Caracterización del inicio y crecimiento de grietas de interfaz entre fibra y matriz bajo cargas transversales biaxiales usando el modelo de interfaz elástica lineal-frágil

Anales de Mecánica de la F ac u a 28, Vol. 2 (2011) 565 CARACTERIZACIÓN DEL INICIO Y CRECIMIENTO DE GRIETAS DE INTERFAZ ENTRE FIBRA Y MATRIZ BAJO CARGAS TRANSVERSALES BIAXIALES USANDO EL MODELO DE INTERFAZ ELÁSTICA LINEAL-FRÁGIL L. Tá a a, V. Man ic, E. G aciani, A. Blázquez, F. Pa ís G upo de Elas icidad y Resis encia de Ma e iales, Escuela Técnica Supe io de Ingenie os, Uni e sidad de Se illa. Camino de los Descub imien os s/n, 41092 Se illa. España. E-mail: [email p o ec ed], [email p o ec ed], [email p o ec ed], [email p o ec ed], [email p o ec ed] RESUMEN En el p esen e abajo se es udia el inicio y c ecimien o de una g ie a de in e az en e ib a y ma iz bajo ca gas ans e - sales biaxiales de acción - acción y acción -comp esión. Se conside a un p oblema simpli icado en elación a una lámina unidi eccional eal, con una ib a inme sa en una ma iz cuyas dimensiones ex e nas son mucho más g andes que el adio de la ib a. El obje i o es p edeci po un lado las ca gas de allo (ca gas c i icas) que o iginan el despegue en la in e az pa a dis in as combinaciones de ca gas biaxiales, y po o o lado los ángulos de c ecimien o ines able del des- pegue co espondien es a es as ca gas c í icas. Pa a la esolución de es e p oblema se aplica un modelo de in e az débil que pe mi e el c ecimien o de una g ie a en un modo mix o de ac u a. En es e modelo se conside a una (posiblemen- e ic icia) in e ase, una capa ina de ma e ial en e dos ma e iales adyacen es, ep esen ada median e una dis ibución con inua de muelles, de igidez adecuada. La o u a de es os muelles que abajan con ensiones no males y angenciales es á con olada po una ley de compo amien o elás ica lineal - ágil que se p opone en es e abajo. ABSTRACT In he p esen nume ical s udy he c ack onse and p opaga ion along ib e-ma ix in e ace unde ans e se loads ( ension- ension o ension-comp ession) is cha ac e ized. A simpli ied p oblem o a unidi ec ionallamina is conside ed, wi h a ib e embedded in a la ge ma ix wi h dimensions much la ge han he ib e adius. The aim is o p edic he ailu e loads ( c i icalloads) o igina ing a debond a he in e ace o di e en biaxial combina ions and also he debond angle o uns able g ow h co esponding o hese c i icalloads. The weak in e ace model used allows a c ack g ow h in a ac u e mixed mode. In his model i is assumed ha an in e phase (possibly ic i ious), a hin laye be ween wo adjacen ma e ials, exi s. This in e phase is ep esen ed by a con inuum dis ibu ion o sp ings wi h adequa e s i ness. The ailu e o hese sp ings, ha suppo no mal and angen ial s esses, is con olled by a linea elas ic-b i le cons i u i e law. PALABRAS CLAVE: Ma e iales compues os, Fallo de la ma iz, F ac u a en modo mix o, G ie as de in e az l. INTRODUCCIÓN Uno de los mecanismo de o u a más comunes en lámi- nas unidi eccionales de ma e iales compues os, an e la aplicación de ca gas en la di ección pe pendicula a las ib as, es el denominado allo de la ma iz o allo en e i- b as. Es e mecanismo se ca ac e iza po la apa ición de despegues en las in e aces en e las ib as y la ma iz cuando es á dominado po ca gas de acción. La cone- xión en e los despegues iniciales en las in e aces y la mac o g ie a inal pasa po el c ecimien