Conexiones globales en sistemas tridimensionales lineales a trozos

XX Cong eso de Ecuaciones Di e enciales y Aplicaciones X Cong eso de Ma em´ a ica Aplicada Se illa, 24-28 sep iemb e 2007 (pp. 1–8) Conexiones Globales en Sis emas T idimensionales Lineales a T ozos Vic o iano Ca mona1, Fe nando Fe n´ andez-S´ anchez1, Elisabe h Ga c´ ıa1, An onio E. Te uel2 1Dp o. de Ma em´a ica Aplicada II, Uni e sidad de Se illa, Escuela Supe io de Ingenie os, E-41092 Se illa. E-mails: ca m[email p o ec ed], e es[email p o ec ed], ega [email protected]. 2Dp o. de Ma em´a icas e In o m´a ica, Uni e sidad de las Islas Balea es, E-07122 Palma de Mallo ca. E-mail: an onioe. e [email protected]. Palab as cla e: Sis emas lineales a ozos, homoclina, he e oclina, pun o-T Resumen P esen amos en es a comunicaci´on una ´ecnica pa a p oba de o ma anal´ı ica la exis encia de conexiones globales en sis emas din´amicos con inuos lineales a ozos. M´as conc e amen e, u ilizamos es a ´ecnica pa a demos a la exis encia de dos cone- xiones homoclinas di ec as (aquellas que co an al plano de sepa aci´on exac amen e dos eces) y un ciclo he e oclino di ec o ipo pun o-T (cuya conexi´on po las a ie- dades unidimensionales co a exac amen e es eces al plano de sepa aci´on mien as que su conexi´on po las a iedades bidimensionales s´olo lo ha ´a en un pun o) en una amilia unipa am´e ica de sis emas idimensionales con inuos lineales a ozos con dos zonas, e e sibles y con azas nulas. 1. In oducci´on. En el an´alisis del compo amien o din´amico de un sis ema idimensional de ecuaciones di e enciales esul a in e esan e la de e minaci´on de sus posibles conexiones homoclinas y he e oclinas ya que, como es bien sabido, o ganizan una es uc u a din´amica ica y complicada, ´ease [10]. No obs an e, suele se una a ea a dua y di ´ıcil p oba que un de e minado sis ema din´amico posee una conexi´on global y, po ello, se suele ecu i ecuen emen e a ´ecnicas num´e icas pa a mos a su exis encia. Po o a pa e, los sis emas lineales a ozos es ´an siendo ex ensi amen e es udiados en la ac ualidad po que modelan ielmen e de e minados p ocesos ´ısicos, ´ease po ejem- plo [7]. Adem´as, es os sis emas son capaces de ep oduci compo amien os din´amicos 1 V. Ca mona, F. Fe n´andez-S´anchez, E. Ga c´ıa, A. E. Te uel an´alogos a los de los sis emas di e enciables, e [2], incluyendo, en e o os, los en´omenos elacionados con las conexiones homoclinas y he e oclinas, e [7]. A pesa de la linealidad en cada zona, la p ueba de la exis encia de es as conexiones globales queda muy lejos de se i ial y, en consecuencia, ambi´en es ecuen e usa , como se hace en [8], he amien as num´e icas pa a su de e minaci´on. En es e abajo p obamos anal´ı icamen e la exis encia de dos conexiones homoclinas y un pun o-T en una amilia unipa am´e ica de sis emas idimensionales con inuos y lineales a ozos, con dos zonas de linealidad sepa adas po un plano, que posee e e sibilidad y azas nulas. Un ep esen an e de es a amilia es el sis ema ˙x=y, ˙y=z, ˙z= 1 −y−λ(1 + λ2)|x|,con λ > 0,(1) que ambi´en puede en ende se como una e si´on lineal a ozos del sis ema de Michelson, e [9]. Nues a p incipal apo aci´on, en elaci´on al sis ema (1), la enunciamos a con inua- ci´on. Teo ema. Exis en dos alo es λ1, λ2>1 2de o ma que el sis ema (1) pa a λ=λ1posee dos homoclinas y pa a λ=λ2un ciclo he e oclino ipo pun o-T. En la p esen e comunicaci´on analiza emos, en p ime luga , los elemen os geom´e icos del sis ema lineal a ozos (1). A con inuaci´on, en la secci´on 3, se de alla ´an las condiciones que han de da se pa a que exis a una homoclina di ec a asociada a los pun os de equilib io del sis ema (1) y p oba emos la exis encia de dicha homoclina. Concluimos el abajo especi icando las condiciones necesa ias pa a que exis a un ciclo he e oclino de ipo pun o- T en el sis ema lineal a ozos y p obando su exis encia. 