Anales de Mecánica de la F ac u a 28, Vol. 2 (2011)
565
CARACTERIZACIÓN
DEL
INICIO
Y
CRECIMIENTO
DE
GRIETAS
DE
INTERFAZ
ENTRE
FIBRA
Y
MATRIZ
BAJO
CARGAS
TRANSVERSALES
BIAXIALES USANDO
EL
MODELO
DE
INTERFAZ
ELÁSTICA
LINEAL-FRÁGIL
L.
Tá a a,
V.
Man ic,
E.
G aciani,
A. Blázquez, F.
Pa ís
G upo de Elas icidad y Resis encia
de
Ma e iales,
Escuela Técnica Supe io de Ingenie os, Uni e sidad de Se illa.
Camino
de
los Descub imien os s/n, 41092 Se illa. España.
E-mail: [email p o ec ed], [email p o ec ed], [email p o ec ed], [email p o ec ed], [email p o ec ed]
RESUMEN
En
el
p esen e abajo
se
es udia el inicio y c ecimien o
de
una g ie a
de
in e az en e ib a y ma iz bajo ca gas ans e -
sales biaxiales
de
acción - acción y acción -comp esión.
Se
conside a
un
p oblema simpli icado
en
elación a
una
lámina unidi eccional eal, con una ib a inme sa
en
una
ma iz cuyas dimensiones ex e nas son mucho más g andes que
el
adio de
la
ib a. El obje i o
es
p edeci po un lado las ca gas
de
allo (ca gas c i icas) que o iginan el despegue
en
la in e az pa a dis in as combinaciones
de
ca gas biaxiales, y po o o lado los ángulos de c ecimien o ines able del des-
pegue co espondien es a es as ca gas c í icas. Pa a la esolución de es e p oblema se aplica un modelo
de
in e az débil
que pe mi e el c ecimien o de una g ie a
en
un modo mix o de ac u a.
En
es e modelo se conside a una (posiblemen-
e ic icia) in e ase, una capa ina
de
ma e ial en e dos ma e iales adyacen es, ep esen ada median e
una
dis ibución
con inua de muelles, de igidez adecuada.
La
o u a de es os muelles que abajan
con
ensiones no males y angenciales
es á con olada po
una
ley de compo amien o elás ica lineal - ágil que
se
p opone en es e abajo.
ABSTRACT
In
he p esen nume ical s udy he c ack onse and p opaga ion along ib e-ma ix in e ace unde ans e se loads ( ension-
ension
o
ension-comp ession) is cha ac e ized. A simpli ied p oblem
o
a unidi ec ionallamina is conside ed, wi h a
ib e embedded in a la ge ma ix wi h dimensions much la ge han he ib e adius.
The
aim
is o p edic he ailu e loads
( c i icalloads) o igina ing a debond a he in e ace o di e en biaxial combina ions and also he debond angle
o
uns able
g ow h co esponding
o
hese c i icalloads.
The
weak in e ace model used allows a c ack g ow h
in
a ac u e mixed
mode. In his model
i
is
assumed ha
an
in e phase (possibly ic i ious), a hin laye be ween wo adjacen ma e ials,
exi s. This in e phase is ep esen ed
by
a con inuum dis ibu ion
o
sp ings wi h adequa e s i ness.
The
ailu e
o
hese
sp ings, ha suppo no mal and angen ial s esses, is con olled
by
a linea elas ic-b i le cons i u i e law.
PALABRAS CLAVE: Ma e iales compues os, Fallo de
la
ma iz, F ac u a
en
modo mix o, G ie as
de
in e az
l.
INTRODUCCIÓN
Uno
de
los mecanismo
de
o u a más comunes
en
lámi-
nas unidi eccionales de ma e iales compues os, an e la
aplicación de ca gas en
la
di ección pe pendicula a las
ib as, es el denominado allo de
la
ma iz o allo en e
i-
b as. Es e mecanismo se ca ac e iza po
la
apa ición de
despegues
en
las in e aces en e las ib as y
la
ma iz
cuando es á dominado po ca gas
de
acción.
