Equa ion Chap e 1 Sec ion 1
T abajo de Fin de G ado
Ingenie ía Ae oespacial
Análisis de la in luencia de la adiación é mica
en los p ocesos de con ección de Rayleigh-Bena d
Au o : Ángel En ique Boye Va ela
Tu o : Miguel Pé ez-Sabo id Sánchez-Pas o
Dp o. de Ingenie ía Ae oespacial y Mecánica de
Fluidos
Escuela Técnica Supe io de Ingenie ía
Uni e sidad de Se illa
Se illa, 2018
iii
T abajo de Fin de G ado
Ingenie ía Ae oespacial
Análisis de la in luencia de la adiación é mica en
los p ocesos de con ección de Rayleigh-Bena d
Au o :
Ángel En ique Boye Va ela
Tu o :
Miguel Pé ez-Sabo id Sánchez-Pas o
P o eso i ula
Dp o. de Ingenie ía Ae oespacial y Mecánica de Fluidos
Escuela Técnica Supe io de Ingenie ía
Uni e sidad de Se illa
Se illa, 2018
Índice gene al
1. In oducción 7
1.1. Obje i os y desc ipción del p oyec o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Concep o de con ección. Con ección o zada y na u al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Con ecciónenlaa mós e a ....................................... 9
1.4. T ans e encia de calo en el sol. Zonas de adiación y con ec i a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5. Es uc u adel abajo.......................................... 11
2. Fo mulación del p oblema 13
2.1. Mecanismos ísicos de la adiación y medio pa icipan e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2. Ecuaciones del p oblema de con ección con ujo de adiación. Ap oximaciones . . . . . . . . . . 14
2.2.1. Ecuaciones del p oblema de con ección con adiación. Camino lib e medio . . . . . . . . . 14
2.2.2. EcuacionesdeKou gano.................................... 16
2.2.3. Ap oximación óp icamen e na o anspa en e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.4. Ap oximación óp icamen e g uesa u opaca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3. La con ección de Rayleigh-Béna d. Ap oximación de Boussinesq . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4. Resul ados p incipales del abajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3. Mé odo numé ico 25
3.1. Mé odo de colocación en p oblemas 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2. Resoluciónnumé ica........................................... 28
3.2.1. Condiciones de con o no e inicial. P oblema con pa edes no pa icipa i as . . . . . . . . . 29
3.2.2. Condiciones de con o no e inicial en el p oblema con pa edes pa icipa i as en la adiación 35
4. Medio pa icipa i o den o de una ca idad con pa edes con abso ción de adiación nula 45
4.1. Pa edes e icales adiabá icas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1

2
Índice gene al
4.1.1. Núme o de Rayleigh c í ico: esul ados undamen ales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.1.2. Va iación del
no
de Rayleigh c í ico con la elación de aspec os. Inuencia del medio . . . 47
4.1.3. Núme o de Nussel y pe les de empe a u a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2. Pa ba oclínico .............................................. 50
4.3. Pa edes ho izon ales adiabá icas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.3.1. Isocon o nos de empe a u a y unción de co ien e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.4. Resolucióndelcasoopaco ........................................ 52
5. Medio no pa icipa i o den o de una ca idad con pa edes con abso ción de adiación no
nula 55
5.1. Pa edes con abso ción de adiación no nula. Resolución numé ica del p oblema pa a una ca idad
ec angula con pa edes ho izon ales adiabá icas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.1.1. Pe les de elocidades e isocon o nos de empe a u a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.1.2. Núme o de Nussel con ec i o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.1.3. Tempe a u a en las pa edes aisladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.2. Co ección de los esul ados: condiciones de con o no sin linealiza . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.2.1. Códigomejo ado......................................... 64
5.2.2. Tempe a u a de equilib io . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.2.3. Resul ados co egidos pa a emisi idades ele adas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.3. Pa edes con abso ción de adiación no nula. Resolución numé ica del p oblema pa a una ca idad
ec angula con pa edes e icales adiabá icas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.3.1. Isocon o nos del campo de empe a u as y de la unción de co ien e . . . . . . . . . . . . 73
5.3.2. Núme o de Nussel en unción de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.3.3. Pe l de empe a u as en las pa edes aisladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6. Conclusiones y líneas de desa ollo 77
2
Índice de gu as
1.1. Esquema de un sis ema concen ado de ene gía sola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2. Capassola es............................................... 10
1.3. Celdas con ec i as en la supe cie del sol, imagen co esía de NASA. . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1. Balance de calo en una pa ed la e al de la ca idad (aislada). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2. Esquema del emiso , medio y supe cie de ec o a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3. Solución de la empe a u a de equilib io
θe
con pa áme o de adiación-conducción
Rc
nulo pa a
3 alo es del pa áme o
λ
......................................... 19
2.4. Rep esen ación del pa alelepípedo que con iene el uido y de las condiciones de con o no del
p oblema.................................................. 23
3.1. Ejemplo de unción ap oximada po in e polación usando nodos equiespaciados (a la izquie da)
y nodos de Chebyshe (a la de echa). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2. Rep esen ación esquemá ica explica i a sob e la di isión de los con o nos ho izon ales y e icales
enelemen osdepa ed........................................... 36
3.3. Fac o de o ma en e supe cies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4. De e minación del ac o de o ma en e dos supe cies: longi udes de cue das c uzadas (
L5y L6
),
no c uzadas (
L3y L4
) y de las supe cies (
L1y L2
). ......................... 37
4.1. G áca omada como e e encia pa a elegi los alo es de
λG=λ2
, donde
λG
es el pa áme o
queapa eceenelejeho izon al...................................... 46
4.2. Núme o de Nussel medio medido en la pa ed calien e, z=0, pa a el caso de con ección na u al,
línea azul, ya esuel o en [1] y pa a los alo es de
λG= 1
,
λG= 5
y
λG= 10
. ........... 49
4.3. Pe les de la empe a u a y la de equilib io, adimensionalizadas con la empe a u a media, pa a
a ios alo es de
λ
, jando el pa áme o
Ra/Rac= 2
pa a cada caso. . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.4. Pa ba oclínico, gu a co esía de [6] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.5. Isocon o nos de los campos de empe a u a y unción de co ien e. . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.6.
Ψ∗
e isocon o nos de empe a u a pa a pa edes lib es en el caso de ap oximación opaca. . . . . . 53
5.1. Campo de elocidades e isocon o nos de empe a u a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3
4
Índice de gu as
5.2. Campo de elocidades e isocon o nos de empe a u a pa a núme os de Rayleigh bajos. . . . . . . 58
5.3. Tabla calculada en e a g áca dada po [24] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.4. Isocon o no de empe a u as pa a alo es al os de la emisi idad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.5. Pe les de empe a u a a lo la go de las pa edes aisladas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.6. Tempe a u a de equilib io con pa edes emiso as. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.7. Compa a i a del núme o de Nussel medido en ambas pa edes e icales con la g áca ob enido
po Akiyama, pa a
= 1
. ........................................ 71
5.8. Isocon o nos de empe a u as pa a emisi idad unidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.9. Pe l de empe a u as de las pa edes aisladas pa a emisi idad unidad. . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.10.Compa a i acon[23]........................................... 73
5.11. Isocon o nos de la unción de co ien e (izquie da) y del campo de empe a u as (de echa). . . . 74
5.12. Nussel medio en pa ed ía y calien e en unción de Rayeligh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.13. Pe l de empe a u as pa a pa edes con emisi idad nula y unidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4
Índice de cuad os
4.1. Tabla compa a i a con los esul ados de Goody de la gu a 4.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2. Tabla compa a i a del núme o de Rayleigh c í ico con el caso de con ección na u al si se iene
en cuen a ap oximación de medio anspa en e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3. Núme o de Rayleigh c í ico en unción de A pa a a ios alo es del pa áme o
λG
. ........ 47
5
12
Capí ulo 1. In oducción
12

