FACULTAD DE MATEM´
ATICAS
DEPARTAMENTO DE ECUACIONES DIFERENCIALES Y
AN´
ALISIS NUM´
ERICO
TRABAJO FIN DE GRADO EN MATEM´
ATICAS
ESTUDIO DEL ERROR EN LA
INTERPOLACI´
ON POLIN´
OMICA
MARTA LOBATO L´
OPEZ
19 de Junio de 2018
Di igido po :
D. Manuel Delgado Delgado
Abs ac
This disse a ion p o ides a s udy o he e o o Lag ange’s Polynomial In e po-
la ion. I consis s o se en chap e s ha include some opics o he Nume ical
Analysis.
Fi s ly, we will ha e in oduced a se ies o basic ools ha a e also e y use ul
in o he ields o Nume ical Analysis and ha we will use h oughou he p ojec .
Secondly, we will ecall he main esul s ela ed o he app oxima ion o a unc-
ion o a eal a iable by an algeb aic polynomial. A e ha , we will s udy he
e o o polynomial in e pola ion when he nodes a e equidis an .
In addi ion, we will analyse he p oblem o minimizing he oscilla ions p oduced
in he ex emes in he Runge phenomenon and we will s udy he exis ence o he
polynomial o bes app oxima ion.
F om he e, he Weie s ass Theo em is deduced and he app oxima ion o a
class C1 unc ion is s udied by polynomials ha in e pola e i o he ze os o he
Chebyshe polynomials.
Finally, we will conclude he disse a ion by conside ing which choice o nodes
uni o mly app oxima e egula unc ions.
1
2
Resumen
En es e abajo se lle a a cabo un es udio del e o de la in e polaci´on polin´omica de
Lag ange. Cons a de sie e cap´ı ulos que ecoge algunos emas del C´alculo Num´e ico.
En los cap´ı ulos 1 y 2, hemos in oducido una se ie de he amien as b´asicas que
ambi´en son muy ´u iles en o os campos del an´alisis num´e ico y que u iliza emos a
lo la go del abajo.
En el cap´ı ulo 3, eco damos los p incipales esul ados ela i os a la ap oximaci´on
de una unci´on de una a iable eal po un polinomio algeb aico. Comenzamos
el cap´ı ulo in oduciendo el concep o de la in e polaci´on polin´omica de Lag ange,
ci ando un esul ado de exis encia y unicidad del polinomio de in e polaci´on y una
exp esi´on del e o de in e polaci´on, ya es udiada en el g ado.
En el cap´ı ulo 4, es udia emos el e o de la in e polaci´on polin´omica cuando los
nodos son equidis an es y e emos lo que puede ocu i en los ex emos del in e alo
cuando es udiamos el en´omeno de Runge.
En el cap´ı ulo 5, analiza emos el p oblema de minimiza las oscilaciones p oduci-
das en los ex emos en el en´omeno de Runge median e o a elecci´on de los nodos,
en es e caso, los ce os de los polinomios de Chebyshe , dando una mejo es imaci´on
del e o .
En el cap´ı ulo 6, es udia emos la exis encia del polinomio de mejo ap oximaci´on,
in oduciendo el concep o de Cons an e de Lebesgue y p obando la aco aci´on del
g ado de ap oximaci´on (m´ınima dis ancia en e la unci´on y el polinomio de mejo
3

ap oximaci´on de g ado n) po el m´odulo de con inuidad de la unci´on en el in e alo
b−a
n.
De aqu´ı se deduce el Teo ema de Weie s ass y se es udia la ap oximaci´on de una
unci´on de clase C1po polinomios que la in e polan a los ce os del los polinomios
de Chebyshe .
Finalmen e conclui emos el abajo iendo qu´e elecci´on de los nodos ap oximan
uni o memen e a unciones egula es.
4
´
Indice gene al
1 In oducci´on 7
1.1 Gene alidades............................... 8
2 Resul ados p e ios 11
2.1 Teo ´ıadese ies .............................. 11
2.2 Resul ados de a iable compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 O os esul ados.............................. 13
3 In e polaci´on polin´omica 15
3.1 F´o mula de in e polaci´on de Lag ange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 Es imaci´ondele o ........................... 17
4 In e polaci´on polin´omica pa a pun os de abscisas equidis an es 19
4.1 Es udio de Qn
i=0 |(x−xi)|en el caso de abscisas equidis an es . . . . 19
4.2 Fen´omenodeRunge ........................... 26
4.2.1 Ejemplo .............................. 26
4.2.2 Explicaci´on del Fen´omeno de Runge . . . . . . . . . . . . . . . 29
5 Polinomios de Chebyshe 31
5.1 Mejo es es imaciones de e o es eales: Polinomios de Chebyshe . . . 31
6 Ap oximaci´on de unciones con inuas 39
6.1 Exis encia del polinomio de mejo ap oximaci´on . . . . . . . . . . . . 39
6.2 Cons an e de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.3 M´odulo de con inuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.4 Casospa icula es............................. 50
5
´
Indice gene al
6.5 Ejemplo conside ando los ce os del polinomio de Chebyshe . . . . . 51
7 Anexos 55
7.1 C´odigoMa lab .............................. 55
7.1.1 Fen´omeno de Runge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.1.2 In e polaciones de Polinomios de Chebyshe . . . . . . . . . . 56
Bibliog a ´ıa 57
6
Cap´ı ulo 1
In oducci´on
Una cues i´on que encon amos con ecuencia en las ciencias expe imen ales y en
ingenie ´ıa es a a de cons ui una unci´on denominada “ unci´on in e polan e”
de la cual se conoce una se ie de alo es en cie os pun os denominados “da os de
in e polaci´on”.
En ocasiones, es e p oblema comp ende ambi´en o os da os, especialmen e los
alo es de las de i adas de la unci´on en cie os pun os. Es os da os pueden se
ob enidos, po ejemplo, a pa i de obse aciones ealizadas en un de e minado ex-
pe imen o.
El obje i o se ´a de e mina una unci´on cuyos alo es en los pun os conside a-
dos coincidan con los da os y que adem´as sea ´acil de cons ui y manipula . Los
polinomios se usan con ecuencia como unciones in e polan es po que son ´aciles
de e alua y po el hecho undamen al de que dados n+1 pun os de abscisa dis in a,
(x0, y0),(x1, y1),...,(xn, yn), exis e exac amen e un polinomio Pn(x) de g ado no su-
pe io a n, que pasa po dichos pun os, es deci , al que Pn(xi) = yi, i = 0,1,2. . . , n.
En la in e polaci´on lineal, la unci´on se sus i uye po la ec a que pasa po dos
pun os.
T es da os se in e polan con un polinomio de segundo g ado, g ´a icamen e una
pa ´abola que pasa po esos es pun os.
Una ez que se ha de e minado la unci´on in e polan e, en nues o caso se a a ´ıa
del polinomio in e polan e, uno puede es ima el alo que el expe imen o de pa ida
hab ´ıa omado en pun os p ´oximos a los da os de in e polaci´on e aluando la unci´on
7
14