La
cone-
xión en e los despegues iniciales
en
las in e aces y
la
mac o g ie a inal pasa
po
el
c ecimien o de es os despe-
gues, con e idos en g ie as
de
in e az, a lo la go
de
las
p opias in e aces,
su
des ío pos e io pa a in e na se
en
la
ma iz, y
la
coalescencia inal de las g ie as p o enien-
es
de
dis in as in e aces [1, 2, 3].
El p oblema
de
una inclusión ci cula (2D) o cilínd ica
(3D) inme sa
en
una
ma iz elás ica
con
un despegue pa -
cial en su in e az (modelado como g ie a de in e az) so-
me ida a una ca ga uniaxial en
el
in ini o
ha
sido es u-
diada p o undamen e
en
el pasado, una e isión
de
los
abajos más impo an es se puede encon a
en
[3]. Pa a
el es udio de es e p oblema se usa on di e en es mode-
los basados
en
la
Mecánica
de
la
F ac u a Elás ica Lineal
(MFEL) [4], así como Modelos Cohesi os
de
F ac u a
(MCF) [5], mas ecien emen e ambién se
ha
usado
el
modelo basado
en
la
Mecánica de
la
F ac u a Fini a [6]
y el Modelo
de
in e az elás ica lineal- ágil ( ambién co-
nocido como in e az débil) desa ollado po los au o es
de es e abajo.
En
el p esen e abajo se ex iende
el
mo-
delo de in e az elás ica lineal- ágil desa ollado en [3].
Así,
el
nue o modelo
se
ige
po
una ley
de
compo a-
mien o que iene
en
cuen a la a iación de
la
ene gía de
ac u a con la mix icidad del modo de ac u a, pe mi-
iendo incluso la iniciación y c ecimien o
de
g ie as en
modo
11
pu o.
2.
INTERFAZ
DÉBIL.
UN
MODELO
ELÁSTICO
LINEAL
-FRÁGIL
El modelo de in e az débil
se
ca ac e iza po simula el
compo amien o de jun as adhesi as o
de
in e aces en e
dos ma e iales po medio de
una
dis ibución con inua
de
muelles
de
igidez adecuada [7, 8].
Se
ha
p obado que el
Anales de Mecánica de la F ac u a 28, Vol. 2 (2011)
566
compo amien o
de
la
in e az ib a-ma iz
en
un ma e ial
compues o puede desc ibi se azonablemen e po medio
del modelo
de
in e az débil [2, 9].
2.1. Ley de compo amien o de la dis ibución
de
mue-
lles
El modelo de in e az débil es conside ado
un
modelo
simple y ú il
de
una ina capa lineal elás ica en e dos su-
pe icies.
La
capa sin daño (conside ada como
un
sólido
lineal elás ico con el módulo de Young
Ee,
el coe icien e
de
Poisson
e,
el
módulo angencial
J.l. ,
la
cons an e de
Lam.é
~.
el ancho w y un pequeño espeso
h)
se puede
modela como una dis ibución con inua
de
muelles.
Es ú il acla a las elaciones en e los pa áme os
de
la ca-
pa
isó opa
(Ee,
e, Je.~.
h) y los pa áme os
de
la
ley de
compo amien o de los muelles esc i a
en
é minos de una
ley de ensión no mal s. desplazamien o ela i o no mal,
c
=
k,.o,.,
y una ley
de
ensión angencial s. desplaza-
mien o ela i o angencial, T = k161•
Teniendo
en
cuen a que
en
una
capa ina en e dos sólidos
se
conside a que
una
comp esión o acción
en
la
di ec-
ción 1 o igina una expansión nula en las di ecciones 2 y
3, i.e.,
142
= u3 = O [2], los alo es de
k,.
y k, se exp esan
como:
k,.
=
2J.1.
+
~
=
E~
= Ee(l -
e)
,
(l)
h
h(l
-
~
2
)
h(l
+ e)(l -
2 e)
I
= Jl
"1
h'
donde
E/
= Ee/(1 -
¡)
and
~
=
e (l
- e).
(2)
De las ecuaciones (1) y (2) se ob iene
la
elación k k,.:
k,
J.l.
1 -
~
1 -
2 e
= = =
k,.
