FUNDAMENTOS DE LA
RELATIVIDAD ESPECIAL
Ca men Gómez Regue a
T abajo de Fin de G ado
FUNDAMENTOS DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL
Ca men Gómez Regue a
T abajo de Fin de G ado
Memo ia p esen ada como pa e de los equisi os
pa a la ob ención del í ulo de G ado en Ma emá-
icas po la Uni e sidad de Se illa.
Tu o izada po
Ma ía Isabel Ga cía de So ia Lucena
Índice gene al
English Abs ac 1
Resumen 3
1. An eceden es a la eo ía especial de la ela i idad 5
1.1. T ans o maciones Galileanas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Rela i idad New oniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3. El elec omagne ismo y la ela i idad new oniana . . . . . . . . . . . 9
1.4. El expe imen o de Michelson-Mo ley . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2. Fundamen os de la eo ía especial de la ela i idad 15
2.1. Los pos ulados de la eo ía de la ela i idad especial . . . . . . . . . . 15
2.2. Las ans o maciones de Lo en z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3. Simul aneidad ............................... 20
2.4. E ec o Dopple ela i is a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5. La pa adoja de los gemelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.6. T ans o mación de la elocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.7. Can idad de mo imien o ela i is a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

ii undamen os de la ela i idad especial
2.8. Ene gía ela i is a............................. 30
2.8.1. Ene gía en eposo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.8.2. T ans o maciones de la can idad de mo imien o, la ene gía y
lamasa............................... 36
2.8.3. T ans o maciones de la ue za . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.9. Elec omagne ismo ............................ 38
2.9.1. T ans o mación de los campos eléc ico y magné ico . . . . . 41
2.9.2. In a ianza de las ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . 43
3. Los diag amas de Minkowski 47
3.1. Dila ación del iempo y con acción de las longi udes . . . . . . . . . 54
3.2. Pa adoja de los gemelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4. Conclusiones 63
Bibliog a ía 65
Abs ac
New on’s classical mechanics p o ed o be incompa ible wi h Maxwell’s equa-
ions o elec omagne ism, so i had o be modi ied. Th oughou his pape , we will
see how he sho comings o he adi ional heo ies o ela i i y p omp ed he need
o inno a i e concep s ha gi e ise o he heo y o special ela i i y, de eloped by
Albe Eins ein in 1905, a e which he idea o absolu e ime and space is abandoned.
His heo y was based on he pos ula ion ha he speed o ligh is cons an o all ob-
se e s, which equi ed he adap a ion o he classical laws o physics. Thus, we will
de i e he scien is ’s amous equa ion, 𝐸=𝑚𝑐2, which shows a deep connec ion be-
ween ene gy and mass, p o iding u he insigh in o a omic and nuclea eac ions.
In addi ion, we will de elop he Minkowski diag ams, which a e he undamen al ool
o isualize he e ec s o his new heo y.
Resumen
La mecánica clásica de New on demos ó se incompa ible con las ecuaciones del
elec omagne ismo de Maxwell, po lo que debía se modi icada. A lo la go de es e
abajo, e emos cómo las de iciencias de las eo ías adicionales de la ela i idad
impulsa on la necesidad de concep os inno ado es que dan luga a la eo ía de la e-
la i idad especial, desa ollada po Albe Eins ein en 1905, as la que se abandona la
idea de iempo y espacio absolu os. Su eo ía se basó en la pos ulación de que la elo-
cidad de la luz es cons an e pa a odos los obse ado es, lo que equi ió la adap ación
de las leyes clásicas de la ísica. Así, deduci emos la amosa ecuación del cien í ico,
𝐸=𝑚𝑐2, que mues a una p o unda conexión en e la ene gía y la masa, p opo -
cionando una mayo comp ensión de las eacciones a ómicas y nuclea es. Además,
desa olla emos los diag amas de Minkowski, que son la he amien a undamen al
pa a isualiza los e ec os de es a nue a eo ía.
10 undamen os de la ela i idad especial
magné ica en el acío.
Desde o o sis ema ine cial 𝑆′, que se desplaza a una elocidad cons an e, 𝑣, con
espec o al p ime o, un obse ado medi ía una elocidad di e en e: 𝑐+𝑣o𝑐-𝑣, de-
pendiendo de la di ección del mo imien o ela i o.
Pe o las ecuaciones del elec omagne ismo de Maxwell con ienen la cons an e 𝑐,
que se iden i ica como la elocidad de p opagación de una onda plana en el acío, po
lo que, al cambia de sis ema de e e encia, la ecuación de la onda cambia, ya que es a
elocidad de p opagación deja de se cons an e en odos los sis emas de e e encia
ine ciales, lo cual es incompa ible con las obse aciones expe imen ales.
Aho a, la elocidad de p opagación de la onda que pa ece medi se en el sis ema de
e e encia 𝑆′es (𝑐+𝑣), en luga de 𝑐. Es deci , el p incipio de ela i idad new oniano
no se aplica a las leyes del elec omagne ismo, pe o sí a las de la mecánica. Es o nos
hace pensa en es posibilidades:
La p ime a es que exis a un p incipio de ela i idad pa a la mecánica, pe o no
pa a la elec odinámica. En la elec odinámica, exis e un sis ema ine cial p e e-
ido al que los cien í icos llama on é e , que es á o almen e en eposo. Anali-
za emos es a posibilidad en la siguien e sección.
La segunda es que exis a un p incipio de ela i idad pa a ambas, pe o que las
leyes de Maxwell no sean co ec as.
La e ce a es que exis a un p incipio de la ela i idad pa a ambas, pe o que las
leyes de la mecánica dadas po New on no sean co ec as. En es e caso, las leyes
de ans o mación co ec as no se ían las galileanas, ya que son incompa ibles
con la in a ianza de las ecuaciones de Maxwell; es deci , end ía que habe al-
guna o a ans o mación que conco dase con el elec omagne ismo clásico y
con la nue a mecánica.
Ve emos cómo la e ce a posibilidad es la que se conside a á co ec a.
1.4 El expe imen o de Michelson-Mo ley
En el siglo XIX los ísicos no podían acep a el hecho de que una onda elec o-
magné ica se p opagase en el acío, po lo que pos ula on la exis encia del “é e ”, un
medio inde ec able que llenaba odo el espacio y en el que se podía medi la elocidad

1. an eceden es a la eo ía especial de la ela i idad 11
de la luz. Pa a explica la imposibilidad de su de ección, le die on p opiedades como
densidad nula y o al anspa encia.
Dos cien í icos es adounidenses, Albe A. Michelson y Edwa d W. Mo ley, pla-
nea on un expe imen o en 1887 con el obje i o de de ec a al é e . Es e consis ía en
a a al é e como un sis ema de e e encia ijo con espec o al Sol, y conside a un
ayo de luz medido po un obse ado en la Tie a, la cual se mue e a una elocidad
𝑣= 30𝑘𝑚∕𝑠 espec o al é e . Al inaliza el expe imen o, se acabó desca ando la po-
siblidad de que exis iese es e medio que se conside a ía el sis ema ine cial p e e ido
pa a la elec odinámica.
El expe imen o se basa en la in e e encia de dos haces de luz, que se di iden de
una uen e de luz median e un di iso de haz 𝑀, en un labo a o io 𝑆( ijo con espec o
al ins umen o uen e). Los dos haces iajan a lo la go de dos caminos pe pendicula es,
e lejados po espejos en los ex emos de cada camino, an es de ol e a uni se en el
di iso de haz, desde donde son cap ados po el elescopio 𝑇, como emos en la Figu a
1.2.
Si el é e exis e y se mue e a a és del espacio, se espe aba que uno de los haces
de luz iaja a a a és del é e en la misma di ección que su mo imien o, y el o o
iaja a pe pendicula men e al mo imien o del é e . Po lo an o, se espe aba que los
dos haces de luz u ie an di e en es elocidades, lo que se e leja ía en una di e encia
de ase de ec able en e ellos en un pa ón de in e e encias.
El iempo que a da el haz 1 en i de 𝑀a𝑀1y eg esa a 𝑀es:
𝑡1=𝑙1
𝑐−𝑣+𝑙1
𝑐+𝑣=𝑙1(2𝑐
𝑐2−𝑣2)=2𝑙1
𝑐⎛⎜⎜⎝
1
1 − 𝑣2
𝑐2⎞⎟⎟⎠
.(1.13)
Ya que iaja a una elocidad 𝑐−𝑣con espec o al apa a o cuando es emi ido, y a una
elocidad 𝑐+𝑣cuando es e lejado po el espejo.
Pa a el haz 2, medimos el iempo de eco ido es a ez con espec o al é e (pode-
mos hace lo pues en ísica clásica el iempo es absolu o).
2√𝑙2
2+(𝑣𝑡2
2)=𝑐𝑡2,(1.14)
𝑡2=2𝑙2
√𝑐2−𝑣2
=2𝑙2
𝑐
1
√1 − 𝑣2
𝑐2
.(1.15)
12 undamen os de la ela i idad especial
Figu a 1.2: Esbozo del in e e óme o de Michelson donde 𝑣es la elocidad del é e con es-
pec o a la Tie a. El haz luminoso que p o iene de la uen e 𝑆se di ide en dos haces al llega
al espejo semi e lec o 𝑀. Es os dos haces se e lejan en los espejos 𝑀1y𝑀2y inalmen e
llegan al elescopio 𝑇donde in e ie en dando luga a un pa ón de in e e encias.