Cap´ı ulo 3
In e polaci´on polin´omica
Comenzamos es e cap´ı ulo in oduciendo el concep o de la in e polaci´on polin´omica
de Lag ange y ob eniendo un esul ado de exis encia y unicidad del polinomio de
in e polaci´on. P esen a emos un algo i mo de cons ucci´on del polinomio de in e -
polaci´on y una exp esi´on del e o de in e polaci´on.
A la is a de la exp esi´on del e o ob enida, analizamos el p oblema de minimiza
dicho e o , usando pa a ellos la sucesi´on de polinomios de Chebyshe que e emos
en el cap´ı ulo 5.
De inici´on 3.1 Sea (x) una unci´on con inua de inida : [a, b]→Ry conside emos
unos alo es conocidos de es a en n+ 1 pun os dis in os xi, i = 0,1, . . . , n con xi∈
[a, b].
La in e polaci´on polin´omica de Lag ange consis e en ob ene un polinomio Pn(x)de
g ado no supe io a n al que se cumpla que en los nodos, las im´agenes de (x) y
Pn(x)coincidan, es deci ,
Pn(xi) = (xi), i = 0, . . . , n.
Al polinomio Pn(x)se le conoce como polinomio in e polado de Lag ange y o ma
pa e del conjun o de los polinomio de g ado meno o igual que ny, po an o, Pn(x)
se ´a de la o ma:
Pn(x) = anxn+an+1xn+1 +. . . +a1x+a0.
15
Cap´ı ulo 3. In e polaci´on polin´omica
y, pa a de e mina la, hab ´a que halla los n+ 1 coe icien es eales a0, a1, . . . , an.
No a 3.2 Di emos que Pn(x) iene g ado nen el caso que ansea no nulo.
Supongamos que ap oximamos (x) po Pn(x) en dichos nodos. Con Pn(x) es imamos
el alo de (x), come iendo un e o cuya co a es in e esan e de e mina .
En el siguien e esul ado eco da emos la exis encia y unicidad del polinomio de
in e polaci´on Pn(x).
3.1 F´o mula de in e polaci´on de Lag ange
Teo ema 3.3 (F´o mula de in e polaci´on de Lag ange) Sean :[a,b] →R,
{x0, x1, . . . , xn}n+ 1 pun os dis in os del in e alo [a,b]. En onces, exis e un ´unico
polinomio Pn(x)de g ado meno o igual que n, que e i ica:
Pn(xi) = (xi), i = 0, . . . , n. (3.1)
A es e polinomio se le denomina polinomio de in e polaci´on de en los nodos
x0, x1, . . . , xny iene dado po :
Pn(x) =
n
X
i=0
(xi)Li(x),(3.2)
donde
Li(x) =
n
Y
j=0,j6=i
x−xj
xi−xj
,pa a cada i ∈ {0,1, . . . , n}.
No a 3.4 : Ve [4]
•La exp esi´on (3.2) se conoce como ´o mula de Lag ange del polinomio de in-
e polaci´on. El Teo ema an e io p opo ciona un m´e odo cons uc i o pa a
ob ene el polinomio de in e polaci´on Pn(x) median e la ´o mula (3.2).
•Pod ´ıamos omi i el c´alculo de Lj(x) si alg´un da o es (xj) = 0.
16
Cap´ı ulo 3. In e polaci´on polin´omica
•Los polinomios Lk(x) s´olo dependen de los nodos de in e polaci´on {x0, x1, . . . , xn}.
De modo que, una ez calculado cada Lk(x) se cons uyen los polinomios de
in e polaci´on poniendo los (xk) como coe icien es de una combinaci´on lineal,
lo cual es una en aja si que emos esol e a ios p oblemas de in e polaci´on
como los mismos nodos xk. En es e sen ido, {L0(x), L1(x), . . . , Ln(x)}es la
base del espacio ec o ial de los polinomios de in e polaci´on asociados a los
nodos {x0, x1, . . . , xn}.
•La ´o mula de Lag ange (3.2) iene el incon enien e de que hay que ealiza
nume osos c´alculos y al a˜nadi un da o m´as de in e polaci´on, hay que ol e
a calcula odos los polinomios Lk(x).
3.2 Es imaci´on del e o
En es e apa ado analiza emos el e o en la in e polaci´on polin´omica de una unci´on
(x). El eo ema que in oduci emos a con inuaci´on pe mi e es udia el e o de la
in e polaci´on po polinomios cuando la unci´on dada posee de i adas de has a o den
(n+ 1). Median e es e esul ado se puede ob ene una es imaci´on del e o que
es amos come iendo al ap oxima (x) po Pn(x).
Teo ema 3.5 (E o de la in e polaci´on polin´omica de Lag ange) .
Sea : [a,b] →R, con (x) con inua en [a,b] yn+1 eces de i able en dicho in e alo.
Conside emos x0, x1, x2, . . . , xn∈[a,b] nodos dis in os dos a dos. Sea Pn(x)el poli-
nomio de in e polaci´on de g ado ≤n al que Pn(xi) = (xi), x ∈[a, b],∀i= 0, . . . , n.
En onces, exis e ξ∈[a,b] al que:
|Rn( ;x)|=| (x)−Pn(x)| ≤ | n+1(ξ)|
(n+ 1)! |(x−x0)(x−x1)···(x−xn)|.(3.3)
Obse amos que apa ecen dos ac o es en la co a, n+1(ξ) y Qn
i=0 |(x−xi)|.
17
Cap´ı ulo 3. In e polaci´on polin´omica
No a 3.6 El eo ema an e io esul a se una ex ensi´on del Teo ema del Valo Me-
dio pa a m´as de un pun o. En e ec o, pa a n= 0 y S=x0, la exp esi´on se educe a
lo siguien e:
| (x)− (x0)|≤| 0(ξx)|·(x−x0).
A con inuaci´on, in oduci emos un co ola io en el cual aco a emos el ´e mino (n+1)(ξ).
Co ola io 3.7 Sea (x) ∈A(R)donde Res una egi´on que con iene [a,b]. Sea C
una cu a ce ada que con iene a [a,b] en su in e io y sea L(C) la longi ud de la
cu a C, MC=m´axz∈C| (z)|es el alo m´aximo que puede oma dicha cu a y δ
es la m´ınima dis ancia de C a [a,b]. Luego:
|Rn( ;x)|=| (x)−Pn(x)| ≤ n!L(C)MC
2πδn+2 |x−x0||x−x1|···|x−xn|.(3.4)
Demos aci´on: Tomando alo absolu o en la p oposici´on (2.3) ob enemos la
siguien e exp esi´on:
| (n)(z0)| ≤ n!
2πZC
| (z)|
|z−z0|n+1 |dz| ≤ n!
2π
m´axz∈C| (z)|
m´ın |z−z0|n+1 L(C),
donde L(C) es la longi ud de la cu a C, m´axz∈C| (z)|es el alo m´aximo que
puede oma dicha cu a y m´ın |z−z0|n+1 el alo m´ınimo de la dis ancia en e los
pun os de la cu a y z0.

