XX Cong eso de Ecuaciones Di e enciales y Aplicaciones
X Cong eso de Ma em´
a ica Aplicada
Se illa, 24-28 sep iemb e 2007
(pp. 1–8)
Conexiones Globales en Sis emas T idimensionales
Lineales a T ozos
Vic o iano Ca mona1, Fe nando Fe n´
andez-S´
anchez1,
Elisabe h Ga c´
ıa1, An onio E. Te uel2
1Dp o. de Ma em´a ica Aplicada II, Uni e sidad de Se illa, Escuela Supe io de Ingenie os, E-41092
Se illa. E-mails: ca m[email p o ec ed], e es[email p o ec ed], ega [email protected].
2Dp o. de Ma em´a icas e In o m´a ica, Uni e sidad de las Islas Balea es, E-07122 Palma de Mallo ca.
E-mail: an onioe. e [email protected].
Palab as cla e: Sis emas lineales a ozos, homoclina, he e oclina, pun o-T
Resumen
P esen amos en es a comunicaci´on una ´ecnica pa a p oba de o ma anal´ı ica la
exis encia de conexiones globales en sis emas din´amicos con inuos lineales a ozos.
M´as conc e amen e, u ilizamos es a ´ecnica pa a demos a la exis encia de dos cone-
xiones homoclinas di ec as (aquellas que co an al plano de sepa aci´on exac amen e
dos eces) y un ciclo he e oclino di ec o ipo pun o-T (cuya conexi´on po las a ie-
dades unidimensionales co a exac amen e es eces al plano de sepa aci´on mien as
que su conexi´on po las a iedades bidimensionales s´olo lo ha ´a en un pun o) en una
amilia unipa am´e ica de sis emas idimensionales con inuos lineales a ozos con
dos zonas, e e sibles y con azas nulas.
1. In oducci´on.
En el an´alisis del compo amien o din´amico de un sis ema idimensional de ecuaciones
di e enciales esul a in e esan e la de e minaci´on de sus posibles conexiones homoclinas
y he e oclinas ya que, como es bien sabido, o ganizan una es uc u a din´amica ica y
complicada, ´ease [10]. No obs an e, suele se una a ea a dua y di ´ıcil p oba que un
de e minado sis ema din´amico posee una conexi´on global y, po ello, se suele ecu i
ecuen emen e a ´ecnicas num´e icas pa a mos a su exis encia.
Po o a pa e, los sis emas lineales a ozos es ´an siendo ex ensi amen e es udiados
en la ac ualidad po que modelan ielmen e de e minados p ocesos ´ısicos, ´ease po ejem-
plo [7]. Adem´as, es os sis emas son capaces de ep oduci compo amien os din´amicos
1
V. Ca mona, F. Fe n´andez-S´anchez, E. Ga c´ıa, A. E. Te uel
an´alogos a los de los sis emas di e enciables, e [2], incluyendo, en e o os, los en´omenos
elacionados con las conexiones homoclinas y he e oclinas, e [7]. A pesa de la linealidad
en cada zona, la p ueba de la exis encia de es as conexiones globales queda muy lejos de
se i ial y, en consecuencia, ambi´en es ecuen e usa , como se hace en [8], he amien as
num´e icas pa a su de e minaci´on.
En es e abajo p obamos anal´ı icamen e la exis encia de dos conexiones homoclinas y
un pun o-T en una amilia unipa am´e ica de sis emas idimensionales con inuos y lineales
a ozos, con dos zonas de linealidad sepa adas po un plano, que posee e e sibilidad y
azas nulas. Un ep esen an e de es a amilia es el sis ema
˙x=y, ˙y=z, ˙z= 1 −y−λ(1 + λ2)|x|,con λ > 0,(1)
que ambi´en puede en ende se como una e si´on lineal a ozos del sis ema de Michelson,
e [9]. Nues a p incipal apo aci´on, en elaci´on al sis ema (1), la enunciamos a con inua-
ci´on.
Teo ema. Exis en dos alo es λ1, λ2>1
2de o ma que el sis ema (1) pa a λ=λ1posee
dos homoclinas y pa a λ=λ2un ciclo he e oclino ipo pun o-T.
En la p esen e comunicaci´on analiza emos, en p ime luga , los elemen os geom´e icos
del sis ema lineal a ozos (1). A con inuaci´on, en la secci´on 3, se de alla ´an las condiciones
que han de da se pa a que exis a una homoclina di ec a asociada a los pun os de equilib io
del sis ema (1) y p oba emos la exis encia de dicha homoclina. Concluimos el abajo
especi icando las condiciones necesa ias pa a que exis a un ciclo he e oclino de ipo pun o-
T en el sis ema lineal a ozos y p obando su exis encia.
