UNIVERSIDAD DE SEVILLA
Facul ad de Ma em´a icas
G ado en Ma em´a icas
Supe icies con una di ecci´on
p incipal can´onica
Realizado po : Se gio Gonz´alez Padilla
Memo ia p esen ada como pa e de los equisi os pa a la ob enci´on del ´ı ulo de
G ado en Ma em´a icas po la Uni e sidad de Se illa.
´
Indice gene al
Abs ac 1
Resumen 1
1. In oducci´on 2
2. Fundamen os de Geome ´ıa Local 6
3. Pa ame izaci´on de supe icies DPC 11
3.1. Cons ucci´on ............................. 11
3.2. Obse aciones............................. 15
3.3. In e p e aci´on geom´e ica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3.1. Supe icie pa ame izada con gcons an e . . . . . . . . . . 18
3.3.2. Supe icie pa ame izada con γuna ec a . . . . . . . . . . 18
3.3.3. Supe icie pa ame izada con γuna ci cun e encia . . . . . 19
4. Teo ema de Clasi icaci´on pa a Supe icies DPC con Cu a u a
Media ijada 23
4.1. Supe icies capila es DPC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2. Soli ones λ- asladados DPC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.3. Supe icies λ-con a´ıdas DPC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5. Ap´endice: Idea de c´omo se gene aliza el p oblema pa a las hi-
pe supe icies de Rn31
Re e encias 33
1
Abs ac
We say ha a egula su ace in a Euclidean space has a canonical p incipal
di ec ion wi h espec o a ixed di ec ion i i s angen pa is a p incipal di ec-
ion along he su ace. Based on he a icle [12], he objec i e o his wo k is
o classi y hose su aces wi h a canonical p incipal di ec ion which p esc ibed
mean cu a u e is gi en by one o he ollowing a ine unc ions: heigh , angle
and suppo .
Resumen
Se dice que una supe icie egula en un espacio eucl´ıdeo iene una di ecci´on
p incipal can´onica espec o a una di ecci´on ija si su componen e angen e es
una di ecci´on p incipal a lo la go de la supe icie. Bas´andose en el a ´ıculo [12],
el obje i o de es a memo ia es clasi ica aquellas supe icies con una di ecci´on
p incipal can´onica cuya cu a u a media enga dada po una de las siguien es
unciones a ines: al u a, ´angulo y sopo e.
Cap´ı ulo 1
In oducci´on
Una supe icie angula cons an e en R3es una supe icie o ien able cuya apli-
caci´on de Gauss o ma un ´angulo cons an e con un ec o di ec o ijo d. En
pa icula , la p oyecci´on de dsob e el plano angen e a la supe icie es una
di ecci´on p incipal y su co espondien e cu a u a p incipal es ce o. En [1] se
gene aliz´o es e concep o sin la necesidad de ene cu a u a p incipal ce o.
De inici´on 1.1. Sea d∈R3un ec o uni a io. Una supe icie Men R3 iene
una di ecci´on p incipal can´onica con espec o a dsi la componen e angen e de
da lo la go de Mes una di ecci´on p incipal. Lo ab e ia emos diciendo que M
es una supe icie DPC cuando se sob en ienda la di ecci´on omada.
El p oblema que a a emos consis e en clasi ica un g upo espec´ı ico de su-
pe icies DPC, aquellas cuya cu a u a media iene dada po una de las siguien es
unciones lineales:
unci´on al u a (p) = hp, i,
unci´on ´angulo (p) = hN(p), i,
unci´on sopo e (p) = hN(p), pi.
Aqu´ı, ∈R3es un ec o ijo y N:M→S2es la aplicaci´on de Gauss sob e M.
La clasi icaci´on es uno de los p oblemas undamen ales de las Ma em´a icas.
Pode clasi ica concep os y obje os, en nues o caso supe icies, signi ica que
enemos la capacidad de conoce y di e encia aquello con lo que abajamos,
asociando cada uno de ellos a un g upo u o o seg´un sus ca ac e ´ıs icas y p o-
piedades y as´ı con cada nue o elemen o que ob engamos. Hay una in inidad de
mane as de clasi ica , cada una con un p op´osi o dependiendo del p opio es udio
y de los elemen os que se manejen.
En los ´ul imos a˜nos, la eo ´ıa de supe icies ha sido uno de los campos de
la Geome ´ıa Di e encial m´as desa ollados. Muchos de es os es udios se han
3
cen ado en las supe icies angula es cons an es en di e en es espacios [1, 2, 7, 13]
y, po an o, la clasi icaci´on de es as supe icies se hace necesa ia. El in e ´es que
iene es e ipo de clasi icaci´on de e minada po la cu a u a media iene po su
elaci´on con las supe icies el´as icas.