En los siguien es cap´ı ulos, es udia emos di e sas co as de Qn
i=0 |(x−xi)|en unci´on
de la elecci´on de los pun os.
18
Cap´ı ulo 4
In e polaci´on polin´omica pa a
pun os de abscisas equidis an es
4.1 Es udio de Qn
i=0 |(x−xi)|en el caso de abscisas
equidis an es
En es e cap´ı ulo es udia emos el e o de la in e polaci´on polin´omica cuando los
nodos son pun os equidis an es. Ve emos c´omo el c´alculo del polinomio de in e po-
laci´on se simpli ica cuando los nodos es ´an igualmen e espaciados.
P oposici´on 4.1 Dados {x0, x1, . . . , xn}(n+ 1) pun os igualmen e espaciados en
el in e alo [a,b] con x0=a, xn=b, exis e C >0 al que:
m´ax
x∈[a,b]|
n
Y
i=0
(x−xi)| ≤ C e−n
√n Ln(n)(b−a)n+1,∀n > 1.(4.1)
Donde Qn
i=0(x−xi)es el ´e mino de la ´o mula del e o de in e polaci´on en el
pun o x.
Demos aci´on: Di idi emos la demos aci´on en a ias e apas:
P ime a e apa:
Es a e apa a a consis i en educi el p oblema al in e alo [0,n].
19

Cap´ı ulo 4. In e polaci´on polin´omica pa a pun os de abscisas equidis an es
Sea:
x=a+sb−a
n, s ∈[a, b].
xi=a+ib−a
n, i = 0,1, . . . , n.













