XX Cong eso de Ecuaciones Di e enciales y Aplicaciones
X Cong eso de Ma em´
a ica Aplicada
Se illa, 24-28 sep iemb e 2007
(pp. 1–8)
Sob e el m´e odo de Goduno pa a sis emas hipe b´olicos no
conse a i os
M.L. Mu˜
noz Ruiz1, C. Pa ´
es Mad o˜
nal2
1Dp o. Ma em´a ica Aplicada, Uni e sidad de M´alaga, Campus de Tea inos s/n, 29071 M´alaga. E-mail:
[email p o ec ed].
2Dp o. An´alisis Ma em´a ico, Uni e sidad de M´alaga, Campus de Tea inos s/n, 29071 M´alaga. E-mail:
[email p o ec ed].
Palab as cla e: sis emas hipe b´olicos no conse a i os, m´e odo de Goduno
Resumen
En es e abajo se abo da la ap oximaci´on num´e ica del p oblema de Cauchy pa a
sis emas hipe b´olicos no conse a i os en dimensi´on uno. El concep o de soluci´on d´ebil
de dichos sis emas se de ine u ilizando la eo ´ıa de Dal Maso, Le Floch y Mu a , basada
en la elecci´on de una amilia de caminos en el espacio de es ados. En p ime luga ,
es ablecemos hip´o esis pa a la elecci´on de es a amilia de caminos y es udiamos sus
implicaciones, en pa icula , la ob enci´on de una exp esi´on del m´e odo de Goduno
que gene aliza su exp esi´on cl´asica pa a sis emas de leyes de conse aci´on. A con inua-
ci´on se es udian las p opiedades de buen equilib ado de es os m´e odos. Finalmen e,
p obamos la consis encia del esquema num´e ico ob enido con la de inici´on de soluciones
d´ebiles. En conc e o, p obamos que, bajo la hip´o esis de a iaci´on o al aco ada, si las
ap oximaciones ob enidas median e un m´e odo de Goduno basado en una amilia de
caminos con e ge uni o memen e a alguna unci´on cuando la malla se e ina, en onces
es a unci´on es una soluci´on d´ebil del sis ema no conse a i o, ela i a a esa amilia de
caminos. Es e esul ado se ex iende a los esquemas num´e icos basados en Resol edo es
de Riemann Ap oximados.
1. In oducci´on
En es e abajo se es udia la ap oximaci´on num´e ica de sis emas hipe b´olicos no con-
se a i os: ∂W
∂ +A(W)∂W
∂x = 0, x ∈R, > 0,(1)
donde W(x, ) oma alo es en un subconjun o abie o y con exo Ω de RNyAes una
unci´on egula y localmen e aco ada de Ω en MN(R). Suponemos que es e sis ema es
1
M.L. Mu˜noz, C. Pa ´es
es ic amen e hipe b´olico y que los campos ca ac e ´ıs icos asociados son o bien genuina-
men e no lineales o bien linealmen e degene ados.
En pa icula , los sis emas de E.D.P. de la o ma
∂W
∂ +∂F
∂x (W) = B(W)∂W
∂x +S(W)dσ
dx,(2)
donde Wpe enece a un subconjun o abie o y con exo Ω de RN,Fes una unci´on egula
de Ω en RN,Bes una unci´on egula de Ω en MN(R), Ses una unci´on de Ω en RNy
σes una unci´on conocida de Ren Rse pueden eesc ibi bajo la o ma cuasilineal (1)
a˜nadiendo a (2) la ecuaci´on
∂σ
∂ = 0.
El sis ema (2) incluye como casos pa icula es: sis emas de leyes de conse aci´on (B=
0, S= 0); sis emas de leyes de conse aci´on con ´e mino uen e o leyes de equilib io
(B= 0); y sis emas acoplados de leyes de conse aci´on como los del ipo de inido en [1].
2. Soluciones d´ebiles
Conside amos el p oblema en o mulaci´on no conse a i a (1), bajo las hip´o esis es-
ablecidas en la secci´on an e io .
En el caso en que una soluci´on Wes discon inua, el p oduc o no conse a i o A(W)Wx
no iene sen ido en el ma co de las dis ibuciones. Sin emba go, haciendo uso de la eo ´ıa
desa ollada po Dal Maso, LeFloch y Mu a [2], se puede da una de inici´on igu osa de
soluciones d´ebiles, de inici´on asociada a la elecci´on de una amilia de caminos en Ω, es
deci , una aplicaci´on Φ: [0,1] ×Ω×Ω→Ω localmen e lipschi ziana que e i ica
Φ(0; WL, WR) = WLy Φ(1; WL, WR) = WR,∀WL, WR∈Ω.
