360
ANALES
DE
MECANICA
DE
LA
FRACTURA
Vol.ll
(1994)
CARACTERIZACION DEL DAÑO EN ELEMENTOS ESTRUCTURALES
TIPO
BARRA DE
lVIATERIAL COMPUESTO. DETERMINACION
DE
CARGA ULTIMA .
.T
Sánchez,
J.
Cañas,
F.
Pmís
Escuela Supe io
<.le
Ingenie os In lus iales
Dp o. Mecúnica
<.le
Me lios Con inuos. Uni e si la l
<.le
Se illa. E.T.S.I.I.
A .
Reina Me ce les, s/n. 41012 Se illa.
Resumen.-
El obje i o p incipal
<.le!
abajo
es
ealiza
un
análisis lel compo mnien o
<.le
ba as
<.le
ma e ial compues o has a la cmga úl ima. Pma ello, ha si io necesa io es ablece a pm i
<.le
c i e ios
<.le
allo
<.le
J{uninas,
mo lelos
<.le
p og esión
<.le
lm1o.
Pa a comp oba
la
ali lez
<.le
los
mo lelos p opues os
se han ealiza lo una se ie
<.le
ensayos simples u ilizan lo p ohe w; con secuencias
<.le
apila lo
<.le
[O]g,
[(ON0)2ls,
<m l
[45/0/-45NO]s.
Ahs ac .-
The main pu pose
o
his wo k
is
o
GuTy
ou
an
analysis ahou
he
heha iou
o
lmnina e
composi e hemns p oposing li e en ailu e p og ession me lels.
In
o le
o
allow
he
p ac ica! esolu ion
o hese
ca.~es,
a use - iendly compu e p og mn has heen le elope l. On
U1e
oU1e
h<m l,
a es le ice
ha~
heen designe l an l huil
o
make es s wilh li e en g aphi e/epoxy cmnposi e
he~uns.
Specimens wi h
s acking sequence
[O]g,
[(0/90)2Js. an l [ 45/0/-45/(JO]s ha
e
been es e l. The ali li y
o
he ailu e
p og ession mo lels p opose l can he
U1en
e i ie l
by
using
U1ese
es s.
1. INTRODUCCION.
El análisis
<.le
es uc u as o ma las po bm as
<.le
ma e ial compues o pue le ealizm·se a pm· i
<.le
la
eo ía gene al
<.le
l<unina los
me lüm e la in o luccicín
<.le
hipó esis simpli ica i as aco des con la geome ía
peculia
lel
elemen o es uc u al consi le a lo.
La<;
ecuaciones
<.le
gobiemo
lel
elemen o es uc u al,
equilib io, cnmpa ibili la l y compo <unien o pue len
se combina la-;
en
o len a la ob enci<ín
<.le
la ma iz
<.le
igi lez elemen al
lel
elemen o es uc u al. A pm i
<.le
ella, se pue le ealiza
un
mon aje análogo
al
que se
ealiza en cálculo ma icial
en
o len a ob ene la
elación
E=K
!J.
<.le
la
cual
se
pue le ob ene el cmnpo
<.le
lesplazmnien os y a pm i
<.le
él los es ue zos
in e nos y ensiones
..
Una ez le e mina lo el es a lo ensiona1 pma
la
cmga
consi le a la,
se
emplea
un
c i e io
<.le
allo
de
l{unina
le e minan lose así
el
umb al
<.le
o u a
<.le
la p ime a
lámina (RUL). El allo
<.le
la
J{unina
es
mo lela lo
como una leg a laci<ín
<.le
p opieda les ealizandose
pos e io men e
un
nue o análisis ensional . El
p oceso se epi e has a la o u a del elemen o
es uc u al consi le a lo (RUL).
2.
TEORIA
GENERAL
DE
VIGAS
DE
MATERIAL
COMPUESTO
2.1.-
Hip<í esis
adop adas.
a) La" limensiones que le inen
la
secci<ín
ans e sal
<.le!
elemen o son pequel1as en compa aci¡ín a la
longi u l
b) Se a lmi e que la
secci<Ín
pe manece plana después
<.le
la le o macicín
e)
Desplazmnien os y o aciones pequeñas.
i)
No
exis e deslizmnien o ela i o en e
i<L"
J{uninas.
e)
Las cmgas ac uan
en
el plano lel elemen o y
se
admi e que ac uan
<.le
o ma es á ica o cuasies á ica
c eciendo p opo cionalmen e has a
la
ca ga úl ima.
