DIFERENCIACI´
ON MEDIANTE CONTROL POR MODOS
DESLIZANTES
R. Rome o, J. S ojano , A.S.I. Zinobe y F.R.Rubio
Dep Ingenie ´ıa de Sis emas y Au om´a ica
Escuela Supe io de Ingenie os de Se illa
e-mails: { ome i, ubio}@ca uja.us.es, ji k[email p o ec ed], a.zinob[email p o ec ed]
Resumen
En es e a ´ıculo se analizan di e sos m´e odos
pa a la di e enciaci´on de se˜nales con uido. Re-
cien es p og esos en con ol po modos deslizan es
a anzado son p esen ados como una al e na i a
p ome edo a pa a log a esul ados obus os y p e-
cisos. En pa icula puede emplea se el Con ol
po Modo Deslizan e de O den Supe io y el Con-
ol po Modo Deslizan e Din´amico. El concep o,
en ajas, simulaciones y ejemplos son mos a-
dos pa a ambas ´ecnicas. Se p esen a un ejem-
plo p ´ac ico de un obo manipulado indus ial,
las medidas de posici´on de los ejes equie en se
di e enciadas con el in de ob ene elocidades y
acele aciones. O as ap oximaciones num´e icas,
como el il o de Sa i zky-Golay, son analizadas
y compa adas con los di e enciado es basados en
Modos Deslizan es.
Palab as cla e: Di e enciado , Sa i zky-Golay,
SMC, HOSMC, DSMC, Con ol po Modos
Deslizan es
1 INTRODUCCI´
ON
La di e enciaci´on en iempo eal es un conocido y
ampliamen e es udiado p oblema desde hace mu-
cho iempo. La p incipal di icul ad a a on a es-
iba en la sensibilidad que p esen a an e uidos
en la se˜nal de en ada. Di e en es al e na i as han
sido empleadas a lo la go de las ul imas d´ecadas.
Di e sos m´e odos num´e icos ue on desa ollados
como una al e na i a e icaz cuando se desconoce
la o ma anal´ı ica de la unci´on a de i a , cuando
la se˜nal es a con aminada po uido o cuando
p o iene de la salida de un sis ema no modelado.
Uno de los m´e odos mas empleados ha sido la
di e enciaci´on num´e ica simple seguida de la apli-
caci´on de un il o pa a la eliminaci´on de las com-
ponen es de la se˜nal no deseadas. Es e m´e odo
p esen a el incon enien e de que se equie e una
elecci´on adecuada del il o, que no de e io e de-
masiado la se˜nal deseada lo cual no siemp e es ´acil
de consegui .
Un camino al e na i o consis e en ajus a un poli-
nomio en una de e minada ” en ana” de los da os
a pa i de una adecuada ley de ajus e. Es e
m´e odo se p esen ´o en un conocido a ´ıculo de
Sa i zki y Golay ([10]). Una implemen aci´on so -
wa e puede encon a se en el lib o “Nume ical
Recipes in C”.
O as ecien es apo aciones, como la p esen ada
en [1] no son ap opiadas pa a su uso con se˜nales
uidosas como se ha comp obado con simulaciones
que se ´an p esen adas en es e a iculo.
Los ´ul imos a ances en ´ecnicas de con ol basadas
en Modos deslizan es, como HOSMC o DSMC,
han abie o una nue a posibilidad pa a la di e en-
ciaci´on de es e ipo de se˜nales. Con es as ´ecnicas
se gene alizan y mejo an los esul ados ob enidos
con el con ol po modo deslizan e adicional y se
eliminan las es icciones que es e p esen a. Apli-
cadas como obse ado es, es os m´e odos pueden
u iliza se pa a di e encia se˜nales con la en aja
de que la di e enciaci´on es exac a en ausencia de
uido y obus a en su p esencia.
2 INTRODUCCI´
ON AL
CONTROL POR MODOS
DESLIZANTES
El m´e odo de modos deslizan es adicional ( e
[4]) puede se p esen ado sucin amen e como la
aplicaci´on de una se˜nal de con ol conmu ando a
al a ecuencia que consigue lle a el es ado del sis-
ema a una supe icie σ= 0 denominada supe icie
de deslizamien o y una ez en ella man ene lo an e
posibles pe u baciones ex e nas. Dicha supe i-
cie de deslizamien o se ´a de inida po el dise˜nado
con el obje o de que el es ado cumpla las especi-
icaciones deseadas. La p incipal en aja del con-
ol po modos deslizan es es que apo a obus ez
an e pe u baciones, an o in e nas como ex e -
nas, cuando es as ienen co as conocidas.
