Una Aplicación del método de Zubov para control de Robots Manipuladores

Una Aplicaci´on del m´e odo de Zubo pa a con ol de Robo s Manipulado es Ca los Vi as Venegas F ancisco R. Rubio Dep . Ingenie ´ıa de Sis emas y Au om´a ica. Escuela Supe io de Ingenie os Uni e sidad de Se illa. Camino de los Descub imien os s/n. 41092-Se illa. SPAIN e-mail: i [email p o ec ed], [email p o ec ed] Resumen Es e a ´ıculo p esen a una me odolog´ıa pa a el dise˜no de un con ol no lineal de obo s manip- ulado es basada en los p incipios de dise˜no no lineal de Zubo . En pa icula , la es a egia de con ol p opues a consis e en egula el a io de disipaci´on ene g´e ica del obo a lazo ce ado, ajus ´andola a una de e minada din´amica es able deseada. Pa a ello se o mulan las ecuaciones mec´anicas del obo en un ma co ap opiado y se p opone una o ma ce ada pa a la unci´on de Lya- puno soluci´on de la ecuaci´on de Zubo del sis- ema. De es e modo es posible ob ene una ex- p esi´on expl´ıci a pa a la ley de con ol del sis ema. Pa a ejempli ica el desempe˜no del con ol p op- ues o, se p esen an esul ados de simulaci´on sob e un obo plano de dos g ados de libe ad. Palab as cla e: Robo s Manipulado es, Con ol de Lyapuno , Zubo . 1 INTRODUCCI ´ ON El p op´osi o del con ol de ayec o ias de obo s manipulado es es log a que las a iculaciones del obo se mue an de acue do con ayec o ias p es ablecidas aplicando los pa es y/o ue zas co - ec i as necesa ias. En el caso de un obo manipulado , es a a ea se e di icul ada po la din´amica no lineal que go- bie na el compo amien o del mismo as´ı como la in luencia de pe u baciones ex e nas al sis emas o din´amicas no modeladas. Di e sas es a egias de con ol se han o mulado en la li e a u a pa a es e p oblema en pa icula . Dejando a un lado las ´ecnicas cl´asicas de con- ol a icula lineal descen alizado, las ´ecnicas de ”Linealizaci´on exac a” y su aplicaci´on a obo s manipulado es despe a on un conside able in- e ´es an o en los campos e´o icos ([7] y [9]) como en sus aplicaciones p ´ac icas ([6]). Debido a que es os m´e odos se basan en la cancelaci´on de ´e minos no lineales median e ealimen aci´on de es ados, p esen an p oblemas an e la ince idum- b es de modelado siemp e p esen es en odo sis- ema eal. O os en oques m´as exi osos se de i a on de la aplicaci´on de ´ecnicas de con ol adap a i o ([5],[14],[2] y [3]), pa a ajus a en l´ınea los pa ´ame os del con olado en unci´on del compo - amien o obse ado del obo , o ´ecnicas de con- ol Robus o como las p esen adas en el con ex o lineal en [10] o [13]. M´as ecien emen e en oques obus os no lineales han sido ambi´en p esen ados en [4], donde se adap ´o el p oblema de con ol de obo s manipulado es al ma co e´o ico del con ol H∞no lineal. En es e a ´ıculo p esen amos un en oque pa a el con ol a icula de obo s manipulado es basado en la eo ´ıa de an´alisis de es abilidad de Lya- puno . En la li e a u a pe inen e al espec o pueden encon a se dos en oques di e enciados: Po un lado, un es a egia consis e en dise˜na una ley de con ol ap opiada pa a el sis ema no lin- eal de modo que sa is aga cie os eque imien os de desempe˜no, pa a pos e io men e de e mina la es abilidad del sis ema cons uyendo un unci´on de Lyapuno del sis ema ([8]). Un segundo en- oque consis e en de e mina en p ime luga una unci´on de Lyapuno pa a el sis ema a lazo ce - ado pa a ga an iza la es abilidad