Reglas Iguali a ias Res ingidas pa a P oblemas Globales de Banca o a
Reglas Iguali a ias Res ingidas pa a
P oblemas Globales de Banca o a
Sánchez Sánchez, F ancisca J. ( [email protected])
Economía, Mé odos Cuan i a i os e His o ia Económica
Uni e sidad Pablo de Ola ide
Má mol Conde, Ampa o M. ([email p o ec ed])
Economía Aplicada III
Uni e sidad de Se illa
Hinojosa Ramos, Miguel A. (mahin [email protected])
Economía, Mé odos Cuan i a i os e His o ia Económica
Uni e sidad Pablo de Ola ide
RESUMEN
Se analizan p oblemas de epa o en los que los agen es ealizan unas de e minadas
demandas sob e múl iples bienes. En es e con ex o, cada agen e puede mos a sus p e e -
encias, alo ando su epa o global po el mínimo ob enido con espec o a odos los bienes.
El obje i o es p opone y analiza una egla global basada en el p incipio de jus icia según
el equisi o de eciencia leximin que ga an ice epa os no dominados con espec o a las
p e e encias de los agen es.
Palab as cla e:
P oblemas de epa o con múl iples bienes, eglas de epa o iguali a ias,
eciencia leximin.
Clasicación JEL (Jou nal Economic Li e a u e):
C71
Á ea emá ica:
Teo ía de Juegos
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Jo nadas de ASEPUMA y
III
Encuen o In e nacional
1
Sánchez Sánchez, F ancisca J.; Má mol Conde, Ampa o M.; Hinojosa Ramos, Miguel A.
1. INTRODUCCIÓN
Un p oblema clásico de banca o a apa ece cuando hay que epa i una can-
idad (llamada ambién es ado) en e un conjun o de agen es, en los casos en que
es a can idad no es sucien e pa a sa is ace las demandas de los agen es que ienen
adqui idos unos de echos sob e la can idad a epa i . Desde muy an iguo se han
p esen ado p oblemas eales de es e ipo. Son clásicos los ejemplos que apa ecen en
el Talmud babilónico ( e Aumann y Maschle , 1985). Una e isión exhaus i a de
las dis in as eglas de epa o puede e se en Thomson (2003).
Conside amos una ex ensión de los p oblemas de banca o a, en la que se
epa en dis in os bienes en e un conjun o de agen es que eclaman una can idad
dis in a dependiendo del bien que se conside e. En el epa o de múl iples bienes hay
que conside a dos aspec os pa a ealiza el epa o: po una pa e las demandas de
cada agen e sob e los di e en es bienes (como en los p oblemas de banca o a) y po
o a pa e las p e e encias de los agen es con espec o a los esul ados ob enidos
en los di e en es bienes. En elación con el segundo pun o, las p e e encias de los
agen es pueden se adi i as en los bienes, es deci , cada agen e alo a la can idad
o al ecibida con espec o a odos los bienes. El modelo que su ge en es e caso es á
elacionado con el modelo in oducido po Calleja (2005), si se inco po asen es i-
cciones adicionales pa a asegu a que la asignación o al pa a cada bien no excede
el es ado co espondien e.
En es e abajo se conside a el caso en que las p e e encias de los agen es son
leximin, es o signica que cada agen e alo a su epa o global según la o denación
leximin denida en su espacio de pagos.
Basándose en la egla de Igual Ganancia se p opone y analiza una egla de
epa o en el caso de p oblemas de banca o a con múl iples bienes. La egla de
epa o se undamen a en el p incipio de jus icia que se de e mina po la eciencia
leximin.
En la sección 2, se ealiza una ex ensión del p oblema clásico de banca o a
2
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Reglas Iguali a ias Res ingidas pa a P oblemas Globales de Banca o a
inco po ando co as in e io es sob e las can idades que los agen es pueden consegui .
A pa i de una egla clásica de epa o se p opone un p ocedimien o pa a ob ene
epa os en el modelo ex endido. La sección 3, se cen a en una si uación global
pa a la que se p opone una egla global basada en la eciencia leximin y se o mulan
p opiedades gene ales pa a eglas globales.
