Uni e sidad de Se illa
Facul ad de F´ısica
T abajo Fin de G ado:
Ma em´a icas y epidemias:
modelos basados en ecuaciones
di e enciales
Au o : Pablo Na a o To e o
Tu o : En ique Fe n´andez Ca a
3 de junio de 2022
´
Indice gene al
1. In oducci´on a la modelizaci´on de epidemias 9
1.1. His o ia y ac ualidad .............................. 9
1.2. La ep oduc i idad R0............................. 11
1.3. Modelos epidemiol´ogicos ............................ 12
1.3.1. SIR .................................... 13
1.3.2. SIRS y acunas ............................. 15
1.3.3. SEIR, SEIRS y acunas ........................ 16
1.3.4. SEIRQ y m´as all´a ............................ 19
2. Es udio num´e ico y simulaciones 21
2.1. Resul ados pa a el modelo SIR ......................... 21
2.1.1. Con inamien o en el modelo SIR .................... 23
2.2. Resul ados pa a el modelo SIRS ........................ 25
2.2.1. Con inamien o en el modelo SIRS ................... 26
2.2.2. Sensaci´on p´ublica de iesgo en el modelo SIRS ............ 29
2.2.3. Vacunas: modelo SIRS* ........................ 31
2.3. Resul ados pa a el modelo SEIR ........................ 32
2.3.1. Con inamien o en el modelo SEIR ................... 33
2.3.2. Sensaci´on p´ublica de iesgo en el modelo SEIR ............ 34
2.4. Resul ados pa a el modelo SEIRS ....................... 36
2.4.1. Con inamien o en el modelo SEIRS .................. 37
2.4.2. Sensaci´on p´ublica de iesgo en el modelo SEIRS ........... 40
2.4.3. Vacunas: modelo SEIRS* ........................ 41
2.5. Resul ados pa a el modelo SEIRQ ....................... 42
2.5.1. Modi icando el modelo SEIRQ ..................... 45
3
´
Indice gene al
3. An´alisis y esoluci´on de p oblemas in e sos 49
3.1. P ocedimien o .................................. 49
3.2. P oblema in e so: modelo SIR ......................... 51
3.3. P oblema in e so: modelo SIRS ........................ 53
4
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Indice de igu as
1.1. Diag ama del modelo (SIR) .......................... 14
1.2. Diag ama del modelo (SIRS) .......................... 15
1.3. Diag ama del modelo (SIRS)∗......................... 16
1.4. Diag ama del modelo (SEIR) ......................... 17
1.5. Diag ama del modelo SEIRS .......................... 17
1.6. Diag ama del modelo SEIRS∗......................... 18
1.7. Diag ama del modelo SEIRQ ......................... 19
2.1. E oluci´on de la epidemia seg´un el modelo SIR. ................ 22
2.2. Va iaci´on del pa ´ame o βen el iempo. ................... 23
2.3. E oluci´on de la epidemia seg´un el modelo SIR con β=β( ), dada po (2.1).
L´ıneas con inuas: β a iable; l´ıneas de pun os: β= 0,125. .......... 24
2.4. E oluci´on de la epidemia seg´un el modelo SIRS con max = 360 ....... 25
2.5. E oluci´on de la epidemia seg´un el modelo SIRS con max = 900 ....... 26
2.6. E oluci´on de la epidemia seg´un el modelo SIRS con β( ) y max = 360.
L´ıneas con inuas: β a iable; l´ıneas de pun os: β= 0,125. .......... 27
2.7. Va iaci´on del pa ´ame o β( ) con el iempo. ................. 28
2.8. E oluci´on de la epidemia seg´un el modelo SIRS con β( ) y max = 900.
L´ıneas con inuas: β a iable; l´ıneas de pun os: β= 0,125. .......... 28
2.9. E oluci´on de la epidemia seg´un el modelo SIRS con pe cepci´on del iesgo
po pa e de la poblaci´on. L´ıneas con inuas: κ= 0; l´ıneas discon inuas:
κ= 100; l´ıneas de pun os: κ= 200. ...................... 30
2.10. Compa aci´on de la e oluci´on de la epidemia seg´un el modelo SIRS con y
sin acunaci´on. L´ıneas con inuas, con acunaci´on; l´ıneas discon inuas, sin
acunaci´on. ................................... 31
5
´
Indice de igu as
2.11. E oluci´on de la epidemia seg´un el modelo SEIR ............... 32
2.12. Va iaci´on del pa ´ame o βen el iempo. ................... 33
2.13. E oluci´on de la epidemia seg´un el modelo SEIR con β=β( ), dada po
(2.6). L´ıneas con inuas: β a iable; l´ıneas discon inuas: β= 0,125. ..... 34
2.14. E oluci´on de la epidemia seg´un el modelo SEIR con pe cepci´on del iesgo
po pa e de la poblaci´on. L´ıneas con inuas: κ= 0; l´ıneas discon inuas:
