Diferenciación mediante control por modos deslizantes

DIFERENCIACI´ ON MEDIANTE CONTROL POR MODOS DESLIZANTES R. Rome o, J. S ojano , A.S.I. Zinobe y F.R.Rubio Dep Ingenie ´ıa de Sis emas y Au om´a ica Escuela Supe io de Ingenie os de Se illa e-mails: { ome i, ubio}@ca uja.us.es, ji k[email p o ec ed], a.zinob[email p o ec ed] Resumen En es e a ´ıculo se analizan di e sos m´e odos pa a la di e enciaci´on de se˜nales con uido. Re- cien es p og esos en con ol po modos deslizan es a anzado son p esen ados como una al e na i a p ome edo a pa a log a esul ados obus os y p e- cisos. En pa icula puede emplea se el Con ol po Modo Deslizan e de O den Supe io y el Con- ol po Modo Deslizan e Din´amico. El concep o, en ajas, simulaciones y ejemplos son mos a- dos pa a ambas ´ecnicas. Se p esen a un ejem- plo p ´ac ico de un obo manipulado indus ial, las medidas de posici´on de los ejes equie en se di e enciadas con el in de ob ene elocidades y acele aciones. O as ap oximaciones num´e icas, como el il o de Sa i zky-Golay, son analizadas y compa adas con los di e enciado es basados en Modos Deslizan es. Palab as cla e: Di e enciado , Sa i zky-Golay, SMC, HOSMC, DSMC, Con ol po Modos Deslizan es 1 INTRODUCCI´ ON La di e enciaci´on en iempo eal es un conocido y ampliamen e es udiado p oblema desde hace mu- cho iempo. La p incipal di icul ad a a on a es- iba en la sensibilidad que p esen a an e uidos en la se˜nal de en ada. Di e en es al e na i as han sido empleadas a lo la go de las ul imas d´ecadas. Di e sos m´e odos num´e icos ue on desa ollados como una al e na i a e icaz cuando se desconoce la o ma anal´ı ica de la unci´on a de i a , cuando la se˜nal es a con aminada po uido o cuando p o iene de la salida de un sis ema no modelado. Uno de los m´e odos mas empleados ha sido la di e enciaci´on num´e ica simple seguida de la apli- caci´on de un il o pa a la eliminaci´on de las com- ponen es de la se˜nal no deseadas. Es e m´e odo p esen a el incon enien e de que se equie e una elecci´on adecuada del il o, que no de e io e de- masiado la se˜nal deseada lo cual no siemp e es ´acil de consegui . Un camino al e na i o consis e en ajus a un poli- nomio en una de e minada ” en ana” de los da os a pa i de una adecuada ley de ajus e. Es e m´e odo se p esen ´o en un conocido a ´ıculo de Sa i zki y Golay ([10]). Una implemen aci´on so - wa e puede encon a se en el lib o “Nume ical Recipes in C”. O as ecien es apo aciones, como la p esen ada en [1] no son ap opiadas pa a su uso con se˜nales uidosas como se ha comp obado con simulaciones que se ´an p esen adas en es e a iculo. Los ´ul imos a ances en ´ecnicas de con ol basadas en Modos deslizan es, como HOSMC o DSMC, han abie o una nue a posibilidad pa a la di e en- ciaci´on de es e ipo de se˜nales. Con es as ´ecnicas se gene alizan y mejo an los esul ados ob enidos con el con ol po modo deslizan e adicional y se eliminan las es icciones que es e p esen a. Apli- cadas como obse ado es, es os m´e odos pueden u iliza se pa a di e encia se˜nales con la en aja de que la di e enciaci´on es exac a en ausencia de uido y obus a en su p esencia. 