La cu a u a media de una supe icie en un pun o se de ine como la semisu-
ma de las cu a u as p incipales. Es e concep o lo in odujo Thomas Young en
1805 como he amien a pa a el desa ollo de c´alculos en la eo ´ıa de supe icies
capila es. Cuan i ic´o el cambio de p esi´on a a ´es de una supe icie median e la
´o mula: ∆p= 2σH, con σla ensi´on de la supe icie [5]. Po o o lado, ambi´en
iene un papel impo an e en las memo ias que Sophie Ge main p esen ´o a la
Academia de Ciencias de Pa ´ıs en 1811, 1813 y 1815 sob e el es udio de las supe -
icies el´as icas. A pa i de los abajos de Eule , Reche ches su la cou bu e des
su aces (1760) donde in odujo las di ecciones y cu a u as p incipales, Sophie
Ge main enuncia ´ıa en su p ime a memo ia una hip´o esis sob e la elaci´on en e
la ue za el´as ica y las cu a u as p incipales:
“La ue za el´as ica en un pun o de una supe icie es p opo cional a la cu a-
u a media de la supe icie en dicho pun o”.
Adem´as, siguiendo con el es udio de las supe icies el´as icas, su ge un p oce-
dimien o pa a da una exp esi´on ma em´a ica a la noci´on de de o maci´on de la
supe icie como la suma de odas las cu as de las di e en es secciones planas de
la supe icie. Sophie Ge main pos ula que es e c´alculo in eg al se ´a p opo cional
a la cu a u a media ( e [14]).
Con espec o a las unciones al u a, ´angulo y sopo e que de ini ´an la cu -
a u a media, segui ´an modelos y compo amien os de luidos ep esen ados po
las supe icies DPC co espondien es.
1. Funci´on al u a: Una supe icie cuya cu a u a media H(p) sa is ace
H(p) = λhp, i+µ, λ, µ ∈R,(1.1)
sigue el modelo de un luido cayendo, donde la di ecci´on de la g a edad es ´a
indicada po , la cons an e λsolo depende de las p opiedades ´ısicas del
luido y µes un olumen limi ado. Es e ipo de supe icies se denominan
supe icies capila es y desc iben la zona de con ac o en e dos ma e iales
adyacen es que no se mezclan [5, 6].
2. Funci´on ´angulo: Una supe icie cuya cu a u a media H(p) sa is ace
H(p) = λhN(p), i+µ, λ, µ ∈R,(1.2)
se denomina soli ´on λ- asladado. Los soli ones son un ipo de ondas que
se p opagan sin de o ma se y que podemos encon a como soluciones de
4
EDOs no lineales. El caso de los soli ones asladados apa ecen en la eo ´ıa
del lujo de la cu a u a media [10, 11, 15].
3. Funci´on sopo e: Una supe icie cuya cu a u a media H(p) sa is ace
H(p) = λhN(p), pi+µ, λ, µ ∈R,(1.3)
se llama ´a supe icie λ-con a´ıda. Es o gene aliza el concep o de au oex-
pansi a (λ > 0) y au ocon a´ıda (λ < 0). Ambos ipos apa ecen ambi´en
en el es udio del lujo de la cu a u a media como soluciones en modelos del
compo amien o de luidos, donde Mno cambia de o ma, pe o es con a´ıda
(au ocon a´ıda) o dila ada (au oexpansi a) po el luido [4, 9, 11].
Pa a abo da es e p oblema empeza emos po in oduci en el Cap´ı ulo 2 las
he amien as de Geome ´ıa Local con las que abaja emos. Con inua emos en
el Cap´ı ulo 3 iendo que las supe icies DPC se pueden pa ame iza como
x(s, ) = γ(s) + ( )n(s) + g( )d,(1.4)
lo que explica emos con de alle en su momen o, adem´as de algunos esul ados
que se deducen a pa i de es a pa ame izaci´on. El Cap´ı ulo 4 se cen a ´a en de-
mos a el siguien e eo ema de clasi icaci´on espec´ı icamen e pa a cada supe icie
DPC cumpliendo (1.1), (1.2) ´o (1.3):
Teo ema 1.1. Sea Muna supe icie DPC con espec o a un ec o uni a io
d∈R3pa ame izada como (1.4). Si Msa is ace (1.1), (1.2) ´o (1.3), en onces
M es una de las siguien es supe icies:
1. Una supe icie cil´ınd ica donde la di ec iz es α( ) = ( )n+g( )d,n
es cons an e, las gene a ices son o ogonales a dyαsa is ace el caso
unidimensional de (1.1), (1.2) ´o (1.3).
2. Una supe icie de e oluci´on gene ada po αcuyo eje de o aci´on es pa alelo
ad. La cu a αsa is ace una EDO de segundo o den dependiendo de las
condiciones de (1.1), (1.2) ´o (1.3).