2. PROBLEMAS DE BANCARROTA CON CO-
TAS INFERIORES
Los p oblemas de banca o a con co as in e io es son p oblemas de epa o en
los que hay que conside a dos aspec os impo an es: po una pa e las demandas
de cada agen e sob e el es ado y po o a un ec o de co as in e io es sob e las
can idades asignadas a cada agen e.
Fo malmen e el p oblema de banca o a con co as in e io es se dene:
Sea
N={1, . . . , n}
un conjun o de agen es. Una si uación de banca o a con
co as in e io es iene ep esen ada po
(E, c,a)
, donde
E∈R+
es el es ado que hay
que epa i en e los agen es,
c∈Rn
es el ec o de demandas y
a∈Rn
es un
ec o de co as in e io es sob e las can idades asignadas a cada agen e. Además, se
es ablece la siguien e condición:
Pi∈Nai< E ≤Pi∈Nci
. Se deno a po
BL
a la
amilia de es e ipo de p oblemas.
Dado el p oblema
(E, c,a)
, un epa o del es ado
E
es un ec o
x∈Rn
que
cumple las condiciones de:
Racionalidad indi idual:
xi≥ai
,
∀i∈N.
Eciencia:
X
i∈N
xi=E
.
En es e con ex o, una egla de epa o es una unción,
, que asocia a cada
p oblema
(E, c,a)
un epa o,
x= (E, c,a)∈Rn
. Nó ese que no necesa iamen e
se cumple que
xi≤ci
,
∀i∈N
.
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Jo nadas de ASEPUMA y
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Encuen o In e nacional
3
Sánchez Sánchez, F ancisca J.; Má mol Conde, Ampa o M.; Hinojosa Ramos, Miguel A.
En la li e a u a se han a ado p oblemas elacionados con el p oblema de
banca o a con co as in e io es. En Pulido (2002) y (2006), se analizan si uaciones
donde hay ince idumb e sob e la alidez de las demandas de los agen es y se consi-
de a un pun o de e e encia exógeno denido según unos c i e ios obje i os que juega
un papel impo an e en el epa o. En su modelo, el pun o de e e encia es á siemp e
dominado po el ec o de demandas de los agen es. En los p oblemas de negociación
analizados en Chun y Thomson (1992), Bosse (1993) y He e o (1998), se incluye
un pun o de desacue do jun o con un pun o de e e encia ue a del conjun o ac ible,
que domina el pun o de desacue do.
En con as e con los abajos an es mencionados, en el p oblema de banca o a
con co as in e io es que aquí se p esen a, las demandas no dominan necesa iamen e
a las co as in e io es, incluso puede se necesa io asigna a los agen es una can idad
mayo que su demanda.
2.1. REGLA DE IGUAL GANANCIA RESTRINGIDA PARA
PROBLEMAS DE BANCARROTA CON COTAS IN-
FERIORES
La egla de epa o que se dene a con inuación, es á basada en una egla
iguali a ia, en conc e o la de Igual Ganancia,
CEA
1
, que asigna la misma can idad
a odos los agen es sin da a ninguno más de lo que demanda. Sin emba go, la egla
que se p opone aquí, además de la idea de epa o iguali a io con empla un lími e
sob e las can idades asignadas a los agen es. Es e lími e pe mi e que los agen es,
puedan en algunos casos ecibi una can idad mayo que su demanda.
Denición 2.1.
Pa a odo p oblema
(E, c,a)∈BL
, se dene la egla de Igual
1
La asignación que p opo ciona la egla de epa o
CEA
en un p oblema clásico de banca o a,
(E, c)
, iene dada po :
xi=CEAi(E, c) = m´ın{λ, ci}
donde
0≤λ≤ ∞
, se de e mina de o ma que
n
X
i=1
xi=E
.
4
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Jo nadas de ASEPUMA y
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Encuen o In e nacional
Reglas Iguali a ias Res ingidas pa a P oblemas Globales de Banca o a
Ganancia Res ingida con Co as In e io es,
CEAL
, como:
xi=CEALi(E, c,a) = m´ax{ai,m´ın{λ, ci}},∀i∈N,
donde
0≤λ≤ ∞
, se de e mina de o ma que
n
X
i=1
xi=E
.
En la Figu a 1, se p esen an g ácamen e es si uaciones dis in as de p oblemas
de banca o a con co as in e io es. Se mues an los esul ados de las eglas
CEAL
y
CEA
pa a el caso de dos agen es.