Capí ulo 2
Fo mulación del p oblema
2.1. Mecanismos ísicos de la adiación y medio pa icipan e
Todos los cue pos emi en adiación en odas las di ecciones, con dis in a in ensidad, a su al ededo a
a és de ondas elec omagné icas ( o ones) debido a la con e sión de la ene gía in e na del cue po en
adiación, po la agi ación molecula y a ómica que iene asociadas. La
adiación é mica
es una o ma de
emisión elec omagné ica y, po an o, puede p opaga se po el acío. Ejemplos usuales de adiación son la que
llega a la Tie a p o enien e del sol o la disipación de calo desde un obje o incandescen e. Así, el calo es
ansmi ido en e obje os dis anciados con di e en e empe a u a.
El in e cambio de adiación depende de la empe a u a y del es ado de la supe cie emiso a. En el
caso de líquidos y sólidos solo una na capa pa icipa en la adiación, sob e odo en los sólidos donde el
enómeno puede conside a se o almen e supe cial. Aunque, ealmen e, ambién depende del g oso de la
capa y de la p esión en el caso de cue pos semi anspa en es como el id io. En el caso de gases, la emisión y
abso ción de adiación pueden conside a se e ec os olumé icos.
Cuando la adiación llega a un cue po, es e puede abso be pa e, eeja pa e y deja pasa el
es o. La pa e que se abso be es, lógicamen e, la que se ans o ma en calo . La acción (es deci la pa e
en e el o al) de cada una de las pa es se denominan, espec i amen e, abso i idad, eec i idad y
ansmisi idad. Si un cue po iene una ansmisi idad igual a la unidad, su eec i idad y abso i idad se ían
nulas y la adiación inciden e a a esa ía po comple o al cue po sin abso be se ni eeja se nada. Es o es lo
que se conoce como
cue po anspa en e
. Po ejemplo, el ai e es un gas que se puede conside a casi
anspa en e, lo que no sucede con gases polia ómicos como el dióxido de ca bono
CO2
o el me ano
CH4
, que
ienen capacidad de abso be pa e de la adiación inciden e. En con as e, un cue po cuya ansmisi idad sea
nula, es un
cue po opaco
y po an o el o al de la adiación que le llega puede se pa cialmen e eejada y
pa cialmen e abso bida. En deni i a, un cue po de es e ipo, si iene buena eec i idad, end á baja
abso i idad y ice e sa. Además, se dene la dispe sión (
sca e ing
en inglés) como el cambio de di ección
con espec o a la de p opagación de la adiación sin pé dida de ene gía. Po o o lado, se dene de o ma
necesa ia una magni ud llamada adiosidad
J
que ep esen a a a la can idad de ene gía de adiación que
abandona un cue po po unidad de á ea y iempo eniendo en cuen a odas las di ecciones; es deci , es a
magni ud iene en cuen a la suma de la in ensidad emi ida y eejada. Una ez denidos es os concep os, se
p ocede a explica qué se en iende po
medios pa icipa i os
y cuáles son sus p opiedades.
Considé ese una in ensidad
Iν
que se p opaga a a és de un medio en una di ección pa icula .
Cuando a a iesa un elemen o de espeso
dS
, se a enúa po la abso ción y dispe sión debidas a la inuencia
del medio. La pé dida de in ensidad en dicho elemen o iene dada po
dIν, a enuacion =−βνIν, a enuacion(S)dS,
(2.1)
donde
βν
es el coecien e de a enuación, que se puede demos a que coincide con el in e so del camino lib e
medio y que es la suma de dos coecien es:
βν=κν+σsν
, con unidades de longi ud in e sa
m−1
. El p ime o
κν
( éase [8]) co esponde al coecien e de abso ción y el segundo
σsν
al coecien e de dispe sión. Un medio
que es capaz de inui en la ans e encia de adiación de es a mane a, dispe sándola o abso biéndola, es lo
que se conoce como un medio pa icipa i o (o
pa icipa ing medium
en inglés) [13].
13
14
Capí ulo 2. Fo mulación del p oblema
Se quie e hace hincapié en que el es udio de la adiación es al amen e complejo, y pa a pode
ob ene modelos que ep oduzcan esul ados, siemp e es necesa io ealiza una se ie de hipó esis simplica i as
que pe mi an ob ene soluciones, an o pa a educi la dicul ad de las ecuaciones in oluc adas como las
condiciones de con o no del p oblema. En el caso de es e abajo, al ene se como condición de con o no
pa edes aisladas en la ca idad en el caso de que dicha pa ed no enga empe a u a impues a (o lo que es lo
mismo, es desconocida a p io i), hab ía que ene en cuen a que en dichas pa edes, la suma del calo que se
eciba o emi a po con ección más el calo que se eciba o emi a po adiación, sea nula ( e gu a 2.1). Es a
condición de con o no, denominada condición de con o no de con ección- adiación, su ge de la suposición de
que la ca idad en la que es á ence ado el uido es á en con ac o (po ue a de la ca idad) con un ma e ial
aislan e. Así, en es a si uación no apa ecen é minos de con ección en la condición de con o no, con la
consecuencia de que hab ía que modela de alguna mane a ese calo in e cambiado en o ma de adiación que
apa ece en la gu a mencionada como
q
y es á ep esen ado con echas no ec as (el é mino de calo po
con ección en e el udio y la pa ed se ía simplemen e
−K∂T/∂z
o
−K∂T/∂x
, dependiendo de si la pa ed
aislada es ho izon al o e ical espec i amen e). En o os abajos, como
The inuence o adia i e ans e
on cellula con ec ion
o en abajos donde se ha es udiado la inuencia de la adiación en p ocesos de
con ección en un uido ence ado en e dos es e as concén icas, es e é mino ni si quie a se plan ea, pues la
ca idad es inni a en el p ime caso y en el segundo no hay pa edes la e ales (po ejemplo eso sucede ía en
una a mós e a es ela ).
De es e modo, el obje i o es al menos pode ilus a de o ma cuali a i a el e ec o que la adiación
iene en los p ocesos de con ección de Rayleigh-Béna d y, en cualquie caso, debido a la eno me dicul ad que
supone siemp e el es udio de la adiación, en cualquie documen o en el que se es udien p ocesos en los que
enga ele ancia, nunca se encuen an exen os de hipó esis que pe mi an ob ene esul ados que no dejan de
se ap oximaciones, con meno o mayo g ado de exac i ud.
Figu a 2.1: Balance de calo en una pa ed la e al de la ca idad (aislada). El colo que ecub e a la ca idad es á
ep esen ando al ma e ial aislan e mencionado.
2.2. Ecuaciones del p oblema de con ección con ujo de adiación.
Ap oximaciones
2.2.1. Ecuaciones del p oblema de con ección con adiación. Camino lib e medio
Supóngase que el pa alelepípedo de la gu a 2.4 ecibe un ujo de calo po adiación
RH
, del inglés
adia i e hea ing
, en su pa ed ho izon al in e io
z= 0
y que el uido den o de él es capaz de abso be y
emi i adiación é mica. Una solución comple a pa a es e p oblema se ía ex emadamen e compleja, po lo
que se an a u iliza las ap oximaciones, una ap opiada pa a medios opacos y o a pa a medios anspa en es.
En es a sección, se a a expone la ecuación de la ene gía comple a, eniendo en cuen a el calo que
se ansmi e po conducción y adiación. De es e modo, se iene:
∂T
∂ + x
∂T
∂x + y
∂T
∂y + z
∂T
∂z =α∇2T+RH
ρ0cp
,
(2.2)
donde
α=K/(ρ0cp)
, es la di usi idad é mica.
14
2.2. Ecuaciones del p oblema de con ección con ujo de adiación. Ap oximaciones
15
La complejidad del asun o eside en que es necesa io modela el é mino
RH
pa a pode abaja
con el nue o sis ema. Pa a ello, se ecu e en la sección p óxima al uso de dos ap oximaciones elacionadas con
el alo del coecien e de abso ción
κν
, o mejo dicho, con el alo in e so de dicho coecien e, denominado
camino lib e medio
y compa ado con la dimensión
H
de la ca idad en la que se mue e el uido. En iéndase
dicha magni ud
κ−1
como la dis ancia que eco en las pa ículas de una onda elec omagné ica, en media,
en e colisiones con las pa ículas del medio que a a iesa. Dicha magni ud puede se
muy pequeña
(las
pa ículas colisiona ían con una al a ecuencia al a a esa un medio) o
muy g ande
(las pa ículas ienen
p ác icamen e ía lib e e incluso una al a acción de ellas pod ía llega a a a esa el medio sin colisiona ).
Ambas si uaciones, que se desa olla án en las siguien es secciones, se pueden encon a en medios como la
a mós e a del Sol . Po ejemplo, en la zona de adiación y en la base de la zona de con ección en el sol, los
o ones ebo an en incon ables ocasiones an es de a a esa dicha zona, po lo que se puede en ende que en
es a zona el medio es óp icamen e g ueso. Sin emba go, si se a anza hacia la o os e a del sol, an solo unos
cien os de kilóme os den o de ella, el medio pasa de opaco a anspa en e [14].
Una ez se ha denido el coecien e de abso ción
κν
, se hace necesa io explica qué se en iende po
p o undidad óp ica
(
op ical dep h/ hickness
en inglés). Es e pa áme o desc ibe cuán a abso ción iene
luga cuando la luz a a iesa un medio abso ben e, po ejemplo, la a mós e a sola . Considé ese como un haz
de o ones la luz emi ida po un emiso hacia una supe cie, algunos de los cuales pueden se abso bidos po el
medio que a a iesan pa a llega has a ella. La p obabilidad inni esimal
dpν
de un o ón emi ido a una
ecuencia
ν
en una ebanada de espeso
ds
( e gu a 2.2), es di ec amen e p opo cional a dicho espeso :
dpν=κνds ⇒κν=dpν
ds .
(2.3)
Figu a 2.2: Esquema del emiso , medio y supe cie de ec o a. Imagen ex aída de:
h ps://www.c .n ao.edu/cou se/as 534/Radx e .h ml
En onces, es o signica que la p obabilidad de abso ción no es cons an e. Pa a ilus a es o, éngase
en men e que a medida que la luz iaja, algunos o ones son abso bidos, de al modo que a mayo dis ancia del
emiso , meno se á la can idad de o ones es an es, con lo que la p obabilidad de abso be los aumen a á de
o ma no lineal con el g oso de la ebanada.
La acción de la in ensidad pe dida debida solo a la abso ción du an e un desplazamien o
inni esimal ( e ecuación 2.1) iene dada po :
dIν
Iν
=−dpν=−κν.
(2.4)
In eg ando a ambos lados de la ecuación a lo la go de odo el camino, se ob iene la can idad de
in ensidad al nal de es e, en unción de la in ensidad inicial.
Iν =Iν0e−Rs
0κν(s0)ds,
(2.5)
15
16
Capí ulo 2. Fo mulación del p oblema
donde la can idad del exponen e
τν
,
τν=−Zs
0
κν(s0)ds0,
(2.6)
se denomina
p o undidad óp ica
. Si
τν<< 1
, la in ensidad a la ecuencia
ν
pe manece
p ác icamen e cons an e, y se puede deci que el medio es
óp icamen e no
o
anspa en e
, mien as que
si
τν>> 1
, la in ensidad
Iν
cae ápidamen e, abso biéndose los o ones po el medio de o ma inmedia a y se
conside a que es e medio es
óp icamen e g ueso
u
opaco
. En las siguien es secciones se desa olla án es as
ideas.
2.2.2. Ecuaciones de Kou gano
La ecuación que gobie na en las a iaciones de in ensidad de adiación en una di ección
~s
ue
expues a po Kou gano (1952) [15]:
dI(~s)
ds =κ[B−I(~s0)],
(2.7)
donde
I(~s)
es la in ensidad de adiación in la di ección de
~s
,
B
es la in ensidad de Planck de un cue po neg o
1
,
ds
es un desplazamien o inni esimal en la di ección
~s
y en
κ
se ha omi ido el subíndice. El ujo de calo po
adiación
RH
es:
RH =−Z4π
dI(~s)
ds dω,
(2.8)
donde
ω
ep esen a a un elemen o de ángulo sólido. Al se iso ópica la in ensidad de adiación de un cue po
neg o, se iene, de la combinación de la ecuaciones an e io es:
RH =−4πκB +κZI(~s)dω.
(2.9)
El p ime é mino de 2.9 ep esen a pé didas de calo po emisión de adiación é mica en el pun o
del uido a la empe a u a local, ya que
B
depende de la empe a u a según la ley de S e an, ecuación 2.10:
B=σ
πT4,
(2.10)
donde
σ= 5.67 ·10−8W
m2·K4
es la cons an e de S e an-Bol zmann.
El segundo é mino de 2.9 ep esen a el calo abso bido en el pun o del uido y emi ido desde o os
pun os del uido y su con o no.
Se puede demos a que las dimensiones de las celdas con ec i as o madas en el seno de la ca idad,
son del o den de
H/a
, siendo
a
un pa áme o adimensional de o den unidad cuyos alo es ípicos se pueden
consul a en Pellew & Sou hwell [16] y siendo
H
una dimensión ca ac e ís ica de la ca idad. Po an o,
compa ando los alo es de el camino lib e medio
κ−1
y
H/a
se pueden ob ene las ap oximaciones a adas en
las p óximas dos subsecciones.
2.2.3. Ap oximación óp icamen e na o anspa en e
El p ime o de los casos abo dados es aquel en el que se cumple que el o den del camino lib e medio
es mucho mayo que el o den del amaño de la celda con ec i a, es deci , si se cumple que
κ−1>> H/a
o
1
Ap oximación ísica ideal que hace e e encia a un cue po capaz de abso be oda la adiación elec omagné ica que le llega,
independien emen e de su ecuencia o ángulo de incidencia.
16
2.2. Ecuaciones del p oblema de con ección con ujo de adiación. Ap oximaciones
17
al e na i amen e
κ−1H << a
. En es e caso, la ecuación 2.9, con el uso de la ecuación de S e an-Bol zmann
2.10 se educe a:
RH =−4κσT4,
(2.11)
donde
T
es la empe a u a. Seguidamen e, es necesa io in oduci es e é mino en la ecuación de la ene gía
2.2. An es de ello, con iene acla a que la di e encia de empe a u as en e las pa edes in e io y supe io ,
T1
y
T2
espec i amen e, a ían ela i amen e poco, es deci , se cumple que:
T1−T2
T1
<< 1; T1−T2
T2
<< 1.
(2.12)
Po an o, el campo de empe a u as se puede modela como una empe a u a de equilib io
Te
dependien e de las coo denadas
x
y
z
más una pe u bación
T0
debida al mo imien o dependien e de las
coo denadas espaciales y el iempo. Además, es a empe a u a de equilib o se puede descompone a su ez
como la suma de la empe a u a media
Tm=T1+T2
2
más una empe a u a de pe u bación de equilib io
dependien e de
x
y
z
,
Te0(x, z)
. En esumen:
T(x, z, ) = Te(x, z) + T0(x, z, ); donde T0<< T,Te
(2.13)
Te(z) = Tm+T0
e(x, z); donde T0
e<< Tm,Te
(2.14)
El sis ema de ecuaciones a esol e se ía el con o mado po las ecuaciones:
∂ x
∂x +∂ y
∂y +∂ z
∂z = 0;
(2.15)
∂ x
∂ + x
∂ x
∂x + y
∂ x
∂y + z
∂ x
∂z =−∂(pm/ρ0)
∂x +ν∇2 x;
(2.16)
∂ y
∂ + x
∂ y
∂x + y
∂ y
∂y + z
∂ y
∂z =−∂(pm/ρ0)
∂y +ν∇2 y;
(2.17)
∂ z
∂ + x
∂ z
∂x + y
∂ z
∂y + z
∂ z
∂z =−∂(pm/ρ0)
∂z +gβ(T−Tm) + ν∇2 z;
(2.18)
ρ0cp∂T
∂ + x
∂T
∂x + y
∂T
∂y + z
∂T
∂z =K∇2T+RH,
(2.19)
donde
RH
es el é mino co espondien e al calo in e cambiado po adiación, como se dijo en el apa ado
an e io .
Dicho sis ema 2.15-2.19 hab á que esol e lo bajo las condiciones de con o no siguien es, que se
co esponden con pa edes e icales aisladas y ho izon ales con empe a u as impues as
T1
y
T2
:
K∂Te
∂x x=0,L
±σ(T4
m−T4
e)=0,
(2.20)
T(z= 0) = T1⇒T0
e=T1−Tm=T1−T2
2,
(2.21)
17

18
Capí ulo 2. Fo mulación del p oblema
T(z=L) = T1⇒T0
e=T2−Tm=−T1−T2
2,
(2.22)
donde

es la emisi idad del uido.
Si en la úl ima ecuación se in oducen las elaciones 2.13 y 2.14, se sepa a el p oblema de equilib io
y de mo imien o, espec i amen e, se ob ienen las ecuaciones:
K∇2T0
e−16κσT3
mT0
e= 4κσT4
m
(2.23)
∂T0
∂ + x
∂(T0+Te)
∂x + z
∂(T0+Te)
∂z =1
ρcpK∇2T0−4κσT4
m−4κσT3
mT0
(2.24)
Se in oducen las a iables adimensionales siguien es:
λ=16σκT3
mH2
K;Rc =4HσT3
m
K
(2.25)
x=x∗H;z=z∗H; =H2
α; x=α
H ∗
x; z=α
H ∗
z; ∆ ¯
T=T1−T2
Tm
θe=T0
e
Tm
;T0=∆¯
TTmT∗
Ra ;T0
e=∆¯
TTmT∗
e
Ra ;
(2.26)
y la llamada unción de co ien e
Ψ∗
, que se dene:
∗
x=∂Ψ∗
∂z∗; ∗
z=−∂Ψ∗
∂x∗,
(2.27)
que au omá icamen e sa is ace la ecuación 2.15 en el caso 2D en el plano
xz
.
In oduciendo las a iables adimensionales an e io es, omando el caso bidimensional en el plano
xz
,
de i ado la ecuación 2.16 con espec o a
z∗
y la ecuación 2.18 con espec o a
x∗
y es ándolas, se ob iene un
sis ema de dos ecuaciones con dos incógni as:
∂∇2Ψ
∂ +∂Ψ
∂z
∇2∂Ψ
∂x −∂Ψ
∂x
∇2∂Ψ
∂z =
P ∇4Ψ−P ∂T
∂x −P Ra
∆¯
T
∂θe
∂x ,
(2.28)
∂T
∂ +∂Ψ
∂z
∂T
∂x −∂Ψ
∂x
∂T
∂z =
−∂Ψ
∂z
∂θe
∂x −Ψ
∂x
∂θe
∂z Ra
∆¯
T+∇2T−λT,
(2.29)
donde se han omi ido los supe índices
∗
po comodidad.
Po o o lado, la ecuación que sa is ace la ecuación de equilib io 2.23se educe a:
∂2θe
∂x∗2+∂2θe
∂z∗2−λθe=λ
4,
(2.30)
18
2.2. Ecuaciones del p oblema de con ección con ujo de adiación. Ap oximaciones
19
cuyas condiciones de con o no a sa is ace , en a iables adimensionales se exp esan:
∂θe
∂x∗
x∗=0
x∗=A
= 0,
(2.31)
θe|x∗=0
x∗=A=±∆¯
T
2
(2.32)
habiéndose asumido el caso en que no inuyen las pa edes (Rc nulo), pues la inuencia de es a se conside a a
pa i del capí ulo 3. La ecuación 2.30 es una ecuación di e encial que se esol e á po el
mé odo de colocación
,
explicado en el capí ulo 3
Mé odo numé ico
, cuyos esul ados pa a dis in os alo es del pa áme os
λ
se
ep esen an en las gu as de 2.3. Pa a ello, se á necesa io aplica las condiciones de con o no de empe a u a
de equilib io 2.31 y 2.32.
(a) (a)
λ= 0
, Rc=0 (b) (b)
λ= 3
, Rc=0
(c) (c)
λ= 10
, Rc=0
Figu a 2.3: Solución de la empe a u a de equilib io
θe
con pa áme o de adiación-conducción
Rc
nulo pa a 3
alo es del pa áme o
λ
.
19
20
Capí ulo 2. Fo mulación del p oblema
Po su pa e, el p oblema de mo imien o 2.28-2.29 queda de e minado si se añaden las condiciones
de con o no ap opiadas:
Pa a ∗= 0; 0 ≤x∗≤H
L,0≤z∗≤1→Ψ∗= Ψ∗
0(x∗, z∗), T∗= 0,
(2.33)
Pa a x∗= 0 y x∗= L/H=A→Ψ∗= 0,∂Ψ∗
∂x∗= 0,∂T∗
∂x∗
x∗=0
x∗=A
=±RcT∗,
(2.34)
Pa a z∗= 0 y z∗= 1 →Ψ∗= 0,∂Ψ∗
∂z∗= 0, T∗= 0,
(2.35)
donde las condiciones de con o no 2.34 y 2.35 se co esponden al caso en el que las pa edes in e io y supe io
son
ígidas
, es deci , la componen e ho izon al del campo de elocidades es nula
x=−∂Ψ∗/∂z = 0
. En el
apa ado de
Condiciones de con o no
den o del capí ulo de
Mé odo numé ico
se e án el caso de ambas
pa edes lib es y el de pa ed in e io ígida y supe io lib e.
Las ecuaciones 2.28 y 2.29 se esol e án numé icamen e en los siguien es capí ulos, eniendo en
cuen as las condiciones de con o no e inicial que se acaban de expone .
2.2.4. Ap oximación óp icamen e g uesa u opaca
El segundo caso abo dado es aquel en el que el camino lib e medio
κ−1
es de un o den muy in e io
al o den de magni ud de la al u a de la ca idad. Dicha condición puede se exp esada ma emá icamen e como
κ∗h >> a
, donde
h
ep esen a la al u a de la ca idad en la que se mue e el uido y
a
es un núme o
ca ac e ís ico al que ya se ha hecho e e encia en el apa ado an e io . Recué dese que dicho núme o es de
o den unidad [16]. Siguiendo la misma es uc u a que con an e io idad, en p ime luga se iene, a pa i de
una ecuación 2.9, pa a alo es al os de
κ
, se puede desa olla
RH
en se ies de po encias en é minos de
κ−2
una solución o mal de dicha ecuación iene dada po Goody (ec. 13 del documen o) [8]:
I(~s) = e−κs Zs
q
κeκσB(σ)dσ,
(2.36)
donde la con ibución del lími e in e io se debe de e mina a pa i de las condiciones de con o no, pe o
dichas condiciones de con o no solo con ibuyen de mane a ap eciable a dis ancias meno es que
κ−1
del
con o no, po lo que se puede desp ecia su con ibución ue a de dichas egiones.
Si se in eg a de o ma ei e ada la ecuación an e io , se ob iene que:
I(~s) = B−κ−1dB
ds +κ−2d2B
ds2−κ−3d3B
ds3...
(2.37)
En onces, usando la ecuación 2.8 y sabiendo que
dB
ds =µ1
∂B
∂x +µ2
∂B
∂y +µ3
∂B
∂z ,
(2.38)
donde
µ1, µ2y µ3
son los cosenos di eccionales de
~s
.
Al ealiza las in eg ales de 2.37 y u iliza la ecuación de S e an-Bol zmann 2.10, se ob iene que el
é mino de ans e encia de ene gía po adiación
RH
pa a la ap oximación opaca es:
H(s) = κ−14σ
3∇2T4.
(2.39)
20
2.2. Ecuaciones del p oblema de con ección con ujo de adiación. Ap oximaciones
21
Pa a ealiza desa olla la ecuación
2.39
es necesa io desa olla cómo a a se el campo de
empe a u as de mane a cuali a i a median e el uso de una se ie de hipó esis sob e dicho campo , análogas a
las del apa ado an e io :
T(~x, ) = Te(~x, ) + T0(z); donde T0<< T,Te
(2.40)
Te(z) = Tm+T0
e(z); donde T0
e<< Tm,Te
(2.41)
T1−T2
T1
<< 1; T1−T2
T2
<< 1;
(2.42)
De es a mane a, in oduciendo 2.40 y 2.41 en la ecuación de la ene gía 2.2 (2D) se ob iene:
∂T
∂ + x
∂T
∂x + z
∂T
∂z =α∇2T+16σ
3κ∇ · (Te3∇Te +Te3∇T0+ 3Te2T0∇T e),
(2.43)
donde se ha hecho
T3∼
=Te3+ 3Te2T0
y se han desp eciado los p oduc os en e a iaciones.
Pa a halla
Te(z)
, se impone el es ado es á ico en la ecuación an e io :
~ =~
0; T0= 0;
(2.44)
se de e mina que se cumple:
d
dz αdTe
dz +16σ
3κTe3dTe
dz = 0,
(2.45)
y en i ud de la hipó esis 2.41, si se sus i uye
Te3
po
Tm3
, se iene que:
dTe
dz =C.
(2.46)
De es a o ma, aplicando las condiciones de con o no
T(0) = T1
y
T(H) = T2
, se ob iene
deni i amen e
Te(z)
:
Te(z) = T2−T1
Hz+T1.
(2.47)
En onces, la ecuación de la ene gía se con ie e en:
∂T0
∂ + x
∂T0
∂x + z
∂T0
∂z =


