−1
X
i=0
(−ci)(x∂x)im.
Ya que cdes una unidad en CJxKpodemos esc ibi
(x∂x)d=
d−1
X
i=0
(˜ci)(x∂x)im,
donde ˜ci= (cd)−1(−ci). Po supues o, cada ˜cisigue es ando en CJxK. Ya que los
(x∂x)im o man una base del espacio Mˆ
Kha de se ai= ˜cipa a cada i, con lo cual
llegamos a que la ma iz de x∂x espec o de la base (x∂x)im iene coe icien es en CJxK,
como que ´ıamos p oba . 
Cabe des aca que aunque hemos o ecido una base de o ma expl´ıci a, no iene po qu´e
se la ´unica base que e i ique que la ma iz de x∂x espec o de ella enga como en adas
elemen os de CJxK. Como consecuencia de es e eo ema enemos un esul ado a´un m´as
po en e:
3.1. CONEXIONES MEROMORFAS FORMALES REGULARES 31
P oposici´on 3.1.4. Sea Mˆ
Kuna conexi´on me omo a o mal egula . En onces, exis e
una base de es e espacio de o ma que la ma iz de x∂xes cons an e, i.e., iene coe icien es
en C.
P ueba. Sea una base de Mˆ
Kde o ma que x∂x enga una ma iz con en adas en CJxK. Sea
Aes a ma iz. Sea A0la pa e cons an e de A. Sean asimismo λ1,··· , λ los au o alo es
de A0.
Supongamos, en p ime luga , que es os au o alo es e i ican que λi−λjno es un
en e o pa a cualesquie a iyjdis in os en e s´ı. Sea B∈Gl(d, CJxK) una ma iz de
cambio de base. Respec o a la base asociada a B, end emos que la ma iz de x∂xpasa a
se
BAB−1+x(∂B
∂x )B−1.
Exijamos que el cambio de base e i ique la siguien e igualdad
BAB−1+x(∂B
∂x )B−1=A0.
Es deci , espec o de la base asociada a Bla ma ix de x∂xes cons an e. Ope ando
adecuadamen e, llegamos a la igualdad
x∂B
∂x =A0B−BA.
Ya que las en adas de odas las ma ices es ´an en CJxK end emos que podemos
esc ibi
B=
+∞
X
k=0
xkBkA=
+∞
X
k=0
xkAkx∂B
∂x =
+∞
X
k=1
kxkBk
Pa a esol e es o, podemos azona en el g ado de xy es udiando los coe icien es.
Pa a k= 0, se deduce de la igualdad an e io que
A0B0−B0A0= 0.
Bas a oma B0= Id pa a que se e i ique la ecuaci´on. Sea aho a g ado kmayo que
0. Tend emos que se ha de e i ica la ecuaci´on
kBk=A0Bk−
k
X
i=0
BiAk−i,
o, equi alen emen e,
32 CAP´
ITULO 3. “TEOREMA DE ESTRUCTURA” DE MALGRANGE
(kId −A0)Bk+BkA0=
k−1
X
i=0
BiAk−i.
N´o ese que cada Aiy cada Bjson la ma iz de ope ado es lineales de Cden s´ı mismo.
Po an o, su p oduc o y su suma son ambi´en endomo ismos de Cd. En es as condiciones,
podemos usa el siguien e lema ´ecnico:
Lema. Sean P∈End(Cn)yQ∈End(Cm). En onces, la ecuaci´on
XP −QX =Y
iene una soluci´on ´unica X∈Hom(Cn,Cm)pa a cada Y∈Hom(Cn,Cm)si y s´olo s´ı
PyQno ienen au o alo es comunes.
P ueba (Del lema an e io ).En p ime luga , con iene azona lo siguien e: el espacio
Hom(Cn,Cm) es de dimensi´on ini a. Po an o, ya que po el p ime eo ema de isomo ´ıa
se e i ica que el espacio de o igen es isomo o a la suma di ec a de el n´ucleo y la imagen,
ϕse ´a inyec i o si, y s´olo si, es biyec i o. Sea ϕ: Hom(Cn,Cm)→Hom(Cn,Cm) dada
po ϕ(X) = XP −QX. El que la an e io ecuaci´on enga una soluci´on ´unica equi ale a
p oba que ϕes biyec i a: la sob eyec i idad indica la exis encia de soluci´on pa a cada Y,
y la inyec i idad la unicidad. Veamos en p ime luga la inyec i idad: sea Xen el n´ucleo
de ϕ. En onces, ϕ(X) = 0. Po an o, el ope ado XP es igual al ope ado QX. Sea un
au o ec o de Pasociado a alg´un au o alo λde P. En onces, se iene que
XP =λ(X ) = Q(X ).
Po an o, X es un au o ec o de Qasociado al au o alo λ. Si PyQno ienen
au o alo es comunes, la ´unica posibilidad es que sea X = 0. Como el es a bi a io en e
los au o ec o es de P, ha de se X= 0. El azonamien o con a io es simila : si PyQ
ienen alg´un au o alo com´un, en onces los elemen os de la o ma X con un au o ec o
de Pasociado al au o alo com´un es ´an en el n´ucleo y no se iene la inyec i idad. Po
an o, ϕse a biyec i a si y s´olo si PyQno ienen au o alo es comunes, como que ´ıamos
p oba . 
En nues o caso, omamos P=kId −A0yQ=−A0, y n=m=d. Es ´acil p oba
que los au o alo es de −A0son los au o alo es de A0cambiados de signo. Po o o lado,
pa a calcula los au o alo es de kId −A0hagamos
|λId −(kId −A0)|=|(λ−k)Id + A0|= 0.
3.1. CONEXIONES MEROMORFAS FORMALES REGULARES 33
Es deci , los au o alo es de kId −A0son de la o ma −λ1+k, ··· ,−λ +k. Ya que
los au o alo es dis in os de A0, po hip´o esis, no di ie en un en e o en e s´ı, en pa icula
no end emos −λi+k=−λjpa a ning´un i, j, k. Es deci , es amos en condiciones de
aplica el lema an e io y pa a cada k end emos soluci´on, es deci , enemos o almen e
ca ac e izado el cambio de base B.
Supongamos aho a que no enemos la hip´o esis sob e los au o alo es de A0. Recu imos
en es e caso al siguien e lema ´ecnico:
Lema 3.1.5. Sea Ala ma iz de x∂x espec o de una cie a base. Sea A0su pa e cons an e.
En onces, exis e una base B0de Mˆ
Kde o ma que la ma iz de x∂x espec o de es a nue a
base, no ada A0, iene coe icien es en C{x}y los au o alo es de A0
0son λ1+ 1, λ2,··· , λ ,
donde losλison los au o alo es de A0.
P ueba (del lema 3.1.5).Sea B∈Gl(d, ˆ
K) la ma iz de cambio de base. Supongamos que
enemos exp esada A0en o ma de Jo dan2. Tend emos pues que
A= P0
0Q!+A(1),
donde A(1) es la pa e no cons an e de AyPyQson bloques de o ma que Pcon iene
exclusi amen e los bloques de Jo dan asociados a λ1. Sea
B= xId 0
0 Id !.
Es udiemos el cambio de base espec o de es a ma iz. Tend emos que
A0=BAB−1+x∂B
∂x B−1=BA0B−1+BA1B−1+x∂B
∂x B−1.
Pe o se iene que
B−1= x−1Id 0
0 Id !. x∂B
= xId 0
0 0 !.BA0B−1=A0
Como consecuencia, end emos que
x∂B
B
−1
= Id 0
0 0 !.
2Sea Bun cambio de base cons an e. En onces, A0=BAB−1+x∂B
∂x B−1=BAB−1. En pa icula ,
es o se e i ica pa a un cambio de base Bde o ma que BA0B−1es ´a en o ma de Jo dan.
40 CAP´
ITULO 3. “TEOREMA DE ESTRUCTURA” DE MALGRANGE
Dˆ
K

