Teo ´ıa de p opagado es
Es udio de p ocesos elec omagn´e icos y d´ebiles
Jes´us Aguado L´opez
Tu o es: Juan An onio Caballe o Ca e e o y Guille mo D. Meg´ıas V´azquez
T abajo de in de g ado ealizado pa a la ob enci´on del
´ı ulo Doble G ado en F´ısica y Ma em´a icas
Depa amen o de F´ısica A ´omica, Molecula y Nuclea
Uni e sidad de Se illa
Ag adecimien os
A mis u o es po su apoyo y gu´ıa, an o aqu´ı como en la dis ancia.
A Ped o, po habla me de neu inos y p opagado es desde hace ya iempo.
A mi mad e, a mi pad e y a mi he mano, po se gen e ma a illosa.
Y a Luc´ıa, po su ca i˜no.
i
Teo ´ıa de p opagado es
Es udio de p ocesos elec omagn´e icos y d´ebiles
Jes´us Aguado L´opez
Abs ac
Los p opagado es son una he amien a ma em´a ica cen al en nume osas amas de la ´ısica ya que pe mi en la
esoluci´on de algunas ecuaciones en de i adas pa ciales (EDPs) de g an in e ´es. En el con ex o de la mec´anica
cu´an ica ela i is a y la eo ´ıa cu´an ica de campos los p opagado es ue on in e p e ados de mane a no edosa
asoci´andolos a pa ´ıculas mediado as de in e acci´on. Dicha in e p e aci´on ha ascendido es e campo y se habla
de pa ´ıculas i uales ( onones, plasmones) en o as ´a eas: odas es as in e p e aciones ienen la base com´un
en que ienen una EDP que ca ac e iza la din´amica del p oblema.
Es e abajo p esen a una na u aleza dual debida a la doble i ulaci´on en la que ha sido desa ollada. En el
p ime cap´ı ulo se in oduce la base ma em´a ica pa a una ap oximaci´on al es udio de p opagado es bas´andose
en he amien as del an´alisis uncional. El obje i o de dicho cap´ı ulo es cons ui un o malismo que pe mi a
llega a exp esa la p obabilidad de ansici´on de un es ado ( ec o de un espacio de Hilbe de unciones)
a o o a a ´es de un ope ado de e oluci´on (ma iz S), bas´andose en el c´alculo de p opagado es pa a las
ecuaciones de onda ela i is a que p ocedan seg´un el ipo de pa ´ıcula. Los cap´ı ulos dos y es es ´an en e-
amen e dedicados a la aplicaci´on de las he amien as ma em´a icas al caso de in e acci´on elec omagn´e ica y
d´ebil. Se es udia la dispe si´on el´as ica elec ´on-p o ´on en el ma co de la elec odin´amica cu´an ica de Feynman
y S ¨uckelbe g, empleando di e sas ap oximaciones que inco po an el hecho de que el p o ´on iene es uc u a
in e na. Pa a e mina , se es udia el p oceso d´ebil en el que un neu ino (o an ineu ino) in e acciona con un
neu ´on (p o ´on) a a ´es de la co ien e d´ebil ca gada W±, modelando la es uc u a d´ebil del nucle´on pa a ello.
El caso de dispe si´on elec ´on-p o ´on ha sido elegido pa a su es udio ya que pe mi e una in oducci´on escalo-
nada en complejidad a la eo ´ıa de dispe si´on cu´an ica. Adem´as, se enlazan los esul ados anal´ı icos ob enidos
con el p oblema abie o de la de e minaci´on expe imen al del adio de ca ga del p o ´on. El es udio de la
in e acci´on neu ino-nucle´on es ´a mo i ado po el in e ´es de la de e minaci´on de sus p opiedades en dis in os
expe imen os en los que los neu inos inciden sob e n´ucleos a dis in as ene g´ıas en el ango del GeV.
En ambos casos, el es udio expe imen al de las secciones e icaces pe mi e un conocimien o m´as p o undo
de la es uc u a had ´onica ya sea median e sondas d´ebiles (neu inos) o elec omagn´e icas (elec ones).
ii
´
Indice gene al
1. In oducci´on a la eo ´ıa de p opagado es 1
1.1. He amien asma em´a icas....................................... 1
1.1.1. Soluci´on undamen al de una ecuaci´on en de i adas pa ciales . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2. Soluci´on undamen al al p oblema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. P opagado lib e G0.......................................... 3
1.2.1. P opagado lib e pa a la ecuaci´on de Sch ¨odinge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2. P opagado lib e pa a la ecuaci´on de Di ac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. P opagado conin e acci´on ...................................... 6
1.4. Ma izS................................................. 8
1.5. Ma izSpa alaQED ......................................... 9
2. In e acci´on elec ´on-p o ´on 12
2.1. Dispe si´oncoulombiana ........................................ 12
2.2. Dispe si´on elec ´on-p o ´on sin es uc u a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3. F´o mula de Rosenblu h y ac o es de o ma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4. El adiodelp o ´on........................................... 22
3. In e acci´on d´ebil 26
3.1. Ma iz S pa a p ocesos d´ebiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2. C´alculo de la ampli ud in a ian e en νe+n→e−+p....................... 29
3.3. Secci´one icazdi e encial........................................ 31
3.4. Secci´on e icaz pa a el p oceso con an ineu inos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.5. Fac o esde o mahad ´onicos ..................................... 32
3.6. Resul ados................................................ 34
4. Conclusiones 39
A. Ecuaci´on de Di ac 41
A.1.Solucioneslib es ............................................ 42
A.2.T ans o macionesdeLo en z ..................................... 42
B. C´alculos de azas y ampli udes in a ian es 43
B.1.Co a ian esbilineales ......................................... 43
B.2.Teo emasde aza ........................................... 43
B.3. M´as p opiedades del ´algeb a de Di ac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
B.4. Sumas de ampli udes sob e pola izaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
iii
C. C´alculo de enso es lep ´onico y had ´onico 48
C.1. Tenso had ´onico pa a la co ien e EM del p o ´on con es uc u a . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
C.2. Tenso lep ´onico pa a la co ien e d´ebil ν→e−........................... 49
C.3. Tenso had ´onico pa a co ien e d´ebil n→p............................. 50
C.4. Con acci´on de los enso es lep ´onico y had ´onico d´ebil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
i

Cap´ı ulo 1
In oducci´on a la eo ´ıa de
p opagado es
El obje i o en es e cap´ı ulo es in oduci el o malismo ma em´a ico necesa io pa a es udia p ocesos de
dispe si´on en mec´anica cu´an ica ela i is a. Pa a ello ha emos uso de la imagen de la Elec odin´amica Cu´an ica
desa ollada po Feynman y S ¨uckelbe g. Es e p ocedimien o, a´un no siendo an gene al como el lenguaje de
la eo ´ıa cu´an ica de campos en el que se in oducen ope ado es de campo no conmu a i os y se cons uye el
espacio de Fock, esul a m´as in ui i o y pe mi e ealiza c´alculos de in e ´es pa a p ocesos di e sos. En es e
abajo nos es ingimos a la o mulaci´on de Feynman-S ¨uckelbe g, que es ´a basada en la he amien a de los
p opagado es, y que sigue un pa alelismo con la eo ´ıa cu´an ica de dispe si´on no ela i is a.
Como p ime paso calcula emos los p opagado es pa a las ecuaciones cu´an icas de in e ´es. En el caso de
dispe si´on elec ´on-p o ´on que conside amos en el siguien e cap´ı ulo, usa emos la ecuaci´on de Di ac pa a
pa ´ıculas ca gadas con esp´ın 1/2. No obs an e, odo el desa ollo es an´alogo pa a cualquie ipo de ecuaci´on
lineal. En l´ıneas gene ales, un p opagado Ges un ope ado que pe mi e calcula la unci´on de onda en una
posici´on e ins an e conc e os a pa i de la unci´on de onda en un ins an e an e io (p opagado ) o pos e io
( e a dado ) de la siguien e mane a:
ψ(x0, 0) = iZR3
G(x0, 0;x, )ψ(x, )d3x.
1.1. He amien as ma em´a icas
Comenzamos en es a secci´on cons uyendo o malmen e el ma co ma em´a ico gene al en que plan ea y
esol e las ecuaciones de la mec´anica cu´an ica ela i is a. El espacio usual de unciones de cuad ado in eg able
sob e el espacio de Minkowski es demasiado ´ıgido. Con iene amplia nues o espacio de unciones a uno m´as
gene al, de dis ibuciones. Las dis ibuciones se de inen como aplicaciones duales ac uando sob e las unciones.
Sea po ejemplo D(R4) el espacio de unciones in ini amen e di e enciables sob e R4de sopo e compac o (i.e.
que se anulan ue a de una egi´on compac a aco ada). Se dice que Tes una dis ibuci´on sob e D(R4) si es
lineal T[αφ +βψ] = αT [φ] + βT[ψ]∀α, β ∈C, φ, ψ ∈ D(R4) y con inua T[ l´ım
n→∞φn] = l´ım
n→∞T[φn].
Aunque el espacio D(R4) puede usa se como espacio de unciones dando luga a las dis ibuciones D0(R4),
podemos usa un espacio de unciones m´as g ande, el conocido como espacio de Schwa z de unciones que an
su icien emen e ´apido a ce o, an o ellas como odas sus de i adas:
S(R4) = { ∈C∞(R4) : l´ım
|x|→∞|xm
k∂|α|
α |= 0 ∀m∈N, α mul i-´ındice, k = 1, ..., 4}.
1
Las aplicaciones lineales y con inuas sob e S(R4) son las llamadas dis ibuciones empe adas, deno adas po
S0(R4). Es e es el espacio conside ado en el es udio que sigue sob e las ecuaciones de la eo ´ıa cu´an ica ela i-
is a.
Un ejemplo pa adigm´a ico de dis ibuci´on es la ubicua del a de Di ac. Es a se de ine po su ac uaci´on co-
mo δ(ψ) = ψ(0). Es e iden emen e lineal sob e las unciones y con inua. Sin emba go, no es una unci´on en el
sen ido cl´asico: las dis ibuciones son m´as gene ales que las unciones. Es impo an e se˜nala que las unciones
son asimismo dis ibuciones: si enemos una unci´on (localmen e in eg able) , podemos de ini su ac uaci´on
como dis ibuci´on sob e o a unci´on a a ´es de la in eg al:
[ψ] = ZR4
∗ψd4x.
Una p opiedad cla e que man ienen las dis ibuciones es la de i aci´on. El concep o de de i ada d´ebil ex iende
la di e enciaci´on de unciones a dis ibuciones. Res ingida a las dis ibuciones que s´ı son unciones, la de i ada
d´ebil coincide con la cl´asica. Su de inici´on:
∂µT[φ] = −T[∂µφ].
Con es a de inici´on es posible calcula la de i ada d´ebil de la unci´on escal´on en una dimensi´on, en endida
como dis ibuci´on:
∂xθ(x)[φ] = θ(x)[−∂xφ] = −Z+∞
−∞
θ(x)∂µφdx=−Z+∞
0
∂xφdx=φ(0) −

φ(+∞) = δ[φ].
Luego la de i ada de la unci´on escal´on de Hea iside coincide con la del a de Di ac, en el sen ido de las dis i-
buciones.
Un concep o impo an e en la eo ´ıa de dis ibuciones que ponemos en uso es el p oduc o de con oluci´on.
Pa a unciones φ, ψ, se de ine como:
(φ?ψ)(y) := ZR4
φ(y−x)ψ(x)d4x.
Es a de inici´on se ex iende pa a con oluciona dis ibuciones Tcon unciones de la mane a siguien e:
T ? [ψ] := T[ˆ
P ? ψ],
donde ˆ
P (x) = (−x), el ope ado pa idad. Con es as he amien as es posible habla de soluciones unda-
men ales de ecuaciones en de i adas pa ciales, lo que nos pe mi i ´a calcula p opagado es de una mane a
especialmen e sencilla, g acias a la ans o mada de Fou ie . Una se ie de p opiedades se ´an cla e en el desa-
ollo:
δ ? = ∀ unci´on, donde δes la del a de Di ac.
∂µ(T ? ) = ∂µT ? pa a oda Tdis ibuci´on, unci´on.
1.1.1. Soluci´on undamen al de una ecuaci´on en de i adas pa ciales
Buscamos aplica la eo ´ıa de dis ibuciones a la esoluci´on de las ecuaciones en de i adas pa ciales (EDP)
de nues o in e ´es: las ecuaciones de onda ela i is a. Conside a emos en gene al soluciones a la ecuaci´on que
no sean necesa iamen e unciones sino dis ibuciones. En lo sucesi o, ˆ
L(D) se ´a un ope ado di e encial de
coe icien es cons an es. Un ejemplo se ´ıa ˆ
L(D) = −1
i~
~
2m∇2co espondien e al ope ado di e encial espacial
2
en la ecuaci´on de Sch ¨odinge . O o, co espondien e a la ecuaci´on de Di ac, se ´ıa ˆ
L(D) = −1
i~i~c α ·∇.
Conside emos la siguien e ecuaci´on di e encial: ˆ
L(D)ψ=ρ. Se dice que una dis ibuci´on Ees una soluci´on
undamen al a dicha ecuaci´on si cumple la ecuaci´on (en i´endanse las de i adas en el sen ido dis ibucional):
ˆ
L(D)E=δ. (1.1)
Una ez que se ob iene una soluci´on undamen al, es inmedia o ob ene la soluci´on a la ecuaci´on en ψ ´ıa el
p oduc o de con oluci´on. El esul ado nos lo p opo ciona el siguien e eo ema. La soluci´on undamen al es a ´a
in imamen e ligada con el p opagado Gque buscamos pa a cons ui la eo ´ıa de dispe si´on cu´an ica.
Teo ema 1.1. Sea Euna soluci´on undamen al de la ecuaci´on ˆ
L(D)ψ=ρ. En onces, ψ=E ? ρ es soluci´on
de la ecuaci´on.
Cuando la dis ibuci´on Esea una unci´on, el p oduc o de con oluci´on an e io es simplemen e (E ? ρ)(y) =
RR4E(x−y)ρ(y)d4x. La base de la demos aci´on es la p opiedad ya enunciada: δ ? = ∀ . Es e esul ado
puede consul a se en [1], e e encia en la que se cons uye la eo ´ıa de dis ibuciones y desa olla las aplicaciones
en mec´anica cu´an ica.
1.1.2. Soluci´on undamen al al p oblema de Cauchy
Usualmen e es m´as con enien e sepa a la dependencia empo al de la ecuaci´on de la pa e espacial. Un
ejemplo es en la ecuaci´on de Sch ¨odinge , que se esuel e calculando el p opagado en la secci´on 1.2.1. El
siguien e eo ema ex iende el esul ado an e io pa a el caso de ecuaciones de e oluci´on con condiciones iniciales
(p oblema de Cauchy).
Teo ema 1.2. Sea Euna dis ibuci´on que sa is ace:



∂ E−ˆ
L(D)E= 0 ∀ > 0
E(x, = 0) = δ(x).
En onces ψ(x0, 0) = RRnd3xE(x0−x, 0− ) (x)es soluci´on del p oblema:



∂ ψ−ˆ
L(D)ψ= 0 ∀ > 0,x∈Rn
ψ(x, = 0) = (x).
La demos aci´on de es e eo ema puede consul a se en [1], p´agina 58 ( undamen al solu ion o Cauchy
p oblems).
1.2. P opagado lib e G0
Los esul ados an e io es pe mi en demos a la exis encia de p opagado es pa a ecuaciones de onda lineales.
Como consecuencia inmedia a del eo ema 1.2 enemos la ecuaci´on in eg al que buscamos. Si ijamos el iempo
inicial y conside amos 0> , podemos da como condici´on inicial la unci´on de onda ψ(x, ). En al caso,
enemos que la con oluci´on RR3d3xE(x0−x, 0− )ψ(x, ) es p ecisamen e la soluci´on de la ecuaci´on de onda
conside ada, e aluada en x0, 0. Es deci :
ψ(x0, 0) = Zd3xE(x0−x, 0− )ψ(x, ).
3
Bas a de ini G0(x0, 0;x, ) = −iE(x0−x, 0− ) y ob enemos la ecuaci´on cl´asica del p opagado lib e:
ψ(x0, 0) = iZd3xG0(x0, 0;x, )ψ(x, ).(1.2)
Podemos ya pone en ma cha es a maquina ia pa a calcula los p opagado es lib es pa a las ecuaciones de
onda que nos in e esan.
1.2.1. P opagado lib e pa a la ecuaci´on de Sch ¨odinge
Pa imos de la ecuaci´on de Sch ¨odinge con condici´on inicial pa a la unci´on de onda escala ψ:



i~∂ ψ=−~2
2m∇2ψ
ψ(x, = 0) = ψ0(x).
Esc i a en la o ma del eo ema, la EDP es:
∂ ψ−i~
2m∇2ψ= 0.
La ecuaci´on an´aloga pa a E:
∂ E−i~
2m∇2E= 0,
y omando la ans o mada de Fou ie espec o de las a iables espaciales, ˜
E=F(E), ob enemos
∂ ˜
E+i~k2
2m˜
E= 0,
que iene po soluci´on inmedia a:
˜
E=c(k)e−i~k2
2m .
El coe icien e c(k) se ob iene de la condici´on inicial:
c(k) = ˜
E| =0 =F(E| =0) = F(δ)=1.
Haciendo la ans o mada de Fou ie in e sa se ob iene:
E(x, ) = 1
(2π)3ZR4
d3k e−i~k2
2me+ik·x=1
(2π)32mπ
i~ 3/2
exp imx2
2~ =m
2πi~ 3/2exp imx2
2~ .
El p opagado que se ob iene es, pa a 0> :
G0(x0, 0;x, )+=−im
2πi~( 0− )3/2
exp im|x0−x|2
2~( 0− ).(1.3)
1.2.2. P opagado lib e pa a la ecuaci´on de Di ac
Podemos desa olla un p ocedimien o simila pa a calcula el p opagado lib e pa a la ecuaci´on de Di ac:
i~/
∂ψ −mcψ = 0.
Pa a la dis ibuci´on E:


(i~/
∂−mc)E=~δ4(x)
E(x, = 0) = δ3(x).
(1.4)
En al caso, la con oluci´on de Econ la unci´on de onda de Di ac en el ins an e inicial es soluci´on de la ecuaci´on:
E ?xψ| =0(x0, 0) = ZR3
E(x0−x, 0)ψ(x, = 0)d3x.
4
Usualmen e abaja emos a p ime o den, con lo que nos bas a con la exp esi´on:
S i ≈ ∓ie
~ZR4
d4y φ (y)/
A(y)φi(y) (1.28)
donde aho a s´ı enemos el es ado en an e φi.
11

Cap´ı ulo 2
In e acci´on elec ´on-p o ´on
En es e cap´ı ulo calcula emos secciones e icaces de p ocesos de dispe si´on de elec ones con a p o ones. El
p oceso queda esquem´a icamen e ep esen ado en la Figu a 2.1. En p ime luga conside amos el p o ´on como
un cen o de ue za coulombiano, ijado en su posici´on. Despu´es conside a emos el p o ´on como pa ´ıcula de
Di ac sin es uc u a, lo que in oduci ´a la posibilidad de e oceso en el mismo. Pa a e mina , modela emos
el p o ´on como una pa ´ıcula con es uc u a in e na, a a ´es de los ac o es de o ma. Es o pe mi i ´a deduci
una secci´on e icaz que se ´a ´alida pa a eg´ımenes de ene g´ıas m´as al as. Es os esul ados se elaciona ´an con
un p oblema abie o de ´ısica ac ual, la de e minaci´on del adio del p o ´on, ya que el p oceso de dispe si´on
elec ´on-p o ´on es uno de los medios expe imen ales pa a accede a dicho adio.
e−
e−
γ
p
p
Figu a 2.1: Diag ama de Feynman de un p oceso de dispe si´on e−−p
2.1. Dispe si´on coulombiana
Empezamos es udiando la dispe si´on de un elec ´on con a un po encial coulombiano. Siendo e < 0 la ca ga
elemen al del elec ´on, el po encial coulombiano co esponde a:
Φ(x) = −Ze
4π0|x|,A=0, Aµ≡1
cΦ(x),0=⇒/
A=−Ze
4π0c
1
|x|γ0.
Es e p oceso puede se ep esen ado con el diag ama de Feynman de la Figu a 2.2.
12
e−
e−
γ
Figu a 2.2: Diag ama de Feynman de un p oceso de dispe si´on e−con un po encial de Coulomb
A pa i de la ecuaci´on (1.28) podemos calcula la secci´on e icaz del p oceso a p ime o den. Los es ados
asin ´o icos en an e y salien e con momen o, ene g´ıa y pola izaci´on co espondien es pi, Ei, si;p , E , s son:
ψi=smc2
EiVu(pi, si) exp(−ipµ
ixµ/~)
ψ =smc2
E Vu(p , s ) exp(−ipµ
xµ/~).
El elemen o de la ma iz de ampli ud Ses:
S i =−ie
~ZR4
d4yψ (y)/
Aψi(y) = + iZe2
4π0~cZR4
d4ymc2
V
1
pEiE
u γ0uiexp −i(pi−p )µyµ
~.
Podemos iden i ica inmedia amen e la cons an e de es uc u a ina: α=e2
4π0~c≈1
137 . La in eg al en y0
con ibuye a una del a en la ene g´ıa, lo que es ´a elacionado con la conse aci´on de la ene g´ıa en el p oceso:
Z+∞
−∞
dy0exp[+i(E −Ei)y0/~c] = ~cZ+∞
−∞
d( /~) exp[+i(E −Ei) /~]=2π~c δ(E −Ei).
La in eg al en el espacio puede hace se po in eg aci´on po pa es dos eces eniendo en cuen a que no hay
on e a. Pa a ello de inimos el momen o ans e ido q=p −pi, y deducimos:
exp[−iq·y/~] = −~2
|q|2∇2exp[−iq·y/~].
Con la exp esi´on an e io y usando ∇2(1/|x|2) = −4πδ3(x) ob enemos:
ZR3
d3yexp h−iq·y
~i1
|y|=−~2
|q|2ZR3
d3y∇2(e−iq·y
~)1
|y|=−~2
|q|2ZR3
d3ye−iq·y
~∇21
|y|=4π~2
|q|2ZR3
d3ye−iq·y
~δ3(y).
El elemen o de ma iz queda exp esado de la siguien e mane a:
S i =iZα mc2
V√EiEF
2π~c δ(E −Ei)4π~2
|q|2u γ0ui.(2.1)
La p obabilidad de ´ansi o del es ado ψial es ado ψ es el m´odulo al cuad ado de dicho elemen o de ma iz:
|S i|2= (4πα)2m2c4
V2EiE |u γ0ui|2(2π~c δ(E −Ei))2~
|q|24
.
Como nos in e esa medi la p obabilidad de que el es ado inal enga un momen o lineal p , hay que mul iplica
es a p obabilidad po la densidad de es ados en momen o inal, que es:
dN =V
(2π~)3d3p .
13
La densidad de p obabilidad de ansici´on del es ado ψia un es ado con momen o p es:
|S i|2dN = (4πα)2m2c4
V2EiE |u γ0ui|2(2π~c δ(E −Ei))2~
|q|24V
(2π~)3d3p .
Fo malmen e, el cuad ado de la del a en ene g´ıa es complicado de e alua . A a ´es de un p oceso de paso al
l´ımi e se puede jus i ica el cambio:
(2π~c δ(E −Ei))2= 2π~c2Tδ(E −Ei),
donde Tes el iempo en el cual se p oduce el p oceso. Es o es ´a jus i icado pa a el l´ımi e T→+∞lo cual es ´a
en consonancia con la ´ısica del p oceso: es amos compa ando es ados muy alejados en el iempo. El c´alculo a
a ´es de un p oceso de l´ımi e puede consul a se en el cap´ı ulo 3 de la e e encia [2]. La secci´on e icaz di e encial
se de ine como la p obabilidad de ansici´on po unidad de iempo y co ien e. Calculamos la co ien e pa a
cualquie elecci´on de la pola izaci´on, omando sin p´e dida de gene alidad el eje z):
Jµ
i=cψγµψ=⇒J3
i=cψγ3ψ=cmc2
EiVuiγ3ui=cmc2
EiV
Ei+mc2
2mc2
pc
Ei+mc2=cpc
EiV=
V.
La secci´on e icaz di e encial se exp esa en onces como sigue:
dσ=|S i|2dN
JT =4Z2α2m2c4
EiE |u γ0ui|2~c2
Tδ(E −Ei)

T~
|q|4d3p
~3.(2.2)
Un an´alisis dimensional pe mi e comp oba que las unidades de dσson de ´a ea, al y como co esponde.
Di idiendo po la unidad de ´angulo s´olido sabiendo que d3p =|p |2d|p |dΩ ≡p2
dp dΩ, enemos:
dσ
dΩ =4Z2α2m2c4(~c)2
EiE i|q|4δ(E −Ei)|u γ0ui|2p2
dp .(2.3)
Conside ando la ecuaci´on ela i is a pa a ene g´ıa y momen o E2
=c2p2
+m2c4=⇒p dp =E dE podemos
lle a a cabo la in eg al e aluando la del a que impone la conse aci´on de la ene g´ıa:
Z+∞
0
δ(E −Ei)p2
E Ei i
dp =Z+∞
0
δ(E −Ei)p
Ei