κ= 100; l´ıneas de pun os: κ= 200. ...................... 35
2.15. E oluci´on de la epidemia seg´un el modelo SEIRS con max = 360 ...... 36
2.16. E oluci´on de la epidemia seg´un el modelo SEIRS con max = 1200 ..... 37
2.17. Va iaci´on del pa ´ame o β( ) con el iempo. ................. 38
2.18. E oluci´on de la epidemia seg´un el modelo SEIRS con β( ) y max = 1200.
L´ıneas con inuas: β a iable; l´ıneas de pun os: β= 0,125. .......... 39
2.19. E oluci´on de la epidemia seg´un el modelo SEIRS con pe cepci´on del iesgo
po pa e de la poblaci´on. L´ıneas con inuas: κ= 0; l´ıneas discon inuas:
κ= 100; l´ıneas de pun os: κ= 200. ...................... 40
2.20. Compa aci´on de la e oluci´on de la epidemia seg´un el modelo SEIRS con y
sin acunaci´on. L´ıneas con inuas, con acunaci´on; l´ıneas discon inuas, sin
acunaci´on. ................................... 41
2.21. E oluci´on de in ecciosos y expues os seg´un el modelo SEIRS con y sin acu-
naci´on. L´ıneas con inuas, con acunaci´on; l´ıneas discon inuas, sin acunaci´on. 42
2.22. E oluci´on de la epidemia seg´un el modelo SEIRQ con max = 540 ..... 43
2.23. E oluci´on de la epidemia seg´un el modelo SEIRQ con p∈ {0,050; 0,058}. 44
2.24. E oluci´on de IyEseg´un el modelo SEIRQ con p∈ {0,050; 0,058}. . . . 44
2.25. Diag ama del modelo SEIRQS∗........................ 46
2.26. E oluci´on de la epidemia seg´un el modelo SEIRQS*. L´ıneas con inuas: ρ=
0 y p= 0,01; l´ıneas discon inuas: ρ= 0 y p= 0,05; l´ıneas de pun os:
ρ= 0,02 y p= 0,01. .............................. 47
2.27. E oluci´on de in ecciosos, expues os y con inados seg´un el modelo SEIRQS*. 47
3.1. Resoluci´on num´e ica modelo SIR ....................... 51
3.2. Resoluci´on num´e ica p oblema in e so modelo SIR .............. 52
3.3. Resoluci´on num´e ica modelo SIRS ....................... 53
3.4. Resoluci´on num´e ica p oblema in e so modelo SIRS ............. 54
6
In oducci´on
El p incipal obje i o de es e abajo es comp ende los dis in os modelos de epidemias,
qu´e pa ´ame os los ca ac e izan, qu´e esul ados se espe a ob ene , sus aplicaciones y sus
limi aciones.
El p ime cap´ı ulo es ´a dedicado a una p esen aci´on de dichos modelos, incluyendo
aspec os his ´o icos.
En el segundo cap´ı ulo, median e c´alculos num´e icos se simulan algunos de los modelos
es udiados y se analizan los esul ados ob enidos.
Finalmen e, en el e ce cap´ı ulo, se es udia la esoluci´on de p oblemas in e sos apli-
cado a dis in os modelos.
8
Cap´ı ulo 1
In oducci´on a la modelizaci´on de
epidemias
1.1. His o ia y ac ualidad
Debido a la si uaci´on ac ual en la que i imos, pandemia de COVID-19, hoy en d´ıa se
habla m´as que nunca, en odos los ´ambi os y sob e odo en los medios de comunicaci´on,
sob e modelos ma em´a icos, picos de con agiados, “aplana ” la cu a, con inamien os,
acunaci´on, e c. Todo es o son concep os elacionados con el es udio y modelizaci´on de
epidemias, y se explica ´an a lo la go del abajo.
Pa a empeza , debemos en ende que los se es humanos a lo la go de la his o ia han
su ido nume osas epidemias debidas a muy di e sas en e medades y agen es in ecciosos.
En la Tabla 1.1 se pueden e las p incipales pandemias que asola on a la humanidad jun o
a su echa, localizaci´on, n´ume o de allecidos y causa. Desde las p ime as epidemias, el
se humano siemp e ha in en ado en ende la causa y el uncionamien o de ´es as. Ya en la
an ig¨uedad g andes cien ´ı icos y il´oso os esc ibie on sob e ellas: Plinio el iejo, Hip´oc a es,
A is ´o eles, e c. El p opio A is ´o eles sos en´ıa que las epidemias es aban elacionadas con
e en os as on´omicos.
Sin emba go, end emos que a anza has a ´epocas m´as ecien es pa a consegui desci-
a los mecanismos que hay de ´as. En el a˜no 1899, el mic obi´ologo nee land´es Ma inus
Willem Beijem lleg´o a la conclusi´on de que exis ´ıan unos en es m´as peque˜nos que las bac-
e ias, los i us [2]. Aunque has a el a˜no 1931, con la in enci´on del mic oscopio elec ´onico,
9
Cap´ı ulo 1. In oducci´on a la modelizaci´on de epidemias
Figu a 1.3: Diag ama del modelo (SIRS)∗
En es e caso al a˜nadi el e ec o de la acunaci´on las ecuaciones que se ob ienen son
las siguien es:
(SIRS)∗
S′=−βI
NS+µN −µS −ρS
I′=βI
NS−γI −µI
R′=γI −µR +ρS
(1.3)
T as unos sencillos c´alculos se ob ienen los siguien es pun os de equilib io:
Equilib io lib e de dolencia E0= (N, 0,0).
Si Rµ>1 equilib io end´emico:
E1,µ∗=N/Rµ,µ(Rµ−1) −ρN
β,γ(Rµ−1) + ρN
β
Al igual que an es, el coe icien e de ep oduc i idad es Rµ=β
γ+µ.
1.3.3. SEIR, SEIRS y acunas
En los modelos p eceden es, hemos is o c´omo aumen a la complejidad al a˜nadi nue-
os pa ´ame os que elacionan los dis in os compa imen os. En los siguien es modelos,
(SEIR y a ian es), aumen amos en una dimensi´on la complejidad del modelo a˜nadiendo
un nue o compa imen o, cons i uidos po los indi iduos expues os; ya que, du an e los
16
Cap´ı ulo 1. In oducci´on a la modelizaci´on de epidemias
p ocesos epid´emicos es usual que un indi iduo con aminado su a un pe iodo de la encia
du an e el cual no con amina a ning´un o o.
La poblaci´on de indi iduos expues os se elaciona con el es o de poblaciones a a ´es
del pa ´ame o σ, que se de ine como el in e so del iempo medio du an e el cual un
indi iduo se man iene expues o (pe iodo de la encia). En la Figu a 1.4 se esume la
din´amica del modelo SEIR, donde aho a N=S+E+I+R.
Figu a 1.4: Diag ama del modelo (SEIR)
Las EDOs que desc iben es e modelo son:
(SEIR)
S′=−βI
NS
E′=βI
NS−σE
I′=σE −γI
R′=γI
(1.4)
Al igual que en el modelo SIR, encon amos que R0=β
γ. Los pun os de equilib io son
los siguien es:
El equilib io lib e de dolencia E0= (N, 0,0,0).
