CRíTICA, Re iJla Hispanoame icana de Filo.o ia
Vol. XXV. No. 73 (ab il 1993): 15-35
SISTEMAS DE CÁLCULO COMO FORMAS DE
LOGICISMO
ÁNGEL NEPOMUCENO FERNÁNDEZ
Depa amen o de Filoso ía yLógica yFiloso ía de la Ciencia
Uni e sidad de Se illa
1. In oducción
En la úl ima década del siglo XX no pa ece ene igencia
alguna la iloso ía de la lógica y la ma emá ica conocida
como
logicismo,
su gida a pa i del pensamien o de F ege
y alimen ada po concepciones debidas a Russell, Wi gen-
s ein, e c. Cabe pensa que la época de la p eocupación po
los
undamen os
concluyó hace bas an es años; que hoy só-
lo se puede in es iga en es e campo desde la pe spec i a
del logicismo y és e, como se cons a a his ó icamen e, no
ha esis ido el paso del iempo, habiendo sucumbido an-
e una se ie de esul ados incon es ablemen e es ablecidos.
Sin emba go, es o no es del odo exac o.
El
logicismo
puede se conside ado como un
p og ama
me a ísico de in es igación,
según el cual, pues o que se
concibe la ma emá ica como de i able de la lógica, la ma e-
má ica clásica se ía educida a lógica, en el sen ido de que:
a) "las nociones ma emá icas sean de inidas en é minos
de las nociones lógicas" y b) "los eo emas de la ma emá-
ica sean demos ados como eo emas de la lógica".1 Los
in en os po da buen in a dicho p og ama han esul ado
1
Kleene [8] p. 49.
15
allidos: ales han sido los casos de
G undgese ze yP inci-
pia Ma hema ica (y,
en cie o sen ido,
New Founda ions
de Quine). Aho a bien, si dis inguimos en e 1) la idea
de que la ma emá ica, de alguna mane a, es lógica
y
2) la
ealización del p og ama en cuan o a la consecución de a)
y
b), en onces los acasos a ec an sob e odo a 2), mien as
que 1) es más bien una ac i ud ilosó ica, compa ida en
p incipio po lógicos de di e sas endencias. El p oblema
su gi á al a a de acla a el sen ido de 1); po ejemplo,
si se echaza la lógica de o den supe io al p ime o, di í-
cilmen e se admi i á a)
y,
en consecuencia, es imposible
consegui 2).
Un in en o de e i aliza ellogicismo consis i á en man-
ene 1) es ableciendo un concep o de
lógica
a pa i del
cual ac ualiza 2). O a mane a es a a de ecupe a el
plan eamien o p imi i o despojándolo de las nociones que
p o oca on su acaso. En la segunda línea podemos si-
ua la econs ucción del logicismo egeano p opues a
po N.B. Cocchia ella.
2
Una econs ucción al puede e -
se como un ins umen o más adecuado pa a la a ea 2),
la cual, po o a pa e, ha de con a con los esul ados
limi a i os apa ecidos en el desa ollo de la lógica a pa -
i de los años ein a. Pe o si se p esen a --como hace
N.B. Cocchia ella- un cálculo modal de segundo o den
que inco po a lo undamen al de la eo ía de los ipos, el
a amien o in ensional
y
ex ensional del concep o, cie a
2
Cocchia ella [1] y [2]. No en amos en sus plan eamien os ilosó-
icos en a as de ob ene una
lógica
como eo ía de la p edicación que
dé pe ec a cuen a del papel del p edicado en la lengua común. A es e
espec o, las ideas que desa olla an o en [1] como [2] son coinciden-
es; el ca ác e logicis a de los cálculos es más explíci o en [2], de ahí
que in e ese es e abajo pa icula men e. En cualquie caso, desde un
pun o de is a me amen e o mal, an o en [1] como en [2] p esen a
cálculos simila es cuya conside ación es ú il pa a nues o p opósi o en
es as páginas: cues iona la alidez de la a i mación según la cual la
iloso ía logicis a no iene igencia alguna.
16
doc ina de las clases, e c., és e se ía una ú il he amien a
pa a abo da cues iones de undamen os que no pueden
se achadas de " asnochadas". En cuan o a su posible
aplicación en compu ación e in eligencia a i icial, se a a
de una mode na u ilidad adicional.