Luego (x−xi) = b−a
n(s−i).
Po an o,
n
Y
i=0
(x−xi) = (s−0) b−a
n·(s−1) b−a
n·. . . ·(s−n)b−a
n=
=b−a
nn+1
|s·(s−1) ·. . . ·(s−n)|,con s ∈[0, n].
Conside emos la unci´on (s) = |s(s−1) ·. . . ·(s−n)|de inida pa a s∈[0, n]
y que alcanza su m´aximo en un pun o sn. Vamos a es udia la posici´on de sny el
alo del m´aximo de , dando paso a la siguien e e apa.
Segunda e apa:
Aqu´ı emos la sime ´ıa de la unci´on (s) = |s(s−1) ·. . . ·(s−n)|.Tomamos s0=
s−n
2y sus i uyendo ob enemos:
s0+n
2·s0+n
2−1·. . . ·s0+n
2−n+ 1·s0+n
2−n
que simpli icando queda ´ıa:
s0+n
2·s0+n
2−1·. . . ·s0−n
2+ 1·s0−n
2.
De aqu´ı concluimos que s0 iene exponen e pa , ya que el p oduc o en e el p ime
´e mino y el ´ul imo queda un ´e mino de segundo g ado, de igual o ma pasa ´ıa con
el segundo ´e mino y el pen´ul imo, y as´ı sucesi amen e, dando luga al p oduc o de
20
Cap´ı ulo 4. In e polaci´on polin´omica pa a pun os de abscisas equidis an es
polinomios de exponen e pa , lo que implica que la unci´on es sim´e ica espec o de
s = n
2.
Po an o, el m´aximo se da en la p ime a mi ad del in e alo [0, n], es deci , en
h0,n
2i.
Te ce a e apa:
En es a e apa, e emos c´omo la unci´on puede desc ibi se a pa i de sus alo es
en [0,1], alcanzando su m´aximo en alg´un alo snque pe enece al in e alo 0,1
2.
Veamos aho a que (s+`) es una unci´on dec ecien e de `con `= 0,...,hn
2i−1.
(s+`) = |(s+`)(s+`−1)(s+`−2) ·. . . ·(s+`−n+ 1)(s+`−n)|.
(s+`−1) = |(s+`−1)(s+`−2) ·. . . ·(s+`−n+ 1)(s+`−n)(s+`−n−1)|.
Po an o,
(s+`) = (s+`−1)·s+`
n+ 1 −s−`,de inida pa a s ∈[0,1) y `∈ {1,2,··· ,hn
2i−1}.
La ´o mula da, en o ma ecu si a, los alo es de a pa i de los alo es en [0,1].
Luego,
(s+`)
(s+`−1) =s+`
1 + n−s−`<1 y po an o (s+`)< (s+`−1).
Aho a la analiza emos en el in e alo [0,1] y coge emos la p ime a mi ad pa a aci-
li a , es deci , coge emos s∈0,1
2.
21
Cap´ı ulo 4. In e polaci´on polin´omica pa a pun os de abscisas equidis an es
1
2+s=1
2+ss−1
2s−3
2·. . . ·s+1
2−n+ 1·s+1
2−n=
=1
2+s·1
2−s·3
2−s·. . . ·n−s−1
2
1
2−s=1
2−ss−1
2s−3
2s−5
2·. . . ·1
2−s−n=
=1
2−s·1
2+s·3
2+s·. . . ·n+s−1
2













































=⇒
=⇒ 1
2+s< 1
2−spa a s ∈0,1
2.
Po lo an o, alcanza su m´aximo en un pun o sn∈0,1
2.
Cua a e apa:
Tomamos loga i mos pa a ob ene la de i ada m´as ´acilmen e:
Ln( (s)) = Ln(s) + Ln(1 −s) + . . . +Ln(n−s).
Po an o, pa a s∈0,1
2
0(s)
(s)=1
s−1
1−s+. . . +1
n−s.
En el m´aximo, 0(sn) = 0 :
1
sn−1
1−sn
+. . . +1
n−sn= 0.
De donde ob enemos
1
sn
=1
1−sn
+. . . +1
n−sn
=
n
X
k=1
1
k−sn
.(4.2)
22
Cap´ı ulo 4. In e polaci´on polin´omica pa a pun os de abscisas equidis an es
En onces,
1
sn≥
n
X
k=1
1
k
que po (2.1) se compo a como Ln(n) cuando n→ ∞. Po an o,
1
sn≥
n
X
k=1
1
k∼Ln(n) → ∞, si n → ∞.
Luego debe se ,
l´ım
n→∞ sn= 0.
Aho a eamos que
1
sn−
n
X
k=1
1
k=sn
n
X
k=1
1
k(k−sn).(4.3)
En e ec o,
n
X
k=1
1
k(k−sn)=
n
X
k=1



1
sn
k−sn−
1
sn
k

=1
sn
n
X
k=1 1
k−sn−1
k=⇒
=⇒sn
n
X
k=1
1
k(k−sn)=
n
X
k=1
1
k−sn−
n
X
k=1
1
k=1
sn−
n
X
k=1
1
k,po (4.3).
Po lo que ob enemos la igualdad (4.3). Como sn∈0,1
2en onces,
sn<1
2−→ k−sn> k −1
2−→ 1
k−sn
<1
k−1
2
.
Y al se una se ie geom´e ica de exponen e dos, con e ge y es ´a aco ada po una
cons an e que llama emos C.
n
X
k=1
1
k(k−sn)≤
n
X
k=1
1
k(k−1
2)≤C,
sigue que
0<1
sn−
n
X
k=1
1
k≤C·sn.
23
Cap´ı ulo 4. In e polaci´on polin´omica pa a pun os de abscisas equidis an es
Aplicando (3.3) en la p ime a desigualdad y (4.1) en la segunda:

1
1 + 25x2Pn(x)≤| n+1(ξ)|
(n+ 1)! ·m´ax 
n
Y
i=0
(x−xi)≤| n+1(ξ)|
(n+ 1)!
C e−n
√n Ln(n)(2)n+1 ≤
≤n!·5n
(n+ 1)! ·2n+1
√n Ln(n)en≤C10n
(n+ 1)√n Ln(n)en−→ ∞.
Lo que pe mi e que en los ex emos la co a del e o ienda a in ini o, como
an e io men e pudimos obse a en las g ´a icas.
De inici´on 4.5 (Spline). Un spline es una cu a di e enciable de inida en po cio-
nes median e polinomios.
En los p oblemas de in e polaci´on, se u iliza a menudo la in e polaci´on median e
splines po que da luga a esul ados simila es equi iendo solamen e el uso de poli-
nomios de bajo g ado, e i ando as´ı las oscilaciones, indeseables en la mayo ´ıa de las
aplicaciones, encon adas al in e pola median e polinomios de g ado ele ado.
30