'lp.e
+
~
2
2(1
-
e)
(3)
donde
O~
k k,. < 0.5.
Es impo an e menciona que si conside amos una capa
muy ina con espeso endien e a ce o, h
--+
O,
un
alo
cons an e de
k,.
implica, e (1) y (2), alo es del módu-
lo
de
Young que ienden a ce o,
Ee
--+
O,
mien as que
alo es cons an es de
Ee
implican alo es c ecien es de
k,.,
k,.
--+
oo.
Si
se conside a que
la
capa es o ó opa,
la
elación k !k,. no end á las es icciones an e io men e
mencionadas.
2.2. C i e io de allo de la in e az
El modelo de in e az débil implica
la
ausencia de singu-
la idades
en
ensiones
en
el
é ice de
la
g ie a.
El
daño
y/o o u a de una po ción
de
es a capa es modelada co-
mo un disminución ab up a (desapa ición) de ensiones
de
acción y angenciales
en
esa po ción
de
la
capa, lo
que conlle a a una sepa ación/deslizamien o en e ambas
supe icies cuando
un
pun o alcanza el limi e
de
o u a
(en el plano
(u,
T)). Los lími es
de
las ensiones no males
y angenciales
(e e
and Te) dependen
de
la
mix icidad del
modo
de
ac u a que
en
el p esen e abajo se ca ac e iza
po
el ángulo
1/FG
(basado
en
la ene gía de de o mación)
de inido
en
[2, 3].
La
dis ibución con inua de muelles que modela
la
in e -
az es gobe nada po una ley elás ica lineal- ágil, esc i a
pa a
un
pun o x
de
la
in e az, mos ado ambién en
la
Figu a 1:
In e az
lin. -elas .
In e az
o a
{ c (x) =
k,.o,.(x)
6,.(x)
:!:>
Ónc(I/FG(x))
y
T(x) = k1
61
(x)
ló,(x)l
:!:>
Ó c(I/FG(x))
{
CT(x)
= (
~ó,.(x)
(x)
=O
ó,(x)
>O
o,(x)
~o
(4)
donde
CT(x)
y T(x) son, espec i amen e, las ensiones no -
males y angenciales en
la
capa elás ica, ó,.(x) y i,(x) son,
espec i amen e, los desplazamien os ela i os no males
y angenciales en e pun os opues os
de
la
in e az.
ó,(x)
y 61(x) ambién son conside ados como los alo es de
la
ape u a y el deslizamien os en e las supe icies
de
la
in-
e az.
k,.
y
k,
son las igideces no males y angenciales
de la dis ibución de muelles.
In e az elás ica lineal- ágil
T
T/..'I'GJ
············
-o
o
o
o
:aBJ,.cl
6
J.'I'~
o
o
o
o
'
··············
····
-T/..'I'GJ
(a) 6n(x)
~
Ó u:(I/IG)
(b) ló (x)l
~
ó c(I/IG)
In e az o a
a T
o
(e)
(d)
Figu a 1:
Ley
elás ica lineal- ágil en la in e az sin
daño
(a)
nonnal
y (b) angencial; y ley elás ica lineal- ágil
en
la in e az o a (e) no mal y (d) angencial.
Es
impo an e no a que los alo es c í icos
c c(I/Fo),
6nc(I/Fo),
Tc(I/Fo)
y
Ó cCI/Fo)
son unciones del ángulo que
de ine la mix icidad del modo
de
ac u a
1/JG
en
un pun o
de
la
in e az.
Po
ello, es posible ob ene di e en es a-
lo es
de
es as a iables c í icas
en
di e en es pun os
de
la
Anales de Mecánica de la F ac u a 28, Vol. 2 (2011)
567
in e az.
Se
puede de ini
además
que
el
"muelle"
en
un
pun o
se
ompe
cuando
ó,.
ó ó1 alcancen
su
alo c í ico,
ónc(l/lo)
ó
Ó c(i la).
En
ese
momen o
la
igidez angencial
se
uel e ce o
en
ese
pun o y
como
consecuencia
de
ello
T(i lo(x)) ambién
se
hace
ce o.