Po desg acia, es e m´e odo posee un pa de e-
s icciones impo an es. En p ime luga , el
g ado ela i o del sis ema, que puede de ini se
como el n´ume o de eces que hay que de i a la
unci´on que desc ibe la supe icie de deslizamien o
(σ(x, u) ) pa a que la se˜nal de con ol apa ezca
expl´ıci amen e, debe se uno. En segundo luga el
e ec o “cha e ing” p o ocado po la conmu aci´on
de al a ecuencia de la se˜nal de con ol puede
se muy pe judicial en de e minadas aplicaciones
p ac icas y se ha is o a menudo como el p inci-
pal a gumen o pa a desaconseja es e m´e odo. Po
ejemplo, la implan aci´on de es e m´e odo en el con-
ol de obo s y o os sis emas mec´anicos pueden
causa ib aciones capaces de exci a la ecuencia
undamen al del sis ema con desas osos esul a-
dos o p o oca el de e io o de las pa es m´o iles
po e ec o de la a iga. Sin emba go, en o o ipo
de aplicaciones, como es en el con ol de sis emas
elec ´onicos con al a capacidad de conmu aci´on o
en el caso de di e enciaci´on de se˜nales, que es el
caso que nos ocupa, ales e ec os noci os no apa e-
cen y es e m´e odo de con ol pod ´ıa se u ilizado
sin ninguna modi icaci´on en pa icula . En los
dem´as casos es posible sua iza la ley de con ol a
cons a de pe de p ecisi´on. Di e sas me odolog´ıas
han sido p opues as al espec o en la bibliog a ´ıa
especializada ([3]).
2.1 Ejemplo de SMC
Pa a acla a concep os un ejemplo de SMC con-
encional se mues a a con inuaci´on (Pa a mas in-
o maci´on e [11]). Supongamos que el sis ema a
con ola iene la o ma desc i a po (1) y que de-
seamos educi el o den del sis ema de o ma que
el es ado cumpla la ecuaci´on σ= 0 co espondi-
en e a la de un sis ema de p ime o den.
˙x1=x2
˙x2=bu (1)
pa a al in puede de ini se una supe icie
deslizan e en la o ma
σ=gx1+x2(2)
y una se˜nal de con ol como
u=−sign(σ) (3)
Como puede obse a se ( igu as 1 y 2), despu´es
de un co o ansi o io, se log a alcanza la
condici´on de deslizamien o (es deci , σ= 0).
Es in e esan e ap ecia que el pa ´ame o b en
la ecuaci´on del sis ema (1) pod ´ıa se descono-
cido, y no obs an e la condici´on de deslizamien o
segui ´ıa alcanz´andose den o de un amplio ango
de a iaci´on del pa ´ame o. Como puede in-
e i se de es e sencillo ejemplo, es e ipo de con-
ol es obus o en e a inde e minaciones aco-
adas en el modelo del sis ema. Adem´as puede
demos a se que la p ecisi´on en ´egimen pe ma-
nen e del deslizamien o (sup(|σ|)) es del o den del
paso de in eg aci´on (τ).
Figu a 1: E oluci´on de la unci´on de deslizamien o
σ.
Figu a 2: Mapa de es ados x1yx2.
Figu a 3: E oluci´on de los es ados. Con e gencia
exponencial.
Figu a 4: E oluci´on de la se˜nal de con ol. E ec o
cha e ing.
La igu a 3 mues a la e oluci´on empo al de los
es ados, que como puede ap ecia se, p esen a una
con e gencia exponencial al o igen.
El e ec o del cha e ing, comen ado an e io men e,
puede se ´acilmen e islumb ado en la igu a 4.
3 CONTROL POR MODO
DESLIZANTE DE ORDEN
SUPERIOR (HOSMC)
Pos e io men e han apa ecido impo an es
a ances en el con ol po modos deslizan es con
la apa ici´on del con ol po modo deslizan e de
o den supe io [2]. La idea subyacen e es con o-
la ´e minos de o den supe io de la supe icie
deslizan e imponiendo no solo que se anule la
unci´on que la de ine ( σ= 0 ) sino ambi´en sus -1
p ime as de i adas (σ= ˙σ= ¨σ=... =σ −1= 0).