Si β > γ, el equilib io end´emico E1,σ = (N/R0,0,0, N(1 −1/R0)).
Tal y como imos en la secci´on an e io , eniendo en cuen a la posibilidad de p´e dida
de inmunidad, podemos pasa del modelo SEIR al modelos SEIRS; ´ease la Figu a 1.5.
Figu a 1.5: Diag ama del modelo SEIRS
17
Cap´ı ulo 1. In oducci´on a la modelizaci´on de epidemias
(SEIRS)
S′=−βI
NS+µN −µS
E′=βI
NS−σE −µE
I′=σE −γI −µI
R′=γI −µR
(1.5)
En es e modelo, los pun os de equilib io no ienen exp esiones an sencillas como en
los modelos an e io es. Son los siguien es:
El equilib io lib e de dolencia E0= (N, 0,0,0).
El equilib io end´emico:
E1,µ,σ = (N/Rµσ,µ
γσ(γ+µ)ΛN, µ
γΛN, ΛN)
donde
Rµ,σ =β
µ
σ(γ+µ+σ) + γ
Λ = 1−1
Rµσ
µ
γσ (γ+µ) + µ
γ+ 1
Po analog´ıa con la secci´on an e io , podemos a˜nadi ambi´en la posibilidad de inclui
e ec os de acunaci´on. As´ı, ol e ´ıamos a inclui el pa ´ame o ρ, como queda desc i o en
la Figu a 1.6.
Figu a 1.6: Diag ama del modelo SEIRS∗
18
Cap´ı ulo 1. In oducci´on a la modelizaci´on de epidemias
(SEIRS∗)
S′=−βI
NS+µN −µS −ρS
E′=βI
NS−σE −µE
I′=σE −γI −µI
R′=γI −µR +ρS
(1.6)
1.3.4. SEIRQ y m´as all´a
Como hemos podido e en las secciones p e ias, pa iendo del modelo SIR, podemos
i aumen ando g adualmen e la complejidad de o ma que pe mi a simula con mayo
p ecisi´on la ealidad. Sin emba go, es e inc emen o de p ecisi´on iene un cos e y es e
es el aumen o de pa ´ame os y poblaciones (compa imen os), lo cual es a aplicabili-
dad ( equie e de un mayo n´ume o de da os que pe mi a ca ac e iza co ec amen e los
pa ´ame os del modelo).
P esen amos a con inuaci´on un ´ul imo modelo de epidemias, conocido como SEIRQ,
donde se a˜naden los e ec os p oducidos po el con inamien o. Bas´andonos en el modelo
SEIR, a˜nadimos una nue a a iable Q=Q( ) que ep esen a el n´ume o de indi iduos
que se encuen an en cua en ena, aislados del es o de la poblaci´on. Tambi´en a˜nadimos
dos nue os pa ´ame os, pyλ, que se in e p e an como la p opo ci´on de suscep ibles
que en an en cua en ena y el in e so del iempo medio que du a la cua en ena de un
indi iduo, espec i amen e. La Figu a 1.7 de alla c´omo se elacionan los compa imen os
en es e caso.
Figu a 1.7: Diag ama del modelo SEIRQ
Pa a es e modelo end emos aho a que N=S+E+I+R+Q. Y las ecuaciones que
19
Cap´ı ulo 1. In oducci´on a la modelizaci´on de epidemias
igen es e modelo son las siguien es:
(SEIRQ)
S′=−βI
NS−pS +λQ
E′=βI
NS−σE
I′=σE −γI
R′=γI
Q′=pS −λQ
(1.7)
Los pun os de equilib io son algo m´as ´aciles de calcula , con R0=β
γ:
El equilib io lib e de dolencia E0= (0,0,0, N, 0).
Si R0>1, el equilib io end´emico:
E1,p,λ =N/R0,0,0,1−1
R0
(1 + p
λ)N, p
λR0
N
Pa a conclui es a secci´on, ha emos algunos comen a ios. En p ime luga , cabe des a-
ca que el modelo SIR es an solo un pun o de pa ida o, como se conoce en la comunidad
cien ´ı ica anglosajona, un oy model, es deci , un modelo inicial que p og esi amen e se
a mejo ando.
Como hemos podido e a lo la go de es as secciones, exis en muchas posibles a ian es
de es e modelo que ienen en cuen a unos u o os e ec os y sus implicaciones; sin emba go,
a´un exis en muchos o os e ec os que pod ´ıamos ene en cuen a, como la es uc u a po
edades, las posibles pa olog´ıas p e ias, la p esencia de supe con agiado es, la e ec i idad
de las acunas y o os.
Con es o quie o deci que, al menos en es e abajo, en ez de concen a nos en con-
segui el mejo modelo posible que enga en cuen a la mayo can idad de e ec os, nos
cen a emos en modelos simples como los que hemos analizado has a aho a, a˜nadiendo
peque˜nas modi icaciones e in en ando a ina los pa ´ame os, pa a ob ene as´ı los esul a-
dos m´as ce canos a la ealidad.
20
Cap´ı ulo 2
Es udio num´e ico y simulaciones
En es e cap´ı ulo, median e el uso del so wa e ma em´a ico MATLAB [6], p ocedemos
a simula num´e icamen e dis in os modelos de ipo SIR. Conside a emos los modelos
es udiados en las secciones del Cap´ı ulo 1 y algunos m´as.
An es de p ocede con los esul ados, amos a in oduci b e emen e c´omo se u iliza
MATLAB. Pa a esol e num´e icamen e los sis emas de ecuaciones di e enciales, p opios
de cada modelo, se u iliza la unci´on ode45(ode un, [ 0, ], y0), cuyos pa ´ame os se de inen
como sigue:
ode un: es un manejado de la unci´on que e al´ua el segundo miemb o de la ecua-
ci´on, ( , y). Puede se el nomb e de una unci´on an´onima dependien e de dos a-
iables, siendo la p ime a de ellas e yla segunda, o ambi´en una M- unci´on, en
cuyo caso se esc ibe @ode un.