)
Solo se consi le a le onnaci<Ín no mal a
la
secci<1n
ans e sal y ensión angencial en el plano
<.le
la
secci<ín,
m·üm lo
es a úl ima pm·ahúliGunen e.
2.2. Ecuaciones de el¡uilihiin
Supon l emos
un
es a lo
<.le
ca gas linealmen e
ep~u· i lo
a
lo
la go
<.le
o la la Iongi u l
<.le!
elemen o
es uc u al
(L)
y ac uando en li ección
<.le
la ba a y/o
pe pen licula a ella: Se ommán como magni u les
es ú iGL'i
in emas
los
es ue zos in emos
en
el
ex emo
i.
Los es ue zos
en
el ex emo j
se
pue len ob ene po
aplicaci<'m
<.le
l~L'
ecuaciones
<.le
la es ú ica.
'• iiD n
c2 +
. j
X
Fig. 1.- Es a lo
<.le
ca gas y
le inici<'m
<.le
es ue zos
in emos.
ANALES
DE
MECANICA
DE
LA
FRACTURA
Vol.ll
(1994) 361
N
=-N
- L
(e
+e
)
j i 2 3 4
V
=-V
_.1.(c
+e)
j i 2 1 2
L2
L2
M
=-M
+VL+c
-+e-
j i i
12
26
(1)
Es as es ecuaciones pueden se esc i as en o ma
ma icial:
Q. =
CQ>·
+
1 - 1 -
(2)
siendo Qi 1
Q.i
los es ue zos in e nos en los ex emos
i(j
,
C.
la
ma iz de equilib io y el ec o de ca gas
ex e nas.
2J.
Ecuaciones de compa ibilidad
De acue do a
la-;
hip í esis adop adas, las elaciones
E-u
se educen a :
o
aul)
E
(x)=-
x
ax
2
o a
wo
;
kx
=
---2-
ax
siendo kx
0 es
la
cu a u a,
Ex
0 la de o maci<Ín no mal
y u0 , w
0 y z los indicados en la i gu a 2 .
+---- ---+1:
u o
Sección AA
Fig. 2.- De inición de desplazmnien os
2.4. Ley de compo amien o
La
ley
de
compo amien o del laminado, se ob iene a
pa i de la ecuación de compo mnien o de una l{unina
en los ejes p incipales del ma e ial (ejes de o o opía
1,2).
(4)
donde:
La ecuaciún an e io puede se ambién esc i a en ejes
geomé icos (x,y)
xy
Qxy
xy
.Q.
=-
.e.
(5)
Si la l{unina ocupa la posición k den o del
huninado y dis a z de la línea media, la ecuación de
compo mnien o de acue do a
la-;
hipú esis adop adas
es:
k xy;k xy;k 0 o
c
= Q E = Q
(E
+ zk )
X
11
X
11
X X
xy;k 4 2 2
Q
11
= Q
11
cos 8 + 2 (Q
12
+ 2Q66) sen 8 cos 8 +
+Q2len48
siendo 8
el
ángulo que o man las ib as de la lámina
k con el eje
x.
Los es ue zos in e nos
Nx
y
Mx
(axil y
1ec o ) en una secci<ín de la ba a se calculan como la
esul an e de
la.-;
ensiones. Vend {m dados, po an o,
po
l<L<;
exp esiones:
uonue:
J
h/2
o o
M = b -c zdz = -B E - D k
X
-h/2
X
11
X
11
X
n xy;k
All=h
L
Qll
(zk-zk-1)
k=l
362
ANALES
DE
MECANICA
DE
LA
FRACTURA
Vol.ll
(1994)
Exp esando
las
ecuaciones
an e io es
en
o ma
ma icial:
(
Nx)
= (
All
Bll
)
(E~)
M
-B
-D O
x
11
11
kx
(6)
2.5. Ma iz
de
igidez
El
conjun o
de
ecuaciones (2), (3) y (6) cons i uyen las
ecuaciones
de
c unpo
de
la
ba a.
In eg ando
y
combinando
adecuadamen e
es as
ecuaciones,
se
pueden
exp esa
los es ue zos in e nos en uncilín de
los
desplazamien os
en
los
ex emos
de
la
ba a,
ob eniendo
así
la
ma iz de igidez local K
de
la
bmTa:
A
11
L
o
B
11
L
A
11
L
o
B
11
T
o
-6 .
A L2
11
o
12 .
-6 .
