Clasificación de conexiones meromorfas formales en una variable

UNIVERSIDAD DE SEVILLA FACULTAD DE MATEM ´ ATICAS T abajo de Fin de M´as e CLASIFICACI ´ ON DE CONEXIONES MEROMORFAS FORMALES EN UNA VARIABLE Po : Luis F ancisco Cu quejo O e o Di igido po : Luis Na ´aez Maca o M´as e Uni e si a io en Ma em´a ica A anzada Se illa - Cu so 2016-2017 ´ Indice Abs ac III Resumen V 1. In oducci´on 1 B e e in oducci´on his ´o ica y posible con inuaci´on . . . . . . . . . . . . . 1 Sob e la bibliog a ´ıa y la es uc u a del abajo . . . . . . . . . . . . . . . 4 2. Elemen os b´asicos de la eo ´ıa de D-m´odulos 7 2.1. El ´algeb a D.................................. 7 2.1.1. De inici´on del ´algeb a D........................ 8 2.1.2. P opiedades como anillo de D..................... 9 2.1.3. Ideales a la izquie da de D. Di isi´on en D............... 12 2.2. D-m´odulos hol´onomos y conexiones me omo as . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.1. Sis emas di e enciales, il aciones y holonom´ıa . . . . . . . . . . . . 16 2.2.2. Conexiones me omo as y el pol´ıgono de New on . . . . . . . . . . . 18 3. Clasi icaci´on de las conexiones me omo as o males en una a iable 27 3.1. Conexiones me omo as o males egula es . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2. Conexiones me omo as o males en gene al . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2.1. Descomposici´on en suma de conexiones me omo as o males de pendien e´unica............................. 36 3.2.2. Descomposici´on en suma de conexiones me omo as o males ele- men ales................................. 43 3.3. El eo ema cl´asico de Le el -Tu i in y su u ilidad . . . . . . . . . . . . . 53 3.3.1. La ap oximaci´on cl´asica al eo ema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.3.2. El eo ema de Le el -Tu i in y su elaci´on con el eo ema de Mal- g ange.................................. 56 3.4. Posible p o undizaci´on en la eo ´ıa algeb aica de las ecuaciones di e enciales 57 i ii ´ INDICE Bibliog a ´ıa 59 Abs ac The s udy o sys ems o linea di e en ial equa ions is, since i s incep ion du ing he XV II h cen u y, a co e and ich a ea in ma hema ics. I is no only ui ul by i sel , bu i also p o ides a wonde ul ool o modelling a ple ho a o si ua ions in applied ields, such as physics, chemis y, enginee ing o epidemiology. Thus, ma hema icians ha e cons- an ly ied o a ack he p oblems in his ield using di e en echniques. Du ing he XX h cen u y algeb aic ools s a ed o be used wi h he pu pose o s udying singula- i ies o di e en ial equa ions and o ob ain a mo e p o ound knowledge o he so-called S okes phenomenon. In his wo k, an in oduc ion o his algeb aic iewpoin will be de eloped, wi h emphasis in he classi ica ion o o mal me omo phic connec ions, he so-called Hukuha a-Le el -Tu i in, Le el -Tu i in o Le el -Tu i in-Malg ange de- composi ion. The i s chap e con ains a sho in oduc ion o he subjec , explaining he gene al s uc u e o his wo k, p e ious esul s, some his o ic ema ks and a b ie bibliog aphic discussion. The second chap e deals wi h some basics abou D−modules and ela ed no ions, such as he New on polygon o an ope a o , which will be ins umen al in he p oo o he main heo ems. Finally, in he hi d and las chap e , he abs ac algeb aic app oach o Malg an- ge o he Hukuha a-Le el -Tu i in decomposi ion will be s udied. Also, a sho , non- exhaus i e s udy o he classical app oach o he decomposi ion o a o mal di e en ial ope a o — which is a di e en ial analogue o he Jo dan-Che alley decomposi ion — will be included. A ew ema ks abou he mo e in-dep h s udies will be co e ed as well. iii Resumen El es udio de los sis emas de ecuaciones di e enciales lineales es un ´a ea de las ma- em´a icas uc ´ı e a y que ha mo i ado nume osos desa ollos e´o icos ya desde su con- cepci´on en el siglo XVII. Adem´as del in e ´es pu amen e ma em´a ico de las ecuaciones di e enciales su e sa ilidad a la ho a de modeliza p oblemas en o as ´a eas del conoci- mien o ( ´ısica, qu´ımica, ingenie ´ıa, epidemolog´ıa...) ha p opiciado que sean un campo de pe manen e ac ualidad en el cu´al se buscan con inuamen e nue as ´ecnicas de es udio. En pa icula , a mediados del siglo XX se comenz´o a a on a el es udio de las singula idades de las ecuaciones di e enciales u ilizando he amien as de ´algeb a abs ac a. Asimismo, en la misma ´epoca, se comenz´o a es udia desde el pun o de is a algeb aico el en´omeno de S okes, un en´omeno cl´asico del ´a ea. En el p esen e abajo se p e ende ealiza una in oducci´on a es a ´a ea desde el pun o de is a algeb aico a ando la clasi icaci´on de las conexiones me omo as o males en una a iable, lo que se conoce como descomposici´on de Hukuha a-Le el -Tu i in, Le el -Tu i in o Le el -Tu i in-Malg ange. El p ime cap´ı ulo con iene una b e e in oducci´on al ema, en la que se explica ´a la es uc u a gene al del abajo, esul ados p e ios, algunas no as his ´o icas y una b e e discusi´on bibliog ´a ica. El segundo cap´ı ulo consis e en un epaso de algunos aspec os b´asicos de la eo ´ıa de D−m´odulos y aspec os elacionados, como el pol´ıgono de New on. Es os concep os se ´an undamen ales a la ho a de p oba los esul ados p incipales. Finalmen e en el e ce cap´ı ulo se comen a ´a la ap oximaci´on abs ac a, debida a Malg ange, a la descomposici´on de Hukuha a-Le el -Tu i in. Tambi´en se inclui ´a un b e e es udio no exhaus i o sob e la ap oximaci´on cl´asica a la descomposici´on, que es un an´alogo di e encial de la descomposici´on de Jo dan-Che alley. Asimismo se p esen a ´an algunas pinceladas sob e las l´ıneas de p o undizaci´on en el ´a ea de es udio. Cap´ı ulo 1 In oducci´on B e e in oducci´on his ´o ica, obje i o del abajo y posible con- inuaci´on Las ecuaciones di e enciales y su es udio han sido un elemen o cen al de las ma em´a i- cas desde su nacimien o, de la mano de New on y Leibniz, a mediados del siglo XVII. Es a p eeminencia se obse a an o en un ni el pu amen e e´o ico, con la g an can idad de a ances ma em´a icos que ha impulsado la b´usqueda de una mayo comp ensi´on de las ecuaciones di e enciales, como en un plano p ´ac ico, debido a la e sa ilidad de las ecuaciones di e enciales pa a modeliza g an can idad de si uaciones en m´ul iples ´a eas de la ciencia: desde las aplicaciones m´as elemen ales asociadas a la mec´anica cl´asica has a algunos de los aspec os m´as pun e os y con m´as in e ´es p esen e como las ecuaciones de Na ie -S okes, pasando po mul i ud de ´a eas den o de la biolog´ıa, la epidemolog´ıa, la ingenie ´ıa, la ´ısica y la qu´ımica, en e o os campos. De en e odos los ipos de ecuaciones di e enciales exis en es podemos des aca uno: las ecuaciones di e enciales lineales. Son ecuaciones de la o ma n X i=0 ai di dxi= 0, donde los aison unciones complejas de a iable compleja (en la a iable x), posible- men e me omo as. Po supues o, es e es el caso 1−dimensional: ambi´en exis en ecua- ciones di e enciales n−dimensionales, pe o po ija ideas y es ingi nos al ´ambi o que amos a es udia en el cue po p incipal del abajo nos queda emos siemp e en el caso 1−dimensional. Soluciona es a ecuaci´on equi ale a encon a una unci´on de una a iable compleja de o ma que e i ique la igualdad an e io . En an o es as ecuaciones apa ecen con ecuencia an o en las ma em´a icas e´o icas como aplicadas (po ejemplo, en ´ısica) 1 8CAP´ ITULO 2. ELEMENTOS B ´ ASICOS DE LA TEOR´ IA DE D-M ´ ODULOS dada po el p oduc o de se ies habi ual. Es e ope ado es i ialmen e lineal, ca ac e ´ıs ica que compa e con la de i aci´on habi ual. Con es o en men e podemos c ea , como e emos en es a secci´on, cie as ´algeb as de ope ado es. Adem´as, los ideales de es as ´algeb as end ´an cie as p opiedades in e esan es. 2.1.1. De inici´on del ´algeb a D Conside a emos en odo momen o los anillos C{x}de se ies de po encias con e gen es yCJxKde se ies o males de po encias. Ob iamen e, se e i ica la elaci´on de inclusi´on C{x} ⊂ CJxK. Do amos a es os conjun os de es uc u a de anillo de la o ma habi ual: la suma es la suma ´e mino a ´e mino y el p oduc o es el p oduc o de Cauchy dado po ( ∞ X i=0 aixi)·( ∞ X i=0 bixi) = ∞ X i=0 cixi siendo ci= i P j=0 ajbi−j. Adem´as, en es os anillos nos encon amos una de i aci´on ∂ ∂x (a la cual deno a emos, po comodidad, ∂x) que ac ´ua de la mane a habi ual. N´o ese adem´as que la de i aci´on habi ual es un ope ado C-lineal y que cada elemen o del anillo iene asociado un ope ado dado po la mul iplicaci´on1. Po an o, podemos u iliza el ope ado conmu ado [·,·] sob e ∂xy un elemen o cualquie a de nues o anillo, ob eni´endose la elaci´on [∂x, ] = ∂x◦ − ◦∂x=∂ ∂x siendo el elemen o de la de echa el ope ado mul iplica po ∂ ∂x . Es a elaci´on no es m´as que una mane a al e na i a de esc ibi la egla de Leibniz cl´asica. Con es os elemen os es amos en condiciones de de ini las ´algeb as Dyˆ D. De inici´on 2.1.1. El ´algeb a Dse de ine como el ´algeb a gene ada de la siguien e o ma: D:= C{x}< ∂x>  {[∂x, ]−∂x }. Asimismo el ´algeb a ˆ D iene dada como el ´algeb a gene ada de la siguien e o ma: D:= CJxK< ∂x>  {[∂x, ]−∂x }. 