α∇2Te +


16σ
3κ∇2Te4
4+∇2T0
+16σ
3κ(2∇Te3· ∇T0+Te3∇2T0+ 3T0(2Te∇Te · ∇T e +

Te2∇2Te),
(2.48)
donde se han u ilizado las ecuaciones 2.45 y 2.47 pa a la cancelación de é minos.
∂T0
∂ +~ · ∇T0+ z
T2−T1
H=
α+16σ
3κρ0cp
Tm3∇2T0+32σ
3κρ0cp
Tm2T2−T1
H
∂T0
∂z +T0T2−T1
H232σ
3κρ0cp
Tm
(2.49)
21
28
Capí ulo 3. Mé odo numé ico
En la siguien e sección se de alla cómo se a a u iliza el mé odo explicado pa a esol e las
ecuaciones Sal zmann pa a la con ección y el sis ema equi alen e ob enido en el capí ulo 2 pa a los casos de
adiación con ap oximación anspa en e y opaco.
3.2. Resolución numé ica
En es a sección se a a explica de qué mane a se han disc e izado las ecuaciones 2.28 y 2.29 pa a
ap oxima las de i adas espaciales y las de i adas con espec o al iempo, que se ap oxima án median e
di e encias eg esi as
. Dichas ecuaciones son las que se ob u ie on en el apa ado 2.2.3. Pos e io men e, se
e á que solo hay que in oduci lige os cambios en los p og amas pa a ene en cuen a dis in as condiciones
de con o no y según si se quie e es udia el caso de empe a u a impues a en las pa edes ho izon ales o en las
pa edes e icales y pa edes ígidas o lib es.
Pa a disc e iza las ecuaciones an e io es a la ho a de desa olla códigos numé icos y ob ene
soluciones ap oximadas, se an a in oduci las siguien es ap oximaciones pa a las de i adas espaciales:
∂
∂x∗F∼
=Dx∗F;∂
∂z∗F∼
=Dz∗F;∇2F∼
=(D2
x+D2
z)∗F=DL∗F;∇4F∼
=D2
L∗F,
(3.9)
donde
F
ep esen a a
Ψ
o a
T∗
mien as que pa a las de i adas con espec o al iempo se u iliza el
Mé odo de Di e encias eg esi as
([18], capí ulo 1), po lo que los é minos en los que apa ece
∂F
∂ ∗
, se iene:
∂F
∂ ∗=F| n −F n−1
h
; dondeh << 1.
(3.10)
Po úl imo, éngase en cuen a que en las ecuaciones apa ecen p oduc os en e las de i adas de las
unciones
Ψ∗
y
T∗
, siendo es os p oduc os é minos de ca ác e no lineal si se sus i uyen de o ma di ec a po
Ψ∗| n
y
T∗| n
, espec i amen e, po lo que en dichos é minos se ealiza án las ap oximaciones:
Ψ∗| n ≈Ψ∗| n−1;T∗| n ≈T∗| n−1,
(3.11)
que se án álidas siemp e que
h
sea lo
sucien emen e pequeño
.
Teniendo en men e odo lo expues o con an e io idad, se es á en condiciones de esc ibi qué
ecuaciones se ob ienen nalmen e pa a pode se implemen adas en un lenguaje de p og amación que pe mi a
esol e sis emas de ecuaciones lineales de mane a p ác ica (MATLAB en es e caso). Así, se iene:
DL∗Psi −Psinm1
h
+Dz∗Psinm1∗Dx∗DL∗Psinm1−Dx∗Psi ∗Dz∗DL∗Psi
| {z }
NLP SI
=
P D2
LPsi −P DxTp −P ∗Ra/Del aTb ∗DxThe ae;
(3.12)
Tp −Tpnm1
h
+Dz∗Psinm1∗Dx∗Tpnm1−Dx∗Psinm1∗Dz∗Tpnm1
| {z }
NLT
=
−(Dz∗Psi ∗Dx∗The ae −Dx∗Psi ∗Dz∗The ae)∗Ra/Del aT b +DL∗Tp −lambda ∗Tp,
(3.13)
donde se han u ilizado los nomb es de las a iables que se les ha dado en el código y donde los é minos
NLPSI
y
NLT
eciben esos nomb es pues co esponden con é minos que se ían
no lineales
si no se hubie a
ealizado en ellos las ap oximaciones
Ψ∗| n ≈Ψ∗| n−1yT∗| n ≈T∗| n−1
.
De es a mane a, se iene un sis ema de ecuaciones, donde los ec o es:
28

3.2. Resolución numé ica
29
Psi =

Psi1
...
PsiN


Tp =

Tp1
...
TpN


son las
2×N
incógni as de un sis ema de
2×N
ecuaciones, cuya o ma compac a esc i a se ob iene a pa i
de las ecuaciones 3.12 y 3.13 y se e á implemen ada en la ma iz del sis ema en el código que se adjun a más
adelan e.
Con ección: p og ama pa a la con ección.
Si se quie en ob ene esul ados pa a el caso de
con ección pu a sin ene en cuen a e ec os de adiación, an solo hay que hace en el p og ama las a iables
lambda y Rc nulas. En los esul ados que se expongan en los p óximos apa ados, se ep oducen los ob enidos
en [1] y se compa an con esul ados que se ob engan con alo es no nulos de las a iables an e io es.
3.2.1. Condiciones de con o no e inicial. P oblema con pa edes no pa icipa i as
En el apa ado an e io se ha explicado cómo se disc e izan las a iables de las ecuaciones que
apa ecen en el p oblema de adiación-con ección. En es e, se expone cómo se han impues o numé icamen e las
condiciones de con o no e inicial en el p oblema de adiación en el que el medio pa icipa,
λ > 0
, pe o las
pa edes no abso ben adiación,
Rc = 0
.
El cumplimien o de dichas condiciones no es i ial. Es o es debido a que se ienen condiciones de
con o no sob e las de i adas de
Ψ∗
y
T∗
a la ez que sob e las p opias unciones, po ejemplo, pa a el caso de
bo des ígidos/ ígidos. Al no se posible impone dos alo es dis in os a la ez sob e los ec o es solución de
Ψ∗
y
T∗
, la o ma de esol e es e conic o es impone las condiciones de con o no de las unciones sob e los
pun os que se encuen an sob e los con o nos, mien as que pa a las condiciones sob e las de i adas se usan los
pun os de los subcon o nos. En deni i a, los pasos a segui se ían:
An es que nada es esencial acla a cuáles son los alo es de los índices
I
pa a cada pa ed del con o no. A
sabe :
I=