3. Una supe icie cil´ınd ica donde la di ec iz es γa(s) = γ(s) + an(s), que
sa is ace el caso unidimensional de (1.1), (1.2) ´o (1.3) y las gene a ices
son pa alelas a d.
No a 1.1. Si suponemos que x:U⊆R2→Mes una pa ame izaci´on de M
y dado un pun o p∈M, se end ´a que p=x(s, ) pa a alg´un (s, )∈U. Po
an o, las es exp esiones de inidas en (1.1), (1.2) y (1.3) son ecuaciones de dos
a iables. Las cu as pa am´e icas α( ) y γa(s) es ´an con enidas en M, luego sus
pun os ambi´en e i ican (1.1), (1.2) y (1.3). Pa a los casos en el que Msea una
5
supe icie cil´ınd ica, se demos a ´a que la exp esi´on de H(p) pa a los pun os de
α( ) ´o γa(s) solo depende ´a de ´o s, espec i amen e, es deci , se educi ´an a
ecuaciones de una a iable que se ´an es os casos unidimensionales.
Finalmen e, en el Cap´ı ulo 5, e emos una gene alizaci´on pa a hipe supe icies
de Rny pod emos deduci , al igual que en el Cap´ı ulo 3 pa a las supe icies, una
pa ame izaci´on que nos de ina las hipe supe icies DPC.
12
(a) Cu a plana β( )=( ( ), g( )). (b) Cu a plana γ(s) con enida en P.
Figu a 3.1: Ejemplo pa a las cu as βyγ.
Figu a 3.2: Rep esen aci´on de la cu a α( ).
13
Figu a 3.3: Supe icie gene ada po αa lo la go de γ.
No as 3.1. 1. Pa a di e encia mejo las cu as γyβas´ı como sus compo-
nen es y de i adas, se u iliza ´a el pun o pa a las de i aci´on de γy la comilla
pa a β. Pues o que las dos es ´an pa ame izadas na u almen e es impo -
an e eco da que |˙γ(s)|=|β0( )|= 1, pa a cualesquie a (s, )∈I×J.
2. Pa a simpli ica la no aci´on, supond emos que = (s) y n=n(s) son los
ec o es angen e y no mal de γpa a cada s∈I.
Conside emos la unci´on de inida en (1.4), x:U⊆R2→x(U)⊆R3, con
U=I×Jabie o de R2, al que:
x(s, ) = γ(s) + ( )n(s) + g( )d.
Sea M=x(U) la supe icie pa ame izada po x. Pa a e que Mes egu-
la hab ´a que demos a que xes una pa ame izaci´on local. Pues o que, po
hip´o esis, M=x(U), solo necesi amos comp oba que xsa is ace las condiciones
de di e enciabilidad y egula idad:
1. x∈ C∞). La condici´on de di e enciabilidad se cumpli ´a si exis en sus de i-
adas pa ciales de odos los ´o denes. Si enemos en cuen a que an o γ(s)
como β( ) son di e enciables po de inici´on, es inmedia o que las unciones
( ), g( ) y n ambi´en lo son. Las pa ciales de o den nquedan:
∂nx
∂sn=γn)(s) + ( )nn)(s), n ≥1,
∂nx
∂ n= n)( )n(s) + gn)( )d, n ≥1,
14
∂nx
∂sn1∂ n2= n2)( )nn1)(s), n =n1+n2≥2, n1, n2>0.
Teniendo en cuen a que an o γ(s) como β( ) son di e enciables po de ini-
ci´on, es inmedia o que las unciones ( ), g( ) y n(s) ambi´en lo son, luego
exis en las de i adas pa ciales de cualquie o den.
2. X1×X26= 0, en odo U. Pa a la condici´on de egula idad calculamos los
ec o es X1yX2de i ando espec o a sy , espec i amen e.
X1= (s) + ( )˙
n(s) = (s) + ( )(−k(s) (s))
= (1 − ( )k(s)) (s),
X2= 0( )n(s) + g0( )d.
Pa a el c´alculo de X1hemos usado las ecuaciones de F ene -Se e y que
γ(s) es plana, luego su o si´on es ce o. No emos que el ec o bino mal de
γ(s) es el p opio ec o dy pues o que { (s),n(s),d}es una base o ono -
mal, ob enemos que X1yX2son o ogonales y, po an o, X1×X26= 0,
pa a cualquie pun o de U.
El siguien e paso se ´a p oba que Mes una supe icie DPC con espec o a d.
Tomamos los ec o es uni a ios de X1yX2:
X1
|X1|=(1 − ( )k(s)) (s)
(1 − ( )k(s)) = (s),
X2
|X2|=X2
p( 0( ))2+ (g0( ))2=X2
|β0( )|=X2.
