Una Aplicaci´on del m´e odo de Zubo pa a
con ol de Robo s Manipulado es
Ca los Vi as Venegas F ancisco R. Rubio
Dep . Ingenie ´ıa de Sis emas y Au om´a ica. Escuela Supe io de Ingenie os
Uni e sidad de Se illa. Camino de los Descub imien os s/n. 41092-Se illa. SPAIN
e-mail: i [email p o ec ed], [email p o ec ed]
Resumen
Es e a ´ıculo p esen a una me odolog´ıa pa a el
dise˜no de un con ol no lineal de obo s manip-
ulado es basada en los p incipios de dise˜no no
lineal de Zubo . En pa icula , la es a egia de
con ol p opues a consis e en egula el a io de
disipaci´on ene g´e ica del obo a lazo ce ado,
ajus ´andola a una de e minada din´amica es able
deseada. Pa a ello se o mulan las ecuaciones
mec´anicas del obo en un ma co ap opiado y se
p opone una o ma ce ada pa a la unci´on de Lya-
puno soluci´on de la ecuaci´on de Zubo del sis-
ema. De es e modo es posible ob ene una ex-
p esi´on expl´ıci a pa a la ley de con ol del sis ema.
Pa a ejempli ica el desempe˜no del con ol p op-
ues o, se p esen an esul ados de simulaci´on sob e
un obo plano de dos g ados de libe ad.
Palab as cla e: Robo s Manipulado es, Con ol
de Lyapuno , Zubo .
1 INTRODUCCI ´
ON
El p op´osi o del con ol de ayec o ias de obo s
manipulado es es log a que las a iculaciones
del obo se mue an de acue do con ayec o ias
p es ablecidas aplicando los pa es y/o ue zas co -
ec i as necesa ias.
En el caso de un obo manipulado , es a a ea
se e di icul ada po la din´amica no lineal que go-
bie na el compo amien o del mismo as´ı como la
in luencia de pe u baciones ex e nas al sis emas
o din´amicas no modeladas.
Di e sas es a egias de con ol se han o mulado
en la li e a u a pa a es e p oblema en pa icula .
Dejando a un lado las ´ecnicas cl´asicas de con-
ol a icula lineal descen alizado, las ´ecnicas
de ”Linealizaci´on exac a” y su aplicaci´on a obo s
manipulado es despe a on un conside able in-
e ´es an o en los campos e´o icos ([7] y [9])
como en sus aplicaciones p ´ac icas ([6]). Debido
a que es os m´e odos se basan en la cancelaci´on de
´e minos no lineales median e ealimen aci´on de
es ados, p esen an p oblemas an e la ince idum-
b es de modelado siemp e p esen es en odo sis-
ema eal.
O os en oques m´as exi osos se de i a on de
la aplicaci´on de ´ecnicas de con ol adap a i o
([5],[14],[2] y [3]), pa a ajus a en l´ınea los
pa ´ame os del con olado en unci´on del compo -
amien o obse ado del obo , o ´ecnicas de con-
ol Robus o como las p esen adas en el con ex o
lineal en [10] o [13]. M´as ecien emen e en oques
obus os no lineales han sido ambi´en p esen ados
en [4], donde se adap ´o el p oblema de con ol de
obo s manipulado es al ma co e´o ico del con ol
H∞no lineal.
En es e a ´ıculo p esen amos un en oque pa a el
con ol a icula de obo s manipulado es basado
en la eo ´ıa de an´alisis de es abilidad de Lya-
puno . En la li e a u a pe inen e al espec o
pueden encon a se dos en oques di e enciados:
Po un lado, un es a egia consis e en dise˜na una
ley de con ol ap opiada pa a el sis ema no lin-
eal de modo que sa is aga cie os eque imien os
de desempe˜no, pa a pos e io men e de e mina la
es abilidad del sis ema cons uyendo un unci´on
de Lyapuno del sis ema ([8]). Un segundo en-
oque consis e en de e mina en p ime luga una
unci´on de Lyapuno pa a el sis ema a lazo ce -
ado pa a ga an iza la es abilidad del sis ema,
pa a pos e io men e dise˜na una ley de con ol
ap opiada que inco po e los eque imien os de de-
sempe˜no ijados. T abajos ele an es en es e sen-
ido pueden encon a se en [1], [11] o [12].
