Reglas igualitarias restringidas para problemas globales de bancarrota

Reglas Iguali a ias Res ingidas pa a P oblemas Globales de Banca o a Reglas Iguali a ias Res ingidas pa a P oblemas Globales de Banca o a Sánchez Sánchez, F ancisca J. ( [email protected]) Economía, Mé odos Cuan i a i os e His o ia Económica Uni e sidad Pablo de Ola ide Má mol Conde, Ampa o M. ([email p o ec ed]) Economía Aplicada III Uni e sidad de Se illa Hinojosa Ramos, Miguel A. (mahin [email protected]) Economía, Mé odos Cuan i a i os e His o ia Económica Uni e sidad Pablo de Ola ide RESUMEN Se analizan p oblemas de epa o en los que los agen es ealizan unas de e minadas demandas sob e múl iples bienes. En es e con ex o, cada agen e puede mos a sus p e e - encias, alo ando su epa o global po el mínimo ob enido con espec o a odos los bienes. El obje i o es p opone y analiza una egla global basada en el p incipio de jus icia según el equisi o de eciencia leximin que ga an ice epa os no dominados con espec o a las p e e encias de los agen es. Palab as cla e: P oblemas de epa o con múl iples bienes, eglas de epa o iguali a ias, eciencia leximin. Clasicación JEL (Jou nal Economic Li e a u e): C71 Á ea emá ica: Teo ía de Juegos XV Jo nadas de ASEPUMA y III Encuen o In e nacional 1 Sánchez Sánchez, F ancisca J.; Má mol Conde, Ampa o M.; Hinojosa Ramos, Miguel A. 1. INTRODUCCIÓN Un p oblema clásico de banca o a apa ece cuando hay que epa i una can- idad (llamada ambién es ado) en e un conjun o de agen es, en los casos en que es a can idad no es sucien e pa a sa is ace las demandas de los agen es que ienen adqui idos unos de echos sob e la can idad a epa i . Desde muy an iguo se han p esen ado p oblemas eales de es e ipo. Son clásicos los ejemplos que apa ecen en el Talmud babilónico ( e Aumann y Maschle , 1985). Una e isión exhaus i a de las dis in as eglas de epa o puede e se en Thomson (2003). Conside amos una ex ensión de los p oblemas de banca o a, en la que se epa en dis in os bienes en e un conjun o de agen es que eclaman una can idad dis in a dependiendo del bien que se conside e. En el epa o de múl iples bienes hay que conside a dos aspec os pa a ealiza el epa o: po una pa e las demandas de cada agen e sob e los di e en es bienes (como en los p oblemas de banca o a) y po o a pa e las p e e encias de los agen es con espec o a los esul ados ob enidos en los di e en es bienes. En elación con el segundo pun o, las p e e encias de los agen es pueden se adi i as en los bienes, es deci , cada agen e alo a la can idad o al ecibida con espec o a odos los bienes. El modelo que su ge en es e caso es á elacionado con el modelo in oducido po Calleja (2005), si se inco po asen es i- cciones adicionales pa a asegu a que la asignación o al pa a cada bien no excede el es ado co espondien e. En es e abajo se conside a el caso en que las p e e encias de los agen es son leximin, es o signica que cada agen e alo a su epa o global según la o denación leximin denida en su espacio de pagos. Basándose en la egla de Igual Ganancia se p opone y analiza una egla de epa o en el caso de p oblemas de banca o a con múl iples bienes. La egla de epa o se undamen a en el p incipio de jus icia que se de e mina po la eciencia leximin. En la sección 2, se ealiza una ex ensión del p oblema clásico de banca o a 2 XV Jo nadas de ASEPUMA y III Encuen o In e nacional Reglas Iguali a ias Res ingidas pa a P oblemas Globales de Banca o a inco po ando co as in e io es sob e las can idades que los agen es pueden consegui . A pa i de una egla clásica de epa o se p opone un p ocedimien o pa a ob ene epa os en el modelo ex endido. La sección 3, se cen a en una si uación global pa a la que se p opone una egla global basada en la eciencia leximin y se o mulan p opiedades gene ales pa a eglas globales. 