2 INTRODUCCI´ ON AL CONTROL POR MODOS DESLIZANTES El m´e odo de modos deslizan es adicional ( e [4]) puede se p esen ado sucin amen e como la aplicaci´on de una se˜nal de con ol conmu ando a al a ecuencia que consigue lle a el es ado del sis- ema a una supe icie σ= 0 denominada supe icie de deslizamien o y una ez en ella man ene lo an e posibles pe u baciones ex e nas. Dicha supe i- cie de deslizamien o se ´a de inida po el dise˜nado con el obje o de que el es ado cumpla las especi- icaciones deseadas. La p incipal en aja del con- ol po modos deslizan es es que apo a obus ez an e pe u baciones, an o in e nas como ex e - nas, cuando es as ienen co as conocidas. Po desg acia, es e m´e odo posee un pa de e- s icciones impo an es. En p ime luga , el g ado ela i o del sis ema, que puede de ini se como el n´ume o de eces que hay que de i a la unci´on que desc ibe la supe icie de deslizamien o (σ(x, u) ) pa a que la se˜nal de con ol apa ezca expl´ıci amen e, debe se uno. En segundo luga el e ec o “cha e ing” p o ocado po la conmu aci´on de al a ecuencia de la se˜nal de con ol puede se muy pe judicial en de e minadas aplicaciones p ac icas y se ha is o a menudo como el p inci- pal a gumen o pa a desaconseja es e m´e odo. Po ejemplo, la implan aci´on de es e m´e odo en el con- ol de obo s y o os sis emas mec´anicos pueden causa ib aciones capaces de exci a la ecuencia undamen al del sis ema con desas osos esul a- dos o p o oca el de e io o de las pa es m´o iles po e ec o de la a iga. Sin emba go, en o o ipo de aplicaciones, como es en el con ol de sis emas elec ´onicos con al a capacidad de conmu aci´on o en el caso de di e enciaci´on de se˜nales, que es el caso que nos ocupa, ales e ec os noci os no apa e- cen y es e m´e odo de con ol pod ´ıa se u ilizado sin ninguna modi icaci´on en pa icula . En los dem´as casos es posible sua iza la ley de con ol a cons a de pe de p ecisi´on. Di e sas me odolog´ıas han sido p opues as al espec o en la bibliog a ´ıa especializada ([3]). 2.1 Ejemplo de SMC Pa a acla a concep os un ejemplo de SMC con- encional se mues a a con inuaci´on (Pa a mas in- o maci´on e [11]). Supongamos que el sis ema a con ola iene la o ma desc i a po (1) y que de- seamos educi el o den del sis ema de o ma que el es ado cumpla la ecuaci´on σ= 0 co espondi- en e a la de un sis ema de p ime o den. ˙x1=x2 ˙x2=bu (1) pa a al in puede de ini se una supe icie deslizan e en la o ma σ=gx1+x2(2) y una se˜nal de con ol como u=−sign(σ) (3) Como puede obse a se ( igu as 1 y 2), despu´es de un co o ansi o io, se log a alcanza la condici´on de deslizamien o (es deci , σ= 0). Es in e esan e ap ecia que el pa ´ame o b en la ecuaci´on del sis ema (1) pod ´ıa se descono- cido, y no obs an e la condici´on de deslizamien o segui ´ıa alcanz´andose den o de un amplio ango de a iaci´on del pa ´ame o. Como puede in- e i se de es e sencillo ejemplo, es e ipo de con- ol es obus o en e a inde e minaciones aco- adas en el modelo del sis ema. Adem´as puede demos a se que la p ecisi´on en ´egimen pe ma- nen e del deslizamien o (sup(|σ|)) es del o den del paso de in eg aci´on (τ). Figu a 1: E oluci´on de la unci´on de deslizamien o σ. Figu a 2: Mapa de es ados x1yx2. Figu a 3: E oluci´on de los es ados. Con e gencia exponencial. Figu a 4: E oluci´on de la se˜nal de con ol. E ec o cha e ing. La igu a 3 mues a la e oluci´on empo al de los es ados, que como puede ap ecia se, p esen a una con e gencia exponencial al o igen. El e ec o del cha e ing, comen ado an e io men e, puede se ´acilmen e islumb ado en la igu a 4. 