Un modelo dinámico económico continuo. Estabilidad y bifurcaciones de codimensión 1 y 2

elo dinámico económico con inuo. Es abilidad y bi u caciones de codimensión 1 y 2. F.Velascoa, L. Gonzálezª, J.A. O egab, J.A. Ál a ezb ªG upo COSDE. Dp o. Economía Aplicada I b Dp o. Sis emas y Lenguajes In o má icos Uni e sidad de Se illa A da. Ramón y Caja!, n l. C.P. 41018, Se illa { elasco, luisgon }@us.es, o e[email p o ec ed], jaal [email p o ec ed] �=.ien: En es e abajo es ablecemos las condiciones ilidad y exis encia de bi u caciones de codi y _ en un modelo dinámico con inuo aplicado ac ual y po encial de las o ganizaciones. =-=.a'"'-CCJU.> el es udio pa amé ico del modelo y encon as egiones pa amé icas de la es abilidad de los equilib io. La ob ención de las bi u caciones lo -de o ma simbólica. Pa a ello se han de cumpli ijumo de condiciones en cada alo de bi u cación. ciooe que se ob ienen en es e modelo son la ::ión de Hop . que es de codimensión uno y las , · one que su gen de és a de codimensión dos, la de y la de Bogdano -Takens. i .z,...,.,.,. cla e: Es abilidad. Bi u caciones, ciclos lími e. U!Si!icacióo JEL: C61, C62. ·y Yelasco, 2004), se expone como las o ganiza iles pueden man ene sus cuo as de me cado =--:=-�-cc..,du an e de e minados pe iodos de iempo. Es -que la solución de equilib io enga que du a _ pe manen e, ya que la es a egia de cada o gani i i a, en un me cado de e e encia y pa a un ese me cado cualquie a, ha de i encaminada � la cuo a de me cado más eleyada posible; pe o s cie o que cualquie compo amien o compe í . ado a consegui ese obje i o, se á espondido -.sociedades compe ido as que de ende án sus es- -posiciones de me cado. Un en o no ag esi o, un de ma ke ing mal o ien ado u o as causas des =oa;.,:i:-=- hacen que las posiciones conseguidas po cada ..,..=,� i-óo compe i i a no pe manezcan, necesa iamen ilib io es able. Pa a cualquie o ganización es - a,=,-, e conoce con an elación si su de eni , en un en o y pa a un p oduc o del me cado, a a pasa po ===>so disminuciones de su cuo a de me cado, de o  o en su caso si no a a se así. Podemos e l o, 1997), [Lo enz, 1997),(Vilchez y Velasco, •. : "e lasco e al., 2002), [Vilchez e al., 2003), [Landa -oo. 2004 ), [Vilchez e al., 2004 ], [Bosi e al., 2005], --hmied e al., 2005), [He y FH, 2005), [Li, 2005), -¿;-=e . 2005) , [Wei-Bin-Zhang, 2006), [Magni skii y ·. 2006), [Velasco e al., 2007) en e o os, ejemplos ·que se es udian bi u caciones en es os modelos, en su gen ciclos lími e que acaban pe diendo su es a - "y que en algunos casos desc iben compo amien os · ión del pe íodo como an esala a la ob ención de .JC:=i es caó icos ([Magni skii y Side o , 2002), [Mag -y Side o , 2005), [De no y Magni skii, 2005)). Es e. po an o, conoce la es abilidad o ines abili los ciclos que pueden apa ece en nues o modelo. Es po ello po lo que amos a analiza , bajo qué condicio nes, si se ealizan pequeñas a iaciones en los pa áme os del modelo [Landa y Velasco, 2004), és as an a implica que el compo amien o del mismo sea cuali a i amen e di e en e en un en o no del pun o ijo. En [Landa y Velasco, 2004) se hace un es udio numé ico ace ca de las bi u ca ciones de codimensión I y 2. Aho a bien, no se hace un es udio en o ma simbólica de la es abilidad y de las bi u caciones del modelo, con lo que es posible mejo a el es udio hecho. El es o del a ículo es á es uc u ado como sigue: en la sección segunda se p esen a el modelo en iem po con inuo p opues o po [Feich inge , 1992) y ampliado en [Landa y Velasco, 2004]. En la sección e ce a, ob ene mos condiciones necesa ias y su icien es pa a la es abilidad del único equilib io del sis ema, las cuales nos pe mi en de e mina la na u aleza del mismo. En la sección cua a se hace una b e e exposición ace ca de los concep os nece sa ios, ales como el de bi u cación y de codimensión en un sis ema dinámico [Kuzne so , 2004), pa a luego es u dia las bi u caciones de codimensión I y 2 p esen es en el modelo. Hemos de hace no a que odo el abajo se ha ealizado de o ma simbólica, con lo que el abajo ha ce que se pueda pa icula iza pa a conjun os de alo es de los pa áme os del modelo. En es e caso hemos es udiado uno de los pa áme os, indicando cómo se puede hace pa a el es o de los pa áme os. Se inaliza con una sección de conclusiones y abajo u u o . 2 Modelo dinámico Si hacemos e e encia a una o ganización en cualquie sec o económico, en su me cado de e e encia, pa a un de e  minado p oduc o-me cado, encon amos que la misma, en un ins an e del iempo, posee una cuo a de pa icipación, olo que es lo mismo, en é minos absolu os, de en a un de e minado ni el de demanda, consecuencia de las com p as que ealizan sus clien es ac uales. A su ez exis e pa a es a o ganización un me cado de clien es po enciales, com pues o po aquellos elemen os que comp an a o ganizacio nes compe ido as y po aquellos o os que eó icamen e po d ían se elemen os del p oduc o-me cado pe o que po las ci cuns ancias que sean, no lo son. En de ini i a, me ca do po encial de inido po clien es ac uales de o as o ga nizaciones del mismo me cado de e e encia y del mismo p oduc o-me cado y po clien es es ic amen e po enciales del p opio sec o . El me cado ac ual de la o ganización en cada ins an e del iempo de en a á un de e minado ni el, consecuencia de los e ec os del en o no sob e las e laciones de in e cambio y del p opio es ue zo de ma ke ing que se ealice. Los e ec os posi i os se aducen pa a la o ganización en un inc emen o de demanda y po an o en una educción del denominado g ado de expansibilidad de la misma, o lo que es lo mismo de un mayo ace ca-