2. PROBLEMAS DE BANCARROTA CON CO- TAS INFERIORES Los p oblemas de banca o a con co as in e io es son p oblemas de epa o en los que hay que conside a dos aspec os impo an es: po una pa e las demandas de cada agen e sob e el es ado y po o a un ec o de co as in e io es sob e las can idades asignadas a cada agen e. Fo malmen e el p oblema de banca o a con co as in e io es se dene: Sea N={1, . . . , n} un conjun o de agen es. Una si uación de banca o a con co as in e io es iene ep esen ada po (E, c,a) , donde E∈R+ es el es ado que hay que epa i en e los agen es, c∈Rn es el ec o de demandas y a∈Rn es un ec o de co as in e io es sob e las can idades asignadas a cada agen e. Además, se es ablece la siguien e condición: Pi∈Nai< E ≤Pi∈Nci . Se deno a po BL a la amilia de es e ipo de p oblemas. Dado el p oblema (E, c,a) , un epa o del es ado E es un ec o x∈Rn que cumple las condiciones de: Racionalidad indi idual: xi≥ai , ∀i∈N. Eciencia: X i∈N xi=E . En es e con ex o, una egla de epa o es una unción, , que asocia a cada p oblema (E, c,a) un epa o, x= (E, c,a)∈Rn . Nó ese que no necesa iamen e se cumple que xi≤ci , ∀i∈N . XV Jo nadas de ASEPUMA y III Encuen o In e nacional 3 Sánchez Sánchez, F ancisca J.; Má mol Conde, Ampa o M.; Hinojosa Ramos, Miguel A. En la li e a u a se han a ado p oblemas elacionados con el p oblema de banca o a con co as in e io es. En Pulido (2002) y (2006), se analizan si uaciones donde hay ince idumb e sob e la alidez de las demandas de los agen es y se consi- de a un pun o de e e encia exógeno denido según unos c i e ios obje i os que juega un papel impo an e en el epa o. En su modelo, el pun o de e e encia es á siemp e dominado po el ec o de demandas de los agen es. En los p oblemas de negociación analizados en Chun y Thomson (1992), Bosse (1993) y He e o (1998), se incluye un pun o de desacue do jun o con un pun o de e e encia ue a del conjun o ac ible, que domina el pun o de desacue do. En con as e con los abajos an es mencionados, en el p oblema de banca o a con co as in e io es que aquí se p esen a, las demandas no dominan necesa iamen e a las co as in e io es, incluso puede se necesa io asigna a los agen es una can idad mayo que su demanda. 2.1. REGLA DE IGUAL GANANCIA RESTRINGIDA PARA PROBLEMAS DE BANCARROTA CON COTAS IN- FERIORES La egla de epa o que se dene a con inuación, es á basada en una egla iguali a ia, en conc e o la de Igual Ganancia, CEA 1 , que asigna la misma can idad a odos los agen es sin da a ninguno más de lo que demanda. Sin emba go, la egla que se p opone aquí, además de la idea de epa o iguali a io con empla un lími e sob e las can idades asignadas a los agen es. Es e lími e pe mi e que los agen es, puedan en algunos casos ecibi una can idad mayo que su demanda. Denición 2.1. Pa a odo p oblema (E, c,a)∈BL , se dene la egla de Igual 1 La asignación que p opo ciona la egla de epa o CEA en un p oblema clásico de banca o a, (E, c) , iene dada po : xi=CEAi(E, c) = m´ın{λ, ci} donde 0≤λ≤ ∞ , se de e mina de o ma que n X i=1 xi=E . 4 XV Jo nadas de ASEPUMA y III Encuen o In e nacional Reglas Iguali a ias Res ingidas pa a P oblemas Globales de Banca o a Ganancia Res ingida con Co as In e io es, CEAL , como: xi=CEALi(E, c,a) = m´ax{ai,m´ın{λ, ci}},∀i∈N, donde 0≤λ≤ ∞ , se de e mina de o ma que n X i=1 xi=E . En la Figu a 1, se p esen an g ácamen e es si uaciones dis in as de p oblemas de banca o a con co as in e io es. Se mues an los esul ados de las eglas CEAL y CEA pa a el caso de dos agen es. . c1 a c2 . 2 a1 . CEA(E,c) c a CEAL(E,c,a) . c1 a c2. 