3 CONTROL POR MODO DESLIZANTE DE ORDEN SUPERIOR (HOSMC) Pos e io men e han apa ecido impo an es a ances en el con ol po modos deslizan es con la apa ici´on del con ol po modo deslizan e de o den supe io [2]. La idea subyacen e es con o- la ´e minos de o den supe io de la supe icie deslizan e imponiendo no solo que se anule la unci´on que la de ine ( σ= 0 ) sino ambi´en sus -1 p ime as de i adas (σ= ˙σ= ¨σ=... =σ −1= 0). Es e m´e odo p ese a y gene aliza las p inci- pales en ajas del con ol po modo deslizan e adicional. Adem´as se mejo a no ablemen e la p ecisi´on alcanzada en el con ol ( aho a sup(|σ|)≃τ ) ) y se eliminan las es icciones que limi aban a aquel (desapa ece el e ec o cha e ing y es posible con ola sis emas con g ado ela i o > 1). A con inuaci´on se p esen an ejemplos de leyes de con ol basadas en es e m´e odo: u=−αsign( ˙σ+|σ|1/2sign(σ)) u=−αsign(¨σ+2|˙σ|3+|σ|2)1/6sign( ˙σ+|σ|2/3sign(σ)) 3.1 HOSMC como di e enciado En [2] se p esen a una in e esan e aplicaci´on del HOSMC. La idea es u iliza el m´e odo como ob- se ado pa a di e encia una se˜nal. Como en a- jas mas no ables cabe des aca que se consigue un di e enciado que es exac o en ausencia de uidos y obus o en p esencia de uidos. Figu a 5: Funci´on senoidal e´o ica en ausencia de uidos. eo ica En el ci ado a ´ıculo se p esen a el di e enciado de Le an en el siguien e modo. Dada una se˜nal ( ) a di e encia , el sis ema de ecuaciones: ˙z0=υ0, υ0=λ0L1/3|z0− |2/3sign(z0− ) + z1 ˙z1=υ1, υ1=λ1L1/2|z1− |1/2sign(z1− ) + z2 ˙z2=λ2Lsign(z2−υ1) (4) p opo ciona es imaciones de la unci´on (z0) y de sus de i adas p ime a y segunda (z1yz2) 3.2 Simulaciones El di e enciado de Le an ha sido p og amado en lenguaje C pa a su simulaci´on. Pa a analiza sus esul ados con un ejemplo ep esen a i o se ha u i- lizado una unci´on senoidal e´o ica (ecuaci´on 5) como obje o de ensayo a la que se le ha a˜nadido un signi ica i o uido gausiano n( ) con des iaci´on ´ıpica 0.2 pa a analiza la obus ez del di e enci- ado . eo ica = = 2 + sin(0.5 ) + cos( ) +0.5∗sin(2 + 0.5) −0.3cos(5 −0.5) (5) eo ica+ uido = = +n( ) (6) as´ı pues, la de i ada exac a de la unci´on, en ausencia de uido, debe ´ıa se : d eo ica = d = 0.5cos(0.5 )−sin( ) +cos(2 + 0.5) + 1.5sin(5 −0.5) (7) El esul ado de la simulaci´on se ep esen a en la igu a 8. T as un pe iodo ansi o io (que Figu a 6: Funci´on senoidal e´o ica m´as uido. eo ica+ uido Figu a 7: De i ada exac a de la unci´on senoidal ( d) en ausencia de uidos. Figu a 8: Rep esen aci´on de la de i ada es imada po Le an y la de i ada exac a. se educe signi ica i amen e cuan o mayo es el conocimien o que enemos del alo inicial de la de i ada a es ima ) el di e enciado se ajus a con g an p ecisi´on al alo eal de la de i ada. 4 CONTROL POR MODO DESLIZANTE DINAMICO El concep o que subyace a es a me odolog´ıa es in- oduci din´amica adicional al sis ema. Con ello se consigue combina las ca ac e ´ıs icas de un con- ol po modo deslizan e con encional (insensibil- idad an e pe u baciones y no linealidades aco- adas) y las de un compensado din´amico adi- cional (adap aci´on a pe u baciones no aco adas). Puede demos a se que es e con olado pe mi e alcanza el modo de deslizamien o (σ= 0) en iempo ini o. Un ejemplo de ley de con ol no lineal DSMC puede se implemen ado en la siguien e o ma ([7]): ˙χ=bσ σ0.5−a(χ+σ) |χ+σ|0.5 J=χ+σ(8) siendo la ley de con ol en es e caso: u=−ρsign(J) (9) 4.1 DSMC como di e enciado Una nue a clase de di e enciado ha sido p esen- ada po Yu i Sh essel (([6])). Como en el caso