1Sea Run anillo, ∈R. En onces exis e un ope ado ˜ :R→Rde o ma que pa a cada g∈Res ˜ (g) = ·g. Es i ial comp oba que se a a de un endomo ismo de anillos. 2.1. EL ´ ALGEBRA D9 Con iene de ene se un momen o en es as de iniciones: en el cocien e C{x}< ∂x>  {[∂x, ]−∂x } el nume ado es un anillo lib e espec o a ∂x, que no conmu a con los obje os de C{x}. Adem´as, el ideal del denominado ha de se un ideal bil´a e o (i.e, an o a izquie da como a de echa), pues si no lo uese, no se he eda ´ıa la es uc u a de anillo. Es ´acil comp oba que dicha p opiedad se e i ica. En es e azonamien o podemos sus i ui sin p oblemas C{x} po CJxK, y cuando m´as adelan e nomb emos el ´algeb a de Weyl ambi´en se ´a ´alido. Un hecho in e esan e sob e es as ´algeb as es el siguien e: P oposici´on 2.1.2. Cada elemen o de D( esp. ˆ D) se puede esc ibi de una ´unica o ma como n P i=0 i∂i xcon i∈C{x}( esp., en CJxK) pa a cada i. P ueba. Se puede encon a una p ueba en [Sab93, Chap e 1, P oposi ion 1.2.3.] 2.1.2. P opiedades como anillo de D Pa a es udia adecuadamen e los ideales de Dyˆ Dhemos de de ini p e iamen e algunos concep os: De inici´on 2.1.3. Tan o el anillo Dcomo el anillo ˆ Dse pueden equipa con una il a- ci´on, a la cual no a emos FD( esp. Fˆ D) de la siguien e mane a: un ope ado Pes ´a en FkD( esp. Fkˆ D) si la mayo po encia de ∂xque apa ece en cualquie monomio de Pes meno o igual que k. El g ado de P(deno ado deg P) espec o a la il aci´on FD( esp. Fˆ D) es el ´unico en e o kde o ma que Pes ´a en FkD Fk−1D( esp. Fkˆ D Fk−1ˆ D) N´o ese que es a de inici´on del g ado es independien e de como esc ibamos P. Tambi´en end emos que FkD( esp. Fkˆ D) es 0 cuando kes nega i a2y que F0D( esp. F0ˆ D) es igual al anillo base C{x}( esp. CJxK). A pa i de aho a, sal o que se haga e e encia expl´ıci a a o a il aci´on, al hace e e encia al g ado de un ope ado lo ha emos espec o a la il aci´on Fque acabamos de de ini . N´o ese que en el caso pa icula de esc ibi nues os ope ado es de acue do al lema 2.1.2 end emos que si P= n P i=0 ai∂i x(exp esi´on en la cual podemos conside a anno nulo), en onces el g ado de Pes n. Adem´as, enemos las siguien es p opiedades: Lema 2.1.4. Pa a odo iyjse iene que FiD·FjD=Fi+jD(y an´alogo pa a ˆ D). 2Reco demos que conside amos s´olo las po encias posi i as de ∂xy, caso de apa ece alguna en una ´o mula, se la conside a 0. 10 CAP´ ITULO 2. ELEMENTOS B ´ ASICOS DE LA TEOR´ IA DE D-M ´ ODULOS P ueba. La p ueba no es m´as que una comp obaci´on di ec a, como se indica en [Cou95, Chap e 7, Sec ion 2] Lema 2.1.5. Sean P, Q ∈Dope ado es de g ado kyl, espec i amen e. En onces, el g ado del conmu ado [P, Q]es meno o igual que k+l−1. P ueba. Bas a conside a de mane a expl´ıci a an o el p oduc o P Q como QP. Ya que el g ado no depende de la o ma de esc ibi los polinomios podemos conside a exp esiones de la o ma P= k X i=0 ai∂i xQ= l X j=0 bj∂j x Haciendo las ope aciones pe inen es se llega a PQ =akbl∂k+l x+R1QP =akbl∂k+l x+R2 donde R1yR2son ope ado es de g ado, a lo sumo, k+l−1. Po an o, end emos que [P, Q] = PQ −QP =R1−R2, con lo que se iene el esul ado.  Como consecuencia, enemos el siguien e hecho: P oposici´on 2.1.6. El anillo D( esp. ˆ D) es simple, es deci , sus ´unicos ideales bil´a e os son el 0y el o al. P ueba. Una p ueba se puede consul a en [Sab93, Chap e 1, P oposi ion 1.3.3.].  A pa i de la de inici´on de g ado enemos de mane a na u al el siguien e esul ado, que enunciamos pa a Dsiendo an´alogo pa a ˆ D: P oposici´on 2.1.7. El anillo g aduado g FD:= ∞ M k=0 FkD  Fk−1D es isomo o como anillo g aduado al anillo de polinomios en una a iable ξcon coe i- cien es en C{x}, con la g aduaci´on dada po el g ado de ξy siendo ξla clase de ∂x. 2.1. EL ´ ALGEBRA D11 P ueba. La demos aci´on consis e en e que la aplicaci´on ϕ: g FD→C{x}[ξ] a∂k x7→ aξk es, en e ec o, un isomo ismo de anillos g aduados. Es a es una comp obaci´on i ial que omi imos.  Es e isomo ismo es ´u il, en e o as azones, a la ho a de p oba el siguien e eo ema. Como an es, lo enunciamos pa a Dsiendo an´alogo pa a ˆ D: P oposici´on 2.1.8. El anillo Des noe he iano a izquie da y a de echa. P ueba. Se puede encon a una p ueba de allada en [Sab93, Chap e 1, Co ola y 1.3.5.].  Del isomo ismo podemos ob ene ambi´en una buena de inici´on del F-s´ımbolo de un ope ado . Realmen e (y como e emos m´as adelan e) es a es una de inici´on o almen e gene al ela i a a il aciones, pe o explici amos el caso pa icula : De inici´on 2.1.9. Sea Pun ope ado di e encial y sea Fla il aci´on an e io . El F- s´ımbolo de un ope ado , no ado σF(P), es la clase de equi alencia de Pen el conjun o Fdeg(P)D  Fdeg(P)−1D. No a. Se iene la de inici´on an´aloga pa a D. El ´algeb a de Weyl Reco demos que lo la go de la secci´on hemos conside ado las ´algeb as Dyˆ Dcon o me a la de inici´on 2.1.1. De mane a an´aloga podemos de ini el ´algeb a de Weyl: en luga de conside a como coe icien es de los ope ado es las se ies (ya sea o males o con e gen es) conside amos el anillo de los polinomios C[x]. De inici´on 2.1.10. El ´algeb a de Weyl, deno ada A1(C)se de ine como el ´algeb a gene- ada de la siguien e o ma: A1(C) := C[x]< ∂x>  {[∂x, ]−∂x }. Es a ´algeb a e i ica odos y cada uno de los eo emas indicados en la secci´on an e io : el ´algeb a de Weyl es simple y noe he iana an o a de echa como a izquie da. En pu i- dad, pod ´ıamos de ini de mane a sencilla el ´algeb a de Weyl (y el es o de ´algeb as) en dimensiones supe io es de mane a o almen e an´aloga e incluso con o os anillos de coe i- cien es (como pod ´ıan se los polinomios o se ies con coe icien es en un cue po a bi a io 12 CAP´ ITULO 2. ELEMENTOS B ´ ASICOS DE LA TEOR´ IA DE D-M ´ ODULOS k) pe o omi i emos es os casos del p esen e es udio debido a lo ex enso y complejo de la gene alizaci´on, pues no odas las p opiedades se p ese an. El p incipal p oblema eside en el paso a ca ac e ´ıs ica posi i a. Se pueden encon a de alles sob e es e pa icula en [Cou95, Chap e 2, Sec ion 3], que a su ez emi e, pa a un a amien o en p o undidad, a [Smi86]. Con iene ambi´en des aca en es e pun o que las de iniciones dadas an es no son las ´unicas ´alidas. Po ejemplo, en [Cou95] encon amos una de inici´on en ´e minos del ´algeb a de endomo ismos de un anillo, y en [HTT08] una simila pe o m´as gene al y usando el lenguaje de los haces, lo cual pe mi e pasa con mayo acilidad al es udio en a ias a iables. Aunque el lib o de Cou inho es ´a dedicado al caso del ´algeb a de Weyl, buena pa e de los azonamien os ambi´en alen pa a Dyˆ D, o se pueden adap a ´acilmen e. 2.1.3. Ideales a la izquie da de D. Di isi´on en D. Los ideales izquie dos de Dyˆ D ienen un in e ´es especial pues es ´an´ın imamen e ela- cionados con la desc ipci´on algeb aica de los sis emas lineales de ecuaciones di e enciales, como e emos m´as adelan e. Es os ideales, adem´as, ienen algunas buenas p opiedades: a pa i de una cie a di isi´on azonable en Doˆ Dse puede p oba que los ideales izquie - dos es ´an gene ados po , a lo sumo, dos elemen os. Aunque los esul ados que amos a p esen a a con inuaci´on los enunciamos pa a D odo el desa ollo es an´alogo pa a ˆ D. De inici´on 2.1.11. Sea Pun ope ado de D. Conside ´emoslo exp esado como P= n P i=0 ai∂i xcon anno nulo. En onces, el exponen e de P, no ado exp(P)se de ine como el pa de en e os no nega i os dado po