Sob e
la
ley elás ica lineal- ágil
no mal
cuando
una
po -
ción
de
in e az se ha o o,
el
desplazamien o
nonnal
ne-
ga i o, 6
11
<
O,
es
es ingido
po
medio
de
una
condición
de
con ac o elás ico sin icción,
e
ecuación
(
4)
y Figu a
l(c).
El
uso
de
la
condición
de
con ac o elás ico
sin
ic-
ción es a
basado
en
la
idea
de
que
una
ez que
la
in e ase
asumida
se
ompe, po ciones
de
es a
capa
pe manecen
en
las
supe icies
de
los
sólidos adyacen es. Así, cuando es-
as supe icies en an
en
con ac o, pa ece azonable
que
es as po ciones
puedan
comp imi se con
la
misma
igi-
dez
que
enían
en
di ección no mal an es
de
ompe .
El
c i e io
de
allo
de
la
in e az
es á
basado
en
el
concep-
o
de
ene gía uni a ia libe ada.
La
ene gía uni a ia libe a-
da
en
el
modelo
de
in e az elás ica lineal- ágil es á
de-
inido
como
la
ene gía
de
de o mación almacenada
po
unidad
de
longi ud
en
el
muelle
ubicado
en
el
é ice
de
la
g ie a sin
ompe
(segmen o in ini esimal
de
la
in e -
az si uado
en
el
é ice
de
la
g ie a)
como
se demues a
en
[8] y ecien emen e
de
mane a
independien e
en
[10].
Así,
la
ene gía
de
de o mación
pa a
una
g ie a
en
modo
núx o
en
una
in e ace elás ica lineal
se
de ine como:
UÓ
11
TÓ
G=G¡+Gu=
2+2
. (5)
Los
de alles
de
la
deducción del c i e io se
pueden
encon-
a
en
[2, 3], donde inalmen e se llega a
la
exp esión ge-
ne al de
la
ensión c í ica no mal y desplazamien o c í ico
no mal
como
unciones
del
ángulo i la:
Uc(l/lo)
=eTc
~l
+
an
2
[(1-
J.)i lo]. cosi la, (6)
Ónc(l/lo)
=
Uci~G).
(7)
donde
an
2
i lo
=
Gu/G
1, J.
es
un
pa áme o
de
sensibili-
dad
del
modo
de
ac u a
(un
ango
ípico de
0.2
~
J.
~
0.3 ca ac e iza
una
in e az
que
depende
de
mane a
mo-
de ada
del
modo
ac u a).
i
e
es
la
ensión c í ica
no mal
alcanzada
cuando
el
muelle
ompe
en
modo
l.
Es
deci ,
iTc
=
Uc(Oo).
De
mane a
simila a (6) y (7),
la
ensión c í ica angencial
y
el
desplazamien o c í ico angencial
se
puede
exp esa
en
é minos
de
i lo, como:
Tc(i lo) =
~eTc
~l
+
an
2[(1 -J)i la]. sin
i lo
(8)
Ó c(i lo)
=
Te o).
(9)
El
g á ico
del
lími e
de
allo
de
la
in e az pa ame izado
po
las
ecuaciones (
6)
y (8)
se
mues a
en
la
Figu a 2,
pa a
un
alo
de
k,/
k,.
=
4.
Las ensiones c í icas no males y
angenciales
en
modo
mix o
han
sido no malizadas con
el
alo
de
la
ensión
no mal
c í ica
en
modo
I,
iTc.
En
s -------------~--------n
. =O
(a,
_IV'
<
)l1",
<!'u)
J
u,¡
a,~
-1.5
-l
-0.5
o 0.5
i c
Figu a 2: Cu as de
allo
de
la
in e az
en
el
plano
(u,
T)
pa a
di e en es alo es
de
J. con k,./
k,=
4.
la
Figu a 2
se
puede
obse a
como
el
c i e io
es
capaz
de
p edeci
la
iniciación
de
g ie as, incluso si apa ecen
comp esiones
en
el
é ice
de
la
g ie a (g ie a ce ada).
3.