.
c1
a
c2
.
2
a1
.
CEA(E,c)
c
a
CEAL(E,c,a) .
c1
a
c2.
2
a1
.
CEA(E,c)
c
a
CEAL(E,c,a)
.
EE
c1
a
c2
2
a1
.
CEA(E,c)
c
a
CEAL(E,c,a)
.
.
.
.
Agen e 1 Agen e 1 Agen e 1
Agen e 2 Agen e 2 Agen e 2
Figu a 1: Regla de Igual Ganancia Res ingida con Co as In e io es.
A con inuación, se p opone un p ocedimien o pa a ob ene el epa o que p o-
po ciona la egla de Igual Ganancia Res ingida en p oblemas de banca o a con
co a in e io .
Sea
(S, ES,cS)
un p oblema clásico de banca o a, donde
S⊆N
es un conjun o
de agen es,
ES
es el es ado que hay que epa i ,
cS
es la p oyección del ec o
c
al
espacio
|S|
-dimensional y
CEA
es la egla de Igual Ganancia.
P oposición 2.2.
El epa o
x=CEAL(E, c,a)
se ob iene según el siguien e p oce-
dimien o:
Sea
S=N
,
ES=E
y
cS=c
.
Sea
FS={i∈S|CEAi(S, ES,cS)≤ai}
, en onces:
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•
Mien as
FS6=∅
:
Pa a
k∈FS
, hace
xk:= ak
,
S:= S FS
,
ES:= ES−Pk∈FSak
, y ac ualiza
FS
.
•
Si
FS=∅
en onces
xi=CEAi(S, ES,cS)
pa a
i∈S
.
Demos ación:
Sea
x
un epa o ob enido siguiendo el p ocedimien o. Sea
¯
S
el
conjun o de agen es al que
F¯
S=∅
, y
λ¯
S
la can idad común ob enida en la úl ima
aplicación de la egla de Igual Ganancia (
CEA
) pa a los agen es de
¯
S
. Se p oba á
que
xi= m´ax{ai,m´ın{λ¯
S, ci}}
.
En p ime luga si los conjun os
FS
y
TS
se han cons uido siguiendo el p oce-
dimien o, y además
T⊂S
, en onces pa a
i∈T
,
CEAi(T, ET,cT)≤CEAi(S, ES,cS)
.
Es o es po que cuando un agen e sale del conjun o
S
su co a in e io es más g ande
que la po ción ob enida con la egla
CEA
, y como es e alo es á jado en la co a
in e io , en el siguien e paso hay un es ado más pequeño pa a epa i en e el es o
de agen es.
Cuando el p ocedimien o e mina, el conjun o de agen es se di ide en dos con-
jun os,
F=SFS
, o mado po los agen es cuyos alo es se han jado en la co a
in e io , y
¯
S
o mado po los agen es cuyos epa os se han ob enido según la egla
CEA
en el úl imo paso.
Si
i∈F
, en onces
xi=ai
y pa a algún subconjun o
T⊇¯
S
, se cumple que
CEAi(T, ET,cT) = m´ın{λT, ci} ≤ ai
. Po o a pa e, el
m´ın{λ¯
S, ci} ≤ m´ın{λT, ci} ≤
ai
y en onces
xi= m´ax{ai,m´ın{λ¯
S, ci}}
.
Si
i∈¯
S
en onces
xi=CEAi(¯
S, E ¯
S,cS) = m´ın{λ¯
S, ci}> ai
, y en es e caso
ambién,
xi= m´ax{ai,m´ın{λ¯
S, ci}}
.
Además,
Pi∈Nxi=Pi∈¯
Sxi+Pi∈Fxi=E¯
S+Pi∈Fxi=E
.
Pa a
i∈N
, la exp esión
xi= m´ax{ai,m´ın{λ, ci}}
con
Pixi=E
, dene un
epa o que, necesa iamen e es el epa o ob enido po el p ocedimien o.
