Teoría de propagadores: estudio de procesos electromagnéticos y débiles

Teo ´ıa de p opagado es Es udio de p ocesos elec omagn´e icos y d´ebiles Jes´us Aguado L´opez Tu o es: Juan An onio Caballe o Ca e e o y Guille mo D. Meg´ıas V´azquez T abajo de in de g ado ealizado pa a la ob enci´on del ´ı ulo Doble G ado en F´ısica y Ma em´a icas Depa amen o de F´ısica A ´omica, Molecula y Nuclea Uni e sidad de Se illa Ag adecimien os A mis u o es po su apoyo y gu´ıa, an o aqu´ı como en la dis ancia. A Ped o, po habla me de neu inos y p opagado es desde hace ya iempo. A mi mad e, a mi pad e y a mi he mano, po se gen e ma a illosa. Y a Luc´ıa, po su ca i˜no. i Teo ´ıa de p opagado es Es udio de p ocesos elec omagn´e icos y d´ebiles Jes´us Aguado L´opez Abs ac Los p opagado es son una he amien a ma em´a ica cen al en nume osas amas de la ´ısica ya que pe mi en la esoluci´on de algunas ecuaciones en de i adas pa ciales (EDPs) de g an in e ´es. En el con ex o de la mec´anica cu´an ica ela i is a y la eo ´ıa cu´an ica de campos los p opagado es ue on in e p e ados de mane a no edosa asoci´andolos a pa ´ıculas mediado as de in e acci´on. Dicha in e p e aci´on ha ascendido es e campo y se habla de pa ´ıculas i uales ( onones, plasmones) en o as ´a eas: odas es as in e p e aciones ienen la base com´un en que ienen una EDP que ca ac e iza la din´amica del p oblema. Es e abajo p esen a una na u aleza dual debida a la doble i ulaci´on en la que ha sido desa ollada. En el p ime cap´ı ulo se in oduce la base ma em´a ica pa a una ap oximaci´on al es udio de p opagado es bas´andose en he amien as del an´alisis uncional. El obje i o de dicho cap´ı ulo es cons ui un o malismo que pe mi a llega a exp esa la p obabilidad de ansici´on de un es ado ( ec o de un espacio de Hilbe de unciones) a o o a a ´es de un ope ado de e oluci´on (ma iz S), bas´andose en el c´alculo de p opagado es pa a las ecuaciones de onda ela i is a que p ocedan seg´un el ipo de pa ´ıcula. Los cap´ı ulos dos y es es ´an en e- amen e dedicados a la aplicaci´on de las he amien as ma em´a icas al caso de in e acci´on elec omagn´e ica y d´ebil. Se es udia la dispe si´on el´as ica elec ´on-p o ´on en el ma co de la elec odin´amica cu´an ica de Feynman y S ¨uckelbe g, empleando di e sas ap oximaciones que inco po an el hecho de que el p o ´on iene es uc u a in e na. Pa a e mina , se es udia el p oceso d´ebil en el que un neu ino (o an ineu ino) in e acciona con un neu ´on (p o ´on) a a ´es de la co ien e d´ebil ca gada W±, modelando la es uc u a d´ebil del nucle´on pa a ello. El caso de dispe si´on elec ´on-p o ´on ha sido elegido pa a su es udio ya que pe mi e una in oducci´on escalo- nada en complejidad a la eo ´ıa de dispe si´on cu´an ica. Adem´as, se enlazan los esul ados anal´ı icos ob enidos con el p oblema abie o de la de e minaci´on expe imen al del adio de ca ga del p o ´on. El es udio de la in e acci´on neu ino-nucle´on es ´a mo i ado po el in e ´es de la de e minaci´on de sus p opiedades en dis in os expe imen os en los que los neu inos inciden sob e n´ucleos a dis in as ene g´ıas en el ango del GeV. En ambos casos, el es udio expe imen al de las secciones e icaces pe mi e un conocimien o m´as p o undo de la es uc u a had ´onica ya sea median e sondas d´ebiles (neu inos) o elec omagn´e icas (elec ones). ii ´ Indice gene al 1. In oducci´on a la eo ´ıa de p opagado es 1 1.1. He amien asma em´a icas....................................... 1 1.1.1. Soluci´on undamen al de una ecuaci´on en de i adas pa ciales . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2. Soluci´on undamen al al p oblema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. P opagado lib e G0.......................................... 3 1.2.1. P opagado lib e pa a la ecuaci´on de Sch ¨odinge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2. P opagado lib e pa a la ecuaci´on de Di ac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3. P opagado conin e acci´on ...................................... 6 1.4. Ma izS................................................. 8 1.5. Ma izSpa alaQED ......................................... 9 2. In e acci´on elec ´on-p o ´on 12 2.1. Dispe si´oncoulombiana ........................................ 12 2.2. Dispe si´on elec ´on-p o ´on sin es uc u a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3. F´o mula de Rosenblu h y ac o es de o ma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4. El adiodelp o ´on........................................... 22 3. In e acci´on d´ebil 26 3.1. Ma iz S pa a p ocesos d´ebiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2. C´alculo de la ampli ud in a ian e en νe+n→e−+p....................... 29 3.3. Secci´one icazdi e encial........................................ 31 3.4. Secci´on e icaz pa a el p oceso con an ineu inos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.5. Fac o esde o mahad ´onicos ..................................... 32 3.6. Resul ados................................................ 34 4. Conclusiones 39 A. Ecuaci´on de Di ac 41 A.1.Solucioneslib es ............................................ 42 A.2.T ans o macionesdeLo en z ..................................... 42 B. C´alculos de azas y ampli udes in a ian es 43 B.1.Co a ian esbilineales ......................................... 43 B.2.Teo emasde aza ........................................... 43 B.3. M´as p opiedades del ´algeb a de Di ac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 B.4. Sumas de ampli udes sob e pola izaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 iii C. C´alculo de enso es lep ´onico y had ´onico 48 C.1. Tenso had ´onico pa a la co ien e EM del p o ´on con es uc u a . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 C.2. Tenso lep ´onico pa a la co ien e d´ebil ν→e−........................... 49 C.3. Tenso had ´onico pa a co ien e d´ebil n→p............................. 50 C.4. Con acci´on de los enso es lep ´onico y had ´onico d´ebil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 i Cap´ı ulo 1 In oducci´on a la eo ´ıa de p opagado es El obje i o en es e cap´ı ulo es in oduci el o malismo ma em´a ico necesa io pa a es udia p ocesos de dispe si´on en mec´anica cu´an ica ela i is a. Pa a ello ha emos uso de la imagen de la Elec odin´amica Cu´an ica desa ollada po Feynman y S ¨uckelbe g. Es e p ocedimien o, a´un no siendo an gene al como el lenguaje de la eo ´ıa cu´an ica de campos en el que se in oducen ope ado es de campo no conmu a i os y se cons uye el espacio de Fock, esul a m´as in ui i o y pe mi e ealiza c´alculos de in e ´es pa a p ocesos di e sos. En es e abajo nos es ingimos a la o mulaci´on de Feynman-S ¨uckelbe g, que es ´a basada en la he amien a de los p opagado es, y que sigue un pa alelismo con la eo ´ıa cu´an ica de dispe si´on no ela i is a. Como p ime paso calcula emos los p opagado es pa a las ecuaciones cu´an icas de in e ´es. En el caso de dispe si´on elec ´on-p o ´on que conside amos en el siguien e cap´ı ulo, usa emos la ecuaci´on de Di ac pa a pa ´ıculas ca gadas con esp´ın 1/2. No obs an e, odo el desa ollo es an´alogo pa a cualquie ipo de ecuaci´on lineal. En l´ıneas gene ales, un p opagado Ges un ope ado que pe mi e calcula la unci´on de onda en una posici´on e ins an e conc e os a pa i de la unci´on de onda en un ins an e an e io (p opagado ) o pos e io ( e a dado ) de la siguien e mane a: ψ(x0, 0) = iZR3 G(x0, 0;x, )ψ(x, )d3x. 1.1. He amien as ma em´a icas Comenzamos en es a secci´on cons uyendo o malmen e el ma co ma em´a ico gene al en que plan ea y esol e las ecuaciones de la mec´anica cu´an ica ela i is a. El espacio usual de unciones de cuad ado in eg able sob e el espacio de Minkowski es demasiado ´ıgido. Con iene amplia nues o espacio de unciones a uno m´as gene al, de dis ibuciones. Las dis ibuciones se de inen como aplicaciones duales ac uando sob e las unciones. Sea po ejemplo D(R4) el espacio de unciones in ini amen e di e enciables sob e R4de sopo e compac o (i.e. que se anulan ue a de una egi´on compac a aco ada). Se dice que Tes una dis ibuci´on sob e D(R4) si es lineal T[αφ +βψ] = αT [φ] + βT[ψ]∀α, β ∈C, φ, ψ ∈ D(R4) y con inua T[ l´ım n→∞φn] = l´ım n→∞T[φn]. Aunque el espacio D(R4) puede usa se como espacio de unciones dando luga a las dis ibuciones D0(R4), podemos usa un espacio de unciones m´as g ande, el conocido como espacio de Schwa z de unciones que an su icien emen e ´apido a ce o, an o ellas como odas sus de i adas: S(R4) = { ∈C∞(R4) : l´ım |x|→∞|xm k∂|α| α |= 0 ∀m∈N, α mul i-´ındice, k = 1, ..., 4}. 