Cap´ı ulo 5
Polinomios de Chebyshe
En es a secci´on e emos c´omo podemos soluciona el p oblema p esen ado po el
en´omeno de Runge.
Pa a minimiza las oscilaciones p oducidas en los ex emos usa emos los polinomios
de Chebyshe en luga de nodos de abscisa equidis an e, como imos en el cap´ı ulo
an e io . En es e caso se ga an iza que el e o m´aximo disminuye al c ece el o den
polin´omico.
Es os polinomios eciben es e nomb e en hono al ma em´a ico uso Pa nu i Chebys-
he . Se a a de una amilia de polinomios o ogonales que es ´an elacionados con
la ´o mula de De Moi e y son de inidos de o ma ecu si a con acilidad.
No malmen e se hace una dis inci´on en e polinomios de Chebyshe de p ime ipo
que son deno ados Tny polinomios de Chebyshe de segundo ipo, deno ados Un.
Los polinomios de Chebyshe son impo an es en la eo ´ıa de la ap oximaci´on pues o
que las a´ıces de los polinomios de Chebyshe de p ime ipo Tn, ambi´en llamadas
nodos de Chebyshe , son usadas como nodos en in e polaci´on polin´omica.
5.1 Mejo es es imaciones de e o es eales: Poli-
nomios de Chebyshe
La es imaci´on del e o
m´ax
a≤x≤b| n+1(x)|· |x−x0|·|x−x1|···|x−xn|
(n+ 1)! (5.1)
31
Cap´ı ulo 5. Polinomios de Chebyshe
pa a el polinomio de in e polaci´on es a di idida en dos pa es.
La p ime a pa e, m´axa≤x≤b| n+1(x)|que depende de la unci´on in e polada pe o
no depende de la o ma en la cual la in e polaci´on se ealiza.
La segunda pa e, |x−x0|·|x−x1|···|x−xn|
(n+ 1)! es independien e de la unci´on
pe o depende de los pun os .
La es imaci´on (5.1) se ha ob enido de sus i ui | n+1(ξ)|po m´axa≤x≤b| n+1(x)|.
En muchos casos, el e o p edicho po (5.1) se ´a mucho mejo que el e o (3.4).
Conside emos la can idad m´axa≤x≤b|(x−x0)·(x−x1)···(x−xn)|que depende de
los pun os x0, x1, . . . , xn.
Es o nos lle a a plan ea la siguien e p egun a: ¿C´omo podemos selecciona los
pun os x0, x1, . . . , xnen [a,b] de o ma que el m´aximo sea lo m´as peque˜no posible?.
La espues a al p oblema iene dada po los ce os del polinomio de Chebyshe .
Si omamos x=cos θ en la ´o mula (2.4) con θ∈[0, π], en onces sen θ =
√1−x2≥0. Luego,
(cos nθ +isin nθ) = (x+i√1−x2)n.
Si desa ollamos es a exp esi´on po el eo ema del Binomio, cogemos la pa e eal
del esul ado de la ecuaci´on y sus i uimos el alo de x=cos θ, ob enemos:
cos(n(a c cos x)) = cos(nθ) = n
0xn(x2−1)0+n
2xn−2(x2−1)+n
4xn−4(x2−1)2+. . .
As´ı, cos(nθ) es un cie o polinomio de g ado nen cos θ
De inici´on 5.1 Se de ine el polinomio de Chebyshe de g ado n como:
Tn(x) = cos(na c cos x) = xn+n
2xn−2(x2−1) + . . . , pa a n= 0,1, . . . (5.2)
Los polinomios de inidos po (5.2) son los que se denominan Polinomios de Chebys-
he po an onomasia.
Es ´acil calcula los p ime os los polinomios de Chebyshe expl´ıci amen e y pa a
ellos usa emos (5.2). De es a o ma ob enemos:
32
Cap´ı ulo 5. Polinomios de Chebyshe
T0(x) = cos(0) = 1
T1(x) = cos(a c cos x) = x
T2(x) = cos(2 a c cos x) = 2
2x2−2(x2−1) + x2= 2x2−1
T3(x) = 4x3−3x
T4(x)=8x4−8x2+ 1
T5(x) = 16x5−20x3+ 5x
T6(x) = 32x6−48x4+ 18x2−1
A con inuaci´on, inclui emos algunas g ´a icas que pe enecen a los an e io es po-
linomios:
Figu a 5.1: Funci´on T0(x)
Figu a 5.2: Funci´on T1(x)
33
Cap´ı ulo 5. Polinomios de Chebyshe
Figu a 5.3: Funci´on T2(x)
Figu a 5.4: Funci´on T3(x)
Teo ema 5.2 Los polinomios de Chebyshe e i ican la siguien e elaci´on de ecu-
encia.
Tn+1(x)=2xTn(x)−Tn−1(x)n= 1,2, ... (5.3)
Demos aci´on: Usando iden idades igonom´e icas adecuadas, ob enemos:
cos(n+ 1)θ= cos nθ cos θ−sin nθ sin θ
cos(n−1)θ= cos nθ cos θ+ sin nθ sin θ
Sum´andolas ob enemos:
cos(n+ 1)θ+ cos(n−1)θ= 2 cos nθ cos θ
y despejando,
cos(n+ 1)θ= 2 cos nθ cos θ−cos(n−1)θ
34
Cap´ı ulo 5. Polinomios de Chebyshe
A con inuaci´on, omamos: 


x= cos θ
cos nθ =Tn(x)
Finalmen e, sus i uimos y se ob iene lo deseado:
Tn+1(x) = cos((n+ 1) ·a c cos x) = 2 ·(na c cos x)·cos(a c cos x)−
cos((n−1) ·a c cos x) = 2xTn(x)−Tn−1(x).

