Implemen acion y análisis de mé odos numé icos basados en
lujo po encial con aplicación en u bomáquinas
R. Chaca egui, A. Ca pin e o, J.L. Can ado , A. Muñoz
Escuela Supe io de Ingenie os. Camino de los Descub imien os, S/N
41092 Se illa(España). Tl no:0034954487242; Fax:0034954487243
E-mail: [email p o ec ed]
Resumen.
Es e a ículo abo da la esolución de lujos no iscosos y en pa icula su aplicación al
es udio de cascada de álabes. Pa a ello se analiza án modelos de lujo po encial esol iendo
la ecuación de Laplace median e di e en es a iaciones del mé odo de los Paneles.
Se ha ealizado una alidación de los esul ados ob enidos pa a pe iles aislados con alo es
expe imen ales ob enidos po la NACA. Además, se ha ealizado un es udio compa a i o
en e los dis in os esul ados ob enidos con los di e en es mé odos de los paneles
implemen ados(Sou ce, Vo ex y Sou ce-Vo ex).
Una ez comp obada la bondad de los dis in as a ian es del mé odo de los paneles pa a
pe iles aislados se ha ampliado el mé odo a cascadas de álabes y se ha ealizado ambién
una alidación con alo es expe imen ales ob enidos de la bibliog a ía.
Abs ac .
In his wo k an analysis o di e en panel me hods applied o u bomachine y has been
p esen ed, wi hin he condi ions o po en ial low as well i s beha iou wi h di e en
shapes and i s ad an adges and incon enien s applied o ae odynamics p o iles. Finally
one o hese me hods ha e been ex ended and co ec ed o he analysis o comp esso
cascades
Keywo ds: Panel me hods, comp essible po en ial lows, u bomachiney cascades
1.Teo ía de lujo po encial.
Se de ine como lujo po encial aquel que ocu e en ausencia de o ación. Es o ocu e
cuando la o icidad es nula. Es a iene de inida como:
k
jk
ijkix
u
w
w
HZ
(1)
Si la elocidad de i a de un po encial escala (
I
 V
) se cumple la condición de lujo
po encial. En pa icula pa a lujo incomp esible, si se sus i uye la exp esión de la
elocidad en unción del po encial de elocidad en la ecuación de con inuidad:
0
2  
II
(2)
ob eniendo la ecuación de Laplace pa a el po encial de elocidades I, ecuación en
de i adas pa ciales ipo elíp ica cuya solución equie e los alo es de I en los con o nos
(condición de con o no ipo Di ichle ) o bien de sus de i adas en los mismos (condición
ipo Neumann) o bien combinaciones de ambos.
En el caso de lujo no iscoso es aciona io pa a gas se ienen las siguien es ecuaciones
de con inuidad y can idad de mo imien o:
0
)(
w
w
i
i
x
u
U
(3) j
k
j
k
dxj
p
x
u
u
w
w
w
U
1 (4)
Desa ollando la exp esión de la ecuación de la con inuidad en sus de i adas, eniendo
en cuen a
ii x
p
px w
w
w
w
w
w
UU
,donde 2
1
a
p
w
w
U
,y dado que el é mino de la p esión se puede
ob ene despejando de la ecuación de can idad de mo imien o, se llega a una exp esión
de la ecuación de con inuidad:

0
2222
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
w
w

w
w

w
w

w
w
y
u
y
u
u
y
a
x
u
au (5)
Si el lujo es po encial:

02
2
2
2
22
2
2
22
ww
w

w
w

w
w
yx
u
y
a
x
au
III
(6)
En es e abajo se busca la aplicación a pe iles ae odinámicos delgados con pequeñas
pe u baciones en el lujo, po lo que den o de de e minados angos se pueden asumi
las siguien es hipó esis 1
III
 (donde 1
II
!!
) ; 1
uuu  ;1
llegando a la exp esión:

01 2
12
2
12
2
w
w

w
w
 yx
M
II
(7)
Realizando un cambio de a iables adecuado en es a exp esión llegamos a la ecuación
de Laplace que eníamos pa a lujo incomp esible.
2.Desa ollo del mé odo de los paneles.
El mé odo de los paneles consis e en la esolución de es as ecuaciones al ededo de
cue pos de geome ía a bi a ia (en nues o caso bidimensionales). Se basa en la
disc e ización del con o no, y dado que la ecuación de Laplace es lineal, ob ención de la
solución del campo luido como supe posición de las soluciones de di e en es
p oblemas pa icula es.
Siguiendo el desa ollo dado en [1-2] se ob iene que el po encial en un pun o P’ del
dominio luido puede se exp esado como:

³³ ¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§¸
¹
·
¨
©
§
w
w

C
S
dS
n
P11
4
1
'
JO
S
II
(8)
La exp esión dada en (8) se puede e como la combinación de un lujo uni o me (
I
),
un é mino uen e (O) y un é mino ó ice (J) es ando p esen es según el esquema de
esolución empleado odos o sólo pa e de es os é minos.
El p oblema se educe a encon a los alo es de las incógni as,
O
y
J
, pa a una
geome ía especi ica y pa a una co ien e lib e dada,
I
. Pa a ello se disc e iza el
con o no en una se ie de elemen os o paneles den o de los cuales se asume una ley de
a iación de es as incógni as, y se plan ea pa a cada elemen o del con o no el e ec o que
iene en el po encial en cada uno de los elemen os del con o no empleando (8). Es o da
luga a un sis ema de ecuaciones algeb aicas con incógni as los alo es de
O
y
J
en
cada uno de los elemen os del con o no.
La p ime a e apa den o de es e abajo ue implemen a y analiza es a iaciones
di e en es del mé odo de los paneles pa a ob ene el lujo en álabes aislados (Figu a 1).
La di e encia en e ellas adicaba en la modelización del po encial sólo con é minos
uen e, ó ice o ambos simul áneamen e.
Los pasos a ealiza de o ma gené ica pa a cada uno de es os mé odos:
1. Disc e ización de la supe icie en paneles.
2. Esc ibi las elocidades ui, i en unción de las con ibuciones de cada panel
eniendo como incógni as los alo es de los coe icien es, conside ados es os
cons an es (o con a iación lineal) en cada panel y esol iendo las in eg ales
co espondien es.
11
cos ij ij
NN
pjsj
jj
uV u u
DO J

¦¦
11
sin ij ij
NN
pjsj
jj
V
DO J

¦¦
(11)
3. Cálculo de los coe icien es de in luencia de unos paneles sob e o os pa a
gene a los sis emas de ecuaciones algeb aicas. Se án unción de la posición de
los mismos y hab á que in eg a las exp esiones ob enidas.
,1
*1ln
2
ij
ij
s
ij
u
S

§·
¨¸
¨¸
©¹
; *
2
ij
ij
s
E
S
; *
2
ij
ij
u
E
S
; ¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§

ij
ji
ij
1,
*ln
2
1
S
(10)
4. Añadi la condición de Ku a-Joukowski al bo de de es ela, asegu ando que en el
bo de de es ela la in ensidad de los ó ices en los paneles supe io e in e io sea
igual y de signo opues o.
5. Co ección de la diagonal in e sa.
V V

s
J
V

s
J

s
O
N
+1
1
2
N
N
ˆ
1
ˆ
Mé odo sou ce Mé odo o ex Mé odo sou ce- o ex
Figu a 1
Figu a2
Es a co ección es necesa ia ealiza la dada la dispe sión en amaños de los paneles
según las zonas en que se encuen en dando luga a ma ices mal condicionadas[3].
El p ocedimien o ecomendado pa a co egi es e p oblema ue ideado po Jacob y
Riegels [4] quienes p opusie on hace ce o la ci culación in e io pa a cada una de
las columnas del sis ema.
6. Resol e el sis ema esul an e pa a calcula los coe icien es.
7. Dados los coe icien es, esc ibi las ecuaciones pa a la elocidad angencial en
cada pun o de con ol del panel y de e mina la dis ibución de p esión usando la
elocidad angencial en cada panel.
4. Compa ación mé odos sou ce, o ex y sou ce- o ex.
De la múl iple in o mación analizada se obse ó que el mé odo sou ce daba esul ados
buenos pa a pe iles simé icos y no excesi amen e delgados, allando ue a de es os
casos. En la Figu a 4 se mues an la dis ibución del coe icien e de p esiones pa a un
pe il NACA 4412 ob enida empleando cada uno de los mé odos, obse ándose la
p ecisión de los mé odos o ex y sou ce- o ex con los esul ados expe imen ales
ob enidos de [3-6].
-1,E-04
0,E+00
1,E-04
2,E-04
3,E-04
4,E-04
5,E-04
6,E-04
010
0
20
0
30
0
40
0
50
0
60
0
Núme o de Paneles
CD
Sou ce
Vo ex
Sou ceVo ex
En cuan o a los mé odos o ex y sou ce- o ex se ob iene una ele ada p ecisión den o
del ango de alidez del lujo po encial (ángulo de incidencia que no p oduzca
desp endimien o de capa lími e). En la Figu a 5 se ep esen an los esul ados del
coe icien e de sus en ación expe imen ales pa a ambos mé odos a iando el ángulo de
a aque pa a dos pe iles.
Figu a 3 Figu a 4
NACA 4412 a=1.525 - Da os
E
NACA
4412
-4,0
-3,5
-3,0
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
00,20,40,60,81
x/c
Cp
NACA 4412 a=1.525 - Sou ce
NACA 4412 a=1.525 - Vo ex
NACA 4412 a=1.525 - Da os Exp.
NACA 4412 a=1.525 - Sou ceVo ex
Finalmen e analizando el núme o de paneles necesa io pa a una ele ada p ecisión se
obse ó que el mé odo o ex necesi aba meno núme o de paneles que el sou ce-
o ex, como ejemplo la con e gencia a ce o del coe icien e de esis encia en pe il
simé ico en lujo no iscoso que mues a la Figu a 4. Po ello, pa a implemen a el
mé odo en cascadas de álabes elegimos el mé odo o ex.
5. Aplicación a cascadas de álabes.
El p oceso seguido en la aplicación del mé odo de los paneles a cascadas de álabes es
idén ico al seguido en el apa ado 3 de o ma gené ica sal o que además se in oduce
el e ec o de unos álabes sob e o os con la des iación que iene sob e el lujo y la
modi icación que iene sob e los iángulos de elocidades a la salida Figu as 6a y 6b.
a)
b)
c)
Pun o de emanso
Línea de co ien e de
emanso
x
y
ab
dc
2
Vs