2. Sis emas de cálculo de segundo o den
Cualquie a que sea el modo de ejecu a la a ea 2), la e-
ac ualización de la doc ina logicis a equie e una eo ía
gene al de la cuan i icación, dado que la ma emá ica clási-
ca se concibe como educ ible a lógica en el sen ido a)
y
b), es deci , educ ible a lógica de p edicados. No se iden-
i ican plenamen e
lógica de p edicados
y
eo ía de con-
jun os
-como eo ía gene al de la pe enencia-
y
cie as
po ciones de la ma emá ica no admi en la es icción de
la cuan i icación a é minos indi iduales; así pues, ningún
sis ema de cálculo de p edicados de p ime o den ep e-
sen a ía adecuadamen e allogicismo.
Se de inen unos sis emas de cálculo de segundo o den
con iden idad, lo que equie e una se ie de de iniciones.
Lenguaje o mal.
El lenguaje o mal ~ cons a de signos
pa a a iables
(y
cons an es) indi iduales
y
p edica i as
de cualquie a idad,3 la cons an e diádica
"=",
los signos
1,
icos " "
"V"
"I:" "~,, " "
"V"
"1 " " "
Ogl -, , , ,~, -, ,
Y / Y
signos auxilia es. El conjun o
:Y
de las ó mulas de ~ iene
de inido po :
1) Si
R
es un signo p edica i o ( a iable o cons an e)
n-
ádico, pa a
n
2::
1,
ybl,
b2, ... ,b
n
son
n
ocu encias (no
necesa iamen e dis in as) de cons an es o a iables, en on-
ces
Rb
1
b2 ... b
n
E
:Y.
3
Cuando dos a iables (o cons an es) sean indi iduales o se a e
de a iables (o cons an es) p edica i as de la misma a idad, di emos
que son
del mismo ipo.
17
2) Si
y
s
son a iables (o cons an es) del mismo ipo,
en onces
=
s
E
3=.
3)
Si
cP
E
3=y
xl.
X2, ... ,Xn,
pa a
n ~
1,
son a iables
indi iduales dis in as en e sí, en onces
('xXlX2' .. xnep)
es
un signo de p edicado llamado
'x-abs ac o.
4)
Si
sp
E
3=,
-'CP
E
3=.
5) Si
ep, 'l/J
E
3=,en onces
ep
--+
'l/J
E
3=.
6) Si
cP
E
3=y
s
es una a iable de cualquie ipo
V
sep
E
3=
y
/ scp
E
3=.
Es a i icación homogénea.
Una ó mula
cp
es á
homo-
géneamen e es a i icada
si y sólo si:
1) Todas las sub ó mulas de
sp
son de la o ma
=
s.
2) Si alguna sub ó mula de
cp
iene la o ma
('xXlX2 ...
xn'l/J)ala2 ... an,
en onces
al, a2,' .. ,an
son
n
ocu encias
de cons an es (o a iables) indi iduales, no necesa iamen e
dis in as en e sí, pa a
n ~
1.
3) Si alguna sub ó mula de
cp
iene la o ma
Rb,
b
2...
b
n,
pa a
n ~
1, en onces
bi-
b2, ... ,bn
son
n
ocu encias de
cons an es (o a iables) indi iduales, no necesa iamen e
dis in as en e sí, pa a
n ~
1.
Un 'x-abs ac o
('xXlX2'" xn'l/J),
pa a cada
n ~
1, es á
homogéneamen e es a i icado
si y sólo si la ó mula
'l/J
es á homogéneamen e es a i icada.
Sis ema de cálculo.
Llamamos
el
al cálculo que desc i-
bimos a con inuación. Son axiomas odas las ó mulas cu-
yos 'x-abs ac os -si los u ie e-- es án homogéneamen e
es a i icados y sean
au ologías
o una de las siguien es
o mas:
1)
/ s(cp
--+
'l/J)
--+
(/ scp
--+
/ s'l/J) ,
donde
ip
y
'l/J
son
ó mulas y
s
una a iable de cualquie ipo.
18
2)
cp
--+
scp,
donde
cp
es una ó mula
y
s es una a iable
de cualquie ipo que no ocu e lib e en
cp.
3)
Vs(
=
s),
donde s es una a iable del mismo ipo que
.
4)
a
=
b--+
(cp
+-+
1/;),
donde
a
yb
son del mismo ipo
y
1/;
se ob iene desde
cp
po eemplazo de una o más ocu encias
lib es de
b
po ocu encias lib es de
a.