[ 0, ]:es el in e alo en el que se quie e esol e la ecuaci´on.
y0: es el alo del da o inicial.
En nues o caso, al se un sis ema de EDOs, los pa ´ame os en ez de se escala es son
ec o es. Pa a in o maci´on m´as de allada sob e la unci´on ode45, puede consul a se [7].
A con inuaci´on, se p esen an los esul ados de las expe iencias num´e icas ealizadas.
2.1. Resul ados pa a el modelo SIR
P ocedemos a simula el modelo SIR, esol iendo num´e icamen e las Ecuaciones (1.1),
con los siguien es alo es pa a los pa ´ame os: la asa de in ecci´on, β= 0,125; asa de
21
Cap´ı ulo 2. Es udio num´e ico y simulaciones
ecupe aci´on, γ= 0,05. Po o a pa e, los da os iniciales se ´an: S(0) = 1000, I(0) = 5 y
R(0) = 0. De al modo que N(0) = S(0) + I(0) + R(0) = 1005.
A menos que se indique lo con a io, los alo es de los pa ´ame os que ayamos de i-
niendo y los da os iniciales se man end ´an ijos en odas las simulaciones.
Los esul ados ob enidos pa a el modelo SIR se mues an en la Figu a 2.1.
Figu a 2.1: E oluci´on de la epidemia seg´un el modelo SIR.
Hemos omado un iempo de simulaci´on igual a 360 d´ıas. Tal y como podemos ap ecia ,
si analizamos las cu as, as un p ime momen o en el que hay un g an aumen o en el
n´ume o de in ecciosos, se llega al m´aximo de con agios y, a pa i de ese momen o, las
cu as ienden a alo es cons an es. Finalmen e, la epidemia cesa, ya que, el n´ume o
de in ecciosos cae a ce o. Cabe des aca que, en es a simulaci´on, apenas un 10 % de la
poblaci´on suscep ible no se con agi´o de la en e medad. En las siguien es simulaciones
e emos que los esul ados pueden a ia .
22
Cap´ı ulo 2. Es udio num´e ico y simulaciones
2.1.1. Con inamien o en el modelo SIR
A con inuaci´on, amos a mos a c´omo podemos e el e ec o de los con inamien os
en el modelo SIR, sin necesidad de i nos a un modelo m´as complejo como el SEIRQ. Se ´a
su icien e pe mi i a βque cambie con el iempo.
Pa a ello, supond emos que, en el inicio de la epidemia, end emos βcons an e e igual
aβ1= 0,125. T as un cie o iempo, en el cual las au o idades se han pe ca ado de la
epidemia y sus iesgos pa a la poblaci´on, se p ocede a con ina a la poblaci´on. Es o, da
luga a una disminuci´on de la asa de in ecci´on β, que llega ´a a un alo m´ınimo β2= 0,065.
Con el iempo, la si uaci´on mejo a y las es icciones se an le an ando. Nue amen e, el
alo de βaumen a, ol iendo a llega a su alo o iginal β1. Pa a m´as in o maci´on sob e
es os alo es y una jus i icaci´on m´as comple a, se puede consul a [8].
La Ecuaci´on (2.1) y la Figu a 2.2 mues an el alo de β( ):
Figu a 2.2: Va iaci´on del pa ´ame o βen el iempo.
23
Cap´ı ulo 2. Es udio num´e ico y simulaciones
β( ) =
β1si ≤ i
β1+β2−β1
τβ
( − i) si ∈[ i, i+τβ]
β2si ∈[ i+τβ, ]
β2+β1−β2
τβ
( − ) si ∈[ , +τβ]
β1si ≥ +τβ
(2.1)
donde, i= 50, τβ= 50 y = 200.
Hemos supues o un compo amien o lineal en las ansiciones en e β1yβ2. Con es os
alo es de β, los esul ados ob enidos en la simulaci´on apa ecen en la Figu a 2.3.
Figu a 2.3: E oluci´on de la epidemia seg´un el modelo SIR con β=β( ), dada po (2.1).
L´ıneas con inuas: β a iable; l´ıneas de pun os: β= 0,125.
Las cu as con pun os se e ie en a los esul ados ob enidos con β ijo, ´ease Figu a
2.1. De mane a que podamos ap ecia las di e encias. Como se puede obse a , el m´aximo
de con agios se adelan a unos d´ıas, el n´ume o m´aximo de in ecciosos es meno y el n´ume o
24
Cap´ı ulo 2. Es udio num´e ico y simulaciones
inal de suscep ibles es mayo . Lo que indica que un meno po cen aje de la poblaci´on
su i ´a la en e medad.
2.2. Resul ados pa a el modelo SIRS
En es e caso, amos a esol e las EDOs que igen el modelo SIRS, ´ease el sis ema
(1.2). Es e modelo es m´as in e esan e que el an e io , ya que iene en cuen a la posibilidad
de que los indi iduos pie dan la inmunidad.
Pa a las simulaciones, ijemos µ= 0,0025. Reco demos que 1/µ se in e p e a como el
iempo medio en el que desapa ece la inmunidad en un indi iduo in eccioso o ecupe ado.
Los esul ados de la simulaci´on se mues an en las Figu as 2.4 y2.5.
Figu a 2.4: E oluci´on de la epidemia seg´un el modelo SIRS con max = 360
Como emos, al inal de la simulaci´on, el n´ume o de suscep ibles empieza a c ece ,
mien as que los ecupe ados disminuyen. Veamos qu´e sucede si con inuamos con la si-
mulaci´on m´as all´a del iempo inal inicialmen e ijado.
25
Cap´ı ulo 2. Es udio num´e ico y simulaciones
2.3. Resul ados pa a el modelo SEIR
En es a secci´on, amos a mos a los esul ados ob enidos al esol e num´e icamen e
el modelo SEIR, ´ease (1.4). En es e modelo, se a˜nade un nue o compa imen o, E, que
hace e e encia a la poblaci´on expues a.