Aho a podemos calcula la p oyecci´on de dsob e el plano angen e a Men
cada pun o p=x(s, ), (s, )∈U.
hd, (s)i (s) + hd,X2iX2=hd,X2iX2
=hd, 0( )n(s) + g0( )diX2
=hd, 0( )n(s)iX2+hd, g0( )diX2
=g0( )hd,diX2
=g0( )X2.
Supongamos g0( )6= 0. Vamos a p oba que X2es una di ecci´on p incipal y,
po an o, Mes una supe icie DPC con espec o a la di ecci´on d. Un campo
ec o ial uni a io no mal a M iene dado po
15
N(s, ) = ×X2
| ×X2|=−g0( )n(s) + 0( )d
|−g0( )n(s) + 0( )d|=−g0( )n(s) + 0( )d,(3.1)
ya que |β0( )|= 1, y desa ollando su pa cial espec o a ,
∂N
∂ =N2=−g00( )n(s) + 00( )d.
De nue o, g acias a que ( 0( ))2+(g0( ))2= 1, enemos que 2 00 0+2g00g0= 0,
en onces 00 0=−g00g0y aplic´andolo a N2:
N2=1
g0( )(−g00( )g0( )n(s) + 00( )g0( )d)
=1
g0( )( 00( ) 0( )n(s) + 00( )g0( )d)
= 00( )
g0( )( 0( )n(s) + g0( )d) = 00( )
g0( )X2.
Y de aqu´ı deducimos que X2es au o ec o del endomo ismo de Weinga en,
es deci , di ecci´on p incipal.
Si g0( ) = 0, la p oyecci´on de dsob e el plano angen e de Mes ce o. Es deci ,
des o ogonal a Tp(M) en odos los pun os de M, pe o como des cons an e,
en onces odos los pun os de Mcompa en el mismo plano angen e y se deduce
que Tp(M) = M, luego Mes un plano y pa a cada pun o p∈Mse iene que
k1(p) = k2(p) = 0 y, po an o, odas las di ecciones son p incipales en p, en
pa icula , X2.
3.2. Obse aciones
Acabamos de p oba que las supe icies DPC se pueden pa ame iza po
(1.4). Lo in e esan e de es a pa ame izaci´on es que nos da ´a buenas condiciones
pa a clasi ica cada supe icie. Adem´as, ob end emos exp esiones de las cu a u-
as p incipales y, po consiguien e, de la cu a u a media, que se ´an cla e en el
Cap´ı ulo 4 pa a desa olla las demos aciones.
P oposici´on 3.1. Sea Muna supe icie DPC pa ame izada po :
x(s, ) = γ(s) + ( )n(s) + g( )d.
En onces:
16
1. Se iene que 1− ( )k(s)6= 0, pa a odo (s, )∈U.
2. Si ges cons an e, en onces Mes un plano o ogonal a d.
3. Si γes una ec a, en onces Mes una supe icie cil´ınd ica y sus gene a ices
son o ogonales a d.
4. Si γes una ci cun e encia, en onces Mes una supe icie de e oluci´on cuyo
eje de o aci´on es pa alelo a d.
Demos aci´on. 1. Po la egula idad de M, sabemos que X1×X26= 0, pa a
cualquie pun o de U, luego X1= (1 − ( )k(s)) (s)6= 0 y se concluye que
1− ( )k(s)6= 0.
2. Si g( ) = acons an e, g0( ) = 0 y como se azon´o en la secci´on an e-
io , Mes un plano o ogonal a d. Vis o de o o modo, al despeja de
( 0( ))2+ (g0( ))2= 1, se iene ( ) = ε +bcon b∈R,ε∈ {−1,1}. La
pa ame izaci´on queda:
x(s, ) = γ(s)+(ε +b)n(s) + ad= (γ(s) + ad)+(ε +b)n(s).
El p ime sumando, γ(s) + ad, es una cu a plana pa alela a γy las di e-
en es cu as α( ) = (ε +b)n(s) del segundo sumando son segmen os de
ec a coplana ios a γ. Po an o, Mes la supe icie plana o mada po las
cu as αa una dis ancia ade γen la di ecci´on dque es o ogonal a γ,
luego ambi´en a M.
3. Si γes una ec a, en onces (s) y n(s) son cons an e. Si de inimos la cu a
plana α( ) = ( )n+g( )d, en onces x(s, ) = α( ) + s , es deci , Mes
una supe icie cil´ınd ica con di ec iz αy gene a ices las ec as pa alelas
aγque co an a α( ), pa a cada ∈J, las cuales son o ogonales a d.
4. Si γes una ci cun e encia, bajo una epa ame izaci´on adecuada, suponga-
mos γ(s)=( cos(s), sen(s),0) y d= (0,0,1). Calculamos el ec o n(s)
como
n(s) = d× (s) = (− cos(s),− sen(s),0) = −γ(s),
y sus i uyendo en la pa ame izaci´on (1.4), se iene
x(s, ) = ( (1 − ( )) cos(s), (1 − ( )) sen(s), g( )),
lo que p ueba que Mes una supe icie de e oluci´on y su eje de o aci´on
es ´a sob e d.