2. Ve si´on lineal a ozos del sis ema de Michelson. Elemen- os geom´e icos. El sis ema di e enciable de Michelson su ge al es udia soluciones de ondas iaje as en la ecuaci´on de Ku amo o-Si ashinsky unidimensional, ´ease [9]. Po o o lado, ambi´en apa ece de o ma na u al cuando se ealiza un blow-up en una o ma no mal pa a el iple ce o uncada a e ce o den, e [4]. T as ealiza un cambio de a iable adecuado en el sis ema de Michelson y sus i ui el ´e mino cuad ´a ico po un alo absolu o ob enemos (1). Tomando x= (x, y, z)T, el sis ema ob enido se esc ibe ma icialmen e como ˙ x=A−x+e3si x < 0, A+x+e3si x≥0,(2) con A−=  0 1 0 0 0 1 λ(1 + λ2)−1 0  , A+=  0 1 0 0 0 1 −λ(1 + λ2)−1 0  ye3=  0 0 1 . El sis ema an e io posee una ´unica on e a, el plano {x= 0}; y, po an o, dos semiespa- cios de linealidad, R−={x∈IR3:x < 0}yR+={x∈IR3:x > 0}. El sis ema (2) iene dos pun os de equilib io: p−= (−1/λ(1+λ2),0,0) ∈R−yp+= (1/λ(1+λ2),0,0) ∈R+. 2 Conexiones globales en Sis emas T idimensionales Lineales a T ozos Es os pun os son de ipo silla- oco y poseen con igu aciones de es abilidad in e cambiadas. Es deci , la ma iz A− iene un ´unico au o alo eal λ > 0 y dos au o alo es complejos, α+βi = −λ 2+p4 + 3λ2 2i y α−βi = −λ 2−p4 + 3λ2 2i y los au o alo es asociados a la ma iz A+son −λ,−α±βi. Obs´e ese que los au o alo es asociados a A−son los sim´e icos de los asociados a A+debido a que el sis ema (2) pe enece a la clase de sis emas e e sibles. Dado p= (xp, yp, zp)T∈IR3deno a emos po xp( , λ) = (xp( , λ), yp( , λ), zp( , λ))T a la soluci´on del p oblema de alo es iniciales asociado al sis ema lineal a ozos (2) jun o con la condici´on inicial xp(0, λ) = p. Pa a analiza el compo amien o din´amico del sis ema (2) usa emos la ex ensi´on na- u al de la aplicaci´on de Poinca ´e asociada a es e sis ema en cada uno de los semiespacios, e [5]. Median e el campo del sis ema ˙ x=A−x+bcon x≤0 alg´un pun o p, pe enecien e al plano de sepa aci´on, puede se ans o mado en o o pun o qde ese plano, en onces la semiaplicaci´on de Poinca ´e izquie da Π−puede de ini se como q= Π−(p). An´alogamen e, podemos de ini la semiaplicaci´on de Poinca ´e de echa Π+. De es e modo, una aplicaci´on de Poinca ´e asociada a (2) se de ine como Π = Π+◦Π−. El pun o de equilib io p− iene asociado una a iedad es able bidimensional y una ines able unidimensional, que deno a emos po Ws(p−) y Wu(p−) espec i amen e. La a iedad Wu(p−) es lineal en el semiespacio R−y con iene a la semi ec a dada po la exp esi´on L−=p−−µ(1, λ, λ2)T:−1 λ(1 + λ2)≤µ < ∞, la cual in e seca al plano de sepa aci´on en el pun o m−=0,1/(1 + λ2), λ/(1 + λ2)T.Po o a pa e, la a iedad es able de p−,Ws(p−), es ´a con enida localmen e en el semiplano ocal P−=λ(1 + λ2)x+λ2y+λz =−1, x ≤0, que pasa po p−y que es ´a gene ado po los au o ec o es asociados a los au o alo es complejos de A−. La in e secci´on de P−con el plano de sepa aci´on es la ec a dada po D−={λ2y+λz =−1; x= 0}.Des aquemos que no odos los pun os de D−pe enecen a la a iedad es able de p−, la zona co espondien e aWs(p−) es ´a ma cada po un segmen o S−delimi