Es e m´e odo p ese a y gene aliza las p inci-
pales en ajas del con ol po modo deslizan e
adicional. Adem´as se mejo a no ablemen e
la p ecisi´on alcanzada en el con ol ( aho a
sup(|σ|)≃τ ) ) y se eliminan las es icciones
que limi aban a aquel (desapa ece el e ec o
cha e ing y es posible con ola sis emas con
g ado ela i o > 1).
A con inuaci´on se p esen an ejemplos de leyes de
con ol basadas en es e m´e odo:
u=−αsign( ˙σ+|σ|1/2sign(σ))
u=−αsign(¨σ+2|˙σ|3+|σ|2)1/6sign( ˙σ+|σ|2/3sign(σ))
3.1 HOSMC como di e enciado
En [2] se p esen a una in e esan e aplicaci´on del
HOSMC. La idea es u iliza el m´e odo como ob-
se ado pa a di e encia una se˜nal. Como en a-
jas mas no ables cabe des aca que se consigue un
di e enciado que es exac o en ausencia de uidos
y obus o en p esencia de uidos.
Figu a 5: Funci´on senoidal e´o ica en ausencia de
uidos. eo ica
En el ci ado a ´ıculo se p esen a el di e enciado
de Le an en el siguien e modo. Dada una se˜nal
( ) a di e encia , el sis ema de ecuaciones:
˙z0=υ0, υ0=λ0L1/3|z0− |2/3sign(z0− ) + z1
˙z1=υ1, υ1=λ1L1/2|z1− |1/2sign(z1− ) + z2
˙z2=λ2Lsign(z2−υ1) (4)
p opo ciona es imaciones de la unci´on (z0) y de
sus de i adas p ime a y segunda (z1yz2)
3.2 Simulaciones
El di e enciado de Le an ha sido p og amado en
lenguaje C pa a su simulaci´on. Pa a analiza sus
esul ados con un ejemplo ep esen a i o se ha u i-
lizado una unci´on senoidal e´o ica (ecuaci´on 5)
como obje o de ensayo a la que se le ha a˜nadido
un signi ica i o uido gausiano n( ) con des iaci´on
´ıpica 0.2 pa a analiza la obus ez del di e enci-
ado .
eo ica = = 2 + sin(0.5 ) + cos( )
+0.5∗sin(2 + 0.5) −0.3cos(5 −0.5) (5)
eo ica+ uido = = +n( ) (6)
as´ı pues, la de i ada exac a de la unci´on, en
ausencia de uido, debe ´ıa se :
d eo ica = d = 0.5cos(0.5 )−sin( )
+cos(2 + 0.5) + 1.5sin(5 −0.5) (7)
El esul ado de la simulaci´on se ep esen a en
la igu a 8. T as un pe iodo ansi o io (que
Figu a 6: Funci´on senoidal e´o ica m´as uido.
eo ica+ uido
Figu a 7: De i ada exac a de la unci´on senoidal
( d) en ausencia de uidos.
Figu a 8: Rep esen aci´on de la de i ada es imada
po Le an y la de i ada exac a.
se educe signi ica i amen e cuan o mayo es el
conocimien o que enemos del alo inicial de la
de i ada a es ima ) el di e enciado se ajus a con
g an p ecisi´on al alo eal de la de i ada.
4 CONTROL POR MODO
DESLIZANTE DINAMICO
El concep o que subyace a es a me odolog´ıa es in-
oduci din´amica adicional al sis ema. Con ello
se consigue combina las ca ac e ´ıs icas de un con-
ol po modo deslizan e con encional (insensibil-
idad an e pe u baciones y no linealidades aco-
adas) y las de un compensado din´amico adi-
cional (adap aci´on a pe u baciones no aco adas).
Puede demos a se que es e con olado pe mi e
alcanza el modo de deslizamien o (σ= 0) en
iempo ini o.