exp(P) = ( (an), n) donde nes el g ado de Py (an)es la alo aci´on de an. Es e exponen e e i ica la siguien e p opiedad: Lema 2.1.12. El exponen e es adi i o bajo el p oduc o, es deci , dados dos ope ado es P yQde Dse e i ica exp(PQ) = exp(P) + exp(Q). P ueba. Es e esul ado se ob iene de mane a di ec a calculando expl´ıci amen e el p oduc o PQ: si P=an∂n x+R1yQ=bm∂m x+R2, con deg R1< n y deg R2< m se iene que PQ =anbm∂n+m x+Rcon deg R < n +m. Cla amen e, deg PQ = deg P+ deg Q. Asimismo, si an iene o den de anulaci´on k1, end emos que an=xk , con una unidad. An´alogamen e, si el de bmes k2 end emos que bm=xk2gcon guna unidad. Po an o, anbm=xk1+k2 g, con lo que (anbm) = (an) + (bm), lo cual p ueba el esul ado.  2.1. EL ´ ALGEBRA D13 La demos aci´on an e io mo i a el conside a una “di isi´on” en Dde la siguien e mane a: P oposici´on 2.1.13. Sean AyPelemen os de Dde o ma que exp(P) = ( , d). En on- ces, exis e un ´unico pa (Q, R)de elemen os de Dde o ma que 1. A=PQ +R 2. R= −1 P k=0 deg A P l=d uk,lxk∂k x+Scon deg S < d yuk,l unidades pa a cada ky cada l. P ueba. La p ueba es po inducci´on en el g ado de A. Es una p ueba sencilla aunque un an o labo iosa que omi imos po se esencialmen e ´ecnica. Se pueden encon a de alles en [BM84]. Con iene des aca que el eo ema de B ian¸con y Maisonobe ue gene alizado a a ias a iables po F. Cas o ([Cas84])  Es a di isi´on po un ´unico ope ado puede se ex endida a la di isi´on po a ios ope ado es. Pa a ello, es ablecemos las siguien es de iniciones: De inici´on 2.1.14. Sea Iun ideal de D. De inimos el conjun o de exponen es de I, Exp(I)como Exp(I) = {exp(P)|P∈I}. Ya que Ies un ideal, y g acias al lema 2.1.12, se iene i ialmen e que Exp(I) +N2= Exp(I). N´o ese que Exp(I) end ´a una o ma simila a la que se puede e en la siguien e igu a: d La in e p e aci´on de es a g ´a ica es sencilla. Reco demos que los pa es que con o man Exp(I) son de la o ma ( , d), donde es una alo aci´on y des un g ado. Ya que ambas can idades son na u ales, en un ideal Ihab ´a an o g ados m´ınimos como alo aciones 14 CAP´ ITULO 2. ELEMENTOS B ´ ASICOS DE LA TEOR´ IA DE D-M ´ ODULOS m´ınimas. La g ´a ica an e io exp esa la idea de la “ on e a” de Exp(I), en an o g ados y alo aciones m´ınimas del ideal o, m´as conc e amen e, pa a alo aci´on m´ınima ijada, odos los g ados que oman los elemen os con esa alo aci´on (y ice e sa). Con es as ideas en men e podemos de ini la siguien e colecci´on de concep os: De inici´on 2.1.15. Sea Iun ideal de D. Sea Exp(I). Sea p=min P∈Ideg P. Sea q=min {deg P|P∈Iy (P) = min Q∈I (Q)}. En onces, se de inen las escale as de I, deno ado ES(I), como el conjun o ES(I) = {(αp, p),(αp+1, p + 1),...,(αq, q)} donde αjes la meno alo aci´on de un elemen o de g ado j. N´o ese que a pa i de la de inici´on an o de pcomo de qes inmedia o p oba que q es mayo o igual que p. A pa i de la de inici´on de las escale as del ideal ob enemos la de base de G ¨obnne , o base de di isi´on. Es a nomencla u a se jus i ica po el eo ema 2.1.17 que enunciamos m´as adelan e y que esul a an´alogo a los eo emas de di isi´on en anillos de polinomios. De inici´on 2.1.16. Sea Iun ideal de D. En onces, una base de G ¨obne de Ies una colecci´on de elemen os de I,{Pp, Pp+1, . . . , Pq}, de o ma que pa a cada (αj, j)de ES(I) se e i ica exp(Pj) = (αj, j). Con es a e minolog´ıa esul a sencillo enuncia y p oba el siguien e hecho: P oposici´on 2.1.17. Sea Iun ideal p opio de D, y sea Pp,··· , Pquna base de di isi´on de I. En onces se iene: 1. Pa a cada Ade Dexis en unos ´unicos Qp, Qp+1,··· , Qq−1∈C{x}yQq, R ∈Dde o ma que A=QpPp+···+QqPq+R e i icando Rque R= degA X l=p αl−1 X k=0 uk,lxk∂l x+S con deg S < p. 2. Con es a no aci´on Ape enece al ideal Isi, y s´olo si, R= 0. 2.1. EL ´ ALGEBRA D15 P ueba. Como en el caso de la p oposici´on 2.1.17, la demos aci´on de es e esul ado es esencialmen e ´ecnica. Una e e encia con los pun os cla es de la p ueba se encuen a en [Sab93], y una e e encia comple a en [BM84].  Como consecuencia inmedia a de es e eo ema se iene lo siguien e: Co ola io 2.1.18. Sean I0⊂Idos ideales de Dcon ES(I) = ES(I0). En onces, I0=I. P ueba. Debido a que las escale as coinciden, una base de G ¨obne de I0se ´a ambi´en base de G ¨obne de Iy po an o si un elemen o pe enece a I, pe enece ´a ambi´en a I0 lo cual p ueba el esul ado.  Gene ado es de un ideal De la p oposici´on 2.1.17 se deduce di ec amen e que una base de G ¨obne de un ideal Ies un sis ema de gene ado es de I. Pe o podemos consegui un esul ado a´un m´as ue e: bas an dos elemen os conc e os de dicha base pa a gene a I. P oposici´on 2.1.19. Sea Iun ideal a izquie da de D. Sea Pp,··· , Pquna base de G ¨obne de I. En onces, I=< Pp, Pq>. Pa a p oba es a p oposici´on siguiendo el a gumen o p esen ado en [Sab93, Chap e 1, Sec ion 2.3]algunos lemas que, adem´as, son in e esan es po si mismos. Lema 2.1.20. Sea Iun ideal izquie do con base de G ¨obne Pp,··· , Pq. Pa a cada ien e pyqel D-m´odulo izquie do I  < Pi>es un m´odulo de o si´on3 Co ola io 2.1.21. Sea Iun ideal izquie do con base de G ¨obne Pp,··· , Pq. El D-m´odulo izquie do I  < Pp, Pq>es de o si´on. Lema 2.1.22. Sea Mun D−m´odulo izquie do de ipo ini o que ambi´en sea de ipo ini o sob e C{x}. En onces, Mes lib e como C{x}−m´odulo. P ueba (De odos los esul ados an e io es).Se puede encon a un desa ollo de allado en [Sab93, Chap e 1, Sec ion 2.3].  3Sea Run anillo y Mun R−m´odulo. Un elemen o mde Mse dice de o si´on si exis e un en Rde o ma que m = 0. Un m´odulo se dice de o si´on si odos sus elemen os son de o si´on. A su ez, se dice lib e de o si´on si ninguno de sus elemen os no nulos es de o si´on. 16 CAP´ ITULO 2. ELEMENTOS B ´ ASICOS DE LA TEOR´ IA DE D-M ´ ODULOS 2.2. D-m´odulos hol´onomos y conexiones me omo as 2.2.1. Sis emas di e enciales, il aciones y holonom´ıa No a. Todo lo dicho aqu´ı es ´alido ambi´en pa a ˆ D. Sea Pun ope ado di e encial de D. Asociada iene la ecuaci´on di e encial lineal Pu = 0. Si ues soluci´on de P(upuede se una unci´on anal´ı ica, una dis ibuci´on o cualquie o o obje o azonable que que amos conside a ) ambi´en lo se ´a de QP pa a cualquie Q en D. Es deci , se iene que dado un espacio de obje os sob e los que ac ua D(es deci , un D-m´odulo a la izquie da) F, un ope ado Py una soluci´on ude Pse de ine un mo ismo D  D·P→ F Q7→ Q(u). Es e mo ismo es D−lineal a izquie da. Es deci , a una ecuaci´on di e encial lineal le asociamos el D−m´odulo D  D·P. An´alogamen e, a un sis ema de ecuaciones di e enciales {P1,··· , Pn}le asocia emos el D−m´odulo D  < P1,··· , Pn>. La jus i icaci´on de es a asignaci´on la podemos encon a en [Cou95, Chap e 6, Theo em 1.2], que eza lo siguien e: Teo ema 2.2.1. Sea {P1,··· , Pn}un sis ema de ecuaciones di e enciales ac uando sob e un D-m´odulo a la izquie da F. En onces, el espacio de soluciones del sis ema es isomo o (como espacio ec o ial) a HomD(D  D·P,F). P ueba. Viene de allada en [Cou95, Chap e 6, Theo em 1.2].  Su ge pues la siguien e de inici´on algeb aica de un sis ema de ecuaciones di e enciales lineales: De inici´on 2.2.2. Un sis ema di e encial lineal es un D−m´odulo a izquie da de ipo ini o. Reco dando la il aci´on Fque de inimos an e io men e, y que il aba Dpo g ado, end emos que si Mes un sis ema di e encial, es deci , M ≃ D  < P1,··· , P >. En onces ([Sab93, Chap e 1, Lemma 3.2.7]) se iene el g FD−m´odulo g aduado g FM=g FD  < σF(P1),··· , σF(P )>. Se iene ambi´en el concep o de buena il aci´on: 2.2. D-M ´ ODULOS HOL ´ ONOMOS Y CONEXIONES MEROMORFAS 17 De inici´on 2.2.3. Sea Mun D−m´odulo. Sea FMuna il aci´on del m´odulo con ´ındices en Z. Di emos que el pa (M, FM)es un m´odulo il ado sob e (D, F D)si e i ica M=[ k∈Z FkM y exis e un lde o ma que pa a cualquie kmeno o igual que el les FkM= 0. Adem´as, exigimos que se e i ique que FkM · FlM ⊂ Fk+lM. Si adem´as es a ´ul ima con enci´on es una igualdad y cada FkMes un C{x}−m´odulo de ipo ini o di emos que la il aci´on es una buena il aci´on. En [Sab93, Chap e 1, Sec ion 3.2] podemos encon a un eo ema de ca ac e izaci´on de buenas il aciones, as´ı como algunos esul ados complemen a ios in e esan es. A e ec os de nues o desa ollo, lo ele an e es con a con el concep o y pode a i ma que la il aci´on