INCLUSIÓN CILÍNDRICA SOMETIDA A CAR-
GAS BIAXIALES
3.1. Con igu ación del p oblema
El
p oblema
de
una
inclusión cilínd ica ( ep esen ando
una
ib a) den o
de
una
ma iz elás ica
bajo
ca gas
de
en-
sión
en
el
in ini o,
con
o sin despegue pa cial a
lo
la go de
su
in e az
ha
sido es udiada
po
muchos
in es igado es,
e e e encias
en
[1, 3,
4,
6].
-®
u"'
J
A u"'
~
%
+-
+-
lnclullon
X
--
-
¡u"'
y
(a)
Figu a 3: Con igu ación
del
p oblema de inclusión bajo
ca gas ans e sales biaxiales (a) sin y (b) con un despe-
gue
pa cial.
En
es e abajo
se
conside a
una
inclusión cilínd ica in-
ini amen e la ga,
con
una
sección ci cula
de
adio a,
den o
de
una
ma iz in ini a,
Figu a
3.
La
ma iz y
la
inclusión
son
conside ados ma e iales isó opos lineales.
(x,y,
z)
y ( ,
8,
z)
son
las
coo denadas ca esianas y cilínd i-
cas, siendo
el
eje
z
el
eje
longi udinal
de
la
inclusión, y
los ejes x e y pa alelos a
las
di ecciones
donde
se
aplica
la
ca ga.
En
el
p esen e es udio se conside an
las
siguien es
ca gas biaxiales u';
~
O y
c ';'
=
¡o-';,
donde
¡
~
l.
El
semiángulo
de
despegue
se
denomina
como
8d.
Además,
se
supone
un
es ado
de
de o mación
plana
en
el
sis ema.
Anales de Mecánica de la F ac u a 28, Vol. 2 (2011)
568
3.2. Soluci6n anaU ica pa a la in ei az sin daño
Gao
[9]
desa olló
una
solución gene al pa a p oblemas
con
una inclusión ci cula que incluye
una
capa lineal
elás ica bajo una ca ga aplicada
en
el in ini o. Los ma e-
iales
se
conside an isó opos
con
p¡, K¡,
J.l,.,
y
K,.
como las
p opiedades
de
la
inclusión W y
la
ma iz (m) espec i a-
men e. Además, p el módulo angencial, p = E /2(1 + ),
y K = 3 -
4
pa a
la
de o mación plana, donde
es
el
coe icien e
de
Poisson. Tomando como base
la
unción
de
Ai y p esen ada
en
[9]
se
ob ienen las siguien es ex-
p esiones pa a
una
ca ga
c ;
en
el
in ini o
( ¡
= 0).
a":k,a(l
+ K,.)[A +
BC
cos(28)] (10)
lT(x
=a,
U)=
2AC
,
a":k
1
a(l
+ K,.)[D sin[28]]
T(x = a,(}) = 2A
donde
A=
12~
+ l-k,k,(Km +
1)(1
+ K¡l)
+ a¡J.,.(k, +
k,)(l
+
3Km
+ (3 + K¡) ),
B =
6pm
+
ak,(l
+
K¡ ),
C = 4¡.l,. +
ak
11
(2
+
(K¡
-
1)1),
D =
6J,lm
+
ak
11
(1
+ K¡l),
con
=
J.lmiJ.li·
4. SOLUCIÓN NUMÉRICA
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
Es impo an e menciona que aunque
el
p oblema
es
simé ico (geome ía y ca gas)
la
iniciación y c ecimien-
o de
la
g ie a
de
in e az
es
no-simé ica, como
se
puede
obse a
en
e idencias expe imen ales, e [4]. Así, aun-
que algunos au o es hagan uso de
la
sime ía pa a es udia
es e p oblema, en
el
p esen e abajo
se
modela oda
la
in-
clusión pa a
e
la capacidad del modelo de ep esen a
el
compo amien o no-simé ico.
4.1. Modelo del Mé odo de los Elemen os de Con o no
(MEC)
Pa a
es e
es udio se
ha
escogido
un
sis ema bi-ma e ial
ípico en e los ma e iales compues os e o zados
con
i-
b a: ib a de id io y ma iz epoxi,
Em
= 2.79 GPa, V
m=
0.33,
E¡
= 70.8
GPa
y
¡
= 0.22 son las p opiedades
elás icas de
la
ma iz y
la
ib a espec i amen e.