1 Las aplicaciones lineales y con inuas sob e S(R4) son las llamadas dis ibuciones empe adas, deno adas po S0(R4). Es e es el espacio conside ado en el es udio que sigue sob e las ecuaciones de la eo ´ıa cu´an ica ela i- is a. Un ejemplo pa adigm´a ico de dis ibuci´on es la ubicua del a de Di ac. Es a se de ine po su ac uaci´on co- mo δ(ψ) = ψ(0). Es e iden emen e lineal sob e las unciones y con inua. Sin emba go, no es una unci´on en el sen ido cl´asico: las dis ibuciones son m´as gene ales que las unciones. Es impo an e se˜nala que las unciones son asimismo dis ibuciones: si enemos una unci´on (localmen e in eg able) , podemos de ini su ac uaci´on como dis ibuci´on sob e o a unci´on a a ´es de la in eg al: [ψ] = ZR4 ∗ψd4x. Una p opiedad cla e que man ienen las dis ibuciones es la de i aci´on. El concep o de de i ada d´ebil ex iende la di e enciaci´on de unciones a dis ibuciones. Res ingida a las dis ibuciones que s´ı son unciones, la de i ada d´ebil coincide con la cl´asica. Su de inici´on: ∂µT[φ] = −T[∂µφ]. Con es a de inici´on es posible calcula la de i ada d´ebil de la unci´on escal´on en una dimensi´on, en endida como dis ibuci´on: ∂xθ(x)[φ] = θ(x)[−∂xφ] = −Z+∞ −∞ θ(x)∂µφdx=−Z+∞ 0 ∂xφdx=φ(0) −  φ(+∞) = δ[φ]. Luego la de i ada de la unci´on escal´on de Hea iside coincide con la del a de Di ac, en el sen ido de las dis i- buciones. Un concep o impo an e en la eo ´ıa de dis ibuciones que ponemos en uso es el p oduc o de con oluci´on. Pa a unciones φ, ψ, se de ine como: (φ?ψ)(y) := ZR4 φ(y−x)ψ(x)d4x. Es a de inici´on se ex iende pa a con oluciona dis ibuciones Tcon unciones de la mane a siguien e: T ? [ψ] := T[ˆ P ? ψ], donde ˆ P (x) = (−x), el ope ado pa idad. Con es as he amien as es posible habla de soluciones unda- men ales de ecuaciones en de i adas pa ciales, lo que nos pe mi i ´a calcula p opagado es de una mane a especialmen e sencilla, g acias a la ans o mada de Fou ie . Una se ie de p opiedades se ´an cla e en el desa- ollo: δ ? = ∀ unci´on, donde δes la del a de Di ac. ∂µ(T ? ) = ∂µT ? pa a oda Tdis ibuci´on, unci´on. 1.1.1. Soluci´on undamen al de una ecuaci´on en de i adas pa ciales Buscamos aplica la eo ´ıa de dis ibuciones a la esoluci´on de las ecuaciones en de i adas pa ciales (EDP) de nues o in e ´es: las ecuaciones de onda ela i is a. Conside a emos en gene al soluciones a la ecuaci´on que no sean necesa iamen e unciones sino dis ibuciones. En lo sucesi o, ˆ L(D) se ´a un ope ado di e encial de coe icien es cons an es. Un ejemplo se ´ıa ˆ L(D) = −1 i~ ~ 2m∇2co espondien e al ope ado di e encial espacial 2 en la ecuaci´on de Sch ¨odinge . O o, co espondien e a la ecuaci´on de Di ac, se ´ıa ˆ L(D) = −1 i~i~c α ·∇. Conside emos la siguien e ecuaci´on di e encial: ˆ L(D)ψ=ρ. Se dice que una dis ibuci´on Ees una soluci´on undamen al a dicha ecuaci´on si cumple la ecuaci´on (en i´endanse las de i adas en el sen ido dis ibucional): ˆ L(D)E=δ. (1.1) Una ez que se ob iene una soluci´on undamen al, es inmedia o ob ene la soluci´on a la ecuaci´on en ψ ´ıa el p oduc o de con oluci´on. El esul ado nos lo p opo ciona el siguien e eo ema. La soluci´on undamen al es a ´a in imamen e ligada con el p opagado Gque buscamos pa a cons ui la eo ´ıa de dispe si´on cu´an ica. Teo ema 1.1. Sea Euna soluci´on undamen al de la ecuaci´on ˆ L(D)ψ=ρ. En onces, ψ=E ? ρ es soluci´on de la ecuaci´on. Cuando la dis ibuci´on Esea una unci´on, el p oduc o de con oluci´on an e io es simplemen e (E ? ρ)(y) = RR4E(x−y)ρ(y)d4x. La base de la demos aci´on es la p opiedad ya enunciada: δ ? = ∀ . Es e esul ado puede consul a se en [1], e e encia en la que se cons uye la eo ´ıa de dis ibuciones y desa olla las aplicaciones en mec´anica cu´an ica. 1.1.2. Soluci´on undamen al al p oblema de Cauchy Usualmen e es m´as con enien e sepa a la dependencia empo al de la ecuaci´on de la pa e espacial. Un ejemplo es en la ecuaci´on de Sch ¨odinge , que se esuel e calculando el p opagado en la secci´on 1.2.1. El siguien e eo ema ex iende el esul ado an e io pa a el caso de ecuaciones de e oluci´on con condiciones iniciales (p oblema de Cauchy). Teo ema 1.2. Sea Euna dis ibuci´on que sa is ace:    ∂ E−ˆ L(D)E= 0 ∀ > 0 E(x, = 0) = δ(x). En onces ψ(x0, 0) = RRnd3xE(x0−x, 0− ) (x)es soluci´on del p oblema:    ∂ ψ−ˆ L(D)ψ= 0 ∀ > 0,x∈Rn ψ(x, = 0) = (x). La demos aci´on de es e eo ema puede consul a se en [1], p´agina 58 ( undamen al solu ion o Cauchy p oblems). 1.2. P opagado lib e G0 Los esul ados an e io es pe mi en demos a la exis encia de p opagado es pa a ecuaciones de onda lineales. Como consecuencia inmedia a del eo ema 1.2 enemos la ecuaci´on in eg al que buscamos. Si ijamos el iempo inicial y conside amos 0> , podemos da como condici´on inicial la unci´on de onda ψ(x, ). En al caso, enemos que la con oluci´on RR3d3xE(x0−x, 0− )ψ(x, ) es p ecisamen e la soluci´on de la ecuaci´on de onda conside ada, e aluada en x0, 0. Es deci : ψ(x0, 0) = Zd3xE(x0−x, 0− )ψ(x, ). 3 Bas a de ini G0(x0, 0;x, ) = −iE(x0−x, 0− ) y ob enemos la ecuaci´on cl´asica del p opagado lib e: ψ(x0, 0) = iZd3xG0(x0, 0;x, )ψ(x, ).(1.2) Podemos ya pone en ma cha es a maquina ia pa a calcula los p opagado es lib es pa a las ecuaciones de onda que nos in e esan. 1.2.1. P opagado lib e pa a la ecuaci´on de Sch ¨odinge Pa imos de la ecuaci´on de Sch ¨odinge con condici´on inicial pa a la unci´on de onda escala ψ:    i~∂ ψ=−~2 2m∇2ψ ψ(x, = 0) = ψ0(x). Esc i a en la o ma del eo ema, la EDP es: ∂ ψ−i~ 2m∇2ψ= 0. La ecuaci´on an´aloga pa a E: ∂ E−i~ 2m∇2E= 0, y omando la ans o mada de Fou ie espec o de las a iables espaciales, ˜ E=F(E), ob enemos ∂ ˜ E+i~k2 2m˜ E= 0, que iene po soluci´on inmedia a: ˜ E=c(k)e−i~k2 2m . El coe icien e c(k) se ob iene de la condici´on inicial: c(k) = ˜ E| =0 =F(E| =0) = F(δ)=1. Haciendo la ans o mada de Fou ie in e sa se ob iene: E(x, ) = 1 (2π)3ZR4 d3k e−i~k2 2me+ik·x=1 (2π)32mπ i~ 3/2 exp imx2 2~ =m 2πi~ 3/2exp imx2 2~ . El p opagado que se ob iene es, pa a 0> : G0(x0, 0;x, )+=−im 2πi~( 0− )3/2 exp im|x0−x|2 2~( 0− ).(1.3) 1.2.2. P opagado lib e pa a la ecuaci´on de Di ac Podemos desa olla un p ocedimien o simila pa a calcula el p opagado lib e pa a la ecuaci´on de Di ac: i~/ ∂ψ −mcψ = 0. Pa a la dis ibuci´on E:   (i~/ ∂−mc)E=~δ4(x) E(x, = 0) = δ3(x). (1.4) En al caso, la con oluci´on de Econ la unci´on de onda de Di ac en el ins an e inicial es soluci´on de la ecuaci´on: E ?xψ| =0(x0, 0) = ZR3 E(x0−x, 0)ψ(x, = 0)d3x. 4 Usualmen e abaja emos a p ime o den, con lo que nos bas a con la exp esi´on: S i ≈ ∓ie ~ZR4 d4y φ (y)/ A(y)φi(y) (1.28) donde aho a s´ı enemos el es ado en an e φi. 11 Cap´ı ulo 2 In e acci´on elec ´on-p o ´on En es e cap´ı ulo calcula emos secciones e icaces de p ocesos de dispe si´on de elec ones con a p o ones. El p oceso queda esquem´a icamen e ep esen ado en la Figu a 2.1. En p ime luga conside amos el p o ´on como un cen o de ue za coulombiano, ijado en su posici´on. Despu´es conside a emos el p o ´on como pa ´ıcula de Di ac sin es uc u a, lo que in oduci ´a la posibilidad de e oceso en el mismo. Pa a e mina , modela emos el p o ´on como una pa ´ıcula con es uc u a in e na, a a ´es de los ac o es de o ma. Es o pe mi i ´a deduci una secci´on e icaz que se ´a ´alida pa a eg´ımenes de ene g´ıas m´as al as. Es os esul ados se elaciona ´an con un p oblema abie o de ´ısica ac ual, la de e minaci´on del adio del p o ´on, ya que el p oceso de dispe si´on elec ´on-p o ´on es uno de los medios expe imen ales pa a accede a dicho adio. e− e− γ p p Figu a 2.1: Diag ama de Feynman de un p oceso de dispe si´on e−−p 2.1. Dispe si´on coulombiana Empezamos es udiando la dispe si´on de un elec ´on con a un po encial coulombiano. Siendo e < 0 la ca ga elemen al del elec ´on, el po encial coulombiano co esponde a: Φ(x) = −Ze 4π0|x|,A=0, Aµ≡1 cΦ(x),0=⇒/ A=−Ze 4π0c 1 |x|γ0. Es e p oceso puede se ep esen ado con el diag ama de Feynman de la Figu a 2.2. 12 e− e− γ Figu a 2.2: Diag ama de Feynman de un p oceso de dispe si´on e−con un po encial de Coulomb A pa i de la ecuaci´on (1.28) podemos calcula la secci´on e icaz del p oceso a p ime o den. Los es ados asin ´o icos en an e y salien e con momen o, ene g´ıa y pola izaci´on co espondien es pi, Ei, si;p , E , s son: ψi=smc2 EiVu(pi, si) exp(−ipµ ixµ/~) ψ =smc2 E Vu(p , s ) exp(−ipµ xµ/~). El elemen o de la ma iz de ampli ud Ses: S i =−ie ~ZR4 d4yψ (y)/ Aψi(y) = + iZe2 4π0~cZR4 d4ymc2 V 1 pEiE u γ0uiexp −i(pi−p )µyµ ~. Podemos iden i ica inmedia amen e la cons an e de es uc u a ina: α=e2 4π0~c≈1 137 . La in eg al en y0 con ibuye a una del a en la ene g´ıa, lo que es ´a elacionado con la conse aci´on de la ene g´ıa en el p oceso: Z+∞ −∞ dy0exp[+i(E −Ei)y0/~c] = ~cZ+∞ −∞ d( /~) exp[+i(E −Ei) /~]=2π~c δ(E −Ei). La in eg al en el espacio puede hace se po in eg aci´on po pa es dos eces eniendo en cuen a que no hay on e a. Pa a ello de inimos el momen o ans e ido q=p −pi, y deducimos: exp[−iq·y/~] = −~2 |q|2∇2exp[−iq·y/~]. Con la exp esi´on an e io y usando ∇2(1/|x|2) = −4πδ3(x) ob enemos: ZR3 d3yexp h−iq·y ~i1 |y|=−~2 |q|2ZR3 d3y∇2(e−iq·y ~)1 |y|=−~2 |q|2ZR3 d3ye−iq·y ~∇21 |y|=4π~2 |q|2ZR3 d3ye−iq·y ~δ3(y). El elemen o de ma iz queda exp esado de la siguien e mane a: S i =iZα mc2 V√EiEF 2π~c δ(E −Ei)4π~2 |q|2u γ0ui.