Sobre el método de Godunov para sistemas hiperbólicos no conservativos

XX Cong eso de Ecuaciones Di e enciales y Aplicaciones X Cong eso de Ma em´ a ica Aplicada Se illa, 24-28 sep iemb e 2007 (pp. 1–8) Sob e el m´e odo de Goduno pa a sis emas hipe b´olicos no conse a i os M.L. Mu˜ noz Ruiz1, C. Pa ´ es Mad o˜ nal2 1Dp o. Ma em´a ica Aplicada, Uni e sidad de M´alaga, Campus de Tea inos s/n, 29071 M´alaga. E-mail: [email p o ec ed]. 2Dp o. An´alisis Ma em´a ico, Uni e sidad de M´alaga, Campus de Tea inos s/n, 29071 M´alaga. E-mail: [email p o ec ed]. Palab as cla e: sis emas hipe b´olicos no conse a i os, m´e odo de Goduno Resumen En es e abajo se abo da la ap oximaci´on num´e ica del p oblema de Cauchy pa a sis emas hipe b´olicos no conse a i os en dimensi´on uno. El concep o de soluci´on d´ebil de dichos sis emas se de ine u ilizando la eo ´ıa de Dal Maso, Le Floch y Mu a , basada en la elecci´on de una amilia de caminos en el espacio de es ados. En p ime luga , es ablecemos hip´o esis pa a la elecci´on de es a amilia de caminos y es udiamos sus implicaciones, en pa icula , la ob enci´on de una exp esi´on del m´e odo de Goduno que gene aliza su exp esi´on cl´asica pa a sis emas de leyes de conse aci´on. A con inua- ci´on se es udian las p opiedades de buen equilib ado de es os m´e odos. Finalmen e, p obamos la consis encia del esquema num´e ico ob enido con la de inici´on de soluciones d´ebiles. En conc e o, p obamos que, bajo la hip´o esis de a iaci´on o al aco ada, si las ap oximaciones ob enidas median e un m´e odo de Goduno basado en una amilia de caminos con e ge uni o memen e a alguna unci´on cuando la malla se e ina, en onces es a unci´on es una soluci´on d´ebil del sis ema no conse a i o, ela i a a esa amilia de caminos. Es e esul ado se ex iende a los esquemas num´e icos basados en Resol edo es de Riemann Ap oximados. 1. In oducci´on En es e abajo se es udia la ap oximaci´on num´e ica de sis emas hipe b´olicos no con- se a i os: ∂W ∂ +A(W)∂W ∂x = 0, x ∈R, > 0,(1) donde W(x, ) oma alo es en un subconjun o abie o y con exo Ω de RNyAes una unci´on egula y localmen e aco ada de Ω en MN(R). Suponemos que es e sis ema es 1 M.L. Mu˜noz, C. Pa ´es es ic amen e hipe b´olico y que los campos ca ac e ´ıs icos asociados son o bien genuina- men e no lineales o bien linealmen e degene ados. En pa icula , los sis emas de E.D.P. de la o ma ∂W ∂ +∂F ∂x (W) = B(W)∂W ∂x +S(W)dσ dx,(2) donde Wpe enece a un subconjun o abie o y con exo Ω de RN,Fes una unci´on egula de Ω en RN,Bes una unci´on egula de Ω en MN(R), Ses una unci´on de Ω en RNy σes una unci´on conocida de Ren Rse pueden eesc ibi bajo la o ma cuasilineal (1) a˜nadiendo a (2) la ecuaci´on ∂σ ∂ = 0. El sis ema (2) incluye como casos pa icula es: sis emas de leyes de conse aci´on (B= 0, S= 0); sis emas de leyes de conse aci´on con ´e mino uen e o leyes de equilib io (B= 0); y sis emas acoplados de leyes de conse aci´on como los del ipo de inido en [1]. 