Dˆ
K·P1, con lo cual enemos la inyec i idad y, po ende, que mul iplica a de echa
po P2es un isomo ismo. 
A pa i de es e lema, po el isomo ismo, ob enemos la sucesi´on exac a equi alen e a
la an e io
0Dˆ
K

Dˆ
K·P1
Dˆ
K

Dˆ
K·PDˆ
K

Dˆ
K·P20.
Si p obamos que es a sucesi´on escinde, end emos, a e ec os p ´ac icos, la p ueba del
esul ado p incipal de es a secci´on. En e ec o, se iene el siguien e esul ado:
Lema 3.2.4. La sucesi´on
0Dˆ
K

Dˆ
K·P1
Dˆ
K

Dˆ
K·PDˆ
K

Dˆ
K·P20
escinde, es o es, se iene
Dˆ
K

Dˆ
K·P≃Dˆ
K

Dˆ
K·P1MDˆ
K

Dˆ
K·P2.
P ueba. Pa a p oba es e eo ema usa emos el lema de escisi´on de ´algeb a homol´ogica.
Pa a aplica es e esul ado es necesa io encon a nos en el ma co de una ca ego ´ıa abe-
liana, lo cual, como p obamos en el lema 2.2.10, es nues o caso. Necesi a emos adem´as
el siguien e lema auxilia :
Lema 3.2.5. Con P1yP2de o ma que P=P1P2con o me a los esul ados y la no aci´on
an e io es, exis en Q, R ∈Dˆ
Kde o ma que QP1+P2R= 1.
P ueba. Omi imos los de alles de la p ueba po a a se en esencia del mismo a gumen o
que en la demos aci´on del lema 3.2.2. Conside emos Lla pendien e usada pa a ob ene
P1yP2. Reco demos que P1 iene L−o den a−1 y P2 iene L−o den 0. Exijamos QyR
de o ma que Q iene L−o den 0 y R iene L−o den −a−1. Podemos esc ibi pues
Q= 1 + Q(−1) +Q(−2) +···
R=R(−a−1) +R(−a−2) +··· ,
donde los exponen es indican el L−o den. Como en la o a p ueba, se han de e i ica
unas ecuaciones del ipo
{0 = X
i+j=−h
Q(i)P(j)
1+X
i+j=−h
P(i)
2R(j)}h∈Z>0.
Como en la o a p ueba, ope ando po inducci´on y de mane a escalonada se pueden
encon a soluciones a es as ecuaciones. 

3.2. CONEXIONES MEROMORFAS FORMALES EN GENERAL 41
P obado es o, conside emos la aplicaci´on Dˆ
K−lineal dada po
ϕ:Dˆ
K→Dˆ
K

Dˆ
K·P
T7→ T(1 −RP2) + Dˆ
K·P,
donde Res de o ma que 1 = QP1+P2Rcon o me al lema 3.2.5. Veamos que el n´ucleo
de es a aplicaci´on es Dˆ
K·P2. Sea, en p ime luga , un elemen o de es e ´ul imo ideal, es o
es, es de la o ma TP2. En onces, la imagen po ϕes
ϕ(TP2) = T P2(1 −RP2) + Dˆ
K·P=T(P2−P2RP2) + Dˆ
K·P=
T(1 −P2R)P2+Dˆ
K·P=TQP1P2+Dˆ
K·P=TQP +Dˆ
K·P= 0,
con lo cual enemos que Dˆ
K⊂ke (ϕ). Sea aho a un elemen o Tdel n´ucleo. Ve i ica
po an o que T(1 −RP2) + Dˆ
K·P= 0, es o es, T(1 −RP2) = AP =AP1P2pa a alg´un
A. Ope ando, llegamos a que T= (TR +AP1)P2, es deci , Tes ´a en Dˆ
K·P2, con lo cual
llegamos a que ke (ϕ) = Dˆ
K·P2.
No emos po πa la aplicaci´on que a de Dˆ
K