Pa a las siguien es simulaciones, ijamos σ= 0,1. Reco demos que 1/σ se in e p e a
como el iempo medio du an e el cual un indi iduo se man iene expues o. La poblaci´on
o al (cons an e) es aho a: N=S( ) + E( ) + I( ) + R( ) pa a odo yE(0) = 0.
Los esul ados ob enidos pa a el modelo SEIR se mues an en la Figu a 2.11.
Figu a 2.11: E oluci´on de la epidemia seg´un el modelo SEIR
Compa ando con el modelo SIR, ´ease Figu a 2.1, emos c´omo las poblaciones de
suscep ibles y ecupe ados ienden a los mismos alo es. Es o e a de espe a , ya que los
sis emas que igen es os modelos, ´eanse (1.1)y(1.4), desc iben igual compo amien o
pa a es as poblaciones.
Sin emba go, se obse a que el m´aximo de con agios es meno en el modelo SEIR y
32
Cap´ı ulo 2. Es udio num´e ico y simulaciones
iene luga m´as a de. A di e encia del modelo SIRS, no ienen luga m´as b o es, ya que
no exis e ning´un mecanismo pa a que los ecupe ados uel an a se suscep ibles. De o ma
que la epidemia cesa pasado un cie o iempo.
2.3.1. Con inamien o en el modelo SEIR
Al igual que en secciones an e io es, podemos p egun a nos qu´e ocu e cuando β a ´ıa
con el iempo. Como el m´aximo de con agios se da aho a m´as a de, con iene modi ica
los alo es de β( ). La unci´on βse mues a en (2.6) y en la Figu a 2.12.
Figu a 2.12: Va iaci´on del pa ´ame o βen el iempo.
M´as p ecisamen e, oma emos
β( ) =
β1si ≤ i
β1+β2−β1
τβ
( − i) si ∈[ i, i+τβ]
β2si ∈[ i+τβ, ]
β2+β1−β2
τβ
( − ) si ∈[ , +τβ]
β1si ≥ +τβ
(2.6)
donde i= 100, τβ= 50 y = 250.
33
Cap´ı ulo 2. Es udio num´e ico y simulaciones
Con es os alo es de β, los esul ados ob enidos apa ecen en la Figu a 2.13.
Figu a 2.13: E oluci´on de la epidemia seg´un el modelo SEIR con β=β( ), dada po (2.6).
L´ıneas con inuas: β a iable; l´ıneas discon inuas: β= 0,125.
Al igual que ocu ´ıa en el modelo SIR, el m´aximo de con agios disminuye y iene luga
an es, ´ease la Figu a 2.3 pa a compa a . De nue o se obse a que, un meno po cen aje
de la poblaci´on su e la en e medad.
2.3.2. Sensaci´on p´ublica de iesgo en el modelo SEIR
A con inuaci´on, eamos c´omo in luye la sensaci´on p´ublica de iesgo en el modelo SEIR.
La unci´on Ψβ( , D) es ´a dada po (2.4), donde hemos asumido las mismas ap oximaciones.
34
Cap´ı ulo 2. Es udio num´e ico y simulaciones
El sis ema de ecuaciones di e enciales que ca ac e iza es e modelo es el siguien e:
S′=−Ψβ
I
NS
E′= Ψβ
I
NS−σE
I′=σE −γI
R′=γI
(2.7)
En las simulaciones, c= 0,01 y κ={0,100,200}. Los esul ados ob enidos se mues an
en la Figu a 2.14.
Figu a 2.14: E oluci´on de la epidemia seg´un el modelo SEIR con pe cepci´on del iesgo
po pa e de la poblaci´on. L´ıneas con inuas: κ= 0; l´ıneas discon inuas: κ= 100; l´ıneas de
pun os: κ= 200.
Como cab´ıa espe a , un compo amien o m´as esponsable po pa e de la poblaci´on
(con mayo κ) se e e lejado en la e oluci´on de la epidemia. Se hace e iden e una cla a
educci´on en el n´ume o de in ecciosos y expues os.
35
Cap´ı ulo 2. Es udio num´e ico y simulaciones
2.4. Resul ados pa a el modelo SEIRS
Al igual que hicimos en la Secci´on 2.2, amos a analiza c´omo se modi ica el modelo
SEIR, al ene en cuen a la posibilidad de que los indi iduos pie dan la inmunidad. EL
co espondien e modelo se ´a l´ogicamen e denominado SEIRS.
Resol iendo las Ecuaciones (1.5) con µ= 0,0025, se ob ienen los esul ados mos ados
en la Figu a 2.15.
Figu a 2.15: E oluci´on de la epidemia seg´un el modelo SEIRS con max = 360
Veamos c´omo se compo an las poblaciones cuando simulamos pa a iempos mayo es.
Los esul ados se mues an en la Figu a 2.16.
36
Cap´ı ulo 2. Es udio num´e ico y simulaciones
Figu a 2.16: E oluci´on de la epidemia seg´un el modelo SEIRS con max = 1200
Como emos, en los in ecciosos se p oduce un segundo m´aximo al ededo de = 800
d´ıas. A di e encia del modelo SEIR, la epidemia no cesa y se con ie e en una endemia,
ya que, en es e caso, el coe icien e de ep oduc i idad es Rµ,σ =β
µ
σ(γ+µ+σ) + γ>1.
Compa ando con la Figu a 2.5, podemos e que los m´aximos alcanzados po I=I( )
son algo meno es y ienen luga an es. Cabe des aca , cla o es ´a, que enemos una nue a
poblaci´on (los expues os) que cons i uyen el compa imen o p e io al de los in ecciosos.
Es o explica la disminuci´on que obse amos.