E i
dE
c2=1
c2
pi
Ei i
=1
c2.
Po an o: dσ
dΩ =4Z2α2(mc2)2(~c)2
|cq|4|u γ0ui|2.(2.4)
Solo es a e alua el ac o de los espino es. Usualmen e se suele p omedia en las pola izaciones iniciales ya
que no se p epa a el es ado inicial en ninguna di ecci´on p e e en e. En los es ados inales se de ec an odas las
posibles pola izaciones. Po an o podemos eemplaza :
|u γ0ui|2→1
2X
si,s |u(p , s )γ0u(pi, si)|2.
La e aluaci´on de una suma de es e ipo puede ealiza se con los eo emas de aza. Los de alles del c´alculo se
basan en los esul ados expues os en el ap´endice B.2. En gene al, se iene:
|u Γui|2= (u Γui)(uiΓui).
con Γ = γ0Γ†γ0. El esul ado inal pa a nues a suma en pola izaciones es:
1
2X
si,s |u(p , s )γ0u(pi, si)|2=E2+c2pi·p + (mc2)2
(mc2)2.
Con el ´angulo de dispe si´on θpodemos exp esa el momen o ans e ido en unci´on del momen o inicial:
|q|= 2|p|sin(θ/2). La exp esi´on que queda pa a la secci´on e icaz coulombiana es:
dσ
dΩ =4Z2α2

(mc2)2(~c)2
16|cp|4sin4(θ/2)
E2+c2pi·p + (mc2)2


(mc2)2=Z2α2(~c)2
|cp|4sin4(θ/2)E2(1 −β2sin2(θ/2)).
14
La exp esi´on simpli icada, con el ac o ela i is a β= /c:
dσ
dΩMo =Z2α2(~c)2
4β2|cp|2sin4θ
21−β2sin2θ
2.(2.5)
Es e esul ado se conoce como secci´on e icaz di e encial de Mo . Podemos compa a la con la secci´on e icaz
di e encial de Ru he o d: dσ
dΩRu h =Z2α2(~c)2
4β2|cp|2sin4θ
2.(2.6)
La secci´on de Mo gene aliza a la de Ru he o d, a ando el esp´ın de los elec ones de una mane a in ´ınse-
camen e ela i is a a a ´es de las unciones de onda de Di ac. Puede obse a se que la secci´on de Mo iene
la de Ru he o d como l´ımi e no ela i is a. Pa a el l´ımi e ul a ela i is a enemos que β→1, Ei≈c|pi|y la
secci´on e icaz pa a es e l´ımi e se ap oxima po :
dσ
dΩMo =Z2α2(~c)2cos2(θ/2)
4E2
isin4(θ/2) .(2.7)
2.2. Dispe si´on elec ´on-p o ´on sin es uc u a
Es udiamos aho a el caso de dispe si´on de un elec ´on y un p o ´on lib es. Nos in e esa ob ene la secci´on
e icaz del p oceso en la escala de al as ene g´ıas, y es po ello que oma emos el l´ımi e ul a ela i is a pa a el
elec ´on a la ho a de ob ene la ampli ud del p oceso de dispe si´on. En es e caso ya no enemos un po encial
de Coulomb ijo, y espe amos encon a una con ibuci´on signi ica i a del e oceso del p o ´on. Nues a ap o-
ximaci´on consis e en modela el p o ´on como un e mi´on de esp´ın 1/2 sin es uc u a, desc i o po la ecuaci´on
de Di ac. Pa a calcula el p oceso a p ime o den pa imos del elemen o de ma iz S:
S i =−ie ZR4
d4y ψi(y)/
A(y)ψ (y).
Conoce la co ien e que induce el p o ´on equie e esol e o malmen e las ecuaciones de Maxwell. Po como-
didad elegimos el gauge de Lo enz. En es a secci´on adop amos el sis ema na u al de unidades, donde ~=c= 1.
En el gauge seleccionado ob enemos:
∂µFµν = 4πJν=⇒∂µ∂µAν−∂µ

∂νAν= 4πJν.
Aplicando las ´ecnicas desa olladas pa a soluciones undamen ales de EDPs ob enemos la ecuaci´on pa a el
p opagado DF, que esol emos en el espacio de momen os a a ´es de la ans o mada de Fou ie :
∂µ∂µDF= 4πδ =⇒ −qµqµ˜
DF= 4π=⇒˜
DF=−4π
qµqµ=⇒DF(x) = 1
(2π)4ZR4
d4q e−iqµxµ−4π
qµqµ.
El po encial c eado po la co ien e es po an o:
Aµ(x) = (DF? Jµ)(x) = ZR4
d4y DF(x−y)Jµ(y).
Ob enemos as´ı el elemen o de ma iz en ´e minos de las llamadas co ien es de ansici´on:
S i =−iZR4×R4
d4xd4yeψ γµψi(x)DF(x−y)Jµ(y).
Si conside amos el elec ´on como el c eado de la co ien e y el p o ´on como es ado en an e y salien e encon-
amos una exp esi´on comple amen e an´aloga. El ´e mino eψ γµψi(x) es la co ien e de ansici´on del elec ´on.
La o ma inal que usa emos pa a calcula el elemen o de ma iz la ob enemos in oduciendo la co ien e del
p o ´on, que po sime ´ıa ha de ene la misma o ma que la del elec ´on: Jµ
p(y)=(−e)Ψ γµΨi(y). In oducimos
la ep esen aci´on en el espacio de momen os del p opagado :
S i =−iZR4×R4×R4
d4xd4q
(2π)4d4y Jl
µ(x)˜
D (q)Jµ
p(y)eiq·(x−y).(2.8)
15
Pa a escla ece la no aci´on usamos min´usculas pa a las a iables asociadas al elec ´on y may´usculas pa a las
del p o ´on. Las unciones de onda pa a el p o ´on:
Ψi(y) = M
EiVU(Pi, Si) exp[−iPµ
iyµ]
Ψ (y) = sM
E VU(P , S ) exp[−iPµ
yµ].
Las unciones de onda del elec ´on:
ψi(x) = m
iVu(pi, si) exp[−ipµ
ixµ]
ψ (x) = m
 Vu(p , s ) exp[−ipµ
xµ].
Po simpli ica la no aci´on, ab e ia emos los espino es de la siguien e mane a:
U(P , S ) = U U(Pi, Si) = Uiu(p , s ) = u u(pi, si) = ui.
El elemen o de ma iz, sus i uyendo las co ien es y el p opagado o ´onico ˜
DF:
S i =ie2mM
(2π)4V2pi EiE ZR4×R4×R4
d4xd4yd4q(u γµui)(U γµUi)−4π
q2ei(p −pi−q)µxµei(P −Pi+q)µyµ
=ie2mM
V2pi EiE
(u γµui)(U γµUi)(2π)4ZR4
d4q δ4(p −pi−q)δ4(P −Pi+q)−4π
q2
=ie2
V2
mM
pi EiE
(u γµui)(U γµUi)(2π)4−4π
(p −pi)2δ4(P +p −Pi−Pi).
Aqu´ı la a iable q=p −pi=Pi−P = (ω, q) se denominda 4-momen o ans e ido, que ans ie e el o ´on
i ual mediado del elec ´on al p o ´on. Puede comp oba se que la ene g´ıa ωy momen o q ans e idos po
el o ´on i ual sa is acen ω < |q|. N´o ese que pa a un o ´on eal se e i ica q2=ω2− |q|2= 0. Las del as
asegu an la conse aci´on del 4-momen o o al pa a el sis ema comple o elec ´on y p o ´on.
Pa a calcula la secci´on e icaz del p oceso, calculamos la p obabilidad de ansici´on en e los es ados po
unidad de iempo y olumen (W i =|S i|2/(V T)) y mul iplicamos po la densidad de es ados inales. Llama-
mos ampli ud in a ian e a la magni ud:
M i = (u γµui)4πeep
q2(U γµUi).(2.9)
Pa a el cuad ado de la dis ibuci´on del a hacemos una sus i uci´on simila a la que hicimos en el caso de
dispe si´on con po encial coulombiano:
[(2π)4δ4(P +p −pi−Pi)]2→TV (2π)4δ4(P +p −pi−Pi).
As´ı, la p obabilidad de ansici´on po unidad de iempo y olumen queda:
W i = (2π)4δ4(P +p −pi−Pi)m2M2
V4i EiE |M i|2,(2.10)
siendo la densidad de es ados inales:
dN =V2d3p
(2π)3
d3P
(2π)3.
Finalmen e, pa a ob ene la secci´on e icaz hay que di idi po el lujo de e en os:
dσ=m
i
M
Ei
1
|J|V|M i|2(2π)4δ4(P +p −pi−Pi)md3p
 (2π)3
Md3P
E (2π)3.(2.11)
16

El ´e mino en e co che es es conocido como ac o de lujo Fy iene en cuen a la can idad de e en os de coli-
si´on que hay po unidad de iempo. El ´e mino |M i|2es el que desc ibe la in e acci´on en el p oceso m´as all´a de
la pu a cinem´a ica. La del a asegu a la conse aci´on del momen o o al, y los ´ul imos ac o es son la e si´on in-
a ian e de la densidad de es ados inales. Desa olla emos cada uno de es os ac o es ci ados en dis in os pasos.
Densidad de es ados
La densidad de es ados inales del p o ´on admi e una eesc i u a que hace m´as ´acil la in eg aci´on espec o
P usando la unci´on escal´on de Hea iside θ:
Md3P
E
= 2MZ+∞
−∞
d4P δ(P2
−M2)θ(P0
).
Con el cambio de a iable d3p =|p |2d3|p |dΩ = |p | d dΩ e in eg ando (2.11) sob e el momen o inal del
p o ´on y la ene g´ıa del elec ´on:
dσ
dΩ =FZ∞
0
d ZR4
d4P
2M
(2π)2|M i|2δ(P +p −pi−Pi)|p |δ(P2
−M2)θ(P0
)
=FM
2π2Z∞
0
d |M i|2|p |θ(P0
i+p0
i−p0
)δ((Pi+pi−p )2−M2)
=FM
2π2ZM+i
m
d |M i|2δ(2m2−2M( −i)−2i + 2|pi||p |cos(θ)).
En los l´ımi es de in eg aci´on hemos usado la unci´on escal´on pa a el l´ımi e supe io , y sabiendo que siemp e
 ≥m. T as un c´alculo cuidadoso con la del a que se ob iene, la exp esi´on esul an e es:
dσ
dΩ =FmM
4π2|p ||M i|2
M+i− |pi|
|p |cos(θ).(2.12)
La condici´on de conse aci´on de ene g´ıa de la del a implica que:
 (M+i)−|pi||p |cos(θ) = iM+m2.(2.13)
Ampli ud in a ian e
Calculamos aho a el ac o |M i|2. No malmen e no se conocen las pola izaciones iniciales ni se miden las
pola izaciones inales. Po an o lo usual es p omedia en si, Siy suma en s , S , ob eniendo as´ı:
|M i|2→ |M i|2=1
4X
si,s ,Si,S |(u γµui)4πeep
q2(U γµUi)|2=(4π)2e2e2
p
(q2)2LµνHµν,
donde Lµν yHµν son los enso es lep ´onico y had ´onico. Se puede demos a calculando la suma an e io ( e
eo ema B.11 en el ap´endice B.4) que en el caso de elec ´on y p o ´on sin es uc u a los enso es se esc iben
como:
Lµν =1
2T /
p +m
2mγµ/
pi+m
2mγν,
Hµν =1
2T /
P +M
2Mγµ
/
Pi+M
2Mγν.
Con los eo emas de aza se ob iene, as algunas manipulaciones, que:
Lµν =1
2m2hpµ
ipν
+pµ
pν
i−gµν(pi·p −m2)i,(2.14)
Hµν =1
2M2hPµ
iPν
+Pµ
Pν
i−gµν(Pi·P −M2)i.(2.15)
17
La con acci´on de es os dos enso es es un c´alculo la go pe o sencillo, que esul a en una exp esi´on pa a |M i|2
una ez se ealiza la con acci´on aplicando linealidad:
|M i|2=4πe2
mMq221
2(pi·Pi)(p ·P )+(p ·Pi)(pi·P )−(pi·p )M2−(Pi·P )m2+ 2m2M2.(2.16)
Es a ampli ud in a ian e la amos a e alua en el sis ema de e e encia en el que el p o ´on cons i uye un blanco
en eposo, es deci : 














Pi= (M, 0),
pi= (i,pi),
p = ( ,p ),
P =Pi+pi−p = (M+i− ,pi−p ).
Relacionemos el momen o ans e ido con los an e io es:
q2= (p −pi)2= 2m2−2p ·pi= 2(m2− i−p ·pi) = 2(m2− i−|p ||pi|cos(θ)).(2.17)
Desa ollando los p oduc os de los cuad i ec o es momen o en es e sis ema de e e encia, el co che e en (2.16)
esul a:
|M i|2∝iMp ·(Pi+pi−p ) +  Mpi·(Pi+pi−p )−M2(pi·p )−m2M(M+i− )+2m2M2
=iM( M+pi·p −m2) +  M(iM+m2−pi·p )−M2pi·p −m2M2−m2Mi+m2M + 2M2M2
= [2i M2−pi·p (M2+M( −i)) + 2m2M( −i)],
de donde ob enemos:
|M i|2=4πe2
q21
2m2M22i M2−pi·p (M2+M( −i)) + 2m2M( −i).
Es a exp esi´on puede pone se en ´e minos de q2, ya que de (2.17) se deduce p ·pi=m2−q2/2, esul ando:
|M i|2=4πe2
q2 
m21 + q2
4 i1 +  −i
M−m2
2 i
 −i
M.
Aho a omamos el l´ımi e ul a ela i is a en la ene g´ıa del elec ´on inciden e, en el cual:
|p |
|pi|→
i
.
El momen o ans e ido simpli ica:
q2= 2(m2− i−|p ||pi|cos(θ)) ≈ −2 i(1 −cos(θ)) = −4 isin2(θ/2).
Luego en el l´ımi e ul a ela i is a pa a el elec ´on:



q2≈ −4 isin2(θ/2),
p ·pi≈ −q2
2.
La condici´on de conse aci´on de la ene g´ıa (2.13) simpli ica d ´as icamen e:
 (M+i)−|p ||pi|cos(θ) = iM+m2
 i−|p ||pi|cos(θ)−m2= (i− )M
 i(1 −cos(θ)) ≈(i− )M
 −i
M≈ −2 i
M2sin2(θ/2) ≈q2
2M2.(2.18)
18
En pa icula , se deduce la impo an e elaci´on:
i= + 2i
Msin2(θ/2) =⇒i