Dˆ
K·Pen Dˆ
K

Dˆ
K·P2en nues a sucesi´on
exac a co a. Es a aplicaci´on πno es m´as que la p oyecci´on habi ual. Usando el p ime
eo ema de isomo ´ıa pa a Dˆ
K−m´odulos end emos el diag ama
Dˆ
K
Dˆ
K

Dˆ
K·PDˆ
K

Dˆ
K·P2
Dˆ
K

Dˆ
K·P2Im(ϕ)
ϕ
˜π
π
θ
ψ
donde se iene que ψθ˜π=ϕ. Si conseguimos p oba que πψθ = 1, en i ud del lema
de escisi´on end emos p obado el esul ado. Sea T+Dˆ
K·P2. Ya que ψθ˜π=ϕ end emos
que ψθ(T+Dˆ
K·P2) = ϕ(T) = T(1 −RP2) + Dˆ
K·P. Pe o si aplicamos π, end emos
que π(T(1 −RP2) + Dˆ
K·P) = T+Dˆ
K·P2, es deci , πθ˜π= 1. Po an o, po el lema
de escisi´on, ya que enemos una secci´on de π, la sucesi´on escinde y enemos el esul ado
que ido. 
Con odos es os esul ados es amos en condiciones de p oba que podemos descom-
pone una conexi´on me omo a o mal como suma di ec a de conexiones me omo as de
pendien e ´unica.
P oposici´on 3.2.6. Sea Mˆ
Kuna conexi´on me omo a o mal. Sea
P(Mˆ
K) = {L(1),··· , L( )
42 CAP´
ITULO 3. “TEOREMA DE ESTRUCTURA” DE MALGRANGE
el conjun o de sus pendien es. En onces, exis e, sal o isomo ismo y pe mu aci´on, una
´unica descomposici´on
Mˆ
K=
M
i=1 M(i)
ˆ
K
de o ma que pa a cada ies P(M(i)
ˆ
K) = {L(i)}.
P ueba. Tan o la exis encia como la unicidad son i iales cuando = 1, con lo que
supond emos que es mayo o igual que 2, es deci , si Mˆ
K=Dˆ
K