(i−1) ∗Nz + 1 si z∗= 0
(i−1) ∗Nz +Nz =i∗Nz si z∗= 1
jsi x∗= 0
(Nx −1) ∗Nz +jsi x∗=L/H
donde i = 1, ..., Nx y j = 1, ..., Nz
(3.14)
Aho a, en p ime luga , debido a que Ma lab abaja de o ma mucho más ecien e "llenandoçolumnas
que las, se ansponen odos los ec o es y ma ices que o man pa e del sis ema gene al.
En segundo luga , pa a impone las condiciones de
Ψ∗
, en el caso de que se es é es udiando el caso de
pa edes ho izon ales
ígidas se p ocede de la siguien e o ma: se anula en las ma ices ( anspues as)
APSI_ , ATp_ , BPSI_ y BTp_ las columnas cuyo índice
I
co esponde con el de los pun os de
los con o nos ho izon ales. Pos e io men e, se impone un alo unidad en los elemen os APSI_(I,I) , así
se impone que
Ψ∗
I= 0
una ez que se ansponga de nue o la ma iz o iginal del sis ema. Análogamen e
se p ocede pa a impone que
T∗= 0
en los con o nos ho izon ales: se impone que los elemen os
BT_ (I,I)=1. Además, pa a asegu a que pa a odo ins an e
se cumplen las condiciones de con o no,
se c ean dos
ac o es de condiciones de con o no
o
bounda y condi ion ac o s
, BCF_PSI_ y
BCF_Tp_ cuyo alo es nulo pa a odo índice
I
pe enecien e a cualquie pun o de los con o nos
ho izon ales.
Aho a hay que impone que en las
pa edes e icales
la de i ada de
T∗
es nula y que
Ψ∗
es ambién nula.
En onces, al y como se hizo en el pun o an e io , se impone en los pun os de los con o nos e icales que
las columnas de las ma ices ( anspues as) APSI_ , ATp_ , BPSI_ y BT_ cuyo índice sea
I
,
sean nulas. Pos e io men e, se hacen igual a la unidad los elemen os APSI_ (I,I) pa a impone
Ψ∗
I= 0
29
30
Capí ulo 3. Mé odo numé ico
as la ansposición de la ma iz del sis ema. Pa a impone que
∂T∗
∂x∗= 0
se hace
BT_ (:,I)=Dx_ (:,I). Se hacen nulos ambién los é minos BCF_PSI_ (I) y BCF_Tp_ (I).
Po úl imo, queda ía impone la condición de que las pa edes ho izon ales y e icales son ígidas, po lo
que hab ía que impone en los pun os del con o no que las elocidades
∗
x
y
z
son nulas,
espec i amen e. Pa a ello, eniendo en cuen a que
∗
x=−∂Ψ∗/∂z
y
∗
z=∂Ψ∗/∂x
, en p incipio hab ía
que p ocede como en los dos pun os an e io es pa a impone condiciones de con o no. Sin emba go, no
queda más emedio que hace uso de los pun os del subcon o no, pues los del con o no ya es án
u ilizados. Pa a ello, se anulan los las columnas de odas las ma ices que componen la ma iz comple a
del sis ema con índices
I
pe enecien es a dichos subcon o nos, donde es e iden e que las esquinas son
comunes a los ho izon ales y e icales y en es e caso se han incluido en los p ime os. En el caso de
subcon o no in e io se iene
I= (i−1) ∗Nz + 2
y en el supe io
I= (i−1) ∗Nz +Nz −1
con
i=2:Nx −1
, mien as que pa a los subcon o nos izquie do y de echo, se iene, espec i amen e,
I=Nz +j
y
I= (Nx −2) ∗Nz +j
, donde
j= 3 : Nz −2
. Después, en la ma iz APSI_ , se impone
en las columnas del subcon o no e ical es igual a la columna con el mismo índice de la ma iz Dz_ y
en las ho izon ales se hacen igual a las columnas de Dx_ . Con odo es o ya se ienen impues as las
condiciones de con o no. En el siguien e pun o se discu e qué se ha de hace si se iene alguna pa ed lib e
(sin es ue zos angenciales) en ez de pa edes ígidas.
En el caso de ene una pa ed lib e, po ejemplo la ho izon al in e io , los es ue zos angenciales han de
se nulos en la pa ed:
τ=µ∂ x
∂z z=0
= 0 ⇒∂2Ψ∗
∂z∗z∗=0
= 0
(3.15)
Po an o, si los es ue zos son nulos, hab á que impone , en ez de lo dicho en el pun o an e io , en el
que se habló del caso ígido- ígido en los con o nos ho izon ales, que la columna con índice
I
pe enecien e al subcon o no ho izon al de la ma iz APSI_ es igual a la columna del mismo índice de
la ma iz que p opo ciona la segunda de i ada con espec o de
z
, Dz2_ . Análogamen e se ha ía con la
pa ed ho izon al supe io o, en el caso de pa edes lib es e icales, en cuyo caso se necesi a ía iguala las
columnas co espondien es a las de la ma iz que p opo ciona la segunda de i ada con espec o
x
,
Dx2_ .
Pa a las condiciones iniciales, se ha usado una unción de co ien e que cumpla con las condiciones de
con o no y lo mismo se ha hecho con el campo de empe a u as ( e [1], capí ulo 4):
Ψ∗(x, z, = 0) = 0.0005x∗2(x∗
max −x∗)2z∗2(z∗
max −z∗)2cos πx∗z∗
5x∗
maxz∗
max 
(3.16)
T∗(x, z, = 0) = 0
(3.17)
A con inuación se mues an los códigos p incipales que se han u ilizado pa a esol e el p oblema de
con ección sin adiación con pa edes ho izon ales ígidas. A pa i de él, con las modicaciones explicadas en
las condiciones de con o no y cambiando las ecuaciones según se expuso en la sección de esolución numé ica
en unción de la ap oximación de adiación que se quie a es udia , es sucien e pa a ob ene nue os códigos
que pe mi an e ec i amen e esol e los p oblemas.
P og ama básico
Se u iliza el siguien e p og ama como base y cie as modicaciones pa a esol e los dis in os
apa ados.
1
2
%
_____PARAMETROS_____ %
3
P =0.73;
4
5
%Ra=1565+1000−500−300+200+50+500−1000;
6
Del aTb=0.1; Rc=0;
7
Ra=8800+15;
30
3.2. Resolución numé ica
31
8
lambda_G=5; lambda=lambda_G^2;
9
10
d =0.0001;
11
%
______GEOMETRIA_____ %
12
13
zmin=0; zmax=1;
14
15
Nz=30
16
17
xmin=0; xmax=.5;
18
19
Nx=30
20
21
ic
22
23
[Lpx,Dx,Nx,xch]=ma icesx(Nx,Nz,xmin,xmax);
24
[Lpz,Dz,Nz,zch]=ma icesz(Nz,Nx,zmin,zmax);
25
%
_____MATRICES____ %
26
N =Nz*Nx;
27
28
DL=Dx*Dx+Dz*Dz;
29
DL2=DL*DL;
30
DxDL=Dx*DL;
31
DzDL=Dz*DL;
32
Dz2=Dz*Dz;
33
34
%%SPARSE
35
DL=spa se(DL);
36
DL2=spa se(DL2);
37
DxDL=spa se(DxDL);
38
DzDL=spa se(DzDL);
39
Dz2=spa se(Dz2);
40
41
%%TRANSPUESTAS
42
DL_ =DL'; DL2_ =DL2'; DxDL_ =DxDL';
43
DzDL_ =DzDL'; Dz2_ =Dz2'; Dx_ =Dx';
44
Dz_ =Dz';
45
46
%% % %SOLUCION EQUILIBRIO % % % %
47
Ae=DL−lambda*eye(N );
48
be=lambda*ones(N ,1)/4;
49
50
% Modi icaciones de Ae y be debidas a condiciones de con o no:
51
% Con o nos ho izon ales (insula ed)
52
53
Ae_ =Ae'; be_ =be';
54
o i=2:Nx−1,
55
I1=(i−1)*Nz+1;
56
I2=(i−1)*Nz+Nz;
57
% Radiacion con eccion ho iz.
58
% Ae(I1,:)=Dz_ (I1,:); Ae(I1,I1)=Ae(I1,I1)−Rc; be(I1,1)=0;
59
% Ae(I2,:)=Dz_ (I2,:); Ae(I2,I2)=Ae(I2,I2)+Rc; be(I2,1)=0;
60
% Tempe a u a impues a ho iz.
61
Ae_ (:,I1)=0; Ae_ (I1,I1)=1; be_ (1,I1)=Del aTb/2;
62
Ae_ (:,I2)=0; Ae_ (I2,I2)=1; be_ (1,I2)=−Del aTb/2;
63
end
64
% Con o nos e icales (imposed empe a u e):
65
%
66
o j=1:Nz,
67
I1=j;
68
I2=(Nx−1)*Nz+j;
31
32
Capí ulo 3. Mé odo numé ico
69
Ae_ (:,I1)=Dx_ (:,I1); Ae_ (I1,I1)=Ae_ (I1,I1)−Rc; be_ (1,I1)=0;
70
Ae_ (:,I2)=Dx_ (:,I2); Ae_ (I2,I2)=Ae_ (I2,I2)+Rc; be_ (1,I2)=0;
71
end
72
%
73
Ae=Ae_ '; be=be_ ';
74
The ae=Ae be;
75
76
DxThe ae=Dx*The ae; DzThe ae=Dz*The ae;
77
o j=1:Nz,
78
The aema (1:Nx,j)=The ae(((1:Nx)−1)*Nz+j,1);
79
end
80
o I=1:N ,
81
aux1(I,:)=Dz(I,:)*DxThe ae(I,1);
82
aux2(I,:)=Dx(I,:)*DzThe ae(I,1);
83
end
84
o j=1:Nz,
85
xma (1:Nx,j)=xch(1:Nx)'; zma (1:Nx,j)=zch(j);
86
end
87
mesh(xma ,zma ,The aema )
88
89
%
_____CONDICIONES DE CONTORNO_____ %
90
%De inimos las ma ices necesa ias:
91
APSI=DL−d *P *DL2;
92
AT=d *P *Dx;
93
BPSI=Ra/Del aTb*d *(aux1−aux2);
94
BT=eye(N )*(1+d *lambda)−d *DL;
95
%Fac o de condiciones de con o no
96
FBC_PSI=ones(N ,1);
97
FBC_T=ones(N ,1);
98
99
APSI_ =APSI'; AT_ =AT'; BPSI_ =BPSI'; BT_ =BT';
100
FBC_PSI_ =FBC_PSI'; FBC_T_ =FBC_T';
101
102
%Ponemos las condiciones que hacen Psi y T igual a ce o. Es o se da en
103
%con o nos ho izon ales:
104
o i=2:(Nx−1)
105
%Con o nos de abajo
106
I=(i−1)*Nz+1;
107
%Imponemos Psi y T:
108
%psi=0
109
APSI_ (:,I)=0; APSI_ (I,I)=1; FBC_PSI_ (1,I)=0; AT_ (:,I)=0;
110
%T=0
111
BPSI_ (:,I)=0; BT_ (:,I)=0; BT_ (I,I)=1; FBC_T_ (1,I)=0;
112
% % ConRad
113
% BPSI_ (:,I)=0; BT_ (:,I)=Dz_ (:,I); BT_ (I,I)=BT_ (I,I)−Rc; FBC_T_ (1,I)
=0;
114
%Con o no supe io
115
I=(i−1)*Nz+Nz;
116
%psi=0
117
APSI_ (:,I)=0; APSI_ (I,I)=1; FBC_PSI_ (1,I)=0; AT_ (:,I)=0;
118
%T=0
119
BPSI_ (:,I)=0; BT_ (:,I)=0; BT_ (I,I)=1; FBC_T_ (1,I)=0;
120
% % Con Rad
121
% BPSI_ (:,I)=0; BT_ (:,I)=Dz_ (:,I); BT_ (I,I)=BT_ (I,I)+Rc; FBC_T_ (1,I)
=0;
122
end
123
%
124
%Aho a amos a con o nos e icales
125
o j=1:Nz
126
%Con o nos de izq
127
I=j;
32
3.2. Resolución numé ica
33
128
%Imponemos Psi y T:
129
%psi=0
130
APSI_ (:,I)=0; APSI_ (I,I)=1; FBC_PSI_ (1,I)=0; AT_ (:,I)=0;
131
%dT/dx=0
132
BPSI_ (:,I)=0; BT_ (:,I)=Dx_ (:,I); BT_ (I,I)=BT_ (I,I)−Rc; FBC_T_ (1,I)=0;
133
%T=0
134
% BPSI_ (:,I)=0; BT_ (:,I)=0; BT_ (I,I)=1; FBC_T_ (1,I)=0;
135
%Con o nos de dcha
136
I=(Nx−1)*Nz+j;
137
%Imponemos Psi y T:
138
%psi=0
139
APSI_ (:,I)=0; APSI_ (I,I)=1; FBC_PSI_ (1,I)=0; AT_ (:,I)=0;
140
%dT/dx=0
141
BPSI_ (:,I)=0; BT_ (:,I)=Dx_ (:,I); BT_ (I,I)=BT_ (I,I)+Rc; FBC_T_ (1,I)=0;
142
% %T=0
143
% BPSI_ (:,I)=0; BT_ (:,I)=0; BT_ (I,I)=1; FBC_T_ (1,I)=0;
144
end
145
%Fal a po aplica elocidades nulas en las pa edes. Pa a ello, se usan las
146
% ilas co espondien es a los subcon o nos de abajo.
147
%Con o nos ho izon ales d^2psi/dz^2=0
148
o i=3:(Nx−2)
149
K=(i−1)*Nz+2;
150
APSI_ (:,K)=Dz_ (:,(K−1)); FBC_PSI_ (1,K)=0; AT_ (:,K)=0;
151
K=(i−1)*Nz+Nz−1;
152
APSI_ (:,K)=Dz_ (:,(K+1)); FBC_PSI_ (1,K)=0; AT_ (:,K)=0;
153
end
154
%Con o nos e icales dpsi/dx=0
155
o j=2:(Nz−1)
156
K=(2−1)*Nz+j;
157
APSI_ (:,K)=Dx_ (:,(K−Nz)); FBC_PSI_ (1,K)=0; AT_ (:,K)=0;
158
K=(Nx−2)*Nz+j;
159
APSI_ (:,K)=Dx_ (:,(K+Nz)); FBC_PSI_ (1,K)=0; AT_ (:,K)=0;
160
end
161
162
APSI=APSI_ '; AT=AT_ '; BPSI=BPSI_ '; BT=BT_ ';
163
FBC_PSI=FBC_PSI_ '; FBC_T=FBC_T_ ';
164
165
%Fo mamos la ma iz del sis ema:
166
Asys =[APSI AT; BPSI BT];
167
Asys m1=Asys eye(size(Asys ));
168
oc
169
o i=1:Nx,
170
o j=1:Nz,
171
I=(i−1)*Nz+j;
172
Psi(I,1)=0.05*xch(i)^2*(xmax−xch(i))^2*zch(j)^2*(zmax−zch(j))^2;
173
T(I,1)=0.05*sin(3*pi*zch(j));
174
end
175
end
176
AbPsi=spa se([DL, ze os(N ,N )]);
177
AbT=spa se([ze os(N ,N ), speye(N )]);
178
[X, Z]=meshg id(xch,zch);
179
N ime=5e5;
180
o n =1:N ime,
181
n ;
182
=n *d ;
183
% ic
184
bNLPsi(1:N ,1)=(−(Dz*Psi).*(DxDL*Psi)+(Dx*Psi).*(DzDL*Psi))*d −P *Ra/Del aTb*d *
DxThe ae;
185
% iempo1= oc
186
187
bNLT(1:N ,1)=(−(Dz*Psi).*(Dx*T)+(Dx*Psi).*(Dz*T))*d ;
33

34
Capí ulo 3. Mé odo numé ico
188
189
bLinPsi(1:N ,1)=AbPsi*[Psi ; T];
190
bLinT(1:N ,1)=AbT*[Psi ; T];
191
bsys (1:(2*N ),1)=[FBC_PSI.*(bNLPsi+bLinPsi); FBC_T.*(bNLT+bLinT)];
192
bn=Asys m1*bsys ; Psi=bn(1:N ,1); T=bn((N +1):(2*N ),1);
193
194
i n ==10 || n ==N ime*0.2 || n ==N ime*0.4 || n ==N ime/2 || n ==N ime*0.6 || n ==
N ime*0.8 || n ==N ime
195
n
196
o j=1:Nz,
197
Psima (1:Nx,j)=Psi(((1:Nx)−1)*Nz+j,1); Tma (1:Nx,j)=T(((1:Nx)−1)*Nz+j,1);
198
Tphysma (1:Nx,j)=−1/2+The aema (1:Nx,j)/Del aTb+Tma (1:Nx,j)/Ra;
199
end
200
subplo (2,2,1)
201
con ou (X, Z, Psima ')
202
subplo (2,2,2)
203
con ou (X, Z, Tphysma ')
204
Tma _c(n )=Tma (ceil(Nx/2),ceil(Nz/2));
205
Tma _max=max(abs(Tma _c(1:n )));
206
subplo (2,2,3)
207
plo ((1:n )*d ,Tma _c(1:n )/Tma _max)
208
axis([0 N *d −2 2])
209
subplo (2,2,4)
210
plo (Tphysma (ceil(Nx/2),:),zch,' ')
211
axis([−2 2 0 1])
212
pause(0.00001)
213
hold o
214
end
215
end
A con inuación se exponen ambién los códigos de los que hace uso el p og ama p incipal pa a ob ene las
ma ices que pe mi en calcula las de i adas de o ma numé ica,
ma icesx
(línea 6 y 7 del código). Es análogo
pa a la a iable
z
.
1
%% % %SE OMITEN TILDES % % % %
2
%cambia las condiciones como se desee
3
unc ion [Lpx,Dx,Nx,x]=ma icesx(Nx,Nz,x1,xn)
4
x=ze os(1,Nx); x(1)=x1; x(Nx)=xn;
5
%nodos de chebyshe
6
o cl=1:Nx
7
x(cl)=(x(Nx)+x(1))/2−(x(Nx)−x(1))/2*cos((cl−1)/(Nx−1)*pi);
8
end
9
%
10
%de i ada in e polan es
11
num=0;
12
o j=1:Nx
13
o i=1:Nx
14
den=x(i)−x; den(i)=1; den=p od(den); lag=1;
15
i i==j %la exp esion es dis in a cuando coinciden los dos indices, pues apa ecen mas
e minos en el nume ado
16
sumnum=0;
17
o k1=1:Nx
18
i k1~=i
19
num=x(j)−x; num(j)=1; num(k1)=1 ; sumnum=p od(num)+sumnum;
20
end
21
end
22
num=sumnum;
23
Lpx(j,i)=num/den;
24
else
25
num=(x(j)−x);
26
num(j)=1; num(i)=1;
34
3.2. Resolución numé ica
35
27
num=p od(num);
28
Lpx(j,i)=num/den;
29
30
end
31
Lpx(j,i)=num/den; %ma iz con las de i adas de las unciones de Lag ange
32
end
33
end
34
Lpx;
35
Dx=k on(Lpx,eye(Nz));
36
end
Donde en la línea 35 apa ece la unción de Ma lab
k on(A,B)
, que calcula el p oduc o de K onecke
2
de dos ma ices [19], lo cual esul a muy ecien e pa a calcula una ma iz de amaño
(Nx×Nz)×(Nx×Nz) = N ×N
, en el caso de
Dx
, y, análogamen e, la ma iz
Dz
, de amaño
(Nz×Nx)×(Nz×Nx) = N ×N
.
3.2.2. Condiciones de con o no e inicial en el p oblema con pa edes
pa icipa i as en la adiación
En es a sección se a a el p oblema en el que las pa edes son capaces de emi i y abso be adiación
(
Rc >0
). Es des acable sin duda la mane a en la que se ha modelado dicho in e cambio de calo en e
elemen os de pa ed
, habiéndose apoyado en la e e encia [21] ( eánse los capí ulos 12 y 13) y [22]
(especialmen e sección 5.3). Las cla es aquí p opo cionadas ele an es pa a es e es udio son:
En p ime luga , di idi la supe cie de las pa edes en elemen os de pa ed, que se han elegido de al
modo que es án o mados po el amo comp endido en e el pun o medio en e dos nodos consecu i os,
excep o en el caso de se el p ime o úl imo ozo de pa ed den o de uno de los con o nos e icales (u
ho izon ales), es deci , si un ozo de pa ed es á comp endido en e el nodo de una esquina y el an e io
(o pos e io en su caso), en cuyo caso el ozo de pa ed aba ca desde el nodo en la esquina has a el pun o
medio en e los dos nodos an e io es (o pos e io es en su caso). Pa a una mejo explicación y
en endimien o, e gu a 3.2. Además, se han conside ado
supe cies di usas
, en onces sus p opiedades
son independien es de la di ección, y
g ises
, siendo en onces ambién independien es de las longi udes de
onda, además de se uni o mes en cada ozo de supe cie las adiaciones en an es y salien es.
Asimismo, como consecuencia di ec a de las dos hipó esis an e io es, en un ma e ial así desc i o se iene
que su abso i idad
αi
es igual a su emisi idad
i
.
2
El p oduc o de K onecke de dos ma ices A (
p×q
)yB(
m×n
) es una ma iz de amaño
(p×m)×(q×n)
:
A⊗B=