= 1 + 2i
Msin2(θ/2).(2.19)
Bas a sus i ui las exp esiones de q2y −i
Men |M i|2pa a ob ene , desp eciando el ´e mino p opo cional a
m2/M2:
|M i|2=4πe2
q22 i
m2"1 + q2
4 i−q2
M2sin2(θ/2) + 

m2
M2sin2(θ/2)#
≈4πe2
q22 i
m21−sin2(θ/2) −q2
M2sin2(θ/2)
=4πe2
q22 i
m2cos2(θ/2) −q2
2M2sin2(θ/2)(2.20)
≈4πe2
−4i sin2(θ/2)2 i
m2cos2(θ/2) −q2
2M2sin2(θ/2)
=π2e4
 isin4(θ/2)
1
m2cos2(θ/2) −q2
2M2sin2(θ/2).(2.21)
Fac o de lujo
Bajo la hip´o esis de colisi´on colineal se ob iene una exp esi´on sencilla pa a el ac o de lujo ( ´ease [2],
ecuaci´on 3.78) a pa i de la exp esi´on J=| i−Vi|
Ven unci´on de la elocidad ela i a en e ambas pa ´ıculas:
F=mM
p(pi·Pi)2−m2M2.
Es a exp esi´on es in a ian e Lo en z y puede e alua se en el mismo sis ema de e e encia que elegimos an e-
io men e, en el que el p o ´on es el blanco en eposo, esul ando:
F=mM
p2
iM2−m2M2=m
|pi|.(2.22)
Secci´on e icaz di e encial
Haciendo uso de los esul ados an e io es puede ob ene se la exp esi´on de la secci´on e icaz di e encial en
la ap oximaci´on ul a ela i is a pa a el elec ´on. Inse amos la ampli ud in a ian e (2.20), el ac o de lujo
(2.22) en la exp esi´on con la densidad de es ados ya in eg ada (2.12):
dσ
dΩ =m2M
4π2|p |
|pi|
1
M+i− |pi|
p cos(θ)
π2e4
 isin4(θ/2)
1
m2cos2(θ/2) −q2
2M2sin2(θ/2)
≈M
4

i
1
M+i(1 −cos(θ))
α2
 isin4(θ/2) cos2(θ/2) −q2
2M2sin2(θ/2)
=α2
42
isin4(θ/2) hcos2(θ/2) −q2
2M2sin2(θ/2)i
1+2i
Msin2(θ/2) .(2.23)
Compa ando con la secci´on e icaz de Mo se obse a la apa ici´on de un ac o en el denominado . Teniendo en
cuen a la elaci´on en e ene g´ıa inciden e y salien e del elec ´on dada po (2.19) iden i icamos es e ac o como
el e oceso ec ≡i/ , que cuan i ica cu´an o momen o se lle a el p o ´on blanco. La secci´on e icaz di e encial
que esul a es:
dσ
dΩ =α2
42
isin4(θ/2) −1
ec cos2(θ/2) −q2
2M2sin2(θ/2).(2.24)
Pa a esca a las unidades en el sis ema in e nacional bas a ´ıa mul iplica po (~c)2y ob ene as´ı dimensiones
de ´a ea. Adem´as de un ´e mino de e oceso que no apa ec´ıa cuando model´abamos el p o ´on como un cen o
19
coulombiano, el ´e mino en co che e es debido a que ambas pa ´ıculas en colisi´on son e miones con esp´ın: a
al as elocidades el esp´ın de una es sen ido po la o a como un campo magn´e ico que ac ´ua sob e una ca ga
en mo imien o, y de ah´ı la nue a dependencia angula .
2.3. F´o mula de Rosenblu h y ac o es de o ma
El an e io esul ado iene limi aciones: pa a elec ones de al as ene g´ıas, comienza a juga un papel impo -
an e la es uc u a in e na del p o ´on, que en nues o a amien o hemos conside ado una pa ´ıcula de Di ac
sin es uc u a.
Pa a en en a nos a ese p oblema, modela emos la co ien e del p o ´on de una mane a m´as gene al, in o-
duciendo los llamados ac o es de o ma del p o ´on. Es os desc iben la dis ibuci´on de ca ga y magne izaci´on
del nucle´on, in oduciendo ´e minos adicionales de in e acci´on con el elec ´on inciden e que modi ican la secci´on
e icaz pa a los angos de ene g´ıas supe io es. Comenzamos p oponiendo un cambio en la co ien e:
Jµ
p=epU(P , S )γµU(Pi, Si) =⇒Jµ
p=epU(P , S )ΓµU(Pi, Si).
Imponiendo condiciones de co a ianza Lo en z, he mi icidad e in a iancia gauge de la co ien e, ob enemos
que la exp esi´on m´as gene al que exis e pa a el ope ado de ´e ice Γµes:
Γµ=γµF1+i
2MF2σµνqν,(2.25)
donde qνes el 4-momen o ans e ido. Los ac o es F1(q2) y F2(q2) son los llamados ac o es de o ma de
Pauli y Di ac, espec i amen e, y dependen del escala q2=qµqµ, el ´unico escala cinem´a ico independien e.
A pesa de que no lo hagamos expl´ıci o, an o F1, F2, como Γ dependen de q2. El uso de ac o es de o ma ue
in oducido po R. Ho s ade [3] p ecisamen e pa a explica los esul ados expe imen ales de la dispe si´on de
elec ones con n´ucleos.
A pesa de habe cambiado el ope ado espino ial de la co ien e, la misma de i aci´on pa a el elemen o de
ma iz S i que se hizo en la secci´on 2.2 es ´alida aqu´ı, con la con enien e sus i uci´on U γµUi=⇒U ΓµUi:
S i =ie2
V2
mM
pi EiE
(u γµui)(U ΓµUi)(2π)4−4π
q2δ4(P +p −Pi−Pi).
De hecho, el ´unico ´e mino que se e modi icado en la ´o mula pa a la secci´on e icaz di e encial dada po (2.12)
es la ampli ud in a ian e M i, que es donde es ´a con enida la e aluaci´on de los co a ian es bilineales. De nue o,
es a ampli ud in a ian e la p omedia emos sob e los es ados de pola izaci´on en an es y la suma emos sob e
los es ados de pola izaci´on salien es:
|M i|2=1
4X
si,s ,Si,S u γµui
4πe2
q2U ΓµUi
2
.(2.26)
G acias a la descomposici´on de Go don (B.1) podemos u iliza una exp esi´on equi alen e pa a U ˆ
ΓµUiy
elimina σµν:
U ΓµUi=U γµF1+i
2MF2σµνqν=Ui=U (F1+F2)γµ−F2
2M(P +Pi)µUi.
Po an o, podemos eesc ibi el ope ado Γ como:
Γµ= (F1+F2)γµ−F2
2m(P +Pi)µ
1
.
20
3.1. Ma iz S pa a p ocesos d´ebiles
A lo la go de es e cap´ı ulo nos cen a emos en p ocesos de in e acci´on de neu inos con nucleones mediados
po co ien es ca gadas. Es o implica que las pa ´ıculas en an es y salien es del p oceso no son las mismas.
El ejemplo con el que empeza emos es ´a ep esen ado en la Figu a 3.1: un neu ino incide sob e un neu ´on
y como p oduc o esul an un lep ´on del mismo sabo y un p o ´on. M´as adelan e pa icula iza emos pa a
el caso de neu inos elec ´onicos, lo que pe mi i ´a simpli ica las exp esiones bajo un l´ımi e ul a ela i is a
que es ´a jus i icado en el caso elec ´onico pe o no mu´onico. Tambi´en conside a emos el p oceso en el cual un
an ineu ino incide sob e un p o ´on y se ob iene un neu ´on y un an ilep ´on como p oduc os.
l−
νl
W
p
n
Figu a 3.1: Diag ama de Feynman de un p oceso de dispe si´on νlcon neu ´on
En el cap´ı ulo 1 dedujimos una exp esi´on pa a el elemen o de ma iz S a p ime o den en eo ´ıa de
pe u baciones, dado po (1.28):
S i ≈ ∓iZR4
d4y φ (y)/
A(y)φi(y).
En el cap´ı ulo 2, dependiendo del p oceso, desa ollamos el ´e mino po encial bien en ´e minos de la exp esi´on
coulombiana o en ´e minos de la co ien e de la o a pa ´ıcula pues a en juego en el p oceso, a a ´es del
p opagado o ´onico DF(x−y). Es e p opagado lo ob en´ıamos a a ´es de una ans o mada de Fou ie y una
con oluci´on:
Dµν(x−y) = gµν
(2π)4ZR4
d4q eiq·(x−y)−4π
q2.
La exp esi´on que ob en´ıamos pa a el elemen o de ma iz e a:
S i =−iZR4×R4×R4
d4xd4q
(2π)4d4y Jµ
l(x)˜
Dµν(q)Jν
p(y)eiq·(x−y).(3.1)
En es e cap´ı ulo seguimos un p ocedimien o simila pa a el campo de in e acci´on d´ebil. Al igual que en el caso
elec omagn´e ico, end emos un bos´on mediado , ambi´en asociado a un campo ec o ial. De modo simila al
o ´on γ, asociado al campo elec omagn´e ico Aµ, en el caso de in e acci´on d´ebil, enemos el bos´on W±asociado
al campo complejo W±
µ=q1
2W1
µ∓iW2
µ. Siendo bosones ec o iales, ambos ienen esp´ın 1. No obs an e, en
el caso de la in e acci´on d´ebil, el bos´on es masi o, con MW= 80,379(12) GeV/c2. En el caso elec omagn´e ico,
in e acci´on con an´alogo cl´asico, pudimos exp esa el campo a a ´es de la co ien e esol iendo las ecuaciones
de Maxwell pa a ob ene el p opagado o ´onico. La exp esi´on pa a el p opagado del bos´on W es algo m´as
complicada, esul ando inalmen e (de alles sob e la deducci´on del p opagado d´ebil pueden encon a se en
[19]):
˜
Dαβ(q) = −gαβ +qαqβ/M2
W
q2−M2
W
.
En nues o caso de in e ´es, las ene g´ıas in oluc adas son signi ica i amen e meno es que la masa del bos´on W;
po consiguien e, el p opagado puede ap oxima se po la exp esi´on (l´ımi e es ´a ico):
Dαβ(q)≈gαβ
M2
W
.(3.2)
La eno me masa del bos´on W es la que de e mina la baja in ensidad de la in e acci´on d´ebil, as´ı como su co o
alcance. Si bien es cie o que la cons an e de acoplo d´ebil ges mucho mejo que la cons an e elec omagn´e ica,
27

si es a uese la ´unica di e encia ambas in e acciones se ha ´ıan compa ables a ene g´ıas supe io es a la masa del
bos´on W. Puede consul a se m´as in o maci´on e e en e a la eo ´ıa de in e acci´on d´ebil en los cap´ı ulos [20].
P ocedemos aho a a ija la no aci´on pa a los 4-momen os pues os en juego en nues o p oceso. Po sim-
plicidad suponemos casi iguales las masas del neu ´on y del p o ´on: mp≈mn≡M