La iloso ´ıa de con ol p esen ada en es e abajo
se enma ca den o del segundo de es os en oques.
En p ime luga plan eamos la cons ucci´on de
una unci´on de Lyapuno a lazo ce ado pa a el
seguimien o de ayec o ias basada en a gumen-
os ene g´e icos, que sa is aga la ecuaci´on de Zubo
del sis ema. En segundo luga , y aqu´ı eside
la p incipal con ibuci´on de es e abajo, o mu-
lamos el c´alculo de una ley de con ol expl´ıci a no
lineal bas´andonos en el con ol del a io de disi-
paci´on de ene g´ıa a lazo ce ado del obo . De
es e modo se ob iene una ley disipaci´on de en-
e g´ıa exponencialmen e dec ecien e que ga an iza
es abilidad asin ´o ica global del sis ema.
El a ´ıculo es ´a o ganizado como sigue: En el
apa ado 2 se p esen a el plan eamien o del p ob-
lema donde se in oduce un desc ipci´on ap opiada
de espacio de es ados de la din´amica de un obo
manipulado . En es e mismo apa ado se ecue da
b e emen e el p incipio de con ol de Zubo y la
ecuaci´on que lo de ine, as´ı como la o ma que adop-
amos pa a la unci´on de Lyapuno del sis ema
que p oponemos como soluci´on de la misma.
En el apa ado 3 se plan ea el dise˜no de la
ley de con ol donde se p opo ciona una ex-
p esi´on expl´ıci a pa a la misma aco de con los
plan eamien os p e ios de con ol. El a ´ıculo
inaliza p esen ando en el apa ado 4 esul ados
simulaci´on pa a el desempe˜no de la es a egia
p opues a sob e un obo ´ıpico de dos g ados de
libe ad, as´ı como cie as conclusiones y comen-
a ios.
2 PLANTEAMIENTO DEL
PROBLEMA
Modela emos un obo manipulado aplicando los
p incipios mec´anicos de Lag ange, pa a ob ene
las ecuaciones din´amicas es ´anda
τ=M(q)¨q+C(q, ˙q) ˙q+G(q) (1)
donde como es habi ual q∈Rn ep esen a las co-
o denadas gene alizadas del obo , M(q)∈Rn×n
es la ma iz sim´e ica de inida posi i a de ´e minos
de ine cia, C(q, ˙q)∈Rn×nes la ma iz de
´e minos de Co iolis y Cen ´ı ugos, y G(q)∈Rn
es la ma iz de ´e minos g a i a o ios.
En lo que sigue, asumi emos que enemos medidas
de las posiciones, qy elocidades a icula es ˙q, no
as´ı de las acele aciones, ¨q. Asimismo, asumi emos
que el pa a icula , τ, es ´a disponible como se˜nal
de con ol y las ma ices M,CyGse supond ´an
de es uc u a conocida, con eniendo pa ´ame os
cons an es.
Adicionalmen e, podemos de ini un ayec o ia de
e e encia q ( )∈C1, que podemos asumi se en-
cuen a den o de los l´ımi es ´ısicos y cinem´a icos
alcanzables po obo en pa icula . Las a iables
¨q ( ), ˙q ( ) y q ( ) pueden ´ıpicamen e gene a se
median e un modelo de e e encia de la o ma
¨q +Kd˙q +Kpq =K ( ) (2)
donde ( ) es una se˜nal aco ada gen´e ica. De es e
modo podemos de ini las a iables de e o como


¨
˜q
˙
˜q
˜q

=

¨q−¨q
˙q−˙q
q−q

; ˜x=x−x =µ˙q−˙q
q−q ¶
(3)
El obje i o de con ol se ´a po an o encon a
una ley de ealiemen aci´on de es ados u(x) que
pe mi a segui de o ma es able una de e minada
ayec o ia de e e encia q ( ), ˙q ( ).