2 a1 . CEA(E,c) c a CEAL(E,c,a) . EE c1 a c2 2 a1 . CEA(E,c) c a CEAL(E,c,a) . . . . Agen e 1 Agen e 1 Agen e 1 Agen e 2 Agen e 2 Agen e 2 Figu a 1: Regla de Igual Ganancia Res ingida con Co as In e io es. A con inuación, se p opone un p ocedimien o pa a ob ene el epa o que p o- po ciona la egla de Igual Ganancia Res ingida en p oblemas de banca o a con co a in e io . Sea (S, ES,cS) un p oblema clásico de banca o a, donde S⊆N es un conjun o de agen es, ES es el es ado que hay que epa i , cS es la p oyección del ec o c al espacio |S| -dimensional y CEA es la egla de Igual Ganancia. P oposición 2.2. El epa o x=CEAL(E, c,a) se ob iene según el siguien e p oce- dimien o: Sea S=N , ES=E y cS=c . Sea FS={i∈S|CEAi(S, ES,cS)≤ai} , en onces: XV Jo nadas de ASEPUMA y III Encuen o In e nacional 5 Sánchez Sánchez, F ancisca J.; Má mol Conde, Ampa o M.; Hinojosa Ramos, Miguel A. • Mien as FS6=∅ : Pa a k∈FS , hace xk:= ak , S:= S FS , ES:= ES−Pk∈FSak , y ac ualiza FS . • Si FS=∅ en onces xi=CEAi(S, ES,cS) pa a i∈S . Demos ación: Sea x un epa o ob enido siguiendo el p ocedimien o. Sea ¯ S el conjun o de agen es al que F¯ S=∅ , y λ¯ S la can idad común ob enida en la úl ima aplicación de la egla de Igual Ganancia ( CEA ) pa a los agen es de ¯ S . Se p oba á que xi= m´ax{ai,m´ın{λ¯ S, ci}} . En p ime luga si los conjun os FS y TS se han cons uido siguiendo el p oce- dimien o, y además T⊂S , en onces pa a i∈T , CEAi(T, ET,cT)≤CEAi(S, ES,cS) . Es o es po que cuando un agen e sale del conjun o S su co a in e io es más g ande que la po ción ob enida con la egla CEA , y como es e alo es á jado en la co a in e io , en el siguien e paso hay un es ado más pequeño pa a epa i en e el es o de agen es. Cuando el p ocedimien o e mina, el conjun o de agen es se di ide en dos con- jun os, F=SFS , o mado po los agen es cuyos alo es se han jado en la co a in e io , y ¯ S o mado po los agen es cuyos epa os se han ob enido según la egla CEA en el úl imo paso. Si i∈F , en onces xi=ai y pa a algún subconjun o T⊇¯ S , se cumple que CEAi(T, ET,cT) = m´ın{λT, ci} ≤ ai . Po o a pa e, el m´ın{λ¯ S, ci} ≤ m´ın{λT, ci} ≤ ai y en onces xi= m´ax{ai,m´ın{λ¯ S, ci}} . Si i∈¯ S en onces xi=CEAi(¯ S, E ¯ S,cS) = m´ın{λ¯ S, ci}> ai , y en es e caso ambién, xi= m´ax{ai,m´ın{λ¯ S, ci}} . Además, Pi∈Nxi=Pi∈¯ Sxi+Pi∈Fxi=E¯ S+Pi∈Fxi=E . Pa a i∈N , la exp esión xi= m´ax{ai,m´ın{λ, ci}} con Pixi=E , dene un epa o que, necesa iamen e es el epa o ob enido po el p ocedimien o. 6 XV Jo nadas de ASEPUMA y III Encuen o In e nacional Reglas Iguali a ias Res ingidas pa a P oblemas Globales de Banca o a 3. PROBLEMAS GLOBALES DE BANCARROTA Supóngase que en una de e minada Uni e sidad un depa amen o dispone de do aciones p esupues a ias dis in as des inadas a 5 concep os dis in os: T anspo e, comunicación, do ación o dina ia no in en a iable, in es igación-di ulgación y ma e- ial-bibliog a ía. El depa amen o es á compues o po 3 á eas de conocimien o que en base al gas o de o os años, eclaman una can idad dis in a dependiendo del concep o que se conside e. Las á eas pueden in e p e a se como los agen es que eclaman de la do ación p esupues a ia una cuan ía que es a iable según el concep o, además las á eas mues an sus p e e encias alo ando su epa o global con espec o a odos los bienes. Es o es un ejemplo del ipo de si uaciones que se analizan a con inuación. Fo malmen e un p oblema global de banca o a es un p oblema de asignación de múl iples bienes que consis e en una amilia de p oblemas de banca o a (N, Ej,cj) , j= 1, . . . , m , donde N={1, . . . , n} es un conjun o de agen es, Ej∈R+ es el es ado o can idad disponible del bien j y cj∈Rn + ep esen a las demandas de los agen es con espec o al bien j . Pa a cada j , j= 1, . . . , m , se cumple que Pn i=1 ci j≥Ej , es deci , en cada bien los agen es eclaman una can idad mayo que la disponible, apa