Bol. Soc. Esp. Ma . Apl. no22(2002), 27–57
Sob e la egula idad, unicidad y jus i icaci´on asin ´o ica
del p oblema de Ecuaciones P imi i as del Oc´eano
F. Guill´
en-Gonz´
alez1M.A. Rod
´
ıguez-Bellido2
1Depa amen o de Ecuaciones Di e enciales y An´alisis Num´e ico,
Uni e sidad de Se illa,
2Depa amen o de Ma em´a ica Aplicada I,
Uni e sidad de Se illa,
[email p o ec ed], [email p o ec ed]
Resumen
En es e abajo exponemos, y comen amos b e emen e, los esul ados
ob enidos en la Tesis Doc o al de M. A. Rod ´ıguez Bellido, di igida
po F. Guill´en Gonz´alez, [15], sob e exis encia, unicidad, egula idad
y compo amien o asin ´o ico en iempo pa a las Ecuaciones P imi i as
del Oc´eano con condici´on de Di ichle homog´enea en el ondo, as´ı como
la ob enci´on (a pa i de las ecuaciones de Na ie -S okes), egula idad
y unicidad de un nue o modelo de Ecuaciones P imi i as con nue as
condiciones de con o no. P e iamen e se expone el ma co ´ısico y
ma em´a ico en el que se encuad an dichas ecuaciones, as´ı como los
esul ados que con an e io idad se conoc´ıan sob e es e ema, p es ando
especial in e ´es en la mejo a que suponen los nue os esul ados de [15]
sob e los ya exis en es.
Palab as cla e: Ecuaciones P imi i as, exis encia, unicidad, egula idad,
compo amien o asin ´o ico, condiciones de con o no de ipo Di ichle , condiciones de
con o no de ipo Na ie .
Clasi icaci´on po ma e ias AMS: 35Q30, 35B40, 76D05
1 In oducci´on
Si obse amos nues o plane a, e emos que al menos dos e ce as pa es es ´an
cubie as po oc´eanos, y odo ´el odeado de la a m´os e a. No es, po an o,
ex a˜no que desde p incipios del siglo XIX algunos cien ´ı icos, como Pie e
Fecha de ecepci´on: 8 de Mayo de 2002
27
28 F. Guill´
en-Gonz´
alez y M.A. Rod ´
ıguez-Bellido
Simon de Laplace, pensasen que las leyes ´ısicas que gobie nan la a m´os e a
y el oc´eano pod ´ıan se i pa a p edeci el iempo y clima u u os. Ya en el
siglo XX se empez´o a conside a ese in en o de p edicci´on como la esoluci´on
de un p oblema de alo es iniciales en ´ısica ma em´a ica.
Ac ualmen e, seg´un J. L. Lions, R. Temam y S. Wang [12], pa a en ende
el compo amien o u bulen o de la a m´os e a y el oc´eano, y pode p edeci el
clima, necesi amos:
(a) es ablece las ecuaciones y modelos ma em´a icos que gobie nan el
mo imien o y es ados de la a m´os e a y el oc´eano, y las in e acciones
que apa ecen en e ellos;
(b) es ablece los undamen os ma em´a icos de dichas ecuaciones y modelos;
(c) es ablece y esol e ap oximaciones num´e icas de dichas ecuaciones.
La a m´os e a es un luido comp esible, desc i o ma em´a icamen e po
las ecuaciones de la Hid odin´amica y la Te modin´amica, en donde ac ´uan
ambi´en las ue zas cen ´ıpe as y de Co iolis. Dichas ecuaciones desc iben los
mo imien os a g an escala, en donde las peque˜nas escalas son conside adas
como “ uidos” en los c´alculos num´e icos. Sin emba go, debido a que la escala
e ical es mucho meno que la escala ho izon al, podemos usa la ap oximaci´on
hid os ´a ica (que e emos a con inuaci´on) que pe mi e ob ene las Ecuaciones
P imi i as de la a m´os e a y del oc´eano.