an- e io , es e di e enciado de i a de un con olado usado como obse ado pa a de i a una se˜nal. El con ol po modo deslizan e din´amico puede se usado como di e enciado de segundo o den medi- an e la siguien e sucesi´on de ecuaciones: ¨ ˆχ=ρ0sign(J0) ˙χ=be |e|0.5−a(χ+e) |χ+e|0.5(10) J0=χ−e(11) e=χ−ˆχ(12) Finalmen e la es imaci´on de la de i ada de la unci´on χpuede ob ene se como: y=˙ ˆχ=Zρ0sign(J0)dτ (13) Figu a 9: Rep esen aci´on de la de i ada es imada po Sh essel y la de i ada exac a. 4.2 Simulaciones La implemen aci´on so wa e del ci ado di e enci- ado en la o ma de ecuaciones an es desc i as ha sido simulada en C con el obje o de analiza su e i- cacia con la se˜nal senoidal e´o ica an e io men e ci ada (ecuaci´on 5). La igu a 9 mues a el esul ado de las simula- ciones comp ob´andose de nue o, as el co espon- dien e ansi o io, que una buena es imaci´on de la de i ada es ob enida. Como en el caso del di e - enciado de Le an , el pe iodo ansi o io es des- p eciable si se conocen los alo es iniciales de la de i ada a es ima . 5 OTRAS T´ ECNICAS DE DIFERENCIACION A lo la go de las ´ul imas d´ecadas, muchas han sido las ´ecnicas desa olladas pa a de i a se˜nales. En casos e´o icos ideales, en ausencia de uidos y o as pe u baciones, y cuando las unciones que in e esa de i a son conocidas, pueden us- a se m´e odos anal´ı icos cada ez m´as abo dables g acias a he amien as de calculo simb´olico como Maple, Ma lab, e c. Una al e na i a no edosa es la p esen ada en [9] donde se sugie e la di e - enciaci´on au om´a ica (Au oma ic Di e en ia ion, AD) pa a su uso en algo i mos de con ol. Es a ´ecnica, al con a io que los p ocesos anal´ı icos, no equie e de una o mula expl´ıci a pa a el calculo de de i adas y de uel e un alo num´e ico pa a la es imaci´on de in e ´es dados los alo es de las a iables implicadas. Cuando la unci´on que deseamos di e encia no es conocida, como suele ocu i en la mayo ´ıa de las aplicaciones p ´ac icas, se hace imp escindible el uso de o as ´ecnicas. El desa ollo en se- ie de Fou ie puede se un m´e odo a aplica pa a ob ene o mulas de c´alculo de de i adas de cualquie o den de una se˜nal cuyo modelo anal´ı ico se desconoce. Desg aciadamen e es a ´ecnica no p esen a buenos esul ados en p esencia de uidos po lo que no es in e esan e pa a muchas si ua- ciones de la ida eal. En e las mode nas ´ecnicas que pueden se em- pleadas pa a la di e enciaci´on de se˜nales cuya uen e es desconocida y que p esen an uidos u o as pe u baciones, se puede hace una di isi´on en dos ca ego ´ıas ([8]). La p ime a consis e en ajus a un polinomio de e minado en una ” en- ana” de ama˜no ijo de los da os a di e encia y( ) y que se mue e a lo la go de la a iable indepen- dien e ( ). El in e esado pod ´a p o undiza en es e m´e odo leyendo el a iculo de Sa i zky-Golay. La segunda e si´on se conoce como di e encias ini as y ha sido p obablemen e la m´as usada y popula po su sencillez. La ´ecnica de di e encias ini as mas sencilla pa a di e encia una se˜nal y= ( i) consis e en aplica el m´e odo de la di e encia ”hacia delan e” que se puede de ini con la o mula : 0( i) = [ ( i+h)− ( i)]/h (14) pa a i= 1...n −1 y siendo 0( i) la p ime a de i ada de en iy h el in e alo en e dos mues as sucesi as. El e o de es a o mula es h/2∗ 00( i) y puede hace se excesi o si h no iene un alo su icien emen e peque˜no. El incon e- nien e m´as impo an e de es e segundo