2. Ve si´on lineal a ozos del sis ema de Michelson. Elemen-
os geom´e icos.
El sis ema di e enciable de Michelson su ge al es udia soluciones de ondas iaje as en
la ecuaci´on de Ku amo o-Si ashinsky unidimensional, ´ease [9]. Po o o lado, ambi´en
apa ece de o ma na u al cuando se ealiza un blow-up en una o ma no mal pa a el iple
ce o uncada a e ce o den, e [4]. T as ealiza un cambio de a iable adecuado en el
sis ema de Michelson y sus i ui el ´e mino cuad ´a ico po un alo absolu o ob enemos (1).
Tomando x= (x, y, z)T, el sis ema ob enido se esc ibe ma icialmen e como
˙
x=A−x+e3si x < 0,
A+x+e3si x≥0,(2)
con
A−=

0 1 0
0 0 1
λ(1 + λ2)−1 0 
, A+=

0 1 0
0 0 1
−λ(1 + λ2)−1 0 
ye3=

0
0
1
.
El sis ema an e io posee una ´unica on e a, el plano {x= 0}; y, po an o, dos semiespa-
cios de linealidad, R−={x∈IR3:x < 0}yR+={x∈IR3:x > 0}. El sis ema (2) iene
dos pun os de equilib io: p−= (−1/λ(1+λ2),0,0) ∈R−yp+= (1/λ(1+λ2),0,0) ∈R+.
2
Conexiones globales en Sis emas T idimensionales Lineales a T ozos
Es os pun os son de ipo silla- oco y poseen con igu aciones de es abilidad in e cambiadas.
Es deci , la ma iz A− iene un ´unico au o alo eal λ > 0 y dos au o alo es complejos,
α+βi = −λ
2+p4 + 3λ2
2i y α−βi = −λ
2−p4 + 3λ2
2i
y los au o alo es asociados a la ma iz A+son −λ,−α±βi. Obs´e ese que los au o alo es
asociados a A−son los sim´e icos de los asociados a A+debido a que el sis ema (2)
pe enece a la clase de sis emas e e sibles.
Dado p= (xp, yp, zp)T∈IR3deno a emos po xp( , λ) = (xp( , λ), yp( , λ), zp( , λ))T
a la soluci´on del p oblema de alo es iniciales asociado al sis ema lineal a ozos (2) jun o
con la condici´on inicial xp(0, λ) = p.
Pa a analiza el compo amien o din´amico del sis ema (2) usa emos la ex ensi´on na-
u al de la aplicaci´on de Poinca ´e asociada a es e sis ema en cada uno de los semiespacios,
e [5]. Median e el campo del sis ema ˙
x=A−x+bcon x≤0 alg´un pun o p, pe enecien e
al plano de sepa aci´on, puede se ans o mado en o o pun o qde ese plano, en onces la
semiaplicaci´on de Poinca ´e izquie da Π−puede de ini se como q= Π−(p). An´alogamen e,
podemos de ini la semiaplicaci´on de Poinca ´e de echa Π+. De es e modo, una aplicaci´on
de Poinca ´e asociada a (2) se de ine como Π = Π+◦Π−.
El pun o de equilib io p− iene asociado una a iedad es able bidimensional y una
ines able unidimensional, que deno a emos po Ws(p−) y Wu(p−) espec i amen e. La
a iedad Wu(p−) es lineal en el semiespacio R−y con iene a la semi ec a dada po la
exp esi´on
L−=p−−µ(1, λ, λ2)T:−1
λ(1 + λ2)≤µ < ∞,
la cual in e seca al plano de sepa aci´on en el pun o m−=0,1/(1 + λ2), λ/(1 + λ2)T.Po
o a pa e, la a iedad es able de p−,Ws(p−), es ´a con enida localmen e en el semiplano
ocal P−=λ(1 + λ2)x+λ2y+λz =−1, x ≤0, que pasa po p−y que es ´a gene ado
po los au o ec o es asociados a los au o alo es complejos de A−. La in e secci´on de P−con
el plano de sepa aci´on es la ec a dada po D−={λ2y+λz =−1; x= 0}.Des aquemos que
no odos los pun os de D−pe enecen a la a iedad es able de p−, la zona co espondien e
aWs(p−) es ´a ma cada po un segmen o S−delimi ado po el pun o de P−que in e seca
al eje z, y po su imagen po (Π−)−1. Es ´acil comp oba que los ex emos de S−son
q−= (0,0,−1/λ)Ty (Π−)−1(q−).