2.1 Desc ipci´on de espacio de es ados
Pa a o mula el con ol p opues o den o del
ma co es ´anda de la eo ´ıa de con ol de Lya-
puno , es necesa io o mula una desc ipci´on de
espacio de es ados pa a las ecuaciones din´amicas
del obo .
Es inmedia o ob ene
˙
˜x( ) = µ−M−1(q)C(q, ˙q) 0n×n
In×n0n×n¶˜x( )
+µ−¨q −M−1(q)(G(q) + C(q, ˙q) ˙q )
0n×n¶
+µIn×n
0n×n¶M−1(q)τ(4)
O en no aci´on compac a
˙
˜x( ) = A0(q, ˙q)˜x+B0(¨q ,˙q ,¨q, ˙q) + BM−1(q)τ
(5)
Con de iniciones ob ias pa a las ma ices, A0,B0
yB.
Con el obje o de plan ea una unci´on de Lya-
puno pa a el sis ema a bucle ce ado, es in e e-
san e sin emba go ans o ma las ecuaciones (4)
pa a que adop en una o ma m´as con enien e.
Aplicando el siguien e cambio de coo denadas in-
spi ado en los esul ados de ([4]).
˜z=T0˜x=µT11 T12
0In×n¶µ ˙
˜q
˜q¶(6)
Donde T11 ,T12 ∈Rn, son, en p incipio, ma ices
in e ibles a bi a ias. Con es e cambio podemos
exp esa el sis ema (4) como
˙
˜x( ) = T−1
0µ−M−1(q)(1
2˙
M(q) + N(q, ˙q)) 0n×n
−T−1
11 −T−1
11 T12 ¶
·T0˜x( ) + T−1
0µ−M(q)−1
0n×n¶u(7)
donde N(q, ˙q) es la ma iz an isim´e ica de inida
a pa i de los ´e minos de M(q) como
nij =1
2
n
X
k=1 µ∂mik(q)
∂qj
−∂mjk(q)
∂qi¶˙qk(8)
donde la elaci´on en e uyτ iene impl´ıci amen e
de inida a pa i del cambio de acci´on de con ol
u=¡M(q)1
2˙
M(q, ˙q) + N(q, ˙q)¢µ˙
˜z
˜z¶(9)
siendo ˜zde inidida como en (6).
La ecuaci´on (7) podemos esc ibi la en o ma com-
pac a como
˙
˜x( ) = A1(q, ˙q)˜x+B1(q)u(10)
Con las de iniciones co espondien es pa a las ma-
ices, A1yB1.
Una ez ob enida la ep esen aci´on de espacio
de es ados del sis ema, podemos o mula una
unci´on de Lyapuno que ga an ice la es abilidad
global del sis ema y o mula la ley de con ol
ap opiada.
2.2 M´e odo de Zubo
Conside emos la siguien e ecuaci´on di e encial en
de i adas pa ciales de p ime o den
∂V (˜x)
∂˜x(A1(q, ˙q)˜x+B1(q)u) = −Q(˜x) (11)
Donde V(˜x) es la soluci´on, en p incipio descono-
cida, de la ecuaci´on (11), y Q(˜x) es una unci´on
escala de inida posi i a en RnyQ(0) = 0.
Es in e esan e des aca que si la ecuaci´on (11) ad-
mi e una soluci´on V(˜x) de inida posi i a, en onces
V(˜x) es una unci´on de Lyapuno del sis ema (10).
Como se mos a ´a en la secci´on (3) el en oque
p opues o en es e abajo se basa en es os e-
sul ados, p oponiendo una o ma ce ada pa a
soluci´on pa a la ecuaci´on (11), en la cual se oma
Q(˜x) = a(˜x)V(˜x), con a(˜x) de inida posi i a.
