Sistemas de cálculo como formas de Logicismo

CRíTICA, Re iJla Hispanoame icana de Filo.o ia Vol. XXV. No. 73 (ab il 1993): 15-35 SISTEMAS DE CÁLCULO COMO FORMAS DE LOGICISMO ÁNGEL NEPOMUCENO FERNÁNDEZ Depa amen o de Filoso ía yLógica yFiloso ía de la Ciencia Uni e sidad de Se illa 1. In oducción En la úl ima década del siglo XX no pa ece ene igencia alguna la iloso ía de la lógica y la ma emá ica conocida como logicismo, su gida a pa i del pensamien o de F ege y alimen ada po concepciones debidas a Russell, Wi gen- s ein, e c. Cabe pensa que la época de la p eocupación po los undamen os concluyó hace bas an es años; que hoy só- lo se puede in es iga en es e campo desde la pe spec i a del logicismo y és e, como se cons a a his ó icamen e, no ha esis ido el paso del iempo, habiendo sucumbido an- e una se ie de esul ados incon es ablemen e es ablecidos. Sin emba go, es o no es del odo exac o. El logicismo puede se conside ado como un p og ama me a ísico de in es igación, según el cual, pues o que se concibe la ma emá ica como de i able de la lógica, la ma e- má ica clásica se ía educida a lógica, en el sen ido de que: a) "las nociones ma emá icas sean de inidas en é minos de las nociones lógicas" y b) "los eo emas de la ma emá- ica sean demos ados como eo emas de la lógica".1 Los in en os po da buen in a dicho p og ama han esul ado 1 Kleene [8] p. 49. 15 allidos: ales han sido los casos de G undgese ze yP inci- pia Ma hema ica (y, en cie o sen ido, New Founda ions de Quine). Aho a bien, si dis inguimos en e 1) la idea de que la ma emá ica, de alguna mane a, es lógica y 2) la ealización del p og ama en cuan o a la consecución de a) y b), en onces los acasos a ec an sob e odo a 2), mien as que 1) es más bien una ac i ud ilosó ica, compa ida en p incipio po lógicos de di e sas endencias. El p oblema su gi á al a a de acla a el sen ido de 1); po ejemplo, si se echaza la lógica de o den supe io al p ime o, di í- cilmen e se admi i á a) y, en consecuencia, es imposible consegui 2). Un in en o de e i aliza ellogicismo consis i á en man- ene 1) es ableciendo un concep o de lógica a pa i del cual ac ualiza 2). O a mane a es a a de ecupe a el plan eamien o p imi i o despojándolo de las nociones que p o oca on su acaso. En la segunda línea podemos si- ua la econs ucción del logicismo egeano p opues a po N.B. Cocchia ella. 2 Una econs ucción al puede e - se como un ins umen o más adecuado pa a la a ea 2), la cual, po o a pa e, ha de con a con los esul ados limi a i os apa ecidos en el desa ollo de la lógica a pa - i de los años ein a. Pe o si se p esen a --como hace N.B. Cocchia ella- un cálculo modal de segundo o den que inco po a lo undamen al de la eo ía de los ipos, el a amien o in ensional y ex ensional del concep o, cie a 2 Cocchia ella [1] y [2]. No en amos en sus plan eamien os ilosó- icos en a as de ob ene una lógica como eo ía de la p edicación que dé pe ec a cuen a del papel del p edicado en la lengua común. A es e espec o, las ideas que desa olla an o en [1] como [2] son coinciden- es; el ca ác e logicis a de los cálculos es más explíci o en [2], de ahí que in e ese es e abajo pa icula men e. En cualquie caso, desde un pun o de is a me amen e o mal, an o en [1] como en [2] p esen a cálculos simila es cuya conside ación es ú il pa a nues o p opósi o en es as páginas: cues iona la alidez de la a i mación según la cual la iloso ía logicis a no iene igencia alguna. 