1. an eceden es a la eo ía especial de la ela i idad 13
De es e modo, la di e encia de iempos es
Δ𝑡=𝑡2−𝑡1=2
𝑐[𝑙2
√1 − 𝑣2∕𝑐2
−𝑙1
1 − 𝑣2∕𝑐2].(1.16)
Pa a desca a que pudie a debe se a una di e encia en las longi udes eco idas
po los haces, ya que e a di ícil ob ene la p ecisión eque ida, se epi ió el expe i-
men o gi ando el ins umen o 90º, de o ma que 𝑙1 uese la longi ud pe pendicula a 𝑣
y𝑙2pa alela a 𝑣, ob eniéndose el mismo esul ado que an e io men e, una di e encia
de iempos.
Δ𝑡′=𝑡′
2−𝑡′
1=2
𝑐[𝑙2
1 − 𝑣2∕𝑐2−𝑙1
√1 − 𝑣2∕𝑐2].(1.17)
La o ación cambia las in e e encias en
Δ𝑡′− Δ𝑡≅2
𝑐[𝑙2+𝑙1
1 − 𝑣2∕𝑐2−𝑙2+𝑙1
√1 − 𝑣2∕𝑐2].(1.18)
Según el esul ado, la o ación debe ía ocasiona un co imien o en el pa ón de in e -
e encias, ya que cambia la elación de ase en e los dos haces, pe o es o no ocu ió
en ninguno de los expe imen os ealizados. Po lo an o, la conclusión ue que no ha-
bía ningún co imien o. Una mane a de in e p e a es o es llega a la conclusión de
que la elocidad de la luz es igual a 𝑐en odas las di ecciones y en odos los sis emas
ine ciales, pe o es o es incompa ible con las ans o maciones galileanas de elocidad.
2 Fundamen os de la eo ía espe-
cial de la ela i idad
Como se ha is o en el capí ulo an e io , el expe imen o de Michelson-Mo ley
mos ó que la elocidad de la luz e a igual en odos los sis emas ine ciales. Las ans-
o maciones galileanas no e an compa ibles con es e hecho, en es e capí ulo, haciendo
uso de las e e encias [2] y [3], in oduci emos la eo ía de la ela i idad especial que
nos lle a á a unas nue as ans o maciones, las ans o maciones de Lo en z, que p e-
se an la elocidad de la luz.
2.1 Los pos ulados de la eo ía de la ela i idad es-
pecial
Desde una edad emp ana, Eins ein demos ó una g an habilidad pa a las ma e-
má icas y la ísica. Después de comple a la educación secunda ia en Suiza, ing esó
en la Escuela Poli écnica Fede al de Zú ich, donde ob u o su diploma en 1900. Des-
pués de g adua se, u o di icul ades pa a encon a abajo en la indus ia, po lo que
comenzó a abaja como u o p i ado y a publica a ículos sob e ísica eó ica. En
1905, Albe Eins ein publicó el a ículo i ulado "Zu Elek odynamik beweg e Kö -
pe " (Sob e la elec odinámica de los cue pos en mo imien o) [4], donde p esen ó su
eo ía de la ela i idad especial, la cual e olucionó nues a comp ensión del iempo
y del espacio.
Pa a desa olla su eo ía y esol e el p oblema de que la elec odinámica no se
ajus ase a la ela i idad clásica, Eins ein abajó a pa i de dos suposiciones: La p i-
me a ue que pa a odos los sis emas de coo denadas en los que se cumplen las ecua-
ciones de la mecánica, las ecuaciones equi alen es de la elec odinámica de Maxwell

16 undamen os de la ela i idad especial
ambién se cumplen. La segunda, que a p ime a is a es incompa ible con la p ime a,
es que la elocidad de la luz en el acío es una cons an e 𝑐(deducida po Maxwell)
independien e del sis ema de e e encia.
En su a ículo, Eins ein es ableció es os pos ulados undamen ales:
Pos ulado 1: No puede de ec a se el mo imien o absolu o, uni o me, debido a
que las leyes de la ísica son las mismas en odos los sis emas ine ciales. No hay
sis ema ine cial p e e ido.
Pos ulado 2: La elocidad de la luz es independien e del mo imien o de la uen-
e. Todo obse ado ine cial mide el mismo alo c pa a la elocidad de la luz.
Es deci , Eins ein desa olló la e ce a de las posibilidades mencionadas an e io -
men e. Se basó en el es udio de la na u aleza del iempo, echazando la idea del iempo
absolu o pa a llega a una modi icación de la eo ía de ela i idad new oniana exis-
en e dando luga a una con alidez uni e sal en odos las á eas de la ísica.
2.2 Las ans o maciones de Lo en z
Como imos an e io men e, la ans o mación galileana no es consis en e con los
pos ulados de Eins ein de la ela i idad especial, ya que la elocidad de la luz no se ía
la misma en odos los sis emas de e e encia. Po es e mo i o, las ecuaciones de ans-
o mación clásicas deben modi ica se pa a hace las consis en es con los pos ulados de
Eins ein.
Es as nue as ans o maciones, llamadas ans o maciones de Lo en z, ue on pos-
uladas o iginalmen e po el cien í ico Hend ik A. Lo en z en la década de 1890, de i-
ándose como pa e de su eo ía elec odinámica, la cual enía como consecuencia la
cons ancia de la elocidad de la luz en el acío. Eins ein p obó que es as ecuaciones se
deducían na u almen e de sus pos ulados, y las ein e p e ó dando luga a un nue o
concep o de espacio- iempo.
Vamos a deduci las ans o maciones que nos elacionan las coo denadas en dos
sis emas de e e encia en mo imien o ela i o de aslación uni o me.
U iliza emos nue amen e un sis ema de e e encia 𝑆, de coo denadas ec angu-
la es 𝑥, 𝑦, 𝑧 con o igen 𝑂, y o o sis ema 𝑆′, de coo denadas 𝑥′, 𝑦′, 𝑧′con o igen 𝑂′,
2. undamen os de la eo ía especial de la ela i idad 17
que se desplaza a una elocidad cons an e 𝑣con espec o a 𝑆, a lo la go del eje 𝑥. U i-
liza emos los pos ulados de Eins ein pa a encon a la elación en e las coo denadas
𝑥, 𝑦, 𝑧 y el iempo 𝑡de un suceso is o en el sis ema de e e encia 𝑆y las coo dena-
das 𝑥′, 𝑦′, 𝑧′y el iempo 𝑡′del mismo suceso is o en el sis ema de e e encia 𝑆′, de
mane a que los o ígenes coinciden en 𝑡=0=𝑡′.
Supongamos que la ecuación de la ans o mación ela i is a di ie e de la clásica
en un mul iplicado cons an e en el segundo miemb o:
𝑥=𝛾(𝑥′+𝑣𝑡′),(2.1)
𝑥′=𝛾(𝑥−𝑣𝑡).(2.2)
donde 𝛾es una cons an e que puede depende de 𝑣y𝑐pe o no de las coo denadas.
Conside amos un ayo de luz que pa e del o igen 𝑆en 𝑡= 0. Según Eins ein, la
ecuación co espondien e a la componen e 𝑥del mo imien o de la luz sea 𝑥=𝑐𝑡 en
el sis ema 𝑆y𝑥′=𝑐𝑡′en 𝑆′. Sus i uyendo en las ecuaciones an e io es ob enemos:
𝑐𝑡 =𝛾(𝑐𝑡′+𝑣𝑡′) = 𝛾(𝑐+𝑣)𝑡′,(2.3)
𝑐𝑡′=𝛾(𝑐𝑡 −𝑣𝑡) = 𝛾(𝑐−𝑣)𝑡. (2.4)
Resol iendo el sis ema se ob iene:
𝛾2= (1 − 𝑣2∕𝑐2)−1,(2.5)
𝛾=1
√1 − 𝑣2∕𝑐2
.(2.6)
Si además sus i uimos 𝑥en la ecuación pa a 𝑥′, podemos despeja el iempo 𝑡en un-
ción de 𝑥′y𝑡′:
𝑥=𝛾(𝑥′+𝑣𝑡′), 𝑦 =𝑦′, 𝑧 =𝑧′,(2.7)
𝑡=𝛾(𝑡′+𝑣𝑥′
𝑐2).(2.8)
De la misma o ma:
𝑥′=𝛾(𝑥−𝑣𝑡), 𝑦′=𝑦, 𝑧′=𝑧, (2.9)
𝑡′=𝛾(𝑡−𝑣𝑥
𝑐2).(2.10)
18 undamen os de la ela i idad especial
Ob enemos así la ans o mación de Lo en z pa a cambios de sis emas de e e encia.
Las ans o maciones galileanas siguen siendo cie as pa a elocidades mucho meno-
es que 𝑐, ya que en es e caso 𝛾es ap oximadamen e 1.