del sis ema, pa a pos e io men e dise˜na una ley de con ol ap opiada que inco po e los eque imien os de de- sempe˜no ijados. T abajos ele an es en es e sen- ido pueden encon a se en [1], [11] o [12]. La iloso ´ıa de con ol p esen ada en es e abajo se enma ca den o del segundo de es os en oques. En p ime luga plan eamos la cons ucci´on de una unci´on de Lyapuno a lazo ce ado pa a el seguimien o de ayec o ias basada en a gumen- os ene g´e icos, que sa is aga la ecuaci´on de Zubo del sis ema. En segundo luga , y aqu´ı eside la p incipal con ibuci´on de es e abajo, o mu- lamos el c´alculo de una ley de con ol expl´ıci a no lineal bas´andonos en el con ol del a io de disi- paci´on de ene g´ıa a lazo ce ado del obo . De es e modo se ob iene una ley disipaci´on de en- e g´ıa exponencialmen e dec ecien e que ga an iza es abilidad asin ´o ica global del sis ema. El a ´ıculo es ´a o ganizado como sigue: En el apa ado 2 se p esen a el plan eamien o del p ob- lema donde se in oduce un desc ipci´on ap opiada de espacio de es ados de la din´amica de un obo manipulado . En es e mismo apa ado se ecue da b e emen e el p incipio de con ol de Zubo y la ecuaci´on que lo de ine, as´ı como la o ma que adop- amos pa a la unci´on de Lyapuno del sis ema que p oponemos como soluci´on de la misma. En el apa ado 3 se plan ea el dise˜no de la ley de con ol donde se p opo ciona una ex- p esi´on expl´ıci a pa a la misma aco de con los plan eamien os p e ios de con ol. El a ´ıculo inaliza p esen ando en el apa ado 4 esul ados simulaci´on pa a el desempe˜no de la es a egia p opues a sob e un obo ´ıpico de dos g ados de libe ad, as´ı como cie as conclusiones y comen- a ios. 2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Modela emos un obo manipulado aplicando los p incipios mec´anicos de Lag ange, pa a ob ene las ecuaciones din´amicas es ´anda τ=M(q)¨q+C(q, ˙q) ˙q+G(q) (1) donde como es habi ual q∈Rn ep esen a las co- o denadas gene alizadas del obo , M(q)∈Rn×n es la ma iz sim´e ica de inida posi i a de ´e minos de ine cia, C(q, ˙q)∈Rn×nes la ma iz de ´e minos de Co iolis y Cen ´ı ugos, y G(q)∈Rn es la ma iz de ´e minos g a i a o ios. En lo que sigue, asumi emos que enemos medidas de las posiciones, qy elocidades a icula es ˙q, no as´ı de las acele aciones, ¨q. Asimismo, asumi emos que el pa a icula , τ, es ´a disponible como se˜nal de con ol y las ma ices M,CyGse supond ´an de es uc u a conocida, con eniendo pa ´ame os cons an es. Adicionalmen e, podemos de ini un ayec o ia de e e encia q ( )∈C1, que podemos asumi se en- cuen a den o de los l´ımi es ´ısicos y cinem´a icos alcanzables po obo en pa icula . Las a iables ¨q ( ), ˙q ( ) y q ( ) pueden ´ıpicamen e gene a se median e un modelo de e e encia de la o ma ¨q +Kd˙q +Kpq =K ( ) (2) donde ( ) es una se˜nal aco ada gen´e ica. De es e modo podemos de ini las a iables de e o como   ¨ ˜q ˙ ˜q ˜q  =  ¨q−¨q ˙q−˙q q−q  ; ˜x=x−x =µ˙q−˙q q−q ¶ (3) El obje i o de con ol se ´a po an o encon a una ley de ealiemen aci´on de es ados u(x) que pe mi a segui de o ma es able una de e minada ayec o ia de e e encia q ( ), ˙q ( ). 