elo dinámico económico con inuo. Es abilidad y bi u caciones de
codimensión 1 y 2.
F.Velascoa, L. Gonzálezª, J.A. O egab, J.A. Ál a ezb
ªG upo COSDE. Dp o. Economía Aplicada I
b Dp o. Sis emas y Lenguajes In o má icos
Uni e sidad de Se illa
A da. Ramón y Caja!, n l. C.P. 41018, Se illa
{ elasco, luisgon }@us.es, o e[email p o ec ed], jaal [email p o ec ed]
�=.ien: En es e abajo es ablecemos las condiciones
ilidad y exis encia de bi u caciones de codi
y _ en un modelo dinámico con inuo aplicado
ac ual y po encial de las o ganizaciones.
=-=.a'"'-CCJU.> el es udio pa amé ico del modelo y encon
as egiones pa amé icas de la es abilidad de los
equilib io. La ob ención de las bi u caciones lo
-de o ma simbólica. Pa a ello se han de cumpli
ijumo de condiciones en cada alo de bi u cación.
ciooe que se ob ienen en es e modelo son la
::ión de Hop . que es de codimensión uno y las
, · one que su gen de és a de codimensión dos, la de
y la de Bogdano -Takens.
i .z,...,.,.,. cla e: Es abilidad. Bi u caciones, ciclos lími e.
U!Si!icacióo JEL: C61, C62.
·y Yelasco, 2004), se expone como las o ganiza
iles pueden man ene sus cuo as de me cado
=--:=-�-cc..,du an e de e minados pe iodos de iempo. Es
-que la solución de equilib io enga que du a
_ pe manen e, ya que la es a egia de cada o gani
i i a, en un me cado de e e encia y pa a un
ese me cado cualquie a, ha de i encaminada
� la cuo a de me cado más eleyada posible; pe o
s cie o que cualquie compo amien o compe í
. ado a consegui ese obje i o, se á espondido
-.sociedades compe ido as que de ende án sus es-
-posiciones de me cado. Un en o no ag esi o, un
de ma ke ing mal o ien ado u o as causas des
=oa;.,:i:-=- hacen que las posiciones conseguidas po cada
..,..=,� i-óo compe i i a no pe manezcan, necesa iamen
ilib io es able. Pa a cualquie o ganización es
- a,=,-, e conoce con an elación si su de eni , en un en
o y pa a un p oduc o del me cado, a a pasa po
===>so disminuciones de su cuo a de me cado, de o 
o en su caso si no a a se así. Podemos e
l o, 1997), [Lo enz, 1997),(Vilchez y Velasco,
•. : "e lasco e al., 2002), [Vilchez e al., 2003), [Landa
-oo. 2004 ), [Vilchez e al., 2004 ], [Bosi e al., 2005],
--hmied e al., 2005), [He y FH, 2005), [Li, 2005),
-¿;-=e . 2005) , [Wei-Bin-Zhang, 2006), [Magni skii y
·. 2006), [Velasco e al., 2007) en e o os, ejemplos
·que se es udian bi u caciones en es os modelos, en
su gen ciclos lími e que acaban pe diendo su es a
- "y que en algunos casos desc iben compo amien os
· ión del pe íodo como an esala a la ob ención de
.JC:=i es caó icos ([Magni skii y Side o , 2002), [Mag
-y Side o , 2005), [De no y Magni skii, 2005)). Es
e. po an o, conoce la es abilidad o ines abili
los ciclos que pueden apa ece en nues o modelo.
Es po ello po lo que amos a analiza , bajo qué condicio
nes, si se ealizan pequeñas a iaciones en los pa áme os
del modelo [Landa y Velasco, 2004), és as an a implica
que el compo amien o del mismo sea cuali a i amen e di
e en e en un en o no del pun o ijo. En [Landa y Velasco,
2004) se hace un es udio numé ico ace ca de las bi u ca
ciones de codimensión I y 2. Aho a bien, no se hace un
es udio en o ma simbólica de la es abilidad y de las bi
u caciones del modelo, con lo que es posible mejo a el
es udio hecho. El es o del a ículo es á es uc u ado como
sigue: en la sección segunda se p esen a el modelo en iem
po con inuo p opues o po [Feich inge , 1992) y ampliado
en [Landa y Velasco, 2004]. En la sección e ce a, ob ene
mos condiciones necesa ias y su icien es pa a la es abilidad
del único equilib io del sis ema, las cuales nos pe mi en de
e mina la na u aleza del mismo. En la sección cua a se
hace una b e e exposición ace ca de los concep os nece
sa ios, ales como el de bi u cación y de codimensión en
un sis ema dinámico [Kuzne so , 2004), pa a luego es u
dia las bi u caciones de codimensión I y 2 p esen es en
el modelo. Hemos de hace no a que odo el abajo se
ha ealizado de o ma simbólica, con lo que el abajo ha
ce que se pueda pa icula iza pa a conjun os de alo es de
los pa áme os del modelo. En es e caso hemos es udiado
uno de los pa áme os, indicando cómo se puede hace pa a
el es o de los pa áme os. Se inaliza con una sección de
conclusiones y abajo u u o .
2 Modelo dinámico
Si hacemos e e encia a una o ganización en cualquie sec
o económico, en su me cado de e e encia, pa a un de e 
minado p oduc o-me cado, encon amos que la misma, en
un ins an e del iempo, posee una cuo a de pa icipación,
olo que es lo mismo, en é minos absolu os, de en a un
de e minado ni el de demanda, consecuencia de las com
p as que ealizan sus clien es ac uales. A su ez exis e pa a
es a o ganización un me cado de clien es po enciales, com
pues o po aquellos elemen os que comp an a o ganizacio
nes compe ido as y po aquellos o os que eó icamen e po
d ían se elemen os del p oduc o-me cado pe o que po las
ci cuns ancias que sean, no lo son. En de ini i a, me ca
do po encial de inido po clien es ac uales de o as o ga
nizaciones del mismo me cado de e e encia y del mismo
p oduc o-me cado y po clien es es ic amen e po enciales
del p opio sec o . El me cado ac ual de la o ganización
en cada ins an e del iempo de en a á un de e minado ni
el, consecuencia de los e ec os del en o no sob e las e
laciones de in e cambio y del p opio es ue zo de ma ke
ing que se ealice. Los e ec os posi i os se aducen pa a
la o ganización en un inc emen o de demanda y po an o
en una educción del denominado g ado de expansibilidad
de la misma, o lo que es lo mismo de un mayo ace ca-