6
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3. PROBLEMAS GLOBALES DE BANCARROTA
Supóngase que en una de e minada Uni e sidad un depa amen o dispone de
do aciones p esupues a ias dis in as des inadas a
5
concep os dis in os: T anspo e,
comunicación, do ación o dina ia no in en a iable, in es igación-di ulgación y ma e-
ial-bibliog a ía. El depa amen o es á compues o po
3
á eas de conocimien o que en
base al gas o de o os años, eclaman una can idad dis in a dependiendo del concep o
que se conside e. Las á eas pueden in e p e a se como los agen es que eclaman de
la do ación p esupues a ia una cuan ía que es a iable según el concep o, además
las á eas mues an sus p e e encias alo ando su epa o global con espec o a odos
los bienes. Es o es un ejemplo del ipo de si uaciones que se analizan a con inuación.
Fo malmen e un p oblema global de banca o a es un p oblema de asignación de
múl iples bienes que consis e en una amilia de p oblemas de banca o a
(N, Ej,cj)
,
j= 1, . . . , m
, donde
N={1, . . . , n}
es un conjun o de agen es,
Ej∈R+
es el es ado
o can idad disponible del bien
j
y
cj∈Rn
+
ep esen a las demandas de los agen es
con espec o al bien
j
.
Pa a cada
j
,
j= 1, . . . , m
, se cumple que
Pn
i=1 ci
j≥Ej
, es deci , en cada bien
los agen es eclaman una can idad mayo que la disponible, apa eciendo el p oblema
de cómo di idi el es ado del bien
j
en e los demandan es.
Suponemos que los es ados de los dis in os bienes es án o denados de o ma
c ecien e,
E1≤E2≤, . . . , ≤Em
. El p oblema global de banca o a se deno a po
(N, E, C)
, donde
E∈Rm
y
C∈Rm×n
. A pa i de aho a si no hay con usión posible
al p oblema global se le deno a po
(E, C)
.
Obsé ese que el p oblema
(E, C)
se pod ía conside a como
m
p oblemas clási-
cos de banca o a,
(N, Ej,cj)
,
j= 1, . . . , m
, uno po cada bien, pudiéndose esol e
sepa adamen e cada p oblema si los agen es no manies an p e e encias sob e las
combinaciones de esul ados co espondien es a los dis in os bienes. No obs an e,
cuando dichas p e e encias exis en, hay que ene las en cuen a en las p opues as de
soluciones pa a el p oblema global.
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Sánchez Sánchez, F ancisca J.; Má mol Conde, Ampa o M.; Hinojosa Ramos, Miguel A.
Un epa o global de los bienes a los agen es es una ma iz no nega i a
X∈
Rm×n
+
, cumpliendo pa a cada
j
,
j= 1, . . . , m
,
Pn
i=1 xi
j=Ej
. La columna
i
-ésima de
la ma iz
X
,
Xi= (xi
1, xi
2, . . . , xi
m) ∈Rm
, ep esen a el epa o del agen e
i
-ésimo en
cada uno de los
m
bienes. La la
j
-ésima de la ma iz
X
,
Xj= (x1
j, x2
j, . . . , xn
j)∈Rn
,
ep esen a el epa o del bien
j
pa a cada uno de los agen es.
Una egla de epa o global pa a es e p oblema es una unción,
F
, que asocia
a cada p oblema global de banca o a,
(E, C)
, un epa o global,
X=F(E, C)∈
Rm×n
+
.
3.1. REGLA IGUALITARIA LEXIMIN
An es de deni la egla egla Iguali a ia Leximin hay que in oduci una se ie
de concep os pa a o maliza la idea de eciencia leximin.
Dado un ec o
a∈Rm
,
(a)∈Rm
es el ec o ob enido eo denando las
componen es de
a
en sen ido c ecien e. Dados
a,b∈Rm
,
a>lex b
deno a si hay
k= 1, . . . , m −1
al que
i(a) = i(b)
pa a
i= 1, . . . , k
y
k+1(a)> k+1(b)
. Con
a⩾lex b
se deno a si
a>lex b
o
(a) = (b)
. Con
>lex
se deno a la pa e asimé ica
de
⩾lex
.
Pa a
X, Y ∈Rm×n
se dice que el agen e
i
iene p e e encias leximin sob e los
epa os globales, si p ee e
X
a
Y
cuando
Xi⩾lex Yi
.
Aho a se dene una elación de dominancia colec i a en e los epa os globales.