A e
11
E=k..ll +
emp
B
11
L
-66
A L2
11
4A
D
-3B
2
11
11 11
A11L
B
11
L
M
A11L2
2A
D
-3B
2
11
11
11
A11L
A
11
L
o
B 11
L
A
11
L
o
B
11
L
o
126
A L3
11
()
(7)
Bl1
L
-GA
2A
D -3B2
11
11 11
AIIL
B
11
L
M
A11L2
4A
D -3B2
11
11
11
AI1L
A pa i
de
la
ma iz de igidez local
de
la
bma,
se
ealiza un mon üe simila al del cálculo ma icial de
es uc u as
de
ba as is<í opas ob eniendo la ecuación
de
igidez o al de
la
es uc u a, cuya soluci<ín pe mi e
ob ene los desplaz unien os de los nudos a pa i de
lm;
ca gas ex e nas.
Conocidos
los desplazmnien os
!!
de
los nudos,
la
ecuación (7)
penni e
ob ene los es ue zos
in e nos en los ex emos de cada
bmTa
.
4.
CRITERIO
DE
RESISTENCIA
DE
UNA
LAMINA
Necesi amos
de lni
un c i e io que elacione el es ado
ac ual
de
ensiones
con
uno
pe mi ido.
Es e
es ado
pe mi ido ep esen a a
la
ez
el
ln del compo unien o
elás ico lineal y
la
o u a.
Realizando
un análisis de ensiones
capa
a
capa
y
usando un c i e io de o u a, puede ob ene se
la
o u a
co espondien e a la p ime a l{unina.
Los
c i e ios
u ilizados
más
ecuen emen e
co esponden
a
~unpliaciones
de
c i e ios
simila es
usados pa a ma e iales isó opos.
En
es e
ab~o
se han
analizado cua o c i e ios de o u a co espondien es a
l{unina-; unidi eccionales:
. Teo ía
de
la
máxima ensión.
. Teo ía
de
la máxima de o mación .
. C i e io de Tsai-Hill .
. C i e io de Tsai-Wu.
Los
esul ados que se discu i án
pos e io men e
han
sido ob enidos
u iliz~mdo
la eo ía de
máxima
ensión,
con los o os c i e ios se ob u ie on
pa a
los
casos
analizados esul ados simila es.
Es e
c i e io es ablece
que
se
p oduci á
la
ac u a
si
alguna
de
las
componen es
ensionales
sob epasa
su
esis encia
cmTespondien e; es deci , no se p oduci á la o u a si:
a) Es ado de acción: b) Es ado de comp esión:
donde:
< S
X1-Resis encia a acción longi udinal.
X e - Resis encia a comp esión longi udinal.
Y 1 -Resis encia a acción ans e sal.
Y
e-
Resis encia a comp esión ans e sal.
S - Resis encia a co adu a.
Habi ualmen e, el cálculo de ensiones
no
se ealiza á
en el sis ema p incipal del ma e ial, sino en un sis ema
de
coo denadas
gene al
pa a
odas
las
capas
del
l~uninado.
Po
ello, es necesa io es ablece el c i e io
de o u a pa a unas di ecciones a bi a ia-;:
c x
< X /cos28
1 .
ANALESDEMECAmCADELAFRACTURA
Vol.ll (1994) 363
4.
RESISTENCIA
ULTIMA
DEL
LAMINADO
La p edicción de la o u a de la p ime a l{unina (RPL)
de un laminado se ealiza a pa i del es ado ensional
calculado
y
aplicando
un
c i e io
de
o u a
de e minado.
Aho a
bien, si las
ca gas
aplicadas
sob epa-;an
la
RPL, el lmninado pod á o no sopo a la
ca ga adicional.
La
esis encia úl ima de
un
lmninado (RUL) depende á
de cada es ado de ca ga y se de e mina analizando el
compo L:'liDien o de cada l(unina has a que no quede
ninguna esis iendo.
De
esw o ma, aunque una l{unina
alle, puede segui apo ando algo de esis encia al
conjun o
y,
de cualquie modo, las l{uninas es an es
siguen esis iendo.
Vamos
a analiza , a con inuación, la capacidad de
sopo a la ca ga pns -RPL de una ba a de i<uninado
cualquie a some ida a una ca ga monó ona c ecien e.
Pa a ello, se á necesa io p opone una se ie de modelos
de
daño
del
laminado.
Dichos
modelos
pa a
compues os
l~uninados
de 1b as con inuas a an cada
lámina
compues a
( ib a y ma iz)
como
un único
ma e ial homogéneo con un ipo de compo mnien o
an es
de
alcanza
el umb al de allo y
con
o o
compo amien o dis in o después de dicho lúni e.