El in e alo espacio empo al [5], de inido como
(𝑥2+𝑦2+𝑧2) − 𝑐2𝑡2= (𝑥′2 +𝑦′2 +𝑧′2) − 𝑐2𝑡′2,(2.11)
es in a ian e an e las ans o maciones de Lo en z, es deci , no depende del obse a-
do , pues o que 𝑐𝑡′=𝛾(𝑐𝑡 −𝛽𝑥)y𝑥′=𝛾(𝑥−𝑐𝛽𝑡), donde 𝛽=𝑣∕𝑐. Luego,
𝑥′2 −𝑐2𝑡′2 =𝛾2(𝑥2(1−𝛽2)−𝑐2𝑡2(1−𝛽2)) = 1
1 − 𝛽2(1−𝛽2)(𝑥2−𝑐2𝑡2) = 𝑥2−𝑐2𝑡2.(2.12)
Veamos a con inuación dos impo an es consecuencias de las ans o maciones de
Lo en z:
Dila ación del iempo
La p ime a consecuencia es la dila ación del iempo. En la mecánica clásica se
enía que el iempo anscu ido en e dos e en os e a el mismo independien-
emen e del sis ema ine cial en el que se medía. Sin emba go, con las nue as
ans o maciones, es e azonamien o cambia. Conside amos dos sucesos que se
p oducen en la misma posición 𝑥′
0en los ins an es 𝑡′
1y𝑡′
2en el sis ema 𝑆′y apli-
camos las ecuaciones (2.7) pa a ob ene 𝑡1y𝑡2, es o es, los ins an es de iempo
medidos po 𝑂:
𝑡1=𝛾(𝑡′
1+𝑣𝑥′
0
𝑐2),(2.13)
𝑡2=𝛾(𝑡′
2+𝑣𝑥′
0
𝑐2),(2.14)
𝑡2−𝑡1=𝛾(𝑡′
2−𝑡′
1).(2.15)
Como emos, el in e alo de iempo medido en cualquie o o sis ema de e-
e encia 𝑆es siemp e más la go que el iempo p opio 𝑡𝑝( iempo en e dos
sucesos que ocu en en el mismo luga en un sis ema de e e encia conc e o)
medido en 𝑆′.
In ui i amen e, conside emos un obse ado 𝑂′que lanza un ayo de luz hacia
un espejo si uado a una dis ancia 𝐷′den o de una na e espacial que es á en
eposo en un sis ema 𝑆′y mide el iempo que a da en ecibi el e lejo, que se á
𝑡𝑝= Δ𝑡′=2𝐷′
𝑐. Pa a o o obse ado 𝑂si uado en la Tie a, que llama emos
2. undamen os de la eo ía especial de la ela i idad 19
Figu a 2.1: El obse ado 𝑂′y el espejo es án den o de una na e en el sis ema 𝑆′. El iempo
que a da el ayo en e leja se en el espejo y ol e al pun o de pa ida es de 2𝐷′∕𝑐según se
mide en 𝑆′. En 𝑆, la na e se mue e hacia la de echa con elocidad 𝑣. El iángulo ec ángulo
si e pa a calcula el iempo anscu ido en el sis ema 𝑆.
sis ema 𝑆, la dis ancia 𝐷 eco ida po el ayo se á mayo , pe o, sin emba go,
según los pos ulados de Eins ein, es e debe medi la misma elocidad del ayo,
po lo an o, el iempo Δ𝑡 anscu ido pa a él debe se mayo , ya que el ayo
eco e más dis ancia que la que midió el obse ado de la na e, pe o a la misma
elocidad. Si la na e se mue e con elocidad 𝑣, du an e el in e alo de iempo
Δ𝑡, el obse ado 𝑂′y su na e espacial han eco ido una dis ancia ho izon al
𝑣Δ𝑡. Po lo an o, como indica el iángulo de la Figu a 2.1, se iene que
(𝑐Δ𝑡
2)2
=𝐷′2 +(𝑣Δ𝑡
2)2
,(2.16)
luego
Δ𝑡=2𝐷′
√𝑐2−𝑣2
=2𝐷′
𝑐
1
√𝑐2−𝑣2
=𝛾Δ𝑡′.(2.17)
26 undamen os de la ela i idad especial
Figu a 2.3: Pa adoja de los gemelos. La Tie a y 𝑃es án ijos en el sis ema 𝑆, en el que se
encuen a Ped o. Ma eo iaja en el sis ema 𝑆′pa a llega a 𝑃, y en el sis ema 𝑆′′ pa a ol e
a la Tie a.
el que se mue e en dos sis emas de e e encia 𝑆′y𝑆′′ pa a aleja se y ol e , es-
pec i amen e, mien as Ma eo es á ijo en un sis ema 𝑆. Luego, pa a Ped o hab án
pasado
Δ𝑡′=𝑡𝑝(3∕5) = 3(3∕5) = 1′8años.(2.31)
Es deci , Ma eo en ejece ía 6 años y Ped o an solo 3’6 años, ob eniéndose así la pa-
adoja.

2. undamen os de la eo ía especial de la ela i idad 27
2.6 T ans o mación de la elocidad
Al igual que en el caso de las ans o maciones galileanas, podemos, de i ando
las ans o maciones de Lo en z, ecuaciones (2.7), ob ene la ans o mación de la
elocidad de un sis ema de e e encia a o o según la ela i idad especial. Tenemos
que:
𝑑𝑥 =𝛾(𝑑𝑥′+𝑣𝑑𝑡′),(2.32)
𝑑𝑡 =𝛾(𝑑𝑡′+𝑣𝑑𝑥′
𝑐2).(2.33)
De es a o ma, la componen e 𝑥de la elocidad medida po el obse ado 𝑂se á:
𝑢𝑥=𝑑𝑥
𝑑𝑡 =𝛾(𝑑𝑥′+𝑣𝑑𝑡′)
𝛾(𝑑𝑡′+𝑣𝑑𝑥′
𝑐2)=
𝑑𝑥′
𝑑𝑡′+𝑣
1 + 𝑣
𝑐2
𝑑𝑥′
𝑑𝑡′
=𝑢′
𝑥+𝑣
1 + 𝑣𝑢′
𝑥∕𝑐2.(2.34)
A di e encia de las ans o maciones galileanas, donde se ob enía 𝑢′
𝑦=𝑢𝑦y𝑢′
𝑧=
𝑢𝑧, en la ans o mación ela i is a de la elocidad es o no ocu e, pues o que el iempo
no es absolu o. En es e caso, eniendo en cuen a la elación en e 𝑑𝑡 y𝑑𝑡′ob enemos
𝑢𝑦=
𝑢′
𝑦
𝛾(1 + 𝑣𝑢′
𝑥∕𝑐2),(2.35)
𝑢𝑧=𝑢′
𝑧
𝛾(1 + 𝑣𝑢′
𝑥∕𝑐2).(2.36)
De la misma o ma ob enemos las ecuaciones in e sas:
𝑢′
𝑥=𝑢𝑥−𝑣
1 − 𝑣𝑢𝑥∕𝑐2,(2.37)
𝑢′
𝑦=𝑢𝑦
𝛾(1 − 𝑣𝑢𝑥∕𝑐2),(2.38)
𝑢′
𝑧=𝑢𝑧
𝛾(1 − 𝑣𝑢𝑥∕𝑐2).(2.39)
Obse amos que, cuando 𝑣y𝑢′
𝑥son pequeñas en compa ación con 𝑐, las exp e-
siones ela i is a y clásica coinciden.
28 undamen os de la ela i idad especial
2.7 Can idad de mo imien o ela i is a
En la mecánica clásica se de ine la can idad de mo imien o de una pa ícula como
𝑝 =𝑚𝑢, donde 𝑢 es la elocidad de la pa ícula. En un sis ema aislado de pa ículas,
sin ninguna ue za ne a que ac úe sob e el mismo, es a can idad se conse a, es de-
ci , siemp e pe manece cons an e, aunque haya in e acciones en e las pa ículas. Sin
emba go, e emos que en mecánica ela i is a, es a can idad no es la que se conse a,
y la ede ini emos pa a encon a aquella que si pe manece cons an e.
Conside emos un obse ado 𝐴que posee una bola de masa 𝑚en el sis ema de
e e encia 𝑆, y o o obse ado 𝐵en el sis ema 𝑆′, con una bola idén ica. El sis ema
𝑆′, cuyo o igen se encuen a po encima del o igen de 𝑆, se mue e espec o al sis ema
𝑆a elocidad 𝑣, en el sen ido posi i o del eje 𝑥. Ambos obse ado es lanzan sus bolas
e icalmen e con una elocidad 𝑢0de o ma que eco en una dis ancia 𝐿, ealizan
un choque elás ico y eg esan. La Figu a 2.4 mues a el aspec o que p esen an am-
Figu a 2.4: Se mues a un choque elás ico de dos pelo as en dos sis emas de e e encia que
se mue en el uno espec o al o o con elocidad 𝑣. A la izquie da, se conside a el pun o de
is a del obse ado 𝑂; en es e caso, la pelo a na anja ealiza un mo imien o e ical mien as
que la elocidad de la pelo a azul iene componen e en el eje 𝑥. A la de echa, se conside a el
pun o de is a del obse ado 𝑂′; aho a, es la pelo a azul la que ealiza mo imien o e ical y
la elocidad de la na anja iene componen e nega i a en el eje 𝑥.