Una de las p incipales ue zas que “mue en” el oc´eano es la ue za del ien o,
lo que pone de mani ies o que el compo amien o del oc´eano depende de la
a m´os e a. Po o a pa e, ambi´en es impo an e la in luencia del oc´eano en el
compo amien o de la a m´os e a y del clima. Todas es as obse aciones jus i ican
el es udio del mecanismo de acoplamien o en e la a m´os e a y el oc´eano.
En es e abajo nos cen a emos en el a amien o ma em´a ico de las
Ecuaciones P imi i as del oc´eano, an o en su ob enci´on median e un a gumen o
asin ´o ico a pa i de las ecuaciones de Na ie -S okes, como en los esul ados
de exis encia, unicidad y egula idad de soluci´on, compo amien o asin ´o ico
en iempo, e c. P es a emos especial a enci´on a los esul ados ecogidos en la
Tesis Doc o al de la au o a, exponiendo los esul ados de o os au o es que con
an e io idad a su de ensa se conoc´ıan sob e es e ema.
2 Ob enci´on del modelo.
El oc´eano es conside ado como un luido lige amen e comp esible, con ue zas de
Co iolis y cen ´ıpe as. El conjun o de ecuaciones que igen lo que se conoce como
“la ge scale ocean model”son: las ecuaciones de momen os, la ecuaci´on
de con inuidad, la ecuaci´on e modin´amica o de la empe a u a θ, la
Sob e la egula idad y unicidad del p oblema de Ecuaciones P imi i as... 29
ecuaci´on de di usi´on pa a la salinidad Sy la ecuaci´on de es ado:

































ρdV
d + 2ρW×V+ρW×(W× ) + ∇p+ρg=D
dρ
d +ρ∇·V= 0
dθ
d =Qθ
dS
d =QS
ρ= (θ, S)
(1)
donde ρes la densidad, Vla elocidad (3-dimensional) del lujo, pla p esi´on,
g= (0,0, g) es la g a edad, 2ρW×Ves el ´e mino de Co iolis y ρW×(W× )
las ue zas cen ´ıpe as (W= (0,cos λ, sen λ) es el ec o de o aci´on de la
Tie a, es el adio de la Tie a y λ=λ(y) es la la i ud), Des la disipaci´on
(molecula ), QθyQSlas di usiones de empe a u a y salinidad espec i amen e.
Respec o a los ope ado es di e enciales u ilizados, ∇= (∂x, ∂y, ∂z) es el
g adien e idimensional, con ∇· el ope ado di e gencia y d
d es la “de i ada
ma e ial o o al”, es deci , d
d =∂ +V·∇
Si hacemos la ap oximaci´on llamada del β-plano, el dominio ocupado po el
oc´eano Ω, se desc ibe en coo denadas ca esianas como:
Ω = {(x, y, z) = (x, z)∈R3,x∈S, −H(x)< z < 0}.
Su on e a ∂Ω = Γb∪Γl∪Γsdonde el ondo Γb, las pa edes la e ales Γly la
supe icie Γses ´an de inidas po :
Γb={(x, z)∈R3:x∈S, z =−H(x)},
Γl={(x, z)∈R3:x∈∂S, −H(x)< z < 0},
Γs={(x,0) : x∈S},
donde S(secci´on ho izon al) es un abie o aco ado en R2yH(la p o undidad)
es una unci´on con inua no nega i a sob e S. Las Figu as 1 y 2 ilus an las
posibles con igu aciones del dominio bidimensional (o las secciones e icales de
un dominio idimensional):
Las di icul ades e´o icas y compu acionales que p esen a el a amien o del
sis ema (1) ha lle ado a la conside aci´on de dos simpli icaciones impo an es:
a) la ap oximaci´on de Boussinesq, que consis e en desp ecia las
di e encias de densidad en odo el sis ema sal o en el ´e mino de g a edad
y la ecuaci´on de es ado. De ese modo, ijada una densidad media cons an e
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ıguez-Bellido
Γ
Γ
l
b
s
Γ
Ω
z
x
Figu a 1: El dominio (2D) con pa edes la e ales.