5)
(AXIX2'" xncp)ala2'" an
+-+
cp(ala2'" an/xlx2 ... xn),4
donde
XI,
X2, ... ,Xn
son a iables indi iduales dis in as en-
e sí,
n ~
1,
cp
es una ó mula
y,
pa a cada
i
:5
n, ai
es una
cons an e indi idual (o una a iable indi idual pa a la que
Xi
es á lib e en
cp)
y
el A-abs ac o es á homogéneamen e
es a i icado.
6)
(AXIX2 ... XnRXIX2 ... xn)
=
R,
donde
R
es una a-
iable (o cons an e) p edica i a n-ádica, pa a
n ~
1,
y
XI,
X2, ... ,Xn
son a iables indi iduales dis in as en e sí.
7)
V
F((
AXIX2· .. xncp)
=
F),
donde
F
es una a iable p e-
dica i a n-ádica, pa a
n ~
1, la cual no ocu e lib e en
cp
y
Xl,
x2, ... ,xn
son a iables indi iduales dis in as en e sí
y
el A-abs ac o es á homogéneamen e es a i icado.
Las eglas del cálculo son:
modus ponens ygene aliza-
ción,
que podemos exp esa , espec i amen e, como
Rl:
de
a
--+
{3
y
a
se in ie e {3
y
R2: de
a
se in ie e
sa.
Median e
e.
2
designamos el siguien e cálculo de segundo
o den, omado en pa e del de
A.
Chu ch/' con el mismo
lenguaje o mal ~.
e.
2
cons a de los axiomas:
1)
a
--+
({3
--+
a).
2)
(a
--+
({3
--+ ,)) --+
((a
--+
{3)
--+
(a
--+ ,)).
3) (-,{3
--+
-,a)
--+
(a
--+
{3).
4 ( / ) b e i d
SXIX2 ••. X
n
cp ala2· •• a
n
XIX2· •• X
n
es a e ia u a e
ala2 ••• a
n
cp
-no-
ción de sus i ución de A. Chu ch [4]
§§
31 Y51.
5
iu..
p.
297.
19

4) I s(a
-+
{3)
-+
(a
-+
I s{3) ,
siendo
s
una a iable de
cualquie ipo que no ocu e lib e en
a.
5) i)
I xa
-+
a(alx),
donde
x
es una a iable de cualquie
ipo
ya
una a iable (o cons an e) del mismo ipo que
x;
ii)
/ Ja
-+
a({3
II
PXlX2 ...
x
n),
donde
P
es una a iable
p edica i a n-ádica, pa a
n ~
1.
Las eglas de in e encia son las siguien es:
RI) Modus
ponens.
R2) Gene alización.
R3)
Cambio de a iable indi idual ligada.
De
a,
si
x
es
una a iable indi idual que no ocu e lib e en
TI
y
z
es
una a iable indi idual que no ocu e en
TI,
si
a'
esul a
de
a
al sus i ui una ocu encia pa icula de
TI
en
a
po
TI'
- esul an e de sus i ui en
TI
la ocu encia ligada de
x
po
Z-,
en onces se in ie e
a'.
R4)
Sus i ución de a iables indi iduales.
De
a,
si
x
es
una a iable indi idual, si
y
es una a iable indi idual,
y
ninguna ocu encia lib e de
x
en
a
ocu e en sub ó mulas
de la o ma
V
y
{3,se in ie e
a(y
Ix).
Tiene además las siguien es de iniciones:
DI)
a
=
b
=de
I p(Pa
-+
Pb),
siendo
a
y
b
a iables o
cons an es indi iduales.
D2)
R
=
S
=de
a
-+
a',
siendo
R
y
S
a iables (o
cons an es) p edica i as de la misma a idad,
a
una ó mula
cualquie a en la cual
R
ocu e lib e
y
a'
es la ó mula
a(SIR).
Tan o pa a
el
como pa a
e
2,
podemos es ablece de-
iniciones sob e los signos de cuan i icación:
.I sa
=de
V
s.a,
e c., que no especi icamos po simpli ica .
La adopción de es os sis emas en luga de los o igina.