2. undamen os de la eo ía especial de la ela i idad 29
bas colisiones en cada sis ema de e e encia. Según la mecánica clásica, ambas bolas
ienen can idades de mo imien o opues as de alo 𝑚𝑢0, po lo an o la can idad de
mo imien o e ical o al es 0 an es del choque y se conse a después del choque. Sin
emba go, aplicando las ecuaciones de Lo en z, emos que desde el pun o de is a del
obse ado 𝐴, la elocidad de su bola es 𝑢𝐴𝑦=𝑢0y la de la bola B es 𝑢𝐵𝑦= −𝑢0∕𝛾, po
lo que la can idad de mo imien o o al e ical an es del choque no es nula y cuando
el mo mien o se in ie e as el choque, se obse a que la can idad no se ha conse a-
do. Como siemp e, en el lími e clásico, cuando 𝛾se ap oxima a 1, el momen o lineal,
se conse a pa a ambos obse ado es. Se plan ea on en onces una ede inición de 𝑝
que endiese a 𝑚𝑢 cuando 𝑢 << 𝑐 y se conse ase en las colisiones. Así, se es ablece
la can idad de mo imien o ela i is a como
𝑝 =𝑚𝑢
√1 − 𝑢2∕𝑐2
.(2.40)
Veamos que es a can idad si se conse a en la si uación an e io : La elocidad de la
bola 𝐴en 𝑆solo iene componen e e ical y su alo es 𝑢𝐴=𝑢𝐴𝑦=𝑢0, de modo que
la componen e 𝑦de su can idad de mo imien o ela i is a es
𝑝𝐴𝑦=𝑚𝑢0
√1 − 𝑢2
0∕𝑐2
.(2.41)
La elocidad de 𝐵en 𝑆 iene componen e ho izon al 𝑢𝐵𝑥=𝑣y componen e e ical
𝑢𝐵𝑦= −𝑢0∕𝛾, es deci ,
𝑢2
𝐵=𝑢2
𝐵𝑥+𝑢2
𝐵𝑦=𝑣2+ (−𝑢0√1 − 𝑣2∕𝑐2)2=𝑣2+𝑢2
0−𝑢2
0𝑣2
𝑐2.(2.42)
Po lo an o
1 − 𝑢2
𝐵
𝑐2= 1 − 𝑣2
𝑐2−𝑢2
0
𝑐2+𝑢2
0𝑣2
𝑐4= (1 − 𝑣2∕𝑐2)(1 − 𝑢2
0∕𝑐2)(2.43)
y√1 − 𝑢2
𝐵∕𝑐2=1
𝛾√1 − 𝑢2
0∕𝑐2.(2.44)
Po ello, la componen e 𝑦de la can idad de mo imien o ela i is a de la bola 𝑦 is a
en 𝑆es
𝑝𝐵𝑦=
𝑚𝑢𝐵𝑦
√1 − 𝑢2
𝐵∕𝑐2
=−𝑚𝑢0∕𝛾
(1∕𝛾)√1 − 𝑢2
0∕𝑐2
=−𝑚𝑢0
√1 − 𝑢2
0∕𝑐2
.(2.45)
30 undamen os de la ela i idad especial
Se iene que 𝑝𝐵𝑦= −𝑝𝐴𝑦, luego la componen e 𝑦de la can idad de mo imien o o al
de las dos bolas es 0. Si se in ie e la elocidad de cada bola en el choque, la can idad
de mo imien o o al segui á siendo 0, y po an o, se conse a á la can idad de mo-
imien o. De es a o ma se ob iene una magni ud que sí se conse a en sis emas de
pa ículas aislados donde ac úa una ue za ne a de alo 0. La can idad de mo imien o
ela i is a de una pa ícula iene así dos componen es, una que es su elocidad, que
es cons an e ya que no ac úan ue zas, y o a que es la que co esponde a la masa, que
no es cons an e, si no que depende de la elocidad de la pa ícula. Es po eso que se
de ine la masa ela i is a de una pa ícula como
𝑚=𝑚0
√1 − 𝑢2∕𝑐2
,(2.46)
donde 𝑚0es la masa en eposo de la pa ícula. Es á cla o que la masa ela i is a au-
men a a medida que 𝑢se ace ca a 𝑐.
2.8 Ene gía ela i is a
En mecánica new oniana se de ine la ene gía ciné ica, 𝐸𝑐, de una pa ícula como el
abajo ealizado po una ue za ex e na pa a aumen a su elocidad desde ce o has a
algún alo 𝑢. Según el eo ema de las Fue zas Vi as, conside ando el mo imien o de
la pa ícula en una sola di ección (eje 𝑥), se iene: 𝐹 𝑑𝑥 = Δ𝐸𝑐, po lo an o:
𝐸𝑐=∫𝑙
0
𝐹d𝑥. (2.47)
en la cual 𝐹d𝑥es el abajo ealizado po la ue za 𝐹al desplaza en d𝑥a la pa ícula
y𝑙es la longi ud eco ida po la pa ícula. Usando la ecuación (2.46) pa a la masa
ela i is a ob enemos
𝐸𝑐=∫𝑙
0
𝑑
𝑑𝑡(𝑚𝑢)⋅d𝑥=∫𝑢
0
𝑑(𝑚𝑢)⋅𝑑𝑥
𝑑𝑡 =∫𝑢
0
(𝑚𝑑𝑢 +𝑢𝑑𝑚)𝑢=∫𝑢
0
(𝑚𝑢𝑑𝑢 +𝑢2𝑑𝑚).
(2.48)
Reo denando la exp esión de la masa ela i is a, es a puede esc ibi se como
𝑚2𝑐2−𝑚2𝑢2=𝑚2
0𝑐2.(2.49)
Tomando di e enciales ob enemos
2𝑚𝑐2𝑑𝑚 −𝑚22𝑢 𝑑𝑢 −𝑢22𝑚 𝑑𝑚 = 0,(2.50)
𝑐2𝑑𝑚 =𝑚𝑢 𝑑𝑢 +𝑢2𝑑𝑚. (2.51)
2. undamen os de la eo ía especial de la ela i idad 31
Vol iendo a la ecuación de la ene gía ciné ica
𝐸𝑐=∫𝑚
𝑚0
𝑐2⋅d𝑚=𝑚𝑐2−𝑚0𝑐2=𝑚0𝑐2(1
√1 − 𝑢2∕𝑐2
− 1).(2.52)
Como emos, hay un ac o en la ene gía ciné ica, 𝑚0𝑐2, que no depende de la elo-
cidad de la pa ícula. Es a can idad se de ine como ene gía de eposo y p o undiza-
emos en ella más adelan e. La ene gía o al de la pa ícula es igual a su ene gía en
eposo más su ene gía ciné ica
𝐸=𝑚0𝑐2+𝐸𝑐=𝑚0𝑐2
√1 − 𝑢2∕𝑐2
.(2.53)
Veamos como es a exp esión de la ene gía ciné ica se educe a la exp esión clásica
cuando 𝑢es mucho meno que 𝑐. Desa ollando el binomio de la ecuación de la ene gía
o al, se iene
1
√1 − 𝑢2∕𝑐2
=(1 − 𝑢2
𝑐2)−1∕2
= 1 + 1
2
𝑢2
𝑐2+1∕2(1∕2 + 1)
2(𝑢2
𝑐2)2
+... (2.54)
Cuando 𝑢es mucho meno que 𝑐, lo an e io puede simpli ica se como
1
√1 − 𝑢2∕𝑐2
=(1 − 𝑢2
𝑐2)−1∕2
= 1 + 1
2
𝑢2
𝑐2.(2.55)
Así,
𝐸𝑐=𝑚0𝑐2(1
√1 − 𝑢2∕𝑐2
− 1)(2.56)
=𝑚0𝑐2(1 + 1
2
𝑢2
𝑐2− 1)(2.57)
=1
2𝑚0𝑢2.(2.58)
No a que, a medida que 𝑢 iende a 𝑐, la ene gía ciné ica iende a in ini o, es deci ,
se necesi a una ene gía in ini a pa a aumen a la elocidad de una pa ícula has a la
elocidad de la luz, o, is o de o a o ma, según la ecuación de la masa ela i is a,
es a aumen a ía in ini amen e a dicha elocidad.
Al igual que ocu ía con la can idad de inida en la ecuación (2.11) podemos de ini
o a can idad que es in a ian e an e cambios de sis emas de e e encia [6]
𝑐2𝑚2− (𝑝2
𝑥+𝑝2
𝑦+𝑝2
𝑧) = 𝑐2𝑚2−𝑝2=𝑐2𝑚2
0.(2.59)

32 undamen os de la ela i idad especial
Mul iplicando la igualdad an e io po 𝑐2se iene
𝐸2−𝑝2𝑐2=𝑐4𝑚2
0,(2.60)
y sus i uyendo las ecuaciones (2.40 y (2.53) ob enemos el esul ado di ec amen e
𝑚2
0𝑐4
1 − 𝑣2∕𝑐2−𝑚2
0𝑣2𝑐2
1 − 𝑣2∕𝑐2=𝑚2
0(𝑐4−𝑣2𝑐2)
1 − 𝑣2∕𝑐2=𝑚2
0𝑐4.(2.61)
2.8.1 Ene gía en eposo
Pa a en ende mejo la ene gía en eposo, conside emos una colisión inelás ica
de dos cue pos idén icos de masa en eposo 𝑚0, cada uno con ene gía ciné ica 𝐸𝑐,
que chocan y se quedan unidos o mando un nue o cue po 𝐶de masa en eposo 𝑀0,
is o po un obse ado pa icula 𝑆′(Figu a 2.5). Como las elocidades de ambos
cue pos se anulan al suma se, ya que son del mismo alo 𝑢′pe o en sen idos con a-
ios en la di ección 𝑥′, se iene que el nue o cue po es a á en eposo en 𝑆′, según la
conse ación de la can idad de mo imien o.