a11 

b11 ... b1n
...
...
...
bm1... bmn

... a1q

b11 ... b1n
...
...
...
bm1... bmn


...
...
...
ap1

b11 ... b1n
...
...
...
bm1... bmn

... apq 

b11 ... b1n
...
...
...
bm1... bmn











35
36
Capí ulo 3. Mé odo numé ico
Figu a 3.2: Rep esen ación esquemá ica explica i a sob e la di isión de los con o nos ho izon ales y e icales
en elemen os de pa ed. Los índices de elemen os en la pa ed son los ep esen ados den o de un cí culo, co-
espondiendo los o os núme os al índice de nodos de con o nos, no incluyendo las esquinas. Obsé ese que el
sen ido seguido es ho a io y que hab á
2Nz+ 2Nx−8
elemen os de pa ed, po
Nw= 2Nz+ 2Nx−4
nodos en
los con o nos.
En segundo luga , pa a ene en cuen a la o ien ación de las dis in as di isiones que con o man las
pa edes, se iene un pa áme o que solo depende de la geome ía de la ca idad, conocido como ac o de
de isión ( e gu a 3.3) o de o ma (
iew o shape ac o
):
Fij
:
acción de adiación que sale de la supe cie i y llega di ec amen e a la supe cie j
.
Figu a 3.3: Fac o de o ma en e supe cies.
Es os ac o es de o ma cuen an con dos p opiedades que se han usado, demos adas en la e e encia
ci ada (Cengel, 2006) [21]:
FijAi=FjiAj,
(3.18)
conocida como
elación de ep ocidad
y
Ne
X
j
Fij = 1,
(3.19)
donde
Ne
es el núme o o al de elemen os de pa ed en la ca idad.
36
3.2. Resolución numé ica
37
Además, se apo a la egla necesa ia pa a el cálculo de los ac o es de o ma pa a ca idades
bidimensionales, que ue dada po
Ho el
, denida como:
Fij =PLc−PLnc
2×Li
,
(3.20)
donde
Lc
ep esen a la longi ud de cue das c uzadas,
Lnc
, la longi ud de cue das no c uzadas y
Li
, la
longi ud de cue da de la supe cie
i
, que se pueden e en la gu a 3.4.
Figu a 3.4: De e minación del ac o de o ma en e dos supe cies: longi udes de cue das c uzadas (
L5y L6
),
no c uzadas (
L3y L4
) y de las supe cies (
L1y L2
).
En e ce luga , eniendo en cuen a que la can idad de adiación que sale de un cue po es la suma de su
calo eejado y del emi ido, eniendo en cuen a las hipó esis del p ime pun o, la ecuación de
S e an-Bol zmann 2.10 y denición de adiosidad
J
, se iene que la adiosidad es igual a:
Ji=iσT4+ (1 −i)Gi,
(3.21)
donde el p ime é mino ep esen a la po encia adia i a de la supe cie
i
y
Gi=PN
j=1 JjFij
es la
i adiancia
, es deci , la po encia inciden e en la supe cie
i
po unidad de á ea.
El balance de ene gía en un elemen o de pa ed puede ob ene se po un lado a pa i de las adiosidades
del es o, su p opia adiosidad y la ganancia ne a
Qij
de calo po o os medios dis in os a la adiación,
como po ejemplo la con ección. Es e úl imo, en el caso de una pa ed aislada, se á igual a la pé dida ne a
de calo debida a la adiación que emi e, dada po la ley de S e an-Bol zman. El balance queda po an o:
Qi
Ai
−Ji+
N
X
j=1
JjFij = 0 ⇒Qi
Ai
=
N
X
j=1
(Ji−Jj)Fij..
(3.22)
A su ez, el balance de ene gía ne a en un elemen o de pa ed ambién se puede calcula a pa i de la
ene gía que sale de ella y la ene gía que abso be:
Qi
Ai
=iσT4
i−iGiAi.
(3.23)
T as expone los pun os an e io es, se a a aho a de encon a una ecuación que si a como
condición de con o no a cumpli po pa e los elemen os de pa ed, imponiéndola en los nodos. En los nodos
pe enecien es a las pa edes aisladas se conoce el calo que in e cambian con el uido po con ección
Qi/Ai
y
se les deno a á po
ic
(o
jc
), mien as que los nodos que pe enezcan a pa edes con empe a u a impues a, se
deno a án
iT
(o
jT
). Consecuen emen e, eniendo en cuen a que en los nodos cuya empe a u a es conocida, si
se sus i uye la i adiancia en unción de la adiosidad, se pueden calcula es as úl imas median e:
Ji =A ad−1
ij bi,
(3.24)
donde
A adij =δij −Fij(1 −i)
, y
bi=σiT4
i
. Así se pueden de e mina los alo es del calo po unidad de
á ea en dichos nodos:
Qi
Ai
=AQijbi,
(3.25)
37
44
Capí ulo 3. Mé odo numé ico
44

Capí ulo 4
Medio pa icipa i o den o de una
ca idad con pa edes con abso ción de
adiación nula
4.1. Pa edes e icales adiabá icas
En es a sección se exponen esul ados sob e el p oblema de con ección con ap oximación de medio
anspa en e cuando las pa edes que es án aisladas no ienen capacidad de abso be o emi i adiación, es
deci , cuando la emisi idad de dichas pa edes

es nula (ma e iales como el o o pulido, el cob e pulido y el
aluminio ienen emisi idades casi nulas), condición que según el modelo desa ollado se co esponde con un
alo
pa áme o de adiación-con ección
Rc
nulo
, pa a ca idades con empe a u a impues a en las
pa edes ho izon ales y e icales adiabá icas y ice e sa. En pa icula , se es udia cómo a ec a aumen a la
impo ancia del pa áme o de adiación,
λ↑
, al núme o de Rayleigh c í ico pa a di e en es alo es de la
elación de aspec os
A=L/H
, donde
xmax =L
y
zmax =H
pa a una ca idad ec angula con pa edes lib es
o ígidas, siendo
x
la coo denada ho izon al y
z
la e ical ( éase gu a 2.4). Además, se es udia ambién
cómo dicho pa áme o inuyen en la
λc
, el núme o de Nussel , e c.
Es e p oblema, como se expuso en el capí ulo 2, es á gobe nado po las ecuaciones 2.28 y 2.29, bajo
las condiciones de con o no 2.31 y 2.32.
4.1.1. Núme o de Rayleigh c í ico: esul ados undamen ales
Es e apa ado es á dedicado al caso de pa edes e icales adiabá icas, pues no exis en una alo
c í ico del núme o de Rayleigh si las pa edes con empe a u a impues a son las e icales, pues ya se ha
comen ado que siemp e es ines able dicho p oblema.
Se iene como obje i o es udia cuál es el núme o de Rayleigh a pa i del cual las pe u baciones
iniciales se p opagan de o ma ines able, pa a el caso de ca idad con pa edes ho izon ales lib es en ca idades
de g an elación de aspec os
A= 10
, e 4.1, y compa a los con esul ados ob enidos po Goody [8], como
pun o de pa ida pa a empeza nue os es udios. De es a misma g áca se oman los alo es del pa áme o
λ
,
que se elaciona con el de la gu a de al o ma que
λ=λ2
G
.
45
46
Capí ulo 4. Medio pa icipa i o den o de una ca idad con pa edes con abso ción de adiación nula
Figu a 4.1: G áca omada como e e encia pa a elegi los alo es de
λG=λ2
, donde
λG
es el pa áme o que
apa ece en el eje ho izon al. Los alo es del núme o de Rayleigh c í ico aquí mos ados, co esponden a los
alo es de la eo ía lineal con pa edes ho izon ales lib es. Obsé ese ambién que se ha usado en es a g áca
una doble escala loga í mica. Es ambién no o io que los alo es del pa áme o
χ
inuyen solo En el caso de
adiación opaca, como es lógico después de lo is o en la eo ía del capí ulo 2 pa a el caso opaco. Se obse a que
los alo es calculados siguen un compo amien o simila al que se p oduce en el lado izquie do de las cu as,
es deci , en el caso de adiación anspa en e, que es el de aumen a conside ablemen e el alo de
Rac
cuando
λG≥10
. Imagen omada de [8].
Así, los esul ados de núme o de Rayleigh c í ico en compa a i a con los de Goody se mues an en la
abla 4.1:
Cuad o 4.1: Tabla compa a i a con los esul ados de Goody de la gu a 4.1.
Si se iene en cuen a la escala loga í mica se obse a que pa a los alo es del pa áme o de
λG
omados ienen el mismo compo amien o que los ecogidos en la abla, poniéndose de manies o el aumen o
de la es abilidad del uido, ya que es capaz de emi i adiación a las pa edes, es abilizándose con mayo
apidez.
Asimismo, pa a una ca idad con pa edes ho izon ales ígidas con empe a u a impues a y pa edes
e icales adiabá icas, pa a una elación de aspec os
A= 2
, se mues a la inuencia del pa áme o de adiación
λ
sob e el núme o de Rayleigh c í ico pa a la misma ca idad en el p oblema de con ección, cuyo esul ado se
46
4.1. Pa edes e icales adiabá icas
47
puede consul a en [1], que ob u o un alo de
Rac= 2014
, en e a los que se han ob enido aquí, a sabe :
Cuad o 4.2: Tabla compa a i a del núme o de Rayleigh c í ico con el caso de con ección na u al si se iene en
cuen a ap oximación de medio anspa en e.
Obsé ese de nue o como al aumen a el pa áme o
λG
, aumen a la es abilidad del uido y po
an o aumen a el núme o de Rayleigh c í ico, siendo muy impo an e el aumen o pa a núme os al os como
λG= 10 ⇒λ= 100
. De es a mane a, se ep oduce el compo amien o que Goody ob u o.
4.1.2. Va iación del
no
de Rayleigh c í ico con la elación de aspec os. Inuencia
del medio
En es e apa ado se analiza cómo a ía el núme o de Rayleigh c í ico cuando las dimensiones de la
ca idad pasan desde una elación de aspec os muy pequeña (A=0.5) has a una elación de aspec os al a.
In ui i amen e, an es de mos a los esul ados se puede comen a qué se espe a ob ene . A p io i, una meno
elación de aspec os, debido a la condición de pa edes e icales ígidas, dicul a que se p oduzcan ollos de
con ección, po lo que el núme o de Rayleigh c í ico a pa i de el cual la con ección sea posible, end á que
aumen a , an o más cuan o mayo sea la inuencia de la p esencia de las pa edes e icales, es o es, a medida
que la elación de aspec os disminuya. Po o o lado, se espe a que compa ando pa a los dis in os alo es de
λ
,
aumen en los núme os de Rayleigh c í icos, como se ha is o en el apa ado an e io . A pos e io i, se incluyen
comen a ios sob e dichos esul ados y se jus ican a pa i de conclusiones y compa aciones con la eo ía
disponible.
A con inuación se mues an los esul ados ob enidos pa a a ios alo es del pa áme o
λ
denido en
la ap oximación óp icamen e na, desde alo es bajos en los que la adiación es inap eciable has a alo es
al os
, habiéndose usado la g áca de Goody (gu a 4.1) como e e encia. De [8] (página 434), eniendo en
cuen a que
χ >> 1
, se ob iene la elación en e el pa áme o de la gu a,
λG
y el del capí ulo 2,
λ
:
λ=λ2
G;
(4.1)
Según los esul ados de Goody, el núme o de Rayleigh c í ico aumen a a pa i de
λG∼1
po se el
alo a pa i del cual la adiación comienza a ene peso cuando la elación de aspec os es g ande
( eó icamen e inni a).
A con inuación se mues a el núme o de Rayleigh c í ico calculado en unción de la elación de
aspec os pa a a ios alo es de
λG
:
Cuad o 4.3: Núme o de Rayleigh c í ico en unción de A pa a a ios alo es del pa áme o
λG
. Ca idad con
pa edes ígidas. Las celdas de la abla que apa ecen en colo azul signican que no se ha calculado el alo
co espondien e, po conside a se innecesa io e i ele an e, pues ya ue on calculados en [1].
47
48
Capí ulo 4. Medio pa icipa i o den o de una ca idad con pa edes con abso ción de adiación nula
Se obse a en la abla an e io que pa a un alo de
λ
dado, a medida que aumen a la elación de
aspec os, el núme o de Rayleigh c í ico disminuye, pues la inuencia de la condición de con o no de igidez o
elocidad nula en las pa edes, se a enúa, debido a que la sepa ación en e ellas a en aumen o. Además, si se
ja una elación de aspec os, a mayo alo de
λ
, mayo alo de
Rac
, a excepción del caso en el que la
elación de aspec os es muy pequeña, A=0.5, donde dicho pa áme o comienza a disminui a pa i del caso en
el que se conside a la pa icipación del medio anspa en e,
λ > 0
, alcanza un mínimo pa a
λG= 5
ap oximadamen e, y luego uel e a aumen a . P obablemen e, es e úl imo
compo amien o
se pueda explica
como que en p ime luga el e ec o del ozamien o de las pa edes ígidas disminuye al pode ansmi i se
ene gía po o o medio, po lo que el compo amien o inicialmen e con
λ↑
es una disminución del núme o de
Rayleigh c í ico. En cambio, cuando el pa áme o aumen a demasiado, la inuencia sob e el medio p o oca su
ápida homogeinización, de al o ma que sea necesa io un núme o de Rayleigh mayo pa a p o oca
ines abilidades en el uido. En cualquie caso, pa a pequeñas elaciones de aspec os posiblemen e se debe ía
de ene en cuen a la pa icipación de las pa edes en la adiación, que es p ecisamen e en lo que se cen a el
capí ulo siguien e, el más impo an e del abajo.
4.1.3. Núme o de Nussel y pe les de empe a u a
El núme o de Nussel
Nu
si e como medida de la elación en e el calo que se asmi e po
con ección (mo imien o) y el calo que se ans e i ía si no exis iese mo imien o (equilib io), po an o si e
pa a gene a una idea de cuán a impo ancia iene, bajo de e minados alo es de los pa áme os del p oblema,
la con ección a la ho a de disipa calo .
Po an o, el núme o de Nussel local
NuL
medido en la pa ed calien e (
x∗= 0
o
z∗= 0
dependiendo del p oblema) esponde a la siguien e denición ma emá ica:
NuL(x) = −K∂T
∂z z=0
−K∂Te
∂z z=0
;
(4.2)
En onces, usando las a iables adimensionales expues as en la sección
Ap oximación
óp icamen e na o anspa en e
, se iene::
NuL(x) =
∂(θe+∆¯
T
Ra T∗)
∂z∗z∗=0
∂θe
∂z∗z∗=0
.
(4.3)
Es con enien e ambién deni un núme o de Nussel local medio,
¯
NuL
, denido como el calo
in e cambiado, eniendo en cuen a la con ección, po el uido a lo la go de la placa (po unidad de iempo y
de longi ud
y
) y el calo in e cambiado en equilib io, ambién po unidad de iempo y de longi ud de la placa
según
y
, que da como esul ado:
¯
NuL=RA
0
∂(θe+∆¯
T
Ra T∗)
∂z∗z∗=0
dx∗
RA
0
∂θe
∂z∗z∗=0 dx∗,
(4.4)
Es a úl ima denición es la que se expond á en los esul ados pa e e i a un g an núme o de
g ácos, a los que se ecu e solo en caso de que se es ime opo uno.
De es a mane a, el núme o de Nussel ha de a ia con la inuencia de la adiación. Pa a es udia lo,
se ha calculado, con los alo es de la gu a 4.1 de
Rac
, el núme o de Nussel medio en unción de
Ra/Rac
,
compa ándolo con el caso en el que no hay adiación, habiéndose ec eado los esul ados del núme o de
Nussel local ob enido po [1]:
48
4.1. Pa edes e icales adiabá icas
49
Figu a 4.2: Núme o de Nussel medio medido en la pa ed calien e, z=0, pa a el caso de con ección na u al, línea
azul, ya esuel o en [1] y pa a los alo es de
λG= 1
,
λG= 5
y
λG= 10
.
En la gu a an e io 4.2, se obse a que el núme o de Nussel local disminuye cuando
λG
(o
λ
)
aumen a. Téngase en cuen a que se ienen dos e ec os que son con apues os en cuan o a su inuencia en es e
núme o adimensional: po un lado, al aumen a el pa áme o
λ
, el núme o de Rayleigh c í ico aumen a, según
se ha is o en la sección an e io , po lo que según es o, el calo disipado po mo imien os con ec i os, pod ía
se mayo (a mayo núme o de Rayleigh mayo in ensidad de la con ección); po o o lado, al aumen a el
alo de
λ
, el medio cada ez iene mayo capacidad de e acua calo po adiación, po lo que el núme o de
Nussel debe ía disminui . Consecuen emen e, ha quedado cla o, as es os esul ados, que el e ec o
homogeneizado de la adiación es supe io al e ec o de ene mayo es alo es de Rayleigh pa a cada pun o
calculado de las g ácas (ya que lo que se ep esen a en el eje ho izon al es el alo
Ra/Rac
, no Ra).
Se mues an a con inuación los dis in os pe les de empe a u a que se ob ienen cuando cambia el
pa áme o de adiación
λ
.
49