20
les, p opues os po Cocchia ella y Chu ch, espec i amen-
e, equie e una mínima acla ación. El cálculo es udiado
po Chu ch posee impo an es p opiedades me a eó icas
(co ección y comple i ud es ingida, po ejemplo) que lo
hacen sumamen e in e esan e; el lenguaje o mal del
e
2
(el
mismo que de
e¡),
sin emba go, a di e encia del de Chu ch,
con iene A-abs ac os, pe o es menos exp esi o que el len-
guaje o mal usado po Cocchia ella, el cual admi e que el
signo
A
pueda lle a a iables p edica i as como su ijos y
signos p edica i os como a gumen os (se a a del lenguaje
2' que se menciona más abajo). Así pues, el uso de 2 pa a
ambos cálculos pe mi e la compa ación del sis ema (lige a-
men e modi icado) de Chu ch con
el,
pun o de pa ida es e
úl imo pa a ob ene , as algunas modi icaciones, sis emas
de cálculo
logicis as.
3. P oposición
el
y
e2
son equipo en es.
Pa a es ablece la p ueba asumimos el
eo ema de la
deducción,
según el cual
si de
I',
a
se in ie e
(3,
en on-
ces de
se in ie e
a
---+
(3
-
ep esen a un conjun o de
ó mulas-, siemp e que
(3
no se ob enga po aplicación de
las eglas
R2
o
R4
a
a
o a o a ó mula
'Y
de
ob enida a su
ez po aplicación de dichas eglas. Es e eo ema, ambién
con es icciones, queda es ablecido pa a su mencionado
cálculo po Chu ch, cuyas eglas son las mismas que las
de
e
2,
en el que se demues an las mismas au ologías que
en
el
-axiomas de és e po de inición-; asimismo, R1 y
R2
son comunes a ambos cálculos. Po ello es ácilmen e
asumible el eo ema en cues ión. También asumi emos el
eo ema de in e cambio: si a es una ó mula que con iene
a' como sub ó mula; si
(3
es la ó mula esul an e de eem-
plaza alguna ocu encia de a' en a po o a ó mula
;3';
en onces, si a'
+-+
(3'
es demos able, ambién lo es a
+-+
(3.
21
La p ueba (pa a ambos cálculos) se ha ía conside ando los
casos en que
a
es cada uno de los axiomas
y
a'
una de las
sub ó mulas que apa ece en la exp esión de és os.
1)
=} )
Dado el cálculo
el,
los axiomas
1),
2)
Y 3)
de
e2
son au ologías.
Po lo que espec a al axioma
4)
de
e
2,
sea
a
una ó mula
en la cual
s
no ocu e lib e; po axioma
1)
de
el
1 s(a
-+
(3)
-+
(1
so -+
1 s(3).
Pe o
I sa
es
a,
po lo que
6
I s(a
-+
(3)
-+
(a
-+
I s(3).
Teniendo en cuen a que, en gene al, si
a
+-+
{3
en on-
ces
a
-+
(3,
a pa i del axioma
4)
de
el
end emos
que
a
=
X
-+
(a
+-+
a(a / x» y
po an o
a
=
x
-+
(a
-+
a(a / x»;
po axioma
3)
de
el
y
egla de
modus
ponens, a
-+
a(a / x) y,
po es a egla
ygene alización,
I x(a
-+
a(a/x»;
po axioma
1)
de
el
y
aplicación de
mo-
dus ponens, I xa
-+
I xa(a/x);
pe o
I xa(a/x)
es
a(a/x),
po lo que
I xa
-+
aia] x),
exp esión que co esponde al
axioma
5)
i) de
e
2.
Po o a pa e, de acue do con axioma
4)
de
el.
(- XlX2' .. xm(3)
=
P
-+
(a
+-+
a«- xlx2 ... xm(3)/ P),
pa a
m ~
1, po lo que
siendo
(3
una ó mula cualquie a en la que
P
no ocu e
lib e; eniendo en cuen a el axioma 7) de
el
y
la egla de
modus ponens,
a
-+
a«Axlx2 ... x
m
(3)/ P);
6
Bas a aplica el eo ema de in e cambio.