Bajo cie as hip´o esis de egula idad sob e Φ, dada una unci´on W∈(L∞(R×R+)∩
BV (R×R+))N, el p oduc o no conse a i o A(W)Wxpuede se in e p e ado como una
medida de Bo el, que deno a emos po [A(W)Wx]Φ. Si Wes egula a ozos, es a medida
de Bo el asociada al p oduc o no conse a i o iene dada, en un iempo ijado , po
A(W(·, ))∂W
∂x (·, )Φ
, ϕ=ZR
A(W(x, ))∂W
∂x (x, )ϕ(x)dx
+X
mZ1
0
A(Φ(s;W−
m, W+
m))∂Φ
∂s (s;W−
m, W+
m)dsϕ(xm( )),∀ϕ∈ C0(R).(3)
La exp esi´on Wxde la p ime a in eg al ep esen a la de i ada pun ual de W(·, ); xm( )
ep esen an la posici´on de las discon inuidades de Wen el iempo ;W−
myW+
mson los
l´ımi es de Wa izquie da y de echa, espec i amen e, de la discon inuidad m-´esima en el
iempo ; y C0(R) es el conjun o de aplicaciones con inuas con sopo e compac o.
Una unci´on W∈(L∞(R×R+)∩BV (R×R+))NC1a ozos es una soluci´on d´ebil
de (1) si sa is ace la igualdad
∂W
∂ +A(W)∂W
∂x Φ
= 0.
2
Sob e el m´e odo de Goduno pa a sis emas hipe b´olicos no conse a i os
Se di ´a que Wes una Φ-soluci´on de (1) si es una soluci´on d´ebil asociada a la amilia
de caminos Φ. Cuando no haya luga a con usi´on, se omi i ´a la dependencia de Φ en la
no aci´on.
A lo la go de una discon inuidad, una soluci´on d´ebil debe sa is ace la condici´on de
Rankine-Hugonio gene alizada:
Z1
0ξI − A(Φ(s;W−, W+))∂Φ
∂s (s;W−, W +)ds = 0,(4)
donde ξes la elocidad de p opagaci´on de la discon inuidad, Ies la ma iz iden idad, y
W−yW+son, espec i amen e, los l´ımi es a izquie da y de echa de la soluci´on a lo la go
de la discon inuidad.
En el caso pa icula de un sis ema de leyes de conse aci´on, es deci , cuando A(W)
co esponde a la ma iz jacobiana de una unci´on de lujo F(W), la de inici´on de p oduc o
no conse a i o como una medida de Bo el es independien e de la elecci´on de caminos y la
condici´on de Rankine-Hugonio gene alizada se educe a la condici´on de Rankine-Hugonio
habi ual.
Al igual que ocu e en el caso conse a i o, no oda discon inuidad es admisible. Po
lo an o, se hace necesa io asumi un concep o de soluci´on en ´opica, como el de Lax o
bien el siguien e, basado en un pa de en op´ıa (η, G) pa a (1), i.e. un pa de unciones
egula es de Ω en R al que
∇G(W) = ∇η(W)· A(W),∀W∈Ω,
y seg´un el cual una soluci´on d´ebil se dice que es en ´opica si sa is ace la desigualdad
∂η(W)
∂ +∂G(W)
∂x ≤0
en el sen ido de las dis ibuciones.
3. Elecci´on de caminos
La elecci´on de la amilia de caminos es impo an e ya que de e mina la elocidad de
p opagaci´on de las discon inuidades. La elecci´on m´as simple es la dada po la amilia de
segmen os, que co esponde la de inici´on de p oduc os no conse a i os in oducida po
Volpe en [7]. En gene al, debe es a basada en los aspec os ´ısicos del p oblema; sin
emba go, desde el pun o de is a ma em´a ico es na u al exigi a es a amilia que sa is aga
algunas hip´o esis conce nien es a la elaci´on de los caminos con las cu as in eg ales de
los campos ca ac e ´ıs icos. En es e abajo asumi emos que la amilia de caminos sa is ace
las siguien es hip´o esis:
(H1) Dados dos es ados WLyWRpe enecien es a la misma cu a in eg al γde un campo
linealmen e degene ado, el camino Φ(·;WL, WR) es una pa ame izaci´on del a co de
γque une WLyWR.