16 doc ina de las clases, e c., és e se ía una ú il he amien a pa a abo da cues iones de undamen os que no pueden se achadas de " asnochadas". En cuan o a su posible aplicación en compu ación e in eligencia a i icial, se a a de una mode na u ilidad adicional. 2. Sis emas de cálculo de segundo o den Cualquie a que sea el modo de ejecu a la a ea 2), la e- ac ualización de la doc ina logicis a equie e una eo ía gene al de la cuan i icación, dado que la ma emá ica clási- ca se concibe como educ ible a lógica en el sen ido a) y b), es deci , educ ible a lógica de p edicados. No se iden- i ican plenamen e lógica de p edicados y eo ía de con- jun os -como eo ía gene al de la pe enencia- y cie as po ciones de la ma emá ica no admi en la es icción de la cuan i icación a é minos indi iduales; así pues, ningún sis ema de cálculo de p edicados de p ime o den ep e- sen a ía adecuadamen e allogicismo. Se de inen unos sis emas de cálculo de segundo o den con iden idad, lo que equie e una se ie de de iniciones. Lenguaje o mal. El lenguaje o mal ~ cons a de signos pa a a iables (y cons an es) indi iduales y p edica i as de cualquie a idad,3 la cons an e diádica "=", los signos 1, icos " " "V" "I:" "~,, " " "V" "1 " " " Ogl -, , , ,~, -, , Y / Y signos auxilia es. El conjun o :Y de las ó mulas de ~ iene de inido po : 1) Si R es un signo p edica i o ( a iable o cons an e) n- ádico, pa a n 2:: 1, ybl, b2, ... ,b n son n ocu encias (no necesa iamen e dis in as) de cons an es o a iables, en on- ces Rb 1 b2 ... b n E :Y. 3 Cuando dos a iables (o cons an es) sean indi iduales o se a e de a iables (o cons an es) p edica i as de la misma a idad, di emos que son del mismo ipo. 17 2) Si y s son a iables (o cons an es) del mismo ipo, en onces = s E 3=. 3) Si cP E 3=y xl. X2, ... ,Xn, pa a n ~ 1, son a iables indi iduales dis in as en e sí, en onces ('xXlX2' .. xnep) es un signo de p edicado llamado 'x-abs ac o. 4) Si sp E 3=, -'CP E 3=. 5) Si ep, 'l/J E 3=,en onces ep --+ 'l/J E 3=. 6) Si cP E 3=y s es una a iable de cualquie ipo V sep E 3= y / scp E 3=. Es a i icación homogénea. Una ó mula cp es á homo- géneamen e es a i icada si y sólo si: 1) Todas las sub ó mulas de sp son de la o ma = s. 2) Si alguna sub ó mula de cp iene la o ma ('xXlX2 ... xn'l/J)ala2 ... an, en onces al, a2,' .. ,an son n ocu encias de cons an es (o a iables) indi iduales, no necesa iamen e dis in as en e sí, pa a n ~ 1. 3) Si alguna sub ó mula de cp iene la o ma Rb, b 2... b n, pa a n ~ 1, en onces bi- b2, ... ,bn son n ocu encias de cons an es (o a iables) indi iduales, no necesa iamen e dis in as en e sí, pa a n ~ 1. Un 'x-abs ac o ('xXlX2'" xn'l/J), pa a cada n ~ 1, es á homogéneamen e es a i icado si y sólo si la ó mula 'l/J es á homogéneamen e es a i icada. Sis ema de cálculo. Llamamos el al cálculo que desc i- bimos a con inuación. Son axiomas odas las ó mulas cu- yos 'x-abs ac os -si los u ie e-- es án homogéneamen e es a i icados y sean au ologías o una de las siguien es o mas: 1) / s(cp --+ 'l/J) --+ (/ scp --+ / s'l/J) , donde ip y 'l/J son ó mulas y s una a iable de cualquie ipo. 18 2) cp --+ scp, donde cp es una ó mula y s es una a iable de cualquie ipo que no ocu e lib e en cp. 3) Vs( = s), donde s es una a iable del mismo ipo que . 