o de es os despe- gues, con e idos en g ie as de in e az, a lo la go de las p opias in e aces, su des ío pos e io pa a in e na se en la ma iz, y la coalescencia inal de las g ie as p o enien- es de dis in as in e aces [1, 2, 3]. El p oblema de una inclusión ci cula (2D) o cilínd ica (3D) inme sa en una ma iz elás ica con un despegue pa - cial en su in e az (modelado como g ie a de in e az) so- me ida a una ca ga uniaxial en el in ini o ha sido es u- diada p o undamen e en el pasado, una e isión de los abajos más impo an es se puede encon a en [3]. Pa a el es udio de es e p oblema se usa on di e en es mode- los basados en la Mecánica de la F ac u a Elás ica Lineal (MFEL) [4], así como Modelos Cohesi os de F ac u a (MCF) [5], mas ecien emen e ambién se ha usado el modelo basado en la Mecánica de la F ac u a Fini a [6] y el Modelo de in e az elás ica lineal- ágil ( ambién co- nocido como in e az débil) desa ollado po los au o es de es e abajo. En el p esen e abajo se ex iende el mo- delo de in e az elás ica lineal- ágil desa ollado en [3]. Así, el nue o modelo se ige po una ley de compo a- mien o que iene en cuen a la a iación de la ene gía de ac u a con la mix icidad del modo de ac u a, pe mi- iendo incluso la iniciación y c ecimien o de g ie as en modo 11 pu o. 2. INTERFAZ DÉBIL. UN MODELO ELÁSTICO LINEAL -FRÁGIL El modelo de in e az débil se ca ac e iza po simula el compo amien o de jun as adhesi as o de in e aces en e dos ma e iales po medio de una dis ibución con inua de muelles de igidez adecuada [7, 8]. Se ha p obado que el Anales de Mecánica de la F ac u a 28, Vol. 2 (2011) 566 compo amien o de la in e az ib a-ma iz en un ma e ial compues o puede desc ibi se azonablemen e po medio del modelo de in e az débil [2, 9]. 2.1. Ley de compo amien o de la dis ibución de mue- lles El modelo de in e az débil es conside ado un modelo simple y ú il de una ina capa lineal elás ica en e dos su- pe icies. La capa sin daño (conside ada como un sólido lineal elás ico con el módulo de Young Ee, el coe icien e de Poisson e, el módulo angencial J.l. , la cons an e de Lam.é ~. el ancho w y un pequeño espeso h) se puede modela como una dis ibución con inua de muelles. Es ú il acla a las elaciones en e los pa áme os de la ca- pa isó opa (Ee, e, Je.~. h) y los pa áme os de la ley de compo amien o de los muelles esc i a en é minos de una ley de ensión no mal s. desplazamien o ela i o no mal, c = k,.o,., y una ley de ensión angencial s. desplaza- mien o ela i o angencial, T = k161• Teniendo en cuen a que en una capa ina en e dos sólidos se conside a que una comp esión o acción en la di ec- ción 1 o igina una expansión nula en las di ecciones 2 y 3, i.e., 142 = u3 = O [2], los alo es de k,. y k, se exp esan como: k,. = 2J.1. + ~ = E~ = Ee(l - e) , (l) h h(l - ~ 2 ) h(l + e)(l - 2 e) I = Jl "1 h' donde E/ = Ee/(1 - ¡) and ~ = e (l - e). (2) De las ecuaciones (1) y (2) se ob iene la elación k k,.: k, J.l. 1 - ~ 1 - 2 e = = = k,. 'lp.e + ~ 2 2(1 - e) (3) donde O~ k k,. < 0.5. Es impo an e menciona que si conside amos una capa muy ina con espeso endien e a ce o, h --+ O, un alo cons an e de k,. implica, e (1) y (2), alo es del módu- lo de Young que ienden a ce o, Ee --+ O, mien as que alo es cons an es de Ee implican alo es c ecien es de k,., k,. --+ oo. Si se conside a que la capa es o ó opa, la elación k !k,. no end á las es icciones an e io men e mencionadas. 