22
po
gene alización,
/ p(a -+
a«Axlx2'" xm(3)1 P);
po
axioma 1) dé
el
y
aplicación de
modus ponens,
/ pa -+
/ pa«Axlx2 ...
xm(3)I P),
pe o / pa«Axlx2 ...
xm(3)1 P)
es
a«Axlx2" . xm(3)1 P),
po lo que / pa
-+
a«Axlx2 .
xm(3)IP);
según el axioma 5) de
e
b
(AXIX2 .. · xm(3)ala2 .
am
+-+
(3(alla2,'" ,amlxl,x2"" ,xm);
po eo ema de
in e cambio, a
«
AXIX2 ... xm(3) I P)
+-+
a
({3
(al, a2, ... ,
amlxl' X2,' .. , xm) I (AXIX2' .. xm(3) al, a2, ... ,am
),7
pe o
a
({3
(al, a2, ... , amI xl, x2, , Xm) I (AXIX2 ... xm(3) al,
a2, ... , am)
es
a(
(3
II PXIX2 xm),
po lo que / pa
-+
a({3 II PXIX2 ... xm),
que exp esa el axioma 5) ii) de
e
2.
Las eglas R1
y
R2 de
e2
son las mismas que en
el'
En
cuan o a R3
y
R4, se pueden ob ene a pa i de asumi el
in e cambio.
2)
=> )
A pa i de los axiomas 1), 2) Y3) de
e
2,se pueden
ob ene odas las au olo§ías exp esables en el lenguaje
2
común a ambos cálculos.
Sea la hipó esis siguien e:
/ s( .p
-+
'lj;),
donde s es una
a iable de cualquie ipo. Po axioma 5) i)
( .p
-+
'lj;).
De
acue do con el mismo axioma 5) i),
/ s .p
-+
sp,
A pa i de
/ s .p
-+
.p
y
.p
-+
'lj;,
suponiendo
/ s .p,
po R1 se ob iene
.p
y, nue amen e po es a egla,
'lj;;
po el
eo ema de la
deducción,
se ob iene inalmen e
/ s .p
-+
'lj;.
Po el
eo ema
de la deducción, / s( .p
-+
'lj;)
-+
(/ s .p
-+
'lj;);
de aquí, po
axioma 4),
/ s( .p
-+
'lj;)
-+
(/ s .p
-+
/ s'lj;) ,
exp esión
del axioma 1) de
el.
7Es a úl ima ó mula ob enida de a((Axlx2 ... xm
/3)/ P)
eempla-
zando cada ocu encia del A-abs ac o po la ó mula /3, sus i uyendo
en és a la m.pla de a iables indi iduales po los a gumen os de
P.
8
Chu ch en [4J § 18, p. 109 y ss, es ablece la comple i ud de su
cálculo p oposicional.
23
o den que iene 2' como lenguaje. Median e
ei
designamos
el cálculo que con iene los mismos axiomas y eglas que
el,
si bien haciendo uso del lenguaje 2', omando la noción
modi icada de es a i icación homogénea y exigiendo que
las ó mulas mencionadas en los axiomas sean homogénea-
men e es a i icadas. Análogamen e,
e
4
deno a á el cálculo
ob enido po la misma modi icación ela i a a
e
4•
De la
misma mane a, podemos exigi que las ó mulas que apa-
ecen en la exp esión de (Ex ) -siendo ó mulas de 2'-
es én homogéneamen e es a i icadas, en cuyo caso se des-
igna á median e (Ex "). De una modi icación de
el
+
(Ex )
esul a
ei+
(Ex *), po lo que se le puede denomina
eg.
El cálculo
e
3
es de mayo po encia deduc i a que
e¡,
siendo, po an o, de mayo po encia deduc i a que
e
2•
Como hemos is o,
e
4
iene al menos la misma po encia
que
el
po lo que
e
4
end á al menos la misma po encia
deduc i a que
e .
pe o no es así con espec o a
eg.
Si con-
side amos el cálculo
e
4
+
(Ex "] -al que nos e e i emos
median e
es-'
podemos a i ma que
es
end á al menos
la misma po encia deduc i a que
eg.
Como es e iden e,
eg
y
es
son de mayo po encia deduc i a que
e
2•
Cocchia ella
ll
es ablece la equiconsis encia de
e;
con
la e sión de
NF
de Quine modi icada po Jensen [7];
asimismo, que si
e
g
es consis en e, en onces
es
es ambién
consis en e, es deci , que si
NF
modi icado es consis en e,
en onces
es
es consis en e; es os esul ados los ex iende
a los sis emas que p esen amos en el siguien e apa ado.
Una a ea de in e és -que no abo damos dado el obje o
del p esen e abajo--- es in es iga la co ección de es os
cálculos.