Es o equi ale a plan ea una din´amica deseada es-
able pa a la e oluci´on empo al de la unci´on de
Lyapuno V(˜x).
2.3 Funci´on de Lyapuno pa a el sis ema
Pa a el sis ema exp esado en (11) podemos pos u-
la una unci´on de Lyapuno de lazo ce ado del
sis ema como
V(˜x( ), ) = 1
2˜xTTT
0µM(q) 0
0K¶T0˜x(12)
unci´on que es de inida posi i a siemp e y cuando
la ma iz de ponde aci´on Klo sea.
La es abilidad del sis ema a lazo ce ado es a ´a
ga an izada si podemos asegu a que ˙
V( )<0
∀ . Calculando es a de i ada empo al podemos
exp esa
dV (˜x( ), )
d =∂V (˜x( ), )
∂ +
+∂V (˜x( ), )
∂˜x(A1(q, ˙q)˜x+B1(q)u) (13)
Nues o obje i o es de e mina la ley de con-
ol u(˜x) que ga an ice la es abilidad del sis-
ema, cumpliendo con unas especi icaciones de de-
sempe˜no de e minadas.
3 De e minaci´on de la ley de
con ol
Pa a de e mina la ley de con ol del sis ema,
plan eamos una din´amica deseada a lazo ce ado
pa a la e oluci´on empo al de la unci´on de Lya-
puno V(˜x) de la o ma
dV (˜x( ), )
d +a(˜x)V(˜x( ) = 0 (14)
donde a(˜x)>0∀˜x6= 0. Es o es equi alen e a im-
pone una unci´on Q(˜x) = a(˜x)V(˜x) en la ecuaci´on
(11).
La ecuaci´on (14) puede esol e se de o ma
expl´ıci a mos ando una e oluci´on empo al de
V(˜x( ) de la o ma
V(˜x( ) = V(˜x( 0))e−R
0
a(˜x(τ))dτ (15)
E oluci´on que es mon´o ona no c ecien e pa a
a(˜x( )) >0 y po an o una din´amica es abilizan e
pa a el sis ema a lazo ce ado.
De es e modo, y pa iendo de la soluci´on gen´e ica
p opues a pa a V(˜x) en (12), podemos desa olla
los ´e minos de (14) como
dV (˜x( ), )
d =∂V (˜x( ), )
∂ +∂V (˜x( ), )
∂˜x˙
˜x(17)
El p ime ´e mino de es a exp esi´on puede calcu-
la se como
∂V (˜x( ), )
∂ =1
2˜xTTT
0µ(∂M(˜x, )
∂ 0
0 0 ¶T0˜x
(18)
Po o o lado enemos
Γ(˜x, ) =
˜xTµa(˜x)TT
11M(q)T11 K+a(˜x)TT
11M(q)T12
K+a(˜x)TT
11M(q)T12 a(˜x)[K+TT
12M(q)T12]¶˜x
˜xTµTT
11T11 TT
11T12
TT
12T11 TT
12T12 ¶˜x
(16)
dM(q)
d =dM(˜q+q ( ))
d =dM(˜x+x ( ))
d =
2n
X
k=1
∂M(˜x, )
∂˜x˙
˜xk+∂M(˜x, )
∂ (19)
Luego pod emos expandi (18) como
∂V (˜x( ), )
∂ = (20)
1
2˜xTTT
0µ˙
M(˜x, )−P2n
k=1
∂M(˜x, )
∂˜x˙
˜xk0
0 0 ¶T0˜x
Pa a el segundo ´e mino de (17) podemos esc ibi
∂V (˜x( ), )
∂˜x˙
˜x= ˜xTTT
0µM(˜x, ) 0
0K¶T0˙
˜x
+1
2
2n
X
k=1
˜xTTT
0µ∂M(˜x, )
∂˜xk
˙
˜xk0
0 0 ¶T0˜x(21)
Ag upando ´e minos en (18) y (21) podemos ex-
p esa
dV (˜x( ), )
d = ˜xTTT
0µM(q) 0
0K¶T0˙
˜x
+1
2
2n
X
k=1
˜xTTT
0µ˙
M(q, ˙q) 0
0 0 ¶T0˜x(22)
donde sus i uyendo en (22) la exp esi´on pa a ˙
˜xen