2.2. C i e io de allo de la in e az El modelo de in e az débil implica la ausencia de singu- la idades en ensiones en el é ice de la g ie a. El daño y/o o u a de una po ción de es a capa es modelada co- mo un disminución ab up a (desapa ición) de ensiones de acción y angenciales en esa po ción de la capa, lo que conlle a a una sepa ación/deslizamien o en e ambas supe icies cuando un pun o alcanza el limi e de o u a (en el plano (u, T)). Los lími es de las ensiones no males y angenciales (e e and Te) dependen de la mix icidad del modo de ac u a que en el p esen e abajo se ca ac e iza po el ángulo 1/FG (basado en la ene gía de de o mación) de inido en [2, 3]. La dis ibución con inua de muelles que modela la in e - az es gobe nada po una ley elás ica lineal- ágil, esc i a pa a un pun o x de la in e az, mos ado ambién en la Figu a 1: In e az lin. -elas . In e az o a { c (x) = k,.o,.(x) 6,.(x) :!:> Ónc(I/FG(x)) y T(x) = k1 61 (x) ló,(x)l :!:> Ó c(I/FG(x)) { CT(x) = ( ~ó,.(x) (x) =O ó,(x) >O o,(x) ~o (4) donde CT(x) y T(x) son, espec i amen e, las ensiones no - males y angenciales en la capa elás ica, ó,.(x) y i,(x) son, espec i amen e, los desplazamien os ela i os no males y angenciales en e pun os opues os de la in e az. ó,(x) y 61(x) ambién son conside ados como los alo es de la ape u a y el deslizamien os en e las supe icies de la in- e az. k,. y k, son las igideces no males y angenciales de la dis ibución de muelles. In e az elás ica lineal- ágil T T/..'I'GJ ············ -o o o o :aBJ,.cl 6 J.'I'~ o o o o ' ·············· ···· -T/..'I'GJ (a) 6n(x) ~ Ó u:(I/IG) (b) ló (x)l ~ ó c(I/IG) In e az o a a T o (e) (d) Figu a 1: Ley elás ica lineal- ágil en la in e az sin daño (a) nonnal y (b) angencial; y ley elás ica lineal- ágil en la in e az o a (e) no mal y (d) angencial. Es impo an e no a que los alo es c í icos c c(I/Fo), 6nc(I/Fo), Tc(I/Fo) y Ó cCI/Fo) son unciones del ángulo que de ine la mix icidad del modo de ac u a 1/JG en un pun o de la in e az. Po ello, es posible ob ene di e en es a- lo es de es as a iables c í icas en di e en es pun os de la Anales de Mecánica de la F ac u a 28, Vol. 2 (2011) 567 in e az. Se puede de ini además que el "muelle" en un pun o se ompe cuando ó,. ó ó1 alcancen su alo c í ico, ónc(l/lo) ó Ó c(i la). En ese momen o la igidez angencial se uel e ce o en ese pun o y como consecuencia de ello T(i lo(x)) ambién se hace ce o. Sob e la ley elás ica lineal- ágil no mal cuando una po - ción de in e az se ha o o, el desplazamien o nonnal ne- ga i o, 6 11 < O, es es ingido po medio de una condición de con ac o elás ico sin icción, e ecuación ( 4) y Figu a l(c). El uso de la condición de con ac o elás ico sin ic- ción es a basado en la idea de que una ez que la in e ase asumida se ompe, po ciones de es a capa pe manecen en las supe icies de los sólidos adyacen es. Así, cuando es- as supe icies en an en con ac o, pa ece azonable que es as po ciones puedan comp imi se con la misma igi- dez que enían en di ección no mal an es de ompe . El c i e io de allo de la in e az es á basado en el concep- o de ene gía uni a ia libe ada. La ene gía uni a ia libe a- da en el modelo de in e az elás ica lineal- ágil es á de- inido como la ene gía de de o mación almacenada po unidad de longi ud en el muelle ubicado en el é ice de la g ie a sin ompe (segmen o in ini esimal de la in e - az si uado en el é ice de la g