Dˆ
K·Ppa a cie o
polinomio P∈Dˆ
K, el pol´ıgono de New on de P iene al menos dos lados no e icales.
Bas a descompone P=P1P2con o me al lema 3.2.2 y ei e a el p oceso con P1y
P2has a que ob engamos P=Q1Q2···Qs. Po el lema 3.2.4 acaba emos eniendo la
descomposici´on deseada. La unicidad es consecuencia de la unicidad de los polinomios en
la descomposici´on de P.
A pa i de es e esul ado podemos p oba el siguien e lema, que adem´as de su in e ´es
in ´ınseco se ´a ´u il a la ho a de de ini las conexiones me omo as elemen ales.
Lema 3.2.7. Sean Mˆ
K,M0ˆ
Kconexiones me omo as o males. En onces, si M0ˆ
Kes e-
gula y no nula, el conjun o de las pendien es de Mˆ
K⊗ˆ
KM0ˆ
Kes el conjun o de las
pendien es de Mˆ
K.
P ueba. Sea {L(1),··· , L( )el conjun o de las pendien es de Mˆ
K. Sea Mˆ
K=
L
i=1 M(i)
ˆ
Kla
descomposici´on de Mˆ
Kcon o me a la p oposici´on 3.2.6. Reco demos que, ya que M0ˆ
Kes
egula , su ´unica pendien e es {L0}, es deci , la pendien e ho izon al. Tend emos que
Mˆ
K⊗ˆ
KM0ˆ
K=
M
i=1 M(i)
ˆ
K⊗M0ˆ
K.
Po es a ´o mula bas a p oba el eo ema pa a uno s´olo de los ´e minos de la ´o mula.
Sea pues M(i)
ˆ
K⊗M0ˆ
Kcon ia bi a io. Si es a conexi´on u iese pendien es
{L(i,1), L(i,2),··· , L(i, )}
end ´ıamos, de acue do a la p oposici´on 3.2.6, que
M(i)
ˆ
K⊗M0ˆ
K=
M
j=1
A(i,j)
con cada A(i,j) eniendo a L(i,j)como pendien e ´unica. Asimismo, po el co ola io 3.1.6
end emos que M0≃LGα,d pa a una can idad ini a de conexiones me omo as egula es
elemen ales Gα,d. Pe o es i ial que Gα,d ≃dGα,1. As´ı, end emos que
M(i)
ˆ
K⊗M0ˆ
K=MM(i)⊗Gα,1.
3.2. CONEXIONES MEROMORFAS FORMALES EN GENERAL 43
Pe o ha de se que las pendien es de M(i)⊗Gα,1sean, pa a cualquie α, las de M(i),
pues M(i)⊗Gα,1≃ M(i)ya que Gα,1 iene dimensi´on 1. Po an o, las pendien es de
M(i)
ˆ
K⊗M0ˆ
Kson ambi´en las de M(i)
ˆ
K. De aqu´ı se deduce di ec amen e el esul ado. 
3.2.2. Descomposici´on en suma de conexiones me omo as o -
males elemen ales
Es udiamos a con inuaci´on o a descomposici´on de una conexi´on me omo a o mal.
Veamos un ejemplo mo i an e:
Ejemplo 3.2.1.Sea el polinomio di e encial P=x5∂2
x+x5∂x+ 1. El pol´ıgono de New on
de es e polinomio lo podemos e en ojo en la siguien e igu a, al y como calculamos en
la secci´on an e io :
i
(ai)
Figu a 3.1: Pol´ıgono de New on de x5∂2
x+x5∂x+ 1.
Se puede p oba , es udiando el L-s´ımbolo de P, que la ´unica pendien e de es e pol´ıgono
es L(s0, s1) = 3s0+2s1. Si calculamos el alo num´e ico de la pendien e (al cual llamamos
ambi´en, como indicamos an es, pendien e) emos que es −3
2.
Con o me al eo ema 3.2.6, ya que la pendien e es ´unica, no pod emos descompone la
conexi´on me omo a asociada al polinomio del ejemplo. ¿Se ´a posible ealiza alg´un ipo
de ans o maci´on de o ma que la pendien e sea “lo m´as simple posible”, es deci , un
en e o?. La espues a se ´a a i ma i a, y la consegui emos, como anunci´abamos, median e
el uso de ami icaciones yconexiones me omo as o males elemen ales.
De inici´on 3.2.8. Sea π:C→Cla unci´on dada po 7→ qpa a alg´un n´ume o en e o
posi i o q. Tomando x= qes a unci´on induce la siguien e aplicaci´on:
44 CAP´
ITULO 3. “TEOREMA DE ESTRUCTURA” DE MALGRANGE
π∗:CJxK,→CJxK
7→ π∗( ) = ◦π.
Donde, si =Panxn, ◦πquie e deci π∗( ) = ◦π=Pan qn. Es a aplicaci´on,
po supues o, induce la an´aloga en e C{x}yC{ }. Tambi´en induce las an´alogas en e
KyL, y en e ˆ
Kyˆ
L, donde L=C{ }[ −1]yˆ
L=CJ K[ −1]. Como consecuencia de la
de inici´on, L( espec i amen e, ˆ
L) es una ex ensi´on de K( esp. ˆ
K). A cada una de las
aplicaciones π∗se le llama ami icaci´on.
N´o ese que una ami icaci´on es, en esencia, una ans o maci´on que in oduce a´ıces
q−´esimas. Asimismo, pa a acla a en qu´e si uaci´on nos encon amos, di emos que qes
el en e o posi i o asociado a una cie a ami icaci´on3. Veamos aho a como ex ende la
acci´on de una ami icaci´on a una conexi´on me omo a o mal:
De inici´on 3.2.9. Sea Mˆ
Kuna conexi´on me omo a o mal. Sea πuna ami icaci´on
asociada al en e o posi i o q. De inimos π∗Mˆ
Kcomo el ˆ
L−espacio ec o ial
π∗Mˆ
K=ˆ
L⊗ˆ
KMˆ
K.
La acci´on de ∂ da ´a es uc u a de conexi´on me omo a sob e ˆ
La es e p oduc o en-
so ial, y iene dada po
∂ (ϕ⊗m) = q(ϕ⊗(x∂xm)) + (( ∂ϕ
∂ )⊗m).
No a. Po supues o, en luga de ∂ podemos conside a cualquie o a de i aci´on ajus-
ando con enien emen e la de inici´on, pe o po simplicidad, s´olo incluimos expl´ıci amen e
la an e io .
Lema 3.2.10. Con o me a la de inici´on 3.2.9 se iene que π∗Mˆ
Kes una conexi´on me-
omo a sob e ˆ
L.
P ueba. En e ec o: po de inici´on, es un ˆ
L−espacio ec o ial de dimensi´on ini a. M´as
conc e amen e, iene la dimensi´on de Mˆ
K. Asimismo, po de inici´on, es Clineal, y eamos
que pa a cada , g ∈ˆ
Ly cada men Mˆ
Kse iene que
∂ (g·( ⊗m)) = ( ∂g
∂ )( ⊗m) + g( ∂ ( ⊗m)).
En e ec o:
∂ (g·( ⊗m)) = ∂ ((g )⊗m) = q((g )⊗(x∂xm)) + (( ∂g
∂ )⊗m) =
3Es a nomencla u a no es es ´anda . En la li e a u a, en gene al, se sob een iende el papel de q.
3.2. CONEXIONES MEROMORFAS FORMALES EN GENERAL 45
g(q( ⊗(x∂xm))) + ( ∂g
∂ )( ⊗m) + g(( ∂
∂ )⊗m)=( ∂g
∂ )( ⊗m) + g( ∂ ( ⊗m)).
Po an o, enemos el esul ado que ido. 
El esul ado de una ami icaci´on se puede o ece de o ma m´as conc e a:
Lema 3.2.11. Sea Mˆ
Kuna conexi´on me omo a o mal de o ma que, pa a cie o poli-
nomio P=
d−1
P
i=0
ai(x)(xi∂i
x)es
Mˆ
K=Dˆ
K

Dˆ
K·P.
Sea πuna ami icaci´on asociada a q. En onces, se e i ica que
π∗Mˆ
K=Dˆ
L

Dˆ
L·P0
con P0=
d−1
P
i=0
qiai( q)( i∂i
). En es a ´ul ima conexi´on ∂ ac ´ua de la mane a ob ia.
P ueba. Sea Mˆ
L=Dˆ
L