ado po el pun o de P−que in e seca al eje z, y po su imagen po (Π−)−1. Es ´acil comp oba que los ex emos de S−son q−= (0,0,−1/λ)Ty (Π−)−1(q−). A pa i de la ecuaciones de las a iedades in a ian es en el subespacio izquie do po- demos de e mina , aplicando e e sibilidad, las ecuaciones pa a el caso del semiespacio R+. De ese modo, la a iedad es able de p+,Ws(p+), es ´a con enida localmen e en la semi ec a L+=x=p++µ(1, λ, λ2)T:1 λ(1 + λ2)≤µ < ∞, que in e seca al plano de sepa aci´on en el pun o m+=0,1/(1 + λ2),−λ/(1 + λ2)T.La a iedad ines able de p+,Wu(p+), es ´a con enida localmen e en el semiplano ocal P+=λ(1 + λ2)x−λ2y+λz = 1, x ≥0, que in e seca al plano de sepa aci´on en la ec a D+={−λ2y+λz = 1; x= 0}. An´alo- gamen e, no odos los pun os de D+pe enecen a la a iedad ines able de p+. La zona 3 V. Ca mona, F. Fe n´andez-S´anchez, E. Ga c´ıa, A. E. Te uel co espondien e a Wu(p+) es ´a de e minada po el segmen o S+delimi ado po los ex- emos q+= (0,0,1/λ)Ty Π+(q+). Obse emos que las ec as D+yD−se co an en el pun o q=0,−1/λ2,0T,cuya impo ancia se pond ´a de mani ies o en las siguien es secciones. 3. Exis encia de conexiones homoclinas. En es a secci´on p obamos la exis encia de una conexi´on homoclina en el sis ema (2) pa a un cie o alo del pa ´ame o λ. M´as a´un, la e e sibilidad del sis ema asegu a la exis encia de o a homoclina pa a el mismo alo del pa ´ame o. El ipo de homoclinas que conside amos se puede en ende como el m´as simple en un sis ema lineal a ozos con dos zonas, ya que co a s´olo dos eces al plano de sepa aci´on. Denominamos homoclina di ec a a una ´o bi a de es e ipo. La condici´on de exis encia de una homoclina di ec a asociada al pun o p−en el sis ema (2) es Π+(m−)∈ S−. Aho a bien, pa a la demos aci´on de la exis encia de dicha homoclina pa a un cie o alo de λhemos de di idi es a condici´on en es: C1 Exis e > 0 al que xm−( , λ)∈ D−(la ´o bi a ha de c uza al plano de sepa aci´on {x= 0}a a ´es de la ec a D−). C2 xm−(τ, λ)>0∀τ∈(0, ) (las ´unicas in e secciones de la ´o bi a con el plano {x= 0} co esponden a los pun os m−y un pun o pe enecien e a D−). C3 xm−( , λ)∈ S−(la ´o bi a homoclina ha de en a al semiplano P−a a ´es de S−). xy z p+ p− q+ q−m+ m− q Π+(q+) (Π−)−1(q−) P+ P− x= 0 Figu a 1: Conexiones homoclinas di ec as en el sis ema lineal a ozos. 4 Conexiones globales en Sis emas T idimensionales Lineales a T ozos In eg ando el sis ema (2) con condici´on inicial m−y ealizando algunas manipulaciones algeb aicas, la condici´on C1 se puede esc ibi como (E1( , λ) = 2λ2e3λ 2 [2βcos β −3λsenβ ] + 2β(1 + λ2)−(1 + 3λ2)eλ = 0, E2( , λ) = 2λ2e3λ 2 [2βcos β +λsenβ ] + eλ (1 + λ2)2β= 0.(3) Realizando di e sas ans o maciones al sis ema (3) se ob ienen las siguien es condiciones equi alen es      E( , λ) = −2β2eλ (1 + 2λ2)−(1 + λ2)cos β +λ2eλ + (1 + λ2)senβ = 0, p( , λ) = −16λ6e3λ + (1 + λ2)24(1 + 3λ2)e2λ −2(2 + 3λ2)eλ + 1 + λ2= 0, senβ < 0, (4) donde la exp esi´on de p( , λ) se ha ob enido u ilizando la ´o mula igonom´e ica unda- men al. Con el obje i o de demos a que el sis ema (4) posee soluci´on se u iliza ´a el eo ema de Poinca ´e-Mi anda, ´ease [6], que puede conside a se como una gene alizaci´on del eo ema de Bolzano en dimensi´on dos. Pa a pode aplica es e eo ema al sis ema se ´a necesa io analiza p e iamen e el compo amien o de las unciones que lo componen. Es inmedia o comp oba que la unci´on E( , λ) es posi i a en el caso donde β =kπ y nega i a cuando β = 2kπ, pa a cualquie kpe enecien e