(2.1) La p obabilidad de ´ansi o del es ado ψial es ado ψ es el m´odulo al cuad ado de dicho elemen o de ma iz: |S i|2= (4πα)2m2c4 V2EiE |u γ0ui|2(2π~c δ(E −Ei))2~ |q|24 . Como nos in e esa medi la p obabilidad de que el es ado inal enga un momen o lineal p , hay que mul iplica es a p obabilidad po la densidad de es ados en momen o inal, que es: dN =V (2π~)3d3p . 13 La densidad de p obabilidad de ansici´on del es ado ψia un es ado con momen o p es: |S i|2dN = (4πα)2m2c4 V2EiE |u γ0ui|2(2π~c δ(E −Ei))2~ |q|24V (2π~)3d3p . Fo malmen e, el cuad ado de la del a en ene g´ıa es complicado de e alua . A a ´es de un p oceso de paso al l´ımi e se puede jus i ica el cambio: (2π~c δ(E −Ei))2= 2π~c2Tδ(E −Ei), donde Tes el iempo en el cual se p oduce el p oceso. Es o es ´a jus i icado pa a el l´ımi e T→+∞lo cual es ´a en consonancia con la ´ısica del p oceso: es amos compa ando es ados muy alejados en el iempo. El c´alculo a a ´es de un p oceso de l´ımi e puede consul a se en el cap´ı ulo 3 de la e e encia [2]. La secci´on e icaz di e encial se de ine como la p obabilidad de ansici´on po unidad de iempo y co ien e. Calculamos la co ien e pa a cualquie elecci´on de la pola izaci´on, omando sin p´e dida de gene alidad el eje z): Jµ i=cψγµψ=⇒J3 i=cψγ3ψ=cmc2 EiVuiγ3ui=cmc2 EiV Ei+mc2 2mc2 pc Ei+mc2=cpc EiV= V. La secci´on e icaz di e encial se exp esa en onces como sigue: dσ=|S i|2dN JT =4Z2α2m2c4 EiE |u γ0ui|2~c2 Tδ(E −Ei)  T~ |q|4d3p ~3.(2.2) Un an´alisis dimensional pe mi e comp oba que las unidades de dσson de ´a ea, al y como co esponde. Di idiendo po la unidad de ´angulo s´olido sabiendo que d3p =|p |2d|p |dΩ ≡p2 dp dΩ, enemos: dσ dΩ =4Z2α2m2c4(~c)2 EiE i|q|4δ(E −Ei)|u γ0ui|2p2 dp .(2.3) Conside ando la ecuaci´on ela i is a pa a ene g´ıa y momen o E2 =c2p2 +m2c4=⇒p dp =E dE podemos lle a a cabo la in eg al e aluando la del a que impone la conse aci´on de la ene g´ıa: Z+∞ 0 δ(E −Ei)p2 E Ei i dp =Z+∞ 0 δ(E −Ei)p Ei  E i dE c2=1 c2 pi Ei i =1 c2. Po an o: dσ dΩ =4Z2α2(mc2)2(~c)2 |cq|4|u γ0ui|2.(2.4) Solo es a e alua el ac o de los espino es. Usualmen e se suele p omedia en las pola izaciones iniciales ya que no se p epa a el es ado inicial en ninguna di ecci´on p e e en e. En los es ados inales se de ec an odas las posibles pola izaciones. Po an o podemos eemplaza : |u γ0ui|2→1 2X si,s |u(p , s )γ0u(pi, si)|2. La e aluaci´on de una suma de es e ipo puede ealiza se con los eo emas de aza. Los de alles del c´alculo se basan en los esul ados expues os en el ap´endice B.2. En gene al, se iene: |u Γui|2= (u Γui)(uiΓui). con Γ = γ0Γ†γ0. El esul ado inal pa a nues a suma en pola izaciones es: 1 2X si,s |u(p , s )γ0u(pi, si)|2=E2+c2pi·p + (mc2)2 (mc2)2. Con el ´angulo de dispe si´on θpodemos exp esa el momen o ans e ido en unci´on del momen o inicial: |q|= 2|p|sin(θ/2). La exp esi´on que queda pa a la secci´on e icaz coulombiana es: dσ dΩ =4Z2α2  (mc2)2(~c)2 16|cp|4sin4(θ/2) E2+c2pi·p + (mc2)2   (mc2)2=Z2α2(~c)2 |cp|4sin4(θ/2)E2(1 −β2sin2(θ/2)). 14 La exp esi´on simpli icada, con el ac o ela i is a β= /c: dσ dΩMo =Z2α2(~c)2 4β2|cp|2sin4θ 21−β2sin2θ 2.(2.5) Es e esul ado se conoce como secci´on e icaz di e encial de Mo . Podemos compa a la con la secci´on e icaz di e encial de Ru he o d: dσ dΩRu h =Z2α2(~c)2 4β2|cp|2sin4θ 2.(2.6) La secci´on de Mo gene aliza a la de Ru he o d, a ando el esp´ın de los elec ones de una mane a in ´ınse- camen e ela i is a a a ´es de las unciones de onda de Di ac. Puede obse a se que la secci´on de Mo iene la de Ru he o d como l´ımi e no ela i is a. Pa a el l´ımi e ul a ela i is a enemos que β→1, Ei≈c|pi|y la secci´on e icaz pa a es e l´ımi e se ap oxima po : dσ dΩMo =Z2α2(~c)2cos2(θ/2) 4E2 isin4(θ/2) .(2.7) 2.2. Dispe si´on elec ´on-p o ´on sin es uc u a Es udiamos aho a el caso de dispe si´on de un elec ´on y un p o ´on lib es. Nos in e esa ob ene la secci´on e icaz del p oceso en la escala de al as ene g´ıas, y es po ello que oma emos el l´ımi e ul a ela i is a pa a el elec ´on a la ho a de ob ene la ampli ud del p oceso de dispe si´on. En es e caso ya no enemos un po encial de Coulomb ijo, y espe amos encon a una con ibuci´on signi ica i a del e oceso del p o ´on. Nues a ap o- ximaci´on consis e en modela el p o ´on como un e mi´on de esp´ın 1/2 sin es uc u a, desc i o po la ecuaci´on de Di ac. Pa a calcula el p oceso a p ime o den pa imos del elemen o de ma iz S: S i =−ie ZR4 d4y ψi(y)/ A(y)ψ (y). Conoce la co ien e que induce el p o ´on equie e esol e o malmen e las ecuaciones de Maxwell. Po como- didad elegimos el gauge de Lo enz. En es a secci´on adop amos el sis ema na u al de unidades, donde ~=c= 1. En el gauge seleccionado ob enemos: ∂µFµν = 4πJν=⇒∂µ∂µAν−∂µ  ∂νAν= 4πJν. Aplicando las ´ecnicas desa olladas pa a soluciones undamen ales de EDPs ob enemos la ecuaci´on pa a el p opagado DF, que esol emos en el espacio de momen os a a ´es de la ans o mada de Fou ie : ∂µ∂µDF= 4πδ =⇒ −qµqµ˜ DF= 4π=⇒˜ DF=−4π qµqµ=⇒DF(x) = 1 (2π)4ZR4 d4q e−iqµxµ−4π qµqµ. El po encial c eado po la co ien e es po an o: Aµ(x) = (DF? Jµ)(x) = ZR4 d4y DF(x−y)Jµ(y). Ob enemos as´ı el elemen o de ma iz en ´e minos de las llamadas co ien es de ansici´on: S i =−iZR4×R4 d4xd4yeψ γµψi(x)DF(x−y)Jµ(y). Si conside amos el elec ´on como el c eado de la co ien e y el p o ´on como es ado en an e y salien e encon- amos una exp esi´on comple amen e an´aloga. El ´e mino eψ γµψi(x) es la co ien e de ansici´on del elec ´on. La o ma inal que usa emos pa a calcula el elemen o de ma iz la ob enemos in oduciendo la co ien e del p o ´on, que po sime ´ıa ha de ene la misma o ma que la del elec ´on: Jµ p(y)=(−e)Ψ γµΨi(y). In oducimos la ep esen aci´on en el espacio de momen os del p opagado : S i =−iZR4×R4×R4 d4xd4q (2π)4d4y Jl µ(x)˜ D (q)Jµ p(y)eiq·(x−y).(2.8) 15 Pa a escla ece la no aci´on usamos min´usculas pa a las a iables asociadas al elec ´on y may´usculas pa a las del p o ´on. Las unciones de onda pa a el p o ´on: Ψi(y) = M EiVU(Pi, Si) exp[−iPµ iyµ] Ψ (y) = sM E VU(P , S ) exp[−iPµ yµ]. Las unciones de onda del elec ´on: ψi(x) = m iVu(pi, si) exp[−ipµ ixµ] ψ (x) = m  Vu(p , s ) exp[−ipµ xµ]. Po simpli ica la no aci´on, ab e ia emos los espino es de la siguien e mane a: U(P , S ) = U U(Pi, Si) = Uiu(p , s ) = u u(pi, si) = ui. El elemen o de ma iz, sus i uyendo las co ien es y el p opagado o ´onico ˜ DF: S i =ie2mM (2π)4V2pi EiE ZR4×R4×R4 d4xd4yd4q(u γµui)(U γµUi)−4π q2ei(p −pi−q)µxµei(P −Pi+q)µyµ =ie2mM V2pi EiE (u γµui)(U γµUi)(2π)4ZR4 d4q δ4(p −pi−q)δ4(P −Pi+q)−4π q2 =ie2 V2 mM pi EiE (u γµui)(U γµUi)(2π)4−4π (p −pi)2δ4(P +p −Pi−Pi). Aqu´ı la a iable q=p −pi=Pi−P = (ω, q) se denominda 4-momen o ans e ido, que ans ie e el o ´on i ual mediado del elec ´on al p o ´on. Puede comp oba se que la ene g´ıa ωy momen o q ans e idos po el o ´on i ual sa is acen ω < |q|. N´o ese que pa a un o ´on eal se e i ica q2=ω2− |q|2= 0. Las del as asegu an la conse aci´on del 4-momen o o al pa a el sis ema comple o elec ´on y p o ´on. Pa a calcula la secci´on e icaz del p oceso, calculamos la p obabilidad de ansici´on en e los es ados po unidad de iempo y olumen (W i =|S i|2/(V T)) y mul iplicamos po la densidad de es ados inales. Llama- mos ampli ud in a ian e a la magni ud: M i = (u γµui)4πeep q2(U γµUi).(2.9) Pa a el cuad ado de la dis ibuci´on del a hacemos una sus i uci´on simila a la que hicimos en el caso de dispe si´on con po encial coulombiano: [(2π)4δ4(P +p −pi−Pi)]2→TV (2π)4δ4(P +p −pi−Pi). As´ı, la p obabilidad de ansici´on po unidad de iempo y olumen queda: W i = (2π)4δ4(P +p −pi−Pi)m2M2 V4i EiE |M i|2,(2.10) siendo la densidad de es ados inales: dN =V2d3p (2π)3 d3P (2π)3. Finalmen e, pa a ob ene la secci´on e icaz hay que di idi po el lujo de e en os: dσ=m i M Ei 1 |J|V|M i|2(2π)4δ4(P +p −pi−Pi)md3p  (2π)3 Md3P E (2π)3.(2.11) 16 El ´e mino en e co che es es conocido como ac o de lujo Fy iene en cuen a la can idad de e en os de coli- si´on que hay po unidad de iempo. El ´e mino |M i|2es el que desc ibe la in e acci´on en el p oceso m´as all´a de la pu a cinem´a ica. La del a asegu a la conse aci´on del momen o o al, y los ´ul imos ac o es son la e si´on in- a ian e de la densidad de es ados inales. Desa olla emos cada uno de es os ac o es ci ados en dis in os pasos. Densidad de es ados La densidad de es ados inales del p o ´on admi e una eesc i u a que hace m´as ´acil la in eg aci´on espec o P usando la unci´on escal´on de Hea iside θ: Md3P E = 2MZ+∞ −∞ d4P δ(P2 −M2)θ(P0 ). Con el cambio de a iable d3p =|p |2d3|p |dΩ = |p | d dΩ e in eg ando (2.11) sob e el momen o inal del p o ´on y la ene g´ıa del elec ´on: dσ dΩ =FZ∞ 0 d ZR4 d4P 2M (2π)2|M i|2δ(P +p −pi−Pi)|p |δ(P2 −M2)θ(P0 ) =FM 2π2Z∞ 0 d |M i|2|p |θ(P0 i+p0 i−p0 )δ((Pi+pi−p )2−M2) =FM 2π2ZM+i m d |M i|2δ(2m2−2M( −i)−2i + 2|pi||p |cos(θ)). En los l´ımi es de in eg aci´on hemos usado la unci´on escal´on pa a el l´ımi e supe io , y sabiendo que siemp e  ≥m. T as un c´alculo cuidadoso con la del a que se ob iene, la exp esi´on esul an e es: dσ dΩ =FmM 4π2|p ||M i|2 M+i− |pi| |p |cos(θ).