(7) enemos
dV (˜x( ), )
d = ˜xTµ0 0
K0¶˜x
−˜xTTT
0BN(q, ˙q)BTT0˜x+ ˜xTTT
0Bu (23)
En es a ´ul ima exp esi´on podemos elimina el se-
gundo ´e mino en i ud de la an isime ´ıa de la
ma iz N(q, ˙q) pa a ob ene
dV (˜x( ), )
d = ˜xTµ0 0
K0¶˜x+ ˜xTTT
0Bu (24)
De es e modo, y sus i uyendo la exp esi´on en (24)
en la ecuaci´on de din´amica deseada pa a V(˜x) en
(14) end emos
˜xTµ0 0
K0¶˜x+ ˜xTTT
0Bu
+˜xTTT
0µM(q) 0
0K¶T0˜x= 0 (25)
Ecuaci´on que p opo ciona impl´ıci amen e la ex-
p esi´on de u(˜x) pa a la ley de con ol. En no aci´on
compac a pa a (25) podemos esc ibi X(˜x)u+
Y(˜x, ) = 0.
De es a igualdad podemos ob ene una exp esi´on
expl´ıci a pa a u(˜x) como
u(˜x) = X(˜x)+Y(˜x, ) =
X(˜x)T(X(˜x)·X(˜x)T)−1Y(˜x, ) (26)
donde X(˜x)+es la pseudo-in e sa o in e sa de
Moo e-Pen ose de X(˜x).
desa ollando la exp esi´on en (26) ob enemos la
exp esi´on pa a u(˜x) como
u(˜x) = −8Γ(˜x, )[T11T12]˜x(27)
donde Γ(˜x, ) es la unci´on escala dada en (16).
Es in e esan e esal a que la exp esi´on as´ı
ob enida median e la aplicaci´on de la ma iz
pseudo-in e sa p esen a la m´ınima no ma 2 pa a
u(˜x) soluci´on de (14), y po an o se ´a la ”meno ”
se˜nal de con ol aplicable pa a ob ene el compo -
amien o deseado a lazo ce ado.
3.1 P opiedades de la ley de con ol
La o ma gen´e ica de la ley de con ol en (27) ad-
mi e pa icula izaciones no ables, como la que se
ob iene en el caso de oma
T11 =KV=1
8diag{k i}(28)
T12 =KP=1
8diag{kpi}(29)
donde k i ykpi son ganancias posi i as.
En es e caso, podemos exp esa
u(˜x) = −Γ(˜x, )(KP˜q+KV˙
˜q) (30)
ley de con ol que puede iden i ica se como un con-
ol PD no lineal de ganancias a iables modu-
ladas po el ´e mino Γ(˜x, ), que ija el a io de
dec ecimien o de la ene g´ıa del sis ema.
La ley de con ol as´ı o mulada iene un cla a in-
e p e aci´on en ´e minos ´ısicos al p opo ciona a
di e encia de o as es a egias de con ol al uso, un
a io de disipaci´on de ene g´ıa a iable en unci´on
de la lejan´ıa del sis ema a la si uaci´on de equilib-
io deseada. Es e a io puede adem´as modula se
inco po ando unciones a(˜x)>0 ap opiada (Ej:
alo es cons an es, o mas cuad ´a icas, e c).
Es in e esan e comen a sin emba go que la ganan-
cia no lineal Γ(˜x, ) es un alo inde inido pa a
˜x= 0. Es a inde e minaci´on pun ual puede se
´acilmen e sol en ada sin emba go en la imple-
men aci´on del con olado , conmu ando a con ol
u(˜x) = 0 en las p oximidades del pun o de equi-
lib io.