2. Soluciones d´ebiles Conside amos el p oblema en o mulaci´on no conse a i a (1), bajo las hip´o esis es- ablecidas en la secci´on an e io . En el caso en que una soluci´on Wes discon inua, el p oduc o no conse a i o A(W)Wx no iene sen ido en el ma co de las dis ibuciones. Sin emba go, haciendo uso de la eo ´ıa desa ollada po Dal Maso, LeFloch y Mu a [2], se puede da una de inici´on igu osa de soluciones d´ebiles, de inici´on asociada a la elecci´on de una amilia de caminos en Ω, es deci , una aplicaci´on Φ: [0,1] ×Ω×Ω→Ω localmen e lipschi ziana que e i ica Φ(0; WL, WR) = WLy Φ(1; WL, WR) = WR,∀WL, WR∈Ω. Bajo cie as hip´o esis de egula idad sob e Φ, dada una unci´on W∈(L∞(R×R+)∩ BV (R×R+))N, el p oduc o no conse a i o A(W)Wxpuede se in e p e ado como una medida de Bo el, que deno a emos po [A(W)Wx]Φ. Si Wes egula a ozos, es a medida de Bo el asociada al p oduc o no conse a i o iene dada, en un iempo ijado , po A(W(·, ))∂W ∂x (·, )Φ , ϕ=ZR A(W(x, ))∂W ∂x (x, )ϕ(x)dx +X mZ1 0 A(Φ(s;W− m, W+ m))∂Φ ∂s (s;W− m, W+ m)dsϕ(xm( )),∀ϕ∈ C0(R).(3) La exp esi´on Wxde la p ime a in eg al ep esen a la de i ada pun ual de W(·, ); xm( ) ep esen an la posici´on de las discon inuidades de Wen el iempo ;W− myW+ mson los l´ımi es de Wa izquie da y de echa, espec i amen e, de la discon inuidad m-´esima en el iempo ; y C0(R) es el conjun o de aplicaciones con inuas con sopo e compac o. Una unci´on W∈(L∞(R×R+)∩BV (R×R+))NC1a ozos es una soluci´on d´ebil de (1) si sa is ace la igualdad ∂W ∂ +A(W)∂W ∂x Φ = 0. 2 Sob e el m´e odo de Goduno pa a sis emas hipe b´olicos no conse a i os Se di ´a que Wes una Φ-soluci´on de (1) si es una soluci´on d´ebil asociada a la amilia de caminos Φ. Cuando no haya luga a con usi´on, se omi i ´a la dependencia de Φ en la no aci´on. A lo la go de una discon inuidad, una soluci´on d´ebil debe sa is ace la condici´on de Rankine-Hugonio gene alizada: Z1 0ξI − A(Φ(s;W−, W+))∂Φ ∂s (s;W−, W +)ds = 0,(4) donde ξes la elocidad de p opagaci´on de la discon inuidad, Ies la ma iz iden idad, y W−yW+son, espec i amen e, los l´ımi es a izquie da y de echa de la soluci´on a lo la go de la discon inuidad. En el caso pa icula de un sis ema de leyes de conse aci´on, es deci , cuando A(W) co esponde a la ma iz jacobiana de una unci´on de lujo F(W), la de inici´on de p oduc o no conse a i o como una medida de Bo el es independien e de la elecci´on de caminos y la condici´on de Rankine-Hugonio gene alizada se educe a la condici´on de Rankine-Hugonio habi ual. Al igual que ocu e en el caso conse a i o, no oda discon inuidad es admisible. Po lo an o, se hace necesa io asumi un concep o de soluci´on en ´opica, como el de Lax o bien el siguien e, basado en un pa de en op´ıa (η, G) pa a (1), i.e. un pa de unciones egula es de Ω en R al que ∇G(W) = ∇η(W)· A(W),∀W∈Ω, y seg´un el cual una soluci´on d´ebil se dice que es en ´opica si sa is ace la desigualdad ∂η(W) ∂ +∂G(W) ∂x ≤0 en el sen ido de las dis ibuciones. 3. Elecci´on de caminos La elecci´on de la amilia de caminos es impo an e ya que de e mina la elocidad de p opagaci´on de las discon inuidades. La elecci´on m´as simple es la dada po la amilia de segmen os, que co esponde la de inici´on de p oduc os no conse a i os in oducida po Volpe en [7]. En gene al, debe es a basada en los aspec os ´ısicos del p oblema; sin emba go, desde el pun o de is a ma em´a ico es na u al exigi a es a amilia que sa is aga algunas hip´o esis conce nien es a la elaci´on de los caminos con las cu as in eg ales de los campos ca ac e ´ıs icos. En es e abajo asumi emos que la amilia de caminos sa is ace las siguien es hip´o esis: (H1) Dados dos es ados WLyWRpe enecien es a la misma cu a in eg al γde un campo linealmen e degene ado, el camino Φ(·;WL, WR) es una pa ame izaci´on del a co de γque une WLyWR. (H2) Dados dos es ados WLyWRpe enecien es a la misma cu a in eg al γde un campo genuinamen e no lineal, Ri, y al que λi(WL)< λi(WR), el camino Φ(·;WL, WR) es una pa ame izaci´on del a co de γque une WLyWR. 