Fan es p esen ada es una buena il aci´on. Una p ueba de es e hecho la encon amos en la e e encia an e io de Sabbah. A pa i del concep o de buena il aci´on podemos ob ene el de a iedad ca ac e ´ıs ica De inici´on 2.2.4. Sea Mun sis ema di e encial lineal y FMuna buena il aci´on de M. El sopo e de Mes el conjun o de ideales p imos de C{x}[ξ]asociados al anulado de M, es deci , los pide o ma que √Ann M= pi. La a iedad ca ac e ´ıs ica de M, deno ada Ca M, es el sopo e de g F(M). La jus i icaci´on de es a de inici´on eside en el eo ema 2.1.7. Adem´as, se puede p oba ([Sab93]) que la a iedad ca ac e ´ıs ica no depende de la il aci´on elegida. De inida la a iedad ca ac e ´ıs ica se puede de ini asimismo el concep o de D−m´odulo hol´onomo: De inici´on 2.2.5. Un sis ema di e encial lineal se dice hol´onomo si M= 0 o Ca M ⊂ {x= 0}∪{ξ= 0}. En la p ´ac ica, la g an mayo ´ıa de sis emas en una a iable son hol´onomos. In ui i a- men e, los sis emas hol´onomos se ´an aquellos cuyo espacio de soluciones sea un espacio ec o ial de dimensi´on ini a. No en a emos en mayo es de alles ace ca de ellos ( emi imos a [Sab93], [Cou95, Chap e 10] y a [HTT08]), pues lo que nos in e esa de los D−m´odulos hol´onomos en el p esen e abajo es su elaci´on con las conexiones me omo as. La co- nexi´on se ´a, conc e amen e, que oda conexi´on me omo a es isomo a a un D−m´odulo holonomo localizado. Los p incipales esul ados pa a es e abajo son los que siguen: 24 CAP´ ITULO 2. ELEMENTOS B ´ ASICOS DE LA TEOR´ IA DE D-M ´ ODULOS Figu a 2.2: F on e as de los conjun os (i, i − (ai)) −N2pa a P. La en ol en e con exa de la uni´on de esos conjun os es i i− (ai) Figu a 2.3: Pol´ıgono de New on de x5∂2 x+x5∂x+ 1. Ma camos el pun o asociado al monomio x5∂xcomo e e encia. Ejemplo 2.2.3.En es e ´ul imo ejemplo e emos como, sal o aslaci´on, el pol´ıgono de New on depende de la conexi´on me omo a o mal y no del ope ado . Po ejemplo, sea P=1 x2∂2 x+x∂x+1 x. Sea Mˆ Kla conexi´on me omo a o mal asociada a P. Ob iamen e, es la misma conexi´on me omo a o ma que la asociada a Q=∂2 x+x3∂x+x, es deci , Q=x2P. Ya que x2es una unidad en ˆ Kes o no a ec a a la conexi´on me omo a. El pol´ıgono de New on de P, ob enido po cualquie m´e odo de los an es comen ados, es 2.2. D-M ´ ODULOS HOL ´ ONOMOS Y CONEXIONES MEROMORFAS 25 i i− (ai) Figu a 2.4: Pol´ıgono de New on de P=1 x2∂2 x+x∂x+1 x. Es deci , el pol´ıgono es uno con una ´unica pendien e ho izon al. Si es udiamos el pol´ıgono de New on de Qob enemos i i− (ai) Figu a 2.5: Pol´ıgono de New on de Q=∂2 x+x3∂x+x. Es deci , el pol´ıgono de New on de Qes el de P asladado dos unidades hacia abajo en el eje e ical. N´o ese que Q=x2P. Si es udiasemos el pol´ıgono de Qi=xiP, con i un n´ume o en e o, el pol´ıgono de New on de Qise ´ıa el de P asladado iunidades en el eje e ical. Cap´ı ulo 3 Clasi icaci´on de las conexiones me omo as o males en una a iable En es e cap´ı ulo a on a emos la clasi icaci´on de las conexiones me omo as o males en una a iable desde una pe spec i a menos cl´asica que la seguida po Hukuha a-Le el - Tu i in. Dada una conexi´on me omo a o mal (Mˆ K,∇) en luga de descompone el ope ado ∇descompond emos Mˆ K. La descomposici´on de Mˆ Kpe mi i ´a adem´as clasi- ica , sal o isomo ismo, odas las conexiones me omo as o males. Es a ap oximaci´on se debe, o iginalmen e, a Malg ange [Mal79]. Ve emos, adem´as, que es a descomposici´on es equi alen e a la cl´asica de Hukuha a-Le el -Tu i in, y nos asoma emos a eo ´ıas elacio- nadas di ec amen e con la de las conexiones me omo as. A lo la go de odo el cap´ı ulo deno a emos po (Mˆ K,∇) a una conexi´on me omo a o mal. En ocasiones ha emos e- e encia s´olo a Mˆ K, debiendo sob een ende se la p esencia de ∇. De hecho, aunque el desa ollo de las demos aciones se puede hace pa a una conexi´on ∇a bi a ia, amos a pa icula iza lo al caso en el que la de i aci´on subyacen e es la dada po x∂x. Siguiendo es a idea, no a emos a la conexi´on, en luga de ∇, como x∂x. Se sob een ende ´a en ca- da caso si es amos hablando de la conexi´on o de la de i aci´on subyacen e. Asimismo, de mane a gene al y sal o que indiquemos lo con a io, dse ´a la dimensi´on de Mˆ Kcomo ˆ K−espacio ec o ial. 3.1. Conexiones me omo as o males egula es An es de es udia las conexiones me omo as o males de mane a o almen e gene al con iene que es udiemos el caso conc e o de las conexiones me omo as o males egula es. Veamos, en p ime luga , que en endemos po una conexi´on me omo a o mal egula : 27 28 CAP´ ITULO 3. “TEOREMA DE ESTRUCTURA” DE MALGRANGE De inici´on 3.1.1. Una conexi´on me omo a o mal Mˆ Kse di ´a egula si e i ica que su ´unica pendien e es la ho izon al, L1. La idea subyacen e es que dado un ope ado Pde o ma que Mˆ K=Dˆ K  Dˆ K·Pel monomio de mayo o den de P“se compo a bien” en el o igen, i.e., el monomio de mayo o den iene polos en el 0 de o den igual al del ´e mino independien e, y odos los o os monomios ienen o den del polo mayo que el del ´e mino independien e. N´o ese que es o equi ale a la condici´on de egula idad de Fuchs que nomb ´abamos en la in oducci´on ( e [Sab10, Th´eo `eme 1.4.9] pa a m´as de alles). Un ope ado di e encial Pse di ´a egula si la conexi´on me omo a o mal asociada es egula . Las conexiones me omo as o males egula es e i ican algunas p opiedades in e esan es. Se puede p oba lo siguien e: Lema 3.1.2. Sea Mˆ Kuna conexi´on me omo a egula . Exis e una base de Mˆ Kde o ma que la ma iz de x∂x iene coe icien es en CJxK. P ueba. P obemos en p ime luga el siguien e lema: Lema 3.1.3. Sea ∂x:Mˆ K→ Mˆ K una conexi´on me omo a. Sea el ope ado di e encial x∂x:Mˆ K→ Mˆ K. En onces, es e ope ado e i ica (x∂x)n= n X i=1 S(n, i)xi∂i x, donde S(n, i)deno a al n´ume o de S i ling de segunda especie.1 P ueba. La p ueba es sencilla po inducci´on. El caso n= 1 es una igualdad i ial. Supongamos cie a la p opiedad pa a ny lo p obamos pa a n+ 1. Tend emos (x∂x)n+1 = (x∂x)( n X i=1 S(n, j)xj∂j x) = x n X j=1 S(n, j)(jxj−1∂j x+xj∂j+1 x) = n X j=1 jS(n, j)xj∂j x+ n X j=1 S(n, j)xj+1∂j+1 x= n X j=1 jS(n, j)xj∂j x+ n+1 X j=2 S(n+ 1, j −1)xj∂j x =S(n, 1)x∂x+S(n, n)xn+1∂n+1 x+ n X j=2 (jS(n, j) + S(n, j −1))xj∂j x. 1El n´ume o de S i ling de segunda clase S(n, k) indica el n´ume o de mane as de di idi un conjun o de nelemen os en ksubconjun os. Cla amen e, S(n, 1) = S(n, n) = 1 pa a cualquie n. 3.1. CONEXIONES MEROMORFAS FORMALES REGULARES 29 Ya que S(n, 1) = S(n, n) = 1 pa a cualquie n, en la iden idad an e io podemos sus i ui S(n, 1) y S(n, n) po S(n+ 1,1) y S(n+ 1, n + 1) espec i amen e. Asimismo, se puede p oba ( e [Big89]) que los n´ume os de S i ling de segunda especie e i ican la elaci´on de ecu encia S(n+ 1, j) = jS(n, j) + S(n, j −1). U ilizando es o y sus i uyendo en la an e io iden idad queda ´ıa p obado el esul ado.  Sea aho a mun ec o c´ıclico de Mˆ K, es deci , m, ∂xm, ··· , ∂d−1 xmes una base de Mˆ K. Vamos a p oba que m, x∂xm, ··· ,(x∂x)d−1mes asimismo una base de Mˆ K. En e ec o, supongamos cons an es a0,··· , ad−1de o ma que a0m+a1x∂xm+···+ad−1(x∂x)d−1m= 0. Si desa ollamos expl´ıci amen e cada ´e mino de acue do al lema 3.1.3 end emos la igualdad d−1 X i=0 bi∂i xm, donde bi=xi d−1 X j=i S(j, i)ai, siendo S(j, i) el n´ume o de S i ling de segunda especie. Ya que sabemos que los ∂i xm (con i a iando en e 0 y d−1) o man una base de Mˆ K end emos que pa a cada ies bi= 0. Si comenzamos azonando po el caso i=d−1, llegamos a que bd−1=xd−1S(d−1, d −1)ad−1 de donde deducimos que ad−1= 0. Es udiando los alo es de ide o ma o denada y descenden e llegamos a que ai= 0 pa a cada i, con lo que {m, x∂xm, (x∂x)2m, ··· ,(x∂x)d−1m} es una base de Mˆ K. Veamos aho a que, espec o de es a base, la de i aci´on x∂x iene ma iz con en adas en CJxK. Es i ial e , de en ada, que la ma iz se ´a de la o ma 30 CAP´ ITULO 3. “TEOREMA DE ESTRUCTURA” DE MALGRANGE            0 0 0 ··· 0 0 c0 1 0 0 ··· 0 0 c1 0 1 0 ··· 0 0 c2 . . .. . .. . ..... . .. . .. . . 