La de inibilidad del núme o na u al se acili a con es os
sis emas --como
algo que co esponde a un concep o,
en
é minos de nominalización y exp esión y ob ención de
A-
11
[1]
pp.
230 Y242.
30

abs ac os. Po
o a pa e, no se p esupone una colección
in ini a de obje os conc e os, no apa ece un axioma de in-
ini ud y, sin emba go, sus axiomas --en pa icula los de
es (como,los de e
4)-
ga an izan in ini os, en el sen ido
de que sea in ini o el núme o o al de obje os, es deci , el
o al de
obje os conc e os
y de
A-abs ac os.
Es as azones,
además de las mencionadas más a iba, se pueden aduci a
a o de los in en os de una econs ucción logicis a.
5. Sis emas in ensionales
A pa i de ei y e¡ --o e; y es, espec i amen e, pues se
alcanzan lo que podemos denomina
e siones in ensiona-
les de és os-
amos a ob ene sendos cálculos in ensiona-
les, p ocediendo como se explica a con inuación.
2' se modi ica en el sen ido de con ene en e sus signos
lógicos el ope ado ''O''. No hacemos uso de
"O"
dado
que
Ocp,
pa a cualquie ó mula
ip,
se puede de ini como
...,D
p,
En la de inición de las ó mulas de 2' hay que
añadi la siguien e cláusula:
si
cp
es una ó mula,
D
sp
es
una ó mula.
De; es el cálculo que cons a de odos los axiomasy eglas
de ei, además de los esquemas axiomá icos del cálculo
modal 55, la egla de la gene alización modal -según la
cual, pa a cada ó mula
cp,
si
cp
es demos able en el cálculo,
en onces D
cp
ambién es demos able--, y el
p incipio de
in ensionalidad,
que se puede exp esa como
y al que nos e e i emos median e (DEx *)po su semejanza
o mal con
(Ex "),
Añadiendo a e¡ los esquemas axiomá-
icos de 55, la egla de gene alización modal y (DEx *), se
ob iene o o cálculo que designa emos median e Des.
31
Es os cálculos pod ían de ini se inco po ando los esque-
mas axiomá icos del cálculo modal 54 en luga de los de
55, pe o ello no modi ica en lo esencial el sen ido de es e
pá a o: la ci cuns ancia de que se pueda p esen a una
o ma in ensional de cálculo logicis a. En cualquie caso,
54 iene más aplicación en p og amación que 55.12
Oe;
y
Oe
s
son sis emas de cálculo que pueden cali ica -
se de logicis as a eno de que han sido elabo ados eniendo
en cuen a concepciones logicis as. En conc e o el sis ema
de G undgese ze es á in eg ado no una se ie de axiomas
demos ables en es os cálculos, a excepción del conocido
como Ley V, a pa i del cual su ge la pa adoja de Russell.
En e ec o, las leyes de G undgese ze, exp esadas median e
2' ysin ene en cuen a la noción de es a i icación, son
las siguien es:
1)
cP
-+
('l/J
-+
cp),
donde
cp
y
'l/J
son ó mulas cualesquie a.
JI) a)
! xa
-+
aia]
x),
donde
a
es una ó mula,
x
una a-
iable indi idual y
a
una a iable (o cons an e) indi idual.
b)
! pa
-+
a((3//Px1X2 ... xn),
donde
a
y
(3
son ó mu-
las yPes una a iable p edica i a n-ádica, pa a
n ~
1.
IJI)
a
=
b
-+
(</>
-+
'l/J),
donde
a
y
b
son del mismo ipo
y
'l/J
es la ó mula esul an e de
</>
po eemplazo de alguna
ocu encia lib e de
a
po b,
IV) -,(
</>
+--+
-,'l/J)
-+
(</>
+--+
'l/J),
donde
</>
y'l/J
son ó mulas
cualesquie a.
V)
(AX1X2 ... xncp)
=
(AX1X2 ... xn'l/J)
+--+
! X1X2 ... xn(cp
+--+
'l/J),
donde, pa a
n ~
1, pa a odo
i :::;
n,
Xi
es una a iable
indi idual y
cp
y
'l/J
son ó mulas.
VI)
F
=
(AX1X2 ... XnFX1X2 ... xn),
donde
F
es un signo
p edica i o n.ádico, pa a
n ~
l.
12
Vid.
J. Cuena [3]
p.