En el apa ado siguien e se mues an esul ados de
la aplicaci´on de es a es a egia de con ol a obo
simple de dos g ados de libe ad.
4 Una aplicaci´on de simulaci´on
Conside amos en es e ejemplo de simulaci´on el
p oblema de seguimien o de ayec o ias pa a un
obo plano de dos g ados de libe ad como se ep-
esen a en la igu a 1.
El obo es ´a compues o po dos masas pun uales
m1ym2en los ex emos de las a iculaciones
de longi udes l1yl2. La con igu aci´on del obo
end ´a dada po las a iables a icula es q1yq2.
El obo es ´a ac uado median e dos pa es aplica-
dos en sendas a iculaciones, τ1yτ2.
Las ecuaciones de mo imien o pa a es e obo se
pueden ob ene median e la o mulaci´on de Eule -
Lag ange eniendo en cuen a las exp esiones de la
ene g´ıa cin´e ica y po encial
T(q, ˙q) = 1
2˙qTM(q)q
U(q)=(m1+m2)gl1c1+m2gl2c2(31)
exp esiones en las que se ha empleado la no aci´on
compac a c2=cos(q2), s1=sin(q1), e c. Adi-
cionalmen e la ma iz de ine cias, M(q), puede
calcula se como
M(q) = µ(m1+m2)l2
1m2l1l2(s1s2+c1c2)
m2l1l2(s1s2+c1c2)m2l2
2¶
(32)
τ1
τ2
q2
q1
m1
m2
l2
l1
Figu a 1: Robo de dos g ados de libe ad como
ejemplo de aplicaci´on
Con es a con igu aci´on puede dise˜na se una ley de
con ol pa a el sis ema siguiendo el p ocedimien o
expues o en el apa ado 3.
Pa a simpli ica , conside a emos a(˜x) = a. Es de-
ci , un alo cons an e que induci ´a un a io de
disipaci´on exponencial la la unci´on de Lyapuno
V(˜x).
De es e modo, pa a un conjun o de alo es ´ıpicos
de los pa ´ame os ´ısicos de es e obo puede
ob ene se un compo amien o como se mues a en
la igu a 2.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
50
100
150
Posición (g ados)
A iculación 1
A iculación 2
Tiempo (s)
Figu a 2: Resul ado de simulaci´on del con ol
p opues o sob e un obo de dos g ados de lib-
e ad
Es esul ado es aco de con lo que cab ´ıa espe a
eniendo en cuen a que la es uc u a de con ol
p opues a no conside a ince idumb es de mode-
lado e incluye impl´ıci amen e en su plan eamien o
un linealizaci´on pa cial po ealimen aci´on de la
es uc u a de con ol.

5 Conclusiones
Es e abajo p esen a una aplicaci´on de los p inci-
pios de con ol de Zubo , ´ın imamen e elaciona-
dos con las ´ecnicas de con ol de Lyapuno , a un
obo manipulado gen´e ico.
El m´e odo de dise˜no se basa en la cons ucci´on
de un unci´on de Lyapuno , V(˜x), soluci´on de la
ecuaci´on de Zubo pa a un obo manipulado ,
imponiendo una din´amica pa a el a io de dec ec-
imien o de dicha unci´on.
El con ol as´ı plan eado pa a un obo sin in-
ce idumb es de modelado, pe mi e ob ene una
soluci´on expl´ıci a pa a la ley de con ol que
ga an ice el desempe˜no desc i o en ´e minos de
din´amica de lazo ce ado de V(˜x).
Adicionalmen e, se mues a que la es uc u a del
con ol puede pa icula iza se, mos ando que el
con ol esul an e p esen a una es uc u a PD
cl´asica, de ganancias a iables no lineales.
El desempe˜no de es a es a egia de con ol, se
mues a en esul ados de simulaci´on sob e un
obo ´ıpico de dos g ados de libe ad.
Ag adecimien os
Los au o es quie en ag adece a la CICYT po
inancia es e abajo bajo el p oyec o DPI2001-
2424-C02-01.
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