ρ0,ρ=ρ0+ρ0con ρ0<< ρ0. Dicha hip´o esis hace que la ecuaci´on de
con inuidad se ans o me en la ecuaci´on de incomp esibilidad pa a la
elocidad V, que es una hip´o esis ´ısicamen e ´alida debido a la len a
elocidad del agua espec o a la iscosidad en dicho medio. La inclusi´on
de las ue zas cen ´ıpe as en el g adien e de una unci´on po encial P(jun o
con la p esi´on), pe mi en eesc ibi (1) como:
(BEs)

































d
d −µ∆x −ν∂2
zz + 2 (sen(λ) ⊥+ cos(λ)we1) + ∇xP=0
d
d w−µ∆xw−ν∂2
zzw−2 cos(λ) 1+∂zP+ρ0
ρ0
g= 0
∇x· +∂zw= 0
∂ θ+ ·∇xθ+w∂zθ−µθ∆xθ−νθ∂2
zzθ= 0
∂ S+ ·∇xS+w∂zS−µS∆xS−νS∂2
zzS= 0
ρ= (θ, S),
donde = ( 1, 2) y wson las elocidades ho izon ales y e ical
espec i amen e, ⊥= (− 2, 1), y µ,ν,µθ,νθ,µS,νSlos coe icien es
de di usi´on ( u bulen a) anis´o opos ho izon al y e ical de ( , w), θyS
espec i amen e. ∇x, ∆xy∇x·son los ope ado es g adien e, laplaciano y
di e gencia en las a iables ho izon ales. Dicho sis ema ecibe el nomb e
de Ecuaciones de Boussinesq del oc´eano.
Sob e la egula idad y unicidad del p oblema de Ecuaciones P imi i as... 31
s
Γ
Ω
z
x
Γ
b
Figu a 2: El dominio (2D) sin alud.
b) la ap oximaci´on hid os ´a ica. Si que emos hace un p oceso de
adimensionalizaci´on del sis ema (BEs) espec o a los alo es de e e encia
de cada magni ud ´ısica, el an´alisis eal de escalas nos dice que el cocien e
en e las longi udes e ical y ho izon al es peque˜no:
δ=Z
L≈10−3,
siendo Lel alo de e e encia de las dimensiones ho izon ales, y Zde las
e icales. Adem´as, la elocidad e ical del agua es mucho meno que la
elocidad ho izon al, lo que se modela ap oximando la e ce a ecuaci´on
de momen os po la llamada ecuaci´on hid os ´a ica:
∂p
∂z =−ρ g,
que elaciona la p esi´on y la densidad del oc´eano con la g a edad, y que se
ha con e ido en una ecuaci´on undamen al en Oceanog a ´ıa. El an´alisis de
escalas nos dice adem´as que pa a que las iscosidades de las dos p ime as
componen es de la ecuaci´on de momen os sean del mismo o den ( espec o
aδ), necesi amos supone que:
ν=δ2ν , µ =νh,con ν =O(1) y νh=O(1). (2)
Po simplicidad, s´olo p es a emos a enci´on al sis ema de ecuaciones (no
lineal) pa a la elocidad y p esi´on, ya que el sis ema acoplado con
la empe a u a y salinidad in oduce ecuaciones de con ecci´on-di usi´on

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alez y M.A. Rod ´
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(lineales si la elocidad es conocida) que no a˜naden di icul ades esenciales
(de ipo ma em´a ico). En consecuencia, las Ecuaciones P imi i as del
oc´eano ienen desc i as po el siguien e sis ema:
(EP)




∂ + ·∇x +w∂z −νh∆x −ν ∂2
zz +α ⊥+1
ρ0∇xp=0
∂zp=−ρg, ∇x· +∂zw= 0,
donde α= 2 sen(λ). La on e a supe icie Γsno a ´ıa, siendo los nue os
Ω, Γly Γb(donde h=H
Z):
Ω = {(x, z)∈R3,x∈S, −h(x)< z < 0},
Γl={(x, z)∈R3:x∈∂S, −h(x)< z < 0},
Γb={(x, z)∈R3:x∈S, z =−h(x)}.