Conside emos el pun o de is a de un obse ado 𝑆que se mue e a elocidad
𝑣=𝑢′en el sen ido nega i o del eje 𝑥′, es deci , un sis ema de e e encia si uado en
la bola 𝐴(Figu a 2.6). Pa a él, el cue po combinado 𝐶se mo e á a elocidad 𝑣hacia
la de echa.
Apliquemos la conse ación de la can idad de mo imien o de la colisión según lo
e es e segundo obse ado
𝑚𝐴𝑢𝐴+𝑚𝐵𝑢𝐵=𝑚𝐶𝑢𝐶.(2.62)
La elocidad de 𝐴se á 0, ya que 𝑆se mue e en el mismo sen ido y a la misma elo-
cidad que el obse ado que lo mide. La elocidad de 𝐵se á
𝑢𝐵=𝑢′+𝑣
1 + 𝑢′𝑣∕𝑐2= 2𝑢′∕(1 + 𝑢′2∕𝑐2).(2.63)
Calculemos aho a la masa ela i is a de 𝐵:
𝑚𝐵=𝑚0
√1 − 𝑢2
𝐵∕𝑐2
=𝑚0(1 + 𝑢′2∕𝑐2)
1 − 𝑢′2∕𝑐2,(2.64)
2. undamen os de la eo ía especial de la ela i idad 33
Figu a 2.5: Colisión inelás ica is a po el obse ado S’.
34 undamen os de la ela i idad especial
Figu a 2.6: Colisión inelás ica is a po el obse ado S.
2. undamen os de la eo ía especial de la ela i idad 35
y la de 𝐶se á
𝑚𝐶=𝑀0
√1 − 𝑣2∕𝑐2
.(2.65)
Como 𝑢𝐶=𝑣=𝑢′ enemos que
𝑚0(1 + 𝑢′2∕𝑐2)
1 − 𝑢′2∕𝑐2𝑢𝐵+ 0 = 𝑀0
√1 − 𝑣2∕𝑐2
𝑣, (2.66)
𝑚0(1 + 𝑢′2∕𝑐2)
(1 − 𝑢′2∕𝑐2)
2𝑢′
(1 + 𝑢′2∕𝑐2)=𝑀0𝑢′
√1 − 𝑢′2∕𝑐2
,(2.67)
𝑀0=2𝑚0
√1 − 𝑢′2∕𝑐2
.(2.68)
La nue a masa es mayo que 2𝑚0con una di e encia de
𝑀0− 2𝑚0= 2𝑚0(1
√1 − 𝑢′2∕𝑐2
− 1).(2.69)
Como la masa en eposo as el choque es la misma pa a ambos obse ado es, es a
can idad ambién se á la que mida 𝑆′y obse amos ambién que su ene gía asociada
(que se ob iene al mul ipica la po 𝑐2) coincide jus o con la can idad o al de ene gía
ciné ica en S’ an es del choque , la cual se calcula:
𝐸𝑐𝐴+𝐸𝑐𝐵= 2𝐸𝑐= 2𝑚0𝑐2(1
√1 − 𝑢′2∕𝑐2
− 1).(2.70)
T as el choque, oda la ene gía ciné ica se ha ans o mado en masa en eposo, es deci ,
ambas son equi alen es. Po lo an o, aunque en una colisión inelás ica la ene gía
ciné ica no se conse a, sí se conse a la ene gía o al, que incluye a la masa en eposo
y a la ene gía ciné ica.
Si ol emos a obse a las ecuaciones pa a una sola pa ícula, cuya ene gía o al es
𝐸=𝑚𝑐2donde 𝑚es la masa ela i is a, emos que un cambio en la ene gía ciné ica
o igina un cambio p opo cional en 𝑚, ya que: 𝑑𝑚∕𝑑𝑡 = (1∕𝑐2)(𝑑𝐸𝑐∕𝑑𝑡), es deci ,
𝑑𝐸𝑐∕𝑑𝑡 =𝑐2𝑑𝑚∕𝑑𝑡. Llegamos así a la misma conclusión que en la colisión inelás ica:
la masa y la ene gía son equi alen es, di i iendo sus unidades en un ac o 𝑐2.
Si se conside a a la ene gía ciné ica como la ene gía ex e na de un cue po, la masa
en eposo puede conside a se como la ene gía in e na, y consis e mayo i a iamen e en
42 undamen os de la ela i idad especial
Podemos gene aliza es as ecuaciones conside ando que la di ección del eje 𝑥es
simplemen e la di ección pa alela a la elocidad de 𝑆′con espec o a 𝑆, y el es o son
las pe pendicula es a es a:
𝐸′
∥=𝐸∥,(2.114)
𝐸′
⟂=𝛾[𝐸⟂+ (𝑣 ×
𝐵)⟂].(2.115)
Pa a la ans o mación de 
𝐵, se conside a un sis ema de e e encia 𝑆′que se des-
plaza espec o a o o sis ema 𝑆a elocidad 𝑣, a lo la go del eje común 𝑥−𝑥′y una
pa ícula de ca ga 𝑞que se desplaza en 𝑆′en la di ección 𝑦′a elocidad 𝑢′=𝑢′
𝑦. En
𝑆′, la ue za que ac úa sob e 𝑞se á: 
𝐹′=𝑞(
𝐸′+
𝑢′×
𝐵′), cuyas componene es son:
𝐹′
𝑥=𝑞(𝐸′
𝑋+𝑢′
𝑦𝐵′
𝑧), 𝐹 ′
𝑦=𝑞𝐸′
𝑦y𝐹′
𝑧=𝑞(𝐸′
𝑧−𝑢′
𝑦𝐵′
𝑥).(2.116)
En 𝑆, la ue za se á 
𝐹=𝑞(
𝐸+𝑢 ×
𝐵), donde 𝑢 es la elocidad de la ca ga en 𝑆,
que se calcula con las ecuaciones de ans o mación de la elocidad (2.34) y (2.35) ya
conocidas:
𝑢𝑥=𝑣, 𝑢𝑦=𝑢′
𝑦∕𝛾y𝑢𝑧= 0.(2.117)
Po lo que
𝐹𝑥=𝑞(𝐸𝑥+𝑢𝑦𝐵𝑧), 𝐹𝑦=𝑞(𝐸𝑦−𝑣𝐵𝑧)y𝐹𝑧=𝑞(𝐸𝑧+𝑣𝐵𝑦−𝑢𝑦𝐵𝑥).(2.118)
Sus i uyendo al igual que an es, en las ecuaciones de ans o mación de la ue za, y
u ilizando las ans o maciones de las componen es de 
𝐸, llegamos a
𝐵′
𝑥=𝐵𝑥,(2.119)
𝐵′
𝑦=𝛾(𝐵𝑦+𝑣
𝑐2𝐸𝑧),(2.120)
𝐵′
𝑧=𝛾(𝐵𝑧−𝑣
𝑐2𝐸𝑦).(2.121)
Y sus in e sas son:
𝐵𝑥=𝐵′
𝑥,(2.122)
𝐵𝑦=𝛾(𝐵′
𝑦+𝑣
𝑐2𝐸′
𝑧),(2.123)
𝐵𝑧=𝛾(𝐵′
𝑧−𝑣
𝑐2𝐸′
𝑦).(2.124)

2. undamen os de la eo ía especial de la ela i idad 43
Gene alizando las di ecciones:
𝐵′
∥=𝐵∥,(2.125)
𝐵′
⟂=𝛾[𝐵⟂−1
𝑐2(𝑣 ×
𝐸)⟂].(2.126)
Hemos inalizado así la ans o mación comple a ela i is a del campo elec o-
magné ico.
2.9.2 In a ianza de las ecuaciones de Maxwell
Vamos a comp oba aho a que si las ecuaciones de Maxwell son in a ian es bajo
las ans o maciones de Lo en z, se ob ienen las ecuaciones que hemos deducido en
la sección (2.9) pa a ans o ma 
𝐸y
𝐵. Pa a ello usa emos las e e encias [1] y [7].
Las ecuaciones de Maxwell en o ma di e encial son:

▽ ⋅ 
𝐸=𝜌
𝜖0
,(2.127)

▽ ⋅ 
𝐵= 0,(2.128)

▽×
𝐵=𝜇0(
𝑗+𝜖0
𝜕𝐸
𝜕𝑡 ),(2.129)

▽×
𝐸= −𝜕𝐵
𝜕𝑡 .(2.130)
Donde 𝜇0es la cons an e de pe meabilidad magné ica en el acío y 𝜖0es la cons an e
de pe mi i idad eléc ica en el acío.
Res ingi emos en p ime luga el azonamien o po simplicidad a las ecuaciones
(2.128) y (2.130), que solo dependen de 
𝐵y
𝐸.