m´e odo es que es e e o es signi ica i amen e mayo en p esencia de uidos lo que puede palia se con la in oducci´on de il os que sua icen el esul ado, pe o a cos a de inco po a posibles dis o siones a la se˜nal ( eco e de picos m´aximos y m´ınimos, e- asos, e c). Sa i zky y Golay ([10]) p oponen ajus a la se˜nal a di e encia en el ins an e ipo un polinomio en una en ana de los da os de inida po nlpun- os ”pasados” ( j< i) y po n pun os ” u u os” ( k> i). De al o ma, la se˜nal a di e encia queda a ap oximada en un pun o , po una com- binaci´on lineal g median e la o mula: g = n X n=nl cn +n(15) Si se calculan los coe icien es cnno como alo es cons an es sino como polinomios de mayo o den ( ´ıpicamen e o den 2 o 4) es posible p ese a mo- men os de o den supe io en la se˜nal. As´ı pues, p ime o se ajus a po m´ınimos cuad ados un poli- nomio con los pun os nl+n + 1 de la en ana de da os y despu´es se calcula el alo que oma en el ins an e (g ). Es a idea, pe o en o ma op i- mizada pa a su compu aci´on, es la que se p esen a en el algo i mo de Sa i zky-Golay que puede en- con a se en [10]. En es a unci´on, el pa ´ame o ld indica que coe icien es cndesean ob ene se con la llamada a la unci´on. Es deci , con ld = 0 se ob ienen los coe icien es pa a la se˜nal il ada, con ld > 1 los de la es imaci´on de la ld-´esima de i ada. De es a o ma, con ld = 1 po ejemplo, una es imaci´on de la p ime a de i ada de puede se ob enida con la con oluci´on de inida po la o - mula (15) di idida po el paso de in eg aci´on h. 6 COMPARATIVAS Una compa a i a de las dis in as ´ecnicas anal- izadas puede se escla ecedo a sob e que ipo de di e enciado puede o ece mejo es esul ados. Pa a ello se ha u ilizado la unci´on senoidal e´o ica (5) ya in oducida en 3.2. El di e enciado basado en se ies de Fou ie y el in oducido po Sa i zky-Golay (analizados en el pun o 5 ) son compa ados con el di e enciado HOSMC en las igu as 10 y 11 espec i amen e. Como se adelan aba en 5 el basado en se ies de Fou ie p esen a malos esul ados en p esencia de uidos incluso cuando es os ienen una des iaci´on ´ıpica muy educida. En la igu a 10 po ejemplo se compa an los esul ados en e el di e enciado de Le an cuando el uido de la se˜nal o iginal ( eo ica+ uido ) iene des iaci´on ´ıpica 0.2 y el de Khan cuando el uido es de des iaci´on ´ıpica 0.02. Sin emba go, as el ansi o io, la es imaci´on de Le an p esen a mucho menos uido. El di e enciado de Sa i zky-Golay equie e de un al o n´ume o de mues as en la ” en ana” de ajus e del polinomio pa a p oduci esul ados acep ables. Sin emba go, incluso en el mejo de los casos, los esul ados conseguidos no son an espec acula es como los alcanzados con el di e enciado HOSMC. Finalmen e, median e la obse aci´on de las igu as 9 y 8 y la ep esen aci´on de los e o es en las ig- u as 12 y 13, una compa a i a en e el di e enci- ado HOSMC y el DSMC puede se es ablecida. Como puede ap ecia se, la p ecisi´on alcanzada en es e caso po ambos di e enciado es es compa a- ble aunque una ez m´as el di e enciado HOSMC pa ece se la mejo al e na i a an o en p ecisi´on como en la apidez en supe a el ansi o io. 7 UNA APLICACI´ ON REAL Con el in de jus i ica la e icacia del di e enciado HOSMC se ha p ocedido ha ensaya el algo i mo comen ado en 3.1 pa a ob enci´on de acele aci´ones Figu a 10: Compa aci´on en e las de i adas es i- madas po el di e enciado de Le an y el basado en se ies de Fou ie (Khan). Figu a 11: Compa aci´on en e las de i adas es i- madas po el di e enciado de Le an y el p op- ues o po Sa i zky-Golay. 