2.1 Desc ipci´on de espacio de es ados Pa a o mula el con ol p opues o den o del ma co es ´anda de la eo ´ıa de con ol de Lya- puno , es necesa io o mula una desc ipci´on de espacio de es ados pa a las ecuaciones din´amicas del obo . Es inmedia o ob ene ˙ ˜x( ) = µ−M−1(q)C(q, ˙q) 0n×n In×n0n×n¶˜x( ) +µ−¨q −M−1(q)(G(q) + C(q, ˙q) ˙q ) 0n×n¶ +µIn×n 0n×n¶M−1(q)τ(4) O en no aci´on compac a ˙ ˜x( ) = A0(q, ˙q)˜x+B0(¨q ,˙q ,¨q, ˙q) + BM−1(q)τ (5) Con de iniciones ob ias pa a las ma ices, A0,B0 yB. Con el obje o de plan ea una unci´on de Lya- puno pa a el sis ema a bucle ce ado, es in e e- san e sin emba go ans o ma las ecuaciones (4) pa a que adop en una o ma m´as con enien e. Aplicando el siguien e cambio de coo denadas in- spi ado en los esul ados de ([4]). ˜z=T0˜x=µT11 T12 0In×n¶µ ˙ ˜q ˜q¶(6) Donde T11 ,T12 ∈Rn, son, en p incipio, ma ices in e ibles a bi a ias. Con es e cambio podemos exp esa el sis ema (4) como ˙ ˜x( ) = T−1 0µ−M−1(q)(1 2˙ M(q) + N(q, ˙q)) 0n×n −T−1 11 −T−1 11 T12 ¶ ·T0˜x( ) + T−1 0µ−M(q)−1 0n×n¶u(7) donde N(q, ˙q) es la ma iz an isim´e ica de inida a pa i de los ´e minos de M(q) como nij =1 2 n X k=1 µ∂mik(q) ∂qj −∂mjk(q) ∂qi¶˙qk(8) donde la elaci´on en e uyτ iene impl´ıci amen e de inida a pa i del cambio de acci´on de con ol u=¡M(q)1 2˙ M(q, ˙q) + N(q, ˙q)¢µ˙ ˜z ˜z¶(9) siendo ˜zde inidida como en (6). La ecuaci´on (7) podemos esc ibi la en o ma com- pac a como ˙ ˜x( ) = A1(q, ˙q)˜x+B1(q)u(10) Con las de iniciones co espondien es pa a las ma- ices, A1yB1. Una ez ob enida la ep esen aci´on de espacio de es ados del sis ema, podemos o mula una unci´on de Lyapuno que ga an ice la es abilidad global del sis ema y o mula la ley de con ol ap opiada. 2.2 M´e odo de Zubo Conside emos la siguien e ecuaci´on di e encial en de i adas pa ciales de p ime o den ∂V (˜x) ∂˜x(A1(q, ˙q)˜x+B1(q)u) = −Q(˜x) (11) Donde V(˜x) es la soluci´on, en p incipio descono- cida, de la ecuaci´on (11), y Q(˜x) es una unci´on escala de inida posi i a en RnyQ(0) = 0. Es in e esan e des aca que si la ecuaci´on (11) ad- mi e una soluci´on V(˜x) de inida posi i a, en onces V(˜x) es una unci´on de Lyapuno del sis ema (10). Como se mos a ´a en la secci´on (3) el en oque p opues o en es e abajo se basa en es os e- sul ados, p oponiendo una o ma ce ada pa a soluci´on pa a la ecuaci´on (11), en la cual se oma Q(˜x) = a(˜x)V(˜x), con a(˜x) de inida posi i a. Es o equi ale a plan ea una din´amica deseada es- able pa a la e oluci´on empo al de la unci´on de Lyapuno V(˜x). 2.3 Funci´on de Lyapuno pa a el sis ema Pa a el sis ema exp esado en (11) podemos pos u- la una unci´on de Lyapuno de lazo ce ado del sis ema como V(˜x( ), ) = 1 2˜xTTT 0µM(q) 0 0K¶T0˜x(12) unci´on que es de inida posi i a siemp e y cuando la ma iz de ponde aci´on Klo sea. La es abilidad del sis ema a lazo ce ado es a ´a ga an izada si podemos asegu a que ˙ V( )<0 ∀ . Calculando es a de i ada empo al podemos exp esa dV (˜x( ), ) d =∂V (˜x( ), ) ∂ + +∂V (˜x( ), ) ∂˜x(A1(q, ˙q)˜x+B1(q)u) (13) Nues o obje i o es de e mina la ley de con- ol u(˜x) que ga an ice la es abilidad del sis- ema, cumpliendo con unas especi icaciones de de- sempe˜no de e minadas. 3 De e minaci´on de la ley de con ol Pa a de e mina la ley de con ol del sis ema, plan eamos una din´amica deseada a lazo ce ado pa a la e oluci´on empo al de la unci´on de Lya- puno V(˜x) de la o ma dV (˜x( ), ) d +a(˜x)V(˜x( ) = 0 (14) donde a(˜x)>0∀˜x6= 0. Es o es equi alen e a im- pone una unci´on Q(˜x) = a(˜x)V(˜x) en la ecuaci´on (11). La ecuaci´on (14) puede esol e se de o ma expl´ıci a mos ando una e oluci´on empo al de V(˜x( ) de la o ma V(˜x( ) = V(˜x( 0))e−R 0 a(˜x(τ))dτ (15) E oluci´on que es