Co ola io 5.3 Se e i ica:
Tn(x) = 2n−1xn+ ´e minos de meno g ado. (5.4)
Teo ema 5.4 Tn(x) iene ce os simples, es deci , pun os que anulan a la unci´on
pe o no a su de i ada,en los npun os.
xk= cos 2k−1
2nπpa a k= 1,2, . . . , n. (5.5)
En el in e alo ce ado x ∈[−1,1],Tn(x) iene alo es ex emos en los n+1 pun os,
x0
k= cos 2k
2nπpa a k= 0,1, . . . , n
donde oma los alo es al e na i os (−1)k.
Demos aci´on: Po de inici´on de los polinomios de Chebyshe y aplicando (5.4)
ob enemos:
Tn(xk) = cos(na c cos xk) = cos na c cos cos 2k−1
2nπ=
= cos 2k−1
2π= 0, k = 1,2, . . . , n.
35

Cap´ı ulo 5. Polinomios de Chebyshe
Es as son las n a´ıces que puede ene el polinomio Tn(x) de g ado n.
Sea su de i ada,
T0
n(xk) = n
p1−x2
k
sin(na c cos xk)
y aplicando (5.5) enemos,
T0
n(xk) = n
p1−x2
k
sin na c cos cos 2k−1
2nπ=
=n
p1−x2
k
sin 2k−1
2π6= 0
y los ce os deben se simples.
Adem´as,
T0
n(x0
k) = n
s1−cos2kπ
nsin(kπ)=0,pa a k= 1,2, . . . , n −1.
Tomamos aho a:
Tn(x0
k) = cos na c cos cos 2kπ
2n= cos(kπ) = (−1)k.
Es o es ´alido pa a k= 0,1, . . . , n. Pe o pa a x∈[−1,1],
Tn(x) = cos(na c cos x)
y po lo an o, |Tn(x)| ≤ 1. Es o nos mues a que los pun os x0
kson pun os ex emos
en −1≤x≤1.

De inici´on 5.5 Deno amos:
Tn(x) = 1
2n−1Tn(x).
36
Cap´ı ulo 5. Polinomios de Chebyshe
No a emos que
Tn(x) = xn+ ´e minos de meno g ado.
Teo ema 5.6 (Chebyshe ). Dado Pnque designa la clase de odos los polinomios
de g ado ncon coe icien e p incipal 1. En onces, pa a cualquie p∈Pn enemos,
m´ax
−1≤x≤1|
Tn(x)| ≤ m´ax
−1≤x≤1|p(x)|.
Demos aci´on: En −1≤x≤1,|
Tn| oma su alo m´aximo, 1
2n−1, n + 1 eces en
los pun os x0
k= cos kπ
n, k = 0,1, . . . , n.
Supongamos que hay un p∈Pn,con m´ax−1≤x≤1|p(x)|<1
2n−1.
En o ma de di e encia enemos Q(x) =
Tn(x)−p(x).Cla amen e, Q(x)∈Pn−1
como m´aximo. Sea aho a,
Q(x0
k) =
Tn(x0
k)−p(x0
k) = (−1)k
2n−1−p(x0
k), k = 0,1, . . . , n.
Es as can idades son al e na i as an o posi i as como nega i as ya que |p(x0
k)|<
1
2n−1.
Po lo an o, hay n+ 1 pun os donde Q(x) oma alo es con signos al e nados. De
modo que, Q(x) iene n ce os.
Ya que Q∈Pn−1, debe anula se de o ma id´en ica. As´ı, p(x)≡
Tn(x) lo que indica
que:
1
2n−1= m´ax
−1≤x≤1|
Tn(x)|= m´ax
−1≤x≤1|p(x)|<1
2n−1
llegando a con adicci´on. Po an o,
m´ax
−1≤x≤1|
Tn(x)| ≤ m´ax
−1≤x≤1|p(x)|.

Pa a inaliza es e cap´ı ulo nos p egun amos si cu´ando n −→ ∞, los polinomios
que in e polan la unci´on en los ce os de los polinomios de Chebyshe como nodos
e i ica pn−→ .
37
38
Cap´ı ulo 6
Ap oximaci´on de unciones
con inuas
6.1 Exis encia del polinomio de mejo ap oxima-
ci´on
En es e cap´ı ulo es udia emos la exis encia del polinomio de mejo ap oximaci´on.
Sea un espacio ec o ial Ede unciones de inidas en un subconjun o de R, p e is o
de una no ma k kEy al que Pn⊂E.
Teo ema 6.1 Pa a oda unci´on ∈E, exis e al menos un polinomio pn∈Pn, al
que:
k −pnkE= ´ın
q∈Pnk −qkE.
Demos aci´on: Sea ∈EyPn([a, b]) ⊂Eel espacio ec o ial de polinomios de
g ado nque iene dimensi´on ini a.
El eo ema de Bolzano Weie s ass nos dice que en un espacio ec o ial no mado de
dimensi´on ini a, odo conjun o compac o iene un pun o de acumulaci´on.
Sea
{k −qk ≥ 0, q ∈Pn}
un conjun o de n´ume os eales aco ado in e io men e y que iene un ´ın imo, al que
deno a emos α. Exis e {qn} ⊂ Pnde o ma que k −qnk → α.
39
Cap´ı ulo 6. Ap oximaci´on de unciones con inuas
(cuando n → ∞).
Adem´as, se ha log ado ca ac e iza los pun os de in e polaci´on dados pa a la
cons an e Lebesgue ¯
Λn.
Desa o unadamen e, el c´alculo de es os pun os es demasiado complicado como
pa a p esen a un in e ´es p ´ac ico. Si uno elige pa a in e pola pun os los ce os del
polinomio de Chebyshe de g ado (n+ 1), es deci ,
xn
i=a+b
2+b−a
2·cos(2i+ 1)π
2n+ 2 ,pa a i= 0,1, . . . , n.
Se iene que Λn>¯
Λn, si n6= 1, pe o se iene oda ´ıa que:
Λn∼2
πLog(n),cuando n→ ∞,
po lo que los pun os de Chebyshe son casi ´op imos. En muchas aplicaciones, es
necesa io elegi pun os de in e polaci´on equidis an es, xn
i=a+i·b−a
n, , donde
i= 0,1, . . . , n.
Se sabe que en es e caso que:
Λn∼2n+1
e·n·Log(n),cuando n→ ∞
que es mucho peo que pa a los pun os an e io es de Chebyshe . No es so p enden e,
po lo an o, e ue es ines abilidades cuando nse uel e g ande y de ah´ı el ejemplo
de Runge.
6.3 M´odulo de con inuidad
Es udiemos aho a la can idad En( ) y su compo amien o cuando n ienda hacia el
in ini o. Ve emos que es e es a ´a elacionado con la egula idad de la unci´on y
m´as pa icula men e con su m´odulo de con inuidad deno ado po ω( ;h).
46