(2.12) La condici´on de conse aci´on de ene g´ıa de la del a implica que:  (M+i)−|pi||p |cos(θ) = iM+m2.(2.13) Ampli ud in a ian e Calculamos aho a el ac o |M i|2. No malmen e no se conocen las pola izaciones iniciales ni se miden las pola izaciones inales. Po an o lo usual es p omedia en si, Siy suma en s , S , ob eniendo as´ı: |M i|2→ |M i|2=1 4X si,s ,Si,S |(u γµui)4πeep q2(U γµUi)|2=(4π)2e2e2 p (q2)2LµνHµν, donde Lµν yHµν son los enso es lep ´onico y had ´onico. Se puede demos a calculando la suma an e io ( e eo ema B.11 en el ap´endice B.4) que en el caso de elec ´on y p o ´on sin es uc u a los enso es se esc iben como: Lµν =1 2T / p +m 2mγµ/ pi+m 2mγν, Hµν =1 2T / P +M 2Mγµ / Pi+M 2Mγν. Con los eo emas de aza se ob iene, as algunas manipulaciones, que: Lµν =1 2m2hpµ ipν +pµ pν i−gµν(pi·p −m2)i,(2.14) Hµν =1 2M2hPµ iPν +Pµ Pν i−gµν(Pi·P −M2)i.(2.15) 17 La con acci´on de es os dos enso es es un c´alculo la go pe o sencillo, que esul a en una exp esi´on pa a |M i|2 una ez se ealiza la con acci´on aplicando linealidad: |M i|2=4πe2 mMq221 2(pi·Pi)(p ·P )+(p ·Pi)(pi·P )−(pi·p )M2−(Pi·P )m2+ 2m2M2.(2.16) Es a ampli ud in a ian e la amos a e alua en el sis ema de e e encia en el que el p o ´on cons i uye un blanco en eposo, es deci :                Pi= (M, 0), pi= (i,pi), p = ( ,p ), P =Pi+pi−p = (M+i− ,pi−p ). Relacionemos el momen o ans e ido con los an e io es: q2= (p −pi)2= 2m2−2p ·pi= 2(m2− i−p ·pi) = 2(m2− i−|p ||pi|cos(θ)).(2.17) Desa ollando los p oduc os de los cuad i ec o es momen o en es e sis ema de e e encia, el co che e en (2.16) esul a: |M i|2∝iMp ·(Pi+pi−p ) +  Mpi·(Pi+pi−p )−M2(pi·p )−m2M(M+i− )+2m2M2 =iM( M+pi·p −m2) +  M(iM+m2−pi·p )−M2pi·p −m2M2−m2Mi+m2M + 2M2M2 = [2i M2−pi·p (M2+M( −i)) + 2m2M( −i)], de donde ob enemos: |M i|2=4πe2 q21 2m2M22i M2−pi·p (M2+M( −i)) + 2m2M( −i). Es a exp esi´on puede pone se en ´e minos de q2, ya que de (2.17) se deduce p ·pi=m2−q2/2, esul ando: |M i|2=4πe2 q2  m21 + q2 4 i1 +  −i M−m2 2 i  −i M. Aho a omamos el l´ımi e ul a ela i is a en la ene g´ıa del elec ´on inciden e, en el cual: |p | |pi|→ i . El momen o ans e ido simpli ica: q2= 2(m2− i−|p ||pi|cos(θ)) ≈ −2 i(1 −cos(θ)) = −4 isin2(θ/2). Luego en el l´ımi e ul a ela i is a pa a el elec ´on:    q2≈ −4 isin2(θ/2), p ·pi≈ −q2 2. La condici´on de conse aci´on de la ene g´ıa (2.13) simpli ica d ´as icamen e:  (M+i)−|p ||pi|cos(θ) = iM+m2  i−|p ||pi|cos(θ)−m2= (i− )M  i(1 −cos(θ)) ≈(i− )M  −i M≈ −2 i M2sin2(θ/2) ≈q2 2M2.(2.18) 18 En pa icula , se deduce la impo an e elaci´on: i= + 2i Msin2(θ/2) =⇒i  = 1 + 2i Msin2(θ/2).(2.19) Bas a sus i ui las exp esiones de q2y −i Men |M i|2pa a ob ene , desp eciando el ´e mino p opo cional a m2/M2: |M i|2=4πe2 q22 i m2"1 + q2 4 i−q2 M2sin2(θ/2) +   m2 M2sin2(θ/2)# ≈4πe2 q22 i m21−sin2(θ/2) −q2 M2sin2(θ/2) =4πe2 q22 i m2cos2(θ/2) −q2 2M2sin2(θ/2)(2.20) ≈4πe2 −4i sin2(θ/2)2 i m2cos2(θ/2) −q2 2M2sin2(θ/2) =π2e4  isin4(θ/2) 1 m2cos2(θ/2) −q2 2M2sin2(θ/2).(2.21) Fac o de lujo Bajo la hip´o esis de colisi´on colineal se ob iene una exp esi´on sencilla pa a el ac o de lujo ( ´ease [2], ecuaci´on 3.78) a pa i de la exp esi´on J=| i−Vi| Ven unci´on de la elocidad ela i a en e ambas pa ´ıculas: F=mM p(pi·Pi)2−m2M2. Es a exp esi´on es in a ian e Lo en z y puede e alua se en el mismo sis ema de e e encia que elegimos an e- io men e, en el que el p o ´on es el blanco en eposo, esul ando: F=mM p2 iM2−m2M2=m |pi|.(2.22) Secci´on e icaz di e encial Haciendo uso de los esul ados an e io es puede ob ene se la exp esi´on de la secci´on e icaz di e encial en la ap oximaci´on ul a ela i is a pa a el elec ´on. Inse amos la ampli ud in a ian e (2.20), el ac o de lujo (2.22) en la exp esi´on con la densidad de es ados ya in eg ada (2.12): dσ dΩ =m2M 4π2|p | |pi| 1 M+i− |pi| p cos(θ) π2e4  isin4(θ/2) 1 m2cos2(θ/2) −q2 2M2sin2(θ/2) ≈M 4  i 1 M+i(1 −cos(θ)) α2  isin4(θ/2) cos2(θ/2) −q2 2M2sin2(θ/2) =α2 42 isin4(θ/2) hcos2(θ/2) −q2 2M2sin2(θ/2)i 1+2i Msin2(θ/2) .(2.23) Compa ando con la secci´on e icaz de Mo se obse a la apa ici´on de un ac o en el denominado . Teniendo en cuen a la elaci´on en e ene g´ıa inciden e y salien e del elec ´on dada po (2.19) iden i icamos es e ac o como el e oceso ec ≡i/ , que cuan i ica cu´an o momen o se lle a el p o ´on blanco. La secci´on e icaz di e encial que esul a es: dσ dΩ =α2 42 isin4(θ/2) −1 ec cos2(θ/2) −q2 2M2sin2(θ/2).(2.24) Pa a esca a las unidades en el sis ema in e nacional bas a ´ıa mul iplica po (~c)2y ob ene as´ı dimensiones de ´a ea. Adem´as de un ´e mino de e oceso que no apa ec´ıa cuando model´abamos el p o ´on como un cen o 19 coulombiano, el ´e mino en co che e es debido a que ambas pa ´ıculas en colisi´on son e miones con esp´ın: a al as elocidades el esp´ın de una es sen ido po la o a como un campo magn´e ico que ac ´ua sob e una ca ga en mo imien o, y de ah´ı la nue a dependencia angula . 2.3. F´o mula de Rosenblu h y ac o es de o ma El an e io esul ado iene limi aciones: pa a elec ones de al as ene g´ıas, comienza a juga un papel impo - an e la es uc u a in e na del p o ´on, que en nues o a amien o hemos conside ado una pa ´ıcula de Di ac sin es uc u a. Pa a en en a nos a ese p oblema, modela emos la co ien e del p o ´on de una mane a m´as gene al, in o- duciendo los llamados ac o es de o ma del p o ´on. Es os desc iben la dis ibuci´on de ca ga y magne izaci´on del nucle´on, in oduciendo ´e minos adicionales de in e acci´on con el elec ´on inciden e que modi ican la secci´on e icaz pa a los angos de ene g´ıas supe io es. Comenzamos p oponiendo un cambio en la co ien e: Jµ p=epU(P , S )γµU(Pi, Si) =⇒Jµ p=epU(P , S )ΓµU(Pi, Si). Imponiendo condiciones de co a ianza Lo en z, he mi icidad e in a iancia gauge de la co ien e, ob enemos que la exp esi´on m´as gene al que exis e pa a el ope ado de ´e ice Γµes: Γµ=γµF1+i 2MF2σµνqν,(2.25) donde qνes el 4-momen o ans e ido. Los ac o es F1(q2) y F2(q2) son los llamados ac o es de o ma de Pauli y Di ac, espec i amen e, y dependen del escala q2=qµqµ, el ´unico escala cinem´a ico independien e. A pesa de que no lo hagamos expl´ıci o, an o F1, F2, como Γ dependen de q2. El uso de ac o es de o ma ue in oducido po R. Ho s ade [3] p ecisamen e pa a explica los esul ados expe imen ales de la dispe si´on de elec ones con n´ucleos. A pesa de habe cambiado el ope ado espino ial de la co ien e, la misma de i aci´on pa a el elemen o de ma iz S i que se hizo en la secci´on 2.2 es ´alida aqu´ı, con la con enien e sus i uci´on U γµUi=⇒U ΓµUi: S i =ie2 V2 mM pi EiE (u γµui)(U ΓµUi)(2π)4−4π q2δ4(P +p −Pi−Pi). De hecho, el ´unico ´e mino que se e modi icado en la ´o mula pa a la secci´on e icaz di e encial dada po (2.12) es la ampli ud in a ian e M i, que es donde es ´a con enida la e aluaci´on de los co a ian es bilineales. De nue o, es a ampli ud in a ian e la p omedia emos sob e los es ados de pola izaci´on en an es y la suma emos sob e los es ados de pola izaci´on salien es: |M i|2=1 4X si,s ,Si,S u γµui 4πe2 q2U ΓµUi 2 .(2.26) G acias a la descomposici´on de Go don (B.1) podemos u iliza una exp esi´on equi alen e pa a U ˆ ΓµUiy elimina σµν: U ΓµUi=U γµF1+i 2MF2σµνqν=Ui=U (F1+F2)γµ−F2 2M(P +Pi)µUi. Po an o, podemos eesc ibi el ope ado Γ como: Γµ= (F1+F2)γµ−F2 2m(P +Pi)µ 1 . 20 3.1. Ma iz S pa a p ocesos d´ebiles A lo la go de es e cap´ı ulo nos cen a emos en p ocesos de in e acci´on de neu inos con nucleones mediados po co ien es ca gadas. Es o implica que las pa ´ıculas en an es y salien es del p oceso no son las mismas. El ejemplo con el que empeza emos es ´a ep esen ado en la Figu a 3.1: un neu ino incide sob e un neu ´on y como p oduc o esul an un lep ´on del mismo sabo y un p o ´on. M´as adelan e pa icula iza emos pa a el caso de neu inos elec ´onicos, lo que pe mi i ´a simpli ica las exp esiones bajo un l´ımi e ul a ela i is a que es ´a jus i icado en el caso elec ´onico pe o no mu´onico. Tambi´en conside a emos el p oceso en el cual un an ineu ino incide sob e un p o ´on y se ob iene un neu ´on y un an ilep ´on como p oduc os. l− νl W p n Figu a 3.1: Diag ama de Feynman de un p oceso de dispe si´on νlcon neu ´on En el cap´ı ulo 1 dedujimos una exp esi´on pa a el elemen o de ma iz S a p ime o den en eo ´ıa de pe u baciones, dado po (1.28): S i ≈ ∓iZR4 d4y φ (y)/ A(y)φi(y). En el cap´ı ulo 2, dependiendo del p oceso, desa ollamos el ´e mino po encial bien en ´e minos de la exp esi´on coulombiana o en ´e minos de la co ien e de la o a pa ´ıcula pues a en juego en el p oceso, a a ´es del p opagado o ´onico DF(x−y). Es e p opagado lo ob en´ıamos a a ´es de una ans o mada de Fou ie y una con oluci´on: Dµν(x−y) = gµν (2π)4ZR4 d4q eiq·(x−y)−4π q2. La exp esi´on que ob en´ıamos pa a el elemen o de ma iz e a: S i =−iZR4×R4×R4 d4xd4q (2π)4d4y Jµ l(x)˜ Dµν(q)Jν p(y)eiq·(x−y).