3 M.L. Mu˜noz, C. Pa ´es (H3) Deno emos po RP ⊂ Ω×Ω el conjun o de pa es (WL, WR) ales que el p oblema de Riemann        W +A(W)Wx= 0, W(x, 0) = (WLi x < 0, WRi x > 0, (5) iene una ´unica soluci´on d´ebil au osimila compues a po a lo sumo Nondas sim- ples (i.e. choques en ´opicos, discon inuidades de con ac o u ondas de a e acci´on) conec ando J+ 1 es ados in e medios cons an es W0=WL, W1, . . . , WJ−1, WJ=WR, con J≤N. En onces, dados (WL, WR)∈ RP, la cu a desc i a po el camino Φ(·;WL, WR) en Ω es igual a la uni´on de las co espondien es a los caminos Φ(·;Wj−1, Wj), j= 1, . . . , J. El es ablecimien o de es as hip´o esis nos pe mi e p oba las p opiedades siguien es: P oposici´on Asumamos que el concep o de soluciones d´ebiles de (1) es ´a de inido en la base de una amilia de caminos que sa is ace las hip´o esis (H1)-(H3). En onces: (i) Dados dos es ados WLyWRpe enecien es a la misma cu a in eg al de un campo linealmen e degene ado, la discon inuidad de con ac o dada po W(x, ) = (WLi x < σ , WRi x > σ , donde σes el alo cons an e del au o alo co espondien e a lo la go de la cu a in eg al, es una soluci´on d´ebil en ´opica de (1). (ii) Sea un pa de es ados (WL, WR)de RP y sea Wla soluci´on del p oblema de Rie- mann (5). Se iene, pa a cada > 0, la desigualdad hA(W(·, ))Wx(·, ),1i=Z1 0 A(Φ(s;WL, WR))∂Φ ∂s (s;WL, WR)ds. Po an o, la masa o al de la medida de Bo el A(W(·, ))Wx(·, )es independien e de . (iii) Sea (WL, WR)un pa de RP y sea Wjcualquie a de los es ados in e medios en la soluci´on del p oblema de Riemann (5). En onces Z1 0 A(Φ(s;WL, WR))∂Φ ∂s (s;WL, WR)ds =Z1 0 A(Φ(s;WL, Wj))∂Φ ∂s (s;WL, Wj)ds +Z1 0 A(Φ(s;Wj, WR))∂Φ ∂s (s;Wj, WR)ds. 4 Sob e el m´e odo de Goduno pa a sis emas hipe b´olicos no conse a i os Es posible da un p ocedimien o gene al pa a cons ui una amilia de caminos que sa- is aga las hip´o esis (H1)-(H3), al menos pa a la clase RP, ex endiendo la eo ´ıa de ondas simples de sis emas hipe b´olicos de leyes de conse aci´on y los esul ados conce nien es a las soluciones de los p oblemas de Riemann al caso de sis emas hipe b´olicos no conse a- i os. 4. El m´e odo de Goduno pa a sis emas hipe b´olicos no conse a i os Conside emos el sis ema (1) bajo las condiciones es ablecidas en la secci´on 1, con condici´on inicial W(x, 0) = W0(x), x ∈R,(6) y asumamos que la amilia de caminos Φ usada en la de inici´on del p oduc o no conse a i o A(W)Wxsa is ace las hip´o esis (H1)-(H3). Pa a disc e iza el sis ema conside amos celdas Ii= [xi−1/2, xi+1/2] que supond emos, po comodidad, de ama˜no cons an e ∆xy de inimos xi+1 2=i∆x. De inimos ambi´en xi= (i−1/2)∆x, el cen o de cada celda Ii. Sea ∆ el paso de iempo y de inamos n=n∆ . Deno amos po Wn ia la ap oximaci´on de las medias en cada celda de la soluci´on exac a ob enida con el esquema num´e ico en = n: Wn i∼ =1 ∆xZxi+1/2 xi−1/2 W(x, n)dx. Supongamos conocidos Wn i. Como es usual en los m´e odos de Goduno , ap oximamos la soluci´on en = n+1 po Wn+1 i=1 ∆xZxi xi−1/2 Wi−1/2(x, n+1)dx +Zxi+1/2 xi