(3)
Las Ecuaciones P imi i as del oc´eano (EP) se ob ienen a pa i de la
hip´o esis de ap oximaci´on hid os ´a ica en los abajos de J. L. Lions, R. Temam
y S. Wang, [10, 11]. Dicha hip´o esis se puede jus i ica como l´ımi e de la
o mulaci´on a iacional de las ecuaciones de Na ie -S okes o (BEs) cuando
δ→0 imponiendo (2), e los esul ados de O. Besson y M. R. Laydi, [2], pa a
el caso es aciona io y los de P. Az´e ad y F. Guill´en-Gonz´alez, [1], pa a el caso
de e oluci´on.
2.1 Elecci´on de condiciones de con o no.
La “ uen e”de mo imien o del oc´eano es la a m´os e a. No podemos ol ida
pues la in e acci´on a m´os e a-oc´eano a la ho a de de e mina cu´ales son
las condiciones de in e ase, que se aduci ´an en condiciones de con o no
sob e la supe icie del oc´eano. Una hip´o esis simpli icado a es conside a que
dicha in e ase es ´a ija, hip´o esis que se denomina de “ echo ´ıgido”( igid lid
hypo hesis) y que es ´a basada en dos hechos:
(a) el agua es mucho m´as densa que el ai e. De hecho, se obse a que ρa/ρs≈
10−3, siendo ρala densidad del ai e y ρsla del agua oce´anica, con lo que
la in e ase en e el ai e y el agua es muy es able conside ando g andes
escalas espaciales, debido a la in ensidad de la ue za g a i acional.
(b) a g an escala, el desplazamien o e ical de las ondas de ma eas se puede
desp ecia , ya que apa ecen como “ uidos en las al as ecuencias
2
no
suelen se enidas en cuen a en la mayo ´ıa de modelos de Ci culaci´on
Global.
As´ı pues, las condiciones de con o no que apa ecen en la supe icie son
(deno ando con el supe ´ındice slas a iables co espondien es al oc´eano y con
alas a iables co espondien es a la a m´os e a):
w|Γs= 0, s|Γs= a|Γs.
Sob e la egula idad y unicidad del p oblema de Ecuaciones P imi i as... 33
Sin emba go, debido a la di e encia de densidad en e ambos medios, apa ece
una capa l´ımi e ina en la a m´os e a (de 1 km. de espeso ) y muy ina en el
oc´eano (en e 10 y 100 m. de espeso ) que no son a ables num´e icamen e, po
el momen o. Usando en onces unos undamen os m´as p ´ac icos, se conside a
que los es ue zos de cizalla en la in e ase son debidos a la ue za ho izon al del
ien o en supe icie, lo que se aduce ma em´a icamen e como:
−ρs
0νs
∂z s=ρaCa
D( a− s)| a− s|αsob e Γs,
donde Ca
Des el coe icien e de ans e encia de momen o. Aqu´ı amos a
conside a la siguien e simpli icaci´on:
w= 0, ν ∂z s=τsob e Γs,
donde τes la ensi´on del ien o sob e la supe icie del oc´eano, que se oma
como da o. Con espec o al ondo, impond emos condiciones de adhe encia,
pe mi iendo deslizamien o e ical en las pa edes la e ales, que ienen dadas
po :
w= 0 sob e Γb, s=0sob e Γb∪Γl. (4)
Fija emos es as condiciones de con o no en los esul ados que expond emos en
la siguien e secci´on.