Dˆ
L·P0. Sea {m, x∂xm, ··· ,(x∂x)d−1m}una base de Mˆ
K. Es
i ial que una base de π∗Mˆ
Kse ´a
{1⊗(x∂x)im}i=0,··· ,d−1.
Asimismo, si P0=
d−1
P
i=0
qiai( ∂ )ies i ial que {m, ∂ m, ··· ,(x∂x)d−1m}es una base
de Mˆ
L, ya que la an´aloga lo es de Mˆ
K. Es ablezcamos el mo ismo, cla amen e ˆ
L−lineal,
dado po
ϕ:ˆ
LNˆ
KMˆ
K→ Mˆ
L
1⊕(x∂x)im7→ q( ∂ )im.
Cla amen e es un isomo ismo de espacios ec o iales. Veamos que ambi´en es un
isomo ismo de conexiones me omo as iendo que p ese a la acci´on de la de i aci´on, es
deci , que el diag ama siguien e conmu a:
ˆ
LNˆ
KMˆ
KMˆ
L
ˆ
LNˆ
KMˆ
KMˆ
L
ϕ
∂ ∂
ϕ
.
Bas a e que conmu a pa a los elemen os de la base. En e ec o: sea 1 ⊗(x∂x)imun
ec o a bi a io de la base de π∗Mˆ
K. En onces se iene que
∂ (ϕ(1 ⊗(x∂x)im)) = ∂ (( ∂ )im) = q( ∂ )i+1m.
Po o o lado,

46 CAP´
ITULO 3. “TEOREMA DE ESTRUCTURA” DE MALGRANGE
ϕ( ∂ (1 ⊗(x∂x)im)) = ϕ(1 ⊗(x∂x)i+1m) = q( ∂ )i+1m.
Po an o el diag ama conmu a, como que ´ıamos p oba . 
Veamos como a ec a una ami icaci´on a las pendien es de una conexi´on:
Lema 3.2.12. Sea Mˆ
Kuna conexi´on me omo a. Sea Mˆ
Lsu ami icaci´on, asociada a
un cie o en e o posi i o q. En onces, si {L(1),··· , L( )}son las pendien es de Mˆ
K, las
pendien es de Mˆ
Lson {L0(1),··· , L0( )}, donde si
L(i)(s0, s1) = λ0s0+λ1s1
en onces
L0(i)(s0, s1) = λ(i)
0s0+λ(i)
1
qs1
pa a cada i.
P ueba. Sea Mˆ
K=Dˆ
K

Dˆ
K·P. Sea una ami icaci´on de Mˆ
K, deno ada Mˆ
L, que po el
lema 3.2.11, es
Mˆ
L=Dˆ
L

Dˆ
L·P0
con P0de acue do al lema 3.2.11. Pa a cada i, si se iene que (ai(x)) = n, en onces
(ai( q)) = qn. Po an o, el pol´ıgono de New on de P0no se ´a m´as que una dila aci´on en
el eje e ical del pol´ıgono de New on de P. Si L(i)(s0, s1) = λ(i)
0s0+λ(i)
1s1es una pendien e
de Pdis in a de la ho izon al, end emos que λ16= 0. La pendien e num´e ica asociada a
esa o ma lineal es −λ(i)
0
λ(i)
1
pe o, debido a que la ami icaci´on dila a mul iplicando po qla
pendien e, end emos que la pendien e co espondien e de P0es −qλ(i)
0
λ(i)
1
, es deci , que la
o ma lineal es L0(i)(s0, s1) = λ(i)
0s0+λ(i)
1
qs1.
No a. Cabe des aca que, en la p ueba an e io , no pa a odo q amos a ene que λ(i)
1
qsea
en e o, con lo que no en a ´ıa en nues a de inici´on an e io de pendien e. No obs an e,
podemos amplia la sin p oblemas pa a es e caso. Asimismo, es una consecuencia i ial
del lema que siemp e a a exis i una ami icaci´on de o ma que odas las pendien es
num´e icas sean en e as: bas a oma q= lcm
i(λ(i)
1), con lcm el m´ınimo com´un m´ul iplo.
P esen amos aho a el concep o de conexi´on me omo a ( o mal) elemen al. Es e con-
cep o se ´a b´asico a la ho a de es ablece la descomposici´on de Le el -Tu i in-Malg ange,
pues nos indica cu´ales son las conexiones me omo as m´as “simples” posibles. Como paso
p e io, hemos de de ini cie o ipo especial de conexi´on me omo a:
3.2. CONEXIONES MEROMORFAS FORMALES EN GENERAL 47
De inici´on 3.2.13. Sea R(z) =
k
P
i=1
aiziun polinomio de g ado ksin ´e mino indepen-
dien e y coe icien es en C. Deno amos po FR
ˆ
Kal ˆ
K−espacio ec o ial de dimensi´on 1con
base e(R)y do ado de una de i aci´on x∂xcon su acci´on dada po
x∂x(ϕ·e(R)) = (x∂ϕ
∂x +ϕx∂R(x−1)
∂x )·e(R).
No a. En la de inici´on an e io podemos sus i ui di ec amen e el polinomio R(z) po un
polinomio de Lau en , ajus ando con enien emen e la de inici´on de la de i aci´on.
La idea que subyace a la de inici´on es la de que el elemen o de la base, e(R), ac ´ue
como la exponencial de R(x−1). De la de inici´on se sigue, i ialmen e, que es una conexi´on
me omo a.
De inici´on 3.2.14. Sea R(z)un polinomio con coe icien es en Cy sin ´e mino indepen-
dien e. Una conexi´on me omo a ( o mal) elemen al sob e ˆ
Kes una conexi´on me omo a
isomo a a FR
ˆ
K⊗ˆ
KGˆ
K, donde Gˆ
Kes una conexi´on me omo a elemen al egula , es deci ,
Gˆ
K=Dˆ
K