0 0 0 ··· 1 0 cd−2 0 0 0 ··· 0 1 cd−1            con ci∈ˆ Kpa a cada ien e 0 y d−1. Conc e amen e, los cison coe icien es de o ma que (x∂x)dm= d−1 X i=0 ai(x∂x)im. Ya que Mˆ Kes egula , podemos supone que es os cies ´an en CJxK. En e ec o: ya que Mˆ Kes egula , end emos que Mˆ K≃Dˆ K  Dˆ K·Pcon P egula . La egula idad de P, como imos en el 3.1.1 equi ale a que si esc ibimos Pde la o ma P= d P i=0 ci(x∂x)icon cada cien CJxK end emos que cdes una unidad. Dicha esc i u a, como se azon´o an e io men e, siemp e es posible (bas a mul iplica po la po encia adecuada de x). Debido a la elaci´on en e conexiones me omo as y D−m´odulos hol´onomos localizados end emos que pa a el ec o c´ıclico mes Pm = 0. En pa icula , se deduce que cd(x∂x)d= d−1 X i=0 (−ci)(x∂x)im. Ya que cdes una unidad en CJxKpodemos esc ibi (x∂x)d= d−1 X i=0 (˜ci)(x∂x)im, donde ˜ci= (cd)−1(−ci). Po supues o, cada ˜cisigue es ando en CJxK. Ya que los (x∂x)im o man una base del espacio Mˆ Kha de se ai= ˜cipa a cada i, con lo cual llegamos a que la ma iz de x∂x espec o de la base (x∂x)im iene coe icien es en CJxK, como que ´ıamos p oba .  Cabe des aca que aunque hemos o ecido una base de o ma expl´ıci a, no iene po qu´e se la ´unica base que e i ique que la ma iz de x∂x espec o de ella enga como en adas elemen os de CJxK. Como consecuencia de es e eo ema enemos un esul ado a´un m´as po en e: 3.1. CONEXIONES MEROMORFAS FORMALES REGULARES 31 P oposici´on 3.1.4. Sea Mˆ Kuna conexi´on me omo a o mal egula . En onces, exis e una base de es e espacio de o ma que la ma iz de x∂xes cons an e, i.e., iene coe icien es en C. P ueba. Sea una base de Mˆ Kde o ma que x∂x enga una ma iz con en adas en CJxK. Sea Aes a ma iz. Sea A0la pa e cons an e de A. Sean asimismo λ1,··· , λ los au o alo es de A0. Supongamos, en p ime luga , que es os au o alo es e i ican que λi−λjno es un en e o pa a cualesquie a iyjdis in os en e s´ı. Sea B∈Gl(d, CJxK) una ma iz de cambio de base. Respec o a la base asociada a B, end emos que la ma iz de x∂xpasa a se BAB−1+x(∂B ∂x )B−1. Exijamos que el cambio de base e i ique la siguien e igualdad BAB−1+x(∂B ∂x )B−1=A0. Es deci , espec o de la base asociada a Bla ma ix de x∂xes cons an e. Ope ando adecuadamen e, llegamos a la igualdad x∂B ∂x =A0B−BA. Ya que las en adas de odas las ma ices es ´an en CJxK end emos que podemos esc ibi B= +∞ X k=0 xkBkA= +∞ X k=0 xkAkx∂B ∂x = +∞ X k=1 kxkBk Pa a esol e es o, podemos azona en el g ado de xy es udiando los coe icien es. Pa a k= 0, se deduce de la igualdad an e io que A0B0−B0A0= 0. Bas a oma B0= Id pa a que se e i ique la ecuaci´on. Sea aho a g ado kmayo que 0. Tend emos que se ha de e i ica la ecuaci´on kBk=A0Bk− k X i=0 BiAk−i, o, equi alen emen e, 32 CAP´ ITULO 3. “TEOREMA DE ESTRUCTURA” DE MALGRANGE (kId −A0)Bk+BkA0= k−1 X i=0 BiAk−i. N´o ese que cada Aiy cada Bjson la ma iz de ope ado es lineales de Cden s´ı mismo. Po an o, su p oduc o y su suma son ambi´en endomo ismos de Cd. En es as condiciones, podemos usa el siguien e lema ´ecnico: Lema. Sean P∈End(Cn)yQ∈End(Cm). En onces, la ecuaci´on XP −QX =Y iene una soluci´on ´unica X∈Hom(Cn,Cm)pa a cada Y∈Hom(Cn,Cm)si y s´olo s´ı PyQno ienen au o alo es comunes. P ueba (Del lema an e io ).En p ime luga , con iene azona lo siguien e: el espacio Hom(Cn,Cm) es de dimensi´on ini a. Po an o, ya que po el p ime eo ema de isomo ´ıa se e i ica que el espacio de o igen es isomo o a la suma di ec a de el n´ucleo y la imagen, ϕse ´a inyec i o si, y s´olo si, es biyec i o. Sea ϕ: Hom(Cn,Cm)→Hom(Cn,Cm) dada po ϕ(X) = XP −QX. El que la an e io ecuaci´on enga una soluci´on ´unica equi ale a p oba que ϕes biyec i a: la sob eyec i idad indica la exis encia de soluci´on pa a cada Y, y la inyec i idad la unicidad. Veamos en p ime luga la inyec i idad: sea Xen el n´ucleo de ϕ. En onces, ϕ(X) = 0. Po an o, el ope ado XP es igual al ope ado QX. Sea un au o ec o de Pasociado a alg´un au o alo λde P. En onces, se iene que XP =λ(X ) = Q(X ). Po an o, X es un au o ec o de Qasociado al au o alo λ. Si PyQno ienen au o alo es comunes, la ´unica posibilidad es que sea X = 0. Como el es a bi a io en e los au o ec o es de P, ha de se X= 0. El azonamien o con a io es simila : si PyQ ienen alg´un au o alo com´un, en onces los elemen os de la o ma X con un au o ec o de Pasociado al au o alo com´un es ´an en el n´ucleo y no se iene la inyec i idad. Po an o, ϕse a biyec i a si y s´olo si PyQno ienen au o alo es comunes, como que ´ıamos p oba .  En nues o caso, omamos P=kId −A0yQ=−A0, y n=m=d. Es ´acil p oba que los au o alo es de −A0son los au o alo es de A0cambiados de signo. Po o o lado, pa a calcula los au o alo es de kId −A0hagamos |λId −(kId −A0)|=|(λ−k)Id + A0|= 0. 3.1. CONEXIONES MEROMORFAS FORMALES REGULARES 33 Es deci , los au o alo es de kId −A0son de la o ma −λ1+k, ··· ,−λ +k. Ya que los au o alo es dis in os de A0, po hip´o esis, no di ie en un en e o en e s´ı, en pa icula no end emos −λi+k=−λjpa a ning´un i, j, k. Es deci , es amos en condiciones de aplica el lema an e io y pa a cada k end emos soluci´on, es deci , enemos o almen e ca ac e izado el cambio de base B. Supongamos aho a que no enemos la hip´o esis sob e los au o alo es de A0. Recu imos en es e caso al siguien e lema ´ecnico: Lema 3.1.5. Sea Ala ma iz de x∂x espec o de una cie a base. Sea A0su pa e cons an e. En onces, exis e una base B0de Mˆ Kde o ma que la ma iz de x∂x espec o de es a nue a base, no ada A0, iene coe icien es en C{x}y los au o alo es de A0 0son λ1+ 1, λ2,··· , λ , donde losλison los au o alo es de A0. P ueba (del lema 3.1.5).Sea B∈Gl(d, ˆ K) la ma iz de cambio de base. Supongamos que enemos exp esada A0en o ma de Jo dan2. Tend emos pues que A= P0 0Q!+A(1), donde A(1) es la pa e no cons an e de AyPyQson bloques de o ma que Pcon iene exclusi amen e los bloques de Jo dan asociados a λ1. Sea B= xId 0 0 Id !. Es udiemos el cambio de base espec o de es a ma iz. Tend emos que A0=BAB−1+x∂B ∂x B−1=BA0B−1+BA1B−1+x∂B ∂x B−1. Pe o se iene que B−1= x−1Id 0 0 Id !. x∂B = xId 0 0 0 !.BA0B−1=A0 Como consecuencia, end emos que x∂B B −1 = Id 0 0 0 !. 2Sea Bun cambio de base cons an e. En onces, A0=BAB−1+x∂B ∂x B−1=BAB−1. En pa icula , es o se e i ica pa a un cambio de base Bde o ma que BA0B−1es ´a en o ma de Jo dan. 40 CAP´ ITULO 3. “TEOREMA DE ESTRUCTURA” DE MALGRANGE Dˆ K  Dˆ K·P1, con lo cual enemos la inyec i idad y, po ende, que mul iplica a de echa po P2es un isomo ismo.  A pa i de es e lema, po el isomo ismo, ob enemos la sucesi´on exac a equi alen e a la an e io 0Dˆ K  Dˆ K·P1 Dˆ K  Dˆ K·PDˆ K  Dˆ K·P20. Si p obamos que es a sucesi´on escinde, end emos, a e ec os p ´ac icos, la p ueba del esul ado p incipal de es a secci´on. En e ec o, se iene el siguien e esul ado: Lema 3.2.4. La sucesi´on 0Dˆ K  Dˆ K·P1 Dˆ K  Dˆ K·PDˆ K  Dˆ K·P20 escinde, es o es, se iene Dˆ K  Dˆ K·P≃Dˆ K  Dˆ K·P1MDˆ K  Dˆ K·P2. P ueba. Pa a p oba es e eo ema usa emos el lema de escisi´on de ´algeb a homol´ogica. Pa a aplica es e esul ado es necesa io encon a nos en el ma co de una ca ego ´ıa abe- liana, lo cual, como p obamos en el lema 2.2.10, es nues o caso. Necesi a emos adem´as el siguien e lema auxilia : Lema 3.2.5. Con P1yP2de o ma que P=P1P2con o me a los esul ados y la no aci´on an e io es, exis en Q, R ∈Dˆ Kde o ma que QP1+P2R= 1. P ueba. Omi imos los de alles de la p ueba po a a se en esencia del mismo a gumen o que en la demos aci´on del lema 3.2.2. Conside emos Lla pendien e usada pa a ob ene P1yP2. Reco demos que P1 iene L−o den a−1 y P2 iene L−o den 0. Exijamos QyR de o ma que Q iene L−o den 0 y R iene L−o den −a−1. Podemos esc ibi pues Q= 1 + Q(−1) +Q(−2) +··· R=R(−a−1) +R(−a−2) +··· , donde los exponen es indican el L−o den. Como en la o a p ueba, se han de e i ica unas ecuaciones del ipo {0 = X i+j=−h Q(i)P(j) 1+X i+j=−h P(i) 2R(j)}h∈Z>0. Como en la o a p ueba, ope ando po inducci´on y de mane a escalonada se pueden encon a soluciones a es as ecuaciones.  