Esc ibiendo las ecuaciones (2.128) y (2.130) po componen es enemos:
𝜕
𝜕𝑥𝐵𝑥+𝜕
𝜕𝑦𝐵𝑦+𝜕
𝜕𝑧𝐵𝑧= 0,(2.131)
𝜕
𝜕𝑦𝐸𝑧−𝜕
𝜕𝑧𝐸𝑦= −𝜕𝐵𝑥
𝜕𝑡 ,(2.132)
𝜕
𝜕𝑧𝐸𝑥−𝜕
𝜕𝑥𝐸𝑧= −𝜕𝐵𝑦
𝜕𝑡 ,(2.133)
𝜕
𝜕𝑥𝐸𝑦−𝜕
𝜕𝑦𝐸𝑥= −𝜕𝐵𝑧
𝜕𝑡 .(2.134)
44 undamen os de la ela i idad especial
Imponemos que engan la misma o ma en 𝑆′, que se desplaza a elocidad 𝑣 es-
pec o a 𝑆a lo la go del eje 𝑥−𝑥′. Pa a ello hemos de calcula la di e enciación pa cial
espec o a las a iables 𝑥, 𝑦, 𝑧 y𝑡en unción de la di e enciación pa cial espec o al
conjun o de a iables 𝑥′, 𝑦′, 𝑧′y𝑡′. Tenemos que
𝜕
𝜕𝑥 =𝜕𝑥′
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑥′+𝜕𝑦′
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦′+𝜕𝑧′
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑧′+𝜕𝑡′
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑡′.(2.135)
Y simila men e se ob ienen 𝜕
𝜕𝑦 ,𝜕
𝜕𝑧 y𝜕
𝜕𝑡 .
Teniendo las ans o maciones de Lo en z, ecuaciones (2.7) y (2.8) enemos que
𝜕𝑥′
𝜕𝑥 =𝛾, 𝜕𝑦′
𝜕𝑥 = 0,𝜕𝑧′
𝜕𝑥 = 0,𝜕𝑡′
𝜕𝑥 = −𝛾𝑣
𝑐2.(2.136)
Ob enemos en onces que
𝜕
𝜕𝑥 =𝛾(𝜕
𝜕𝑥′−𝑣
𝑐2
𝜕
𝜕𝑡′),(2.137)
𝜕
𝜕𝑦 =𝜕
𝜕𝑦′,(2.138)
𝜕
𝜕𝑧 =𝜕
𝜕𝑧′,(2.139)
𝜕
𝜕𝑡 =𝛾(𝜕
𝜕𝑡′−𝑣𝜕
𝜕𝑥′).(2.140)
Aho a podemos sus i ui en las ecuaciones (2.131)-(2.134). Po ejemplo, en la ecua-
ción (2.133), queda ía
𝜕
𝜕𝑧′𝐸𝑥−𝜕
𝜕𝑥′[𝛾(𝐸𝑧+𝑣𝐵𝑦)] = − 𝜕
𝜕𝑡′[𝛾(𝐵𝑦+𝑣𝐸𝑧
𝑐2)].(2.141)
Tomando
𝐸′
𝑥=𝐸𝑥,(2.142)
𝐸′
𝑧=𝛾(𝐸𝑧+𝑣𝐵𝑦),(2.143)
𝐵′
𝑦=𝛾(𝐵𝑦+𝑣𝐸𝑧
𝑐2),(2.144)
2. undamen os de la eo ía especial de la ela i idad 45
conseguimos que dicha ecuación sea in a ian e an e el cambio de sis ema de e e en-
cia de 𝑆a𝑆′. Haciendo lo mismo pa a la ecuación (2.134), se ob iene
𝐸′
𝑥=𝐸𝑥,(2.145)
𝐸′
𝑦=𝛾(𝐸𝑦−𝑣𝐵𝑧),(2.146)
𝐵′
𝑧=𝛾(𝐵𝑧−𝑣𝐸𝑦
𝑐2).(2.147)
Simila men e, u ilizando aho a las ecuaciones (2.131) y (2.132), ob enemos
𝐵′
𝑥=𝐵𝑥.(2.148)
Como p edecíamos, las ecuaciones ob enidas son idén icas a las ans o maciones pa-
a las componen es del campo elec omagné ico desa olladas en la sección an e io .
Comp obemos aho a la in a ianza de las ecuaciones (2.127) y (2.129). P ime o, las
esc ibimos en po componen es:
𝜌=𝜖0(𝜕𝐸𝑥
𝜕𝑥 +𝜕𝐸𝑦
𝜕𝑦 +𝜕𝐸𝑧
𝜕𝑧 ),(2.149)
𝜕𝐵𝑧
𝜕𝑦 −𝜕𝐵𝑦
𝜕𝑧 =𝜇0𝜌𝑢𝑥+1
𝑐2
𝜕𝐸𝑥
𝜕𝑡 ,(2.150)
𝜕𝐵𝑥
𝜕𝑧 −𝜕𝐵𝑧
𝜕𝑥 =𝜇0𝜌𝑢𝑦+1
𝑐2
𝜕𝐸𝑦
𝜕𝑡 ,(2.151)
𝜕𝐵𝑦
𝜕𝑥 −𝜕𝐵𝑥
𝜕𝑦 =𝜇0𝜌𝑢𝑧+1
𝑐2
𝜕𝐸𝑧
𝜕𝑡 .(2.152)
Donde (𝑢𝑥, 𝑢𝑦, 𝑢𝑧)son las componene es de la elocidad de la ca ga. Pa a que es as
ecuaciones sean álidas es necesa io que sa is agan la siguien e ecuación de con i-
nuidad: 𝜕(𝜌𝑢𝑥)
𝜕𝑥 +𝜕(𝜌𝑢𝑦)
𝜕𝑦 +𝜕(𝜌𝑢𝑧)
𝜕𝑧 +𝜕𝜌
𝜕𝑡 = 0.(2.153)
Comenzamos po la ecucación (2.149). Sus i uyendo las componene es de 
𝐸po las
que end ía 
𝐸′según las ecuaciones (2.107), (2.109), (2.110) y usando (2.137), se iene
𝜌′=𝛾[𝜌−𝜖0𝑣(𝜕𝐵𝑧
𝜕𝑦 −𝜕𝐵𝑦
𝜕𝑧 −1
𝑐2
𝜕𝐸𝑥
𝜕𝑡 )],(2.154)
de donde, usando las ecuaciones (2.149) y (2.150) se ob iene
𝜌′=𝛾(𝜌−𝑣
𝑐2𝜌𝑢𝑥).(2.155)
46 undamen os de la ela i idad especial
Aho a, usando las ecuaciones de ans o mación de la elocidad, ecuaciones (2.34) y
(2.35) y sus in e sas, se iene
𝜌=𝛾(𝜌′+𝑣
𝑐2𝜌′𝑢′
𝑥),(2.156)
que iene la misma exp esión que ob u imos en la ecuación (2.99).
Aho a, la in a ianza de las ecuaciones (2.150)-(2.152) se ob iene ácilmen e. Toma-
mos la ecuación (2.150) y sus i uimos las componen es del campo magné ico po sus
ans o madas usando las ecuaciones (2.119)-(2.121), ob eniendo
𝜕𝐵′
𝑧
𝜕𝑦′−
𝜕𝐵′
𝑦
𝜕𝑧′=𝜇0(𝜌𝑢𝑥
𝛾−𝜌′𝑣)+1
𝑐2
𝜕𝐸′
𝑥
𝜕𝑡′,(2.157)
y u ilizando (2.156) y (2.34) queda
𝜕𝐵′
𝑧
𝜕𝑦′−
𝜕𝐵′
𝑦
𝜕𝑧′=𝜇0[𝛾(𝜌−𝑣
𝑐2𝜌𝑢𝑥)]𝑢′
𝑥+1
𝑐2
𝜕𝐸′
𝑥
𝜕𝑡′.(2.158)
Es deci , se ob iene
𝜕𝐵′
𝑧
𝜕𝑦′−
𝜕𝐵′
𝑦
𝜕𝑧′=𝜇0𝜌′𝑢′
𝑥+1
𝑐2
𝜕𝐸′
𝑥
𝜕𝑡′,(2.159)
que iene la misma o ma que la ecuación (2.150). T ans o mando las ecuaciones es-
an es, ecuaciones (2.151) y (2.152), de la misma o ma se ob ienen
𝜕𝐵′
𝑥
𝜕𝑧′−𝜕𝐵′
𝑧
𝜕𝑥′=𝜇0𝜌′𝑢′
𝑦+1
𝑐2
𝜕𝐸′
𝑦
𝜕𝑡′,(2.160)
𝜕𝐵′
𝑦
𝜕𝑥′−𝜕𝐵′
𝑥
𝜕𝑦′=𝜇0𝜌′𝑢′
𝑧+1
𝑐2
𝜕𝐸′
𝑧
𝜕𝑡′(2.161)
De es a o ma, comp obamos que las ecuaciones de Maxwell son in a ian es bajo
las ans o maciones de Lo en z de la ela i idad especial.
3 Los diag amas de Minkowski
Analiza emos en es a sección los diag amas de Minkowski, apoyándonos en [2],
[5], [8] y [6]. Es os diag amas nos p opo cionan una he amien a ma emá ica muy
ú il pa a comp ende las consecuencias de la ela i idad especial.