ie a) como se demues a en [8] y ecien emen e de mane a independien e en [10]. Así, la ene gía de de o mación pa a una g ie a en modo núx o en una in e ace elás ica lineal se de ine como: UÓ 11 TÓ G=G¡+Gu= 2+2 . (5) Los de alles de la deducción del c i e io se pueden encon- a en [2, 3], donde inalmen e se llega a la exp esión ge- ne al de la ensión c í ica no mal y desplazamien o c í ico no mal como unciones del ángulo i la: Uc(l/lo) =eTc ~l + an 2 [(1- J.)i lo]. cosi la, (6) Ónc(l/lo) = Uci~G). (7) donde an 2 i lo = Gu/G 1, J. es un pa áme o de sensibili- dad del modo de ac u a (un ango ípico de 0.2 ~ J. ~ 0.3 ca ac e iza una in e az que depende de mane a mo- de ada del modo ac u a). i e es la ensión c í ica no mal alcanzada cuando el muelle ompe en modo l. Es deci , iTc = Uc(Oo). De mane a simila a (6) y (7), la ensión c í ica angencial y el desplazamien o c í ico angencial se puede exp esa en é minos de i lo, como: Tc(i lo) = ~eTc ~l + an 2[(1 -J)i la]. sin i lo (8) Ó c(i lo) = Te o). (9) El g á ico del lími e de allo de la in e az pa ame izado po las ecuaciones ( 6) y (8) se mues a en la Figu a 2, pa a un alo de k,/ k,. = 4. Las ensiones c í icas no males y angenciales en modo mix o han sido no malizadas con el alo de la ensión no mal c í ica en modo I, iTc. En s -------------~--------n . =O (a, _IV' < )l1", <!'u) J u,¡ a,~ -1.5 -l -0.5 o 0.5 i c Figu a 2: Cu as de allo de la in e az en el plano (u, T) pa a di e en es alo es de J. con k,./ k,= 4. la Figu a 2 se puede obse a como el c i e io es capaz de p edeci la iniciación de g ie as, incluso si apa ecen comp esiones en el é ice de la g ie a (g ie a ce ada). 3. INCLUSIÓN CILÍNDRICA SOMETIDA A CAR- GAS BIAXIALES 3.1. Con igu ación del p oblema El p oblema de una inclusión cilínd ica ( ep esen ando una ib a) den o de una ma iz elás ica bajo ca gas de en- sión en el in ini o, con o sin despegue pa cial a lo la go de su in e az ha sido es udiada po muchos in es igado es, e e e encias en [1, 3, 4, 6]. -® u"' J A u"' ~ % +- +- lnclullon X -- - ¡u"' y (a) Figu a 3: Con igu ación del p oblema de inclusión bajo ca gas ans e sales biaxiales (a) sin y (b) con un despe- gue pa cial. En es e abajo se conside a una inclusión cilínd ica in- ini amen e la ga, con una sección ci cula de adio a, den o de una ma iz in ini a, Figu a 3. La ma iz y la inclusión son conside ados ma e iales isó opos lineales. (x,y, z) y ( , 8, z) son las coo denadas ca esianas y cilínd i- cas, siendo el eje z el eje longi udinal de la inclusión, y los ejes x e y pa alelos a las di ecciones donde se aplica la ca ga. En el p esen e es udio se conside an las siguien es ca gas biaxiales u'; ~ O y c ';' = ¡o-';, donde ¡ ~ l. El semiángulo de despegue se denomina como 8d. Además, se supone un es ado de de o mación plana en el sis ema. Anales de Mecánica de la F ac u a 28, Vol. 2 (2011) 568 3.2. Soluci6n anaU ica pa a la in ei az sin daño Gao [9] desa olló una solución gene al pa a p oblemas con una inclusión ci cula que incluye una capa lineal elás ica bajo una ca ga aplicada en el in ini o. Los ma e- iales se conside an isó opos con p¡, K¡, J.l,., y K,. como las p opiedades de la inclusión W y la ma iz (m) espec i a- men e. Además, p el módulo angencial, p = E /2(1 + ), y K = 3 - 4 pa a la de o mación plana, donde es el coe icien e de Poisson. Tomando como base la unción de Ai y p esen ada en [9] se ob ienen las siguien es ex- p esiones pa a una ca ga c ; en el in ini o ( ¡ = 0). a":k,a(l + K,.)