3.2. CONEXIONES MEROMORFAS FORMALES EN GENERAL 41 P obado es o, conside emos la aplicaci´on Dˆ K−lineal dada po ϕ:Dˆ K→Dˆ K  Dˆ K·P T7→ T(1 −RP2) + Dˆ K·P, donde Res de o ma que 1 = QP1+P2Rcon o me al lema 3.2.5. Veamos que el n´ucleo de es a aplicaci´on es Dˆ K·P2. Sea, en p ime luga , un elemen o de es e ´ul imo ideal, es o es, es de la o ma TP2. En onces, la imagen po ϕes ϕ(TP2) = T P2(1 −RP2) + Dˆ K·P=T(P2−P2RP2) + Dˆ K·P= T(1 −P2R)P2+Dˆ K·P=TQP1P2+Dˆ K·P=TQP +Dˆ K·P= 0, con lo cual enemos que Dˆ K⊂ke (ϕ). Sea aho a un elemen o Tdel n´ucleo. Ve i ica po an o que T(1 −RP2) + Dˆ K·P= 0, es o es, T(1 −RP2) = AP =AP1P2pa a alg´un A. Ope ando, llegamos a que T= (TR +AP1)P2, es deci , Tes ´a en Dˆ K·P2, con lo cual llegamos a que ke (ϕ) = Dˆ K·P2. No emos po πa la aplicaci´on que a de Dˆ K  Dˆ K·Pen Dˆ K  Dˆ K·P2en nues a sucesi´on exac a co a. Es a aplicaci´on πno es m´as que la p oyecci´on habi ual. Usando el p ime eo ema de isomo ´ıa pa a Dˆ K−m´odulos end emos el diag ama Dˆ K Dˆ K  Dˆ K·PDˆ K  Dˆ K·P2 Dˆ K  Dˆ K·P2Im(ϕ) ϕ ˜π π θ ψ donde se iene que ψθ˜π=ϕ. Si conseguimos p oba que πψθ = 1, en i ud del lema de escisi´on end emos p obado el esul ado. Sea T+Dˆ K·P2. Ya que ψθ˜π=ϕ end emos que ψθ(T+Dˆ K·P2) = ϕ(T) = T(1 −RP2) + Dˆ K·P. Pe o si aplicamos π, end emos que π(T(1 −RP2) + Dˆ K·P) = T+Dˆ K·P2, es deci , πθ˜π= 1. Po an o, po el lema de escisi´on, ya que enemos una secci´on de π, la sucesi´on escinde y enemos el esul ado que ido.  Con odos es os esul ados es amos en condiciones de p oba que podemos descom- pone una conexi´on me omo a o mal como suma di ec a de conexiones me omo as de pendien e ´unica. P oposici´on 3.2.6. Sea Mˆ Kuna conexi´on me omo a o mal. Sea P(Mˆ K) = {L(1),··· , L( ) 42 CAP´ ITULO 3. “TEOREMA DE ESTRUCTURA” DE MALGRANGE el conjun o de sus pendien es. En onces, exis e, sal o isomo ismo y pe mu aci´on, una ´unica descomposici´on Mˆ K= M i=1 M(i) ˆ K de o ma que pa a cada ies P(M(i) ˆ K) = {L(i)}. P ueba. Tan o la exis encia como la unicidad son i iales cuando = 1, con lo que supond emos que es mayo o igual que 2, es deci , si Mˆ K=Dˆ K  Dˆ K·Ppa a cie o polinomio P∈Dˆ K, el pol´ıgono de New on de P iene al menos dos lados no e icales. Bas a descompone P=P1P2con o me al lema 3.2.2 y ei e a el p oceso con P1y P2has a que ob engamos P=Q1Q2···Qs. Po el lema 3.2.4 acaba emos eniendo la descomposici´on deseada. La unicidad es consecuencia de la unicidad de los polinomios en la descomposici´on de P. A pa i de es e esul ado podemos p oba el siguien e lema, que adem´as de su in e ´es in ´ınseco se ´a ´u il a la ho a de de ini las conexiones me omo as elemen ales. Lema 3.2.7. Sean Mˆ K,M0ˆ Kconexiones me omo as o males. En onces, si M0ˆ Kes e- gula y no nula, el conjun o de las pendien es de Mˆ K⊗ˆ KM0ˆ Kes el conjun o de las pendien es de Mˆ K. P ueba. Sea {L(1),··· , L( )el conjun o de las pendien es de Mˆ K. Sea Mˆ K= L i=1 M(i) ˆ Kla descomposici´on de Mˆ Kcon o me a la p oposici´on 3.2.6. Reco demos que, ya que M0ˆ Kes egula , su ´unica pendien e es {L0}, es deci , la pendien e ho izon al. Tend emos que Mˆ K⊗ˆ KM0ˆ K= M i=1 M(i) ˆ K⊗M0ˆ K. Po es a ´o mula bas a p oba el eo ema pa a uno s´olo de los ´e minos de la ´o mula. Sea pues M(i) ˆ K⊗M0ˆ Kcon ia bi a io. Si es a conexi´on u iese pendien es {L(i,1), L(i,2),··· , L(i, )} end ´ıamos, de acue do a la p oposici´on 3.2.6, que M(i) ˆ K⊗M0ˆ K= M j=1 A(i,j) con cada A(i,j) eniendo a L(i,j)como pendien e ´unica. Asimismo, po el co ola io 3.1.6 end emos que M0≃LGα,d pa a una can idad ini a de conexiones me omo as egula es elemen ales Gα,d. Pe o es i ial que Gα,d ≃dGα,1. As´ı, end emos que M(i) ˆ K⊗M0ˆ K=MM(i)⊗Gα,1. 3.2. CONEXIONES MEROMORFAS FORMALES EN GENERAL 43 Pe o ha de se que las pendien es de M(i)⊗Gα,1sean, pa a cualquie α, las de M(i), pues M(i)⊗Gα,1≃ M(i)ya que Gα,1 iene dimensi´on 1. Po an o, las pendien es de M(i) ˆ K⊗M0ˆ Kson ambi´en las de M(i) ˆ K. De aqu´ı se deduce di ec amen e el esul ado.  3.2.2. Descomposici´on en suma de conexiones me omo as o - males elemen ales Es udiamos a con inuaci´on o a descomposici´on de una conexi´on me omo a o mal. Veamos un ejemplo mo i an e: Ejemplo 3.2.1.Sea el polinomio di e encial P=x5∂2 x+x5∂x+ 1. El pol´ıgono de New on de es e polinomio lo podemos e en ojo en la siguien e igu a, al y como calculamos en la secci´on an e io : i (ai) Figu a 3.1: Pol´ıgono de New on de x5∂2 x+x5∂x+ 1. Se puede p oba , es udiando el L-s´ımbolo de P, que la ´unica pendien e de es e pol´ıgono es L(s0, s1) = 3s0+2s1. Si calculamos el alo num´e ico de la pendien e (al cual llamamos ambi´en, como indicamos an es, pendien e) emos que es −3 2. Con o me al eo ema 3.2.6, ya que la pendien e es ´unica, no pod emos descompone la conexi´on me omo a asociada al polinomio del ejemplo. ¿Se ´a posible ealiza alg´un ipo de ans o maci´on de o ma que la pendien e sea “lo m´as simple posible”, es deci , un en e o?. La espues a se ´a a i ma i a, y la consegui emos, como anunci´abamos, median e el uso de ami icaciones yconexiones me omo as o males elemen ales. De inici´on 3.2.8. Sea π:C→Cla unci´on dada po 7→ qpa a alg´un n´ume o en e o posi i o q. Tomando x= qes a unci´on induce la siguien e aplicaci´on: 44 CAP´ ITULO 3. “TEOREMA DE ESTRUCTURA” DE MALGRANGE π∗:CJxK,→CJxK 7→ π∗( ) = ◦π. Donde, si =Panxn, ◦πquie e deci π∗( ) = ◦π=Pan qn. Es a aplicaci´on, po supues o, induce la an´aloga en e C{x}yC{ }. Tambi´en induce las an´alogas en e KyL, y en e ˆ Kyˆ L, donde L=C{ }[ −1]yˆ L=CJ K[ −1]. Como consecuencia de la de inici´on, L( espec i amen e, ˆ L) es una ex ensi´on de K( esp. ˆ K). A cada una de las aplicaciones π∗se le llama ami icaci´on. N´o ese que una ami icaci´on es, en esencia, una ans o maci´on que in oduce a´ıces q−´esimas. Asimismo, pa a acla a en qu´e si uaci´on nos encon amos, di emos que qes el en e o posi i o asociado a una cie a ami icaci´on3. Veamos aho a como ex ende la acci´on de una ami icaci´on a una conexi´on me omo a o mal: De inici´on 3.2.9. Sea Mˆ Kuna conexi´on me omo a o mal. Sea πuna ami icaci´on asociada al en e o posi i o q. De inimos π∗Mˆ Kcomo el ˆ L−espacio ec o ial π∗Mˆ K=ˆ L⊗ˆ KMˆ K. La acci´on de ∂ da ´a es uc u a de conexi´on me omo a sob e ˆ La es e p oduc o en- so ial, y iene dada po ∂ (ϕ⊗m) = q(ϕ⊗(x∂xm)) + (( ∂ϕ ∂ )⊗m). No a. Po supues o, en luga de ∂ podemos conside a cualquie o a de i aci´on ajus- ando con enien emen e la de inici´on, pe o po simplicidad, s´olo incluimos expl´ıci amen e la an e io . Lema 3.2.10. Con o me a la de inici´on 3.2.9 se iene que π∗Mˆ Kes una conexi´on me- omo a sob e ˆ L. P ueba. En e ec o: po de inici´on, es un ˆ L−espacio ec o ial de dimensi´on ini a. M´as conc e amen e, iene la dimensi´on de Mˆ K. Asimismo, po de inici´on, es Clineal, y eamos que pa a cada , g ∈ˆ Ly cada men Mˆ Kse iene que ∂ (g·( ⊗m)) = ( ∂g ∂ )( ⊗m) + g( ∂ ( ⊗m)). En e ec o: ∂ (g·( ⊗m)) = ∂ ((g )⊗m) = q((g )⊗(x∂xm)) + (( ∂g ∂ )⊗m) = 3Es a nomencla u a no es es ´anda . En la li e a u a, en gene al, se sob een iende el papel de q. 3.2. CONEXIONES MEROMORFAS FORMALES EN GENERAL 45 g(q( ⊗(x∂xm))) + ( ∂g ∂ )( ⊗m) + g(( ∂ ∂ )⊗m)=( ∂g ∂ )( ⊗m) + g( ∂ ( ⊗m)). Po an o, enemos el esul ado que ido.  El esul ado de una ami icaci´on se puede o ece de o ma m´as conc e a: Lema 3.2.11. Sea Mˆ Kuna conexi´on me omo a o mal de o ma que, pa a cie o poli- nomio P= d−1 P i=0 ai(x)(xi∂i x)es Mˆ K=Dˆ K  Dˆ K·P. Sea πuna ami icaci´on asociada a q. En onces, se e i ica que π∗Mˆ K=Dˆ L  Dˆ L·P0 con P0= d−1 P i=0 qiai( q)( i∂i ). En es a ´ul ima conexi´on ∂ ac ´ua de la mane a ob ia. P ueba. Sea Mˆ L=Dˆ L  Dˆ L·P0. Sea {m, x∂xm, ··· ,(x∂x)d−1m}una base de Mˆ K. Es i ial que una base de π∗Mˆ Kse ´a {1⊗(x∂x)im}i=0,··· ,d−1. Asimismo, si P0= d−1 P i=0 qiai( ∂ )ies i ial que {m, ∂ m, ··· ,(x∂x)d−1m}es una base de Mˆ L, ya que la an´aloga lo es de Mˆ K. Es ablezcamos el mo ismo, cla amen e ˆ L−lineal, dado po ϕ:ˆ LNˆ KMˆ K→ Mˆ L 1⊕(x∂x)im7→ q( ∂ )im. Cla amen e es un isomo ismo de espacios ec o iales. Veamos que ambi´en es un isomo ismo de conexiones me omo as iendo que p ese a la acci´on de la de i aci´on, es deci , que el diag ama siguien e conmu a: ˆ LNˆ KMˆ KMˆ L ˆ LNˆ KMˆ KMˆ L ϕ ∂ ∂ ϕ . Bas a e que conmu a pa a los elemen os de la base. En e ec o: sea 1 ⊗(x∂x)imun ec o a bi a io de la base de π∗Mˆ K. En onces se iene que ∂ (ϕ(1 ⊗(x∂x)im)) = ∂ (( ∂ )im) = q( ∂ )i+1m. Po o o lado, 46 CAP´ ITULO 3. “TEOREMA DE ESTRUCTURA” DE MALGRANGE ϕ( ∂ (1 ⊗(x∂x)im)) = ϕ(1 ⊗(x∂x)i+1m) = q( ∂ )i+1m. Po an o el diag ama conmu a, como que ´ıamos p oba .  