Neu ino: kνl= (νl,kνl).
Neu ´on: Pn= (En,Pn).
P o ´on: Pp= (Ep,Pp).
Lep ´on: kl= (l,kl).
De nue o el 4-momen o ans e ido es q=kνl−kl. El papel de la ca ga del elec ´on lo juega la cons an e
de acoplo d´ebil gque in oduci emos como ac o de p opo cionalidad pa a las co ien es d´ebiles. Si bien las
co ien es en elec odin´amica son pu amen e ec o iales (dependencia con γµ) las co ien es d´ebiles p esen an
una pa e ec o ial y o a axial (dependencia con γµγ5). La in oducci´on de es e ´e mino axial es c ucial en la
in e acci´on d´ebil pues lle a a la o u a de sime ´ıa que in oluc a la iolaci´on de la pa idad y de la conjugaci´on
de ca ga. La demos aci´on expe imen al de la iolaci´on de pa idad u o luga en 1956 en un expe imen o en el
que se es udiaba la dis ibuci´on angula de los elec ones emi idos po decaimien o βdel 60Co. Se obse ´o una
ue e asime ´ıa en el ´angulo que o man el momen o de los elec ones emi idos y la o ien aci´on del momen o
angula del n´ucleo pad e, pola izado po un campo magn´e ico in enso [21].
Las exp esiones que usa emos pa a la co ien e lep ´onica y had ´onica se pueden consul a en Qua ks and
lep ons [20] cap´ı ulo 12:
(Jα
l)†(x) = g
2√2ψl(x)γα(1 −γ5)ψνl(x).(3.3)
Es a co ien e se dice cha ge- aising pues aumen a la ca ga del es ado inal con espec o del inicial, y de ah´ı
el s´ımbolo †. Usamos pa a los ´ındices de Lo en z las le as αyβpa a no con undi el neu ino νcon ning´un
´ındice enso ial. Podemos desa olla las unciones de onda del neu ino y el lep ´on y ob ene :
(Jα
l)†(x) = g
2V√2 mlmνl
lνlu(kl, sl)γα(1 −γ5)u(kνl, sνl)†ei(kl−kνl)·x.(3.4)
Es a co ien e lep ´onica modela los lep ones en an es y salien es como pa ´ıculas pun uales y sin es uc u a.
Es o no se ´ıa adecuado pa a modela los nucleones in oluc ados en el p oceso, y an´alogamen e a c´omo p o-
cedimos en la secci´on 2.3 in oducimos ac o es de o ma pa a pa ame iza el desconocimien o exac o de la
es uc u a in e na d´ebil de p o ´on y neu ´on:
Jβ
N(y) = g
2√2Ψp(y)ΓβΨn(y).(3.5)
La unci´on del ´e ice had ´onico la exp esamos en ´e minos de los ac o es de o ma ec o FV
1, FV
2, axial GA
y pseudoescala GP:
Γβ=FV
1γβ+iFV
2
2Mσβλqλ
| {z }
Γβ
V
+GAγµγ5+GP
2Mqβγ5
| {z }
Γβ
A
.(3.6)
Es a co ien e ambi´en podemos desa olla la en ´e minos de espino es de Di ac y ob ene :
Jβ
N(y) = g
2V√2
M
pEpEn
Up(Pp, Sp)ΓβUn(Pn, Sn)ei(Pn−Pp)·y.(3.7)
Aho a inse amos las co ien es lep ´onica (3.4) y had ´onica (3.7) en la exp esi´on pa a el elemen o de ma iz
28
(3.1) jun o con el p opagado del bos´on W(3.2):
S i =−iZd4xd4q
(2π)4d4yg2M
8V2 mlmνl
νllEpEnulγα(1 −γ5)uνl†gαβ
M2
WUpΓβUnei(kl−kνl+q)·xei(Pp−Pn−q)·y
=−iZd4q
(2π)4
g2M
8M2
WV2 mlmνl
νllEpEnulγα(1 −γ5)uνl†UpΓαUn(2π)4δ4(kl−kνl+q)(2π)4δ4(Pp−Pn−q)
=−ig2M
8M2
WV2 mlmνl
νllEpEnulγα(1 −γ5)uνl†UpΓαUn(2π)4δ4(Pp−Pn−kνl+kl).
Podemos eesc ibi lo usando la cons an e de Fe mi in oducida en su eo ´ıa de la desin eg aci´on be a (GF
√2=
g2
8M2
W
):
S i =−iGFM
V2√2 mlmνl
νllEpEnulγα(1 −γ5)uνl†UpΓαUn(2π)4δ4(Pp−Pn−kνl+kl).
3.2. C´alculo de la ampli ud in a ian e en νe+n→e−+p
Nos cen amos en lo que sigue en los p ocesos con sabo elec ´onico. Pa a no sob eca ga la no aci´on,
en endemos an o aqu´ı como en los ap´endices e e enciados que la e ique a νiden i ica siemp e a neu inos
elec ´onicos (y νa an ineu inos elec ´onicos). Debido a la baja masa del lep ´on salien e (el elec ´on), pod emos
oma un l´ımi e ul a ela i is a en la egi´on cinem´a ica que nos in e esa simpli icando conside ablemen e los
c´alculos.
Ob end emos la secci´on e icaz di e encial a pa i de S i, calculando p ime o la p obabilidad de ansici´on
po unidad de olumen y iempo, desa ollando el cuad ado de la del a con el mismo azonamien o que en el
cap´ı ulo an e io : |(2π)4δ4|2→(2π)4V Tδ4.
W i =|S i|2
V T =G2
FM2mνml
2νlEpEnV4(2π)4δ4(Pp−Pn−kν+kl)ulγα(1 −γ5)uν†UpΓαUn
2.(3.8)
El p oduc o de espino es con o ma la ampli ud in a ian e M i. Siguiendo un p ocedimien o simila al usado
en la desc ipci´on del p oceso de dispe si´on e−p, p omediamos su cuad ado sob e las pola izaciones en an es
y sumamos sob e las pola izaciones salien es. El esul ado es la ya conocida con acci´on de enso es lep ´onico
y had ´onico al y como demues a el eo ema B.12 del ap´endice B.4. Es a secci´on es ´a dedicada al c´alculo
de es a ampli ud in a ian e a a ´es de la de e minaci´on de los enso es lep ´onico y had ´onico y su pos e io
con acci´on. M´as de alles sob e los c´alculos se mues an en el ap´endice C. El p omedio de la ampli ud se
exp esa como:
|M i|2→ |M i|2=1
4X
sν,sl,Sp,Snulγα(1 −γ5)uν†UpΓαUn
2=˜
LαβHαβ
La exp esi´on de los enso es lep ´onico y had ´onico los da el mismo eo ema donde enemos que ene cuidado
de usa el adjun o de Di ac de los ope ado es de co ien e. Abso biendo las masas de los lep ones den o del
enso lep ´onico, y eniendo en cuen a que γα(1 −γ5) = γα(1 −γ5), enemos:
Lαβ =mlmν˜
Lαβ =mlmν
2T /
kl+ml
2ml
γα(1 −γ5)/
kν+mν
2mν
γβ(1 −γ5)=1
8T [(/
kl+ml)γα(1−γ5)( /
k +m )γβ(1−γ5)].
El desa ollo del enso lep ´onico se de alla en el ap´endice C.2, esul ando:
Lαβ =kl
αkν
β+kl
βkν
α−kl·kνgαβ +iαβλρkλ
lkρ
ν.(3.9)
Podemos demos a que la con acci´on del enso lep ´onico con el 4-momen o ans e ido qαLαβ iende a ce o
en el l´ımi e ul a ela i is a. Po an o, ´e minos p opo cionales a qαen la co ien e had ´onica no con ibui ´an
29
a la con acci´on LαβHαβ. As´ı pues, el ´e mino GP
2Mqβγ5en (3.6) no con ibui ´a si conside amos el lep ´on salien e
ul a ela i is a. La con acci´on se descompone en dos pa es de sime ´ıa de inida:
qαLαβ =qαkl
αkν
β+qαkν
αkl
β−kl·kνgαβqα
| {z }
Pa e sim´e ica
+iαβλρkλ
lkρ
νqα
| {z }
Pa e an isim´e ica
.
La pa e an isim´e ica es inmedia amen e nula, ya que el enso de Le i Ci i a se anula cuando se con ae con
ec o es linealmen e dependien es. Es e es el caso, ya que q=kν−kl. La pa e sim´e ica la calculamos usando
la de inici´on de q:
qαLαβ =q·klkν
β+q·kνkl
β−kl·kνqβ
= (kν−kl)·klkν
β+ (kν−kl)·kνkl
β−(kl·kν)qβ
= (kν·kl)kν
β−k2
lkν
β+k2
νkl
β−(kl·kν)kl
β−(kl·kν)qβ
=−m2
lkν
β+m2
νkl
β+ (kν·kl)(kν
β−kl
β)−(kl·kν)qβ
=m2
νkl
β−m2
lkν
β.
En el p oceso conside ado en es e abajo, el elec ´on se desc ibe en el l´ımi e ul a ela i is a, desp eciando
su masa en e a las ene g´ıas y momen os in oluc ados. Po o a pa e, los neu inos los desc ibimos como
pa ´ıculas de masa nula. As´ı pues, qαLαβ ≈0.
Teniendo en cuen a el esul ado p e io, el es udio que sigue se cen a en el c´alculo del enso had ´onico
eliminando el ´e mino pseudoescala , usando el ope ado de ´e ice:
Γβ=FV
1γβ+iFV
2
2Mσβλqλ+GAγµγ5+

GP
2Mqβγ5.
Los c´alculos se desa ollan en el ap´endice C.3 debido a su longi ud. Algunos aspec os cla es en el desa ollo
son las p opiedades de las ma ices gamma y los eo emas de aza que se exponen en el ap´endice B.2, adem´as
del c´alculo e ec i o del adjun o de Di ac pa a los ´e minos ec o iales y axiales, ales y como se de allan en el
lema B.4. El enso had ´onico esul an e es:
Hαβ =−W1gαβ +W2
Pα
nPβ
n
M2+iW3αβρλPn
ρqλ+W4qαqβ+W5
Pα
nqβ+Pβ
nqα
2M2,(3.10)
donde los coe icien es (que dependen del 4-momen o ans e ido) son:
W1=|q2|
4M2(FV
1+FV
2)2+G2
A+G2
A
W2= (FV
1)2+|q2|
4M2(FV
2)2+G2
A
W3= 2GA(FV
1+FV
2)
W4=FV
2
4M2|q2|
4M2−1−FV
1FV
2
2M2+G2
A
|q2|+ 2 GA
M2(FV
1+FV
2)
W5= (FV
1)2+|q2|
4M2(FV
2)2+G2
A.(3.11)
La con acci´on de los enso es pe mi e calcula la ampli ud in a ian e necesa ia pa a p osegui en el c´alculo
de la secci´on e icaz. Es e desa ollo se de alla en el ap´endice C.4. De la ecuaci´on (C.6) ob enemos:
mlmν|M i|2= 2W1lν(1 −cos(θ)) + W2lν(1 + cos(θ)) −W3
l+ν
M(lν)(1 −cos(θ)),
donde las unciones Wi(q2) son las ecogidas en (3.11). Usando las elaciones del ´angulo mi ad enemos:
mlmν|M i|2= 2lν2W1sin2(θ/2) + W2cos2(θ/2) −W3
l+ν
Msin2(θ/2)(3.12)
30
3.3. Secci´on e icaz di e encial
A pa i de la ampli ud in a ian e podemos calcula la secci´on e icaz di e encial. Pa iendo de la asa de
ansici´on po unidad de olumen (3.8):
W i =|S i|2
V T =G2
FM2mνml
2νlEpEnV4(2π)4δ4(Pp−Pn−kν+kl)|M i|2,
la secci´on e icaz di e encial se calcula como:
dσ=|S i|2
TV
|{z}
W i
V
J
V
(2π)3d3kl
V
(2π)3d3Pp,
donde Jes el lujo inciden e. In oduciendo la asa de ansici´on an e io W i se ob iene:
dσ=G2
F
2
1
4π2δ4(Pp−Pn−kν+kl)1
V Jνl
mlmν|M i|2M2d3kl
l
d3Pp
Ep
.(3.13)
Tal y como se dedujo en el es udio del p oceso elec omagn´e ico, el ac o de lujo puede eesc ibi se de una
mane a sencilla bajo la hip´o esis de colisi´on colineal:
1
V Jνl≈1
√kν·Pn−mνM2≈1
Mν
.
Hemos hecho uso de la ap oximaci´on mν≈0 pa a la masa del neu ino, y hemos usado de o ma expl´ıci a la
o ma del momen o del neu ´on en el sis ema labo a o io, en el que es ´a en eposo Pn= (M, 0). De es a o ma:
dσ=G2
F
2
1
4π2δ4(Pp−Pn−kν+kl)1
Mν
mlmν|M i|2M2
lEp
d3kld3Pp.(3.14)
Es a exp esi´on es o almen e an´aloga a la de i ada en el caso de dispe si´on elec ´on-p o ´on. Es necesa io in eg a
la del a que implica la conse aci´on de la ene g´ıa global en el p oceso, y oma el l´ımi e ul a ela i is a pa a
el neu ino y el elec ´on salien e:
dσ
dΩ =G2
F
8π2
1
Mν
mνmlM2|M i|2|kl|
M+ν−l|kν|
|kl|cos(θ)
≈G2
F
8π2
l
ν
mνml|M i|2M
M+ν−νcos(θ).(3.15)
Pa a p osegui debemos conside a las pola izaciones. La pa ´ıcula que es de ec ada en es e p oceso es usual-
men e el lep ´on salien e. Po an o p omediamos sob e su pola izaci´on y p omediamos sob e el es o. La
consecuencia es eemplaza mlmν|M i|2po mlmν|M i|2, ´e mino que ue calculado po el m´e odo de las
azas como con acci´on del enso had ´onico y el lep ´onico. As´ı, enemos la secci´on e icaz di e encial esc i a
de o ma compac a:
dσ
dΩ =G2
F
8π2
l
ν
LαβHαβ M
M+ν−νcos(θ).(3.16)
La con acci´on de los enso es lep ´onico y had ´onica ue ya calculada (3.12) y podemos in oduci la llegando
as´ı a una exp esi´on ce ada pa a la secci´on e icaz di e encial pa a el p oceso νl+n→l+p
dσ
dΩ =G2
F2
l
4π2
M
M+ν−νcos(θ)2W1sin2(θ/2) + W2cos2(θ/2) −W3
l+ν
Msin2(θ/2).(3.17)
Reco damos que solo dos de las es a iables cinem´a icas (ν, l, θ) son independien es: es ´an ligadas po la
mismas elaciones cinem´a icas que expon´ıamos en el es udio de la dispe si´on elec ´on-p o ´on, que ecogemos
a con inuaci´on:
l≈ν
1+2ν
Msin2(θ/2)
q2=−2Mω = 2M(l−ν)≈ −4νlsin2(θ/2).
31
Podemos adem´as iden i ica el ac o de e oceso −1
ec =ν/ly esc ibi la secci´on e icaz de la mane a compac a:
dσ
dΩ =G2
F2
l
4π2 −1
ec
LαβHαβ
νlq2=−2Mω.(3.18)
3.4. Secci´on e icaz pa a el p oceso con an ineu inos
Resul a in e esan e conside a qu´e modi icaciones se ´ıan necesa ias pa a el p oceso con an ineu inos, en
cuyo caso los papeles de nucleones inicial y inal deben in e cambia se pa a espe a la conse aci´on de la
ca ga. La eacci´on se ´ıa:
νe+p→n+e+
La co ien e had ´onica no se e ´ıa modi icada ya que los ac o es de o ma iso ec o es (de los que habla emos
en de alla en la siguien e secci´on) son iguales pa a ambos nucleones. Sin emba go, la co ien e lep ´onica ha de
e se modi icada eniendo en cuen a la p oyecci´on en helicidad posi i a, pa a an ineu inos:
(Jα
l)†(x) = g
2√2ψl(x)γα(1 + γ5)ψν(x).
Implemen ando es a sus i uci´on del signo a lo la go del c´alculo del enso lep ´onico se obse a que s´olo a ec a
a la pa e an isim´e ica del enso :
Lαβ =kl
αkν
β+kl
βkν
α−kl·kνgαβ ±iαβλρkλ
lkρ
ν.
Aqu´ı + es el signo pa a el p oceso con neu inos y −es el signo pa a el p oceso con an ineu inos. En la
ampli ud in a ian e, es e cambio en la pa e an isim´e ica solo in luye a la ho a de con ae con la pa e
an isim´e ica del enso had ´onico, que es el que es ´a exp esado en ´e minos de la unci´on W3(q2). As´ı, la ´unica
di e encia en la secci´on e icaz di e encial es el in e cambio de signo en W3. Llegamos po an o a la exp esi´on
m´as gene al posible en la ap oximaci´on ul a ela i is a:
dσ
dΩ =G2
F2
l
4π2 −1
ec 2W1sin2(θ/2) + W2cos2(θ/2) ±W3
l+ν
Msin2(θ/2).(3.19)
3.5. Fac o es de o ma had ´onicos
Pa a p osegui en el an´alisis de las secciones e icaces de ambos p ocesos es necesa io el conocimien o de la
es uc u a d´ebil del nucle´on. En el cap´ı ulo 3 de [17] se exponen de mane a de allada a ias pa ame izaciones
de los ac o es de o ma del nucle´on FV
1, FV
2yGAbasados en esul ados expe imen ales. En es e abajo
op amos po una pa ame izaci´on sencilla que es ´alida pa a alo es no muy al os del 4-momen o ans e i-
do: la pa ame izaci´on dipola . No obs an e, se˜nalamos aqu´ı que o as pa ame izaciones m´as complejas son
posibles pe mi iendo ex ende de mane a m´as consis en e los esul ados a eg´ımenes de ene g´ıa y 4-momen o
ans e ido m´as al os.
Pa a los ac o es iso ec o es usamos la siguien e ep esen aci´on en ´e minos de los ac o es de o ma elec-
omagn´e icos del p o ´on y del neu ´on GEyGM. Deno ando τ=|q2|
4M2:



FV
1Q2=1
1+τ[(Gp
E−Gn
E) + τ(Gp
M−Gn
M)]
FV
2Q2=1
1+τ[(Gp
M−Gn
M)−(Gp
E−Gn
E)] .
(3.20)
Es la llamada conse aci´on de la co ien e ec o la que pe mi e exp esa los ac o es de o ma ec o iales
d´ebiles en ´e minos de los elec omagn´e icos. La conse aci´on de la co ien e elec omagn´e ica implica la con-
se aci´on de la pa e ec o ial de la co ien e d´ebil, y es o pe mi e elaciona la es uc u a ec o ial d´ebil con
32

la elec omagn´e ica.
Pa a los ac o es de Sachs u ilizamos nue amen e la pa ame izaci´on dipola :
GD(q2) = 1
1 + |q2|
Q22,
con Q2= 0,71 GeV2. Los ac o es de o ma el´ec ico y magn´e ico del p o ´on ue on ya u ilizados en el cap´ı ulo
2. Pa a el neu ´on, anulamos el ac o el´ec ico y no malizamos el magn´e ico al momen o magn´e ico del neu ´on.
Tomando los alo es de los momen os magn´e icos µn=−1,913, µp= 2,793 enemos:



Gp
E(q2) = GD(q2)Gn
E(q2) = 0
Gp
M(q2) = µpGD(q2)Gn
M(q2) = µnGD(q2).
(3.21)
33
3.6. Resul ados
Fijadas las pa ame izaciones a usa podemos ep esen a g ´a icamen e la secci´on e icaz di e encial en e
a ´angulo pa a neu inos y an ineu inos. Pa a ello se han omado dis in as ene g´ıas del neu ino inciden e,
mo i adas po las ene g´ıas ele an es en a ios expe imen os de neu inos: MiniBooNE [22],[23] (0.7 GeV),
T2K [24] (1 GeV), MINERνA [25](3 GeV) y el u u o expe imen o DUNE [26] (7 GeV). Una di e encia c u-
cial en e a los expe imen os de dispe si´on de elec ones es que el haz de neu inos inciden es p esen a una
dis ibuci´on en ene g´ıas y que, al con a io de lo que pasa con las pa ´ıculas ca gadas, no se puede selecciona
una ene g´ıa conc e a. Po ello, nues os esul ados son una p ime a ap oximaci´on a un es udio espec´ı ico que
equie e con oluciona la secci´on e icaz que hemos ob enido con la dis ibuci´on en ene g´ıas que o ece cada
dis in o expe imen o pa a as´ı pode compa a con los da os expe imen ales, as´ı como conside a los e ec os
asociados al medio nuclea .
Los esul ados pa a la dispe si´on el´as ica neu ino-nucle´on se ecogen en la Figu a 3.2, ep esen ando la
secci´on e icaz di e encial en e al ´angulo de dispe si´on a dis in as ene g´ıas. Se ap ecia que la secci´on e icaz
pa a neu inos es siemp e mayo que pa a an ineu inos, si bien ienen a iguala se con o me c ece la ene g´ıa ν.
(a) ν= 0.7 GeV (b) ν= 1 GeV
(c) ν= 3 GeV (d) ν= 7 GeV
Figu a 3.2: Secci´on e icaz di e encial pa a dis in as ene g´ıas del neu ino inciden e.
La asime ´ıa en e neu inos y an ineu inos se hace pa en e si ep esen amos el cocien e R=dσ
dΩ ν/dσ
dΩ ν.
Los esul ados pa a las dis in as ene g´ıas de in e ´es se pueden obse a en la Figu a 3.3. Obse amos que es a
34
asime ´ıa dec ece con o me aumen a la ene g´ıa de la pa ´ıcula inciden e. El ´e mino axial que cambia de signo
en la secci´on e icaz di e encial es W3(q2)ν+l
Msin2(θ/2) y su dependencia en |q2|se ep esen a en la Figu a 3.4,
donde se obse a que e ec i amen e es a unci´on es meno pa a alo es c ecien es de la ene g´ıa de incidencia
ν. Teniendo en cuen a las exp esi´on gene al de la secci´on e icaz di e encial (3.19) podemos esc ibi el cocien e
de asime ´ıa:
R=
dσ
dΩ ν
dσ
dΩ ν
=2W1sin2(θ/2) + W2cos2(θ/2) −W3l+ν
Msin2(θ/2)
2W1sin2(θ/2) + W2cos2(θ/2) + W3l+ν
Msin2(θ/2),(3.22)
donde eco damos que las unciones W1, W2yW3dependen del ´angulo a a ´es de q2. Es el ac o p opo cional
aW3y su cambio de signo ela i o el esponsable de es a di e encia. Reco damos que dicho cambio de signo
es ´a ligado al hecho de que la co ien e del neu ino se exp esa con el ope ado γµ(1 −γ5) p oyec ando en
helicidades nega i as y la co ien e del an ineu ino p oyec a en helicidades posi i as a a ´es del ope ado
γµ(1 + γ5). Pa a ´angulos p ´oximos a ce o ob enemos R= 1, ya que en (3.22) se anula ´ıan los ´e minos que
an con el seno, en pa icula el ´e mino axial que lle a W3y es el esponsable de la asime ´ıa.
(a) ν= 0.7 GeV (b) ν= 1 GeV
(c) ν= 3 GeV (d) ν= 7 GeV
Figu a 3.3: Cocien e en e las secciones e icaces di e enciales de neu ino y an ineu ino pa a dis in as ene g´ıas
de incidencia ν.
35
Figu a 3.4: Dependencia en |q2|del ´e mino axial pa a dis in as ene g´ıas de incidencia ν.
La secci´on e icaz o al o in eg ada puede ob ene se a pa i de la di e encial in eg ando en odo el ´angulo
s´olido:
σ=ZS2
dσ
dΩdΩ = 2πZπ
0
dσ
dΩ sin(θ)dθ.
A pa i de la dependencia angula de la secci´on e icaz di e encial es ´acil in eg a num´e icamen e y ob e-
ne secciones e icaces o ales en el ango de ene g´ıas de in e ´es. Algunos alo es pa a las ene g´ıas ecalcadas
an e io men e se ecogen en el Cuad o 3.6. La ep esen aci´on en un ango amplio de ene g´ıas de la secci´on
di e encial in eg ada se mues a en la Figu a 3.5. De nue o obse amos c´omo la secci´on e icaz pa a el p oceso
con neu inos es mayo que la co espondien e pa a an ineu inos, si bien ambos alo es se ap oximan con o me
nos mo emos a cinem´a icas m´as al as, ya que el ´e mino axial dec ece pa a ene g´ıas m´as al as, como mues a
la Figu a 3.4.
ν[GeV] 0.7 1.0 3.0 7.0
σ(ν) [10−13 m2] 5.39 5.80 5.55 5.20
σ(ν) [10−13 m2] 1.68 2.20 3.69 4.317
Cuad o 3.1: Secci´on e icaz o al pa a neu inos y an ineu inos a dis in as ene g´ıas de incidencia.
Figu a 3.5: Secci´on e icaz in eg ada en el ango de ene g´ıas de incidencia 0 - 7 GeV pa a neu inos y an ineu-
inos.
36
Ap´endice B
C´alculos de azas y ampli udes
in a ian es
En los c´alculos de secciones e icaces es siemp e indispensable calcula ´e minos de la o ma espino ×ma iz
×espino , calcula m´odulos al cuad ado y p omedia sob e las pola izaciones. En es e ap´endice se de allan los
desa ollos ma em´a icos necesa ios pa a e ec ua es os c´alculos de mane a e ec i a.
B.1. Co a ian es bilineales
Los obse ables que pueden cons ui se a pa i de los espino es son del ipo ψΓψy son ca alogados de
o ma comple a a a ´es del eo ema undamen al de Pauli, que puede consul a se en [33].
Escala : ΓS=
1
.
Vec o : Γµ
V=γµ.
Tenso ial: Γµν
T=σµν =i
2[γµ, γν].
Pseudoescala : ΓP=γ5:= iγ0γ1γ2γ3.
Pseudo ec o o axial: Γµ
A=γ5γµ.
Los nomb es que eciben esponden a la ans o maci´on que co esponde a cada ope ado cuando se ealizan
ans o maciones de Lo en z sob e la can idad ψΓψ. Mien as que en los es p ime os casos el obse able se
ans o ma como escala , ec o y enso espec i amen e, en los dos ´ul imos casos hay un cambio de signo
pa a el caso de ans o maciones de Lo en z imp opias (de de e minan e −1), como po ejemplo bajo ans-
o maci´on de pa idad o de in e si´on empo al.
La descomposici´on de Go don nos pe mi e elaciona la e aluaci´on de las γµcon la de las σµν:
u(p0)γµu(p) = 1
2m(p+p0)µu(p0)u(p) + i
2m(p−p0)νu(p0)σµνu(p) (B.1)
B.2. Teo emas de aza
Es os esul ados nos pe mi en calcula ´acilmen e azas de obse ables ales como: /
a1/
a2··· /
andonde ai
son 4- ec o es.
Teo ema B.1. La aza de un n´ume o impa de ma ices γes nulo.
43