(3.1) En es e cap´ı ulo seguimos un p ocedimien o simila pa a el campo de in e acci´on d´ebil. Al igual que en el caso elec omagn´e ico, end emos un bos´on mediado , ambi´en asociado a un campo ec o ial. De modo simila al o ´on γ, asociado al campo elec omagn´e ico Aµ, en el caso de in e acci´on d´ebil, enemos el bos´on W±asociado al campo complejo W± µ=q1 2W1 µ∓iW2 µ. Siendo bosones ec o iales, ambos ienen esp´ın 1. No obs an e, en el caso de la in e acci´on d´ebil, el bos´on es masi o, con MW= 80,379(12) GeV/c2. En el caso elec omagn´e ico, in e acci´on con an´alogo cl´asico, pudimos exp esa el campo a a ´es de la co ien e esol iendo las ecuaciones de Maxwell pa a ob ene el p opagado o ´onico. La exp esi´on pa a el p opagado del bos´on W es algo m´as complicada, esul ando inalmen e (de alles sob e la deducci´on del p opagado d´ebil pueden encon a se en [19]): ˜ Dαβ(q) = −gαβ +qαqβ/M2 W q2−M2 W . En nues o caso de in e ´es, las ene g´ıas in oluc adas son signi ica i amen e meno es que la masa del bos´on W; po consiguien e, el p opagado puede ap oxima se po la exp esi´on (l´ımi e es ´a ico): Dαβ(q)≈gαβ M2 W .(3.2) La eno me masa del bos´on W es la que de e mina la baja in ensidad de la in e acci´on d´ebil, as´ı como su co o alcance. Si bien es cie o que la cons an e de acoplo d´ebil ges mucho mejo que la cons an e elec omagn´e ica, 27 si es a uese la ´unica di e encia ambas in e acciones se ha ´ıan compa ables a ene g´ıas supe io es a la masa del bos´on W. Puede consul a se m´as in o maci´on e e en e a la eo ´ıa de in e acci´on d´ebil en los cap´ı ulos [20]. P ocedemos aho a a ija la no aci´on pa a los 4-momen os pues os en juego en nues o p oceso. Po sim- plicidad suponemos casi iguales las masas del neu ´on y del p o ´on: mp≈mn≡M                Neu ino: kνl= (νl,kνl). Neu ´on: Pn= (En,Pn). P o ´on: Pp= (Ep,Pp). Lep ´on: kl= (l,kl). De nue o el 4-momen o ans e ido es q=kνl−kl. El papel de la ca ga del elec ´on lo juega la cons an e de acoplo d´ebil gque in oduci emos como ac o de p opo cionalidad pa a las co ien es d´ebiles. Si bien las co ien es en elec odin´amica son pu amen e ec o iales (dependencia con γµ) las co ien es d´ebiles p esen an una pa e ec o ial y o a axial (dependencia con γµγ5). La in oducci´on de es e ´e mino axial es c ucial en la in e acci´on d´ebil pues lle a a la o u a de sime ´ıa que in oluc a la iolaci´on de la pa idad y de la conjugaci´on de ca ga. La demos aci´on expe imen al de la iolaci´on de pa idad u o luga en 1956 en un expe imen o en el que se es udiaba la dis ibuci´on angula de los elec ones emi idos po decaimien o βdel 60Co. Se obse ´o una ue e asime ´ıa en el ´angulo que o man el momen o de los elec ones emi idos y la o ien aci´on del momen o angula del n´ucleo pad e, pola izado po un campo magn´e ico in enso [21]. Las exp esiones que usa emos pa a la co ien e lep ´onica y had ´onica se pueden consul a en Qua ks and lep ons [20] cap´ı ulo 12: (Jα l)†(x) = g 2√2ψl(x)γα(1 −γ5)ψνl(x).(3.3) Es a co ien e se dice cha ge- aising pues aumen a la ca ga del es ado inal con espec o del inicial, y de ah´ı el s´ımbolo †. Usamos pa a los ´ındices de Lo en z las le as αyβpa a no con undi el neu ino νcon ning´un ´ındice enso ial. Podemos desa olla las unciones de onda del neu ino y el lep ´on y ob ene : (Jα l)†(x) = g 2V√2 mlmνl lνlu(kl, sl)γα(1 −γ5)u(kνl, sνl)†ei(kl−kνl)·x.(3.4) Es a co ien e lep ´onica modela los lep ones en an es y salien es como pa ´ıculas pun uales y sin es uc u a. Es o no se ´ıa adecuado pa a modela los nucleones in oluc ados en el p oceso, y an´alogamen e a c´omo p o- cedimos en la secci´on 2.3 in oducimos ac o es de o ma pa a pa ame iza el desconocimien o exac o de la es uc u a in e na d´ebil de p o ´on y neu ´on: Jβ N(y) = g 2√2Ψp(y)ΓβΨn(y).(3.5) La unci´on del ´e ice had ´onico la exp esamos en ´e minos de los ac o es de o ma ec o FV 1, FV 2, axial GA y pseudoescala GP: Γβ=FV 1γβ+iFV 2 2Mσβλqλ | {z } Γβ V +GAγµγ5+GP 2Mqβγ5 | {z } Γβ A .(3.6) Es a co ien e ambi´en podemos desa olla la en ´e minos de espino es de Di ac y ob ene : Jβ N(y) = g 2V√2 M pEpEn Up(Pp, Sp)ΓβUn(Pn, Sn)ei(Pn−Pp)·y.(3.7) Aho a inse amos las co ien es lep ´onica (3.4) y had ´onica (3.7) en la exp esi´on pa a el elemen o de ma iz 28 (3.1) jun o con el p opagado del bos´on W(3.2): S i =−iZd4xd4q (2π)4d4yg2M 8V2 mlmνl νllEpEnulγα(1 −γ5)uνl†gαβ M2 WUpΓβUnei(kl−kνl+q)·xei(Pp−Pn−q)·y =−iZd4q (2π)4 g2M 8M2 WV2 mlmνl νllEpEnulγα(1 −γ5)uνl†UpΓαUn(2π)4δ4(kl−kνl+q)(2π)4δ4(Pp−Pn−q) =−ig2M 8M2 WV2 mlmνl νllEpEnulγα(1 −γ5)uνl†UpΓαUn(2π)4δ4(Pp−Pn−kνl+kl). Podemos eesc ibi lo usando la cons an e de Fe mi in oducida en su eo ´ıa de la desin eg aci´on be a (GF √2= g2 8M2 W ): S i =−iGFM V2√2 mlmνl νllEpEnulγα(1 −γ5)uνl†UpΓαUn(2π)4δ4(Pp−Pn−kνl+kl). 3.2. C´alculo de la ampli ud in a ian e en νe+n→e−+p Nos cen amos en lo que sigue en los p ocesos con sabo elec ´onico. Pa a no sob eca ga la no aci´on, en endemos an o aqu´ı como en los ap´endices e e enciados que la e ique a νiden i ica siemp e a neu inos elec ´onicos (y νa an ineu inos elec ´onicos). Debido a la baja masa del lep ´on salien e (el elec ´on), pod emos oma un l´ımi e ul a ela i is a en la egi´on cinem´a ica que nos in e esa simpli icando conside ablemen e los c´alculos. Ob end emos la secci´on e icaz di e encial a pa i de S i, calculando p ime o la p obabilidad de ansici´on po unidad de olumen y iempo, desa ollando el cuad ado de la del a con el mismo azonamien o que en el cap´ı ulo an e io : |(2π)4δ4|2→(2π)4V Tδ4. W i =|S i|2 V T =G2 FM2mνml 2νlEpEnV4(2π)4δ4(Pp−Pn−kν+kl)ulγα(1 −γ5)uν†UpΓαUn 2.(3.8) El p oduc o de espino es con o ma la ampli ud in a ian e M i. Siguiendo un p ocedimien o simila al usado en la desc ipci´on del p oceso de dispe si´on e−p, p omediamos su cuad ado sob e las pola izaciones en an es y sumamos sob e las pola izaciones salien es. El esul ado es la ya conocida con acci´on de enso es lep ´onico y had ´onico al y como demues a el eo ema B.12 del ap´endice B.4. Es a secci´on es ´a dedicada al c´alculo de es a ampli ud in a ian e a a ´es de la de e minaci´on de los enso es lep ´onico y had ´onico y su pos e io con acci´on. M´as de alles sob e los c´alculos se mues an en el ap´endice C. El p omedio de la ampli ud se exp esa como: |M i|2→ |M i|2=1 4X sν,sl,Sp,Snulγα(1 −γ5)uν†UpΓαUn 2=˜ LαβHαβ La exp esi´on de los enso es lep ´onico y had ´onico los da el mismo eo ema donde enemos que ene cuidado de usa el adjun o de Di ac de los ope ado es de co ien e. Abso biendo las masas de los lep ones den o del enso lep ´onico, y eniendo en cuen a que γα(1 −γ5) = γα(1 −γ5), enemos: Lαβ =mlmν˜ Lαβ =mlmν 2T / kl+ml 2ml γα(1 −γ5)/ kν+mν 2mν γβ(1 −γ5)=1 8T [(/ kl+ml)γα(1−γ5)( / k +m )γβ(1−γ5)]. El desa ollo del enso lep ´onico se de alla en el ap´endice C.2, esul ando: Lαβ =kl αkν β+kl βkν α−kl·kνgαβ +iαβλρkλ lkρ ν.(3.9) Podemos demos a que la con acci´on del enso lep ´onico con el 4-momen o ans e ido qαLαβ iende a ce o en el l´ımi e ul a ela i is a. Po an o, ´e minos p opo cionales a qαen la co ien e had ´onica no con ibui ´an 29 a la con acci´on LαβHαβ. As´ı pues, el ´e mino GP 2Mqβγ5en (3.6) no con ibui ´a si conside amos el lep ´on salien e ul a ela i is a. La con acci´on se descompone en dos pa es de sime ´ıa de inida: qαLαβ =qαkl αkν β+qαkν αkl β−kl·kνgαβqα | {z } Pa e sim´e ica +iαβλρkλ lkρ νqα | {z } Pa e an isim´e ica . La pa e an isim´e ica es inmedia amen e nula, ya que el enso de Le i Ci i a se anula cuando se con ae con ec o es linealmen e dependien es. Es e es el caso, ya que q=kν−kl. La pa e sim´e ica la calculamos usando la de inici´on de q: qαLαβ =q·klkν β+q·kνkl β−kl·kνqβ = (kν−kl)·klkν β+ (kν−kl)·kνkl β−(kl·kν)qβ = (kν·kl)kν β−k2 lkν β+k2 νkl β−(kl·kν)kl β−(kl·kν)qβ =−m2 lkν β+m2 νkl β+ (kν·kl)(kν β−kl β)−(kl·kν)qβ =m2 νkl β−m2 lkν β. En el p oceso conside ado en es e abajo, el elec ´on se desc ibe en el l´ımi e ul a ela i is a, desp eciando su masa en e a las ene g´ıas y momen os in oluc ados. Po o a pa e, los neu inos los desc ibimos como pa ´ıculas de masa nula. As´ı pues, qαLαβ ≈0. Teniendo en cuen a el esul ado p e io, el es udio que sigue se cen a en el c´alculo del enso had ´onico eliminando el ´e mino pseudoescala , usando el ope ado de ´e ice: Γβ=FV 1γβ+iFV 2 2Mσβλqλ+GAγµγ5+  GP 2Mqβγ5. Los c´alculos se desa ollan en el ap´endice C.3 debido a su longi ud. Algunos aspec os cla es en el desa ollo son las p opiedades de las ma ices gamma y los eo emas de aza que se exponen en el ap´endice B.2, adem´as del c´alculo e ec i o del adjun o de Di ac pa a los ´e minos ec o iales y axiales, ales y como se de allan en el lema B.4. El enso had ´onico esul an e es: Hαβ =−W1gαβ +W2 Pα nPβ n M2+iW3αβρλPn ρqλ+W4qαqβ+W5 Pα nqβ+Pβ nqα 2M2,(3.10) donde los coe icien es (que dependen del 4-momen o ans e ido) son: W1=|q2| 4M2(FV 1+FV 2)2+G2 A+G2 A W2= (FV 1)2+|q2| 4M2(FV 2)2+G2 A W3= 2GA(FV 1+FV 2) W4=FV 2 4M2|q2| 4M2−1−FV 1FV 2 2M2+G2 A |q2|+ 2 GA M2(FV 1+FV 2) W5= (FV 1)2+|q2| 4M2(FV 2)2+G2 A.