[A + BC cos(28)] (10) lT(x =a, U)= 2AC , a":k 1 a(l + K,.)[D sin[28]] T(x = a,(}) = 2A donde A= 12~ + l-k,k,(Km + 1)(1 + K¡l) + a¡J.,.(k, + k,)(l + 3Km + (3 + K¡) ), B = 6pm + ak,(l + K¡ ), C = 4¡.l,. + ak 11 (2 + (K¡ - 1)1), D = 6J,lm + ak 11 (1 + K¡l), con = J.lmiJ.li· 4. SOLUCIÓN NUMÉRICA (11) (12) (13) (14) (15) Es impo an e menciona que aunque el p oblema es simé ico (geome ía y ca gas) la iniciación y c ecimien- o de la g ie a de in e az es no-simé ica, como se puede obse a en e idencias expe imen ales, e [4]. Así, aun- que algunos au o es hagan uso de la sime ía pa a es udia es e p oblema, en el p esen e abajo se modela oda la in- clusión pa a e la capacidad del modelo de ep esen a el compo amien o no-simé ico. 4.1. Modelo del Mé odo de los Elemen os de Con o no (MEC) Pa a es e es udio se ha escogido un sis ema bi-ma e ial ípico en e los ma e iales compues os e o zados con i- b a: ib a de id io y ma iz epoxi, Em = 2.79 GPa, V m= 0.33, E¡ = 70.8 GPa y ¡ = 0.22 son las p opiedades elás icas de la ma iz y la ib a espec i amen e. Los alo es de los pa áme os bi-ma e ial de Dundu s ob enidos son, a = 0.919 y 3 = 0.229, y el alo del módulo de elas icidad e ec i o (media a mónica) en de- o mación plana, E* = 6.01GPa, de inido en [1, 6, 11]. Los alo es c í icos de la in e az ib a-ma iz en mo- do I usados en el p esen e abajo son: enacidad a la ac u a, G1c = 2Jm- 2, y el alo de la ensión c í ica ii"c = 90MPa, pm. También se de ine, una longi ud ca- ac e ís ica del bi-ma e ial G¡ cE* ao = ----=2 = 1.48JliD, uc (16) y un pa áme o es uc u al adimensional que ca ac e iza la agilidad de la in e az, 1' = .;.._ ~GlcE* = {ac; = 0.44, (17) U e a '/--; de inido en [6]. El alo de k,. = 2025MPa pm es ob e- nido median e la o mula k, = i l;!(2G¡c). Finalmen e se escoge una elación cons an e en e k 11 y k, (k, = k,./4). Es e alo es ob enido asumiendo la p esencia de un ma- e ial ic icio, una capa muy ina p esen e en e la ib a y la ma iz, modelada po el modelo de in e az débil cu- yo coe icien e de Poisson es V = 0.33 (simila al de la ma iz) de acue do con (3). El modelo MEC ep esen a una inclusión cilínd ica con un adio a =1 .5 pm den o de una ma iz cuad ada e- la i amen e g ande con lados iguales a 1 mm. Se usa on 1472 elemen os de con o no lineales: 32 elemen os pa a el con o no ex e no de la ma iz y dos mallas uni o mes de 720 elemen os pa a modela la in e az ib a-ma iz (es deci , el ángulo pola de cada elemen o es O.SO). 4.2. E ec o de 11 En es e es udio se oma un alo del pa áme o de sensi- bilidad J = 0.3. En la Figu a 4 se p esen an los esul ados pa a di e en es alo es de ¡, 11 = -1, -0.5, O, 0.5, 1, que ca ac e iza di e en es ca gas biaxiales. En la pa e (a) de la Figu a 4 se p esen a la ca ga emo- a aplicada en el eje x, c ;, como unción del desplaza- mien o no mal ela i o (ape u a), 6 11 , e aluado en el pun- o A( a, O) de inido en la Figu a 3(a). El alo de la ensión (mínima) que es necesa ia pa a causa el inicio de la g ie- a (en o as palab as, la ensión necesa ia pa a ompe el p ime pun o, el p ime muelle, en el modelo disc e o de in e az) es llamado ensión c í ica, O:, y co esponde al máximo local de las unciones p esen adas en la igu a mencionada. También se puede obse a en es as igu as que luego de alcanza es a ensión c í ica, 0:. el c eci- mien o de la