Teo ema B.2.
T [/
a/
b]=4aµbµ≡4a·b.
Teo ema B.3.
T [/
a1···/
an] = a1·a2T [/
a3···/
an]−a1·a3T [/
a2/
a4···/
an] + . . . a1·anT [/
a2···/
an−1].
Teo ema B.4.
T [γ5] = 0.
Teo ema B.5.
T [γ5/
a/
b/
c/
d] = −4iαβµνaαbβcµdν= +4iαβγδaαbβcγdδ.
Teo ema B.6.
T [/
a1···/
a2n] = T [/
a2n···/
a1].
Teo ema B.7. Se cumplen las siguien es iden idades:
1. γµγµ= 4 ·
1
.
2. γµ/
aγµ=−2/
a.
3. γµ/
a/
bγµ= 4a·b
1
.
4. γµ/
a/
b/
cγµ=−2/
c/
b/
a.
5. γµ/
a/
b/
c/
dγµ= 2/
d/
a/
b/
c+ 2/
c/
b/
a/
d.
Teo ema B.8.
T [σµλσνρ]=4gµνgλρ −4gµρgλν.
Teo ema B.9.
T [γασµνγβ] = 4i(gαµgνβ −gανgµβ).
B.3. M´as p opiedades del ´algeb a de Di ac
De las p opiedades del ´algeb a de las ma ices gamma se deducen una se ie de consecuencias que nos acili-
a ´an los c´alculos e aluando co a ian es bilineales espino iales. Reco demos que {γµ, γν}= 2gµν ,{γµ, γ5}= 0
pa a demos a los siguien es esul ados.
Lema B.1.
(a) (γ0γµ)†=γ0γµ.
(b) (γ5γi)†=γ5γi.
(c) (γ5γ0)†=−γ5γ0.
Demos aci´on.
(a): lo hacemos po casos. Si µ= 0, ya sabemos que γ0es he m´ı ica luego (γ0γ0)†=γ0γ0. Si µ=i∈ {1,2,3},
en onces usamos que γ0γi=−γiγ0y que γies an ihe m´ı ica pa a deduci (γ0γi)†= (γi)†γ0=−γiγ0=γ0γi.
(b) Sabiendo γµγ5=−γ5γµ, enemos (γ5γi)†= (γi)†(γ5)†=−γiγ5=γ5γi.
(c) Tan o γ0como γ5son he m´ı icas y an iconmu an. En onces: (γ5γ0)†= (γ0)†(γ5)†=γ0γ5=−γ5γ0
Es de in e ´es sabe calcula |uΓ |2pa a cualquie ope ado Γ. Es a clase de c´alculos es ecu en e en el
desa ollo de ampli udes in a ian es. Los dos siguien es esul ados an en es a di ecci´on.
44
Lema B.2. Sea Γun ope ado espino ial cualquie a, en onces se iene:
(uΓ )∗= Γu
donde Γ = γ0Γ†γ0. Es a ope aci´on es la llamada conjugaci´on de Di ac pa a ope ado es, gene alizando el
complejo-conjugado †al espacio de espino es.
Demos aci´on.
(uΓ )∗= (u†γ0Γu)†= †(γ0Γ)†u= †γ0γ0
|{z}
1
Γ (γ0)†
|{z}
γ0
u= Γu
Lema B.3. Sea Γun ope ado espino ial cualquie a, en onces se iene:
|uΓ |2= (uΓ )( Γu)
Demos aci´on. Bas a usa que |z|2=zz∗y u iliza el lema an e io :
|uΓ |2= (uΓ )(uΓ )∗= (uΓ )( Γu)
A la is a de es os lemas, esul a imp escindible conoce los adjun os de Di ac de di e sos ope ado es. Es o
queda ecogido en el siguien e esul ado.
Lema B.4.
(a) γµ=γµ.
(b) γ5=−γ5.
(c) Γ1Γ2= Γ2Γ1.
(d) /
a/
b . . . /
z=/
z . . . /
b/
a.
(e) σµν =σµν.
Demos aci´on. (a) De nue o po casos. Si µ= 0 =⇒γ0=γ0(γ0)†γ0=γ0γ0γ0=γ0. Si µ=k enemos
an ihe mi icidad y γk=γ0(γk)†γ0=−γ0γkγ0= +γkγ0γ0=γk.
(b) Po de inici´on: γ5=iγ0γ1γ2γ3po an o γ5=iγ0γ1γ2γ3=−iγ0(γ3)†(γ2)†(γ1)†(γ0)†γ0= +iγ0γ3γ2γ1

γ0γ0=
−iγ0γ1γ2γ3=−γ5g acias a la an iconmu aci´on de γi, γj.
(c) Γ1Γ2=γ0(Γ1Γ2)†γ0=γ0Γ†
2Γ†
1γ0=γ0Γ†
2γ0γ0Γ†
1γ0= Γ2Γ1.
(d) Podemos demos a lo pa a dos elemen os y luego i e a : /
a/
b=aµbνγµγν=aµbνγνγµ=aµbνγνγµ=/
b/
a.
(e) Usamos la de inici´on de σµν =i
2[γµ, γν] =⇒σµν =i
2(γµγν−γνγµ) = −i
2(γνγµ−γµγν) =
−i
2(γνγµ−γµγν) = σµν.
B.4. Sumas de ampli udes sob e pola izaciones
Los eo emas de aza y las p opiedades an e io es deducidas pa a ma ices y co a ian es bilineales pueden
u iliza se pa a calcula sumas de la o ma Psi,s |u ˆ
Γui|2, que son usuales en el c´alculo de ampli udes in a-
ian es de p ocesos donde no medimos las pola izaciones iniciales ni inales.
Exponemos aqu´ı es esul ados que nos pe mi en exp esa las sumas de ampli udes al cuad ado sob e pola i-
zaciones en ´e minos de azas (que se iden i ica ´an con los enso es lep ´onico y had ´onico en cada caso). Es e
p ime esul ado es la e si´on b´asica pa a calcula dichas sumas.
45
Teo ema B.10.
X
si,s |u Γui|2= T "Γ/
pic+mc2
2mc2Γ/
p c+mc2
2mc2#.
Demos aci´on. Usa emos las exp esiones pa a los p oyec o es Psu(p, s)u(p, s) = /
p+m
2m
X
si,s |u Γui|2=X
si,s
(u Γui)(u Γui)†=X
si,s
(u Γui)(uiΓu ) = X
s
u Γ X
si
uiui!Γu
=X
s
u Γ/
pi+m
2mΓu =X
s
u Γ/
pi+m
2mΓu =X
s
Γ/
pi+m
2mΓu u
=X
s Γ/
pi+m
2mΓαβ
(u u )βα =Γ/
pi+m
2mΓαβ /
p+m
2mβα
= T Γ/
pi+m
2mΓ/
p +m
2m.
Sin emba go, a eces es amos in e esados en sumas sob e pola izaciones donde el co a ian e bilineal es
ec o ial (como en el caso de in e acci´on elec ´on-p o ´on sin es uc u a). Es o implica una suma sob e los
´ındices de Lo en z den o del cuad ado del m´odulo, que equie e una descomposici´on cuidadosa an es de
ac o iza como el p oduc o de dos azas. Usa emos de mane a c ucial los lemas B.2 y B.4.
Teo ema B.11.
X
si,s ,Si,S |(u(p , s )γµu(pi, si)(U(P , S )γµUi(Pi, Si)|2= 4LµνHµν ,
donde los enso es lep ´onicos y had ´onicos se calculan como:



Lµν =1
2T h/
pi+m
2mγµ/
p +m
2mγνi
Hµν =1
2T h/
Pi+M
2Mγµ/
P+M
2Mγνi.
Demos aci´on.
X
si,s ,Si,S |(u γµui)(U γµUi)|2=X
si,s ,Si,S (u γµui)(U γµUi)†(u γνui)(U γνUi)
=X
si,s ,Si,S uiγµu UiγµU u γνuiU γνUi
=X
si,Si
uiγµ
X
s
u u 
γνuiUiγµ
X
S
U U 
γνUi
=X
si,Siuiγµ/
p +m
2mγνuiUiγµ
/
P+M
2MγνUi
="X
si
(uiui)αβ γµ/
p +m
2mγνβα#"X
Si
(UiUi)αβ γµ
/
P+M
2Mγνβα#
= T /
pi+m
2mγµ/
p +m
2mγνT /
Pi+M
2Mγµ
/
P+M
2Mγν= 2Lµν2Hµν.
Pa a e mina , calculamos la suma en pola izaciones cuando enemos un co a ian e e icial con un ´ındice
de Lo en z como el de Rosenblu h o pa a neu inos, con eniendo ´e minos ec o iales, axiales y pseudoescala es.
46
Del lema B.4 se deduce que ope ado es ec o iales, enso iales y axiales son au oadjun os de Di ac, mien as
que los pseudoescala es no. Conside amos que un ope ado es axial si es p opo cional a γµγ5, mien as que los
del ipo Aµγ5con Aµun cuad i ec o , se ans o ma como pseudoescala al ene el ´ındice no espino ial. Se
iene: 














γµ=γµ
σµν =σµν
γµγ5=γ5γµ=−γ5γµ= +γµγ5
γ5=−γ5
=⇒















Γµ
V= Γµ
V
Γµν
T= Γµν
T
Γµ
A= Γµ
A
ΓP=−ΓP
El siguien e esul ado esuel e de mane a comple a el p oblema, englobando los casos de co ien e an o
elec omagn´e ica como d´ebil pa a lep ones y nucleones.
Teo ema B.12. Sean dos ope ado es e iciales con un ´ındice de Lo en z, Γµ
1,Γν
2ac uando sob e es ados
lep ´onicos (inicial y inal, en gene al dis in os quiz´as incluso en masa) y es ados had ´onicos ( ambi´en posible-
men e dis in os). Se iene en onces:
X
si,s ,Si,S |(u Γµ
1ui)(U Γ2,µUi)|2= T /
p +m
2m
Γµ
1
/
pi+mi
2mi
Γµ
1×T /
P +M
2M
Γ2,µ
/
Pi+Mi
2Mi
Γ2,ν.
Demos aci´on. Usa emos el esul ado B.2 pa a calcula los conjugados. Tenemos:
X
si,s ,Si,S |u Γµ
1uiU Γ2νUi|2=X
si,s ,Si,S u Γµ
1U Γ2,µUiu Γµ
1U Γ2,µUi†
=X
si,s ,Si,S u Γµ
1U Γ2,µUihuiΓµ
1UiΓ2,µU i
=
X
s
u Γµ
1 X
si
uiui!Γν
1u 

X
S
U Γ2,ν X
Si
UiUi!Γ2,νU 

=
X
s
u Γµ
1
/
pi+mi
2mi
Γν
1u 

X
S
U Γ2,ν
/
Pi+Mi
2Mi
Γ2,νU 

=
X
s
(u u )λδ Γµ
1
/
pi+mi
2mi
Γν
1δλ

X
S
(U U )βα Γ2,ν
/
Pi+Mi
2Mi
Γ2,ναβ

= T /
p +m
2m
Γµ
1
/
pi+mi
2mi
Γµ
1×T /
P +M
2M
Γ2,µ
/
Pi+Mi
2Mi
Γ2,ν.
47
Ap´endice C
C´alculo de enso es lep ´onico y
had ´onico
Recogemos aqu´ı los c´alculos elacionados con la de e minaci´on de los enso es had ´onico y lep ´onico en los
casos de co ien e elec omagn´e ica y d´ebil.
C.1. Tenso had ´onico pa a la co ien e EM del p o ´on con es uc-
u a
Pa imos de la exp esi´on pa a el enso had ´onico del p o ´on con es uc u a, al y como es ´a expues o en
la secci´on 2.3.
Hµν =1
8M2T (/
Pi+M)(F1+F2)γµ−F2
2M(P +Pi)µ(/
P +M)(F1+F2)γν−F2
2M(P +Pi)ν.
Desa ollamos usando la linealidad de la aza. Teniendo en cuen a las p opiedades de las ma ices de Di ac
B.2, solo enemos que hace azas de un n´ume o pa de ma ices gamma. Luego la mi ad de los 16 ´e minos
que su gen del p oduc o de los 4 binomios se anulan. El desa ollo esul a:
8M2Hµν = (F1+F2)2T [/
Piγµ/
P γν] + F2
2M2
(P +Pi)µ(P +Pi)νT [/
Pi/
P ]
−F2
2M(P +Pi)µM(F1+F2) T [ /
Piγν]−(F1+F2)MF2
2M(P +Pi)νT [/
Piγµ]
−M(F1+F2)F2
2M(P +Pi)νT [γµ/
P ] + M(F1+F2)M(F1+F2) T [γµγν]
−MF2
2M(P +Pi)µT [/
P γν] + M2F2
2M2
(P +Pi)µ(P +Pi)νT [
1
].
Aho a calculamos las azas con solo dos ma ices in oluc adas. De los eo emas de aza:
T [ /
A/
B] = 4A·B≡4AµBµ
T [ /
Aγµ/
Bγν] = 4(AµBν+AνBµ−gµνA·B).
48