(H2) Dados dos es ados WLyWRpe enecien es a la misma cu a in eg al γde un campo
genuinamen e no lineal, Ri, y al que λi(WL)< λi(WR), el camino Φ(·;WL, WR) es
una pa ame izaci´on del a co de γque une WLyWR.
3
M.L. Mu˜noz, C. Pa ´es
(H3) Deno emos po RP ⊂ Ω×Ω el conjun o de pa es (WL, WR) ales que el p oblema
de Riemann 






W +A(W)Wx= 0,
W(x, 0) = (WLi x < 0,
WRi x > 0,
(5)
iene una ´unica soluci´on d´ebil au osimila compues a po a lo sumo Nondas sim-
ples (i.e. choques en ´opicos, discon inuidades de con ac o u ondas de a e acci´on)
conec ando J+ 1 es ados in e medios cons an es
W0=WL, W1, . . . , WJ−1, WJ=WR,
con J≤N. En onces, dados (WL, WR)∈ RP, la cu a desc i a po el camino
Φ(·;WL, WR) en Ω es igual a la uni´on de las co espondien es a los caminos Φ(·;Wj−1, Wj),
j= 1, . . . , J.
El es ablecimien o de es as hip´o esis nos pe mi e p oba las p opiedades siguien es:
P oposici´on Asumamos que el concep o de soluciones d´ebiles de (1) es ´a de inido en la
base de una amilia de caminos que sa is ace las hip´o esis (H1)-(H3). En onces:
(i) Dados dos es ados WLyWRpe enecien es a la misma cu a in eg al de un campo
linealmen e degene ado, la discon inuidad de con ac o dada po
W(x, ) = (WLi x < σ ,
WRi x > σ ,
donde σes el alo cons an e del au o alo co espondien e a lo la go de la cu a
in eg al, es una soluci´on d´ebil en ´opica de (1).
(ii) Sea un pa de es ados (WL, WR)de RP y sea Wla soluci´on del p oblema de Rie-
mann (5). Se iene, pa a cada > 0, la desigualdad
hA(W(·, ))Wx(·, ),1i=Z1
0
A(Φ(s;WL, WR))∂Φ
∂s (s;WL, WR)ds.
Po an o, la masa o al de la medida de Bo el A(W(·, ))Wx(·, )es independien e
de .
(iii) Sea (WL, WR)un pa de RP y sea Wjcualquie a de los es ados in e medios en la
soluci´on del p oblema de Riemann (5). En onces
Z1
0
A(Φ(s;WL, WR))∂Φ
∂s (s;WL, WR)ds
=Z1
0
A(Φ(s;WL, Wj))∂Φ
∂s (s;WL, Wj)ds
+Z1
0
A(Φ(s;Wj, WR))∂Φ
∂s (s;Wj, WR)ds.
4
Sob e el m´e odo de Goduno pa a sis emas hipe b´olicos no conse a i os
Es posible da un p ocedimien o gene al pa a cons ui una amilia de caminos que sa-
is aga las hip´o esis (H1)-(H3), al menos pa a la clase RP, ex endiendo la eo ´ıa de ondas
simples de sis emas hipe b´olicos de leyes de conse aci´on y los esul ados conce nien es a
las soluciones de los p oblemas de Riemann al caso de sis emas hipe b´olicos no conse a-
i os.
4. El m´e odo de Goduno pa a sis emas hipe b´olicos no
conse a i os
Conside emos el sis ema (1) bajo las condiciones es ablecidas en la secci´on 1, con
condici´on inicial
W(x, 0) = W0(x), x ∈R,(6)
y asumamos que la amilia de caminos Φ usada en la de inici´on del p oduc o no conse a i o
A(W)Wxsa is ace las hip´o esis (H1)-(H3).
Pa a disc e iza el sis ema conside amos celdas Ii= [xi−1/2, xi+1/2] que supond emos,
po comodidad, de ama˜no cons an e ∆xy de inimos xi+1
2=i∆x. De inimos ambi´en
xi= (i−1/2)∆x, el cen o de cada celda Ii. Sea ∆ el paso de iempo y de inamos
n=n∆ .