4) a = b--+ (cp +-+ 1/;), donde a yb son del mismo ipo y 1/; se ob iene desde cp po eemplazo de una o más ocu encias lib es de b po ocu encias lib es de a. 5) (AXIX2'" xncp)ala2'" an +-+ cp(ala2'" an/xlx2 ... xn),4 donde XI, X2, ... ,Xn son a iables indi iduales dis in as en- e sí, n ~ 1, cp es una ó mula y, pa a cada i :5 n, ai es una cons an e indi idual (o una a iable indi idual pa a la que Xi es á lib e en cp) y el A-abs ac o es á homogéneamen e es a i icado. 6) (AXIX2 ... XnRXIX2 ... xn) = R, donde R es una a- iable (o cons an e) p edica i a n-ádica, pa a n ~ 1, y XI, X2, ... ,Xn son a iables indi iduales dis in as en e sí. 7) V F(( AXIX2· .. xncp) = F), donde F es una a iable p e- dica i a n-ádica, pa a n ~ 1, la cual no ocu e lib e en cp y Xl, x2, ... ,xn son a iables indi iduales dis in as en e sí y el A-abs ac o es á homogéneamen e es a i icado. Las eglas del cálculo son: modus ponens ygene aliza- ción, que podemos exp esa , espec i amen e, como Rl: de a --+ {3 y a se in ie e {3 y R2: de a se in ie e sa. Median e e. 2 designamos el siguien e cálculo de segundo o den, omado en pa e del de A. Chu ch/' con el mismo lenguaje o mal ~. e. 2 cons a de los axiomas: 1) a --+ ({3 --+ a). 2) (a --+ ({3 --+ ,)) --+ ((a --+ {3) --+ (a --+ ,)). 3) (-,{3 --+ -,a) --+ (a --+ {3). 4 ( / ) b e i d SXIX2 ••. X n cp ala2· •• a n XIX2· •• X n es a e ia u a e ala2 ••• a n cp -no- ción de sus i ución de A. Chu ch [4] §§ 31 Y51. 5 iu.. p. 297. 19 4) I s(a -+ {3) -+ (a -+ I s{3) , siendo s una a iable de cualquie ipo que no ocu e lib e en a. 5) i) I xa -+ a(alx), donde x es una a iable de cualquie ipo ya una a iable (o cons an e) del mismo ipo que x; ii) / Ja -+ a({3 II PXlX2 ... x n), donde P es una a iable p edica i a n-ádica, pa a n ~ 1. Las eglas de in e encia son las siguien es: RI) Modus ponens. R2) Gene alización. R3) Cambio de a iable indi idual ligada. De a, si x es una a iable indi idual que no ocu e lib e en TI y z es una a iable indi idual que no ocu e en TI, si a' esul a de a al sus i ui una ocu encia pa icula de TI en a po TI' - esul an e de sus i ui en TI la ocu encia ligada de x po Z-, en onces se in ie e a'. R4) Sus i ución de a iables indi iduales. De a, si x es una a iable indi idual, si y es una a iable indi idual, y ninguna ocu encia lib e de x en a ocu e en sub ó mulas de la o ma V y {3,se in ie e a(y Ix). Tiene además las siguien es de iniciones: DI) a = b =de I p(Pa -+ Pb), siendo a y b a iables o cons an es indi iduales. D2) R = S =de a -+ a', siendo R y S a iables (o cons an es) p edica i as de la misma a idad, a una ó mula cualquie a en la cual R ocu e lib e y a' es la ó mula a(SIR). Tan o pa a el como pa a e 2, podemos es ablece de- iniciones sob e los signos de cuan i icación: .I sa =de V s.a, e c., que no especi icamos po simpli ica . La adopción de es os sis emas en luga de los o igina. 20 les, p opues os po Cocchia ella y Chu ch, espec i amen- e, equie e una mínima acla ación. El cálculo es udiado po Chu ch posee impo an es p opiedades me a eó icas (co ección y comple i ud es ingida, po ejemplo) que lo hacen sumamen e in e esan e; el lenguaje o mal del e 2 (el mismo que de e¡), sin emba go, a di e encia del de Chu ch, con iene A-abs ac os, pe o es menos exp esi o que el len- guaje o mal usado po Cocchia ella, el cual admi e que el signo A pueda lle a a iables p edica i as como su ijos y signos p edica i os como a gumen os (se a a del lenguaje 2' que se menciona más abajo). Así pues, el uso de 2 pa a