Dado
X∈Rm×n
, la ma iz
Z(X)
, de o den
m×n
, se cons uye como sigue: Pa a
cada columna
Xi
, se eo denan sus componen es de o ma c ecien e, es e ec o
eo denado es la columna
i
-ésima de la ma iz
Z(X)
. Así, la p ime a la de
Z(X)
,
Z1(X)
, con iene el alo más pequeño de cada columna de la ma iz
X
. La segunda
la,
Z2(X)
, con iene el segundo alo más pequeño de cada columna de la ma iz
X
.
En gene al, los elemen os de
Zk(X)
son el
k
-ésimo elemen o más pequeño de cada
columna de la ma iz
X
. Se dice que
X<lex Y
, si
Zk(X)≥Zk(Y)
pa a la p ime a
la,
k
, al que
Zk(X)6=Zk(Y)
.
8
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Reglas Iguali a ias Res ingidas pa a P oblemas Globales de Banca o a
En el p óximo esul ado, se es ablece la elación en e p e e encia leximin y
es a elación de dominancia colec i a: Si un epa o global es ecien e leximin, en-
onces no exis e o o que mejo e la asignación de odos los agen es en un sen ido
lexicog áco, con una mejo a es ic a po lo menos pa a uno de los agen es.
Lema 3.1.
Dados
X, Y ∈Rm×n
, si
Xi⩾lex Yi
pa a odo
i∈N
y
Xi>lex Yi
pa a
algún
i∈N
, en onces
X<lex Y
.
Se puede deni la eciencia leximin de la siguien e o ma:
Eciencia Leximin.
Un epa o global
X∈Rm×n
es
ecien e leximin
si no hay
o o
Y∈Rm×n
al que
Y<lex X
.
La siguien e ca ac e ización de epa o global ecien e leximin es una conse-
cuencia de los esul ados de Má mol y Ponsa í (2007). Pa a un epa o global, la
condición de no dominancia con espec o a las p e e encias leximin es qui alen e al
siguien e supues o: Si el es ado co espondien e a un bien no es meno que el es ado
co espondien e a o o, en onces los agen es no ob end án menos de es e es ado que
del o o.
P oposición 3.2.
Un epa o global,
X
, en un p oblema global de banca o a,
(E, C)
,
es ecien e leximin si y solo si
X15X25, . . . , 5Xm
.
Una ez denida la eciencia leximin se es á en disposición de conc e a la egla
Iguali a ia Leximin. A pa i de aho a se asume que los es ados de los dis in os bienes
son di e en es, es deci , cumplen que,
E1< E2< . . . < Em
.
La idea de la egla Iguali a ia Leximin es log a un obje i o de uni o midad
o igualdad, es deci , cuando sea posible asigna can idades iguales de los bienes a
los agen es, pe o espe ando unos lími es en las ganancias pa a que se cumpla la
eciencia leximin. Po o a pa e, si uese necesa io se co igen los lími es pa a que
se cumpla es e úl imo equisi o. Así, puede ocu i que en algún bien se pie da el
ca ác e iguali a io del epa o, aunque puede que es e ca ác e se ecupe e después
en el epa o de o o bien.
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Sánchez Sánchez, F ancisca J.; Má mol Conde, Ampa o M.; Hinojosa Ramos, Miguel A.
Concep o Á ea 1 Á ea 2 Á ea 3 To al
T anspo e
2372,
Ä
6 2372,
Ä
6 2372,
Ä
6 7118
Comunicación
8670 2372,
Ä
6 8945,4
19988
O dina io no in en a iable
14063 7824 14063 35950
In es igación y di ulgación
14063 7824 14840
36727
Ma e ial y bibliog a ía
15156 13362 14840
43358
To al
54324,6 33755,3 55061,1 143141
Obsé ese que al aplica la egla
UCEA
, en dos de los concep os ( anspo e
y do ación o dina ia no in en a iable), el epa o coincide con el ob enido
aplicando la egla
CEA
a los p oblemas clásicos de banca o a, sin emba go, en
los es concep os es an es el epa o es dis in o al ob enido en los p oblemas
clásicos de banca o a. Nó ese como en es e segundo en oque se cumple la
eciencia leximin.
En el p oblema global se en a o ecidas las demandas de las á eas que co es-
ponden a bienes con demandas más bajas.
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