g ie a se oma ines able, equi iendo alo es meno es de ca ga aplicada pa a que c ezca la g ie a. Es e enómeno de ines abilidad p esen e en odos los casos es llamado "snap- h ough". En la pa e (b) de la Figu a 4 se p esen a la ensión (míni- ma) aplicada en el eje x, c ;, necesa ia pa a causa el c ecimien o de la g ie a e sus el semiángulo de despe- gue 84 (de inido en la Figu a 3(b)). Cabe des aca que de es a igu a es posible ene una es imación del alo , Be. alcanzado po el semiángulo de despegue 84 una ez e - minado el c ecimien o ines able de la g ie a, y ambién de la ca ga O:, que p oduce el c ecimien o. Son des acables los casos en que se aplican acciones en ambos ejes, ob- eniéndose semiángulos de despegues mayo es a 90° lo que implica que el despegue de la ib a es casi comple o. Respec o a la in luencia del coe icien e de biaxilidad ¡, es Anales de Mecánica de la F ac u a 28, Vol. 2 (2011) 569 100 90 80 70 ~·60 "' ... g 50 ' b" 40 30 20 10 o o 100 90 80 70 "' 60 o. ,. "" ~ - 50 b 40 30 20 10 o o snap h ough - 1]=-1 1] =-0.5 -1]-0 -1]- 0.5 - Tj= 1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 o. (Ji i) (a) snap h ough ' : A i ,.;-:::::: : ' ...................... : .... :.- I /&'" ,. .. , 20 40 60 80 100 120 140 160 a. <•> (b) Figu a 4: Resul ados numé icos ob enidos po el MEC (a) ensión aplicada en el eje x en unción de los des- plaz nien os ela i os Ón en el pun o A, e Figu a 3, y (b) ensión aplicada en el eje x e sus el semiángulo de despegue (}d pa a di e en es casos de ca gas biaxiales. in e esan e obse a que al aplica una ca ga de comp e- sión mayo en el eje y y man eniendo cons an e la ca ga de acción en el eje x (1J iende a alo es nega i os mayo- es), el alo de la ensión c í ica U:. disminuye. Es deci que las comp esiones en el eje y a o ecen la iniciación de la g ie a con ca gas meno es, además de disminui el semiángulo c í ico 8c, e Tabla l. Po o o lado al aplica una ca ga de acción mayo en el eje y y man eniendo cons an e la ca ga de acción en el eje x ( ¡ iende a alo es posi i os mayo es), el alo de la ensión c í ica U:. aumen a. En o as palab as la p e- sencia de acciones en el eje y hace necesa io el uso de ca gas más g andes pa a la iniciación de la g ie a, además de aumen a el semiángulo c í ico Oc, e Tabla l. 4.3. E ec o del amaño del adio de la inclusión Haciendo uso de la solución analí ica ob enida, ecuacio- nes (10) y (11), y aplicando el c i e io de allo del modelo Tabla 1: Ca gas que p oducen la iniciación de la g ie a en el eje x, o-~. y semiángulo c i ico, 8c, pa a di e en es alo es de ¡. 1J -1 -0.5 o 0.5 1 o-~ (MPa) 51.9 56.6 62.3 69.2 77.8 cT;,/ii"c 0.573 0.629 0.692 0.769 0.864 (Jc e> 58.25 63.25 72.75 95.25 146.0 de in e az elás ica lineal- ágil es posible ob ene una so- lución analí ica de es e p oblema [3]. 3 ,. ------------------, 2.5 2 0.5 o o 2 3 ala 0 - T] = -1 T] = -0.5 - ]= o - ]= 0.5 - ]= 1 4 5 6 Figu a 5: Compa ación de los esul ados ob enidos po el MEC y la solución anal( ica. E ec o del amaño de la inclusión sob e la ensión que p oduce la iniciación de la g ie a, U:.. como unción de a/ao. En la Figu a 5 se puede obse a la dependencia de la ca ga c í ica en el eje x, o-~. con espec o al amaño de la inclusión. En es e g á ico los alo es de U:. han sido no malizados con el alo de la ensión no mal c í ica de la in e az en modo 1, iT c. y los alo es del adio de la inclusión han