P oposici´on 3.2 (Cu a u as p incipales).Sea Muna supe icie DPC.
Dada la aplicaci´on de Gauss de inida en (3.1), N(s, ) = −g0( )n(s) + 0( )d. Si
17
Mno es un plano o ogonal a d, en onces sus cu a u as p incipales espec o a
Nson:
k1=g0( )k(s)
1− ( )k(s), k2= 00( )
g0( ).(3.2)
Demos aci´on. Sabemos que X2es una di ecci´on p incipal, su au o alo aso-
ciado da una exp esi´on pa a la cu a u a p incipal de Men es a di ecci´on, es
deci , N2=k2X2, y como se calcul´o en la secci´on an e io ,
k2= 00( )
g0( ).
Po o o lado, al se o ogonal a X1, es a ambi´en es di ecci´on p incipal y del
mismo modo podemos ob ene su cu a u a p incipal asociada
N1=−g0( )˙
n(s) = g0( )k(s) (s) = g0( )k(s)
1− ( )k(s)X1
y pues o que N1=k1X1, en onces:
k1=g0( )k(s)
1− ( )k(s).
P oposici´on 3.3 (Cu a u a media).Sea Muna supe icie DPC. Dada la
aplicaci´on de Gauss N(s, ) = −g0( )n(s)+ 0( )d, si Mno es un plano o ogonal
ad, en onces su cu a u a media H espec o a Nes:
H(x(s, )) = 1
2 00( )
g0( )+g0( )k(s)
1− ( )k(s).(3.3)
Demos aci´on. Es inmedia o a pa i de (3.2) y la de inici´on de cu a u a
media, H=k1+k2
2. Como es amos suponiendo que Mno es un plano o ogonal a
d, en i ud de la P oposici´on 3.1,gno es cons an e, luego g0no se anula.
3.3. In e p e aci´on geom´e ica
Pa a inaliza es e cap´ı ulo, expond emos algunos ejemplos de supe icies
DPC pa a cada caso es udiado en la P oposici´on 3.1 y as´ı ene una idea m´as
p ´ac ica de sus demos aciones. Pa a mayo comodidad, en los siguien es ejem-
plo, supond emos que la cu a plana γes ´a con enida en el plano z= 0 y que
d= (0,0,1).
18
3.3.1. Supe icie pa ame izada con gcons an e
Tal y como se io en la demos aci´on de la P oposici´on 3.1, si suponemos
g( ) = acons an e, la pa ame izaci´on (1.4) se puede esc ibi como
x(s, ) = (γ(s) + ad)+(ε +b)n(s),
con a, b ∈Ryε∈ {−1,1}. La in e p e aci´on es simple. Consis e en aslada la
cu a γa un plano pa alelo en la di ecci´on de dy a una dis ancia a. Despu´es, o-
ma un segmen o en la di ecci´on de n(s) pa a alg´un s∈I. Finalmen e, desliza lo
a lo la go de γpa a ob ene una supe icie plana. En la Figu a 3.4, podemos e
un peque˜no ejemplo de es a pa ame izaci´on pa a γ(s) = senh(s), d= (0,0,1) y
( ( ), g( )) = ( , 2), es deci ,
x(s, )=(γ(s)+2d) + n(s).
Figu a 3.4: Ejemplo de supe icie DPC con g( ) cons an e.
3.3.2. Supe icie pa ame izada con γuna ec a
Vol iendo a la P oposici´on 3.1, si nos pa amos en el caso donde la cu a γes
una ec a, la exp esi´on (1.4) queda
x(s, ) = α( ) + γ(s),
19
con α( ) = ( )n+g( )dla di ec iz de es a supe icie eglada. Po o o lado, sus
gene a ices son las ec as pa alelas a γque pasan po α( 0) pa a cada 0∈J. En
la Figu a 3.5, podemos e c´omo se gene a la supe icie omando, po ejemplo,
γpa alela al eje X y β( )=( , 2cos(2 )).
Figu a 3.5: Ejemplo de supe icie DPC con γuna ec a.
3.3.3. Supe icie pa ame izada con γuna ci cun e encia
Es e ejemplo se desa olla ´a de modo di e en e. Es a ez adem´as de supo-
ne que γes una ci cun e encia, amos a impone que Msea una supe icie
m´ınima como es icci´on adicional. La az´on la e emos al inal del ejemplo.