Wi+1/2(x, n+1)dx, donde Wi+1/2deno a la soluci´on del p oblema de Riemann asociado a los es ados Wn iy Wn i+1 en la in e celda x=xi+1/2. Asumiendo una condici´on CFL 1/2 ob enemos la siguien e exp esi´on pa a el m´e odo de Goduno : Wn+1 i=Wn i−∆ ∆xZ1 0 A(Φ(s, Wn i−1/2, Wn i))∂Φ ∂s (s;Wn i−1/2, Wn i)ds +Z1 0 A(Φ(s;Wn i, Wn i+1/2))∂Φ ∂s (s;Wn i, Wn i+1/2)ds,(7) donde Wn i+1/2es el alo (cons an e) de Wi+1/2en la in e celda x=xi+1/2. N´o ese que Wi+1/2puede se discon inua en x=xi+1/2. En al caso, la discon inuidad en x=xi+1/2 es es aciona ia, po lo que la masa asociada al sal o co espondien e es ce o. Po an o, en el esquema podemos eemplaza Wn i+1/2bien po el l´ımi e de Wi+1/2a la izquie da de xi+1/2,Wn,− i+1/2, o bien po el l´ımi e a la de echa, Wn,+ i+1/2. 5 M.L. Mu˜noz, C. Pa ´es En el caso pa icula de un sis ema de leyes de conse aci´on, en que Aes la ma iz jacobiana de una unci´on de lujo F, (7) coincide con la exp esi´on habi ual del m´e odo de Goduno pa a sis emas de leyes de conse aci´on. Es e m´e odo es bien equilib ado. Reco demos que la p opiedad de buen equilib ado es ´a elacionada con la ap oximaci´on num´e ica de las soluciones es aciona ias. El sis- ema (1) admi e soluciones es aciona ias no i iales s´olo si iene campos linealmen e degene ados: si W(x) es una soluci´on es aciona ia egula , sa is ace A(W(x)) ·W0(x) = 0,∀x∈R. Si W0(x)6= 0, en onces 0 es un au o alo de A(W(x)) con W0(x) como au o ec o asociado. Po an o, es a soluci´on se puede in e p e a como una pa ame izaci´on de una cu a in eg al de un campo linealmen e degene ado cuyo au o alo co espondien e oma el alo 0 a lo la go de la cu a. Si llamamos Γ al conjun o de odas las cu as in eg ales γde un campo linealmen e degene ado de A(W) al que el au o alo co espondien e se anula en Γ, dada una cu a γ∈Γ, un esquema num´e ico se dice que es exac amen e bien equilib ado (o espec i amen e bien equilib ado con o den k) pa a γsi esuel e de modo exac o ( espec i amen e con o den O(∆xk)) soluciones egula es es aciona ias W ales que W(x)∈γpa a cada x. Se dice que el esquema num´e ico es exac amen e bien equilib ado (o bien equilib ado con o den k) si es as p opiedades se sa is acen pa a cada cu a de Γ ( ´ease [6] pa a m´as de alles). 5. Consis encia del m´e odo de Goduno En [5] se conje u ´o un eo ema de con e gencia de ipo Lax-Wend o pa a esque- mas num´e icos camino-conse a i os: si las soluciones ob enidas con un esquema camino- conse a i o con e gen a alguna unci´on cuando se e ina la malla, en onces es a unci´on debe se una soluci´on d´ebil del sis ema no conse a i o si las de iniciones de esquema camino-conse a i o y soluci´on d´ebil hacen e e encia a la misma amilia de camios. El esul ado p incipal de es a secci´on apun a en ese sen ido. Asumimos que ∆ /∆xes una cons an e ija λcuando ∆xy ∆ ienden a 0 y una condici´on CFL 1/2. Como disc e izaci´on de la condici´on inicial elegimos las medias W0 i=1 ∆xZxi+1/2 xi−1/2 W0(x)dx. Sea h= ∆xy sea Wh(x, ) la unci´on de inida c.p.d. en R×[0,∞) po Wh(x, 0) = W0 i, x ∈(xi−1/2, xi+1/2),(8) y Wh(x, ) = Wi+1/2(x, ),(x, )∈(xi, xi+1)×[ n, n+1).(9) La condici´on CFL impues a asegu a que las soluciones de los p oblemas de Riemann adyacen es no in e ie en una con o a an es del ins an e de iempo n+1. 