A pa i de la ecuaciones de las a iedades in a ian es en el subespacio izquie do po-
demos de e mina , aplicando e e sibilidad, las ecuaciones pa a el caso del semiespacio
R+. De ese modo, la a iedad es able de p+,Ws(p+), es ´a con enida localmen e en la
semi ec a
L+=x=p++µ(1, λ, λ2)T:1
λ(1 + λ2)≤µ < ∞,
que in e seca al plano de sepa aci´on en el pun o m+=0,1/(1 + λ2),−λ/(1 + λ2)T.La
a iedad ines able de p+,Wu(p+), es ´a con enida localmen e en el semiplano ocal
P+=λ(1 + λ2)x−λ2y+λz = 1, x ≥0,
que in e seca al plano de sepa aci´on en la ec a D+={−λ2y+λz = 1; x= 0}. An´alo-
gamen e, no odos los pun os de D+pe enecen a la a iedad ines able de p+. La zona
3
V. Ca mona, F. Fe n´andez-S´anchez, E. Ga c´ıa, A. E. Te uel
co espondien e a Wu(p+) es ´a de e minada po el segmen o S+delimi ado po los ex-
emos q+= (0,0,1/λ)Ty Π+(q+). Obse emos que las ec as D+yD−se co an en
el pun o q=0,−1/λ2,0T,cuya impo ancia se pond ´a de mani ies o en las siguien es
secciones.
3. Exis encia de conexiones homoclinas.
En es a secci´on p obamos la exis encia de una conexi´on homoclina en el sis ema (2)
pa a un cie o alo del pa ´ame o λ. M´as a´un, la e e sibilidad del sis ema asegu a la
exis encia de o a homoclina pa a el mismo alo del pa ´ame o.
El ipo de homoclinas que conside amos se puede en ende como el m´as simple en un
sis ema lineal a ozos con dos zonas, ya que co a s´olo dos eces al plano de sepa aci´on.
Denominamos homoclina di ec a a una ´o bi a de es e ipo. La condici´on de exis encia de
una homoclina di ec a asociada al pun o p−en el sis ema (2) es
Π+(m−)∈ S−.
Aho a bien, pa a la demos aci´on de la exis encia de dicha homoclina pa a un cie o
alo de λhemos de di idi es a condici´on en es:
C1 Exis e > 0 al que xm−( , λ)∈ D−(la ´o bi a ha de c uza al plano de sepa aci´on
{x= 0}a a ´es de la ec a D−).
C2 xm−(τ, λ)>0∀τ∈(0, ) (las ´unicas in e secciones de la ´o bi a con el plano {x= 0}
co esponden a los pun os m−y un pun o pe enecien e a D−).
C3 xm−( , λ)∈ S−(la ´o bi a homoclina ha de en a al semiplano P−a a ´es de S−).
xy
z
p+
p−
q+
q−m+
m−
q
Π+(q+)
(Π−)−1(q−)
P+
P−
x= 0
Figu a 1: Conexiones homoclinas di ec as en el sis ema lineal a ozos.
4
Conexiones globales en Sis emas T idimensionales Lineales a T ozos
In eg ando el sis ema (2) con condici´on inicial m−y ealizando algunas manipulaciones
algeb aicas, la condici´on C1 se puede esc ibi como
(E1( , λ) = 2λ2e3λ
2 [2βcos β −3λsenβ ] + 2β(1 + λ2)−(1 + 3λ2)eλ = 0,
E2( , λ) = 2λ2e3λ
2 [2βcos β +λsenβ ] + eλ (1 + λ2)2β= 0.(3)
Realizando di e sas ans o maciones al sis ema (3) se ob ienen las siguien es condiciones
equi alen es





E( , λ) = −2β2eλ (1 + 2λ2)−(1 + λ2)cos β +λ2eλ + (1 + λ2)senβ = 0,
p( , λ) = −16λ6e3λ + (1 + λ2)24(1 + 3λ2)e2λ −2(2 + 3λ2)eλ + 1 + λ2= 0,
senβ < 0,
(4)
donde la exp esi´on de p( , λ) se ha ob enido u ilizando la ´o mula igonom´e ica unda-
men al.