Pa a simpli ica los c´alculos, supongamos γ(s) = (cos(s),sen(s),0) la ci cun-
e encia unidad. Adem´as, Po la P oposici´on 3.1, sabemos que Mes una su-
pe icie de e oluci´on. Con es os da os amos a calcula las unciones ( ) y
g( ) de la cu a β( ) pa a ob ene la pa ame izaci´on de Mcomo x(s, ) =
((1 − ( )) cos(s),(1 − ( )) sen(s), g( )). Po se γ(s) la ci cun e encia unidad,
se deduce que k(s)≡1 y como Mes m´ınima, H≡0. Sus i uyendo es os alo es
en la exp esi´on de la cu a u a media dada en (3.3), ob enemos la ecuaci´on:
00( )
g0( )+g0( )
1− ( )= 0.
P ime o, despejamos g0( ),
(g0( ))2=− 00( )(1 − ( )),
y g acias a que ( 0( ))2+ (g0( ))2= 1, podemos sus i ui (g0( ))2y eo dena la
ecuaci´on,
00( )(1 − ( )) −( 0( ))2+ 1 = 0.(3.4)
20
As´ı lo que nos queda es una EDO de segundo o den. El p ime o paso se ´a
educi el g ado con el cambio
u= 0( ) = d
d ,(3.5)
y, a pa i de aqu´ı, deduci 00( ) como:
00( ) = u0=du
d =du
d
d
d =udu
d .
Po an o, la ecuaci´on (3.4) pasa a se :
udu
d (1 − )−u2+ 1 = 0.
Aho a podemos esol e la po el m´e odo de sepa aci´on de a iables. T as
despeja , se iene:
u
u2−1du =1
1− d .
In eg amos cada lado:
1
2log |u2−1|=−log |1− |+C1.
Despejamos uy cambiamos e2C1po C1, quedando:
u=pC1+ (1 − )2
1− .(3.6)
Deshacemos el cambio dado en (3.5) y ol emos a epe i el m´e odo despe-
jando de nue o las a iables:
1−
pC1+ (1 − )2d =d .
In eg amos ambos lados y queda:
−pC1+ (1 − )2= +C2.
Po ´ul imo, despejamos ,
( )=1−p( +C2)2−C1.
21
Si aho a mul iplicamos y di idimos den o de la a´ız po −C1, queda
( )=1−p−C1s( +C2)2−C1
−C1
,
es deci ,
( )=1−p−C1s +C2
√−C12
+ 1.
Podemos aplica la igualdad igonom´e ica
cosh(a csenh(x)) = √x2+ 1,
lo que implica que
( ) = 1 −p−C1cosh a csenh +C2
√−C1.
Adem´as, eniendo en cuen a que cosh(x) es una unci´on pa y que a csenh(x)
es impa , si cambiamos −√−C1po C1, podemos esc ibi ( ) como:
( ) = 1 + C1cosh a csenh +C2
C1.(3.7)
Pa a el c´alculo de g( ), sus i ui emos 0, ob enida en (3.6), en la igualdad
( 0( ))2+ (g0( ))2= 1 y esol e emos la ecuaci´on:
(g0)2= 1 −C1+ (1 − )2
(1 − )2.
Ope ando a la de echa y despejando g0, ob enemos
g0=√−C1
1− ,
que combinada con (3.7) y el cambio −√−C1po C1, queda:
g0=1
cosh a csenh +C2
C1.
Pa a acaba , usando que
d
dxa csenh(x) = 1
√x2+ 1,
28
Como ya se demos ´o en la P oposici´on 3.1, es o p ueba que Mes una
supe icie cil´ınd ica y su di ec iz es la cu a plana γa(s) = γ(s) + an(s) y
sus gene a ices pa alelas a d. La ecuaci´on (4.4) se eesc ibe como:
k(s)
1−ak(s)=−2λhn(s), i+ 2εµ.
De nue o, el miemb o izquie do es la cu a u a de γay se sa is ace el caso
unidimensional de (1.2).
4.3. Supe icies λ-con a´ıdas DPC
Sea Muna supe icie DPC. Supongamos que su cu a u a media H(p) sa is-
ace (1.3):
H(p) = λhN(p), pi+µ, λ, µ ∈R, λ 6= 0.
U iliza emos el mismo p ocedimien o pa a halla hN(p), piy la nue a exp e-
si´on de (1.3). Pa a hN(p), pi, enemos la aplicaci´on de Gauss de inida en (3.1) y
jun o a la pa ame izaci´on (1.4) pa a el pun o p, se iene:
hN(p), pi=h−g0( )n(s) + 0( )d, γ(s) + ( )n(s) + g( )di
=−g0( )hn(s), γ(s)i− ( )g0( ) + 0( )g( ).
Una ez calculado y usando la exp esi´on de Hen (3.3), la ecuaci´on (1.3)
queda:
00( )
g0( )+g0( )k(s)
1− ( )k(s)=−2λg0( )hn(s), γ(s)i−2λ ( )g0( )+2λ 0( )g( )+2µ.