El
uso de un modelo de
dm1o
consis e en la unpliacüín
de
la
eo ía gene al de lmninados a la o u a inal de la
es uc u a.
Es
deci ,
a-;
ealiza un modelado del
dm1o
(disminución de p opiedades en la lámina que alló)
causado po el allo de alguna l{unina,
se
puede ol e
a analiza
la
es uc u a deg adada y ealiza un nue o
análisis con encional de ensiones. Con es e nue o
esL:'ldo
de ensiones se puede aplica nue mnen e el
c i e io
de
allo y p edeci la siguien e l{unina de la
es uc u a que alcanza á el allo y con inua
m;í
has a
alcanza el allo o al (RUL).
Pa a co obo a los di e en es modelos p opues os se
ha analizado
una
se ie
de
ejemplos simples cuyos
esul ados son analizados en el apa ado siguien e.
La
p opues a de los dis in os modelos se ha ealizado
basándose, undamen almen e, en la compa acüín de
los
esul ados
expe imen ales
con
los esul ados
eó icos que se gene ab¡m al aplica cada modelo. Así,
as
analiza
los dos
p ime os
modelos
( 1 y 2),
enunciados
po
Tsai [ 1], hemos p opues o en es e
abqjo [2] o os es, con los que se p e ende sol en a
las de iciencias encon adas
en
los an e io es. Es os
cinco modelos se han denominado:
1)
Modelo de eliminación de líuninm;
2) Modelo
de
deg adación de la ma iz
3) Modelo de deg adaciones pa ciales sucesi a-;
4) Modelo de deg adación y eliminación
5) Modelo de deg adación de ma iz y ib as
Es
con
es e
úl imo
modelo
con
el
que
mejo es
esulL:'ldos se han ob enido.
En
él, se conside a que
cuando
se
sob epasa
el umb al
de
la
o u a de la
p ime a l(unina (RPL) comienz;m a apa ece isu as en
di ección
pa alela
a las ib as p opagándose en el
in e io de la ma iz y en la in e a-;e ib a ma iz. Es e
p ime allo de una lámina p oduce una disminución de
las
p opiedades
que
ienen
gobe nadas
und unen almen e
po
la
ma iz
(En.
G12
y
21).
Aho a bien, cuando se p oduce el segundo allo, es e
no solo a ec a a la ma iz sino que
L:11nbién
se p oduce
un de e io o de las p opiedades de las ib as. Dicho
dal1o en las ib as
puede
conside a se
como
una
educción del módulo de Young longi udinal E u y del ·
módulo de Poisson
V12·
De
es a o ma se o igina ía un
nue o huninado en el que una lámina que
ha
allado n
eces iene
lw;
siguien es p opiedades:
E =
Rn-1
E o
11
11
E
11
Q11=
1-
12
21
=
n-1
O
R E
11
2n-1
O
VO
1-
R V
12
21
n O
E22 R E22
Q
' -
--~--
= ----...;;;..;'----
22-
1 V V 1 _
R2n-1
VO
O
-
12
21
12
21
2n-1 o
Eo
R V
12
22
=---___;;.;:;...._:;.:::.,._
2n-l O
VO
l-R
l2
21
donde el
supe índice
O indica que son p opiedades
o iginales y R el ac o de deg adación.
El allo úl imo del laminado, pa a es e modelo, se
p oduci á cuando, as habe allado odas las láminas
de una ba a, se p oduce un nue o allo de alguna de
ellas.
5. ANA LISIS EXPERI1 1ENT
AL
Con el in de comp oba la alidez de los di e en es
modelos de p og esi<Ín del dal1o p opues os se han
ealizado una se ie de ensayos simples u ilizando
p ohe as de un ma e ial g a i o/epoxy ab icados po
364
ANALES
DE
MECANICA
DE
LA
FRACTURA
Vol.ll
(1994)
HTC (High Technology Composi es)
<le
<.lenominaci6n
AS-4/3501-6 con secuencias
<le
apila<.lo
[O]s
[(0/90)z]s
y [45/0/-45/9021s· Las
p opie<.Ia<.les
<le
igi<.lez
y
esis encia ue on
ob eni<.lm;
expe imen almen e a pa i
<le
lamina<.Ios
uni<.li eccionales.
El p ime o ensayo
ealiza<.lo
ue el
<le
acción. En la
abla 1
pue<.len
ap ecia se los
esul a<.los
expe imen ales
compa a<.los
con los ob eni<los
u ilizan<.lo
los
<.li e en es
modelos.