50
Capí ulo 4. Medio pa icipa i o den o de una ca idad con pa edes con abso ción de adiación nula
(a) (a)
λG= 0
(b) (b)
λG= 1
(c) (c)
λG= 5
(d) (d)
λG= 10
Figu a 4.3: Pe les de la empe a u a y la de equilib io, adimensionalizadas con la empe a u a media, pa a
a ios alo es de
λ
, jando el pa áme o
Ra/Rac= 2
pa a cada caso.
En las gu as 4.3, donde se ha jado la elación de aspec os en A=2, se obse a en p ime luga que
pa a
z∗= 0
y
z∗= 1
se iene que
Te/Tm= 0.95
y
T/Tm= 1.05
en cualquie a de ellas, debido a la imposición
de las condiciones de empe a u a (
∆¯
T
se ha jado en 0.1). Asimismo, es no o io que medida que
λ
aumen a,
la impo ancia del mo imien o en la ansmisión de calo disminuye, pues la empe a u a o al se hace cada
ez más simila a la empe a u a que exis e solo en equilib io, si no exis iese mo imien o.
4.2. Pa ba oclínico
De o ma in oduc o ia p e ia a la exposición de esul ados se a a explica la di e encia
undamen al exis en e en cuan o a la ísica, cuando las empe a u as es án impues as en pa edes e icales y
cuando es án impues as en las pa edes ho izon ales. En
ausencia
de abso ción de
adiación
po pa e de las
pa edes, Rc=0, el g adien e de empe a u as en el segundo de los casos no depende de la coo denada
x
po lo
que el g adien e de empe a u as es pa alelo al de p esión y po an o el de densidad ambién sigue la misma
di ección. En cambio, en el p ime o de los casos, las condiciones de con o no imponen alo es cons an es de
empe a u a
T1
y
T2
en las pa edes e icales izquie da y de echa, espec i amen e, cumpliéndose que
T1>T2
. Es o p o oca un g adien e de empe a u as ho izon al, que al deja de se pa alelo al g adien e de
50
4.3. Pa edes ho izon ales adiabá icas
51
p esiones, p o oca que el g adien e de densidad ampoco sea pa alelo al de p esiones gene ándose un
pa
ba oclínico
. Es o se explica con mayo g ado de de alles a con inuación.
Debido al no pa alelismo de los g adien es de p esión y densidad, deducción que se ob iene de oma
el g adien e en la ecuación de es ado:
ρ=p
RgT ⇒ ∇ρ=1
RgT ∇p−1
RgT2∇T,
(4.5)
pues
∇T∦∇p
y al desplaza se el cen o de masas de las pa ículas en la di ección del g adien e de
densidad, po se es a no uni o me, al ene en cuen a que las ue zas de p esiones,
−∇pdΩ
, sí es án aplicadas
en el cen o de masas, se c ea un momen o con espec o a él que se conoce como pa ba oclínico ( éase la
gu a 4.4).
Figu a 4.4: Pa ba oclínico, gu a co esía de [6]
El lec o in e esado puede consul a [6] (sección 4.4) pa a más de alles.
La pa e esencial y ele an e de es e enómeno es que en el p oblema que a con inuación se p esen a,
no exis e un núme o de Rayleigh c í ico a pa i del cuál se inicie el mo imien o de con ección, pues exis e la
ines abilidad expues a en cualquie caso.
4.3. Pa edes ho izon ales adiabá icas
Como se ha explicado con an e io idad, en es e caso no exis e un núme o de Rayleigh c í ico, po lo
que la ob ención de esul ados se ha en ocado a g ácas que ep esen en los isocon o nos del campo de
empe a u as, al campo de elocidades y ambién se ob ienen esul ados pa a el núme o de Nussel medio y en
unción de la coo denada
z
. .
4.3.1. Isocon o nos de empe a u a y unción de co ien e
En es e apa ado se ha es udiado cómo a ec a el pa áme o
λ
a los campos de empe a u a y de
unción de co ien e (aquí se obse a su e ec o sob e los ollos de con ección).
51
52
Capí ulo 4. Medio pa icipa i o den o de una ca idad con pa edes con abso ción de adiación nula
(a)
λG= 1
(b)
λG= 4
(c)
λG= 25
(d)
λG= 100
Figu a 4.5: Isocon o nos de los campos de empe a u a y unción de co ien e.
4.4. Resolución del caso opaco
Mención apa e me ece el caso en el que se conside a la
ap oximación opaca
. En el momen o en el
que se ob u ie on las ecuaciones se obse ó que las ecuaciones de Sal zmann álidas pa a la con ección na u al
e an análogas a las que se ob enían pa a es e caso si se eesc ibían como se hizo en 2.52. Po an o se dijo
en onces que el único cambio en el que se pod ían di e encia los alo es de es e caso con los del caso de
con ección na u al, es que los alo es de
Rac
es a ían mul iplicados po un ac o de
1 + χ
, donde
χ=16σT3
m
3κk
,
po an o es e p oblema se p esupone i ial. En cualquie caso, se ha co obo ado que así sucede a a és del
siguien e esul ado: en la gu a 4.6 se ha mues a que el alo numé ico calculado como núme o de Rayleigh
c í ico pa a es a ap oximación, si se ienen pa edes lib es es de
671.3(1 + 103)
con A=10, si
χ= 103
. Es e
alo puede se compa ado con el alo eó ico pa a una ca idad inni a con pa edes lib es, que es
657.25
o
con el alo numé ico calculado en apa ados pos e io es.
52
4.4. Resolución del caso opaco
53
Figu a 4.6:
Ψ∗
e isocon o nos de empe a u a pa a pa edes lib es en el caso de ap oximación opaca.
En conclusión, se ha comp obado que el caso de
ap oximación óp icamen e g uesa
es
ex apolable de los esul ados del p oblema de con ección na u al, po lo de aquí en adelan e se pond á la
a ención en el caso de
ap oximación óp icamen e na
y su compa a i a con el caso de adiación na u al.
De hecho, la long idud c í ica en e dos ollos con ec i os o
pe íodo espacial
,
λc
esul a se , a la is a de la
gu a 4.6:
λc=7.143 −2.857
3/2= 2.857,
que, compa ándolo con el alo de la Teo ía Lineal de Rayleigh de
λc
pa a una ca idad inni a con
pa edes ho izon ales lib es,
λc= 2.828
, asumiendo que pueden exis i pequeños e o es numé icos, se e ue za
la idea de que es e caso an solo die e en el ac o
(1 + χ)
del núme o de Rayleigh.
53
60
Capí ulo 5. Medio no pa icipa i o den o de una ca idad con pa edes con abso ción de adiación no nula
(a)
= 0.7
(b)
= 0.85
(c)
= 1
Figu a 5.4: Isocon o no de empe a u as pa a alo es al os de la emisi idad: obsé ense los e o es numé icos
que se come en en las pa edes ho izon ales en la zona ce cana a las esquinas cuando la emisi idad es igual a la
unidad.
En la gu a an e io se obse a cómo la emisi idad no al e a en exceso el campo de empe a u as,
excep o pa a la gu a 5.4 donde
= 1
en las zonas ce canas a las pa edes e icales, donde en las esquinas en
la pa ed izquie da se o man zonas con empe a u a supe io a la empe a u a de la pa ed calien e, y zonas
con empe a u a in e io a la empe a u a de la pa ed ía, en las esquinas de la de echa de la ca idad.
Na u almen e, es os esul ados no co esponden con la ealidad, ni ampoco con los ob enidos po [24], po lo
que se a an de limi aciones del mé odo numé ico desa ollado.
No obs an e, se ha in en ado a pos e io i desa olla un mé odo eliminando la linealización que an es
se ealizaba, pa a comp oba que e ec i amen e e a la causa aíz de los e o es ob enidos numé icamen e. En
la siguien e sección (
??
) se a a á es e p oblema, como mejo a de los esul ados has a aho a ep oducidos.
5.1.3. Tempe a u a en las pa edes aisladas
En es a sección se ha pues o in e és en calcula la e olución de la empe a u a en las pa edes
aisladas, pa a obse a cómo a ec an la emisi idad y el núme o de Rayleigh, es deci la inuencia de la
adiación y de la con ección, a la dis ibución de empe a u a que alcanzan en las pa edes ho izon ales. Como
60