Con el obje i o de demos a que el sis ema (4) posee soluci´on se u iliza ´a el eo ema de
Poinca ´e-Mi anda, ´ease [6], que puede conside a se como una gene alizaci´on del eo ema
de Bolzano en dimensi´on dos. Pa a pode aplica es e eo ema al sis ema se ´a necesa io
analiza p e iamen e el compo amien o de las unciones que lo componen. Es inmedia o
comp oba que la unci´on E( , λ) es posi i a en el caso donde β =kπ y nega i a cuando
β = 2kπ, pa a cualquie kpe enecien e a los n´ume os na u ales. En elaci´on a la unci´on
p( , λ) podemos deduci , as ealiza un es udio adecuado, que p( , √3) es nega i o pa a
odo ≥0 y que p( , 1/2) es posi i o pa a ∈[π/β, 2π/β]. Po an o, aplicando el eo ema
de Poinca ´e-Mi anda deducimos que el sis ema (4) iene, al menos, una soluci´on ( 1, λ1)
en el in e io de la egi´on Ω1= [π/β, 2π/β]×1/2,√3,adem´as se e i ica que senβ < 0
en el in e io de es a egi´on.
Po o o lado, enemos que p oba que la a iedad unidimensional Wu(p−) ha de co a
´unicamen e en dos pun os al plano de sepa aci´on. De ese modo, es necesa io impone que
xm−( , λ)>0 cuando pe enece (0, 1). Es ´acil e que ˙xm−( , λ) = ym−( 1, λ1)<0 y,
po an o, se e i ica i ialmen e que xm−( , λ1)>0 pa a odo ∈(0, 1).
Po ´ul imo pa a asegu a la exis encia de una ´o bi a homoclina queda ´a e i ica que
se cumple la condici´on C3. Ve emos, en la siguien e secci´on que la exis encia de una ´o bi a
he e oclina bidimensional di ec a es su icien e pa a que se e i ique la condici´on C3. De
es e modo, es amos en condiciones de enuncia el siguien e eo ema:
Teo ema 1 Exis e un alo λ1>1
2de o ma que el sis ema (1) pa a λ=λ1posee dos
homoclinas di ec as.
4. Exis encia de un ciclo he e oclino ipo pun o-T.
Conside a emos uno de los ciclos he e oclinos ipo pun o-T m´as simples que puede
apa ece en el sis ema (2). Como se puede obse a en la igu a 2, la ´o bi a he e oclina
co espondien e a las a iedades unidimensionales ha de co a exac amen e es eces al
plano de sepa aci´on mien as que la co espondien e a las a iedades bidimensionales s´olo
lo ha ´a en un pun o. Las condiciones necesa ias pa a que exis a un ciclo he e oclino ipo
pun o-T se de allan en las siguien es secciones.
5

V. Ca mona, F. Fe n´andez-S´anchez, E. Ga c´ıa, A. E. Te uel
xy
z
p+
p−
q+
q−m+
m−
q
Π+(q+)
(Π−)−1(q−)
P+
P−
x= 0
Π+(m−) = Π−(m+)
Figu a 2: Esquema g ´a ico de un ciclo he e oclino ipo pun o-T.
4.1. He e oclina bidimensional.
En es a secci´on p oba emos la exis encia de una ´o bi a he e oclina bidimensional, ρ±,
en el sis ema (2). Una condici´on necesa ia y su icien e pa a la exis encia de una ´o bi a
he e oclina bidimensional con un ´unico in e secci´on con el plano de sepa aci´on es que el
pun o de dicha in e secci´on, q, pe enezca a S−∩ S+. Es a condici´on es equi alen e a
i) q ∈ D−∩D+yii) q ∈ S−.
La in e secci´on de las ec as D−yD+es q= (0,−1/λ2,0)T, y los ex emos del segmen o
S−son q−y (Π−)−1(q−). Po an o, que se e i ique las condiciones i) yii) es equi alen e
a que se e i ique que (Π−)−1(q−)∈ {x= 0}∪{z≥0}. De ese modo, el sis ema (2) iene
una ´o bi a he e oclina bidimensional di ec a ρ±si y s´olo si exis e una soluci´on ( ∗, λ∗),
con ∗>0 y λ∗>0, de
xq−(− , λ) = 0,
zq−(− , λ)≥0.(5)
sa is aciendo xq−(− , λ∗)<0 pa a odo ∈(0, ∗). Las condiciones dadas en (5) lle a,
despu´es de in eg a el sis ema (2) en iempo e e sible con condici´on inicial x(0, λ) = q−,
a que exis a alg´un pa de alo es ( ∗, λ∗) pa a los que se e i ique el sis ema









−1
λ(1 + λ2)1−eλ
2 cos β −2λ
βsenβ = 0,
−1
λeλ
2 cos β +2λ
βsenβ ≥0,
(6)
jun o a la condici´on xq−(− , λ∗)<0 si ∈(0, ∗). U ilizando la unci´on auxilia de And o-
no ϕ(τ, γ) = 1 −eγτ (cos τ−γsenτ), de inida en [1], podemos deduci que la exis encia
de una soluci´on ( ∗, λ∗) de (6) sa is aciendo la desigualdad xq−(− , λ∗)<0 es equi alen e
6
Conexiones globales en Sis emas T idimensionales Lineales a T ozos
a la exis encia de una soluci´on del sis ema





ϕ−β , −2λ
β= 0,
ϕβ , −2λ
β≥1.