Un ejemplo de ley de con ol no lineal DSMC
puede se implemen ado en la siguien e o ma
([7]):
˙χ=bσ
σ0.5−a(χ+σ)
|χ+σ|0.5
J=χ+σ(8)
siendo la ley de con ol en es e caso:
u=−ρsign(J) (9)
4.1 DSMC como di e enciado
Una nue a clase de di e enciado ha sido p esen-
ada po Yu i Sh essel (([6])). Como en el caso an-
e io , es e di e enciado de i a de un con olado
usado como obse ado pa a de i a una se˜nal. El
con ol po modo deslizan e din´amico puede se
usado como di e enciado de segundo o den medi-
an e la siguien e sucesi´on de ecuaciones:
¨
ˆχ=ρ0sign(J0)
˙χ=be
|e|0.5−a(χ+e)
|χ+e|0.5(10)
J0=χ−e(11)
e=χ−ˆχ(12)
Finalmen e la es imaci´on de la de i ada de la
unci´on χpuede ob ene se como:
y=˙
ˆχ=Zρ0sign(J0)dτ (13)
Figu a 9: Rep esen aci´on de la de i ada es imada
po Sh essel y la de i ada exac a.
4.2 Simulaciones
La implemen aci´on so wa e del ci ado di e enci-
ado en la o ma de ecuaciones an es desc i as ha
sido simulada en C con el obje o de analiza su e i-
cacia con la se˜nal senoidal e´o ica an e io men e
ci ada (ecuaci´on 5).
La igu a 9 mues a el esul ado de las simula-
ciones comp ob´andose de nue o, as el co espon-
dien e ansi o io, que una buena es imaci´on de la
de i ada es ob enida. Como en el caso del di e -
enciado de Le an , el pe iodo ansi o io es des-
p eciable si se conocen los alo es iniciales de la
de i ada a es ima .
5 OTRAS T´
ECNICAS DE
DIFERENCIACION
A lo la go de las ´ul imas d´ecadas, muchas han sido
las ´ecnicas desa olladas pa a de i a se˜nales.
En casos e´o icos ideales, en ausencia de uidos
y o as pe u baciones, y cuando las unciones
que in e esa de i a son conocidas, pueden us-
a se m´e odos anal´ı icos cada ez m´as abo dables
g acias a he amien as de calculo simb´olico como
Maple, Ma lab, e c. Una al e na i a no edosa
es la p esen ada en [9] donde se sugie e la di e -
enciaci´on au om´a ica (Au oma ic Di e en ia ion,
AD) pa a su uso en algo i mos de con ol. Es a
´ecnica, al con a io que los p ocesos anal´ı icos, no
equie e de una o mula expl´ıci a pa a el calculo
de de i adas y de uel e un alo num´e ico pa a
la es imaci´on de in e ´es dados los alo es de las
a iables implicadas.
Cuando la unci´on que deseamos di e encia no
es conocida, como suele ocu i en la mayo ´ıa de
las aplicaciones p ´ac icas, se hace imp escindible
el uso de o as ´ecnicas. El desa ollo en se-
ie de Fou ie puede se un m´e odo a aplica
pa a ob ene o mulas de c´alculo de de i adas de
cualquie o den de una se˜nal cuyo modelo anal´ı ico
se desconoce. Desg aciadamen e es a ´ecnica no
p esen a buenos esul ados en p esencia de uidos
po lo que no es in e esan e pa a muchas si ua-
ciones de la ida eal.
En e las mode nas ´ecnicas que pueden se em-
pleadas pa a la di e enciaci´on de se˜nales cuya
uen e es desconocida y que p esen an uidos u
o as pe u baciones, se puede hace una di isi´on
en dos ca ego ´ıas ([8]). La p ime a consis e en
ajus a un polinomio de e minado en una ” en-
ana” de ama˜no ijo de los da os a di e encia y( )
y que se mue e a lo la go de la a iable indepen-
dien e ( ). El in e esado pod ´a p o undiza en es e
m´e odo leyendo el a iculo de Sa i zky-Golay. La
segunda e si´on se conoce como di e encias ini as
y ha sido p obablemen e la m´as usada y popula
po su sencillez.