mon´o ona no c ecien e pa a a(˜x( )) >0 y po an o una din´amica es abilizan e pa a el sis ema a lazo ce ado. De es e modo, y pa iendo de la soluci´on gen´e ica p opues a pa a V(˜x) en (12), podemos desa olla los ´e minos de (14) como dV (˜x( ), ) d =∂V (˜x( ), ) ∂ +∂V (˜x( ), ) ∂˜x˙ ˜x(17) El p ime ´e mino de es a exp esi´on puede calcu- la se como ∂V (˜x( ), ) ∂ =1 2˜xTTT 0µ(∂M(˜x, ) ∂ 0 0 0 ¶T0˜x (18) Po o o lado enemos Γ(˜x, ) = ˜xTµa(˜x)TT 11M(q)T11 K+a(˜x)TT 11M(q)T12 K+a(˜x)TT 11M(q)T12 a(˜x)[K+TT 12M(q)T12]¶˜x ˜xTµTT 11T11 TT 11T12 TT 12T11 TT 12T12 ¶˜x (16) dM(q) d =dM(˜q+q ( )) d =dM(˜x+x ( )) d = 2n X k=1 ∂M(˜x, ) ∂˜x˙ ˜xk+∂M(˜x, ) ∂ (19) Luego pod emos expandi (18) como ∂V (˜x( ), ) ∂ = (20) 1 2˜xTTT 0µ˙ M(˜x, )−P2n k=1 ∂M(˜x, ) ∂˜x˙ ˜xk0 0 0 ¶T0˜x Pa a el segundo ´e mino de (17) podemos esc ibi ∂V (˜x( ), ) ∂˜x˙ ˜x= ˜xTTT 0µM(˜x, ) 0 0K¶T0˙ ˜x +1 2 2n X k=1 ˜xTTT 0µ∂M(˜x, ) ∂˜xk ˙ ˜xk0 0 0 ¶T0˜x(21) Ag upando ´e minos en (18) y (21) podemos ex- p esa dV (˜x( ), ) d = ˜xTTT 0µM(q) 0 0K¶T0˙ ˜x +1 2 2n X k=1 ˜xTTT 0µ˙ M(q, ˙q) 0 0 0 ¶T0˜x(22) donde sus i uyendo en (22) la exp esi´on pa a ˙ ˜xen (7) enemos dV (˜x( ), ) d = ˜xTµ0 0 K0¶˜x −˜xTTT 0BN(q, ˙q)BTT0˜x+ ˜xTTT 0Bu (23) En es a ´ul ima exp esi´on podemos elimina el se- gundo ´e mino en i ud de la an isime ´ıa de la ma iz N(q, ˙q) pa a ob ene dV (˜x( ), ) d = ˜xTµ0 0 K0¶˜x+ ˜xTTT 0Bu (24) De es e modo, y sus i uyendo la exp esi´on en (24) en la ecuaci´on de din´amica deseada pa a V(˜x) en (14) end emos ˜xTµ0 0 K0¶˜x+ ˜xTTT 0Bu +˜xTTT 0µM(q) 0 0K¶T0˜x= 0 (25) Ecuaci´on que p opo ciona impl´ıci amen e la ex- p esi´on de u(˜x) pa a la ley de con ol. En no aci´on compac a pa a (25) podemos esc ibi X(˜x)u+ Y(˜x, ) = 0. De es a igualdad podemos ob ene una exp esi´on expl´ıci a pa a u(˜x) como u(˜x) = X(˜x)+Y(˜x, ) = X(˜x)T(X(˜x)·X(˜x)T)−1Y(˜x, ) (26) donde X(˜x)+es la pseudo-in e sa o in e sa de Moo e-Pen ose de X(˜x). desa ollando la exp esi´on en (26) ob enemos la exp esi´on pa a u(˜x) como u(˜x) = −8Γ(˜x, )[T11T12]˜x(27) donde Γ(˜x, ) es la unci´on escala dada en (16). Es in e esan e esal a que la exp esi´on as´ı ob enida median e la aplicaci´on de la ma iz pseudo-in e sa p esen a la m´ınima no ma 2 pa a u(˜x) soluci´on de (14), y po an o se ´a la ”meno ” se˜nal de con ol aplicable pa a ob ene el compo - amien o deseado a lazo ce ado. 3.1 P opiedades de la ley de con ol La o ma gen´e ica de la ley de con ol en (27) ad- mi e pa icula izaciones no ables, como la que se ob iene en el caso de oma T11 =KV=1 8diag{k i}(28) T12 =KP=1 8diag{kpi}(29) donde k i ykpi son ganancias posi i as. En es e caso, podemos exp esa u(˜x) = −Γ(˜x, )(KP˜q+KV˙ ˜q) (30) ley de con ol que puede iden i ica se como un con- ol PD no lineal de ganancias a iables modu- ladas po el ´e mino Γ(˜x, ), que ija el a io de dec ecimien o de la ene g´ıa del sis ema. La ley de con ol as´ı o mulada iene un cla a in- e p e aci´on en ´e minos ´ısicos al p opo ciona a di e encia de o as es a egias de con ol al uso, un a io de disipaci´on de ene g´ıa a iable en unci´on de la lejan´ıa del sis ema a la si uaci´on de equilib- io deseada. Es e a io puede adem´as modula se inco po ando unciones a(˜x)>0 ap opiada (Ej: alo es cons an es, o mas cuad ´a icas, e c). Es in e esan e comen a sin emba go que la ganan- cia no lineal Γ(˜x, ) es un alo inde inido pa a ˜x= 0. Es a inde e minaci´on pun ual puede se ´acilmen