Cap´ı ulo 6. Ap oximaci´on de unciones con inuas
De inici´on 6.12 Se de ine m´odulo de con inuidad de una unci´on de la siguien e
mane a:
ω( ;h) = m´ax
, 0∈[a,b]; | − 0|≤h| ( )− ( 0)|.
A con inuaci´on, eamos que se e i ican las siguien es p opiedades del m´odulo de
con inuidad.
P oposici´on 6.13 Las p opiedades el m´odulo de con inuidad son las siguien es:
1) La unci´on h→ω( ;h)de inida pa a R+es posi i a y c ecien e.
2) Es subadi i a: ω( ;h1+h2)≤ω( ;h1) + ω( ;h2).
3) Si n∈N, ω( ;n·h)≤n·ω( ;h)
4) Si λ∈R, ω( ;λ·h)≤(1 + λ)ω( ;h)
5) Si ∈C0([a, b]) en onces limh→0ω( ;h) = 0 y la unci´on h→ω( ;h)es
con inua pa a R+.
6) Si ∈C1[a, b], ω( ;h)≤hk 0k∞.
Demos aci´on:
1) Al aumen a h, aumen a el ama˜no del in e alo sob e el que se en´ıa el m´aximo
y po an o el alo de es e m´aximo o, al menos, se queda igual.

2) Sea ω( ;hi) = m´ax , 0∈[a,b]; | − 0|≤hi| ( )− ( 0)|con i= 1,2 de o ma que
| ( )− ( 0)| ≤ | ( )−  ·h2+ 0·h1
h1+h2|+|  ·h2+ 0·h1
h1+h2− ( 0)|
≤ω( ;h1) + ω( ;h2).
Y omando m´aximo enemos que ω( ;h1+h2)≤ω( ;h1) + ω( , h2).

47
Cap´ı ulo 6. Ap oximaci´on de unciones con inuas
3) Sale di ec a de la an e io , aplicando inducci´on.
4) Sea λun n´ume o eal posi i o. Todo n´ume o eal es ´a comp endido en e
dos n´ume os na u ales a los que deno a emos [λ]y[λ] + 1. Po se c ecien e,
enemos:
ω( ;λ·h)≤ω( ; ([λ] + 1)h)≤(1 + [λ]) ·ω( ;h)≤
≤ω( ;h)+[λ]·ω( ;h)≤ω( ;h) + λ·ω( ;h) = (1 + λ)·ω( ;h)

6) Sea ∈C1([a, b]). Po el Teo ema del Valo Medio enemos: ( )− ( 0) =
0(ξ)( − 0), adem´as:
| ( )− ( )|−| 0(ξ)|| − 0| ≤ k 0k∞| − 0|.
Po o o lado, sabemos que
k 0k∞= m´ax
ξ∈[a,b]| 0(ξ)|
En onces,
ω( ;h) = m´ax
, 0∈[a,b]; | − 0|≤h| ( )− ( 0)| ≤ m´ax
, 0∈[a,b]; | − 0|≤hk 0k∞| − 0|≤k 0k∞·h

A con inuaci´on, enuncia emos el eo ema de Jackson que demues a que
l´ım
n−→∞ En( )=0
Teo ema 6.14 Exis e un eal M, (independien e de n, a ,b) al que pa a odo n≥1
y odo ∈C0[a, b],
0≤En( )≤M·ω ;b−a
n.
48
Cap´ı ulo 6. Ap oximaci´on de unciones con inuas
Co ola io 6.15 (Teo ema de Weie s ass). Si [a, b]es un in e alo ce ado y
aco ado de R, el conjun o de unciones polin´omicas es denso en C0[a, b]pa a la o-
polog´ıa de la con e gencia uni o me.
Demos aci´on: En e ec o, po la p opiedad 5 del m´odulo de con inuidad,
se iene
limn→∞  ;b−a
n= 0
y como esul ado limn→∞En( ) = 0,pa a oda unci´on ∈C0[a, b].