Los alo es
de
los pa áme os bi-ma e ial de Dundu s
ob enidos son, a = 0.919 y
3
= 0.229, y el alo del
módulo
de
elas icidad e ec i o (media a mónica)
en
de-
o mación plana, E* = 6.01GPa, de inido
en
[1, 6, 11].
Los alo es c í icos
de
la
in e az ib a-ma iz
en
mo-
do
I usados
en
el
p esen e abajo son: enacidad a la
ac u a, G1c =
2Jm-
2, y el alo de la ensión c í ica
ii"c
= 90MPa, pm. También
se
de ine,
una
longi ud ca-
ac e ís ica del bi-ma e ial
G¡
cE*
ao
= ----=2 = 1.48JliD,
uc
(16)
y
un
pa áme o es uc u al adimensional
que
ca ac e iza
la agilidad
de
la
in e az,
1' =
.;.._
~GlcE*
=
{ac;
= 0.44, (17)
U e a
'/--;
de inido
en
[6].
El
alo
de
k,.
= 2025MPa pm es ob e-
nido median e
la
o mula
k,
= i l;!(2G¡c). Finalmen e
se
escoge
una
elación cons an e en e k
11
y
k,
(k,
= k,./4).
Es e
alo es ob enido asumiendo
la
p esencia
de
un
ma-
e ial ic icio,
una
capa
muy
ina p esen e en e
la
ib a y
la ma iz, modelada
po
el
modelo
de
in e az débil cu-
yo
coe icien e
de
Poisson
es
V
= 0.33 (simila
al
de
la
ma iz) de acue do con (3).
El
modelo
MEC
ep esen a
una
inclusión cilínd ica
con
un
adio a
=1
.5
pm
den o de
una
ma iz cuad ada e-
la i amen e g ande
con
lados iguales a 1
mm.
Se
usa on
1472 elemen os de con o no lineales:
32
elemen os pa a
el con o no ex e no
de
la
ma iz y dos mallas uni o mes
de 720 elemen os pa a modela
la
in e az ib a-ma iz (es
deci , el ángulo pola
de
cada
elemen o es
O.SO).
4.2.
E ec o de
11
En
es e es udio se
oma
un
alo del pa áme o
de
sensi-
bilidad J = 0.3.
En
la
Figu a 4
se
p esen an los esul ados
pa a
di e en es alo es
de
¡,
11
=
-1,
-0.5,
O,
0.5, 1, que
ca ac e iza di e en es ca gas biaxiales.
En
la
pa e (a)
de
la
Figu a 4 se p esen a
la
ca ga emo-
a
aplicada
en
el eje
x,
c ;,
como unción del desplaza-
mien o no mal ela i o (ape u a), 6
11
, e aluado
en
el pun-
o
A(
a,
O)
de inido
en
la
Figu a 3(a).
El
alo
de
la
ensión
(mínima) que es necesa ia pa a causa
el
inicio de
la
g ie-
a
(en
o as palab as,
la
ensión necesa ia pa a ompe
el
p ime pun o, el p ime muelle,
en
el
modelo disc e o
de
in e az) es llamado ensión c í ica,
O:,
y co esponde
al
máximo local de las unciones p esen adas
en
la
igu a
mencionada. También
se
puede obse a
en
es as igu as
que luego de alcanza es a ensión c í ica,
0:.
el
c eci-
mien o
de
la
g ie a se
oma
ines able, equi iendo alo es
meno es
de
ca ga aplicada pa a que c ezca
la
g ie a. Es e
enómeno de ines abilidad p esen e
en
odos
los
casos es
llamado "snap- h ough".
En
la pa e (b) de
la
Figu a 4
se
p esen a
la
ensión (míni-
ma) aplicada
en
el
eje
x,
c ;,
necesa ia
pa a
causa
el
c ecimien o
de
la g ie a e sus
el
semiángulo de despe-
gue 84 (de inido
en
la Figu a 3(b)). Cabe des aca
que
de
es a igu a
es
posible ene una es imación del alo ,
Be.
alcanzado
po
el
semiángulo
de
despegue
84
una ez e -
minado el c ecimien o ines able de
la
g ie a, y ambién
de
la ca ga
O:,
que p oduce el c ecimien o.