La ´ecnica de di e encias ini as mas sencilla pa a
di e encia una se˜nal y= ( i) consis e en aplica
el m´e odo de la di e encia ”hacia delan e” que se
puede de ini con la o mula :
0( i) = [ ( i+h)− ( i)]/h (14)
pa a i= 1...n −1 y siendo 0( i) la p ime a
de i ada de en iy h el in e alo en e dos
mues as sucesi as. El e o de es a o mula es
h/2∗ 00( i) y puede hace se excesi o si h no iene
un alo su icien emen e peque˜no. El incon e-
nien e m´as impo an e de es e segundo m´e odo
es que es e e o es signi ica i amen e mayo en
p esencia de uidos lo que puede palia se con la
in oducci´on de il os que sua icen el esul ado,
pe o a cos a de inco po a posibles dis o siones a
la se˜nal ( eco e de picos m´aximos y m´ınimos, e-
asos, e c).
Sa i zky y Golay ([10]) p oponen ajus a la se˜nal
a di e encia en el ins an e ipo un polinomio
en una en ana de los da os de inida po nlpun-
os ”pasados” ( j< i) y po n pun os ” u u os”
( k> i). De al o ma, la se˜nal a di e encia
queda a ap oximada en un pun o , po una com-
binaci´on lineal g median e la o mula:
g =
n
X
n=nl
cn +n(15)
Si se calculan los coe icien es cnno como alo es
cons an es sino como polinomios de mayo o den (
´ıpicamen e o den 2 o 4) es posible p ese a mo-
men os de o den supe io en la se˜nal. As´ı pues,
p ime o se ajus a po m´ınimos cuad ados un poli-
nomio con los pun os nl+n + 1 de la en ana
de da os y despu´es se calcula el alo que oma en

el ins an e (g ). Es a idea, pe o en o ma op i-
mizada pa a su compu aci´on, es la que se p esen a
en el algo i mo de Sa i zky-Golay que puede en-
con a se en [10]. En es a unci´on, el pa ´ame o
ld indica que coe icien es cndesean ob ene se con
la llamada a la unci´on. Es deci , con ld = 0
se ob ienen los coe icien es pa a la se˜nal il ada,
con ld > 1 los de la es imaci´on de la ld-´esima
de i ada. De es a o ma, con ld = 1 po ejemplo,
una es imaci´on de la p ime a de i ada de puede
se ob enida con la con oluci´on de inida po la o -
mula (15) di idida po el paso de in eg aci´on h.
6 COMPARATIVAS
Una compa a i a de las dis in as ´ecnicas anal-
izadas puede se escla ecedo a sob e que ipo de
di e enciado puede o ece mejo es esul ados.
Pa a ello se ha u ilizado la unci´on senoidal e´o ica
(5) ya in oducida en 3.2.
El di e enciado basado en se ies de Fou ie y el
in oducido po Sa i zky-Golay (analizados en el
pun o 5 ) son compa ados con el di e enciado
HOSMC en las igu as 10 y 11 espec i amen e.
Como se adelan aba en 5 el basado en se ies de
Fou ie p esen a malos esul ados en p esencia de
uidos incluso cuando es os ienen una des iaci´on
´ıpica muy educida. En la igu a 10 po ejemplo
se compa an los esul ados en e el di e enciado
de Le an cuando el uido de la se˜nal o iginal (
eo ica+ uido ) iene des iaci´on ´ıpica 0.2 y el de
Khan cuando el uido es de des iaci´on ´ıpica 0.02.
Sin emba go, as el ansi o io, la es imaci´on de
Le an p esen a mucho menos uido.
El di e enciado de Sa i zky-Golay equie e de un
al o n´ume o de mues as en la ” en ana” de ajus e
del polinomio pa a p oduci esul ados acep ables.
Sin emba go, incluso en el mejo de los casos, los
esul ados conseguidos no son an espec acula es
como los alcanzados con el di e enciado HOSMC.
Finalmen e, median e la obse aci´on de las igu as
9 y 8 y la ep esen aci´on de los e o es en las ig-
u as 12 y 13, una compa a i a en e el di e enci-
ado HOSMC y el DSMC puede se es ablecida.
Como puede ap ecia se, la p ecisi´on alcanzada en
es e caso po ambos di e enciado es es compa a-
ble aunque una ez m´as el di e enciado HOSMC
pa ece se la mejo al e na i a an o en p ecisi´on
como en la apidez en supe a el ansi o io.