Como
pue<.le
obse a se, en el caso
<le
lamina<.lo
uni<.li eccional el
esul a<.lo
coinci<.Ie
con el
espe a<.lo
<.Ia<.lo
que el allo
<.Iel
lmnina<.lo
es el
<le
la
lámina. Pa a las es an es secuencias
<le
apila<.lo,
se
obse a que los
esul a<.los
son sa is ac o ios pa a el
mo<.lelo
<le
<.leg a<.lación
<le
ma iz y ib a
(Mo<.lelo
5)
u ilizando
un
ac o
<le
<.leg a<.laci6n
R=0.5.
[OJx
[0/90l2s [ 45/0/-45/90]s
Expe imen al
235
1230
730
(1)
2350
1176
588
R=0.3
2350
1207
335
(2)
R=0.5
2350
1229
323
(3)
R=0.3
2350
1207
921
R=0.3
2350
1207
603
(4)
R=0.5
2350
1229
615
R=<U
2350
1207
ó75
(5)
R=0.5
2350
1229
696
~
~·
Ca gas
de
o u a
en
Kg
Tahla
1.·
Resul a<.los
<le!
ensayo
<le
acci(m.
Pos e io men e se ha
ealiza<.Io
un
ensayo
<le
1exi<ín
con iga bia icu la
<.la.
Pa a ello se cons uyú el
<.lisposi i o
mos a<.lo
en
la igu a
3.
Fig. 3.- Disposi i o pa a ensayo
<le
1exi<ín
Los
esul a<.los
expe imen ales, jun o con los que se
p e<.licen
con los
<.li e en es
mo<.Ielos
se suma izan en la
abla 2 pa a las es secuencia-;
<le
apila<.lo
u iliza<.las.
[Ol8
[0/90lzs
[45/0/-45/90]
Expe imen al
20.7
14.1
8,3
(1)
18,8
13,0
7,3
R=0.3
18,9
13,2
3,2.
(2)
R=0.5
18,8
13,3
3,1
(3)
R=0.3
74,6
69
48
R=0.3
18,9
13,2
7,4
(4)
R=0.5
lS,S
13,3
7,4
R-0.3
19,5
13,2
8,5
(5)
R=0.5
21,6
15,2
8,7
!
Ca gas
de
&::
~
o u a en
Kg
Tahla
2.-
Resul a<.los
<le!
ensayo
<le
lexi<'in
Nue amen e, se ap ecia
c.¡ue
el
mo<.lelo
<le
<leg a<.lación
<le
ih a y ma iz con
un
ac o R=0.5 es el que
con<.Iuce
a mejo es
esul a<.los.
La
e oluci(m
<le
la lecha con la ca ga pa a una
<le
lw;
secuencias analiza<.las
usan<.lo
el
mo<.Ielo
5 con
<.li e en es
ac o es
<le
<.leg a<.laci<ín,
se mues a en la
igu a 4.
;:.
c=·~~·~P~(K~g~)--~--~[-48
0
/_0I_·_4B_ ,9_0I_•
__
_,----,
10
o
500
1000 1800
2000 2800
3000
Flecha (0.01
mm)
Viga bla loulada
~
R•0.3
--6-
R-0.6
-+-
Ro0.4
Fig. 4.- Ensayo
<le
1exión. [45/0/-45/90]s
Como
pue<.le
obse a se
el
acue <.lo
es sa is ac o io.

ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA
6. CONCLUSIONES
Obse ando los buenos esul ados ob enidos en los
casos ensayados, se pod ía u iliza el análisis
desa ollado
en
es e
abajo
pa a
p edeci
el
compo amien o de ba as de ma e ial compues o
laminado. Po o o lado, los modelos de p og esi<ín del
daño p opues os pueden u iliza se pa a p edeci el
compo amien o pos -RPL y la ca ga úl ima.
Como conclusión de es e
ab~jo,
puede deci se que la
p edicción de la esis encia de un ma e ial compues o
some ido a ca gas combinadas es a iesgado. Los
c i e ios de esis encia no pueden se asociados a
algunos p incipios undmnen ales
de
compo amien o
ya que los ma e iales compues os ienen
un
unplio
ango
de
compo amien o
que depende de
la
in e acción en e ib a y ma iz
d mdo
luga a dis in os
modos
de
allo
que
ac úan
in e ac i a
y
simul .{mea nen e.
En
es e
abajo, se ha
in en ado
modela
el
compo mnien o de es os ma e iales comp obándose
que el modelo denominado de deg adación
de
ma iz y
ib a, u ilizando
un
ac o de deg adación R=0.5,
es
el
que más se ap oxima a la ealidad en los ensayos
ealizados.
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