Veamos como a ec a una ami icaci´on a las pendien es de una conexi´on: Lema 3.2.12. Sea Mˆ Kuna conexi´on me omo a. Sea Mˆ Lsu ami icaci´on, asociada a un cie o en e o posi i o q. En onces, si {L(1),··· , L( )}son las pendien es de Mˆ K, las pendien es de Mˆ Lson {L0(1),··· , L0( )}, donde si L(i)(s0, s1) = λ0s0+λ1s1 en onces L0(i)(s0, s1) = λ(i) 0s0+λ(i) 1 qs1 pa a cada i. P ueba. Sea Mˆ K=Dˆ K  Dˆ K·P. Sea una ami icaci´on de Mˆ K, deno ada Mˆ L, que po el lema 3.2.11, es Mˆ L=Dˆ L  Dˆ L·P0 con P0de acue do al lema 3.2.11. Pa a cada i, si se iene que (ai(x)) = n, en onces (ai( q)) = qn. Po an o, el pol´ıgono de New on de P0no se ´a m´as que una dila aci´on en el eje e ical del pol´ıgono de New on de P. Si L(i)(s0, s1) = λ(i) 0s0+λ(i) 1s1es una pendien e de Pdis in a de la ho izon al, end emos que λ16= 0. La pendien e num´e ica asociada a esa o ma lineal es −λ(i) 0 λ(i) 1 pe o, debido a que la ami icaci´on dila a mul iplicando po qla pendien e, end emos que la pendien e co espondien e de P0es −qλ(i) 0 λ(i) 1 , es deci , que la o ma lineal es L0(i)(s0, s1) = λ(i) 0s0+λ(i) 1 qs1. No a. Cabe des aca que, en la p ueba an e io , no pa a odo q amos a ene que λ(i) 1 qsea en e o, con lo que no en a ´ıa en nues a de inici´on an e io de pendien e. No obs an e, podemos amplia la sin p oblemas pa a es e caso. Asimismo, es una consecuencia i ial del lema que siemp e a a exis i una ami icaci´on de o ma que odas las pendien es num´e icas sean en e as: bas a oma q= lcm i(λ(i) 1), con lcm el m´ınimo com´un m´ul iplo. P esen amos aho a el concep o de conexi´on me omo a ( o mal) elemen al. Es e con- cep o se ´a b´asico a la ho a de es ablece la descomposici´on de Le el -Tu i in-Malg ange, pues nos indica cu´ales son las conexiones me omo as m´as “simples” posibles. Como paso p e io, hemos de de ini cie o ipo especial de conexi´on me omo a: 3.2. CONEXIONES MEROMORFAS FORMALES EN GENERAL 47 De inici´on 3.2.13. Sea R(z) = k P i=1 aiziun polinomio de g ado ksin ´e mino indepen- dien e y coe icien es en C. Deno amos po FR ˆ Kal ˆ K−espacio ec o ial de dimensi´on 1con base e(R)y do ado de una de i aci´on x∂xcon su acci´on dada po x∂x(ϕ·e(R)) = (x∂ϕ ∂x +ϕx∂R(x−1) ∂x )·e(R). No a. En la de inici´on an e io podemos sus i ui di ec amen e el polinomio R(z) po un polinomio de Lau en , ajus ando con enien emen e la de inici´on de la de i aci´on. La idea que subyace a la de inici´on es la de que el elemen o de la base, e(R), ac ´ue como la exponencial de R(x−1). De la de inici´on se sigue, i ialmen e, que es una conexi´on me omo a. De inici´on 3.2.14. Sea R(z)un polinomio con coe icien es en Cy sin ´e mino indepen- dien e. Una conexi´on me omo a ( o mal) elemen al sob e ˆ Kes una conexi´on me omo a isomo a a FR ˆ K⊗ˆ KGˆ K, donde Gˆ Kes una conexi´on me omo a elemen al egula , es deci , Gˆ K=Dˆ K  Dˆ K·(x∂x+α)d. Po el co ola io 2.1.21 end emos que la pendien e de una conexi´on me omo a ele- men al se ´a ´unica, y se ´a la pendien e de FR ˆ K. Veamos cu´al es es a pendien e: Lema 3.2.15. Sea R(z) = k P i=1 aiziun polinomio sin ´e mino independien e y con coe i- cien es complejos de g ado k. En onces, se iene el isomo ismo de conexiones me omo as FR ˆ K≃Dˆ K  Dˆ K·P donde P= (xk)x∂x+ ( k P i=1 iaixk−i). P ueba. Si mes un gene ado de la conexi´on Dˆ K  Dˆ K·P, en onces la acci´on de x∂xsob e esa conexi´on iene dada po x∂xm=− k P i=1 iai xim. Pe o − k P i=1 iai xi=x∂R(x−1) ∂x , de donde se sigue di ec amen e que el isomo ismo de espacios ec o iales que al gene ado e(R) de FR ˆ Kle asigna mes ambi´en un isomo ismo de conexiones me omo as.  Co ola io 3.2.16. La pendien e de FR ˆ Kes L(s0, s1) = ks0+s1, con kel g ado del poli- nomio R. P ueba. Num´e icamen e es i ial que la pendien e de FR ˆ Kes −k: bas a obse a el pol´ıgono de New on del polinomio Pindicado en el lema 3.2.15. Es e pol´ıgono no se ´a m´as que el segmen o uniendo el pun o (0,0) con el pun o (1,−k). De aqu´ı se deduce que la pendien e es la an es dicha. . 48 CAP´ ITULO 3. “TEOREMA DE ESTRUCTURA” DE MALGRANGE Como consecuencia di ec a de es e esul ado en conjunci´on con el co ola io 2.1.21 en- d emos que la pendien e de FR ˆ Kes ambi´en la de cualquie conexi´on me omo a elemen al de la que o me pa e. Es amos aho a en condiciones de enuncia y p oba el esul ado p incipal: el eo ema de descomposici´on de Le el -Tu i in desde el pun o de is a de Malg ange: Teo ema 3.2.17 (Le el -Tu i in-Malg ange).Sea Mˆ Kuna conexi´on me omo a o mal. En onces exis e un en e o qde o ma que la conexi´on π∗Mˆ Kes isomo a a una suma di ec a de conexiones me omo as o males elemen ales. P ueba. Pa a comenza , supongamos que nues a conexi´on Mˆ K iene una ´unica pendien e L. Si no, pod ´ıamos descompone la conexi´on en conexiones de pendien e ´unica median e el eo ema 3.2.6 y abaja sob e cada uno de ellos. Si la pendien e es la ho izon al, ya enemos el esul ado: bas a oma la descomposici´on ob enida en el co ola io 3.1.6. Cada conexi´on me omo a o mal egula Gˆ Kes elemen al, pues es isomo a a F0 ˆ K⊗Gˆ K. Supongamos pues que Les una pendien e no ho izon al, es deci , L(s0, s1) = λ0s0+λ1s1 con λ1no nulo y λ0, λ1en e os posi i os y cop imos. Tenemos que se e i ica Mˆ K≃Dˆ K  Dˆ K·P con P= d−1 P i=0 ai(x∂x)icon los aien CJxKy al menos uno de ellos una unidad. Ya que es amos suponiendo que no hay pendien e ho izon al, la ´unica unidad ha de se a0. Asimismo, ha de se o dL(P) = 0, pues la pendien e es ´unica y el m´aximo se alcanza en los dos pun os que apa ecen en el pol´ıgono de New on, que en es e caso es el segmen o que une (0,0) y (d, − (ad). Conside emos pues el L−signo de P, que se ´a de la o ma σL(P) = X L(i,−j)=0 ai,jxj(x∂x)i donde los ai,j son n´ume os complejos. Al L-s´ımbolo de Plo llama emos ecuaci´on ca ac e ´ıs ica de P. Ya que la pendien e no es ho izon al, hab ´a al menos dos monomios en esa exp esi´on. Si esc ibimos θ=xλ0(x∂x)λ1 end emos que podemos pone σL(P) = X k≥0 akθk, siendo es a suma ini a, con los akcomplejos y con a0no nulo, pues el o igen es un ´e ice del pol´ıgono de New on: si uese a0nulo end ´ıamos en pa icula que L(0,0) no es 0, lo cual ya hemos indicado que es also. 3.2. CONEXIONES MEROMORFAS FORMALES EN GENERAL 49 Inciso. Realizamos un peque˜no inciso pa a explica de alladamen e el p oceso seguido a la ho a de calcula la ecuaci´on ca ac e ´ıs ica de py hace el cambio de a iable θ. Ya que la pendien e, num´e icamen e, es −λ0 λ1 end emos que odos los pun os de la o ma (i, − (ai)) (es o es, los posibles ´e ices del pol´ıgono de New on de P) e i ican que (ai)≥iλ0 λ1pa a cada i. Es o se debe a que el ´unico segmen o que con o ma el pol´ıgono de New on de P es el segmen o que une (0,0) con (d, − (ad)), es deci , pa e de la ec a y=−λ0 λ1x. En o o caso, end ´ıamos dos pendien es, lo cu´al no es nues o caso. Es a elecci´on, adem´as, nos pe mi e asegu a que cada coe icien e aide Pse puede exp esa como ai=cxdλ0 λ1ie+ ( ´e minos de o den supe io a dλ0 λ1 ie), donde ces una cons an e que puede se nula y d·e deno a al ope ado pa e en e a po a iba, es o es, dae= min{b∈Z|b≥a}. Ya que o dL(P) = 0, end emos que pa a cada ai(x∂x)iel L-s´ımbolo del monomio iene de e minado po (ai). Si (ai)> iλ0 λ1se iene que L(i, − (ai)) <0 y po an o la clase del monomio es 0. Si (ai) = λ0ien onces el monomio no se anula, pues L(i, − (ai)) = 0. Asimismo, engamos en cuen a que si L(λ1+ , λ0+s) = 0 en onces L(λ1− , λ0−s) = 0, con lo que queda jus i icada la exp esi´on de θ, pues podemos ag upa ´e minos de la o ma deseada. Vol iendo al eo ema, conside emos aho a la can idad κ, dada po λ0 λ1si es e cocien e es un en e o (los λison los que apa ecen en la pendien e de la conexi´on), y +∞en caso con a io4. Ya que hemos desca ado el caso ho izon al y λ1nunca es 0 (pues no conside amos los lados e icales del pol´ıgono) end emos que o bien λ1es 1 o es mayo que 1. Como adem´as podemos supone que λ0yλ1son cop imos, en el p ime caso κ=λ0 y en el segundo κ= +∞. Es udiemos pues es os dos casos, p ocediendo po inducci´on en κ. El caso base es κ= 0, que ya es a p obado. Podemos pues supone que pa a oda pendien e meno que un cie o κ enemos p obado el esul ado. P ime caso: λ1= 1.Como dec´ıamos, en es e caso κ=λ0<+∞. Reco demos que en´ıamos σL(P) = P k≥0 akθk. Ya que es a suma es ini a, podemos supone sin p´e dida de gene alidad que llega al g ado k=n. Po el p ime eo ema undamen al del ´algeb a pod emos ac o iza , y end emos 4En gene al, pa a una conexi´on me omo a con a ias pendien es, κse ´ıa