No a 6.16 Si la unci´on es de clase p, la es imaci´on del Teo ema de Jackson puede
mejo a se.
Co ola io 6.17 Suponemos que ∈Cp[a, b], p ≥0. Tenemos que pa a odo n > p :
En( )≤Mp+1 (b−a)p
n(n−1) . . . (n−p+ 1) ·ω (p);b−a
n−p.(6.3)
Demos aci´on: Lo demos a emos po inducci´on.
De acue do con el eo ema de Jackson, el co ola io se cumple pa a p= 0. Suponga-
mos, aho a, que se cumple pa a cualquie unci´on ∈Cp[a, b] pa a un en e o p.
Hay que p oba que se cumple pa a un ∈Cp+1[a, b] y en es e caso, enemos que
0es de clase Cp, es deci , 0∈Cp[a, b] donde ∀n>p+ 1.
En−1( )≤Mp+1 (b−a)
(n−1)(n−2) . . . (n−p)·ω (p+1);b−a
n−1−p.
Exis e un polinomio qde mejo ap oximaci´on de 0, donde q∈Pn−1 al que:
k 0−qk∞=En−1( 0).
Llamamos p(x) = Rx
aq( )d yϕ(x) = (x)−p(x).
Pa a p∈Pn,se iene En( ) = En(ϕ) y adem´as que kϕ0k∞=k 0−qk∞=En−1( 0)
49
Cap´ı ulo 6. Ap oximaci´on de unciones con inuas
y aplicando el eo ema de Jackson a la unci´on ϕy la p opiedad (6) del m´odulo de
con inuidad se ob iene:
En( ) = En(ϕ)≤Mω ϕ;b−a
n≤Mb−a
n·kϕ0k∞
Po lo an o,
En( )≤Mp+2 (b−a)p+1
n(n−1) . . . (n−p)·ω (p+1);b−a
n−p−1.

6.4 Casos pa icula es
Usando los esul ados an e io es, las es imaciones que hemos dado pa a las cons-
an es de Lebesgue y el eo ema (6.2), ob enemos las siguien es co as en el e o de
in e polaci´on de Lag ange si ∈Cp[a, b].
a) En el caso de los nodos xiequidis an es enemos:
k −pnk∞≤(1 + Λn)·En( )≤1 + C·2n+1
e·nLog(n)·En( )
Y aplicando (6.3) ob enemos que
k −pnk∞≤1 + C·2n+1
e·nLog(n)·En( )≤
≤1 + C·2n+1
e·nLog(n)·Mp+1 (b−a)p
n(n−1) . . . (n−p+ 1) ·ω (p);b−a
n−p≤
≤Cp
(b−a)p·2n
np+1 Log(n)· (p);b−a
n−p.
50
Cap´ı ulo 6. Ap oximaci´on de unciones con inuas
b) En el caso de los pun os de in e polaci´on de Chebyshe enemos:
k −pnk∞≤1 + C·2Log(n)
πEn( )≤C·Log(n)·ω ;b−a
n≤
Cp(b−a)pLog(n)
npω (p);b−a
n−p.
No a 6.18 Usando es e esul ado con p= 0, encon amos el esul ado de Be ns ein
que dice que la in e polaci´on de Lag ange en los pun os de Chebyshe con e ge a
an p on o como l´ımh→∞ ω( ;h)·Log(h) = 0 si ∈Cp[a, b], es deci , pa a p= 0
enemos:
k −pnk ≤ C·Log(n)·ω ;b−a
n
Y aplicando la p opiedad (6) del m´odulo de con inuidad:
k −pnk∞≤C·Log(n)·k 0k∞·b−a
n
donde C·Log(n)
n iende a ce o cuando n−→ ∞.
De aqu´ı deducimos que Chebyshe consigue que la unci´on de clase C1se ap oxime
uni o memen e.
6.5 Ejemplo conside ando los ce os del polinomio
de Chebyshe
Ejemplo 6.19 Conside emos de nue o la unci´on =1
1 + 25x2del ejemplo de
Runge que u ilizamos en el cap´ı ulo 4 y calculamos su polinomio de in e polaci´on,
pe o es a ez, en los nodos del polinomio de Chebyshe .
A con inuaci´on, e emos c´omo a pa i de las g ´a icas podemos deduci que a
medida que aumen amos el g ado del polinomio, la unci´on con e ge uni o memen-
e. Es deci , que el m´e odo de Chebyshe esul a ´op imo pa a la minimizaci´on de
51

Cap´ı ulo 6. Ap oximaci´on de unciones con inuas
la dis ancia exis en e en e la unci´on que se desea ap oxima y el polinomio de
in e polaci´on.
Figu a 6.1: Relaci´on en e la unci´on (x) y el polinomio Pn(x) de g ado 5.
Figu a 6.2: Relaci´on en e la unci´on (x) y el polinomio Pn(x) de g ado 10.
52
Cap´ı ulo 6. Ap oximaci´on de unciones con inuas
Figu a 6.3: Relaci´on en e la unci´on (x) y el polinomio Pn(x) de g ado 15.
Figu a 6.4: Relaci´on en e la unci´on (x) y el polinomio Pn(x) de g ado 20.
53
54
Cap´ı ulo 7
Anexos
A con inuaci´on, p esen a emos los espec i os p og amas que se han usado en MATLAB
pa a obse a el en´omeno de Runge y pa a los polinomios de Chebyshe espec i-
amen e.
7.1 C´odigo Ma lab
7.1.1 Fen´omeno de Runge
= @(x)1./(1 + 25 ∗x.2);
Pa a n=5
igu e(1)
*N´ume o de nodos es n+1:
n=5;
*Elecci´on de n+ 1 pun os igualmen e espaciados en [−1,1]
nodos=linspace(-1,1,n+1);
*Valo es de la unci´on en los nodos:
alo es= (nodos);
*Polinomio de in e polaci´on:
p=poly i (nodos, alo es,n);
*500 pun os del in e alo [−1,1] igualmen e espaciados:
55