*

2
Vs

*
Asimismo se in oduce la condición de shock- ee o malmen e idén ica a la condición
de Ku a-Joukowski, pe o pa a la incidencia a la en ada asegu ando una a iación
sua e a la en ada Figu a 6b. En las Figu as 7 a 9 se p esen an los esul ados ob enidos
con el mé odo pa a di e en es con igu aciones. Es os esul ados mues an una buena
conco dancia con los esul ados expe imen ales ob enidos de [6] empeo ando a medida
w2
w
w1
E
V
2
s

*
2
s

*

2
E
Figu a 6b
Figu a 6a
Figu a 5
-0,50
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
-5,0º 0,0º 5,0º 10,0º 15,0º 20,0º 25,0º
Ángulo de a aque
a
CL
CL, NACA 0012 - Vo ex
CL, NACA 0012 - Sou ceVo ex
CL, NACA 0012 - Da os Exp
CL, NACA 4412 - Vo ex
CL, NACA 4412 - Sou ceVo ex
CL, NACA 4412 - Da os Exp
Figu a 5

que c ece el ángulo de incidencia. En las igu as 7 apa ecen indicados ángulo de calado
E, la elación paso/cue da (s/c) y el ángulo de incidencia D. En las Figu as 8 y 9 se
mues a la de lexión del lujo en unción del ángulo de incidencia.
Bibliog a ía
1. Ka amche i K. P inciples o Ideal-Fluid Ae odynamics, John Wiley & Sons, 1966.
2. Ka z and Plo kin, A. Low-Speed Ae odynamics F om Wing Theo y o Panel Me hods,
McG aw-Hill, Inc., New Yo k 1991.
3 Lewis, R.I. Tu bomachine y Pe o mance and Analysis, John Wiley & Sons, 1996.
4 Jacob, K and Riegels, F.W., The calcula ion o he p essu e dis ibu ions o e ae o oil
sec ions o ini e hickness wi h and wi hou laps and sla s. X. Flugwiss, 11(9). R.A.E.
T ansla ion No.1101, 1965.
5. NACA Repo nº 465 , I.E. Ga ick June 1933
6. Eme y, J.C, He ig, J.L. e als, , “Sys ema ic wo-dimensional cascade es s o NACA
65-Se ies comp esso blades a low speeds”” NACA Repo 1368 4322, 1957.
-8
-4
0
4
8
12
16
40 45 50 55 60 65
Angulo de A aque (G ados)
e G ados
Da os Expe imen ales
Da os P og ama
-10
-5
0
5
10
15
25 30 35 40 45 50
Angulo de A aque (G ados)
e G ados
Da os Expe imen ales
Da os P og ama
Figu a 8 ángulo de salida cascada
pe iles NACA 65010 pa a di e en es
ángulos de incidencia D
E1=60º c/s=1.5
Figu a 9 ángulo de salida cascada
pe iles NACA 65010 pa a di e en es
ángulos de incidencia D
E1=45º c/s=1
Figu a 7 coe icien e de p esiones
cascada pe iles NACA 65010 pa a
di e en es ángulos de incidencia D
E1=60º c/s=1
0,0
0,8
1,6
2,4
00,20,40,60,811,2
0,0
0,8
1,6
2,4
00,20,40,60,811,2
0,0
0,8
1,6
2,4
00,20,40,60,811,2
0,0
0,8
1,6
2,4
00,20,40,60,811,2
0,0
0,8
1,6
2,4
3,2
4,0
00,20,40,60,811,2
0,0
0,8
1,6
2,4
3,2
4,0
00,20,40,60,811,2
D=0º D=2º
D=4º D=6º
D=10º D=16º