sido no malizados con el pa áme o ao . Cada uno de los pun os p esen es en la Figu a 5 ep esen- an soluciones ob enidas po el MEC, mien as que las líneas con inuas ue on ob enidas con la solución analí i- ca. 4.4. Cu a de allo Con los desa ollos y esul ados ob enidos es posible e- p esen a una cu a de allo pa a una inclusión ci cula some ida a ca gas biaxiales ans e sales, e Fig. 6. Se puede asumi que el a ea cuasi- iangula de inida po las cu as de allo es una zona segu a. Es des acable no a que pa a casos con un alo de '11 den- o del ango ~ -4 :s; 1J < 1, el pun o donde se cumple el Anales de Mecánica de la F ac u a 28, Vol. 2 (2011) 570 Figu a 6: Cu a de allo de una inclusión ci cula bajo ca gas biaxiales ans e sales. c i e io de allo, y po ende po donde empieza el allo de la in e az, se encuen a en (} = O (pun o A de la Figu a 3(a)). Sin emba go cuando la comp esión se hace mayo el p ime pun o de allo apa ece en un pun o di e en e al pun o A, haciendo que la cu a de allo se des íe lige a- men e (linea oja en Figu a 6). La linea azul p esen e en la Figu a 6 es aquella ob enida asumiendo que el pun o inicial de allo se á siemp e el pun o A. S. CONCLUSIONES Aunque es ic amen e hablando no exis a una in e ase -una capa de adhesi o- en e la ib a y la ma iz, el mo- delo de in e az débil ha mos ado que puede se aplicado pa a es udia el compo amien o del sis ema ib a-ma iz some ido a ca gas biaxiales. Se obse ó que con el c i- e io de allo u ilizado se pueden ob ene esul ados bas- an e ap oximados a los que se espe an en la ealidad. Los esul ados ob enidos son aco des con esul ados ex- pe imen ales biaxiales [12], donde un inc emen o en las ca gas de comp esión (como ca gas secunda ias) conlle- a una disminución de la ca ga de allo en acción (do- minan e). Se ha ex endido la aplicación de la solución analí ica desa ollada en [3] pa a ob ene esul ados en casos de ca gas biaxiales. Los esul ados ob enidos po el MEC además de da nos las ca gas c í icas de allo am- bién nos pe mi en ob ene el amaño inicial de las g ie- as p oducidas po es as ca gas c í icas. El código MEC ha p obado se una he amien a po en e que nos pe mi e modela el c ecimien o de la g ie a en odas sus e apas. Finalmen e, se ob u o la cu a de allo de una inclusión ci cula bajo ca gas ans e sales biaxiales po medio de la solución analí ica y el MEC. Se espe a que la cu a de allo de la in e az ob enida pa a es e p oblema simpli i- cado dilucide algunos aspec os de la cu a de allo de un ma e ial compues o eal some ido a ca gas ans e sales. AGRADECIMIENTOS Los au o es desean ag adece el inanciamien o de es e abajo po los p oyec os TRA2006 -08077 y MAT2009 -14022 del Minis e io de Ciencia e Inno ación y los p o- yec os de excelencia TEP- 1207, TEP -2045 y TEP- 4051 de la Jun a de Andalucía. REFERENCIAS [1] F. Pa ís, E. Co ea, and V. Man i~. Kinking o ans e se in e ace c acks be ween ibe and ma- ix. Jou nal o Applied Mechanics, 74:703-716, 2007. [2] L. Tá a a. Damage Ini ia ion and p opaga ion in composi e ma e ials. Bounda y elemen analy- sis using weak in e ace and cohesi e zone models. PhD Thesis . Uni e sidad de Se illa: Se illa, 2010. [3] L. Tá a a, V. Man ic, E. G aciani, and F. Pa ís. BEM analysis o c ack onse and p opaga ion along ibe -ma ix in e ace unde ans e se ension using a linea elas ic-b i le in e ace model. 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