3 10− ≈ Figu a 12: Se˜nal de e o en la es imaci´on de la de i ada ( d − des imada) (Le an ). 2 10− ≈ Figu a 13: Se˜nal de e o en la es imaci´on de la de i ada ( d − des imada) (Sh essel). Figu a 14: Es imaciones de elocidad del p ime eje del obo p oceden es de la di e enciaci´on num´e ica s anda d y el di e enciado de Le an . en un obo eal ([5]). Pa a ello se ha hecho uso de las se˜nales p oceden es de senso es colocados en un obo manipulado indus ial. Los encode s si uados en los ejes del obo p opo cionan medi- das de posici´on de los mismos pe o, po eque im- ien os de con ol a anzado, se p ecisan asimismo medidas de elocidad y acele aci´on. Como puede comp oba se en la igu a 14 la e- locidad del eje puede se es imada ´acilmen e me- dian e sencilla di e enciaci´on num´e ica siendo los esul ados ob enidos median e es a ´ecnica su i- cien emen e acep ables y el uido de la se˜nal casi inap eciable. Sin emba go, en la igu a 15 se puede comp oba como una segunda di e enciaci´on p o- duce esul ados o almen e inadmisibles desde el pun o de su uso en el con ol del obo debido a su excesi o uido. El uso de il os m´as acusados p o oca una dis o si´on de la se˜nal igualmen e inacep able. Sin emba go, median e el uso del di e enciado HOSMC se puede ob ene mucho mejo es esul- ados, como puede e se en la igu a 16. Aho a la se˜nal di e enciada es su icien emen e sua e como pa a se empleada en posibles con olado es como ealimen aci´on y p esen a una alo mas p eciso de medidas de acele aci´on de los ejes. 8 CONCLUSIONES FINALES Las m´as ecien es ´ecnicas de con ol basadas en modos deslizan es han sido p esen adas. El Con- ol po Modo Deslizan e de O den Supe io y el Con ol po Modo Deslizan e Din´amico se p esen- an como no edosos y p ome edo es m´e odos que pueden se empleados pa a di e encia se˜nales en p esencia de uidos. Su obus ez y p ecisi´on ha sido mos ada con simulaciones di e sas. Los en- sayos pa ecen e leja que los mejo es esul ados se ob ienen con el di e enciado HOSMC (Le an ) si bien los di e enciado es basados en DSMC (Sh - essel) p esen an una meno complejidad. O as ´ecnicas de di e enciaci´on han sido anal- izadas y compa adas con el di e enciado HOSMC, ol iendo a mos a se ´es e, como el m´e odo m´as e icaz en el caso de se˜nales muy uidosas. Un caso p ´ac ico ha sido asimismo p esen ado en el que la se˜nal de acele aci´on de un eje de un obo manipulado indus ial es es imada median e el di e enciado HOSMC, comp ob´andose signi ica i- as en ajas espec o a los m´e odos adicionales de di e enciaci´on. Ag adecimien os Es e abajo ha sido inanciado po ondos de la comisi´on eu opea bajo el p og ama Ma ie Cu ie/Con ol T aining Si e (CTS). As´ı mismo los Figu a 15: Es imaci´on de la acele aci´on p oce- den e de la di e enciaci´on num´e ica s anda d de la se˜nal de elocidad. Figu a 16: Es imaci´on de la acele aci´on p oce- den e de la di e enciaci´on de la se˜nal de elocidad p opo cionada po el m´e odo de Le an . Figu a 17: Compa a i a de es imaciones (di e en- ciado s anda d/Le an ). au o es desean exp esa su ag adecimien o al Min- is e io de Ciencia y Tecnolog´ıa po inancia pa - cialmen e es e abajo en el ma co del p oyec o DPI2001-2424-C02-01. 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