a los n´ume os na u ales. En elaci´on a la unci´on p( , λ) podemos deduci , as ealiza un es udio adecuado, que p( , √3) es nega i o pa a odo ≥0 y que p( , 1/2) es posi i o pa a ∈[π/β, 2π/β]. Po an o, aplicando el eo ema de Poinca ´e-Mi anda deducimos que el sis ema (4) iene, al menos, una soluci´on ( 1, λ1) en el in e io de la egi´on Ω1= [π/β, 2π/β]×1/2,√3,adem´as se e i ica que senβ < 0 en el in e io de es a egi´on. Po o o lado, enemos que p oba que la a iedad unidimensional Wu(p−) ha de co a ´unicamen e en dos pun os al plano de sepa aci´on. De ese modo, es necesa io impone que xm−( , λ)>0 cuando pe enece (0, 1). Es ´acil e que ˙xm−( , λ) = ym−( 1, λ1)<0 y, po an o, se e i ica i ialmen e que xm−( , λ1)>0 pa a odo ∈(0, 1). Po ´ul imo pa a asegu a la exis encia de una ´o bi a homoclina queda ´a e i ica que se cumple la condici´on C3. Ve emos, en la siguien e secci´on que la exis encia de una ´o bi a he e oclina bidimensional di ec a es su icien e pa a que se e i ique la condici´on C3. De es e modo, es amos en condiciones de enuncia el siguien e eo ema: Teo ema 1 Exis e un alo λ1>1 2de o ma que el sis ema (1) pa a λ=λ1posee dos homoclinas di ec as. 4. Exis encia de un ciclo he e oclino ipo pun o-T. Conside a emos uno de los ciclos he e oclinos ipo pun o-T m´as simples que puede apa ece en el sis ema (2). Como se puede obse a en la igu a 2, la ´o bi a he e oclina co espondien e a las a iedades unidimensionales ha de co a exac amen e es eces al plano de sepa aci´on mien as que la co espondien e a las a iedades bidimensionales s´olo lo ha ´a en un pun o. Las condiciones necesa ias pa a que exis a un ciclo he e oclino ipo pun o-T se de allan en las siguien es secciones. 5 V. Ca mona, F. Fe n´andez-S´anchez, E. Ga c´ıa, A. E. Te uel xy z p+ p− q+ q−m+ m− q Π+(q+) (Π−)−1(q−) P+ P− x= 0 Π+(m−) = Π−(m+) Figu a 2: Esquema g ´a ico de un ciclo he e oclino ipo pun o-T. 4.1. He e oclina bidimensional. En es a secci´on p oba emos la exis encia de una ´o bi a he e oclina bidimensional, ρ±, en el sis ema (2). Una condici´on necesa ia y su icien e pa a la exis encia de una ´o bi a he e oclina bidimensional con un ´unico in e secci´on con el plano de sepa aci´on es que el pun o de dicha in e secci´on, q, pe enezca a S−∩ S+. Es a condici´on es equi alen e a i) q ∈ D−∩D+yii) q ∈ S−. La in e secci´on de las ec as D−yD+es q= (0,−1/λ2,0)T, y los ex emos del segmen o S−son q−y (Π−)−1(q−). Po an o, que se e i ique las condiciones i) yii) es equi alen e a que se e i ique que (Π−)−1(q−)∈ {x= 0}∪{z≥0}. De ese modo, el sis ema (2) iene una ´o bi a he e oclina bidimensional di ec a ρ±si y s´olo si exis e una soluci´on ( ∗, λ∗), con ∗>0 y λ∗>0, de xq−(− , λ) = 0, zq−(− , λ)≥0.(5) sa is aciendo xq−(− , λ∗)<0 pa a odo ∈(0, ∗). Las condiciones dadas en (5) lle a, despu´es de in eg a el sis ema (2) en iempo e e sible con condici´on inicial x(0, λ) = q−, a que exis a alg´un pa de alo es ( ∗, λ∗) pa a los que se e i ique el sis ema          −1 λ(1 + λ2)1−eλ 2 cos β −2λ βsenβ = 0, −1 λeλ 2 cos β +2λ βsenβ ≥0, (6) jun o a la condici´on xq−(− , λ∗)<0 si ∈(0, ∗). U ilizando la unci´on auxilia de And o- no ϕ(τ, γ) = 1 −eγτ (cos τ−γsenτ), de inida en [1], podemos deduci que la exis encia de una soluci´on ( ∗, λ∗) de (6) sa is aciendo la desigualdad xq−(− , λ∗)<0 es equi alen e 6 Conexiones globales en Sis emas T idimensionales Lineales a T ozos a la exis encia de una soluci´on del sis ema      ϕ−β , −2λ β= 0, ϕβ , −2λ β≥1. (7) al que ϕ(−β , −2λ/β)>0 en el in e alo (0, ∗). Un an´alisis de las ecuaciones (7), nos pe mi e p oba el siguien e eo ema (pa a m´as de alles e el p ep in [3]). Teo ema 2 Exis e un ´unico alo λ∗en (0,1/2) al que: 1. si λ≥λ∗el sis ema (2) iene una ´o bi a he e oclina bidimensional con un ´unica in e secci´on con el plano de sepa aci´on. 2. si 0< λ < λ∗el sis ema (2) no iene ´o bi as he e oclinas bidimensionales con una ´unica in e secci´on con el plano de sepa aci´on. Es e eo ema nos asegu a que se e i ique la condici´on C3 pa a la exis encia de homoclina di ec a en el sis ema (2). 4.2. He e oclina unidimensional. En es a secci´on p oba emos la exis encia una ´o bi a he e oclina unidimensional en el sis ema (2). Dicha conexi´on po las a iedades unidimensionales ha de co a exac amen e es eces al plano de sepa aci´on {x= 0}. Las p ime as in e secciones de la he e oclina unidimensional con el plano de sepa aci´on co esponden a los pun os m−ym+. De ese modo, pa a que exis a una ´o bi a he e oclina unidimensional asociada al sis ema (2) s´olo necesi amos impone que Π+(m−) = Π−(m+) o, m´as a´un, debido a la e e sibilidad del sis ema, es o ocu e si el pun o Π+(m−) pe enece al eje de e e sibilidad. Po an o, la p ime a y e ce a componen e de Π+(m−) deben se nulas. De ese modo, el sis ema (2) iene una ´o bi a he e oclina unidimensional con exac amen e es pun os de co e con el plano de sepa aci´on {x= 0}si, y s´olo si, exis e una soluci´on ( 2, λ2), con 2>0 y λ2>0, de xm−( , λ) = 0, zm−( , λ) = 0,(8) sa is aciendo la desigualdad xm−( , λ1)>0 pa a odo ∈(0, 2). In eg ando el sis ema (2) con condici´on inicial inicial x(0, λ) = m−, el sis ema (8) puede esc ibi se como          e−λ 1 + 3λ2(1 λ+e3λ 2 1 + λ22λcos β −6λ2 √4 + 3λ2senβ )=1 λ(1 + λ2) e−λ 1 + 3λ2−λ+2λ 1 + λ2e3λ 2 (1 + 2λ2) cos β −λ √4 + 3λ2senβ = 0, (9) T as un labo ioso an´alisis del sis ema (9), an´alogo al caso de la conexi´on homoclina di ec a, se puede p oba el siguien e lema: 7 V. Ca mona, F. Fe n´andez-S´anchez, E. Ga c´ıa, A. E. Te uel Lema 3 El sis ema (9) iene al menos una soluci´on ( 2, λ2)en la egi´on Ω2=π β,2π β×1 2,1. Adem´as, como se hace pa a la homoclina di ec a, se iene que en el in e io de la egi´on Ω2se e i ica que xm−( , λ2)>0 pa a odo ∈(0, 2). Es e lema nos pe mi e p oba el siguien e eo ema. Teo ema 4 Pa a λ=λ2, el sis ema (2) iene una ´o bi a he e oclina po las a iedades unidimesionales con es pun os de in e secci´on con el plano de sepa aci´on. Uniendo los es eo emas enemos el esul ado p incipal de nues a comunicaci´on, el cual enunciamos a con inuaci´on. Teo ema 5 Exis en dos alo es λ1, λ2>1 2de o ma que el sis ema (1) pa a λ=λ1posee dos homoclinas di ec as y pa a λ=λ2un ciclo he e oclino ipo pun o-T. Ag adecimien os Es e abajo ha sido inanciado po los p oyec os EXC/2005/FQM-872 del P oyec o de Excelencia de la Jun a de Andaluc´ıa, MTM2006-00847 del Plan Nacional del 2.006 y MTM2004-04066 del Minis e io de Ciencia y T´enolog´ıa, Plan Nacional I+D+I. Re e encias [1] A. And ono , A. Vi & S. Khaikin, Theo y o oscilla o s, Do e , 1987. [2] V. Ca mona E. F ei e, E. Ponce & F. To es, In a ian Mani ols o Pe iodic O bi o Piecewise Linea Th ee-Dimensional Sys em, IMA J. Appl. Ma h, 69 (2004), 71–91. [3] V. Ca mona, F. Fe n´andez-S´anchez & A. E. Te uel, Exis ence o a e e sible Byko cycle in a piece- wise linea e sion o he Michelson sys em, p ep in . [4] E. F ei e, E. Game o, A. J. Rod ´ıguez-Luis, A. J. & A. 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