Dˆ
K·(x∂x+α)d.
Po el co ola io 2.1.21 end emos que la pendien e de una conexi´on me omo a ele-
men al se ´a ´unica, y se ´a la pendien e de FR
ˆ
K. Veamos cu´al es es a pendien e:
Lema 3.2.15. Sea R(z) =
k
P
i=1
aiziun polinomio sin ´e mino independien e y con coe i-
cien es complejos de g ado k. En onces, se iene el isomo ismo de conexiones me omo as
FR
ˆ
K≃Dˆ
K

Dˆ
K·P
donde P= (xk)x∂x+ (
k
P
i=1
iaixk−i).
P ueba. Si mes un gene ado de la conexi´on Dˆ
K

Dˆ
K·P, en onces la acci´on de x∂xsob e
esa conexi´on iene dada po x∂xm=−
k
P
i=1
iai
xim. Pe o −
k
P
i=1
iai
xi=x∂R(x−1)
∂x , de donde se
sigue di ec amen e que el isomo ismo de espacios ec o iales que al gene ado e(R) de
FR
ˆ
Kle asigna mes ambi´en un isomo ismo de conexiones me omo as. 
Co ola io 3.2.16. La pendien e de FR
ˆ
Kes L(s0, s1) = ks0+s1, con kel g ado del poli-
nomio R.
P ueba. Num´e icamen e es i ial que la pendien e de FR
ˆ
Kes −k: bas a obse a el pol´ıgono
de New on del polinomio Pindicado en el lema 3.2.15. Es e pol´ıgono no se ´a m´as que el
segmen o uniendo el pun o (0,0) con el pun o (1,−k). De aqu´ı se deduce que la pendien e
es la an es dicha. .
48 CAP´
ITULO 3. “TEOREMA DE ESTRUCTURA” DE MALGRANGE
Como consecuencia di ec a de es e esul ado en conjunci´on con el co ola io 2.1.21 en-
d emos que la pendien e de FR
ˆ
Kes ambi´en la de cualquie conexi´on me omo a elemen al
de la que o me pa e. Es amos aho a en condiciones de enuncia y p oba el esul ado
p incipal: el eo ema de descomposici´on de Le el -Tu i in desde el pun o de is a de
Malg ange:
Teo ema 3.2.17 (Le el -Tu i in-Malg ange).Sea Mˆ
Kuna conexi´on me omo a o mal.
En onces exis e un en e o qde o ma que la conexi´on π∗Mˆ
Kes isomo a a una suma
di ec a de conexiones me omo as o males elemen ales.
P ueba. Pa a comenza , supongamos que nues a conexi´on Mˆ
K iene una ´unica pendien e
L. Si no, pod ´ıamos descompone la conexi´on en conexiones de pendien e ´unica median e
el eo ema 3.2.6 y abaja sob e cada uno de ellos.
Si la pendien e es la ho izon al, ya enemos el esul ado: bas a oma la descomposici´on
ob enida en el co ola io 3.1.6. Cada conexi´on me omo a o mal egula Gˆ
Kes elemen al,
pues es isomo a a F0
ˆ
K⊗Gˆ
K.
Supongamos pues que Les una pendien e no ho izon al, es deci , L(s0, s1) = λ0s0+λ1s1
con λ1no nulo y λ0, λ1en e os posi i os y cop imos. Tenemos que se e i ica
Mˆ
K≃Dˆ
K