El espacio de Minkowski es un espacio cua idimensional donde puede ep esen-
a se cualquie e en o. En él, cada e en o es á ca ac e izado po sus coo denadas de
posición 𝑥, 𝑦, 𝑧 y del momen o 𝑡en el que ocu e. En el espacio- iempo de Minkowski
en cua o dimensiones, la ecuación
𝑐2𝑡2−𝑥2−𝑦2−𝑧2=0=𝑠2,(3.1)
ep esen a la ayec o ia (llamada en el caso bidimensional línea de mundo) de una
señal de luz es é ica emi ida desde el o igen 𝑥=𝑦=𝑧= 0 en el ins an e 𝑡= 0. En
cada momen o la señal consis e en una es e a de adio 𝑐𝑡. Conside a emos en adelan e
po simplicidad el caso bidimensional.
La dila ación del iempo y la ela i idad de la simul aneidad is as an e io men e,
pueden isualiza se haciendo uso del diag ama de Minkowsi. Dicho diag ama es una
ep esen ación g á ica del espacio- iempo que solo conside a una dimensión espacial
𝑥y el iempo 𝑡. El eje ho izon al co esponde al espacio 𝑥, mien as que el e ical
co esponde al iempo, 𝑤=𝑐𝑡. U ilizamos 𝑐𝑡 en luga de 𝑡, pa a man ene la consis-
encia en e la medición del iempo y la dis ancia en la geome ía del espacio- iempo.
Así, la medida 1𝑚en el eje e ical indica el iempo que a da la luz en eco e un
me o según el obse ado 𝑂.
Las ecuaciones de Lo en z pa a pasa de un sis ema 𝑆a o o 𝑆′que se mue e con

48 undamen os de la ela i idad especial
elocidad cons an e 𝑣 espec o al p ime o, en unción de 𝑤son:
𝑥′=𝑥− (𝑣∕𝑐)𝑤
√1 − 𝑣2∕𝑐2
,(3.2)
𝑥=𝑥′+ (𝑣∕𝑐)𝑤′
√1 − 𝑣2∕𝑐2
,(3.3)
𝑤′=𝑤− (𝑣∕𝑐)𝑥
√1 − 𝑣2∕𝑐2
,(3.4)
𝑤=𝑤′+ (𝑣∕𝑐)𝑥′
√1 − 𝑣2∕𝑐2
.(3.5)
Comenzamos azando los ejes 𝑥y𝑤del sis ema 𝑆, o ogonales en e sí. Pa a
ep esen a el mo imien o de una pa ícula en es e sis ema, se aza una cu a llamada
línea de mundo. Las líneas de mundo de la luz son las ec as 𝑐𝑡 =𝑥y𝑐𝑡 = −𝑥, que
o man un ángulo de 45ºcon el eje del iempo, como emos en la Figu a 3.1.
La angen e a la línea de mundo de cualquie obje o, es á dada po : 𝑑𝑥∕𝑑𝑤 =
1
𝑐(𝑑𝑥∕𝑑𝑡)y es á inclinada espec o al eje del iempo en un ángulo de 𝜙=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑑𝑥∕𝑑𝑤) =
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑢∕𝑐)donde 𝑢es la elocidad del obje o. Es e ángulo 𝜙es siemp e meno a 45º,
ya que de lo con a io signi ica ía que el obje o iene elocidad igual o supe io a la
de la luz en ese pun o.
Vamos a aza aho a los ejes 𝑥′y𝑤′, co espondien es al sis ema de e e encia 𝑆′.
Pa a aza el eje 𝑤′, imponemos 𝑥′= 0 , ob eniendo 𝑥= (𝑣∕𝑐)𝑤. De la misma o ma,
el eje 𝑥′se ob iene imponiendo 𝑤′= 0. Tenemos en ese caso la ec a 𝑤= (𝑣∕𝑐)𝑥.
Obse amos que el ángulo en e los ejes espaciales 𝑥y𝑥′es el mismo que en e los
ejes empo ales, 𝑤y𝑤′, como puede e se en la Figu a 3.2.
P ocedemos aho a a la calib ación de los ejes. Pa a ello usa emos la can idad
𝑥2−𝑤2, que como imos en la ecuación (2.12), es un in a ian e. Es impo an e la
calib ación de los ejes, ya que las dis ancias en e las ma cas de e e encia de los ejes
de cada obse ado no miden lo mismo. Pa a encon a la elación en e las ma cas
de los ejes empo ales, no amos que la ama supe io de la hipé bola 𝑥2−𝑤2= −1
co a al eje 𝑤en 𝑤= 1 y al eje 𝑤′en 𝑤′= 1. Simila men e, la ama de echa de la
hipé bola 𝑥2−𝑤2= 1 co a al eje 𝑥en 𝑥= 1 y a cualquie eje 𝑥′en 𝑥′= 1, como se
mues a en la Figu a 3.2. A es as hipé bolas se las llama cu as de calib ación.
Como ya sabíamos, el in e alo de unidad de iempo a lo a lo la go de 𝑤′es mayo
que el de la unidad de iempo a lo la go de 𝑤y el in e alo de longi ud a lo la go de
3. los diag amas de minkowski 49
Figu a 3.1: Luga geomé ico de los pun os espacio- iempo del mo imien o de una pa ícula.
50 undamen os de la ela i idad especial
Figu a 3.2: Calib ado de los ejes del obse ado 𝑂′.
3. los diag amas de minkowski 51
𝑥′mayo que el de la unidad de longi ud a lo la go de 𝑥.
Supongamos que ocu en dos e en os 𝐴y𝐵den o del espacio delimi ado po las
líneas de mundo de la luz, como se mues a en la Figu a 3.3. El o den causal en que
ocu en dichos e en os es el mismo pa a ambos obse ado es, es deci , es án conec-
ados causalmen e, es á cla o que 𝐴ocu e en el p esen e de ambos obse ado es, y
𝐵, en el u u o de los mismos. Sin emba go si nos ijamos en dos e en os que es án
ue a de es e espacio, como lo son 𝐴y𝐷, emos que en el sis ema 𝑆, es os e en os
ocu en simul aneamen e, pe o en 𝑆′, el e en o 𝐴ocu ió an es que 𝐷, quedando así
isualizada la ela i idad de la simula enidad. Asimismo, los e en os 𝐴y𝐶in ie en
su o den al cambia de obse ado .
Supongamos aho a un espacio idimensional pa a e lo mejo (Figu a 3.4). En es-
e caso, en cada ins an e la señal consis e en una ci cun e encia de adio 𝑐𝑡. Dibujando
las coo denadas de posición 𝑥(𝑡)e𝑦(𝑡), la ayec o ia de la luz que pa e del o igen en
𝑡= 0 co esponde a un cono con el é ice en el o igen, llamado cono de luz del u u o.
Asimismo, la ayec o ia de la luz que llega al o igen en 𝑡= 0 co esponde a un cono
in e ido con é ice en el o igen, el cono de luz del pasado.
Los pun os den o del cono de luz sa is acen 𝑠2=𝑐2𝑡2−𝑥2−𝑦2>0, mien as que
los pun os ue a del cono de luz sa is acen 𝑠2=𝑐2𝑡2−𝑥2−𝑦2<0.
Cualquie e en o que ocu a den o del cono de luz es á en con ac o causal con
el o igen de coo denadas, que ep esen a al obse ado en el p esen e y si uado en
𝑥=𝑦= 0. Es deci , es e obse ado puede ecibi señales de e en os que ocu ie on
en el cono pasado, así como en ia señales a pun os en el cono u u o, pe o nunca
pod á pe cibi ni en ia señales a e en os ue a de los conos.
Veamos qué signi ica es o pa a un obse ado en el uni e so. Po ejemplo, pense-
mos en en ia una señal luminosa a una pe sona que se encuen a en la Luna (suceso),
como mues a la Figu a 3.5. Es a pe sona e á apa ece la luz un segundo después de
encende la, en 𝑡= 1, ya que la Luna se encuen a ap oximadamen e a 300.000𝑘𝑚, que
es la cons an e 𝑐, y en ese momen o hab á en ado en el cono de luz u u o del suceso.
Pa a que la pe sona en la Luna ecibiese la señal en el p esen e (𝑡= 0) debe íamos
habe encedido la luz un segundo an es.
Dos sucesos (𝑐𝑡1, 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1)y(𝑐𝑡2, 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2)en el diag ama idimensional de Min-
kowski es án sepa ados po la can idad
Δ𝑠2=𝑐2(𝑡2−𝑡1)2− (𝑥2−𝑥1)2− (𝑦2−𝑦1)2− (𝑧2−𝑧1)2.(3.6)
58 undamen os de la ela i idad especial
Figu a 3.8: Se coloca un eloj en el pun o 𝑥= 2.3, donde ocu en dos e en os 𝑇1y𝑇2sepa a-
dos en un in e alo de iempo de 1 unidad según lo mide el eloj. En 𝑆′u ilizamos dos elojes
pa a medi el an e io in e alo de iempo, siendo es e la dis ancia en e las in e secciones de
las líneas pa alelas al eje 𝑥′que pasan po cada e en o con el eje 𝑤′. Se coloca o o eloj en 𝑆′
en el pun o 𝑥′= 3 donde ocu en los e en os 𝑈1y𝑈2, que en el sis ema 𝑆es án sepa ados
po un in e alo de iempo mayo .

3. los diag amas de minkowski 59
al eje 𝑥que pasan po el pun o de cada e en o con el eje 𝑤y midiendo la di e encia
en e ambos pun os de in e sección, ob eniendo una di e encia mayo a 1. Al igual
que an es, pa a 𝑆, el eloj que se mue e ma cha más len amen e.