2.4.1. Con inamien o en el modelo SEIRS
Vamos a pe mi i nue amen e que βpueda a ia en el iempo. Pa a ello, nos ijamos
en la Figu a 2.16 y analizamos los iempos en los que ocu en los mayo es n´ume os de
37
Cap´ı ulo 2. Es udio num´e ico y simulaciones
con agiados. P oponemos los siguien es alo es de β( ) en la Ecuaci´on (2.8):
β( ) =
β1si ≤ i
β1+β2−β1
τβ
( − i) si ∈[ i, i+τβ]
β2si ∈[ i+τβ, ]
β2+β1−β2
τβ
( − ) si ∈[ , +τβ]
β1si ∈[ +τβ, i2]
β1+β2−β1
τβ
( − i2) si ∈[ i2, i2+τβ]
β2si ∈[ i2+τβ, 2]
β2+β1−β2
τβ
( − 2) si ∈[ 2, 2+τβ]
β1si ≥ 2+τβ
(2.8)
donde i= 100, = 300, i2= 650 y 2= 850; ´ease la Figu a 2.17.
Figu a 2.17: Va iaci´on del pa ´ame o β( ) con el iempo.
Los esul ados num´e icos ob enidos se mues an en la Figu a 2.18.
38
Cap´ı ulo 2. Es udio num´e ico y simulaciones
Figu a 2.18: E oluci´on de la epidemia seg´un el modelo SEIRS con β( ) y max = 1200.
L´ıneas con inuas: β a iable; l´ıneas de pun os: β= 0,125.
Analizando la Figu a 2.18, se ap ecia que los m´aximos se adelan an. El p ime o, es de
meno alo que el ob enido con β ijo; sin emba go, an o el segundo como el e ce o son
m´as acen uados. Po lo an o, podemos conclui que, pese a que los con inamien os pa-
ec´ıan es a jus i icados y ene un o den empo al l´ogico, los esul ados no son o almen e
sa is ac o ios.
Pod ´ıa pa ece que el uso del con inamien o como medida pa a comba i epidemias no
es ´u il, no obs an e, hay muchos ac o es que no es amos eniendo en cuen a: el iempo
du an e el cual se impone, el iempo de adap aci´on de la poblaci´on, lo es ic as que sean
las medidas, e c. Todos es os aspec os modi ican el alo de βy po an o ca ac e izan la
e oluci´on de la epidemia.
Vemos po lo an o que medidas como el con inamien o deben se es udiadas cuida-
dosamen e an es de se impues as, pues pese a pa ece la opci´on m´as l´ogica, no siemp e
p opo cionan los mejo es esul ados.
39
Cap´ı ulo 2. Es udio num´e ico y simulaciones
2.4.2. Sensaci´on p´ublica de iesgo en el modelo SEIRS
De nue o, eamos como in luye la sensaci´on p´ublica de iesgo en el modelo SEIRS. La
unci´on Ψβ( , D) que usa emos, se a la dada po (2.4), de nue o con las mismas ap oxi-
maciones.
El sis ema de ecuaciones di e enciales que ca ac e iza es e modelo es el siguien e:
S′=−Ψβ
I
NS+µN −µS
E′= Ψβ
I
NS−σE −µE
I′=σE −γI −µI
R′=γI −µR
(2.9)
En las simulaciones, c= 0,01 y κ={0,100,200}. Los esul ados ob enidos se mues an
en la Figu a 2.19.
Figu a 2.19: E oluci´on de la epidemia seg´un el modelo SEIRS con pe cepci´on del iesgo
po pa e de la poblaci´on. L´ıneas con inuas: κ= 0; l´ıneas discon inuas: κ= 100; l´ıneas de
pun os: κ= 200.
40
Cap´ı ulo 2. Es udio num´e ico y simulaciones
2.4.3. Vacunas: modelo SEIRS*
Veamos el e ec o que iene la acunaci´on en el modelo SEIRS*. Reco damos que ρ
es, po de inici´on, el n´ume o de indi iduos acunados po unidad de iempo. En nues-
as simulaciones, ρ= 0,02. Resol iendo num´e icamen e el sis ema (1.6), ob enemos los
esul ados que se mues an en la Figu a 2.20.
Figu a 2.20: Compa aci´on de la e oluci´on de la epidemia seg´un el modelo SEIRS con y
sin acunaci´on. L´ıneas con inuas, con acunaci´on; l´ıneas discon inuas, sin acunaci´on.
Como emos, al aplica acunas, el n´ume o de in ecciosos y de expues os disminuye
adicalmen e. Se puede obse a la e oluci´on de es as dos poblaciones en la Figu a 2.21.
41
Cap´ı ulo 2. Es udio num´e ico y simulaciones
Analizando los esul ados, se obse a que una mayo p eocupaci´on de la poblaci´on a
la ho a de hace cua en ena, jun o con una acuna e icaz, puede cambia o almen e el
cu so de una epidemia.
Adem´as, se puede e cla amen e c´omo el n´ume o de in ecciosos y expues os cae ´api-
damen e con es as medidas. Incluso se consigue e i a un segundo epun e en los casos,
que s´ı se obse a en las l´ıneas con inuas.
Se pueden compa a es as g ´a icas con las Figu as 2.19 y2.20 donde, a pa i del
modelo SEIRS, a˜nad´ıamos el e ec o de la pe cepci´on del iesgo y el uso de acunas.
Pa a inaliza es e cap´ı ulo, al y c´omo dec´ıamos al inal del p ime o, se˜nalemos que
los modelos se pueden complica conside ablemen e, a˜nadiendo uno u o os e ec os. En
es e caso, hemos pa ido del modelo SEIRQ y hemos a˜nadido pa ´ame os que elacionan
los di e en es compa imen os en e s´ı. Con ello conseguimos pode analiza los e ec os
de dis in as medidas y las ac i udes de la poblaci´on median e la a iaci´on de dichos
pa ´ame os.
48
Cap´ı ulo 3
An´alisis y esoluci´on de p oblemas
in e sos
En es e cap´ı ulo amos a conside a algunos p oblemas in e sos. Se ´an esuel os num´e i-
camen e haciendo uso del so wa e MATLAB [6]. Exis en muchos p oblemas in e sos po-
sibles en el con ex o de los sis emas desc i os en los cap´ı ulos p eceden es.Los que amos
a esol e aqu´ı son de la siguien e o ma: dados cie os alo es de iempo ( ) y conocidos
los co espondien es alo es de I, de e mina las cons an es ca ac e ´ıs icas del sis ema.