Dˆ
K·P
con P=
d−1
P
i=0
ai(x∂x)icon los aien CJxKy al menos uno de ellos una unidad. Ya
que es amos suponiendo que no hay pendien e ho izon al, la ´unica unidad ha de se a0.
Asimismo, ha de se o dL(P) = 0, pues la pendien e es ´unica y el m´aximo se alcanza en
los dos pun os que apa ecen en el pol´ıgono de New on, que en es e caso es el segmen o
que une (0,0) y (d, − (ad). Conside emos pues el L−signo de P, que se ´a de la o ma
σL(P) = X
L(i,−j)=0
ai,jxj(x∂x)i
donde los ai,j son n´ume os complejos. Al L-s´ımbolo de Plo llama emos ecuaci´on
ca ac e ´ıs ica de P. Ya que la pendien e no es ho izon al, hab ´a al menos dos monomios
en esa exp esi´on. Si esc ibimos θ=xλ0(x∂x)λ1 end emos que podemos pone
σL(P) = X
k≥0
akθk,
siendo es a suma ini a, con los akcomplejos y con a0no nulo, pues el o igen es un
´e ice del pol´ıgono de New on: si uese a0nulo end ´ıamos en pa icula que L(0,0) no
es 0, lo cual ya hemos indicado que es also.
3.2. CONEXIONES MEROMORFAS FORMALES EN GENERAL 49
Inciso. Realizamos un peque˜no inciso pa a explica de alladamen e el p oceso seguido a la
ho a de calcula la ecuaci´on ca ac e ´ıs ica de py hace el cambio de a iable θ. Ya que la
pendien e, num´e icamen e, es −λ0
λ1 end emos que odos los pun os de la o ma (i, − (ai))
(es o es, los posibles ´e ices del pol´ıgono de New on de P) e i ican que (ai)≥iλ0
λ1pa a
cada i. Es o se debe a que el ´unico segmen o que con o ma el pol´ıgono de New on de P
es el segmen o que une (0,0) con (d, − (ad)), es deci , pa e de la ec a y=−λ0
λ1x. En
o o caso, end ´ıamos dos pendien es, lo cu´al no es nues o caso. Es a elecci´on, adem´as,
nos pe mi e asegu a que cada coe icien e aide Pse puede exp esa como
ai=cxdλ0
λ1ie+ ( ´e minos de o den supe io a dλ0
λ1
ie),
donde ces una cons an e que puede se nula y d·e deno a al ope ado pa e en e a po
a iba, es o es,
dae= min{b∈Z|b≥a}.
Ya que o dL(P) = 0, end emos que pa a cada ai(x∂x)iel L-s´ımbolo del monomio iene
de e minado po (ai). Si (ai)> iλ0
λ1se iene que L(i, − (ai)) <0 y po an o la clase
del monomio es 0. Si (ai) = λ0ien onces el monomio no se anula, pues L(i, − (ai)) = 0.
Asimismo, engamos en cuen a que si L(λ1+ , λ0+s) = 0 en onces L(λ1− , λ0−s) = 0,
con lo que queda jus i icada la exp esi´on de θ, pues podemos ag upa ´e minos de la o ma
deseada.
Vol iendo al eo ema, conside emos aho a la can idad κ, dada po λ0
λ1si es e cocien e
es un en e o (los λison los que apa ecen en la pendien e de la conexi´on), y +∞en
caso con a io4. Ya que hemos desca ado el caso ho izon al y λ1nunca es 0 (pues no
conside amos los lados e icales del pol´ıgono) end emos que o bien λ1es 1 o es mayo
que 1. Como adem´as podemos supone que λ0yλ1son cop imos, en el p ime caso κ=λ0
y en el segundo κ= +∞. Es udiemos pues es os dos casos, p ocediendo po inducci´on
en κ. El caso base es κ= 0, que ya es a p obado. Podemos pues supone que pa a oda
pendien e meno que un cie o κ enemos p obado el esul ado.
P ime caso: λ1= 1.Como dec´ıamos, en es e caso κ=λ0<+∞. Reco demos que
en´ıamos σL(P) = P
k≥0
akθk. Ya que es a suma es ini a, podemos supone sin p´e dida de
gene alidad que llega al g ado k=n. Po el p ime eo ema undamen al del ´algeb a
pod emos ac o iza , y end emos
4En gene al, pa a una conexi´on me omo a con a ias pendien es, κse ´ıa el m´aximo de odos los
cocien es ob enidos a pa i de las pendien es, bajo el c i e io de que es el p opio cocien e si es un en e o,
e in ini o en caso con a io.
56 CAP´
ITULO 3. EL TEOREMA CL ´
ASICO DE LEVELT-TURRITTIN
y los g upos de Galois di e enciales. O as e e encias sob e la u ilidad de es a descompo-
sici´on se pueden encon a en [KW17], as´ı como en el ex o de Malg ange [Mal91], donde,
al desa olla la eo ´ıa comple amen e, es ablece en un con ex o cu´al es la ele ancia de
la descomposici´on. O as consecuencias, elacionadas con el paso al caso con e gen e, las
comen a emos supe icialmen e en la siguien e secci´on.
3.3.2. El eo ema de Le el -Tu i in y su elaci´on con el eo e-
ma de Malg ange
Como hemos anunciado, an o el enunciado de Le el como el que hemos p obado en el
p esen e ex o, debido a Malg ange, son equi alen es. Aunque in ui i amen e es cla o que
exis e una elaci´on, en un p ime momen o puede escapa se la equi alencia y, aunque en la
li e a u a se usan ambos enunciados indis in amen e, puede esul a chocan e encon a
dicha a i maci´on, p incipalmen e debido al cambio del lenguaje usado. A al e ec o, amos
a p oba la o malmen e.
La descomposici´on de Malg ange implica la descomposici´on de Le el -Tu i in
En e ec o, supongamos una conexi´on me omo a o mal Mˆ
Ky supongamos, en i ud
del eo ema de Malg ange, que podemos exp esa la como suma de conexiones me omo as
o males elemen ales. Sin pe dida de gene alidad podemos supone que hay una ´unica
conexi´on en la suma: si hubiese m´as, podemos p ocede una a una. Como en el caso de la
p ueba del eo ema p incipal, po simplicidad, supond emos que nues o ope ado es x∂x.
Sea pues FR
ˆ
K⊗Gˆ
Kuna conexi´on me omo a elemen al. La dimensi´on de dicha conexi´on
end ´a dada po la dimensi´on de Gˆ
K. Sea es a dimensi´on d. Sea e(R) la base de FR
ˆ
Kym
un ec o c´ıclico de Gˆ
K. La ma iz del ope ado x∂xac uando sob e es a conexi´on espec o
de la base {e(R)⊗(x∂x)im}i=0,··· ,d−1 end ´a dada po
x∂x=





ϕ0··· a0
1ϕ··· a1
.
.
..
.
.....
.
.
0 0 ··· ϕ+ad−1






,
donde ϕ=x∂R(x−1)
∂x y los aison los coe icien es de (x∂x)dm espec o de la base an e io .
Es a ma iz puede exp esa se como
x∂x=ϕId + A,