ambos cálculos pe mi e la compa ación del sis ema (lige a- men e modi icado) de Chu ch con el, pun o de pa ida es e úl imo pa a ob ene , as algunas modi icaciones, sis emas de cálculo logicis as. 3. P oposición el y e2 son equipo en es. Pa a es ablece la p ueba asumimos el eo ema de la deducción, según el cual si de I', a se in ie e (3, en on- ces de se in ie e a ---+ (3 - ep esen a un conjun o de ó mulas-, siemp e que (3 no se ob enga po aplicación de las eglas R2 o R4 a a o a o a ó mula 'Y de ob enida a su ez po aplicación de dichas eglas. Es e eo ema, ambién con es icciones, queda es ablecido pa a su mencionado cálculo po Chu ch, cuyas eglas son las mismas que las de e 2, en el que se demues an las mismas au ologías que en el -axiomas de és e po de inición-; asimismo, R1 y R2 son comunes a ambos cálculos. Po ello es ácilmen e asumible el eo ema en cues ión. También asumi emos el eo ema de in e cambio: si a es una ó mula que con iene a' como sub ó mula; si (3 es la ó mula esul an e de eem- plaza alguna ocu encia de a' en a po o a ó mula ;3'; en onces, si a' +-+ (3' es demos able, ambién lo es a +-+ (3. 21 La p ueba (pa a ambos cálculos) se ha ía conside ando los casos en que a es cada uno de los axiomas y a' una de las sub ó mulas que apa ece en la exp esión de és os. 1) =} ) Dado el cálculo el, los axiomas 1), 2) Y 3) de e2 son au ologías. Po lo que espec a al axioma 4) de e 2, sea a una ó mula en la cual s no ocu e lib e; po axioma 1) de el 1 s(a -+ (3) -+ (1 so -+ 1 s(3). Pe o I sa es a, po lo que 6 I s(a -+ (3) -+ (a -+ I s(3). Teniendo en cuen a que, en gene al, si a +-+ {3 en on- ces a -+ (3, a pa i del axioma 4) de el end emos que a = X -+ (a +-+ a(a / x» y po an o a = x -+ (a -+ a(a / x»; po axioma 3) de el y egla de modus ponens, a -+ a(a / x) y, po es a egla ygene alización, I x(a -+ a(a/x»; po axioma 1) de el y aplicación de mo- dus ponens, I xa -+ I xa(a/x); pe o I xa(a/x) es a(a/x), po lo que I xa -+ aia] x), exp esión que co esponde al axioma 5) i) de e 2. Po o a pa e, de acue do con axioma 4) de el. (- XlX2' .. xm(3) = P -+ (a +-+ a«- xlx2 ... xm(3)/ P), pa a m ~ 1, po lo que siendo (3 una ó mula cualquie a en la que P no ocu e lib e; eniendo en cuen a el axioma 7) de el y la egla de modus ponens, a -+ a«Axlx2 ... x m (3)/ P); 6 Bas a aplica el eo ema de in e cambio. 22 po gene alización, / p(a -+ a«Axlx2'" xm(3)1 P); po axioma 1) dé el y aplicación de modus ponens, / pa -+ / pa«Axlx2 ... xm(3)I P), pe o / pa«Axlx2 ... xm(3)1 P) es a«Axlx2" . xm(3)1 P), po lo que / pa -+ a«Axlx2 . xm(3)IP); según el axioma 5) de e b (AXIX2 .. · xm(3)ala2 . am +-+ (3(alla2,'" ,amlxl,x2"" ,xm); po eo ema de in e cambio, a « AXIX2 ... xm(3) I P) +-+ a ({3 (al, a2, ... , amlxl' X2,' .. , xm) I (AXIX2' .. xm(3) al, a2, ... ,am ),7 pe o a ({3 (al, a2, ... , amI xl, x2, , Xm) I (AXIX2 ... xm(3) al, a2, ... , am) es a( (3 II PXIX2 xm), po lo que / pa -+ a({3 II PXIX2 ... xm), que exp esa el axioma 5) ii) de e 2. Las eglas R1 y R2 de e2 son las mismas que en el' En cuan o a R3 y R4, se pueden ob ene a pa i de asumi el in e cambio. 