Deno amos po Wn
ia la ap oximaci´on de las medias en cada celda de la soluci´on exac a
ob enida con el esquema num´e ico en = n:
Wn
i∼
=1
∆xZxi+1/2
xi−1/2
W(x, n)dx.
Supongamos conocidos Wn
i. Como es usual en los m´e odos de Goduno , ap oximamos
la soluci´on en = n+1 po
Wn+1
i=1
∆xZxi
xi−1/2
Wi−1/2(x, n+1)dx +Zxi+1/2
xi
Wi+1/2(x, n+1)dx,
donde Wi+1/2deno a la soluci´on del p oblema de Riemann asociado a los es ados Wn
iy
Wn
i+1 en la in e celda x=xi+1/2.
Asumiendo una condici´on CFL 1/2 ob enemos la siguien e exp esi´on pa a el m´e odo
de Goduno :
Wn+1
i=Wn
i−∆
∆xZ1
0
A(Φ(s, Wn
i−1/2, Wn
i))∂Φ
∂s (s;Wn
i−1/2, Wn
i)ds
+Z1
0
A(Φ(s;Wn
i, Wn
i+1/2))∂Φ
∂s (s;Wn
i, Wn
i+1/2)ds,(7)
donde Wn
i+1/2es el alo (cons an e) de Wi+1/2en la in e celda x=xi+1/2. N´o ese que
Wi+1/2puede se discon inua en x=xi+1/2. En al caso, la discon inuidad en x=xi+1/2
es es aciona ia, po lo que la masa asociada al sal o co espondien e es ce o. Po an o,
en el esquema podemos eemplaza Wn
i+1/2bien po el l´ımi e de Wi+1/2a la izquie da de
xi+1/2,Wn,−
i+1/2, o bien po el l´ımi e a la de echa, Wn,+
i+1/2.
5

M.L. Mu˜noz, C. Pa ´es
En el caso pa icula de un sis ema de leyes de conse aci´on, en que Aes la ma iz
jacobiana de una unci´on de lujo F, (7) coincide con la exp esi´on habi ual del m´e odo de
Goduno pa a sis emas de leyes de conse aci´on.
Es e m´e odo es bien equilib ado. Reco demos que la p opiedad de buen equilib ado
es ´a elacionada con la ap oximaci´on num´e ica de las soluciones es aciona ias. El sis-
ema (1) admi e soluciones es aciona ias no i iales s´olo si iene campos linealmen e
degene ados: si W(x) es una soluci´on es aciona ia egula , sa is ace
A(W(x)) ·W0(x) = 0,∀x∈R.
Si W0(x)6= 0, en onces 0 es un au o alo de A(W(x)) con W0(x) como au o ec o asociado.
Po an o, es a soluci´on se puede in e p e a como una pa ame izaci´on de una cu a
in eg al de un campo linealmen e degene ado cuyo au o alo co espondien e oma el
alo 0 a lo la go de la cu a. Si llamamos Γ al conjun o de odas las cu as in eg ales
γde un campo linealmen e degene ado de A(W) al que el au o alo co espondien e se
anula en Γ, dada una cu a γ∈Γ, un esquema num´e ico se dice que es exac amen e bien
equilib ado (o espec i amen e bien equilib ado con o den k) pa a γsi esuel e de modo
exac o ( espec i amen e con o den O(∆xk)) soluciones egula es es aciona ias W ales que
W(x)∈γpa a cada x. Se dice que el esquema num´e ico es exac amen e bien equilib ado
(o bien equilib ado con o den k) si es as p opiedades se sa is acen pa a cada cu a de Γ
( ´ease [6] pa a m´as de alles).
5. Consis encia del m´e odo de Goduno
En [5] se conje u ´o un eo ema de con e gencia de ipo Lax-Wend o pa a esque-
mas num´e icos camino-conse a i os: si las soluciones ob enidas con un esquema camino-
conse a i o con e gen a alguna unci´on cuando se e ina la malla, en onces es a unci´on
debe se una soluci´on d´ebil del sis ema no conse a i o si las de iniciones de esquema
camino-conse a i o y soluci´on d´ebil hacen e e encia a la misma amilia de camios. El
esul ado p incipal de es a secci´on apun a en ese sen ido.
Asumimos que ∆ /∆xes una cons an e ija λcuando ∆xy ∆ ienden a 0 y una
condici´on CFL 1/2.
Como disc e izaci´on de la condici´on inicial elegimos las medias
W0
i=1
∆xZxi+1/2
xi−1/2
W0(x)dx.