2.2 El modelo educido.
Las a iables del sis ema de Ecuaciones P imi i as ,wypno son del
mismo ipo: la elocidad ho izon al e i ica un p oblema de e oluci´on y
necesi a po an o da os iniciales pa a queda de e minado ( a iable p on´os ico).
La elocidad e ical wno e i ica un p oblema de e oluci´on pe o se
puede de e mina a pa i de la a iable p on´os ico ( a iable diagn´os ico).
Conc e amen e, in eg ando la ecuaci´on de incomp esibilidad en (z, 0), como
w( ;x,0) = 0, ob enemos:
w( ;x, z) = Z0
z∇x· ( ;x, s)ds. (5)
Pa a la p esi´on, in eg ando en (z, 0) la ecuaci´on hid os ´a ica, ob enemos:
p( ;x, z) = ps( ;x) + Z0
z
(ρ g)( ;x, s)ds =ps( ;x) + gZ0
z
(θ, S)( ;x, s)ds,
donde ps( ;x) = p( ;x,0) es la p esi´on en la supe icie del oc´eano. Se eesc ibe
en onces el g adien e ho izon al de p esi´on como:
1
ρ0∇xp=1
ρ0∇xps+F(θ, S).
Imponiendo la condici´on de con o no (4) sob e wen la exp esi´on de w
(5), se llega a la es icci´on ∇x· h i= 0 en (0, T)×S, donde h i( ;x) =
34 F. Guill´
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Z0
−h(x)
( ;x, z)dz, con lo que llegamos al siguien e sis ema educido (que
a a emos a pa i de aho a) de Ecuaciones P imi i as:
(EP)























∂ + ·∇x +w∂z −νh∆x −ν ∂2
zz +α ⊥
+1
ρ0∇xps=Fen (0, T)×Ω,
∇x·h i= 0 en (0, T)×S,
| =0 = 0en Ω,
ν ∂z |Γs=τ, |Γb∪Γl=0en (0, T),
donde wdepende de como en (5). Dicho sis ema p esen a las en ajas, desde el
pun o de is a compu acional, de elimina wcomo inc´ogni a y educi la p esi´on
a una unci´on de dos a iables. Sin emba go, como e emos en el es udio que
sigue, debido a la dependencia de w espec o a ∇x· , se da una aniso op´ıa
en la egula idad de las de i adas de w. Po ejemplo, si es amos en el caso
de una soluci´on d´ebil ∈H1(Ω)2, usando la ecuaci´on de incomp esibilidad,
∂zw=−∇x· ∈L2(Ω) pe o ∇xw /∈L2(Ω) en gene al. Dicha aniso op´ıa hace
que el ´e mino no lineal de la ecuaci´on de momen os sea menos egula que en las
ecuaciones de Na ie -S okes, y que sea m´as di ´ıcil ob ene soluciones egula es
pa a las Ecuaciones P imi i as.
3 Regula idad de las Ecuaciones P imi i as del oc´eano.
Pasamos en onces a un es udio ma em´a ico del p oblema (EP ). Comenzamos
po desc ibi el ma co uncional y las de iniciones de soluci´on d´ebil y soluci´on
ue e:
C∞
b,l(Ω) = {ϕ∈C∞(Ω)2;sop(ϕ) es un conjun o compac o ⊆Ω (Γb∪Γl)},
H1
b,l(Ω) = C∞
b,l(Ω)H1
={ ∈H1(Ω)2; = 0 sob e Γb∪Γl},
H−1
b,l (Ω) = dual de H1
b,l(Ω),
V={ϕ∈C∞
b,l(Ω)2;∇x·hϕi= 0 en S},
H=VL2
={ ∈L2(Ω)2;∇x·h i= 0 en S, h i·n|∂S = 0},
V=VH1
={ ∈H1(Ω)2;∇x·h i= 0 en S, |Γb∪Γl=0}.