e sol en ada sin emba go en la imple- men aci´on del con olado , conmu ando a con ol u(˜x) = 0 en las p oximidades del pun o de equi- lib io. En el apa ado siguien e se mues an esul ados de la aplicaci´on de es a es a egia de con ol a obo simple de dos g ados de libe ad. 4 Una aplicaci´on de simulaci´on Conside amos en es e ejemplo de simulaci´on el p oblema de seguimien o de ayec o ias pa a un obo plano de dos g ados de libe ad como se ep- esen a en la igu a 1. El obo es ´a compues o po dos masas pun uales m1ym2en los ex emos de las a iculaciones de longi udes l1yl2. La con igu aci´on del obo end ´a dada po las a iables a icula es q1yq2. El obo es ´a ac uado median e dos pa es aplica- dos en sendas a iculaciones, τ1yτ2. Las ecuaciones de mo imien o pa a es e obo se pueden ob ene median e la o mulaci´on de Eule - Lag ange eniendo en cuen a las exp esiones de la ene g´ıa cin´e ica y po encial T(q, ˙q) = 1 2˙qTM(q)q U(q)=(m1+m2)gl1c1+m2gl2c2(31) exp esiones en las que se ha empleado la no aci´on compac a c2=cos(q2), s1=sin(q1), e c. Adi- cionalmen e la ma iz de ine cias, M(q), puede calcula se como M(q) = µ(m1+m2)l2 1m2l1l2(s1s2+c1c2) m2l1l2(s1s2+c1c2)m2l2 2¶ (32) τ1 τ2 q2 q1 m1 m2 l2 l1 Figu a 1: Robo de dos g ados de libe ad como ejemplo de aplicaci´on Con es a con igu aci´on puede dise˜na se una ley de con ol pa a el sis ema siguiendo el p ocedimien o expues o en el apa ado 3. Pa a simpli ica , conside a emos a(˜x) = a. Es de- ci , un alo cons an e que induci ´a un a io de disipaci´on exponencial la la unci´on de Lyapuno V(˜x). De es e modo, pa a un conjun o de alo es ´ıpicos de los pa ´ame os ´ısicos de es e obo puede ob ene se un compo amien o como se mues a en la igu a 2. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 50 100 150 Posición (g ados) A iculación 1 A iculación 2 Tiempo (s) Figu a 2: Resul ado de simulaci´on del con ol p opues o sob e un obo de dos g ados de lib- e ad Es esul ado es aco de con lo que cab ´ıa espe a eniendo en cuen a que la es uc u a de con ol p opues a no conside a ince idumb es de mode- lado e incluye impl´ıci amen e en su plan eamien o un linealizaci´on pa cial po ealimen aci´on de la es uc u a de con ol. 5 Conclusiones Es e abajo p esen a una aplicaci´on de los p inci- pios de con ol de Zubo , ´ın imamen e elaciona- dos con las ´ecnicas de con ol de Lyapuno , a un obo manipulado gen´e ico. El m´e odo de dise˜no se basa en la cons ucci´on de un unci´on de Lyapuno , V(˜x), soluci´on de la ecuaci´on de Zubo pa a un obo manipulado , imponiendo una din´amica pa a el a io de dec ec- imien o de dicha unci´on. El con ol as´ı plan eado pa a un obo sin in- ce idumb es de modelado, pe mi e ob ene una soluci´on expl´ıci a pa a la ley de con ol que ga an ice el desempe˜no desc i o en ´e minos de din´amica de lazo ce ado de V(˜x). Adicionalmen e, se mues a que la es uc u a del con ol puede pa icula iza se, mos ando que el con ol esul an e p esen a una es uc u a PD cl´asica, de ganancias a iables no lineales. El desempe˜no de es a es a egia de con ol, se mues a en esul ados de simulaci´on sob e un obo ´ıpico de dos g ados de libe ad. Ag adecimien os Los au o es quie en ag adece a la CICYT po inancia es e abajo bajo el p oyec o DPI2001- 2424-C02-01. Re e encias [1] Z. A s ein, ”S abiliza ion wi h elaxed con- ols”, (1983), Nonlinea Analysis. 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