eciendo el p oblema de cómo di idi el es ado del bien j en e los demandan es. Suponemos que los es ados de los dis in os bienes es án o denados de o ma c ecien e, E1≤E2≤, . . . , ≤Em . El p oblema global de banca o a se deno a po (N, E, C) , donde E∈Rm y C∈Rm×n . A pa i de aho a si no hay con usión posible al p oblema global se le deno a po (E, C) . Obsé ese que el p oblema (E, C) se pod ía conside a como m p oblemas clási- cos de banca o a, (N, Ej,cj) , j= 1, . . . , m , uno po cada bien, pudiéndose esol e sepa adamen e cada p oblema si los agen es no manies an p e e encias sob e las combinaciones de esul ados co espondien es a los dis in os bienes. No obs an e, cuando dichas p e e encias exis en, hay que ene las en cuen a en las p opues as de soluciones pa a el p oblema global. XV Jo nadas de ASEPUMA y III Encuen o In e nacional 7 Sánchez Sánchez, F ancisca J.; Má mol Conde, Ampa o M.; Hinojosa Ramos, Miguel A. Un epa o global de los bienes a los agen es es una ma iz no nega i a X∈ Rm×n + , cumpliendo pa a cada j , j= 1, . . . , m , Pn i=1 xi j=Ej . La columna i -ésima de la ma iz X , Xi= (xi 1, xi 2, . . . , xi m) ∈Rm , ep esen a el epa o del agen e i -ésimo en cada uno de los m bienes. La la j -ésima de la ma iz X , Xj= (x1 j, x2 j, . . . , xn j)∈Rn , ep esen a el epa o del bien j pa a cada uno de los agen es. Una egla de epa o global pa a es e p oblema es una unción, F , que asocia a cada p oblema global de banca o a, (E, C) , un epa o global, X=F(E, C)∈ Rm×n + . 3.1. REGLA IGUALITARIA LEXIMIN An es de deni la egla egla Iguali a ia Leximin hay que in oduci una se ie de concep os pa a o maliza la idea de eciencia leximin. Dado un ec o a∈Rm , (a)∈Rm es el ec o ob enido eo denando las componen es de a en sen ido c ecien e. Dados a,b∈Rm , a>lex b deno a si hay k= 1, . . . , m −1 al que i(a) = i(b) pa a i= 1, . . . , k y k+1(a)> k+1(b) . Con a⩾lex b se deno a si a>lex b o (a) = (b) . Con >lex se deno a la pa e asimé ica de ⩾lex . Pa a X, Y ∈Rm×n se dice que el agen e i iene p e e encias leximin sob e los epa os globales, si p ee e X a Y cuando Xi⩾lex Yi . Aho a se dene una elación de dominancia colec i a en e los epa os globales. Dado X∈Rm×n , la ma iz Z(X) , de o den m×n , se cons uye como sigue: Pa a cada columna Xi , se eo denan sus componen es de o ma c ecien e, es e ec o eo denado es la columna i -ésima de la ma iz Z(X) . Así, la p ime a la de Z(X) , Z1(X) , con iene el alo más pequeño de cada columna de la ma iz X . La segunda la, Z2(X) , con iene el segundo alo más pequeño de cada columna de la ma iz X . En gene al, los elemen os de Zk(X) son el k -ésimo elemen o más pequeño de cada columna de la ma iz X . Se dice que X<lex Y , si Zk(X)≥Zk(Y) pa a la p ime a la, k , al que Zk(X)6=Zk(Y) . 8 XV Jo nadas de ASEPUMA y III Encuen o In e nacional Reglas Iguali a ias Res ingidas pa a P oblemas Globales de Banca o a En el p óximo esul ado, se es ablece la elación en e p e e encia leximin y es a elación de dominancia colec i a: Si un epa o global es ecien e leximin, en- onces no exis e o o que mejo e la asignación de odos los agen es en un sen ido lexicog áco, con una mejo a es ic a po lo menos pa a uno de los agen es. Lema 3.1. Dados X, Y ∈Rm×n , si Xi⩾lex Yi pa a odo i∈N y Xi>lex Yi pa a algún i∈N , en onces X<lex Y . Se puede deni la eciencia leximin de la siguien e o ma: Eciencia Leximin. Un epa o global X∈Rm×n es ecien e leximin si no hay o o Y∈Rm×n al que Y<lex X . La siguien e ca ac e ización de epa o global ecien e leximin es una conse- cuencia de los esul ados de Má mol y Ponsa í (2007). Pa a un epa o global, la condición de no dominancia con espec o a las p e e encias leximin es qui alen e al siguien e supues o: Si el es ado co espondien e a un bien