Son
des acables
los casos
en
que
se
aplican acciones
en
ambos ejes, ob-
eniéndose semiángulos
de
despegues mayo es a 90° lo
que implica que el despegue de
la
ib a es casi comple o.
Respec o a
la
in luencia del coe icien e de biaxilidad
¡,
es
Anales de Mecánica de la F ac u a 28, Vol. 2 (2011)
569
100
90
80
70
~·60
"'
...
g
50
'
b"
40
30
20
10
o o
100
90
80
70
"'
60
o.
,.
""
~
-
50
b
40
30
20
10
o o
snap h ough
-
1]=-1
1]
=-0.5
-1]-0
-1]-
0.5
-
Tj=
1
0.1
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
o.
(Ji i)
(a)
snap h ough
'
: A
i
,.;-:::::: :
'
......................
: ....
:.-
I
/&'"
,.
..
,
20 40 60 80 100 120 140 160
a.
<•>
(b)
Figu a 4: Resul ados numé icos ob enidos
po
el
MEC
(a) ensión aplicada en
el
eje x en unción de los des-
plaz nien os ela i os
Ón
en
el
pun o A, e Figu a
3,
y
(b) ensión aplicada en
el
eje x e sus
el
semiángulo de
despegue
(}d
pa a di e en es casos de ca gas biaxiales.
in e esan e obse a que
al
aplica
una
ca ga
de
comp e-
sión
mayo
en
el
eje
y y man eniendo cons an e
la
ca ga
de
acción
en
el
eje x
(1J
iende a alo es nega i os mayo-
es),
el
alo
de
la
ensión c í ica
U:.
disminuye.
Es
deci
que
las comp esiones
en
el
eje y a o ecen
la
iniciación
de
la
g ie a
con
ca gas meno es,
además
de
disminui
el
semiángulo c í ico
8c,
e
Tabla
l.
Po
o o lado
al
aplica
una
ca ga
de
acción
mayo
en
el
eje y y man eniendo cons an e
la
ca ga
de
acción
en
el
eje x
( ¡
iende a alo es posi i os mayo es),
el
alo
de
la
ensión c í ica
U:.
aumen a.
En
o as palab as
la
p e-
sencia
de
acciones
en
el
eje
y
hace
necesa io
el
uso
de
ca gas
más
g andes
pa a
la
iniciación
de
la
g ie a,
además
de
aumen a
el
semiángulo c í ico
Oc,
e
Tabla
l.
4.3. E ec o del amaño del adio de la inclusión
Haciendo
uso
de
la
solución analí ica ob enida, ecuacio-
nes (10) y (11), y aplicando
el
c i e io
de
allo
del
modelo
Tabla 1: Ca gas que p oducen la iniciación de la g ie a
en
el
eje x,
o-~.
y semiángulo c i ico,
8c,
pa a di e en es
alo es de
¡.
1J
-1
-0.5 o 0.5 1
o-~
(MPa)
51.9
56.6 62.3
69.2 77.8
cT;,/ii"c
0.573 0.629
0.692
0.769 0.864
(Jc
e>
58.25 63.25 72.75 95.25 146.0
de
in e az elás ica lineal- ágil
es
posible ob ene
una
so-
lución analí ica
de
es e
p oblema
[3].
3
,.
------------------,
2.5
2
0.5
o o 2 3
ala
0
-
T]
=
-1
T]
= -0.5
- ]=
o
- ]=
0.5
-
]=
1
4 5 6
Figu a 5: Compa ación de los esul ados ob enidos
po
el MEC y la solución anal( ica. E ec o del amaño de la
inclusión sob e
la
ensión que p oduce la iniciación de la
g ie a,
U:..
como unción de a/ao.
En
la
Figu a
5 se
puede
obse a
la
dependencia
de
la
ca ga c í ica
en
el
eje
x,
o-~.
con espec o
al
amaño
de
la
inclusión.