3.4. POSIBLE PROFUNDIZACI ´
ON EN LA TEOR´
IA ALGEBRAICA DE LAS
ECUACIONES DIFERENCIALES 57
donde Aes la ma iz de la acci´on de x∂xsob e Gˆ
K. Pe o la acci´on de x∂xsob e
conexiones cons an es ya la hemos es udiado ( ´ease la secci´on 1 del p esen e cap´ı ulo) y
podemos supone sin p´e dida de gene alidad que Aes una ma iz de au o alo ´unico α
en o ma de Jo dan. Po an o, podemos exp esa
x∂x= (ϕ+α)Id + J,
donde Jes una ma iz con 0 y 1 en la supe diagonal. Po la clasi icaci´on de las ma ices
nilpo en es, sabemos que Jse ´a nilpo en e, y la o a, po de inici´on, es diagonal, con lo
que enemos la descomposici´on de Le el .
La descomposici´on de Le el implica la descomposici´on de Malg ange
Supongamos un ope ado Dexp esado, de acue do a la nomencla u a de Le el , como
D=S+N. De acue do a la clasi icaci´on de las ma ices nilpo en es podemos exp esa
es e ope ado en o ma de Jo dan, es deci , elemen os en la diagonal y 0 y 1 en la su-
pe diagonal, siendo el es o de la ma iz nula. Adem´as, podemos exp esa la po bloques.
Po simplicidad, conside emos que D iene un ´unico bloque, a sabe , el bloque con ϕ∈ˆ
K
en la diagonal y 1 en la supe diagonal. El ope ado ϕse ´a de la o ma ϕ=a+ ˜ϕcon
acons an e y ˜ϕsin ´e mino independien e. ˜ϕ, a su ez, puede se exp esado como un
polinomio R(x−1) mul iplicado po una unidad de CJxK. De aqu´ı se deduce di ec amen e
el esul ado de Malg ange: podemos exp esa D= ( ˜ϕ+a)Id + J, y azona de mane a
in e sa a como hemos hecho en la o a implicaci´on.
3.4. Posible p o undizaci´on en la eo ´ıa algeb aica de
las ecuaciones di e enciales
Como indic´abamos en la in oducci´on el es udio de la clasi icaci´on de las conexiones
me omo as o males no es m´as que el p ime paso a la ho a de in oduci se en el campo
del es udio algeb aico de las ecuaciones di e enciales. Un p ime obje i o azonable es
pasa del caso o mal al caso con e gen e. La mo i aci´on de es o es sencilla: es un hecho
cl´asico bien conocido en el campo de las ecuaciones di e enciales que, dado un sis ema
de ecuaciones di e enciales y una soluci´on o mal de es e, dicha soluci´on induce solucio-
nes con e gen es (o anal´ı icas) del sis ema. Con es o que emos deci que las soluciones
o males se pueden ex ende , asin ´o icamen e, a soluciones o males. Con iene ecalca el
soluciones: si el sis ema iene una singula idad i egula , seg´un como nos ap oximemos a
58 CAP´
ITULO 3. EL TEOREMA CL ´
ASICO DE LEVELT-TURRITTIN
dicha singula idad, ob end emos dis in as soluciones, y la ex ensi´on anal´ı ica puede a ia .
Es e hecho es lo que se conoce desde el siglo XIX como en´omeno de S okes.
Has a la o ecida po Hukuha a ([Va 96]) ya bien en ados en el siglo XX no apa eci´o una
desc ipci´on o almen e adecuada del en´omeno, y es en los a˜nos 70, g acias a Malg ange y
Shibuya, cuando se ob iene una ap oximaci´on algeb aica al en´omeno de S okes. Sin en a
en de alles, a cada ecuaci´on di e encial se le puede asocia un haz, el haz de S okes, que
de e mina comple amen e las soluciones anal´ı icas de la ecuaci´on. As´ı, una comp ensi´on
comple a de las soluciones anal´ı icas es una mo i aci´on a la ho a de con inua con el
es udio. La l´ınea a segui , en conc e o, es la siguien e: en p ime luga , po comple i ud,
con iene ealiza un es udio de la es uc u a de los ˆ
D-m´odulos hol´onomos. El esul ado al
que se llega pa a los ˆ
D-m´odulos hol´onomos es que odo ˆ
D-m´odulo hol´onomo Mse puede
exp esa como suma di ec a de un ˆ
D-m´odulo hol´onomo egula (i.e, uno cuyo localizado
es una conexi´on me omo a o mal egula ) y un ˆ
D-m´odulo hol´onomo isomo o a la pa e
i egula del localizado de M.
A con inuaci´on con iene abo da el caso con e gen e (o anal´ı ico). El es udio de las co-
nexiones me omo as egula es da como esul ado una descomposici´on o almen e an´alo-
ga al caso o mal, y una ca ac e izaci´on sencilla de los D-m´odulos hol´onomos egula es
([Sab93]). En es e pun o en a en juego la co espondencia de Riemann-Hilbe pa a el
caso egula . Sin en a en de alles, es a co espondencia es ablece una equi alencia de
ca ego ´ıas en e los D-m´odulos hol´onomos egula es y cie a ca ego ´ıa de haces. Con iene
des aca que, his ´o icamen e, la co espondencia de Riemann-Hilbe mo i ´o el descub i-
mien o de los haces pe e sos, una he amien a undamen al en los D-m´odulos. Resul a
in e esan e ambi´en plan ea se que sucede en el caso i egula : el ecien e esul ado de
D’Agnolo y Kashiwa a ([DK16]) gene aliza la co espondencia de Riemann-Hilbe al ca-
so i egula .
Se puede obse a , po an o, que el pano ama a la ho a de con inua un es udio del
ema p esen ado en el abajo es in e esan e: lo ecien e de los a ances de D’Agnolo
y Kashiwa a ponen de mani ies o que el campo de la eo ´ıa algeb aica de las ecuaciones
di e enciales, especialmen e en el caso i egula , goza de buena salud y un amplio ho izon e
de desa ollo. Tambi´en es in e esan e el caso de cue pos de ca ac e ´ıs ica posi i a, que es
adicalmen e dis in o al de ca ac e ´ıs ica ce o. Asimismo con iene des aca que, aunque no
se conoce con p o undidad, pa ece exis i un ´ınculo en e los D-m´odulos y la cohomolog´ıa
l-´adica, lo cual deja abie a o a linea de p o undizaci´on m´as.
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