(3.11) La con acci´on de los enso es pe mi e calcula la ampli ud in a ian e necesa ia pa a p osegui en el c´alculo de la secci´on e icaz. Es e desa ollo se de alla en el ap´endice C.4. De la ecuaci´on (C.6) ob enemos: mlmν|M i|2= 2W1lν(1 −cos(θ)) + W2lν(1 + cos(θ)) −W3 l+ν M(lν)(1 −cos(θ)), donde las unciones Wi(q2) son las ecogidas en (3.11). Usando las elaciones del ´angulo mi ad enemos: mlmν|M i|2= 2lν2W1sin2(θ/2) + W2cos2(θ/2) −W3 l+ν Msin2(θ/2)(3.12) 30 3.3. Secci´on e icaz di e encial A pa i de la ampli ud in a ian e podemos calcula la secci´on e icaz di e encial. Pa iendo de la asa de ansici´on po unidad de olumen (3.8): W i =|S i|2 V T =G2 FM2mνml 2νlEpEnV4(2π)4δ4(Pp−Pn−kν+kl)|M i|2, la secci´on e icaz di e encial se calcula como: dσ=|S i|2 TV |{z} W i V J V (2π)3d3kl V (2π)3d3Pp, donde Jes el lujo inciden e. In oduciendo la asa de ansici´on an e io W i se ob iene: dσ=G2 F 2 1 4π2δ4(Pp−Pn−kν+kl)1 V Jνl mlmν|M i|2M2d3kl l d3Pp Ep .(3.13) Tal y como se dedujo en el es udio del p oceso elec omagn´e ico, el ac o de lujo puede eesc ibi se de una mane a sencilla bajo la hip´o esis de colisi´on colineal: 1 V Jνl≈1 √kν·Pn−mνM2≈1 Mν . Hemos hecho uso de la ap oximaci´on mν≈0 pa a la masa del neu ino, y hemos usado de o ma expl´ıci a la o ma del momen o del neu ´on en el sis ema labo a o io, en el que es ´a en eposo Pn= (M, 0). De es a o ma: dσ=G2 F 2 1 4π2δ4(Pp−Pn−kν+kl)1 Mν mlmν|M i|2M2 lEp d3kld3Pp.(3.14) Es a exp esi´on es o almen e an´aloga a la de i ada en el caso de dispe si´on elec ´on-p o ´on. Es necesa io in eg a la del a que implica la conse aci´on de la ene g´ıa global en el p oceso, y oma el l´ımi e ul a ela i is a pa a el neu ino y el elec ´on salien e: dσ dΩ =G2 F 8π2 1 Mν mνmlM2|M i|2|kl| M+ν−l|kν| |kl|cos(θ) ≈G2 F 8π2 l ν mνml|M i|2M M+ν−νcos(θ).(3.15) Pa a p osegui debemos conside a las pola izaciones. La pa ´ıcula que es de ec ada en es e p oceso es usual- men e el lep ´on salien e. Po an o p omediamos sob e su pola izaci´on y p omediamos sob e el es o. La consecuencia es eemplaza mlmν|M i|2po mlmν|M i|2, ´e mino que ue calculado po el m´e odo de las azas como con acci´on del enso had ´onico y el lep ´onico. As´ı, enemos la secci´on e icaz di e encial esc i a de o ma compac a: dσ dΩ =G2 F 8π2 l ν LαβHαβ M M+ν−νcos(θ).(3.16) La con acci´on de los enso es lep ´onico y had ´onica ue ya calculada (3.12) y podemos in oduci la llegando as´ı a una exp esi´on ce ada pa a la secci´on e icaz di e encial pa a el p oceso νl+n→l+p dσ dΩ =G2 F2 l 4π2 M M+ν−νcos(θ)2W1sin2(θ/2) + W2cos2(θ/2) −W3 l+ν Msin2(θ/2).(3.17) Reco damos que solo dos de las es a iables cinem´a icas (ν, l, θ) son independien es: es ´an ligadas po la mismas elaciones cinem´a icas que expon´ıamos en el es udio de la dispe si´on elec ´on-p o ´on, que ecogemos a con inuaci´on: l≈ν 1+2ν Msin2(θ/2) q2=−2Mω = 2M(l−ν)≈ −4νlsin2(θ/2). 31 Podemos adem´as iden i ica el ac o de e oceso −1 ec =ν/ly esc ibi la secci´on e icaz de la mane a compac a: dσ dΩ =G2 F2 l 4π2 −1 ec LαβHαβ νlq2=−2Mω.(3.18) 3.4. Secci´on e icaz pa a el p oceso con an ineu inos Resul a in e esan e conside a qu´e modi icaciones se ´ıan necesa ias pa a el p oceso con an ineu inos, en cuyo caso los papeles de nucleones inicial y inal deben in e cambia se pa a espe a la conse aci´on de la ca ga. La eacci´on se ´ıa: νe+p→n+e+ La co ien e had ´onica no se e ´ıa modi icada ya que los ac o es de o ma iso ec o es (de los que habla emos en de alla en la siguien e secci´on) son iguales pa a ambos nucleones. Sin emba go, la co ien e lep ´onica ha de e se modi icada eniendo en cuen a la p oyecci´on en helicidad posi i a, pa a an ineu inos: (Jα l)†(x) = g 2√2ψl(x)γα(1 + γ5)ψν(x). Implemen ando es a sus i uci´on del signo a lo la go del c´alculo del enso lep ´onico se obse a que s´olo a ec a a la pa e an isim´e ica del enso : Lαβ =kl αkν β+kl βkν α−kl·kνgαβ ±iαβλρkλ lkρ ν. Aqu´ı + es el signo pa a el p oceso con neu inos y −es el signo pa a el p oceso con an ineu inos. En la ampli ud in a ian e, es e cambio en la pa e an isim´e ica solo in luye a la ho a de con ae con la pa e an isim´e ica del enso had ´onico, que es el que es ´a exp esado en ´e minos de la unci´on W3(q2). As´ı, la ´unica di e encia en la secci´on e icaz di e encial es el in e cambio de signo en W3. Llegamos po an o a la exp esi´on m´as gene al posible en la ap oximaci´on ul a ela i is a: dσ dΩ =G2 F2 l 4π2 −1 ec 2W1sin2(θ/2) + W2cos2(θ/2) ±W3 l+ν Msin2(θ/2).(3.19) 3.5. Fac o es de o ma had ´onicos Pa a p osegui en el an´alisis de las secciones e icaces de ambos p ocesos es necesa io el conocimien o de la es uc u a d´ebil del nucle´on. En el cap´ı ulo 3 de [17] se exponen de mane a de allada a ias pa ame izaciones de los ac o es de o ma del nucle´on FV 1, FV 2yGAbasados en esul ados expe imen ales. En es e abajo op amos po una pa ame izaci´on sencilla que es ´alida pa a alo es no muy al os del 4-momen o ans e i- do: la pa ame izaci´on dipola . No obs an e, se˜nalamos aqu´ı que o as pa ame izaciones m´as complejas son posibles pe mi iendo ex ende de mane a m´as consis en e los esul ados a eg´ımenes de ene g´ıa y 4-momen o ans e ido m´as al os. Pa a los ac o es iso ec o es usamos la siguien e ep esen aci´on en ´e minos de los ac o es de o ma elec- omagn´e icos del p o ´on y del neu ´on GEyGM. Deno ando τ=|q2| 4M2:    FV 1Q2=1 1+τ[(Gp E−Gn E) + τ(Gp M−Gn M)] FV 2Q2=1 1+τ[(Gp M−Gn M)−(Gp E−Gn E)] . (3.20) Es la llamada conse aci´on de la co ien e ec o la que pe mi e exp esa los ac o es de o ma ec o iales d´ebiles en ´e minos de los elec omagn´e icos. La conse aci´on de la co ien e elec omagn´e ica implica la con- se aci´on de la pa e ec o ial de la co ien e d´ebil, y es o pe mi e elaciona la es uc u a ec o ial d´ebil con 32 la elec omagn´e ica. Pa a los ac o es de Sachs u ilizamos nue amen e la pa ame izaci´on dipola : GD(q2) = 1 1 + |q2| Q22, con Q2= 0,71 GeV2. Los ac o es de o ma el´ec ico y magn´e ico del p o ´on ue on ya u ilizados en el cap´ı ulo 2. Pa a el neu ´on, anulamos el ac o el´ec ico y no malizamos el magn´e ico al momen o magn´e ico del neu ´on. Tomando los alo es de los momen os magn´e icos µn=−1,913, µp= 2,793 enemos:    Gp E(q2) = GD(q2)Gn E(q2) = 0 Gp M(q2) = µpGD(q2)Gn M(q2) = µnGD(q2). (3.21) 33 3.6. Resul ados Fijadas las pa ame izaciones a usa podemos ep esen a g ´a icamen e la secci´on e icaz di e encial en e a ´angulo pa a neu inos y an ineu inos. Pa a ello se han omado dis in as ene g´ıas del neu ino inciden e, mo i adas po las ene g´ıas ele an es en a ios expe imen os de neu inos: MiniBooNE [22],[23] (0.7 GeV), T2K [24] (1 GeV), MINERνA [25](3 GeV) y el u u o expe imen o DUNE [26] (7 GeV). Una di e encia c u- cial en e a los expe imen os de dispe si´on de elec ones es que el haz de neu inos inciden es p esen a una dis ibuci´on en ene g´ıas y que, al con a io de lo que pasa con las pa ´ıculas ca gadas, no se puede selecciona una ene g´ıa conc e a. Po ello, nues os esul ados son una p ime a ap oximaci´on a un es udio espec´ı ico que equie e con oluciona la secci´on e icaz que hemos ob enido con la dis ibuci´on en ene g´ıas que o ece cada dis in o expe imen o pa a as´ı pode compa a con los da os expe imen ales, as´ı como conside a los e ec os asociados al medio nuclea . Los esul ados pa a la dispe si´on el´as ica neu ino-nucle´on se ecogen en la Figu a 3.2, ep esen ando la secci´on e icaz di e encial en e al ´angulo de dispe si´on a dis in as ene g´ıas. Se ap ecia que la secci´on e icaz pa a neu inos es siemp e mayo que pa a an ineu inos, si bien ienen a iguala se con o me c ece la ene g´ıa ν. (a) ν= 0.7 GeV (b) ν= 1 GeV (c) ν= 3 GeV (d) ν= 7 GeV Figu a 3.2: Secci´on e icaz di e encial pa a dis in as ene g´ıas del neu ino inciden e. La asime ´ıa en e neu inos y an ineu inos se hace pa en e si ep esen amos el cocien e R=dσ dΩ ν/dσ dΩ ν. Los esul ados pa a las dis in as ene g´ıas de in e ´es se pueden obse a en la Figu a 3.3. Obse amos que es a 34 asime ´ıa dec ece con o me aumen a la ene g´ıa de la pa ´ıcula inciden e. El ´e mino axial que cambia de signo en la secci´on e icaz di e encial es W3(q2)ν+l Msin2(θ/2) y su dependencia en |q2|se ep esen a en la Figu a 3.4, donde se obse a que e ec i amen e es a unci´on es meno pa a alo es c ecien es de la ene g´ıa de incidencia ν. Teniendo en cuen a las exp esi´on gene al de la secci´on e icaz di e encial (3.19) podemos esc ibi el cocien e de asime ´ıa: R= dσ dΩ ν dσ dΩ ν =2W1sin2(θ/2) + W2cos2(θ/2) −W3l+ν Msin2(θ/2) 2W1sin2(θ/2) + W2cos2(θ/2) + W3l+ν Msin2(θ/2),(3.22) donde eco damos que las unciones W1, W2yW3dependen del ´angulo a a ´es