2) => ) A pa i de los axiomas 1), 2) Y3) de e 2,se pueden ob ene odas las au olo§ías exp esables en el lenguaje 2 común a ambos cálculos. Sea la hipó esis siguien e: / s( .p -+ 'lj;), donde s es una a iable de cualquie ipo. Po axioma 5) i) ( .p -+ 'lj;). De acue do con el mismo axioma 5) i), / s .p -+ sp, A pa i de / s .p -+ .p y .p -+ 'lj;, suponiendo / s .p, po R1 se ob iene .p y, nue amen e po es a egla, 'lj;; po el eo ema de la deducción, se ob iene inalmen e / s .p -+ 'lj;. Po el eo ema de la deducción, / s( .p -+ 'lj;) -+ (/ s .p -+ 'lj;); de aquí, po axioma 4), / s( .p -+ 'lj;) -+ (/ s .p -+ / s'lj;) , exp esión del axioma 1) de el. 7Es a úl ima ó mula ob enida de a((Axlx2 ... xm /3)/ P) eempla- zando cada ocu encia del A-abs ac o po la ó mula /3, sus i uyendo en és a la m.pla de a iables indi iduales po los a gumen os de P. 8 Chu ch en [4J § 18, p. 109 y ss, es ablece la comple i ud de su cálculo p oposicional. 23 o den que iene 2' como lenguaje. Median e ei designamos el cálculo que con iene los mismos axiomas y eglas que el, si bien haciendo uso del lenguaje 2', omando la noción modi icada de es a i icación homogénea y exigiendo que las ó mulas mencionadas en los axiomas sean homogénea- men e es a i icadas. Análogamen e, e 4 deno a á el cálculo ob enido po la misma modi icación ela i a a e 4• De la misma mane a, podemos exigi que las ó mulas que apa- ecen en la exp esión de (Ex ) -siendo ó mulas de 2'- es én homogéneamen e es a i icadas, en cuyo caso se des- igna á median e (Ex "). De una modi icación de el + (Ex ) esul a ei+ (Ex *), po lo que se le puede denomina eg. El cálculo e 3 es de mayo po encia deduc i a que e¡, siendo, po an o, de mayo po encia deduc i a que e 2• Como hemos is o, e 4 iene al menos la misma po encia que el po lo que e 4 end á al menos la misma po encia deduc i a que e . pe o no es así con espec o a eg. Si con- side amos el cálculo e 4 + (Ex "] -al que nos e e i emos median e es-' podemos a i ma que es end á al menos la misma po encia deduc i a que eg. Como es e iden e, eg y es son de mayo po encia deduc i a que e 2• Cocchia ella ll es ablece la equiconsis encia de e; con la e sión de NF de Quine modi icada po Jensen [7]; asimismo, que si e g es consis en e, en onces es es ambién consis en e, es deci , que si NF modi icado es consis en e, en onces es es consis en e; es os esul ados los ex iende a los sis emas que p esen amos en el siguien e apa ado. Una a ea de in e és -que no abo damos dado el obje o del p esen e abajo--- es in es iga la co ección de es os cálculos. La de inibilidad del núme o na u al se acili a con es os sis emas --como algo que co esponde a un concep o, en é minos de nominalización y exp esión y ob ención de A- 11 [1] pp. 230 Y242. 30 abs ac os. Po o a pa e, no se p esupone una colección in ini a de obje os conc e os, no apa ece un axioma de in- ini ud y, sin emba go, sus axiomas --en pa icula los de es (como,los de e 4)- ga an izan in ini os, en el sen ido de que sea in ini o el núme o o al de obje os, es deci , el o al de obje os conc e os y de A-abs ac os. Es as azones, además de las mencionadas más a iba, se pueden aduci a a o de los in en os de una econs ucción logicis a. 5. Sis emas in ensionales A pa i de ei y e¡ --o e; y es, espec i amen e, pues se alcanzan lo que podemos denomina e siones in ensiona- les de és os- amos a ob ene sendos cálculos in ensiona- les, p ocediendo como se explica a con inuación. 