Veamos un ejemplo aplicado al modelo SIR: conocidos los n´ume os de in ecciosos a lo
la go del iempo y las condiciones iniciales (S(0), I(0), R(0)), el p oblema in e so consis e
en ob ene los alo es de los pa ´ame os βyγque mejo se ajus an a los da os. Es e
ajus e calcula ´a usando una ´ecnica de m´ınimos cuad ados no lineales.
El an´alisis y esoluci´on de es os p oblemas in e sos es de g an u ilidad, ya que pe mi-
e ca ac e iza la in ecci´on en los es adios m´as emp anos de una epidemia. P opo ciona
in o maci´on sob e la ansmisibilidad del pa ´ogeno, la asa de in ecci´on, la asa de ecu-
pe aci´on, e c. Todo es o es de i al impo ancia pa a es udia en mayo p o undidad una
epidemia y as´ı comp ende la mejo y ac ua en consecuencia de o ma que se minimicen
los da˜nos.
3.1. P ocedimien o
En es a secci´on amos a hace un b e e epaso al c´odigo y unciones MATLAB que
amos a usa pa a esol e los p oblemas in e sos. Vamos a empeza explicando la unci´on
49
Cap´ı ulo 3. An´alisis y esoluci´on de p oblemas in e sos
mincon. Es a unci´on se usa pa a esol e p oblemas de minimizaci´on con es icciones.
Nues o p oblema in e so es de es e ipo: ajus e de m´ınimos cuad ados no lineales.
En gene al, es a unci´on se ejecu a de la siguien e mane a: mincon( unJ, x0, C,
d, A, b, ci, cs, esnolin, op ions). Los a gumen os se de inen como sigue:
unJ: es un manejado de la unci´on a minimiza J(x). Como en o os casos, puede
se el nomb e de una unci´on an´onima o un manejado de una M- unci´on.
x0: es una ap oximaci´on inicial de la soluci´on.
C, d, A, b: se usan pa a de ini es icciones lineales de igualdad y desigualdad.
ci, cs: son, espec i amen e, las co as in e io y supe io ci ≤x≤cs.
esnolin: es un manejado de la unci´on que de ine las es icciones no lineales,
an o de igualdad como de desigualdad.
op ions: es una es uc u a que pe mi e modi ica algunos de los pa ´ame os in e nos
de la unci´on mincon.
Pa a m´as in o maci´on sob e p oblemas de minimizaci´on y la unci´on mincon, puede
consul a se [7].
Pa a la esoluci´on de p oblemas in e sos, solo amos a u iliza algunos de es os pa ´ame-
os. De inimos la unci´on unJ, que e al´ua la suma de los cuad ados de las dis ancias de
los da os obse ados a los alo es co espondien es a la elecci´on de los pa ´ame os. Es os
alo es se consiguen a pa i de las soluciones al modelo SIR (o aqu´el con el que aba-
jemos) ijados unos alo es de los pa ´ame os βyγ. P oponemos unos alo es iniciales
x0 = [β0, γ0] con los que empeza a abaja y les imponemos unas co as ci ycs. Y, po
´ul imo, u ilizamos el a gumen o op ions, pa a de ini el algo i mo que esuel e nues o
p oblema (“ac i e-se ”).
Con el in de mos a c´omo se esuel e un p oblema in e so, amos a abaja de la
siguien e mane a. Tal y como hicimos en el Cap´ı ulo 2, amos a esol e num´e icamen e
dis in os modelos de epidemias, conocidos los pa ´ame os y las condiciones iniciales. Des-
pu´es, amos a queda nos solo con los da os e e en es a las condiciones iniciales y a los
n´ume os de in ecciosos a lo la go del iempo, cada 30 d´ıas. Con es os da os, p opond emos
unos alo es iniciales de los pa ´ame os y, con la he amien a MATLAB, esol e emos el
50
Cap´ı ulo 3. An´alisis y esoluci´on de p oblemas in e sos
p oblema in e so. Finalmen e, comp oba emos que ha sido esul o el p oblema de mane a
co ec a compa ando los pa ´ame os o iginales con los ob enidos median e minimizaci´on.
3.2. P oblema in e so: modelo SIR
Tal y como hicimos en la Secci´on 2.1, esol emos num´e icamen e el modelo SIR, ´ease
(1.1), con las siguien es condiciones iniciales: S(0) = 1000, I(0) = 5, R(0) = 0. Y damos
los siguien es alo es a los pa ´ame os: la asa de in ecci´on β= 0,125; asa de ecupe aci´on
γ= 0,05. Los esul ados se mues an en la Figu a 3.1.
Figu a 3.1: Resoluci´on num´e ica modelo SIR
Pa a esol e el p oblema in e so, los da os que enemos sob e el n´ume o de in ecciosos
apa ecen en la Tabla 3.1.
(d´ıas) 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
I43 193 208 97 36 12 4 1 0 0 0 0
Tabla 3.1: N´ume o de in ecciosos cada 30 d´ıas en el modelo SIR.
51
Cap´ı ulo 3. An´alisis y esoluci´on de p oblemas in e sos
Las condiciones iniciales elegidas son: S(0) = 1000, I(0) = 5, R(0) = 0. P oponemos
como ap oximaci´on inicial β0= 0,03 y γ0= 0,1, con co as in e io y supe io ci = 0 y
cs = 2. En la Figu a 3.2 se mues a el esul ado ob enido al esol e el p oblema in e so.
Figu a 3.2: Resoluci´on num´e ica p oblema in e so modelo SIR
En la Tabla 3.2 se mues an los alo es ob enidos pa a los pa ´ame os βyγ.