6 Sob e el m´e odo de Goduno pa a sis emas hipe b´olicos no conse a i os Teo ema Dado h > 0, sea Whla ap oximaci´on num´e ica (9) ob enida con el m´e odo de Goduno , y sea Wh(x, 0) dado po (8). Supongamos que exis e una unci´on W∈(L∞(R×[0,∞)) ∩BV (R×[0,∞)))N al que kWh(·, )−W(·, )kL∞(R)N−→ h→00en L1([0,∞)) (10) y que exis e una cons an e C al que TV (Wh(·, )) ≤C∀ ∈[0,∞), h > 0.(11) En onces Wes una soluci´on d´ebil del p oblema (1) con condici´on inicial (6). La p ueba de es e eo ema es una adap aci´on del eo ema de con e gencia de Lax- Wend o pa a sis emas hipe b´olicos de leyes de conse aci´on, pa a la que hemos de usa un esul ado de es abilidad pa a p oduc os no conse a i os es ablecido en [2]. El esul ado an e io no implica que la soluci´on d´ebil ob enida al e ina la malla sea una soluci´on en ´opica. Si asumimos el concep o de soluci´on d´ebil en ´opica basado en un pa de en op´ıa debemos p oba que Z∞ 0Z∞ −∞ η(W(x, ))∂ϕ ∂ (x, )dxd −Z∞ 0Z∞ −∞ G(W(x, ))∂ϕ ∂x (x, )dxd ≤ − Z+∞ −∞ η(W0(x))ϕ(x, 0) dx ∀ϕ∈ C1 0(R×R+), ϕ ≥0.(12) Pa a ello se ´ıa su icien e supone que se iene una desigualdad de en op´ıa disc e a de la o ma η(Wn+1 i)≤η(Wn i)−∆ ∆xGn i+1/2− Gn i−1/2,(13) donde Gn i+1/2=GWn i−q, . . . , Wn i+p,(14) siendo Guna unci´on Lipschi z con inua de Ωp+q+1 en Ω, consis en e con Gen el sen ido de que G(W, . . . , W) = G(W)∀W∈Ω.(15) 6. Algunas conside aciones El eo ema es ablecido en la secci´on an e io no puede se conside ado como una ex- ensi´on del eo ema cl´asico de Lax-Wend o pa a p oblemas no consee a i os, ya que la con e gencia uni o me aqu´ı eque ida es mucho m´as ue e que la exigida en dicho esul ado cl´asico. Ha de se pues en endido ´unicamen e como un esul ado de consis en- cia del esquema num´e ico con el concep o de soluci´on d´ebil elegido y, po an o, con las condiciones de Rankine-Hugonio co espondien es. Es e eo ema se puede ex ende al caso de una amilia de esquemas num´e icos basada en la elecci´on de un esol edo de Riemann ap oximado. En e ec o, en [5] se in odujo una gene alizaci´on pa a el caso de sis emas no conse a i os del concep o de esol edo de 7 M.L. Mu˜noz, C. Pa ´es Riemann ap oximado, basada en la elecci´on de una amilia de caminos, as´ı como la de ini- ci´on de esquema num´e ico camino-conse a i o, que gene aliza la de esquema num´e ico conse a i o pa a p oblemas conse a i os. Es e concep o de esol edo de Riemann ap o- ximado pa a sis emas no conse a i os pe mi e la cons ucci´on de un esquema num´e ico que puede se esc i o bajo la o ma de un esquema camino-conse a i o. El esquema de Goduno p esen ado es el caso pa icula co espondien e a la elecci´on del esol edo de Riemann exac o. Ag adecimien os Es e es udio ha sido pa cialmen e inanciado po los p oyec os BFM2003-07530-C02-02 y MTM2006-08075. Re e encias [1] M.J. Cas o, J. Mac´ıas, C. Pa ´es. AQ-scheme o a class o sys ems o coupled conse a ion laws wi h sou ce e m. Applica ion o a wo-laye 1-D shallow wa e sys em. Ma h. Mod. Num. Anal., 35 (2001), 107–127. [2] G. Dal Maso, P.G. LeFloch, F. Mu a . De ini ion and weak s abili y o nonconse a i e p oduc s. J. Ma h. Pu es Appl., 74 (1995), 483–548. [3] P.D. Lax, B. Wend o . Sys ems o conse a ion laws. Comm. Pu e Appl. Ma h., 13 (1960) 217–237. [4] M.L. Mu˜noz-Ruiz, C. Pa ´es. Goduno me hod o nonconse a i e hype bolic sys ems. Ma h. Mod. Num. 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