En
es e g á ico
los
alo es
de
U:.
han
sido
no malizados
con
el
alo
de
la
ensión no mal c í ica
de
la
in e az
en
modo
1,
iT
c.
y los alo es
del
adio
de
la
inclusión
han
sido
no malizados
con
el
pa áme o
ao
.
Cada
uno
de
los pun os p esen es
en
la
Figu a
5 ep esen-
an
soluciones ob enidas
po
el
MEC,
mien as
que
las
líneas con inuas ue on ob enidas
con
la
solución analí i-
ca.
4.4. Cu a de allo
Con
los desa ollos y esul ados ob enidos es posible e-
p esen a
una
cu a
de
allo
pa a
una
inclusión ci cula
some ida a ca gas biaxiales ans e sales,
e
Fig.
6.
Se
puede
asumi
que
el
a ea cuasi- iangula de inida
po
las
cu as
de
allo
es
una
zona
segu a.
Es
des acable no a que
pa a
casos
con
un
alo
de
'11
den-
o
del
ango
~
-4
:s;
1J
< 1,
el
pun o
donde
se
cumple
el

Anales de Mecánica de la F ac u a 28, Vol. 2 (2011)
570
Figu a 6: Cu a de allo de una inclusión ci cula bajo
ca gas biaxiales ans e sales.
c i e io
de
allo, y
po
ende
po
donde empieza
el
allo
de
la
in e az,
se
encuen a
en
(}
= O (pun o A
de
la
Figu a
3(a)). Sin emba go cuando
la
comp esión se
hace
mayo
el
p ime pun o
de
allo apa ece
en
un
pun o di e en e
al
pun o A, haciendo
que
la cu a
de
allo
se
des íe lige a-
men e
(linea
oja
en
Figu a 6).
La
linea
azul p esen e
en
la
Figu a
6
es
aquella ob enida asumiendo
que
el
pun o
inicial
de
allo se á siemp e
el
pun o A.
S. CONCLUSIONES
Aunque es ic amen e hablando
no
exis a
una
in e ase
-una
capa
de
adhesi o- en e
la
ib a y
la
ma iz,
el
mo-
delo
de
in e az débil
ha
mos ado
que
puede
se
aplicado
pa a
es udia
el
compo amien o del sis ema ib a-ma iz
some ido a ca gas biaxiales.
Se
obse ó
que
con
el
c i-
e io
de
allo u ilizado
se
pueden ob ene esul ados bas-
an e ap oximados a
los
que
se
espe an
en
la ealidad.
Los esul ados ob enidos son aco des con esul ados ex-
pe imen ales biaxiales [12], donde
un
inc emen o
en
las
ca gas
de
comp esión (como ca gas secunda ias) conlle-
a
una
disminución
de
la
ca ga
de
allo
en
acción (do-
minan e).
Se
ha
ex endido
la
aplicación
de
la
solución
analí ica desa ollada
en
[3]
pa a
ob ene esul ados
en
casos
de
ca gas biaxiales. Los esul ados ob enidos
po
el
MEC
además
de
da nos las ca gas c í icas
de
allo am-
bién nos pe mi en ob ene
el
amaño inicial
de
las g ie-
as
p oducidas
po
es as ca gas c í icas.
El
código
MEC
ha
p obado
se
una
he amien a po en e
que
nos
pe mi e
modela
el
c ecimien o
de
la
g ie a
en
odas sus e apas.
Finalmen e,
se
ob u o
la
cu a
de
allo
de
una
inclusión
ci cula
bajo
ca gas ans e sales biaxiales
po
medio
de
la
solución analí ica y
el
MEC.
Se
espe a que
la
cu a
de
allo
de
la
in e az ob enida pa a es e p oblema simpli i-
cado dilucide algunos aspec os
de
la
cu a
de
allo
de
un
ma e ial compues o eal some ido a ca gas ans e sales.
AGRADECIMIENTOS
Los au o es desean ag adece
el
inanciamien o
de
es e
abajo
po
los
p oyec os TRA2006 -08077 y MAT2009
-14022 del Minis e io de Ciencia e Inno ación y los
p o-
yec os
de
excelencia
TEP-
1207, TEP -2045 y
TEP-
4051
de
la
Jun a
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