P opues o Final O iginal E o Rela i o ( %)
β0,03 0,124999 0,125 0,0008
γ0,1 0,050001 0,05 0,002
Residuo 0,000096
Tabla 3.2: Resul ados pa a el p oblema in e so co espondien e al modelo SIR
Como emos, an o si compa amos las Figu as 3.1 y3.2, como los alo es de βyγob e-
nidos, los esul ados son muy buenos. Encon amos p ´ac icamen e una o al coincidencia
52
Cap´ı ulo 3. An´alisis y esoluci´on de p oblemas in e sos
en e los alo es obse ados y calculados de los pa ´ame os. El e o ela i o ob enido es
m´ınimo. El esiduo que se mues a en la pa e in e io de la Tabla 3.2, es el alo de la
suma de los cuad ados de las dis ancias en cada uno de los ins an es de iempo elegidos
y podemos e iene un alo muy bajo.
Si bien es amos abajando con un modelo sencillo, es e esul ado nos mues a c´omo
con pocos da os podemos ob ene una g an can idad de in o maci´on.
3.3. P oblema in e so: modelo SIRS
Vamos a analiza o o p oblema in e so. En es e caso esol e emos num´e icamen e el
modelo SIRS, ´ease (1.2). Dadas las mismas condiciones iniciales y los mismos alo es
pa a los pa ´ame os βyγ, a˜nadimos el pa ´ame o µ= 0,0025, que e leja la p´e dida de
inmunidad. Los esul ados se mues an en la Figu a 3.3.
Figu a 3.3: Resoluci´on num´e ica modelo SIRS
Pa a esol e el p oblema in e so, los da os que enemos e e en es al n´ume o de
53
Cap´ı ulo 3. An´alisis y esoluci´on de p oblemas in e sos
in ecciosos son los que se mues an en la Tabla 3.3
(d´ıas) 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
I40 179 213 114 52 25 14 9 6 5 5 6
Tabla 3.3: N´ume o de in ecciosos cada 30 d´ıas en el modelo SIRS.
Sabiendo que las condiciones iniciales son: S(0) = 1000, I(0) = 5, R(0) = 0, p opone-
mos como ap oximaci´on inicial β0= 0,03, γ0= 0,1 y µ0= 0,01 con co as ci = 0 y cs = 2.
En la Figu a 3.4 se mues a el esul ado ob enido al esol e el p oblema in e so.
Figu a 3.4: Resoluci´on num´e ica p oblema in e so modelo SIRS
En la Tabla 3.4 se mues an los alo es ob enidos pa a los pa ´ame os β,γyµ.
54
Cap´ı ulo 3. An´alisis y esoluci´on de p oblemas in e sos
P opues o Final O iginal E o Rela i o ( %)
β0,03 0,124999 0,125 0,0008
γ0,1 0,049999 0,05 0,002
µ0,01 0,002499 0,0025 0,04
Residuo 0,000008
Tabla 3.4: Resul ados p oblema in e so modelo SIRS
Al igual que en la secci´on p e ia con el modelo SIR, el esul ado ob enido es muy
sa is ac o io.
Con es os ejemplos de esoluci´on de p oblemas in e sos hemos mos ado un m´e odo
con el que esol e p oblemas de es e ipo. Aplicando es a es a egia, podemos ob ene
in o maci´on de sis emas complejos en los cuales la can idad de da os disponibles es limi-
ado.
Es e es el caso de las epidemias. Du an e una epidemia, no siemp e es ´acil ob ene
da os, sob e odo en los p ime os momen os, cuando a´un no se conocen bien las ca ac-
e ´ıs icas de la en e medad que se es ´a p opagando. No obs an e, hemos is o que con
pocos da os podemos llega a ob ene bas an e in o maci´on, algo que m´as a de puede se
usado pa a gene a mejo es p edicciones y en ende con mayo p o undidad el o igen, la
e oluci´on y las consecuencias. Po odo es o, es impo an e colecciona la mayo can idad
de da os con la mejo calidad posible.
55
Bibliog a ´ıa
[1] P incipales pandemias en la his o ia de la humanidad. Ca los Cas a˜neda
Gullo y Ge a do Ramos Se pa 21/06/2020. Cuad o 1. h p://www. e pedia ia.s
ld.cu/index.php/ped/a icle/ iew/1183
[2] Las ma em´
a icas de la pandemia. Manuel de Le´on y An onio G´omez Co al.
CSIC-Ca a a a, 2020.
[3] Cua en ena: o igen del concep o, qu´
e signi ica y cu´
al es su implicancia
como medida sani a ia. ICIM acul ad de medicina del desa ollo 13/04/2020. h
ps://medicina.udd.cl/icim/2020/04/13/cua en ena-o igen-del-concep o-q
ue-signi ica-y-cual-es-su-implicancia-como-medida-sani a ia/
[4] The smallpox accine: he dispu e be ween Be noulli and d’Alembe
and he calculus o p obabili ies. Colombo, C., Diaman i, M. Le Ma In 2,
185–192 (2015). h ps://doi.o g/10.1007/s40329-015-0073-5
[5] Ma em´
a icas y epidemias. Nicolas Baca¨e ©Cassini, Pa is, 2021.
[6] MATLAB. So wa e ma em´a ico. h ps://es.ma hwo ks.com/p oduc s/ma lab
.h ml
[7] Apun es de MATLAB o ien ados a m´
e odos num´
e icos elemen ales. Rosa
Eche a ´ıa. Uni e sidad de Se illa, 2022 h ps://pe sonal.us.es/eche a ia/do
cumen os/APUNTESMATLAB.pd
[8] Modelando una epidemia I: Con inamien os. Rena o Al a ez Noda se y Fe -
nando Ca e˜no Na as. Blog del Ins i u o de Ma em´a icas de la Uni e sidad de Se illa,
19 junio, 2021 h ps://ins i ucional.us.es/blogimus/2021/06/modelando-una
-epidemia-i-con inamien os/
56
Bibliog a ´ıa
[9] Modelando una epidemia II: e ec o del compo amien o de la pobla-
ci´
on. Rena o Al a ez Noda se y Fe nando Ca e˜no Na as. Blog del Ins i u o de Ma-
em´a icas de la Uni e sidad de Se illa, 29 junio, 2021 h ps://ins i ucional.us.e
s/blogimus/2021/07/modelando-una-epidemia-ii-e ec o-del-compo amien o
-de-la-poblacion/
57