(7)
al que ϕ(−β , −2λ/β)>0 en el in e alo (0, ∗). Un an´alisis de las ecuaciones (7), nos
pe mi e p oba el siguien e eo ema (pa a m´as de alles e el p ep in [3]).
Teo ema 2 Exis e un ´unico alo λ∗en (0,1/2) al que:
1. si λ≥λ∗el sis ema (2) iene una ´o bi a he e oclina bidimensional con un ´unica
in e secci´on con el plano de sepa aci´on.
2. si 0< λ < λ∗el sis ema (2) no iene ´o bi as he e oclinas bidimensionales con una
´unica in e secci´on con el plano de sepa aci´on.
Es e eo ema nos asegu a que se e i ique la condici´on C3 pa a la exis encia de homoclina
di ec a en el sis ema (2).
4.2. He e oclina unidimensional.
En es a secci´on p oba emos la exis encia una ´o bi a he e oclina unidimensional en el
sis ema (2). Dicha conexi´on po las a iedades unidimensionales ha de co a exac amen e
es eces al plano de sepa aci´on {x= 0}. Las p ime as in e secciones de la he e oclina
unidimensional con el plano de sepa aci´on co esponden a los pun os m−ym+. De ese
modo, pa a que exis a una ´o bi a he e oclina unidimensional asociada al sis ema (2) s´olo
necesi amos impone que Π+(m−) = Π−(m+) o, m´as a´un, debido a la e e sibilidad del
sis ema, es o ocu e si el pun o Π+(m−) pe enece al eje de e e sibilidad. Po an o, la
p ime a y e ce a componen e de Π+(m−) deben se nulas. De ese modo, el sis ema (2)
iene una ´o bi a he e oclina unidimensional con exac amen e es pun os de co e con el
plano de sepa aci´on {x= 0}si, y s´olo si, exis e una soluci´on ( 2, λ2), con 2>0 y λ2>0,
de
xm−( , λ) = 0,
zm−( , λ) = 0,(8)
sa is aciendo la desigualdad xm−( , λ1)>0 pa a odo ∈(0, 2).
In eg ando el sis ema (2) con condici´on inicial inicial x(0, λ) = m−, el sis ema (8)
puede esc ibi se como









e−λ
1 + 3λ2(1
λ+e3λ
2
1 + λ22λcos β −6λ2
√4 + 3λ2senβ )=1
λ(1 + λ2)
e−λ
1 + 3λ2−λ+2λ
1 + λ2e3λ
2 (1 + 2λ2) cos β −λ
√4 + 3λ2senβ = 0,
(9)
T as un labo ioso an´alisis del sis ema (9), an´alogo al caso de la conexi´on homoclina di ec a,
se puede p oba el siguien e lema:
7
V. Ca mona, F. Fe n´andez-S´anchez, E. Ga c´ıa, A. E. Te uel
Lema 3 El sis ema (9) iene al menos una soluci´on ( 2, λ2)en la egi´on
Ω2=π
β,2π
β×1
2,1.
Adem´as, como se hace pa a la homoclina di ec a, se iene que en el in e io de la egi´on
Ω2se e i ica que xm−( , λ2)>0 pa a odo ∈(0, 2).
Es e lema nos pe mi e p oba el siguien e eo ema.
Teo ema 4 Pa a λ=λ2, el sis ema (2) iene una ´o bi a he e oclina po las a iedades
unidimesionales con es pun os de in e secci´on con el plano de sepa aci´on.
Uniendo los es eo emas enemos el esul ado p incipal de nues a comunicaci´on, el
cual enunciamos a con inuaci´on.
Teo ema 5 Exis en dos alo es λ1, λ2>1
2de o ma que el sis ema (1) pa a λ=λ1posee
dos homoclinas di ec as y pa a λ=λ2un ciclo he e oclino ipo pun o-T.
Ag adecimien os
Es e abajo ha sido inanciado po los p oyec os EXC/2005/FQM-872 del P oyec o
de Excelencia de la Jun a de Andaluc´ıa, MTM2006-00847 del Plan Nacional del 2.006 y
MTM2004-04066 del Minis e io de Ciencia y T´enolog´ıa, Plan Nacional I+D+I.
Re e encias
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8