no es meno que el es ado co espondien e a o o, en onces los agen es no ob end án menos de es e es ado que del o o. P oposición 3.2. Un epa o global, X , en un p oblema global de banca o a, (E, C) , es ecien e leximin si y solo si X15X25, . . . , 5Xm . Una ez denida la eciencia leximin se es á en disposición de conc e a la egla Iguali a ia Leximin. A pa i de aho a se asume que los es ados de los dis in os bienes son di e en es, es deci , cumplen que, E1< E2< . . . < Em . La idea de la egla Iguali a ia Leximin es log a un obje i o de uni o midad o igualdad, es deci , cuando sea posible asigna can idades iguales de los bienes a los agen es, pe o espe ando unos lími es en las ganancias pa a que se cumpla la eciencia leximin. Po o a pa e, si uese necesa io se co igen los lími es pa a que se cumpla es e úl imo equisi o. Así, puede ocu i que en algún bien se pie da el ca ác e iguali a io del epa o, aunque puede que es e ca ác e se ecupe e después en el epa o de o o bien. XV Jo nadas de ASEPUMA y III Encuen o In e nacional 9 Sánchez Sánchez, F ancisca J.; Má mol Conde, Ampa o M.; Hinojosa Ramos, Miguel A. Concep o Á ea 1 Á ea 2 Á ea 3 To al T anspo e 2372, Ä 6 2372, Ä 6 2372, Ä 6 7118 Comunicación 8670 2372, Ä 6 8945,4 19988 O dina io no in en a iable 14063 7824 14063 35950 In es igación y di ulgación 14063 7824 14840 36727 Ma e ial y bibliog a ía 15156 13362 14840 43358 To al 54324,6 33755,3 55061,1 143141 Obsé ese que al aplica la egla UCEA , en dos de los concep os ( anspo e y do ación o dina ia no in en a iable), el epa o coincide con el ob enido aplicando la egla CEA a los p oblemas clásicos de banca o a, sin emba go, en los es concep os es an es el epa o es dis in o al ob enido en los p oblemas clásicos de banca o a. Nó ese como en es e segundo en oque se cumple la eciencia leximin. En el p oblema global se en a o ecidas las demandas de las á eas que co es- ponden a bienes con demandas más bajas. 4. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS AUMANN R.J., MASCHLER M.(1985) Game heo e ic analysis o bank up - cy p oblem o m he Talmud, Jou nal o Economic Theo y, 36, 195-213. BOSSERT W.(1993) An al e na i e solu ion o ba gaining p oblems wi h claims, Ma hema ical Social Sciences, 25, 205-220. CHUN Y., THOMSON W. (1992) Ba gaining p oblems wi h claims Ma he- ma ical Social Sciences 24, 19-33. CALLEJA P., BORM P., HENDRICKX R. (2005) Mul i-issue alloca ion si - ua ions, Eu opean Jou nal o Ope a ional Resea ch 164, 730-747. 16 XV Jo nadas de ASEPUMA y III Encuen o In e nacional Reglas Iguali a ias Res ingidas pa a P oblemas Globales de Banca o a HERRERO C. (1998) Ba gaining wi h claims in economic en i onmen s, Re is a Española de Economía, 15, n.1, 3-13. LORENZO-FREIRE S., CASAS-MÉNDEZ B., HENDRICKX R. (2005) The wo-s age cons ained equal awa ds and losses o mul i-issue alloca ion si ua- ions, Cen ER Discussion Pape , 2005-80. LORENZO-FREIRE S., ALONSO-MEIJIDE J.M., CASAS-MÉNDEZ B., HEN- DRICKX R. (2005) Balanced Con ibu ions o Mul i-issue alloca ion si ua- ions, Cen ER Discussion Pape , 2005-93. MÁRMOL A.M., PONSATI C.(2007) Ba gaining o e mul iple issues wi h maxmin and leximin p e e ences, Fo hcoming Social Choice and Wel a e. PULIDO M., LLORCA N., SÁNCHEZ-SORIANO J.(2002) Game heo y echniques o Uni e si y managemen : and ex ended bank up cy model, An- nals o Ope a ions Resea ch, 102, 129-142. PULIDO M., BORM P., HENDRICKX R., LLORCA N., SÁNCHEZ-SORIANO J., (2006) Comp omise solu ions o bank up cy si ua ions wi h e e ences, Annals o Ope a ions Resea ch ( o appea ). THOMSON W.(2003) Axioma ic and game- heo e ic analysis o bank up cy and axa ion p oblems: a su ey, Ma hema ical Social Sciences 45, 249-297. XV Jo nadas de ASEPUMA y III Encuen o In e nacional 17