(4.7)
Aho a podemos di idi po g0( ), ob eniendo:
00( )
g0( )2+k(s)
1− ( )k(s)=−2λhn(s), γ(s)i−2λ ( )+2λ 0( )g( )
g0( )+ 2 µ
g0( ).
El miemb o de la de echa es una suma de unciones que dependen o solo de
so solo de , as´ı que al de i a espec o a sy luego espec o a se anula ´a. Po
o o lado, el miemb o de la izquie da as de i a en el mismo o den nos queda:
2k(s)˙
k(s) 0( )
(1 − ( )k(s))3=(k2(s))0 0( )
(1 − ( )k(s))3= 0.
An´alogamen e a la Secci´on 4.2 pa a los soli ones, (k2(s))0 0( ) = 0 y enemos
dos casos seg´un el alo de 0( ):
29
1. 0( 0)6= 0, pa a alg´un 0∈J. En onces kes cons an e y nos encon amos,
de nue o, en los dos ´ul imos pun os de la P oposici´on 3.1 concluyendo que
la supe icie Mse ´a una supe icie cil´ınd ica con gene a ices o ogonales
ad, si γes una ec a, o una supe icie de e oluci´on con eje pa alelo a d,
si γes una ci cun e encia.
a) Si k= 0, γes una ec a y en onces, ynson cons an es, coplana ios
y o ogonales. Sea la cu a plana α( ) = ( )n+g( )d, su no mal
p incipal es Nα( ) = −g0( )n+ 0( )dy su cu a u a kα( ) = 00 ( )
g0( ).
Aho a la ecuaci´on (4.7) se esc ibe:
kα( ) = 2λhNα( ), γ(s) + α( )i+ 2µ= 2λhNα( ), α( )i+ 2µ.
Obse emos que hNα( ), γ(s)i= 0 pa a odo s∈Ipo que γes o o-
gonal a dpo de inici´on y, al se una ec a, ambi´en lo es a n, as´ı que
αsa is ace el caso unidimensional de (1.3).
b) Si k6= 0, en onces γes una ci cun e encia. Si de i amos la ecuaci´on
(4.7) espec o a s, se iene:
hγ(s),n(s)i0= 0.
Desa ollando la de i ada, ob enemos que
hγ(s),n(s)i0=hγ(s),˙
n(s)i=−khγ(s), (s)i= 0
y de aqu´ı se deduce que hγ(s), (s)i= 0, po lo que γes una ci cun-
e encia cen ada en el o igen. Si ol emos a de i a ,
hγ(s), (s)i0=hγ(s),¨γ(s)i+h (s), (s)i=khγ(s),n(s)i+ 1 = 0.
Po consiguien e,
hγ(s),n(s)i=−1
k
y la gene a iz α( ) = ( )n+g( )dsa is ace la EDO ob enida al
sus i ui en (4.7):
00( )
g0( )+g0( )k
1− ( )k=2
kλg0( )−2λ ( )g0( )+2λ 0( )g( )+2µ.
2. 0( ) = 0, pa a odo ∈J. En onces ( ) = a,a∈Ryg( ) = ε +b,b∈R.
La pa ame izaci´on de Mqueda:
x(s, ) = γ(s) + an(s)+(ε +b)d.
30
Tal y como se demos ´o en la P oposici´on 3.1,Mes una supe icie cil´ınd ica
con di ec iz γa(s) = γ(s)+an(s) y gene a ices pa alelas a d. Finalmen e,
la ecuaci´on (4.7) se esc ibe:
k(s)
1−ak(s)=−2λhn(s), γ(s)i−2λa + 2εµ.
Si sus i uimos γ(s) po γa(s)−an(s),
k(s)
1−ak(s)= 2λhn(s), γa(s)i+ 2εµ.
De nue o, como
kγa=k(s)
1−ak(s),
en onces γasa is ace el caso unidimensional de (1.3).
Cap´ı ulo 5
Ap´endice: Idea de c´omo se
gene aliza el p oblema pa a las
hipe supe icies de Rn
Como cie e a es e abajo sob e la clasi icaci´on de supe icies con una di ec-
ci´on p incipal can´onica, cabe menciona que es e p oblema se pod ´ıa gene aliza
a hipe supe icies en Rn. Sin en a en muchos de alles, podemos da un desa o-
llo an´alogo al ob enido en el Cap´ı ulo 3. Pa a ello, en [8], se de inen los campos
ec o iales con o mes ce ados. Una de las p opiedades m´as in e esan es que se
deducen de ellos es que pa a cualquie campo ec o ial con o me ce ado Yen
Rn+1, exis e una hipe supe icie o ogonal a Yen odos sus pun os.