7 UNA APLICACI´
ON REAL
Con el in de jus i ica la e icacia del di e enciado
HOSMC se ha p ocedido ha ensaya el algo i mo
comen ado en 3.1 pa a ob enci´on de acele aci´ones
Figu a 10: Compa aci´on en e las de i adas es i-
madas po el di e enciado de Le an y el basado
en se ies de Fou ie (Khan).
Figu a 11: Compa aci´on en e las de i adas es i-
madas po el di e enciado de Le an y el p op-
ues o po Sa i zky-Golay.
3
10−
≈
Figu a 12: Se˜nal de e o en la es imaci´on de la
de i ada ( d − des imada) (Le an ).
2
10−
≈
Figu a 13: Se˜nal de e o en la es imaci´on de la
de i ada ( d − des imada) (Sh essel).
Figu a 14: Es imaciones de elocidad del p ime
eje del obo p oceden es de la di e enciaci´on
num´e ica s anda d y el di e enciado de Le an .
en un obo eal ([5]). Pa a ello se ha hecho uso
de las se˜nales p oceden es de senso es colocados
en un obo manipulado indus ial. Los encode s
si uados en los ejes del obo p opo cionan medi-
das de posici´on de los mismos pe o, po eque im-
ien os de con ol a anzado, se p ecisan asimismo
medidas de elocidad y acele aci´on.
Como puede comp oba se en la igu a 14 la e-
locidad del eje puede se es imada ´acilmen e me-
dian e sencilla di e enciaci´on num´e ica siendo los
esul ados ob enidos median e es a ´ecnica su i-
cien emen e acep ables y el uido de la se˜nal casi
inap eciable. Sin emba go, en la igu a 15 se puede
comp oba como una segunda di e enciaci´on p o-
duce esul ados o almen e inadmisibles desde el
pun o de su uso en el con ol del obo debido a
su excesi o uido.
El uso de il os m´as acusados p o oca una
dis o si´on de la se˜nal igualmen e inacep able.
Sin emba go, median e el uso del di e enciado
HOSMC se puede ob ene mucho mejo es esul-
ados, como puede e se en la igu a 16. Aho a la
se˜nal di e enciada es su icien emen e sua e como
pa a se empleada en posibles con olado es como
ealimen aci´on y p esen a una alo mas p eciso
de medidas de acele aci´on de los ejes.
8 CONCLUSIONES FINALES
Las m´as ecien es ´ecnicas de con ol basadas en
modos deslizan es han sido p esen adas. El Con-
ol po Modo Deslizan e de O den Supe io y el
Con ol po Modo Deslizan e Din´amico se p esen-
an como no edosos y p ome edo es m´e odos que
pueden se empleados pa a di e encia se˜nales en
p esencia de uidos. Su obus ez y p ecisi´on ha
sido mos ada con simulaciones di e sas. Los en-
sayos pa ecen e leja que los mejo es esul ados
se ob ienen con el di e enciado HOSMC (Le an )
si bien los di e enciado es basados en DSMC (Sh -
essel) p esen an una meno complejidad.
O as ´ecnicas de di e enciaci´on han sido anal-
izadas y compa adas con el di e enciado HOSMC,
ol iendo a mos a se ´es e, como el m´e odo m´as
e icaz en el caso de se˜nales muy uidosas.
Un caso p ´ac ico ha sido asimismo p esen ado en
el que la se˜nal de acele aci´on de un eje de un obo
manipulado indus ial es es imada median e el
di e enciado HOSMC, comp ob´andose signi ica i-
as en ajas espec o a los m´e odos adicionales
de di e enciaci´on.
Ag adecimien os
Es e abajo ha sido inanciado po ondos de
la comisi´on eu opea bajo el p og ama Ma ie
Cu ie/Con ol T aining Si e (CTS). As´ı mismo los
Figu a 15: Es imaci´on de la acele aci´on p oce-
den e de la di e enciaci´on num´e ica s anda d de
la se˜nal de elocidad.
Figu a 16: Es imaci´on de la acele aci´on p oce-
den e de la di e enciaci´on de la se˜nal de elocidad
p opo cionada po el m´e odo de Le an .
Figu a 17: Compa a i a de es imaciones (di e en-
ciado s anda d/Le an ).
au o es desean exp esa su ag adecimien o al Min-
is e io de Ciencia y Tecnolog´ıa po inancia pa -
cialmen e es e abajo en el ma co del p oyec o
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