de q2. Es el ac o p opo cional aW3y su cambio de signo ela i o el esponsable de es a di e encia. Reco damos que dicho cambio de signo es ´a ligado al hecho de que la co ien e del neu ino se exp esa con el ope ado γµ(1 −γ5) p oyec ando en helicidades nega i as y la co ien e del an ineu ino p oyec a en helicidades posi i as a a ´es del ope ado γµ(1 + γ5). Pa a ´angulos p ´oximos a ce o ob enemos R= 1, ya que en (3.22) se anula ´ıan los ´e minos que an con el seno, en pa icula el ´e mino axial que lle a W3y es el esponsable de la asime ´ıa. (a) ν= 0.7 GeV (b) ν= 1 GeV (c) ν= 3 GeV (d) ν= 7 GeV Figu a 3.3: Cocien e en e las secciones e icaces di e enciales de neu ino y an ineu ino pa a dis in as ene g´ıas de incidencia ν. 35 Figu a 3.4: Dependencia en |q2|del ´e mino axial pa a dis in as ene g´ıas de incidencia ν. La secci´on e icaz o al o in eg ada puede ob ene se a pa i de la di e encial in eg ando en odo el ´angulo s´olido: σ=ZS2 dσ dΩdΩ = 2πZπ 0 dσ dΩ sin(θ)dθ. A pa i de la dependencia angula de la secci´on e icaz di e encial es ´acil in eg a num´e icamen e y ob e- ne secciones e icaces o ales en el ango de ene g´ıas de in e ´es. Algunos alo es pa a las ene g´ıas ecalcadas an e io men e se ecogen en el Cuad o 3.6. La ep esen aci´on en un ango amplio de ene g´ıas de la secci´on di e encial in eg ada se mues a en la Figu a 3.5. De nue o obse amos c´omo la secci´on e icaz pa a el p oceso con neu inos es mayo que la co espondien e pa a an ineu inos, si bien ambos alo es se ap oximan con o me nos mo emos a cinem´a icas m´as al as, ya que el ´e mino axial dec ece pa a ene g´ıas m´as al as, como mues a la Figu a 3.4. ν[GeV] 0.7 1.0 3.0 7.0 σ(ν) [10−13 m2] 5.39 5.80 5.55 5.20 σ(ν) [10−13 m2] 1.68 2.20 3.69 4.317 Cuad o 3.1: Secci´on e icaz o al pa a neu inos y an ineu inos a dis in as ene g´ıas de incidencia. Figu a 3.5: Secci´on e icaz in eg ada en el ango de ene g´ıas de incidencia 0 - 7 GeV pa a neu inos y an ineu- inos. 36 Ap´endice B C´alculos de azas y ampli udes in a ian es En los c´alculos de secciones e icaces es siemp e indispensable calcula ´e minos de la o ma espino ×ma iz ×espino , calcula m´odulos al cuad ado y p omedia sob e las pola izaciones. En es e ap´endice se de allan los desa ollos ma em´a icos necesa ios pa a e ec ua es os c´alculos de mane a e ec i a. B.1. Co a ian es bilineales Los obse ables que pueden cons ui se a pa i de los espino es son del ipo ψΓψy son ca alogados de o ma comple a a a ´es del eo ema undamen al de Pauli, que puede consul a se en [33]. Escala : ΓS= 1 . Vec o : Γµ V=γµ. Tenso ial: Γµν T=σµν =i 2[γµ, γν]. Pseudoescala : ΓP=γ5:= iγ0γ1γ2γ3. Pseudo ec o o axial: Γµ A=γ5γµ. Los nomb es que eciben esponden a la ans o maci´on que co esponde a cada ope ado cuando se ealizan ans o maciones de Lo en z sob e la can idad ψΓψ. Mien as que en los es p ime os casos el obse able se ans o ma como escala , ec o y enso espec i amen e, en los dos ´ul imos casos hay un cambio de signo pa a el caso de ans o maciones de Lo en z imp opias (de de e minan e −1), como po ejemplo bajo ans- o maci´on de pa idad o de in e si´on empo al. La descomposici´on de Go don nos pe mi e elaciona la e aluaci´on de las γµcon la de las σµν: u(p0)γµu(p) = 1 2m(p+p0)µu(p0)u(p) + i 2m(p−p0)νu(p0)σµνu(p) (B.1) B.2. Teo emas de aza Es os esul ados nos pe mi en calcula ´acilmen e azas de obse ables ales como: / a1/ a2··· / andonde ai son 4- ec o es. Teo ema B.1. La aza de un n´ume o impa de ma ices γes nulo. 43 Teo ema B.2. T [/ a/ b]=4aµbµ≡4a·b. Teo ema B.3. T [/ a1···/ an] = a1·a2T [/ a3···/ an]−a1·a3T [/ a2/ a4···/ an] + . . . a1·anT [/ a2···/ an−1]. Teo ema B.4. T [γ5] = 0. Teo ema B.5. T [γ5/ a/ b/ c/ d] = −4iαβµνaαbβcµdν= +4iαβγδaαbβcγdδ. Teo ema B.6. T [/ a1···/ a2n] = T [/ a2n···/ a1]. Teo ema B.7. Se cumplen las siguien es iden idades: 1. γµγµ= 4 · 1 . 2. γµ/ aγµ=−2/ a. 3. γµ/ a/ bγµ= 4a·b 1 . 4. γµ/ a/ b/ cγµ=−2/ c/ b/ a. 5. γµ/ a/ b/ c/ dγµ= 2/ d/ a/ b/ c+ 2/ c/ b/ a/ d. Teo ema B.8. T [σµλσνρ]=4gµνgλρ −4gµρgλν. Teo ema B.9. T [γασµνγβ] = 4i(gαµgνβ −gανgµβ). B.3. M´as p opiedades del ´algeb a de Di ac De las p opiedades del ´algeb a de las ma ices gamma se deducen una se ie de consecuencias que nos acili- a ´an los c´alculos e aluando co a ian es bilineales espino iales. Reco demos que {γµ, γν}= 2gµν ,{γµ, γ5}= 0 pa a demos a los siguien es esul ados. Lema B.1. (a) (γ0γµ)†=γ0γµ. (b) (γ5γi)†=γ5γi. (c) (γ5γ0)†=−γ5γ0. Demos aci´on. (a): lo hacemos po casos. Si µ= 0, ya sabemos que γ0es he m´ı ica luego (γ0γ0)†=γ0γ0. Si µ=i∈ {1,2,3}, en onces usamos que γ0γi=−γiγ0y que γies an ihe m´ı ica pa a deduci (γ0γi)†= (γi)†γ0=−γiγ0=γ0γi. (b) Sabiendo γµγ5=−γ5γµ, enemos (γ5γi)†= (γi)†(γ5)†=−γiγ5=γ5γi. (c) Tan o γ0como γ5son he m´ı icas y an iconmu an. En onces: (γ5γ0)†= (γ0)†(γ5)†=γ0γ5=−γ5γ0 Es de in e ´es sabe calcula |uΓ |2pa a cualquie ope ado Γ. Es a clase de c´alculos es ecu en e en el desa ollo de ampli udes in a ian es. Los dos siguien es esul ados an en es a di ecci´on. 44 Lema B.2. Sea Γun ope ado espino ial cualquie a, en onces se iene: (uΓ )∗= Γu donde Γ = γ0Γ†γ0. Es a ope aci´on es la llamada conjugaci´on de Di ac pa a ope ado es, gene alizando el complejo-conjugado †al espacio de espino es. Demos aci´on. (uΓ )∗= (u†γ0Γu)†= †(γ0Γ)†u= †γ0γ0 |{z} 1 Γ (γ0)† |{z} γ0 u= Γu Lema B.3. Sea Γun ope ado espino ial cualquie a, en onces se iene: |uΓ |2= (uΓ )( Γu) Demos aci´on. Bas a usa que |z|2=zz∗y u iliza el lema an e io : |uΓ |2= (uΓ )(uΓ )∗= (uΓ )( Γu) A la is a de es os lemas, esul a imp escindible conoce los adjun os de Di ac de di e sos ope ado es. Es o queda ecogido en el siguien e esul ado. Lema B.4. (a) γµ=γµ. (b) γ5=−γ5. (c) Γ1Γ2= Γ2Γ1. (d) / a/ b . . . / z=/ z . . . / b/ a. (e) σµν =σµν. Demos aci´on. (a) De nue o po casos. Si µ= 0 =⇒γ0=γ0(γ0)†γ0=γ0γ0γ0=γ0. Si µ=k enemos an ihe mi icidad y γk=γ0(γk)†γ0=−γ0γkγ0= +γkγ0γ0=γk. (b) Po de inici´on: γ5=iγ0γ1γ2γ3po an o γ5=iγ0γ1γ2γ3=−iγ0(γ3)†(γ2)†(γ1)†(γ0)†γ0= +iγ0γ3γ2γ1  γ0γ0= −iγ0γ1γ2γ3=−γ5g acias a la an iconmu aci´on de γi, γj. (c) Γ1Γ2=γ0(Γ1Γ2)†γ0=γ0Γ† 2Γ† 1γ0=γ0Γ† 2γ0γ0Γ† 1γ0= Γ2Γ1. (d) Podemos demos a lo pa a dos elemen os y luego i e a : / a/ b=aµbνγµγν=aµbνγνγµ=aµbνγνγµ=/ b/ a. (e) Usamos la de inici´on de σµν =i 2[γµ, γν] =⇒σµν =i 2(γµγν−γνγµ) = −i 2(γνγµ−γµγν) = −i 2(γνγµ−γµγν) = σµν. B.4. Sumas de ampli udes sob e pola izaciones Los eo emas de aza y las p opiedades an e io es deducidas pa a ma ices y co a ian es bilineales pueden u iliza se pa a calcula sumas de la o ma Psi,s |u ˆ Γui|2, que son usuales en el c´alculo de ampli udes in a- ian es de p ocesos donde no medimos las pola izaciones iniciales ni inales. Exponemos aqu´ı es esul ados que nos pe mi en exp esa las sumas de ampli udes al cuad ado sob e pola i- zaciones en ´e minos de azas (que se iden i ica ´an con los enso es lep ´onico y had ´onico en cada caso). Es e p ime esul ado es la e si´on b´asica pa a calcula dichas sumas. 45 Teo ema B.10. X si,s |u Γui|2= T "Γ/ pic+mc2 2mc2Γ/ p c+mc2 2mc2#. Demos aci´on. Usa emos las exp esiones pa a los p oyec o es Psu(p, s)u(p, s) = / p+m 2m X si,s |u Γui|2=X si,s (u Γui)(u Γui)†=X si,s (u Γui)(uiΓu ) = X s u Γ X si uiui!Γu =X s u Γ/ pi+m 2mΓu =X s u Γ/ pi+m 2mΓu =X s Γ/ pi+m 2mΓu u =X s Γ/ pi+m 2mΓαβ (u u )βα =Γ/ pi+m 2mΓαβ / p+m 2mβα = T Γ/ pi+m 2mΓ/ p +m 2m. Sin emba go, a eces es amos in e esados en sumas sob e pola izaciones donde el co a ian e bilineal es ec o ial (como en el caso de in e acci´on elec ´on-p o ´on sin es uc u a). Es o implica una suma sob e los ´ındices de Lo en z den o del cuad ado del m´odulo, que equie e una descomposici´on cuidadosa an es de ac o iza como el p oduc o de dos azas. Usa emos de mane a c ucial los lemas B.2 y B.4. Teo ema B.11. X si,s ,Si,S |(u(p , s )γµu(pi, si)(U(P , S )γµUi(Pi, Si)|2= 4LµνHµν , donde los enso es lep ´onicos y had ´onicos se calculan como:    Lµν =1 2T h/ pi+m 2mγµ/ p +m 2mγνi Hµν =1 2T h/ Pi+M 2Mγµ/ P+M 2Mγνi. Demos aci´on. X si,s ,Si,S |(u γµui)(U γµUi)|2=X si,s ,Si,S (u γµui)(U γµUi)†(u γνui)(U γνUi) =X si,s ,Si,S uiγµu UiγµU u γνuiU γνUi =X si,Si uiγµ X s u u  γνuiUiγµ X S U U  γνUi =X si,Siuiγµ/ p +m 2mγνuiUiγµ / P+M 2MγνUi ="X si (uiui)αβ γµ/ p +m 2mγνβα#"X Si (UiUi)αβ γµ / P+M 2Mγνβα# = T / pi+m 2mγµ/ p +m 2mγνT / Pi+M 2Mγµ / P+M 2Mγν= 2Lµν2Hµν. Pa a e mina , calculamos la suma en pola izaciones cuando enemos un co a ian e e icial con un ´ındice de Lo en z como el de Rosenblu h o pa a neu inos, con eniendo ´e minos ec o iales, axiales y pseudoescala es. 46 Del lema B.4 se deduce que ope ado es ec o iales, enso iales y axiales son au oadjun os de Di ac, mien as que los pseudoescala es no. Conside amos que un ope ado es axial si es p opo cional a γµγ5, mien as que los del ipo Aµγ5con Aµun cuad i ec o , se ans o ma como pseudoescala al ene el ´ındice no espino ial. Se iene:                γµ=γµ σµν =σµν γµγ5=γ5γµ=−γ5γµ= +γµγ5 γ5=−γ5 =⇒                Γµ V= Γµ V Γµν T= Γµν T Γµ A= Γµ A ΓP=−ΓP El siguien e esul ado esuel e de mane a comple a el p oblema, englobando los casos de co ien e an o elec omagn´e ica como d´ebil pa a lep ones y nucleones. Teo ema B.12. Sean dos ope ado es e iciales con un ´ındice de Lo en z, Γµ 1,Γν 2ac uando sob e es ados lep ´onicos (inicial y inal, en gene al dis in os quiz´as incluso en masa) y es ados had ´onicos ( ambi´en posible- men e dis in os). Se iene en onces: X si,s ,Si,S |(u Γµ 1ui)(U Γ2,µUi)|2= T / p +m 2m Γµ 1 / pi+mi 2mi Γµ 1×T / P +M 2M Γ2,µ / Pi+Mi 2Mi Γ2,ν. Demos aci´on. Usa emos el esul ado B.2 pa a calcula los conjugados. Tenemos: X si,s ,Si,S |u Γµ 1uiU Γ2νUi|2=X si,s ,Si,S u Γµ 1U Γ2,µUiu Γµ 1U Γ2,µUi† =X si,s ,Si,S u Γµ 1U Γ2,µUihuiΓµ 1UiΓ2,µU i = X s u Γµ 1 X si uiui!