Ya podemos desa olla las azas en cada ´e mino:
8M2Hµν = = 4(F1+F2)2Pi
µP
ν+Pi
νP
µ−gµνP ·Pi+F2
2
4M2(P +Pi)µ4(Pi·P )
−F2
2(F1+F2)(P +Pi)µ4Pi
ν−F2
2(F1+F2)(P +Pi)ν4Pi
µ
−F2
2(F1+F2)(P +Pi)ν4P
µ+ 4M2(F1+F2)2gµν
−F2
2(F1+F2)(P +Pi)µ4P
ν+F2
2
4(P +Pi)µ(P +Pi)ν4.
Aho a se pueden ag upa los ´e minos enso ialmen e semejan es.
8M2Hµν = 4(F1+F2)2Pi
µP
ν+Pi
νPi
µ−(Pi·P −M2)gµν
+F2
2
M2[(P +P )µ(Pi+P )ν] (Pi·P )
−2F2(F1+F2)(Pi+P )µ(Pi+P )ν
−2F2(F1+F2)(Pi+P )µ(Pi+P )ν
+F2
2(P +Pi)µ(P +Pi)ν.
Sumando ob enemos:
8M2Hµν = 4(F1+F2)2Pi
µP
ν+Pi
ν+P
µ−gµν(Pi·P −M2)
+F2
2Pi·P
M2+ 1−4F2(F1+F2)(Pi+P )µ(Pi+P )ν.
Lo que pe mi e ob ene el esul ado inal usado en el cap´ı ulo 2:
Hµν =1
2M2(F1+F2)2Pi
µP
ν+P
µPi
ν−(Pi·P −M2)gµν
+1
8M2F2
2Pi·P
M2+ 1−4F2(F1+F2)(Pi+P )µ(Pi+P )ν.
C.2. Tenso lep ´onico pa a la co ien e d´ebil ν→e−
Pa imos de la exp esi´on del enso lep ´onico dada po el eo ema B.12. Nos p eocupamos de la pa e de
la aza, dada po :
T (/
kl+ml)γα(1 −γ5)(/
kν+mν)γβ(1 −γ5).
En i ud de los eo emas de aza, solo conside amos azas de n´ume o pa de ma ices γµ. Reco damos que
γ5no con abiliza pa a es e c´ompu o. As´ı, desa ollando ob enemos:
Lαβ ∝T /
klγα(1 −γ5)/
kνγβ(1 −γ5)+ T mlγα(1 −γ5)mνγβ(1 −γ5).(C.1)
49
Desa ollamos el p ime ´e mino en (C.1). Pa a ello an iconmu a emos las ma ices γ5con el es o de ma ices
in oluc adas. Reco demos /
k=kλγλ. Deno amos Aρ=δρ
α, Bλ=δλ
βde al mane a que /
A=γα,/
B=γβ.
T /
klγα(1 −γ5)/
kνγβ(1 −γ5)= T [/
klγα/
kνγβ]−T [/
klγαγ5/
kνγβ]−T [γ5/
klγα/
kνγβ] + T [/
klγαγ5/
kνγβγ5]
= T [/
klγα/
kνγβ]−T [γ5/
klγα/
kνγβ]−T [/
klγα/
kνγβγ5] + T [/
klγα/
kνγβ
*
1
γ5γ5]
= 2 T [/
klγα/
kνγβ]−T [γ5/
klγα/
kνγβ]
= 2 T [/
kl/
A/
kν/
B]−T [γ5/
kl/
A/
kν/
B]
= 2 kl·AT [/
kν/
B]−kl·kνT [ /
A/
B] + kl·BT [ /
A/
kν]−4iα1α2α3α4kα1
lAα2kα3
νBα4
= 2 nkl
α4kν·B−kl·kν4A·B+kl
βA·kν−4iα1α2α3α4kα1
lδα2
αkα3
νδα4
βo
= 2 4kl
αkν
β−kl·kνgαβ + 4kl
βkν
α−4iλαρβkλ
lkρ
ν
= 8 kl
αkν
β+kl
βkν
α−kl·kνgαβ +iαβλρkλ
lkρ
ν.
El segundo ´e mino esul a ´a se nulo. Lo desa ollamos:
T mlγα(1 −γ5)mνγβ(1 −γ5)=mlmνT [γαγβ]−mlmνT [γαγ5γβ]−mlmνT [γαγβγ5] + mlmνT [γαγ5γβγ5]
=mlmνT [γαγβ] + mlmνT [γαγβγ5]−mlmνT [γαγβγ5]−mlmνT [γαγβ
*
1
γ5γ5]=0.
Concluimos que el enso lep ´onico queda de e minado po :
Lαβ =1
mlmνkl
αkν
β+kl
βkν
α−kl·kνgαβ +iαβλρkλ
lkρ
ν.(C.2)
C.3. Tenso had ´onico pa a co ien e d´ebil n→p
Calculamos aho a el enso had ´onico a pa i de la exp esi´on que nos da el eo ema B.12 al y como
exponemos en la secci´on 3.2. Pa imos de la co ien e desca ando el ´e mino pseudoescala pues ya sabemos
que su con acci´on con el enso lep ´onico no con ibui ´a en el l´ımi e ul a ela i is a:
Γα=FV
1γα+iFV
2
2Mσαρqρ+

GP
2Mγ5qα+GAγαγ5.
Dicho ope ado es la suma de uno con ca ´ac e ec o ial y o o axial. Adem´as podemos calcula sus adjun os
de Di ac a pa i de los esul ados de la secci´on B.4.
Γα= Γα
V+ Γα
A=⇒


Γα
V=FV
1γα+iF V
2
2Mσαρqρ
Γα
A=GAγαγ5=⇒


Γα
V=FV
1γα−iF V
2
2Mσαρqρ6= Γα
V
Γα
A=GAγαγ5= Γα
A.
Como el enso had ´onico se calcula como la aza
Hαβ =1
2T /
Pp+M
2MΓα/
Pn+M
2MΓα,
podemos descompone dicho enso en es ´e minos: el pu amen e ec o ial, el pu amen e axial y el ec o -
axial.
Hαβ =Hαβ
V+Hαβ
A+Hαβ
AV .
P ocedemos a calcula cada uno de ellos.
Pa e ec o ial del enso had ´onico
Eligiendo la pa e ec o ial an o de Γαcomo de Γαob enemos:
Hαβ
V=1
8M2T (/
Pp+M)FV
1γα+iFV
2
2Mσαρqρ(/
Pn+M)FV
1γα−iFV
2
2Mσαρqρ
=1
8M2 αβ
V V (FV
1)2+ αβ
MM
1
4M2(FV
2)2+i
2M αβ
V M FV
1FV
2,
50
donde in oducimos las unciones auxilia es VV, MM, VMque son a su ez azas ob enibles ´acilmen e con
los eo emas de la secci´on B.2.
αβ
V V = T (/
Pp+M)γα(/
Pn+M)γβ= 4[Pα
pPβ
n+Pβ
pPα
n−gαβ(Pp·Pn−M2)].
Usando el eo ema de azas pa a σµν y desa ollando azas solo de n´ume o pa de ma ices gamma ob enemos:
αβ
MM = T [( /
Pp+M)σαρqρ(/
Pn+M)σβλqλ]
=−4q2(Pα
pPβ
n+Pβ
pPα
n)−Pp·q(Pα
nqβ+Pβ
nqα)−Pn·q(Pα
pqβ+Pβ
pqα)
−4+qαqβ(Pp·Pn+M2) + gαβ 2Pp·qPp·q−q2Pp·Pn+M2.
Pa a la ´ul ima unci´on auxilia se oman ´e minos mezclados de σyγ, ob eniendo dos azas muy simila es
en e s´ı. Adem´as usamos el eo ema B.9 pa a azas del ipo T [ /
Aσαρ /
B]:
αβ
V M = T [(/
P+M)σαρqρ(/
Pn+M)γβ]−T [(/
Pp+M)γα(/
Pn+M)σβλqλ]
= 4iM[Pα
pqβ+Pβ
pqα2gαβPp·q−Pα
nqβ−Pβ
nqα+ 2gαβPn·q].
Pa e axial del enso had ´onico
Aho a omamos el ´e mino axial pa a calcula la aza. De nue o desa ollamos solo conside ando combi-
naciones con p oduc o pa de ma ices gamma. La an iconmu aci´on de γ5con γµy po an o con cualquie /
P
es usada ex ensi amen e.
Hαβ
A=1
8M2T (/
Pp+M)GAγαγ5(/
Pn+M)GAγβγ5
=G2
A
8M2T [/
Ppγαγ5/
Pnγβγ5] + T [Mγαγ5Mγβγ5]
=G2
A
8M2T [/
Ppγα/
Pnγβ

γ5γ5] + M2T [γαγ5γβγ5]
=G2
A
8M24Pα
pPβ
n+ 4Pα
pPβ
n−4Pp·Pngαβ −M2T [γαγβ

γ5γ5]
=GA
2M2Pα
pPβ
n+Pβ
pPα
n−gαβ(Pp·Pn+M2)≡GA
2M2 αβ
AA.
Pa e axial- ec o del enso had ´onico
Conside amos aho a los ´e minos c uzados del ope ado ec o ial con el axial conjugado y ice e sa.
Hαβ
V A =1
8M2T (/
Pp+M)GAγαγ5(/
Pn+M)FV
1γβ−iFV
2
2Mσβλqλ
+1
8M2T (/
Pp+M)FV
1γα+iFV
2
2Mσαρqρ(/
Pn+M)GAγβγ5
=1
8M2gαβ
V AFV
1GA+gαβ
MA
iFV
2
2MGA.
Calculamos las unciones auxilia es in oducidas gV A, gMA. Subimos las e ique as de los momen os del p o ´on
y neu ´on pa a que no coincidan con las e ique as de Lo en z co a ian es. Con el eo ema de aza pa a γ5
po gammas, y conmu ando signos en el enso an isim´e ico ob enemos:
gαβ
V A = T [/
Ppγαγ5/
Pnγβ] + T [/
Ppγα/
Pnγβγ5]
= 2 T [γ5/
Ppγα/
Pnγβ]=2×(−4i)α1α2α3α4Pp
α1(γα)α2Pn
α3(γβ)α4
=−8iα1αα3βPp
α1Pn
α3= +8iαβα1α3Pp
α1Pn
α3≡8iαβρδPp
ρPn
δ.
51
Pa a la o a unci´on auxilia :
gαβ
MA =−i
2MT [(/
Pp+M)γαγ5(/
Pn+M)σβλqλ] + i
2MT [(/
Pp+M)σαρqρ(/
Pn+M)γβγ5]
= 8M[δαβλPp
ρqλ−αδβλPn
δqλ]
= 8M[αβλρPn
λqρ+αβλρPp
λqρ]
= 16MαβλρPn
λPp
ρ.
Con un cambio de a iable pueden compac i ica se odas las unciones auxilia es an e io men e expues as.
q=Pp−Pn=⇒Pn·q=Pn·Pp−P2
n=Pp·Pn−M2
=⇒ |q2|=−q2=−(P2
p+P2
n−2Pp·Pn) = 2(M2−Pp·Pn)
=⇒Pn·q
|q2|=1
2.
De inimos en onces:
X=Pn+Pn·q
|q2|q=Pn+1
2q,
y sus i uyendo en las unciones auxilia es llegamos a es as nue as exp esiones:
αβ
V V =−2|q2|gαβ +qαqβ
|q2|+ 8XαXβ
αβ
V M = 8iM|q2|gαβ +qαqβ
|q2|
αβ
MM =−8M2|q2|gαβ +qαqβ
|q2|+ 8|q2|XαXβ
αβ
AA =−2|q2|gαβ +qαqβ
|q2|+ 8XαXβ−8gαβM2
gαβ
V A = 8iαβρλPn
ρqλ
gαβ
MA = 16MαβρλPn
ρqλ.
Uni icando odos es os esul ados en el enso had ´onico comple o enemos:
Hαβ =−W1gαβ +W2
Pα
nPβ
n
M2+iW3αβρλPn
ρqλ+W4qαqβ+W5
Pα
nqβ+Pβ
nqα
2M2,(C.3)
donde los coe icien es (que dependen del cuad imomen o ans e ido) son:
W1=|q2|
4M2(FV
1+FV
2)2+G2
A+G2
A
W2= (FV
1)2+|q2|
4M2(FV
2)2+G2
A
W3= 2GA(FV
1+FV
2)
W4=FV
2
4M2|q2|
4M2−1−FV
1FV
2
2M2+G2
A
|q2|+ 2 GA
M2(FV
1+FV
2)
W5= (FV
1)2+|q2|
4M2(FV
2)2+G2
A(C.4)
O de o ma al e na i a en ´e minos de la a iable X:
Hαβ =−W0
1gαβ +qαqβ
|q2|+W0
2
M2XαXβ+iW0
3
M2αβρλPn
ρqλ+W0
4
M2qαqβ,(C.5)
52