Sea h= ∆xy sea Wh(x, ) la unci´on de inida c.p.d. en R×[0,∞) po
Wh(x, 0) = W0
i, x ∈(xi−1/2, xi+1/2),(8)
y
Wh(x, ) = Wi+1/2(x, ),(x, )∈(xi, xi+1)×[ n, n+1).(9)
La condici´on CFL impues a asegu a que las soluciones de los p oblemas de Riemann
adyacen es no in e ie en una con o a an es del ins an e de iempo n+1.
6
Sob e el m´e odo de Goduno pa a sis emas hipe b´olicos no conse a i os
Teo ema Dado h > 0, sea Whla ap oximaci´on num´e ica (9) ob enida con el m´e odo de
Goduno , y sea Wh(x, 0) dado po (8).
Supongamos que exis e una unci´on W∈(L∞(R×[0,∞)) ∩BV (R×[0,∞)))N al que
kWh(·, )−W(·, )kL∞(R)N−→
h→00en L1([0,∞)) (10)
y que exis e una cons an e C al que
TV (Wh(·, )) ≤C∀ ∈[0,∞), h > 0.(11)
En onces Wes una soluci´on d´ebil del p oblema (1) con condici´on inicial (6).
La p ueba de es e eo ema es una adap aci´on del eo ema de con e gencia de Lax-
Wend o pa a sis emas hipe b´olicos de leyes de conse aci´on, pa a la que hemos de usa
un esul ado de es abilidad pa a p oduc os no conse a i os es ablecido en [2].
El esul ado an e io no implica que la soluci´on d´ebil ob enida al e ina la malla sea
una soluci´on en ´opica. Si asumimos el concep o de soluci´on d´ebil en ´opica basado en un
pa de en op´ıa debemos p oba que
Z∞
0Z∞
−∞
η(W(x, ))∂ϕ
∂ (x, )dxd −Z∞
0Z∞
−∞
G(W(x, ))∂ϕ
∂x (x, )dxd
≤ − Z+∞
−∞
η(W0(x))ϕ(x, 0) dx ∀ϕ∈ C1
0(R×R+), ϕ ≥0.(12)
Pa a ello se ´ıa su icien e supone que se iene una desigualdad de en op´ıa disc e a de la
o ma
η(Wn+1
i)≤η(Wn
i)−∆
∆xGn
i+1/2− Gn
i−1/2,(13)
donde
Gn
i+1/2=GWn
i−q, . . . , Wn
i+p,(14)
siendo Guna unci´on Lipschi z con inua de Ωp+q+1 en Ω, consis en e con Gen el sen ido
de que
G(W, . . . , W) = G(W)∀W∈Ω.(15)
6. Algunas conside aciones
El eo ema es ablecido en la secci´on an e io no puede se conside ado como una ex-
ensi´on del eo ema cl´asico de Lax-Wend o pa a p oblemas no consee a i os, ya que
la con e gencia uni o me aqu´ı eque ida es mucho m´as ue e que la exigida en dicho
esul ado cl´asico. Ha de se pues en endido ´unicamen e como un esul ado de consis en-
cia del esquema num´e ico con el concep o de soluci´on d´ebil elegido y, po an o, con las
condiciones de Rankine-Hugonio co espondien es.
Es e eo ema se puede ex ende al caso de una amilia de esquemas num´e icos basada
en la elecci´on de un esol edo de Riemann ap oximado. En e ec o, en [5] se in odujo
una gene alizaci´on pa a el caso de sis emas no conse a i os del concep o de esol edo de
7
M.L. Mu˜noz, C. Pa ´es
Riemann ap oximado, basada en la elecci´on de una amilia de caminos, as´ı como la de ini-
ci´on de esquema num´e ico camino-conse a i o, que gene aliza la de esquema num´e ico
conse a i o pa a p oblemas conse a i os. Es e concep o de esol edo de Riemann ap o-
ximado pa a sis emas no conse a i os pe mi e la cons ucci´on de un esquema num´e ico
que puede se esc i o bajo la o ma de un esquema camino-conse a i o. El esquema de
Goduno p esen ado es el caso pa icula co espondien e a la elecci´on del esol edo de
Riemann exac o.
Ag adecimien os
Es e es udio ha sido pa cialmen e inanciado po los p oyec os BFM2003-07530-C02-02
y MTM2006-08075.
Re e encias
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8