Γν 1u   X S U Γ2,ν X Si UiUi!Γ2,νU   = X s u Γµ 1 / pi+mi 2mi Γν 1u   X S U Γ2,ν / Pi+Mi 2Mi Γ2,νU   = X s (u u )λδ Γµ 1 / pi+mi 2mi Γν 1δλ  X S (U U )βα Γ2,ν / Pi+Mi 2Mi Γ2,ναβ  = T / p +m 2m Γµ 1 / pi+mi 2mi Γµ 1×T / P +M 2M Γ2,µ / Pi+Mi 2Mi Γ2,ν. 47 Ap´endice C C´alculo de enso es lep ´onico y had ´onico Recogemos aqu´ı los c´alculos elacionados con la de e minaci´on de los enso es had ´onico y lep ´onico en los casos de co ien e elec omagn´e ica y d´ebil. C.1. Tenso had ´onico pa a la co ien e EM del p o ´on con es uc- u a Pa imos de la exp esi´on pa a el enso had ´onico del p o ´on con es uc u a, al y como es ´a expues o en la secci´on 2.3. Hµν =1 8M2T (/ Pi+M)(F1+F2)γµ−F2 2M(P +Pi)µ(/ P +M)(F1+F2)γν−F2 2M(P +Pi)ν. Desa ollamos usando la linealidad de la aza. Teniendo en cuen a las p opiedades de las ma ices de Di ac B.2, solo enemos que hace azas de un n´ume o pa de ma ices gamma. Luego la mi ad de los 16 ´e minos que su gen del p oduc o de los 4 binomios se anulan. El desa ollo esul a: 8M2Hµν = (F1+F2)2T [/ Piγµ/ P γν] + F2 2M2 (P +Pi)µ(P +Pi)νT [/ Pi/ P ] −F2 2M(P +Pi)µM(F1+F2) T [ / Piγν]−(F1+F2)MF2 2M(P +Pi)νT [/ Piγµ] −M(F1+F2)F2 2M(P +Pi)νT [γµ/ P ] + M(F1+F2)M(F1+F2) T [γµγν] −MF2 2M(P +Pi)µT [/ P γν] + M2F2 2M2 (P +Pi)µ(P +Pi)νT [ 1 ]. Aho a calculamos las azas con solo dos ma ices in oluc adas. De los eo emas de aza: T [ / A/ B] = 4A·B≡4AµBµ T [ / Aγµ/ Bγν] = 4(AµBν+AνBµ−gµνA·B). 48 Ya podemos desa olla las azas en cada ´e mino: 8M2Hµν = = 4(F1+F2)2Pi µP ν+Pi νP µ−gµνP ·Pi+F2 2 4M2(P +Pi)µ4(Pi·P ) −F2 2(F1+F2)(P +Pi)µ4Pi ν−F2 2(F1+F2)(P +Pi)ν4Pi µ −F2 2(F1+F2)(P +Pi)ν4P µ+ 4M2(F1+F2)2gµν −F2 2(F1+F2)(P +Pi)µ4P ν+F2 2 4(P +Pi)µ(P +Pi)ν4. Aho a se pueden ag upa los ´e minos enso ialmen e semejan es. 8M2Hµν = 4(F1+F2)2Pi µP ν+Pi νPi µ−(Pi·P −M2)gµν +F2 2 M2[(P +P )µ(Pi+P )ν] (Pi·P ) −2F2(F1+F2)(Pi+P )µ(Pi+P )ν −2F2(F1+F2)(Pi+P )µ(Pi+P )ν +F2 2(P +Pi)µ(P +Pi)ν. Sumando ob enemos: 8M2Hµν = 4(F1+F2)2Pi µP ν+Pi ν+P µ−gµν(Pi·P −M2) +F2 2Pi·P M2+ 1−4F2(F1+F2)(Pi+P )µ(Pi+P )ν. Lo que pe mi e ob ene el esul ado inal usado en el cap´ı ulo 2: Hµν =1 2M2(F1+F2)2Pi µP ν+P µPi ν−(Pi·P −M2)gµν +1 8M2F2 2Pi·P M2+ 1−4F2(F1+F2)(Pi+P )µ(Pi+P )ν. C.2. Tenso lep ´onico pa a la co ien e d´ebil ν→e− Pa imos de la exp esi´on del enso lep ´onico dada po el eo ema B.12. Nos p eocupamos de la pa e de la aza, dada po : T (/ kl+ml)γα(1 −γ5)(/ kν+mν)γβ(1 −γ5). En i ud de los eo emas de aza, solo conside amos azas de n´ume o pa de ma ices γµ. Reco damos que γ5no con abiliza pa a es e c´ompu o. As´ı, desa ollando ob enemos: Lαβ ∝T / klγα(1 −γ5)/ kνγβ(1 −γ5)+ T mlγα(1 −γ5)mνγβ(1 −γ5).(C.1) 49 Desa ollamos el p ime ´e mino en (C.1). Pa a ello an iconmu a emos las ma ices γ5con el es o de ma ices in oluc adas. Reco demos / k=kλγλ. Deno amos Aρ=δρ α, Bλ=δλ βde al mane a que / A=γα,/ B=γβ. T / klγα(1 −γ5)/ kνγβ(1 −γ5)= T [/ klγα/ kνγβ]−T [/ klγαγ5/ kνγβ]−T [γ5/ klγα/ kνγβ] + T [/ klγαγ5/ kνγβγ5] = T [/ klγα/ kνγβ]−T [γ5/ klγα/ kνγβ]−T [/ klγα/ kνγβγ5] + T [/ klγα/ kνγβ * 1 γ5γ5] = 2 T [/ klγα/ kνγβ]−T [γ5/ klγα/ kνγβ] = 2 T [/ kl/ A/ kν/ B]−T [γ5/ kl/ A/ kν/ B] = 2 kl·AT [/ kν/ B]−kl·kνT [ / A/ B] + kl·BT [ / A/ kν]−4iα1α2α3α4kα1 lAα2kα3 νBα4 = 2 nkl α4kν·B−kl·kν4A·B+kl βA·kν−4iα1α2α3α4kα1 lδα2 αkα3 νδα4 βo = 2 4kl αkν β−kl·kνgαβ + 4kl βkν α−4iλαρβkλ lkρ ν = 8 kl αkν β+kl βkν α−kl·kνgαβ +iαβλρkλ lkρ ν. El segundo ´e mino esul a ´a se nulo. Lo desa ollamos: T mlγα(1 −γ5)mνγβ(1 −γ5)=mlmνT [γαγβ]−mlmνT [γαγ5γβ]−mlmνT [γαγβγ5] + mlmνT [γαγ5γβγ5] =mlmνT [γαγβ] + mlmνT [γαγβγ5]−mlmνT [γαγβγ5]−mlmνT [γαγβ * 1 γ5γ5]=0. Concluimos que el enso lep ´onico queda de e minado po : Lαβ =1 mlmνkl αkν β+kl βkν α−kl·kνgαβ +iαβλρkλ lkρ ν.(C.2) C.3. Tenso had ´onico pa a co ien e d´ebil n→p Calculamos aho a el enso had ´onico a pa i de la exp esi´on que nos da el eo ema B.12 al y como exponemos en la secci´on 3.2. Pa imos de la co ien e desca ando el ´e mino pseudoescala pues ya sabemos que su con acci´on con el enso lep ´onico no con ibui ´a en el l´ımi e ul a ela i is a: Γα=FV 1γα+iFV 2 2Mσαρqρ+  GP 2Mγ5qα+GAγαγ5. Dicho ope ado es la suma de uno con ca ´ac e ec o ial y o o axial. Adem´as podemos calcula sus adjun os de Di ac a pa i de los esul ados de la secci´on B.4. Γα= Γα V+ Γα A=⇒   Γα V=FV 1γα+iF V 2 2Mσαρqρ Γα A=GAγαγ5=⇒   Γα V=FV 1γα−iF V 2 2Mσαρqρ6= Γα V Γα A=GAγαγ5= Γα A. Como el enso had ´onico se calcula como la aza Hαβ =1 2T / Pp+M 2MΓα/ Pn+M 2MΓα, podemos descompone dicho enso en es ´e minos: el pu amen e ec o ial, el pu amen e axial y el ec o - axial. Hαβ =Hαβ V+Hαβ A+Hαβ AV . P ocedemos a calcula cada uno de ellos. Pa e ec o ial del enso had ´onico Eligiendo la pa e ec o ial an o de Γαcomo de Γαob enemos: Hαβ V=1 8M2T (/ Pp+M)FV 1γα+iFV 2 2Mσαρqρ(/ Pn+M)FV 1γα−iFV 2 2Mσαρqρ =1 8M2 αβ V V (FV 1)2+ αβ MM 1 4M2(FV 2)2+i 2M αβ V M FV 1FV 2, 50 donde in oducimos las unciones auxilia es VV, MM, VMque son a su ez azas ob enibles ´acilmen e con los eo emas de la secci´on B.2. αβ V V = T (/ Pp+M)γα(/ Pn+M)γβ= 4[Pα pPβ n+Pβ pPα n−gαβ(Pp·Pn−M2)]. Usando el eo ema de azas pa a σµν y desa ollando azas solo de n´ume o pa de ma ices gamma ob enemos: αβ MM = T [( / Pp+M)σαρqρ(/ Pn+M)σβλqλ] =−4q2(Pα pPβ n+Pβ pPα n)−Pp·q(Pα nqβ+Pβ nqα)−Pn·q(Pα pqβ+Pβ pqα) −4+qαqβ(Pp·Pn+M2) + gαβ 2Pp·qPp·q−q2Pp·Pn+M2. Pa a la ´ul ima unci´on auxilia se oman ´e minos mezclados de σyγ, ob eniendo dos azas muy simila es en e s´ı. Adem´as usamos el eo ema B.9 pa a azas del ipo T [ / Aσαρ / B]: αβ V M = T [(/ P+M)σαρqρ(/ Pn+M)γβ]−T [(/ Pp+M)γα(/ Pn+M)σβλqλ] = 4iM[Pα pqβ+Pβ pqα2gαβPp·q−Pα nqβ−Pβ nqα+ 2gαβPn·q]. Pa e axial del enso had ´onico Aho a omamos el ´e mino axial pa a calcula la aza. De nue o desa ollamos solo conside ando combi- naciones con p oduc o pa de ma ices gamma. La an iconmu aci´on de γ5con γµy po an o con cualquie / P es usada ex ensi amen e. Hαβ A=1 8M2T (/ Pp+M)GAγαγ5(/ Pn+M)GAγβγ5 =G2 A 8M2T [/ Ppγαγ5/ Pnγβγ5] + T [Mγαγ5Mγβγ5] =G2 A 8M2T [/ Ppγα/ Pnγβ  γ5γ5] + M2T [γαγ5γβγ5] =G2 A 8M24Pα pPβ n+ 4Pα pPβ n−4Pp·Pngαβ −M2T [γαγβ  γ5γ5] =GA 2M2Pα pPβ n+Pβ pPα n−gαβ(Pp·Pn+M2)≡GA 2M2 αβ AA. Pa e axial- ec o del enso had ´onico Conside amos aho a los ´e minos c uzados del ope ado ec o ial con el axial conjugado y ice e sa. Hαβ V A =1 8M2T (/ Pp+M)GAγαγ5(/ Pn+M)FV 1γβ−iFV 2 2Mσβλqλ +1 8M2T (/ Pp+M)FV 1γα+iFV 2 2Mσαρqρ(/ Pn+M)GAγβγ5 =1 8M2gαβ V AFV 1GA+gαβ MA iFV 2 2MGA. Calculamos las unciones auxilia es in oducidas gV A, gMA. Subimos las e ique as de los momen os del p o ´on y neu ´on pa a que no coincidan con las e ique as de Lo en z co a ian es. Con el eo ema de aza pa a γ5 po gammas, y conmu ando signos en el enso an isim´e ico ob enemos: gαβ V A = T [/ Ppγαγ5/ Pnγβ] + T [/ Ppγα/ Pnγβγ5] = 2 T [γ5/ Ppγα/ Pnγβ]=2×(−4i)α1α2α3α4Pp α1(γα)α2Pn α3(γβ)α4 =−8iα1αα3βPp α1Pn α3= +8iαβα1α3Pp α1Pn α3≡8iαβρδPp ρPn δ. 51 Pa a la o a unci´on auxilia : gαβ MA =−i 2MT [(/ Pp+M)γαγ5(/ Pn+M)σβλqλ] + i 2MT [(/ Pp+M)σαρqρ(/ Pn+M)γβγ5] = 8M[δαβλPp ρqλ−αδβλPn δqλ] = 8M[αβλρPn λqρ+αβλρPp λqρ] = 16MαβλρPn λPp ρ. Con un cambio de a iable pueden compac i ica se odas las unciones auxilia es an e io men e expues as. q=Pp−Pn=⇒Pn·q=Pn·Pp−P2 n=Pp·Pn−M2 =⇒ |q2|=−q2=−(P2 p+P2 n−2Pp·Pn) = 2(M2−Pp·Pn) =⇒Pn·q |q2|=1 2. De inimos en onces: X=Pn+Pn·q |q2|q=Pn+1 2q, y sus i uyendo en las unciones auxilia es llegamos a es as nue as exp esiones: αβ V V =−2|q2|gαβ +qαqβ |q2|+ 8XαXβ αβ V M = 8iM|q2|gαβ +qαqβ |q2| αβ MM =−8M2|q2|gαβ +qαqβ |q2|+ 8|q2|XαXβ αβ AA =−2|q2|gαβ +qαqβ |q2|+ 8XαXβ−8gαβM2 gαβ V A = 8iαβρλPn ρqλ gαβ MA = 16MαβρλPn ρqλ. Uni icando odos es os esul ados en el enso had ´onico comple o enemos: Hαβ =−W1gαβ +W2 Pα nPβ n M2+iW3αβρλPn ρqλ+W4qαqβ+W5 Pα nqβ+Pβ nqα 2M2,(C.3) donde los coe icien es (que dependen del cuad imomen o ans e ido) son: W1=|q2| 4M2(FV 1+FV 2)2+G2 A+G2 A W2= (FV 1)2+|q2| 4M2(FV 2)2+G2 A W3= 2GA(FV 1+FV 2) W4=FV 2 4M2|q2| 4M2−1−FV 1FV 2 2M2+G2 A |q2|+ 2 GA M2(FV 1+FV 2) W5= (FV 1)2+|q2| 4M2(FV 2)2+G2 A(C.4) O de o ma al e na i a en ´e minos de la a iable X: Hαβ =−W0 1gαβ +qαqβ |q2|+W0 2 M2XαXβ+iW0 3 M2αβρλPn ρqλ+W0 4 M2qαqβ,(C.5) 52