5.1. Pa edes con abso ción de adiación no nula. Resolución numé ica del p oblema pa a una ca idad
ec angula con pa edes ho izon ales adiabá icas
61
e e encia pa a es os esul ados se pueden consul a las g ácas de la página 193 de la e e encia [3].
(a)
Ra = 103
,
= 0
(b)
Ra = 7 ·104
,
= 0
(c)
Ra = 103
,
= 0.5
(d)
Ra = 7 ·104
,
= 0.5
(e)
Ra = 103
,
= 1
( )
Ra = 7 ·104
,
= 1
Figu a 5.5: Pe les de empe a u a a lo la go de las pa edes aisladas.
61
62
Capí ulo 5. Medio no pa icipa i o den o de una ca idad con pa edes con abso ción de adiación no nula
En p ime luga se obse a que a mayo núme o de Rayleigh, mayo es la di e encia de empe a u a
en e las pa edes aisladas, especialmen e en el caso en el que no se conside a adiación, lo cual quie e deci que
el anspo e de calo po con ección calien a de o ma no o ia a la pa ed supe io y en ía a la in e io cuando
la eci culación aumen a (Ra aumen a), cuyas empe a u as solo se igualan en
x∗= 0
y
x∗= 1
po condición
de con o no. De hecho, si no hubiese mo imien os de con ección (Ra=0), ambas pa edes end ían la misma
empe a u a. Po o o lado, al aumen a la emisi idad pa a ene en cuen a las pa edes, se halla que la
conside ación de la adiación acili a la equidad de las empe a u as en e las pa edes aisladas, ya que pueden
in e cambia calo en e sí di ec amen e y no solo a a és del uido.
5.2. Co ección de los esul ados: condiciones de con o no sin
linealiza
En es e apa ado se expone el p oceso seguido pa a el desa ollo de un nue o código más p eciso que
el de la e sión an e io , a n de compa a esul ados pa a alo es de emisi idad al os, donde se encon aban
allos. La di e encia adica en que no se linealiza la empe a u a, la cual se a a conside a como la suma de
es é minos:
T=Tm+T0+T+T0
e,
como se ha hecho an e io men e. Cabe des aca que pa a el código se man iene la no ación de
índices y el nomb e de las ma ices que se ha usado en la sección an e io . A con inuación se explica cómo se
han impues o las condiciones de con o no en el p og ama pa a el cálculo de la empe a u a de equilib io (es
deci , ob iando la hid odinámica), y de mane a análoga se p ocede con la empe a u a comple a. De es e
modo, en el equilib io, en p ime luga se iene la condición que se ha de cumpli en las pa edes con
empe a u a impues a:
∂T
∂ −α∇2T= 0;
(5.3)
Pa a impone la condición de con o no en una pa ed aislada hay que hace un balance en e los calo es
in e cambiados po con ección con el uido y el calo ne o in e cambiado po adiación, de al modo que:
K∂T
∂z ∓Q = 0; pa az=(0
H
(5.4)
Se ha op ado po in oduci las a iables adimensionales
x∗
,
z∗
y
∗
ya p esen adas p e iamen e (se
omi i án los supe índices po comodidad), además de una a iable adimensional de empe a u a de equilib io
θE
:
T=Tm+ (T1−T2)θE; donde Tm=T1+T2
2,
(5.5)
cuyo subíndice
E
se omi e en adelan e po comodidad, de al modo que se deno a
θ≡θE
.
Así, la ecuación 5.3 queda ía:
∂θ
∂ − ∇2θ= 0
Disc e iz.
=====⇒Tn−Tn−1
d −DL ∗Tn= 0 ⇒eye(N )−d ∗DL)Tn=Tn−1,
(5.6)
donde el subíndice
n
ep esen a la i e ación ac ual en el iempo y
n−1
, la an e io , que es conocida y a la
ma iz
eye(N )−d ∗DL
se le deno a en adelan e y en el código po
BT E
.
Pa a la ecuación pa a pa ed aislada 5.4, usando el desa ollo comple o de la exp esión
(1 + θ/θ0)4
,
donde
θ0= 1/∆¯
T
y eniendo en cuen a que el calo que ecibi ía un elemen o de pa ed se ía nulo si odos los
62
5.2. Co ección de los esul ados: condiciones de con o no sin linealiza
63
elemen os es u iesen a la misma empe a u a, condición que se exp esa como:
Nwall
X
j=1
AQicjjσ·1=0,
(5.7)
se iene que la ecuación 5.4 se con ie e en:
1∂θ
∂z ic
−nic
Rcθ0
4
Nwall
X
j=1
AQicjjgjθn,donde nic=(1si z = 0
−1si z =zmax ,
(5.8)
donde
gj
es la ap oximación numé ica
4/θ0+ 6θn−1/θ2
0+ 4θ2
n−1/θ3
0+θ3
n−1/θ4
0
, de al mane a que pa a cada
i e ación en el iempo ep esen e un alo conocido, y que se ha ob enido de una ap oximación del desa ollo
de
(1 + θ/θ0)4
y usa 5.7.
Pa a implemen a las condiciones de con o no de empe a u a impues a (obsé ese que co esponden
con
θ= 1/2
en
x= 0
y
θ=−1/2
en
x=xmax
) es necesa io impone en la ma iz del sis ema de la
empe a u a de equilib io
BT E
, como se ha hecho en epe idas ocasiones, los siguien es cambios:
Teniendo el nodo de la pa ed iden icado con su índice
I
, se anula dicha la
I
comple amen e.
El elemen o
BT E(I, I)
se hace igual a la unidad.
Po úl imo, en el elemen o
I
del ec o que almacena los é minos independien es (llamado
bTE
) se
asigna el alo de
±1/2
según si co esponde a uno nodo de la pa ed calien e,
x= 0
, o ía,
x= 1
.
Pa a implemen a la condición de con o no dada po 5.8, que es la pa e más compleja e in e esan e,
se siguen los pasos siguien es:
Siguiendo la no ación usada en el capí ulo de Mé odo numé ico, se denen a ios índices pa a hace
e e encias a los nodos y a los paneles de los con o nos, a sabe : un índice
kw
pa a paneles con condición
de calo impues a (pa edes ho izon ales en es e caso) al que empieza nume ando como p ime panel al
panel que se si úa en e el p ime nodo de la esquina supe io izquie da y el pun o medio en e los dos
nodos siguien es. A pa i de ahí, en la pa ed supe io eco e de izquie da a de echa (es deci los
p ime os Nx-2 paneles) y con inúa en la pa ed in e io de de echa a izquie da (nume ando po an o los
Nx-2 paneles de es a pa ed). Adicionalmen e, a cada panel
kw
le co esponde un índice
ic
asociado a la
enume ación o iginal de los paneles usada en el p og ama p e io (empieza nume ando po el con o no
izquie do en la zona in e io y en sen ido ho a io desde ese p ime panel). Además, pa a eco e el es o
de paneles habiendo jado uno
ic
, se u iliza un índice
j
que eco e odos los paneles de los con o nos, ya
sean paneles con empe a u a impues a o aislados, po lo que
j=1:Nwall
, siendo
Nwall = 2 ∗Nx + 2 ∗Nz −8
. Po úl imo, cada índice
I
denido al p incipio del capí ulo de Mé odo
numé ico es á elacionado con un pa
(ic, j)
.
Una ez explicados los índices que se han usado, se exponen las ma ices y ec o es c eados con el n de
expone la condición de con o no de pa ed aislada sin linealiza las empe a u as. En p ime luga se
c ea una ma iz auxilia
BT EauxBC
pa a almacena los alo es del segundo é mino de la ecuación 5.8,
es deci , pa a cada nodo de las pa edes aisladas se almacena en una la de
N
columnas los alo es
−no malH(kw)Rc/4∗AQ(ic, j)(j)
, donde
no malH(kw)
iene un alo de 1 si
1≤kw ≤Nx −2
o un
alo de -1 si
Nx −1≤kw ≤2∗Nx −4
y la ma iz
AQ
es la misma que la del apa ado 3.2. Después, se
c ea un ec o auxilia de
N
componen es, de al modo que la componen e
J
(co espondien e a la
columna
J
de la ma iz BTEauxBC) de dicho ec o es 1 si
J
es un nodo de los con o nos y ce o si no
pe enece a los con o nos. Es e ec o si e pa a ene en cuen a que sólo ansmi en calo , según el
é mino
−nic
Rcθ0
4PNwall
j=1 AQicjjσgjθn
, los paneles que pe enecen al con o no.
Pa a naliza , éngase en cuen a que debido a que la condición de con o no en los paneles aislados
depende de la empe a u a cambian e de los paneles de la o a pa ed aislada, po lo que la condición de
con o no cambia cada ez que se p oduce una i e ación. Es o lle a a ecalcula lo que se ha llamado
aux
en el p og ama, que con iene los alo es de la exp esión de
gj
en los nodos que pe enecen a
paneles del con o no. Debido a es o, la ma iz del sis ema,
BT E
, cambia con cada i e ación del iempo,
po lo que hay que in e i la pa a esol e lo en cada i e ación.
63
64
Capí ulo 5. Medio no pa icipa i o den o de una ca idad con pa edes con abso ción de adiación no nula
Pa a el cálculo de la empe a u a
T∗
las líneas de código necesa ias son p ác icamen e análogas a las
que se han necesi ado pa a el cálculo de la empe a u a de equilib io. Del mismo modo, se puede ap o echa el
nue o p og ama pa a la ob ención de esul ados en el caso en el que las pa edes aisladas son las e icales.
Simplemen e Pa a ob ene la empe a u a con la hid odinámica hay que ene en cuen a que en el desa ollo
de la ecuación 5.8 iene que oma se su exp esión comple a:
T=Tm1 + θE
θ0
+T∗
Raθ0,
(5.9)
quedando así la ecuación de la condición de con o no deni i amen e:
∂T∗
∂z (n)−nic
Rcθ0
4
Nwall
X
j=1
AQijjT∗(n)
"41 + θE
θ031
θ0
+ 6 1 + θE
θ02T∗(n−1)
Raθ2
0
+1 + θE
θ0T∗2(n−1)
Ra2θ3
0
+T∗3
Ra3θ4
0#= 0,
(5.10)
donde se ha desa ollado la exp esión de
T4
y se ha usado la condición de equilib io 5.8.
5.2.1. Código mejo ado
En es e apa ado se expone la e sión del código sin uso de linealización pa a el caso en el que las
empe a u as es án impues as en las pa edes e icales.
1
2
3
clea all;
4
close all;
5
clc;
6
%
_____PARAMETRES_____ %
7
P =0.73;
8
Ra=1e5; he a0=29.35; Del aTb=1/ he a0;
9
10
Tm=293.5;
11
Del aT=10; %NOT Del aTb
12
be a_nu_alpha=3.7836e+05; %le 's keep his as a cons an
13
d=(Ra/Del aT/be a_nu_alpha)^(1/3); %as a unc ion o he es o he pa ame e s. This alue is
needed o calcula e RaAki
14
sigma=5.67e−8; %cons an
15
K=0.0257; %conduc i i y a Tm
16
emissi i y=1;
17
18
RcAki=Tm^3*sigma*d* he a0/K;
19
20
i emissi i y>0
21
Rc=4*RcAki*Del aTb/emissi i y;
22
else
23
Rc=0;
24
end
25
26
27
d =0.0001;
28
%
______GEOMETRY_____ %
29
30
zmin=0; zmax=1;
31
%Chebyshe nodes
64
5.2. Co ección de los esul ados: condiciones de con o no sin linealiza
65
32
Nz=30;
33
zch(1:Nz)=(zmax+zmin)/2−(zmax−zmin)/2*cos(((1:Nz)−1)*pi/(Nz−1));
34
35
xmin=0; xmax=1;
36
%Chebyshe nodes
37
Nx=30;
38
xch(1:Nx)=(xmax+xmin)/2−(xmax−xmin)/2*cos(((1:Nx)−1)*pi/(Nx−1));
39
ic
40
%
_____MATRICES____ %
41
[lpx]=dCheby(xch,Nx);
42
[lpz]=dCheby(zch,Nz);
43
lx=eye(Nx);
44
lz=eye(Nz);
45
N =Nz*Nx;
46
47
o i=1:Nx
48
o j=1:Nz
49
I=(i−1)*Nz+j;
50
X(I)=xch(i); Z(I)=zch(j);
51
o m=1:Nx,
52
Ki=(m−1)*Nz+1;
53
K =(m−1)*Nz+Nz;
54
Dx(I,Ki:K )=lpx(i,m)*lz(j,1:Nz);
55
Dz(I,Ki:K )=lx(i,m)*lpz(j,1:Nz);
56
end
57
end
58
end
59
%
60
%
61
Nwall=2*Nx+2*Nz−8;
62
kw1L=1; kw2L=Nz−2;
63
kw1U=Nz−1; kw2U=Nx+Nz−4;
64
kw1R=Nx+Nz−3; kw2R=Nx+2*Nz−6;
65
kw1B=Nx+2*Nz−5; kw2B=2*Nx+2*Nz−8;
66
o kw=1:Nwall,
67
i kw>=kw1L && kw<=kw2L,
68
Iwall(kw)=kw+1; Iw1=Iwall(kw)−1; Iw2=Iwall(kw)+1;
69
end
70
i kw>=kw1U && kw<=kw2U,,
71
Iwall(kw)=(kw−kw1U+2)*Nz; Iw1=Iwall(kw)−Nz; Iw2=Iwall(kw)+Nz;
72
end
73
i kw>=kw1R && kw<=kw2R,
74
Iwall(kw)=Nx*Nz−(kw−kw1R+1); Iw1=Iwall(kw)+1; Iw2=Iwall(kw)−1;
75
end
76
i kw>=kw1B && kw<=kw2B
77
Iwall(kw)=(Nx−1)*Nz+1−(kw−kw1B+1)*Nz; Iw1=Iwall(kw)+Nz; Iw2=Iwall(kw)−Nz;
78
79
end
80
Iw=Iwall(kw);
81
xwall(kw,1)=(X(Iw1)+X(Iw))/2; xwall(kw,2)=(X(Iw2)+X(Iw))/2;
82
zwall(kw,1)=(Z(Iw1)+Z(Iw))/2; zwall(kw,2)=(Z(Iw2)+Z(Iw))/2;
83
i (kw−kw1L)*(kw−kw1U)*(kw−kw1R)*(kw−kw1B)==0,
84
xwall(kw,1)=X(Iw1);
85
zwall(kw,1)=Z(Iw1);
86
end
87
i (kw−kw2L)*(kw−kw2U)*(kw−kw2R)*(kw−kw2B)==0,
88
xwall(kw,2)=X(Iw2);
89
zwall(kw,2)=Z(Iw2);
90
end
91
% [kw Iw Iw1 Iw2]
92
% [kw Iwall(kw) Iw1 Iw2 xwall(kw,1) xwall(kw,2)]
65