2' se modi ica en el sen ido de con ene en e sus signos lógicos el ope ado ''O''. No hacemos uso de "O" dado que Ocp, pa a cualquie ó mula ip, se puede de ini como ...,D p, En la de inición de las ó mulas de 2' hay que añadi la siguien e cláusula: si cp es una ó mula, D sp es una ó mula. De; es el cálculo que cons a de odos los axiomasy eglas de ei, además de los esquemas axiomá icos del cálculo modal 55, la egla de la gene alización modal -según la cual, pa a cada ó mula cp, si cp es demos able en el cálculo, en onces D cp ambién es demos able--, y el p incipio de in ensionalidad, que se puede exp esa como y al que nos e e i emos median e (DEx *)po su semejanza o mal con (Ex "), Añadiendo a e¡ los esquemas axiomá- icos de 55, la egla de gene alización modal y (DEx *), se ob iene o o cálculo que designa emos median e Des. 31 Es os cálculos pod ían de ini se inco po ando los esque- mas axiomá icos del cálculo modal 54 en luga de los de 55, pe o ello no modi ica en lo esencial el sen ido de es e pá a o: la ci cuns ancia de que se pueda p esen a una o ma in ensional de cálculo logicis a. En cualquie caso, 54 iene más aplicación en p og amación que 55.12 Oe; y Oe s son sis emas de cálculo que pueden cali ica - se de logicis as a eno de que han sido elabo ados eniendo en cuen a concepciones logicis as. En conc e o el sis ema de G undgese ze es á in eg ado no una se ie de axiomas demos ables en es os cálculos, a excepción del conocido como Ley V, a pa i del cual su ge la pa adoja de Russell. En e ec o, las leyes de G undgese ze, exp esadas median e 2' ysin ene en cuen a la noción de es a i icación, son las siguien es: 1) cP -+ ('l/J -+ cp), donde cp y 'l/J son ó mulas cualesquie a. JI) a) ! xa -+ aia] x), donde a es una ó mula, x una a- iable indi idual y a una a iable (o cons an e) indi idual. b) ! pa -+ a((3//Px1X2 ... xn), donde a y (3 son ó mu- las yPes una a iable p edica i a n-ádica, pa a n ~ 1. IJI) a = b -+ (</> -+ 'l/J), donde a y b son del mismo ipo y 'l/J es la ó mula esul an e de </> po eemplazo de alguna ocu encia lib e de a po b, IV) -,( </> +--+ -,'l/J) -+ (</> +--+ 'l/J), donde </> y'l/J son ó mulas cualesquie a. V) (AX1X2 ... xncp) = (AX1X2 ... xn'l/J) +--+ ! X1X2 ... xn(cp +--+ 'l/J), donde, pa a n ~ 1, pa a odo i :::; n, Xi es una a iable indi idual y cp y 'l/J son ó mulas. VI) F = (AX1X2 ... XnFX1X2 ... xn), donde F es un signo p edica i o n.ádico, pa a n ~ l. 12 Vid. J. Cuena [3] p. 277. 32 Las eglas son las de modus ponens y gene alización. 1)y 111)son exp esiones au ológicas po lo que o man pa e de De;. 11)a) y 11)b) se pueden demos a en De..;, como se ha is o más a iba al compa a el con e 2 y el con e 4. 111) esul a inmedia amen e del axioma 4) de el y VI) es exac amen e el axioma 6) de el. V), en un único sen ido de la coimplicación, co esponde a (Ex ). Como es ob io, no podemos deci que De; -y ampoco Des- sea de al menos la misma po encia deduc i a que el cálculo de G undgese ze, pues o que es e úl imo es inconsis en e. No obs an e, si se modi ica G undgese ze, cambiando su ley V) po (Ex ) y adop ando la noción de es a i icación, en onces los eo emas de es e G undgese ze modi icado se án eo emas de De; y, en consecuencia, de Des. En es e sen ido, pues, an o De; comoDes son cálculos logicis as. Pe o es os cálculos -si son consis en es- no a as an, po así deci lo, el las e del plan eamien o de F ege, que lle aba implíci a la pa adoja de Russell. Las es icciones impues as, como la es a i icación homogénea y la limi a- ción de la ley V a (DEx *),impiden de i a dicha pa adoja. Una en aja añadida es que se a e de cálculos in ensiona- les, cuyo es udio y desa ollo es á