el m´aximo de odos los cocien es ob enidos a pa i de las pendien es, bajo el c i e io de que es el p opio cocien e si es un en e o, e in ini o en caso con a io. 56 CAP´ ITULO 3. EL TEOREMA CL ´ ASICO DE LEVELT-TURRITTIN y los g upos de Galois di e enciales. O as e e encias sob e la u ilidad de es a descompo- sici´on se pueden encon a en [KW17], as´ı como en el ex o de Malg ange [Mal91], donde, al desa olla la eo ´ıa comple amen e, es ablece en un con ex o cu´al es la ele ancia de la descomposici´on. O as consecuencias, elacionadas con el paso al caso con e gen e, las comen a emos supe icialmen e en la siguien e secci´on. 3.3.2. El eo ema de Le el -Tu i in y su elaci´on con el eo e- ma de Malg ange Como hemos anunciado, an o el enunciado de Le el como el que hemos p obado en el p esen e ex o, debido a Malg ange, son equi alen es. Aunque in ui i amen e es cla o que exis e una elaci´on, en un p ime momen o puede escapa se la equi alencia y, aunque en la li e a u a se usan ambos enunciados indis in amen e, puede esul a chocan e encon a dicha a i maci´on, p incipalmen e debido al cambio del lenguaje usado. A al e ec o, amos a p oba la o malmen e. La descomposici´on de Malg ange implica la descomposici´on de Le el -Tu i in En e ec o, supongamos una conexi´on me omo a o mal Mˆ Ky supongamos, en i ud del eo ema de Malg ange, que podemos exp esa la como suma de conexiones me omo as o males elemen ales. Sin pe dida de gene alidad podemos supone que hay una ´unica conexi´on en la suma: si hubiese m´as, podemos p ocede una a una. Como en el caso de la p ueba del eo ema p incipal, po simplicidad, supond emos que nues o ope ado es x∂x. Sea pues FR ˆ K⊗Gˆ Kuna conexi´on me omo a elemen al. La dimensi´on de dicha conexi´on end ´a dada po la dimensi´on de Gˆ K. Sea es a dimensi´on d. Sea e(R) la base de FR ˆ Kym un ec o c´ıclico de Gˆ K. La ma iz del ope ado x∂xac uando sob e es a conexi´on espec o de la base {e(R)⊗(x∂x)im}i=0,··· ,d−1 end ´a dada po x∂x=      ϕ0··· a0 1ϕ··· a1 . . .. . ..... . . 0 0 ··· ϕ+ad−1       , donde ϕ=x∂R(x−1) ∂x y los aison los coe icien es de (x∂x)dm espec o de la base an e io . Es a ma iz puede exp esa se como x∂x=ϕId + A, 3.4. POSIBLE PROFUNDIZACI ´ ON EN LA TEOR´ IA ALGEBRAICA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 57 donde Aes la ma iz de la acci´on de x∂xsob e Gˆ K. Pe o la acci´on de x∂xsob e conexiones cons an es ya la hemos es udiado ( ´ease la secci´on 1 del p esen e cap´ı ulo) y podemos supone sin p´e dida de gene alidad que Aes una ma iz de au o alo ´unico α en o ma de Jo dan. Po an o, podemos exp esa x∂x= (ϕ+α)Id + J, donde Jes una ma iz con 0 y 1 en la supe diagonal. Po la clasi icaci´on de las ma ices nilpo en es, sabemos que Jse ´a nilpo en e, y la o a, po de inici´on, es diagonal, con lo que enemos la descomposici´on de Le el . La descomposici´on de Le el implica la descomposici´on de Malg ange Supongamos un ope ado Dexp esado, de acue do a la nomencla u a de Le el , como D=S+N. De acue do a la clasi icaci´on de las ma ices nilpo en es podemos exp esa es e ope ado en o ma de Jo dan, es deci , elemen os en la diagonal y 0 y 1 en la su- pe diagonal, siendo el es o de la ma iz nula. Adem´as, podemos exp esa la po bloques. Po simplicidad, conside emos que D iene un ´unico bloque, a sabe , el bloque con ϕ∈ˆ K en la diagonal y 1 en la supe diagonal. El ope ado ϕse ´a de la o ma ϕ=a+ ˜ϕcon acons an e y ˜ϕsin ´e mino independien e. ˜ϕ, a su ez, puede se exp esado como un polinomio R(x−1) mul iplicado po una unidad de CJxK. De aqu´ı se deduce di ec amen e el esul ado de Malg ange: podemos exp esa D= ( ˜ϕ+a)Id + J, y azona de mane a in e sa a como hemos hecho en la o a implicaci´on. 3.4. Posible p o undizaci´on en la eo ´ıa algeb aica de las ecuaciones di e enciales Como indic´abamos en la in oducci´on el es udio de la clasi icaci´on de las conexiones me omo as o males no es m´as que el p ime paso a la ho a de in oduci se en el campo del es udio algeb aico de las ecuaciones di e enciales. Un p ime obje i o azonable es pasa del caso o mal al caso con e gen e. La mo i aci´on de es o es sencilla: es un hecho cl´asico bien conocido en el campo de las ecuaciones di e enciales que, dado un sis ema de ecuaciones di e enciales y una soluci´on o mal de es e, dicha soluci´on induce solucio- nes con e gen es (o anal´ı icas) del sis ema. Con es o que emos deci que las soluciones o males se pueden ex ende , asin ´o icamen e, a soluciones o males. Con iene ecalca el soluciones: si el sis ema iene una singula idad i egula , seg´un como nos ap oximemos a 58 CAP´ ITULO 3. EL TEOREMA CL ´ ASICO DE LEVELT-TURRITTIN dicha singula idad, ob end emos dis in as soluciones, y la ex ensi´on anal´ı ica puede a ia . Es e hecho es lo que se conoce desde el siglo XIX como en´omeno de S okes. Has a la o ecida po Hukuha a ([Va 96]) ya bien en ados en el siglo XX no apa eci´o una desc ipci´on o almen e adecuada del en´omeno, y es en los a˜nos 70, g acias a Malg ange y Shibuya, cuando se ob iene una ap oximaci´on algeb aica al en´omeno de S okes. Sin en a en de alles, a cada ecuaci´on di e encial se le puede asocia un haz, el haz de S okes, que de e mina comple amen e las soluciones anal´ı icas de la ecuaci´on. As´ı, una comp ensi´on comple a de las soluciones anal´ı icas es una mo i aci´on a la ho a de con inua con el es udio. La l´ınea a segui , en conc e o, es la siguien e: en p ime luga , po comple i ud, con iene ealiza un es udio de la es uc u a de los ˆ D-m´odulos hol´onomos. El esul ado al que se llega pa a los ˆ D-m´odulos hol´onomos es que odo ˆ D-m´odulo hol´onomo Mse puede exp esa como suma di ec a de un ˆ D-m´odulo hol´onomo egula (i.e, uno cuyo localizado es una conexi´on me omo a o mal egula ) y un ˆ D-m´odulo hol´onomo isomo o a la pa e i egula del localizado de M. A con inuaci´on con iene abo da el caso con e gen e (o anal´ı ico). El es udio de las co- nexiones me omo as egula es da como esul ado una descomposici´on o almen e an´alo- ga al caso o mal, y una ca ac e izaci´on sencilla de los D-m´odulos hol´onomos egula es ([Sab93]). En es e pun o en a en juego la co espondencia de Riemann-Hilbe pa a el caso egula . Sin en a en de alles, es a co espondencia es ablece una equi alencia de ca ego ´ıas en e los D-m´odulos hol´onomos egula es y cie a ca ego ´ıa de haces. Con iene des aca que, his ´o icamen e, la co espondencia de Riemann-Hilbe mo i ´o el descub i- mien o de los haces pe e sos, una he amien a undamen al en los D-m´odulos. Resul a in e esan e ambi´en plan ea se que sucede en el caso i egula : el ecien e esul ado de D’Agnolo y Kashiwa a ([DK16]) gene aliza la co espondencia de Riemann-Hilbe al ca- so i egula . Se puede obse a , po an o, que el pano ama a la ho a de con inua un es udio del ema p esen ado en el abajo es in e esan e: lo ecien e de los a ances de D’Agnolo y Kashiwa a ponen de mani ies o que el campo de la eo ´ıa algeb aica de las ecuaciones di e enciales, especialmen e en el caso i egula , goza de buena salud y un amplio ho izon e de desa ollo. Tambi´en es in e esan e el caso de cue pos de ca ac e ´ıs ica posi i a, que es adicalmen e dis in o al de ca ac e ´ıs ica ce o. Asimismo con iene des aca que, aunque no se conoce con p o undidad, pa ece exis i un ´ınculo en e los D-m´odulos y la cohomolog´ıa l-´adica, lo cual deja abie a o a linea de p o undizaci´on m´as. Bibliog a ´ıa [Big89] No man L. Biggs. Disc e e Ma hema ics. Ox o d Science Publ., e ised edi ion edi ion, 1989. [BM84] J. B ian¸con and Ph. Maisonobe. Id´eaux de ge mes d’op´e a eu s di ´e en iels `a une a iable. Enseign. Ma h. (2), 30(1-2):7–38, 1984. [Cas84] F. Cas o. Th´eo `eme de di ision pou les op´e a eu s di ´e en ielles e calcul des mul iplici ´es. Th`ese de 3eme cycle, Uni e si ´e Pa is VII, 1984. [CN12] F. J. Cas o-Jimenez and L. Na aez-Maca o. Homogenising di e en ial ope a- o s. A Xi e-p in s, No embe 2012. [Cou95] S. C. Cou inho. A p ime o algeb aic D-modules, olume 33 o London Ma he- ma ical Socie y S uden Tex s. Camb idge Uni e si y P ess, Camb idge, 1995. [DK16] A. D’Agnolo and M. Kashiwa a. Riemann-Hilbe co espondence o holonomic D-modules. Publ. Ma h. Ins . 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