3.2 Pa adoja de los gemelos
Como imos an e io men e, debido a la dila ación del iempo, un eloj en mo i-
mien o a una elocidad cons an e 𝑣 ela i a a un sis ema ine cial que con iene elojes
sinc onizados egis a un iempo meno po el ac o √1 − 𝑣2∕𝑐2cuando se le egis a
po dichos elojes, siendo es a si uación ecíp oca.
Vol amos aho a a la si uación plan eada en la sección 2.4 sob e la pa adoja de los
gemelos. En es e caso enemos un único eloj en mo imien o y que emos compa a lo
con el eloj en eposo, lo cual podemos hace po que coinciden dos eces, en la salida
y en la llegada de Ma eo. Sin emba go, la si uación aho a no es ecíp oca, pues o
que, pa a da la uel a, Ma eo ha debido ena y ol e a acele a , lo cual p oduce
cambios en su cue po que le hacen no a que de hecho es él el que se es á mo iendo.
Pensemos en el ejemplo numé ico es udiado an e io men e, en el que el plane a 𝑃se
encuen a a 4 años luz de la Tie a. El iempo anscu ido pa a Ped o es de 10 años en
o al. Su línea de mundo en el diag ama de Minkowski se á el mismo eje 𝑐𝑡. La línea
de mundo de Ma eo se dibuja eniendo en cuen a que se desplaza a 0.8𝑐 espec o a
Ped o, ob eniendo así el eje 𝑐𝑡′que es á inclinado espec o al eje 𝑐𝑡 como mues a la
Figu a 3.9.
Ob u imos que se egis an 3 años en el eje 𝑐𝑡′, co espondiendo cada pun o a
la señal anual de año nue o del eloj de Ma eo. Pasado es e iempo, Ma eo llega al
plane a 𝑃y se aslada al sis ema 𝑆′′, azando una nue a línea de mundo, el eje 𝑐𝑡′′,
el cual egis a o os 3 años pa a la uel a.
Cada ez que Ma eo egis e un año con su eloj, le en ia á una señal a Ped o,
quién lo ano a á en su sis ema. Pa a ep esen a es o en nues o diag ama, azamos
de cada pun o sob e la línea de mundo de Ma eo una ec a inclinada 45ºcon espec o
a sus ejes, co espondiendo a la señal luminosa, y la in e sec amos con la línea de
mundo de Ped o. De igual mane a, las señales del eloj de Ped o son ec as, pa en de
cada pun o si uado en la línea de mundo de Ped o, inclinadas 45ºcon espec o a los
ejes del sis ema 𝑆, que in e sec an con las líneas de mundo de los sis emas 𝑆′y𝑆′′
en los que se mue e Ma eo. Obse amos que cada ez que Ped o egis a 3 años, le
60 undamen os de la ela i idad especial
Figu a 3.9: G á ica espacio- iempo de la pa adoja de los gemelos. Se mues a la línea
de mundo de Ped o, quien es á ijo, así como las líneas de mundo de Ma eo al aleja se
(la cual es muy ce cana a la línea de mundo de la luz pues o que la elocidad es 0.8𝑐)
y al eg esa a la Tie a. Ped o en ía a Ma eo 10 señales, mien as que Ma eo a Ped o
en ía solo 6 señales. Además, la ecuencia de las señales aumen a en el úl imo año
pa a Ped o y en los úl imos es años pa a Ma eo, que coinciden con su eg eso, debido
al e ec o Dopple .
3. los diag amas de minkowski 61
llega la señal indicándole que Ma eo solo ha egis ado 1 año.
Es e diag ama espacio- iempo se puede comp oba numé icamen e po el e ec o
Dopple . A medida que los gemelos se alejan uno del o o, la ecuencia de sus señales
se educen, en es e caso, en el ac o Dopple siguien e según la ecuación (2.25):
√𝑐−𝑣
𝑐+𝑣=√𝑐− 0.8𝑐
𝑐+ 0.8𝑐=√0.2
1.8=√1
9=1
3.(3.8)
Luego, la ecuencia de las señales ecibidas po Ma eo a medida que se aleja es de una
señal cada es de sus años. Recíp ocamen e, Ped o ebi á señales de Ma eo a medida
que se aleja una ez cada 3 de sus años, ecibiendo 3 señales en 9 años. A medida
que se ap oximan, la ecuencia de sus señales aumen a, ya que en es e caso, según la
ecuación (2.24) el ac o Dopple se á:
√𝑐+𝑣
𝑐−𝑣=√1.8
0.2=9
1= 3.(3.9)
Es deci , Ma eo ecibe 9 señales de Ped o mien as eg esa en 3 de sus años, al igual
que Ped o ecibe 3 señales de Ma eo en el úl imo año an es de que es e eg ese. Los
egis os de Ped o demues an que ecibió señales a ecuencia e a dada du an e 9
años y a ecuencia ápida du an e 1 año, es deci , que Ma eo se alejó du an e 9 años y
ol ió en 1 solo año. Igualmen e, Ma eo egis a que él ecibió señales a una ecuencia
e a dada du an e 3 años, y a una ecuencia ápida en los 3 años del eg eso. A pesa
de es o, ambos gemelos es án de acue do en que han pasado 10 años pa a Ped o y
solo 6 pa a Ma eo. Es os hechos e lejan la asime ía esencial que esuel e la supues a
pa adoja.
4 Conclusiones
Hemos comenzado es udiando la eo ía clásica de la ela i idad, en la cual las
ans o maciones galileanas pos ulaban la na u aleza absolu a del espacio y del
iempo. Sin emba go, a a és del expe imen o de Michelson-Mo ley, ob u i-
mos un esul ado con adic o io. Teó icamen e, apa ecía una di e encia de ase
en e ambos ayos, pe o expe imen almen e es o no ocu ía. A pa i de es e
esul ado, nos aden amos en el desa ollo de la eo ía de la ela i idad especial
de Eins ein, es ableciendo sus dos pos ulados: la cons ancia de la elocidad de
la luz en odos los sis emas ine ciales y la uni o midad de las leyes de la ísica
en odos los sis emas ine ciales. Pa a man ene la in a ianza de la elocidad de
la luz, se in oduje on las ans o maciones de Lo en z.
De las ans o maciones de Lo enz hemos deducido di ec amen e que el iempo
anscu ido pa a un obse ado en eposo se dila a espec o al iempo medi-
do po o o obse ado que se mue e espec o a él a una elocidad ce cana a
la de la luz. De la misma o ma, las longi udes medidas po un obse ado en
mo imien o ela i o se con aen espec o a las longi udes medidas po o o ob-
se ado en eposo espec o a él. Como consecuencia de es as obse aciones,
concluimos que el concep o de simul aneidad es ela i o g acias a un sencillo
expe imen o men al. Seguidamen e, p esen amos una amosa pa adoja, la Pa-
adoja de los Gemelos, que ilus a la asime ía en la dila ación del iempo y se
esuel e al ene en cuen a que el gemelo que iajó expe imen ó acele aciones
y cambios en su elocidad.
Una ez analizadas las ans o maciones de Lo en z del iempo y del espacio,
pasamos a ans o ma la elocidad, y con ella, la can idad de mo imien o, la
ene gía y la ue za. La ans o mación de la can idad de mo imien o nos lle ó
a de ini el concep o de masa ela i is a. A di e encia de la masa en eposo, la
masa ela i is a no es cons an e, sino que aumen a a medida que la elocidad
de la pa ícula se ace ca a la elocidad de la luz (𝑐). De mane a simila , al dedu-
ci la exp esión ela i is a de la ene gía o al, se e eló el concep o de ene gía

64 undamen os de la ela i idad especial
en eposo. A a és de es a noción, comp endimos que la ene gía ciné ica de
una pa ícula se con ie e en masa, al como se exp esa la amosa ecuación de
Eins ein 𝐸=𝑚𝑐2.
Necesi ábamos comp oba que nues a nue a eo ía, con odos los ajus es ela-
i is as ealizados, e a ealmen e consis en e con el elec omagne ismo de Max-
well. Con es e in, impusimos la in a ianza de las ecuaciones de Maxwell pa a
demos a que es o eque ía que los campos eléc ico y magné ico se ans o -
ma an exac amen e de la o ma en que lo hacen según la ela i idad especial.
De es a o ma, quedó es udiada la o ma en que Eins ein econcilió las ecua-
ciones de Maxwell pa a el elec omagne ismo con las leyes de la mecánica pa a
cue pos mo iéndose a elocidades p óximas a la de la luz.
Pa a inaliza , discu imos la es uc u a del espacio de Minkowski, que desc ibe
el espacio- iempo en la ela i idad especial. Con el obje i o de isualiza los
e ec os ela i is as desa ollamos los diag amas de Minkowski, los cuales se
es ingen a dos dimensiones: el iempo y el espacio unidimensional. Al analiza
los diag amas, encon amos que cada e en o posee un cono de luz u u o y un
cono de luz pasado, de mane a que ninguna señal p oceden e de ue a del cono
puede alcanza dicho e en o. Po úl imo, e omamos el es udio de la Pa adoja
de los Gemelos y ep esen amos la si uación en nues os diag amas.
La ela i idad especial desa ía nues a in uición clásica y nos b inda una comp ensión
p o unda de la na ualeza del espacio y el iempo.
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