Sea Yun campo ec o ial con o me ce ado uni a io en Rn+1, podemos su-
pone Nuna hipe supe icie o ogonal a Yen odos sus pun os. Sea una hipe -
supe icie (n−1)-dimensional de Npa ame izada po γ=γ(x1, . . . , xn−1) y
n=n(x) el ec o no mal a γen el pun o x= (x1, . . . , xn−1). Y como ya se
us´o, omemos β( ) = ( ( ), g( )) una cu a plana pa ame izada na u almen e.
De inimos la hipe supe icie Mde Rn+1 pa ame izada como:
x(x, ) = γ(x) + ( )n(x) + g( )Y(x).
Si calculamos odas sus de i adas pa ciales, ob enemos:
X1=γ1+ ( )n1+g( )Y1=γ1+ ( )n1+g( )φγ1,
.
.
.
Xn−1=γn−1+ ( )nn−1+g( )φγn−1,
X = 0( )n+g0( )Y,
con φuna unci´on di e enciable en Rn+1 ( e [8]). Po o o lado, como hY, γii= 0
32
pa a odo i= 1, . . . , n −1, se iene:
hY, Xii= ( )hY, nii=− ( )hYi,ni=− ( )φhγi,ni= 0,
pa a cada i= 1, . . . , n −1. De aqu´ı, podemos deduci que la p oyecci´on de Y
sob e el espacio angen e de Men cada pun o queda,
hY, X1iX1+···+hY, Xn−1iXn−1+hY, X iX =hY, X iX ,
que podemos desa olla , dando:
hY, X iX =hY, 0( )n+g0( )YiX
= 0( )hY, niX +g0( )hY, Y iX
=g0( )X .
Tal y como azonamos en el caso de las supe icies, supond emos una p oyec-
ci´on no nula, es deci , g0( )6= 0. Del mismo modo, se iene el campo ec o ial
no mal a Mcomo
N=−g0( )n+ 0( )Y,
que de i ando espec o a , queda:
N = 00( )
g0( )X .
De es a mane a, se demues a que X es una di ecci´on p incipal y, po consi-
guien e, que Mes una hipe supe icie con una di ecci´on p incipal can´onica con
espec o a Y.
Re e encias
[1] Dillen, F., Fas enakels, J., Van de Veken, J. :Su aces in S2×R
wi h a canonical p incipal di ec ion. Ann. Glob. Anal. Geom. 35, 381-396
(2009).
[2] Dillen, F., Mun eanu, M.I., Nis o , A. :Canonical coo dina es and
p incipal di ec ions o su aces in H2×R. Taiwan. J. Ma h. 15, 2265-2289
(2011).
[3] Do Ca mo, M.P. :Geome ´ıa Di e encial de Cu as y Supe icies. Alianza
Edi o ial (1990).
[4] Ecke , K., Huisken, G. :Mean cu a u e e olu ion o en i e g aphs. Ann.
Ma h. 130, 453-471 (1989).
[5] Finn, R :Capilla y Su ace In e aces. No ices o he Ame ican Ma hema-
ical Socie y, 46, 770-781 (1999).
[6] Finn, R :Equilib ium Capilla y Su aces. Sp inge , Be lin (1986).
[7] Fu, Y., Nis o , A. :Cons an angle p ope y and canonical p incipal di-
ec ions o su aces in M2(c)×R1. Medi e . J. Ma h. 10, 1035-1049 (2013).
[8] Ga nica, E., Palmas, O., Ruiz-He n´
andez, G. :Hype su aces wi h a
canonical p incipal di ec ion. Di e . Geom. Appl. 30, 382-391 (2012).
[9] Huisken, G. :Flow by mean cu a u e con ex su aces in o sphe es. J.
Di e . Geom. 20, 237-266 (1984).
[10] Huisken, G., Sines a i, C. :Mean cu a u e low singula i ies o mean
con ex su aces. Calc. Va . 8, 1-14 (1999).
[11] Ilmanen, T. :Lec u es on mean cu a u e low and ela ed equa ions. In:
Con e ence on Pa ial Di e en ial Equa ions & Applica ions o Geome y.
ICTP, T ies e (1995).
34
[12] L´
opez, R., Ruiz-He n´
andez, G. :Su aces wi h a canonical p incipal
di ec ion and p esc ibed mean cu a u e. Annali di Ma ema ica. 198, 1471-
1479 (2019).
[13] Mun eanu, M.I., Nis o , A. :Comple e class ica ion o su aces wi h a
canonical p incipal di ec ion in he Euclidean space E3. Cen . Eu . J. Ma h.
9, 378-389 (2011).
[14] Ta ´
es F eixene , J., Esc ibano, M.C., Rojo Mon ijano, J. :
La cu a u a media y Sophie Ge main. Pensamien o Ma em´a ico 4.2, 31-
46 (2014).
[15] Wa, X.-J. :Con ex solu ions o he mean cu a u e low. Ann. Ma h. 173,
1185-1239 (2011).