277.
32
Las eglas son las de
modus ponens
y
gene alización.
1)y 111)son exp esiones au ológicas po lo que o man
pa e de De;. 11)a) y 11)b) se pueden demos a en De..;,
como se ha is o más a iba al compa a el con e
2
y el
con e
4.
111) esul a inmedia amen e del axioma 4) de el
y VI) es exac amen e el axioma 6) de el. V), en un único
sen ido de la coimplicación, co esponde a (Ex ). Como es
ob io, no podemos deci que De; -y ampoco Des- sea
de al menos la misma po encia deduc i a que el cálculo
de
G undgese ze,
pues o que es e úl imo es inconsis en e.
No obs an e, si se modi ica
G undgese ze,
cambiando su
ley V) po (Ex ) y adop ando la noción de
es a i icación,
en onces los eo emas de es e
G undgese ze
modi icado
se án eo emas de De; y, en consecuencia, de Des. En es e
sen ido, pues, an o De; comoDes son cálculos
logicis as.
Pe o es os cálculos -si son consis en es- no a as an,
po así deci lo, el las e del plan eamien o de F ege, que
lle aba implíci a la pa adoja de Russell. Las es icciones
impues as, como la
es a i icación homogénea
y la limi a-
ción de la
ley V
a (DEx *),impiden de i a dicha pa adoja.
Una en aja añadida es que se a e de cálculos in ensiona-
les, cuyo es udio y desa ollo es á cada ezmás en boga; po
ello, una e isión semejan e a la p opues a po Cocchia ella
pod ía e i aliza el
logicismo.
O o aspec o de es e ipo de econs ucciones es la mejo a
del apa a o concep ual con el que se es udia la co ien e
de la iloso ía de la lógica que nos ocupa. El mayo o
meno g ado de in e és pa a la his o ia de la lógica no dice
nada ace ca de la igencia o no de aquella doc ina. A es e
espec o, y eniendo en cuen a De; y Des, los p oblemas
que a añen a la ejecución de la a ea 2), mencionada más
a iba, no desapa ecen, pe o el sen ido de 1) queda más
explíci o.
33
BIBLIOGRAFÍA
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Homogeneous Simple Types as a Second-O de Logic", No e
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(?)
Modi i-
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Wo k o W.V. Quine, D. Reidel Publishing Company, Do -
d ech , 1975, ol. 21, pp. 278-291.
[8] Kleene, S.C., In oducción a la me ama emá ica, ad. M.
Ga ido, Tecnos, Mad id, 1974.
Recibido: 27 de oc ub e de 1992
34
SUMMARY
The logicism may be ega ded like a ossil s one ha has no
u ili y nowadays.
In
his sense, logicism ook ca e o he esea ch
abou he ounda ions o ma hema ics bu appa en ly i s ask
a i ed a i s end many yea s ago because o so ne esul s ha
we e
ee ablished
du ing he cen u y. Howe e i is no wholly
igh . Unde s anding logicism as an a emp o educe classical
ma hema ics o logic means we can dis inguish: 1) he idea
acco ding o which ma hema ic is logic in so ne way, and 2) a
me aphysical p og am o esea ch o: a) de ine ma hema ical
no ions as logical no ions, and b) show ha he ma hema ical
heo ems a e logical heo ems.
The ailu e (i so) conce ned o 2), since 1) was assumed
by many logicians. Reco e ing logicism is no easy and he e
may be se e al ways. One o hem is he one ollowed by N.B.
Cocchia ella whose sys ems ( he e a e mo e han one) ep esen a
o m o logicism (F ege's o Russell's o m). F om hose sys ems
- hough a bi changed om my own poin o iew- we can
de ine a modal calcule ha may ha e applica ion in compu e
science, wha would no be a s ale wo k.
F om a common language we ake in accoun .wo sys ems in
o de o show ha Cocchia ella's modi ied sys em is as powe ul
deduc i ely as ha o Chu ch modi ied unc ional second o de
calcule. We can ob ain new sys ems ha ep esen o m o
logicism and a e mo e powe ul han ha o Chu ch enla ging
Cochia ella's modi ied sys em. These new sys ems, ha becomes
modal sys ems p o ided ha one adds app opia e modal ools
( hen hey may be used in compu e science), may be use ul
o s udy logicism i sel (as his o ical philosophy o logic and
ma hema ics).
35