66
Capí ulo 5. Medio no pa icipa i o den o de una ca idad con pa edes con abso ción de adiación no nula
93
%pause
94
end
95
%
96
% Emissi i ies and View ac o s by Ho el's ule
97
%
98
%emiss(1:Nwall)=0.7;
99
emiss(1:Nwall)=emissi i y;
100
o kw=1:Nwall,
101
x1A=xwall(kw,1); x2A=xwall(kw,2);
102
z1A=zwall(kw,1); z2A=zwall(kw,2);
103
Long(kw)=sq ((x2A−x1A)^2+(z2A−z1A)^2);
104
o mw=1:Nwall,
105
x1B=xwall(mw,1); x2B=xwall(mw,2);
106
z1B=zwall(mw,1); z2B=zwall(mw,2);
107
L1A1B=sq ((x1A−x1B)^2+(z1A−z1B)^2);
108
L2A2B=sq ((x2A−x2B)^2+(z2A−z2B)^2);
109
L2A1B=sq ((x2A−x1B)^2+(z2A−z1B)^2);
110
L1A2B=sq ((x1A−x2B)^2+(z1A−z2B)^2);
111
F iew(kw,mw)=(L1A1B+L2A2B−L1A2B−L2A1B)/2/Long(kw);
112
end
113
F iew(kw,kw)=0;
114
end
115
Iden =eye(Nwall);
116
o kw=1:Nwall,
117
Femiss(kw,1:Nwall)=emiss(kw)*F iew(kw,:);
118
A ad(kw,1:Nwall)=Iden (kw,:)−(1−emiss(kw))*F iew(kw,:);
119
end
120
A adm1=in (A ad);
121
AQ=Iden −Femiss*A adm1;
122
%
123
DL=Dx*Dx+Dz*Dz;
124
DL2=DL*DL;
125
DxDL=Dx*DL;
126
DzDL=Dz*DL;
127
%
128
% P epa ing BC's:
129
NwallH=2*(Nx−2);
130
NwallT=2*(Nz−2);
131
kwallT(1:NwallH)=[kw1L:kw2L, kw1R:kw2R];
132
nwallT(1:NwallH)=[ones(1,kw2L−kw1L+1), −ones(1,kw2R−kw1R+1)];
133
kwallH(1:NwallT)=[kw1U:kw2U, kw1B:kw2B];
134
nwallH(1:NwallH)=−[ones(1,kw2U−kw1U+1), −ones(1,kw2B−kw1B+1)];
135
BTauxBC=ze os(NwallH,N ); TauxBC=ze os(1,N ); no malH=ze os(N ,N );
136
o kw=1:NwallH;
137
ic=kwallH(kw); Ic=Iwall(ic); IwH(kw)=Ic;
138
o mw=1:NwallH
139
jc=kwallH(mw); Jc=Iwall(jc);
140
BTauxBC(kw,Jc)=−nwallH(kw)*Rc* he a0/4*AQ(ic,jc)*emiss(jc);
141
TauxBC(1,Jc)=1;
142
end
143
o nw=1:NwallT,
144
jT=kwallT(nw); JT=Iwall(jT);
145
BTauxBC(kw,JT)=−nwallH(kw)*Rc* he a0/4*AQ(ic,jT)*emiss(jT);
146
TauxBC(1,JT)=1;
147
end
148
end
149
%EQUILIBRIUM
150
%
151
d e=10*d ;
152
BTE=eye(N )−d e*DL;
153
bTE=ze os(N ,1);
66
5.2. Co ección de los esul ados: condiciones de con o no sin linealiza
67
154
BC(1:N ,1)=0; In (1:N ,1)=1;
155
%
156
157
o j=1:Nz,
158
I1=j;
159
I2=(Nx−1)*Nz+j;
160
161
BTE(I1,:)=0; BTE(I1,I1)=1; bTE(I1,1)=1/2; BC(I1,1)=1; In (I1,1)=0;
162
BTE(I2,:)=0; BTE(I2,I2)=1; bTE(I2,1)=−1/2; BC(I2,1)=1; In (I2,1)=0;
163
end
164
165
he a0=1/Del aTb; he a02= he a0* he a0; he a03= he a02* he a0; he a04= he a03* he a0;
166
The anm1(1:N ,1)=−1/2;
167
o i =1:10000,
168
[i ]
169
aux1=TauxBC.*The anm1';
170
aux2= aux1.* aux1;
171
aux3= aux2.* aux1;
172
aux =4/ he a0+6* aux1/ he a02+4* aux2/ he a03+ aux3/ he a04;
173
o kw=1:NwallH
174
Ikw=IwH(kw);
175
BTE(Ikw,:)=Dz(Ikw,:)+BTauxBC(kw,:).*aux (1,:);
176
BC(Ikw,1)=1; In (Ikw,1)=0;
177
end
178
% BTEin =in (BTE);
179
% The an=BTEin *( BC.*bTE+ In .*The anm1);
180
AUX= BC.*bTE+ In .*The anm1;
181
The an=BTE AUX;
182
o j=1:Nz,
183
xma (1:Nx,j)=xch(1:Nx)'; zma (1:Nx,j)=zch(j);
184
The anm1ma (1:Nx,j)=The anm1(((1:Nx)−1)*Nz+j,1);
185
end
186
mesh(xma ,zma ,The anm1ma )
187
pause(0.001)
188
hold o
189
i max(abs(The anm1−The an)) <= 10^−5,
190
b eak
191
end
192
The anm1=The an;
193
end
194
[max(abs(The anm1−The an))]
195
The aE=The an;
196
pause
197
198
The ae=Del aTb*The aE;
199
DxThe ae=Dx*The ae; DzThe ae=Dz*The ae;
200
o j=1:Nz,
201
The aema (1:Nx,j)=The ae(((1:Nx)−1)*Nz+j,1);
202
end
203
o I=1:N ,
204
aux1(I,:)=Dz(I,:)*DxThe ae(I,1);
205
aux2(I,:)=Dx(I,:)*DzThe ae(I,1);
206
end
207
%
208
AuxThe ae=1+The ae';
209
AuxThe ae2=AuxThe ae.*AuxThe ae;
210
AuxThe ae3=AuxThe ae2.*AuxThe ae;
211
212
%
_____BOUNDARY CONDITIONS_____ %
213
214
APSI=DL−d *P *DL2;
67
68
Capí ulo 5. Medio no pa icipa i o den o de una ca idad con pa edes con abso ción de adiación no nula
215
AT=d *P *Dx;
216
BPSI=Ra/Del aTb*d *(aux1−aux2);
217
BT=eye(N )−d *DL;
218
%Bounda y condi ions ac o s
219
FBC_PSI=ones(N ,1);
220
FBC_T=ones(N ,1);
221
222
o i=2:(Nx−1)
223
I=(i−1)*Nz+1;
224
APSI(I,:)=0; APSI(I,I)=1; FBC_PSI(I,1)=0; AT(I,:)=0;
225
I=(i−1)*Nz+Nz;
226
APSI(I,:)=0; APSI(I,I)=1; FBC_PSI(I,1)=0; AT(I,:)=0;
227
end
228
229
o j=1:Nz
230
I=j;
231
APSI(I,:)=0; APSI(I,I)=1; FBC_PSI(I,1)=0; AT(I,:)=0;
232
I=(Nx−1)*Nz+j;
233
APSI(I,:)=0; APSI(I,I)=1; FBC_PSI(I,1)=0; AT(I,:)=0;
234
end
235
236
o i=3:(Nx−2)
237
K=(i−1)*Nz+2;
238
APSI(K,:)=Dz((K−1),:); FBC_PSI(K,1)=0; AT(K,:)=0;
239
K=(i−1)*Nz+Nz−1;
240
APSI(K,:)=Dz((K+1),:); FBC_PSI(K,1)=0; AT(K,:)=0;
241
end
242
243
o j=2:(Nz−1)
244
K=(2−1)*Nz+j;
245
APSI(K,:)=Dx((K−Nz),:); FBC_PSI(K,1)=0; AT(K,:)=0;
246
K=(Nx−2)*Nz+j;
247
APSI(K,:)=Dx((K+Nz),:); FBC_PSI(K,1)=0; AT(K,:)=0;
248
end
249
%
250
251
o i=1:Nx,
252
o j=1:Nz,
253
I=(i−1)*Nz+j;
254
Psi(I,1)=0.05*xch(i)^2*(xmax−xch(i))^2*zch(j)^2*(zmax−zch(j))^2;
255
T(I,1)=0.05*sin(3*pi*zch(j));
256
end
257
end
258
AbPsi=spa se([DL, ze os(N ,N )]);
259
AbT=spa se([ze os(N ,N ), speye(N )]);
260
261
[X, Z]=meshg id(xch,zch);
262
%
263
igu e
264
N ime=5000;
265
o n =1:N ime,
266
=n *d ;
267
%
268
%BPSI y BT:
269
o j=1:Nz
270
I=(1−1)*Nz+j;
271
BPSI(I,:)=0; BT(I,:)=0; BT(I,I)=1; FBC_T(I,1)=0;
272
I=(Nx−1)*Nz+j;
273
BPSI(I,:)=0; BT(I,:)=0; BT(I,I)=1; FBC_T(I,1)=0;
274
end
275
aux1=TauxBC.*T';
68
5.2. Co ección de los esul ados: condiciones de con o no sin linealiza
69
276
aux2= aux1.* aux1;
277
aux3= aux2.* aux1;
278
aux =4*AuxThe ae3/ he a0+6*AuxThe ae2.* aux1/ he a02/Ra+4* aux2.*AuxThe ae/Ra^2/ he a03+
aux3/Ra^3/ he a04;
279
o kw=1:NwallH
280
Ikw=IwH(kw);
281
BT(Ikw,:)=Dz(Ikw,:)+BTauxBC(kw,:).*aux (1,:);
282
FBCT(Ikw,1)=1;
283
end
284
Asys =[APSI AT; BPSI BT];
285
bNLPsi(1:N ,1)=(−(Dz*Psi).*(DxDL*Psi)+(Dx*Psi).*(DzDL*Psi))*d −P *Ra/Del aTb*d *
DxThe ae;
286
bNLT(1:N ,1)=(−(Dz*Psi).*(Dx*T)+(Dx*Psi).*(Dz*T))*d ;
287
bLinPsi(1:N ,1)=AbPsi*[Psi ; T];
288
bLinT(1:N ,1)=AbT*[Psi ; T];
289
bsys (1:(2*N ),1)=[FBC_PSI.*(bNLPsi+bLinPsi); FBC_T.*(bNLT+bLinT)];
290
bn=Asys bsys ; Psi=bn(1:N ,1); T=bn((N +1):(2*N ),1);
291
o j=1:Nz,
292
Psima (1:Nx,j)=Psi(((1:Nx)−1)*Nz+j,1); Tma (1:Nx,j)=T(((1:Nx)−1)*Nz+j,1);
293
Tphysma (1:Nx,j)=−1/2+The aema (1:Nx,j)/Del aTb+Tma (1:Nx,j)/Ra;
294
end
295
subplo (2,2,1)
296
con ou (X, Z, Psima ')
297
subplo (2,2,2)
298
con ou (X, Z, Tphysma ')
299
Tma _c(n )=Tma (ceil(Nx/2),ceil(Nz/2));
300
Tma _max=max(abs(Tma _c(1:n )));
301
subplo (2,2,3)
302
plo ((1:n )*d ,Tma _c(1:n )/Tma _max)
303
axis([0 N *d −2 2])
304
subplo (2,2,4)
305
plo (Tphysma (ceil(Nx/2),:),zch,' ')
306
axis([−2 2 0 1])
307
pause(0.01)
308
hold o
309
end
5.2.2. Tempe a u a de equilib io
A con inuación se p esen a la empe a u a de equilib io, ya calculada con el p og ama an e io , pa a
a ios alo es de los pa áme os Rc y

, a n de es udia su inuencia:
69
76
Capí ulo 5. Medio no pa icipa i o den o de una ca idad con pa edes con abso ción de adiación no nula
(a)
= 0
(b)
= 0
Figu a 5.13: Pe l de empe a u as pa a pa edes con emisi idad nula y unidad.
76

Capí ulo 6
Conclusiones y líneas de desa ollo
En es e abajo se ha es udiado la inuencia de la adiación en el mo imien o de con ección de
Rayleigh-Béna d, con ap oximación de medio anspa en e (p incipalmen e) y opaco, lo cual supone un
a amien o simplicado del medio pa icipa i o, el gas ence ado en la ca idad. Se han conside ado dos
pa edes adiabá icas, lo cual conlle a la necesidad de modela las condiciones de con o no, que se han
implemen ado median e el uso de un pa áme o de adiación-con ección y conside ando la capacidad de emi i
adiación po pa e de las pa edes, incluso se puede asigna una emisi idad di e en e a cada uno de los paneles
de las pa edes (es udio que aquí no se ha hecho, omando odos los paneles del con o no con una misma
emisi idad) y dos pa edes con empe a u a impues a.
La mo i ación p incipal de es e abajo, cuyos esul ados han hecho hincapié en el p oblema (el
capí ulo 5 es sin duda el capí ulo más impo an e del ema) en el que un medio no es pa icipa i o pe o las
pa edes de la ca idad que lo encie an sí que in e cambian calo po adiación, se debe a su aplicación a
ho nos indus iales donde el medio (ai e) al es a compues o p incipalmen e po moléculas no pola es se puede
conside a no pa icipa i o, mien as que sus pa edes sí que in e cambian calo . De hecho, una esis doc o al
ecien e (2007) [26] es á cen ada en el modelado de la adiación en ho nos y cáma as de combus ión.
Asimismo, en acondicionamien o de habi aciones de edicios ambién se encuen a una si uación simila ( e
la ci a [4], donde se es udia es e ema). De hecho, pa a es udia un caso de es e es ilo, como u u a mejo a, se
pod ía di idi la ca idad es udiada en a ios compa imen os simulando salas. Po o o lado, el o o p oblema
es udiado, el caso de medio pa icipa i o, se puede da po ejemplo en el ai e, que se puede conside a un
medio pa icipa i o siemp e y cuando las dis ancias que ha de eco e en él son muy g andes, como es el caso
de la a mós e a.
En cuan o al mé odo de esolución del p oblema se ha u ilizado el mé odo de colocación con
polinomios de Lag ange usando nodos de Chebyshe , lo cual acili a la con e gencia de los esul ados al
aumen a el núme o de nodos. De es a o ma, con códigos que pod ían desa olla alumnos que engan
conocimien os de MATLAB se demues a que es posible calcula esul ados que hace an solo unas décadas no
había posibilidad de ob ene , sal o con cálculos engo osos y usando demasiadas simplicaciones si se que ía
llega a alguna solución de un p oblema an complejo. G acias a esos códigos del capí ulo 4, se han
ep oducido en p ime luga y con al a p ecisión los esul ados de Goody de es abilidad lineal, calculándose los
núme os de Rayleigh c í icos y posibili ándose ambién el es udio de es abilidad no lineal con los códigos
implemen ados. Además, se ha es udiado cómo a ec a el pa áme o de adiación
λ
al núme o de Nussel
denido en la pa ed calien e y ambién cómo a ía es e pa a un alo nulo de dicho pa áme o (medio
o almen e anspa en e) pe o con pa edes que pueden in e cambia calo po adiación en e sí, es deci , pa a
alo es no nulos del pa áme o de adiación-con ección y de la emisi idad de las pa edes. Es impo an e no a
ambién que, a di e encia de las ci as apo adas como bibliog a ía que se cen an en los esul ados del égimen
es aciona io, con es os códigos se puede es udia la e olución empo al de la a iable en la que se enga in e és.
Como posibles líneas de ampliación de es e p oyec o se iene un g an abanico de posibilidades.
Quizás la ex ensión más e iden e es la ep oducción del mismo p oblema pe o de mane a idimensional, pe o
hay o as muchas que se pod ían aplica . Po ejemplo, se puede amplia el es udio pa a medios que no se
puedan ap oxima ni como anspa en es ni como opacos. A su ez, hay casos que debido a las ap oximaciones
ealizadas sob e las empe a u as en las pa edes, cuya di e encia es pequeña, es una hipó esis que no puede
aplica se en odos los p oblemas: po ejemplo, en a mós e a de es ellas, el gas se puede conside a como un
77
78
Capí ulo 6. Conclusiones y líneas de desa ollo
medio opaco, pe o la di e encias de empe a u as es muy des acable, po lo que hab ía que usa o o ipo de
hipó esis menos simplica i as pa a es udia lo. También se ía posible ahonda más en algunos de los
p oblemas esuel os y modica las condiciones de con o no de pa ed ígida o lib e en ellos o es udia
ca idades con dis in as elaciones de aspec os ap o echando los mismos códigos que aquí se han desa ollado.
Téngase en cuen a que el obje i o no e a el de apo a un sin ín de esul ados sin explica , si no solo es udia
algunos pa áme os de in e és como el núme o de Nussel o los campos de empe a u a y elocidad o unción
de co ien e, como se ha hecho. O a p opues a se ía la posibilidad de ex ende el es udio de los p oblema pa a
alo es muy al os del núme o de Rayleigh, de al modo que se alcance un égimen u bulen o (se necesi a ía
ambién desa olla un modelo idimensional) ya que en los esul ados ob enidos pa a
Ra ≥106
se pie de
p ecisión, como se io en el capí ulo 5. Pa a naliza , ambién se pod ía implemen a la di isión de la ca idad
en a ios compa imen os pa a es udia la ans e encia de calo en e las pa edes de un edicio, como se ha
desc i o en pá a os p e ios.
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