cada ezmás en boga; po ello, una e isión semejan e a la p opues a po Cocchia ella pod ía e i aliza el logicismo. O o aspec o de es e ipo de econs ucciones es la mejo a del apa a o concep ual con el que se es udia la co ien e de la iloso ía de la lógica que nos ocupa. El mayo o meno g ado de in e és pa a la his o ia de la lógica no dice nada ace ca de la igencia o no de aquella doc ina. A es e espec o, y eniendo en cuen a De; y Des, los p oblemas que a añen a la ejecución de la a ea 2), mencionada más a iba, no desapa ecen, pe o el sen ido de 1) queda más explíci o. 33 BIBLIOGRAFÍA [1] Cocchia ella, N.B., "Two A-ex ensions o he Theo y o Homogeneous Simple Types as a Second-O de Logic", No e Dame [ou nal o Fo mal Logic, ol. 26, no. 4, 1985, pp. 377- 407. [2]--, "F ege, Russell and Logicism", en L. Haapa an a y J. Hin ikka (comps.), F ege Syn hesized, D. Reidel Publishing Company, Do d ech , 1986, ol. 181, pp. 197-252. [3] Cuena, J., Lógica in o má ica, Alianza, Mad id, 1985. [4] Chu ch, A., In oduc ion o Ma hema ical Logic, 6a. imp e- sión, P ince on Uni e si y P ess, P ince on, 1970. [5] F ege, G., Concep og a ía. Los undamen os de la a i mé- ica. O os es udios ilosó icos, ad. H. Padilla, Ins i u o de In es igaciones Filosó icas-UNAM, México, 1972. [6] Henkin, L., "Baníshing he Rule o Subs i u ion o Func- ional Va iables", The [ou nal o Symbolic Logic, ol. 18, no. 3, 1953, pp. 201-208. [7] Jensen, R.B., "On he Co';'sis ency oí a Sligh (?) Modi i- ca ions o Quine's, New Founda ions", en D. Da idson y H. Hin ikka (comps.), Wo ds and objec ions. Essays on he Wo k o W.V. Quine, D. Reidel Publishing Company, Do - d ech , 1975, ol. 21, pp. 278-291. [8] Kleene, S.C., In oducción a la me ama emá ica, ad. M. Ga ido, Tecnos, Mad id, 1974. Recibido: 27 de oc ub e de 1992 34 SUMMARY The logicism may be ega ded like a ossil s one ha has no u ili y nowadays. In his sense, logicism ook ca e o he esea ch abou he ounda ions o ma hema ics bu appa en ly i s ask a i ed a i s end many yea s ago because o so ne esul s ha we e ee ablished du ing he cen u y. Howe e i is no wholly igh . Unde s anding logicism as an a emp o educe classical ma hema ics o logic means we can dis inguish: 1) he idea acco ding o which ma hema ic is logic in so ne way, and 2) a me aphysical p og am o esea ch o: a) de ine ma hema ical no ions as logical no ions, and b) show ha he ma hema ical heo ems a e logical heo ems. The ailu e (i so) conce ned o 2), since 1) was assumed by many logicians. Reco e ing logicism is no easy and he e may be se e al ways. One o hem is he one ollowed by N.B. Cocchia ella whose sys ems ( he e a e mo e han one) ep esen a o m o logicism (F ege's o Russell's o m). F om hose sys ems - hough a bi changed om my own poin o iew- we can de ine a modal calcule ha may ha e applica ion in compu e science, wha would no be a s ale wo k. F om a common language we ake in accoun .wo sys ems in o de o show ha Cocchia ella's modi ied sys em is as powe ul deduc i ely as ha o Chu ch modi ied unc ional second o de calcule. We can ob ain new sys ems ha ep esen o m o logicism and a e mo e powe ul han ha o Chu ch enla ging Cochia ella's modi ied sys em. These new sys ems, ha becomes modal sys ems p o ided ha one adds app opia e modal ools ( hen hey may be used in compu e science), may be use ul o s udy logicism i sel (as his o ical philosophy o logic and ma hema ics). 35