Al mul iplica (EP ) po unciones es egula es e in eg a po pa es, esul a
la siguien e:
Sob e la egula idad y unicidad del p oblema de Ecuaciones P imi i as... 35
De inici´on 1 (Soluci´on d´ebil) Sean u0∈H,F∈L2(0, T;H−1
b,l (Ω)2)y
τ∈L2(0, T;H−1/2(Γs)2). Decimos que u: (0, T)×Ω→R2es una soluci´on
d´ebil de (EP)en (0, T)si
u∈L∞(0, T;H)∩L2(0, T;V),
e i ica la o mulaci´on a iacional: ∀ϕ∈C1([0, T]; V) al que ϕ(T) = 0,
ZT
0ZΩ¡−u·¡∂ ϕ+ (uH·∇x)ϕ+u3∂zϕ¢+αu⊥·ϕ¢dΩd
+ZT
0ZΩ
(νh∇xu:∇xϕ+ν ∂zu·∂zϕ)dΩd
=ZΩ
u0·ϕ(0) dΩ + ZT
0hF, ϕiΩd +ZT
0hτ, ϕiΓsd ,
y, adem´as, usa is ace la desigualdad de ene g´ıa:
1
2kuk2
L2(Ω) +Z
0³νhk∇xuk2
L2(Ω) +ν k∂zuk2
L2(Ω)´ds
≤1
2ku0k2
L2(Ω) +Z
0hF,uiΩds +Z
0hτ, uiΓsds c.p.d. ∈(0, T).
(6)
En el caso T= +∞, decimos que ues una soluci´on d´ebil de (EP )en (0,+∞)
si ues una soluci´on d´ebil de (EP)en (0, T ),∀T < +∞.
Aqu´ı, h·,·iΩdeno a la dualidad en e H−1
b,l (Ω) yH1
b,l(Ω), mien as que h·,·iΓs
deno a la dualidad en e H−1/2(Γs)yH1/2(Γs). Deno amos en es a secci´on po
u3la elocidad e ical asociada a u.
Finalmen e, deno amos la no ma en Vpo kϕk2
V=νhk∇xϕk2
L2(Ω) +
ν k∂zϕk2
L2(Ω), y la no ma en H1
b,l(Ω) po kϕk2
H1(Ω) =k∇xϕk2
L2(Ω)N+
k∂zϕk2
L2(Ω).
Cuando aumen amos b´asicamen e en un o den la egula idad de la soluci´on,
llegamos a la siguien e:
De inici´on 2 (Soluci´on ue e) Sean u0∈V,F∈L2(0, T;L2(Ω)2),τ∈
L2(0, T;H1/2(Γs)2)y∂ τ∈L2(0, T;H−1/2(Γs)2). Si uuna soluci´on d´ebil de
(EP)en (0, T), decimos que ues una soluci´on ue e si e i ica la siguien e
egula idad adicional:
u∈L∞(0, T;V)∩L2(0, T;H2(Ω)2∩V), ∂ u∈L2(0, T;H).
La exis encia de soluci´on d´ebil de (EP) es bien conocida, e
Lewando ski [9] y Lions-Teman-Wang [11], en dominios con p o undidad
aco ada in e io men e (que ambi´en denomina emos alud, es deci , h≥hmin >
0 en S). En dichos abajos, se usa un m´e odo de Gale kin pa a ob ene la
42 F. Guill´
en-Gonz´
alez y M.A. Rod ´
ıguez-Bellido
3.2 Compo amien o asin ´o ico de las soluciones.
En [8] ambi´en se es udia el compo amien o en iempo hacia un es ado
es aciona io (gene ado po los da os segundo miemb o 2y condici´on de
con o no Neumann τ2, supues os independien es del iempo). El obje i o es
ob ene un esul ado de con e gencia en no ma V, lo que en p incipio nos obliga
a conoce bajo qu´e condiciones se ob iene la egula idad ue e del p oblema
es aciona io:
(EP)s 




−νh∆x −ν ∂2
zz + ( ·∇x) + 3∂z +∇xps= 2en Ω,
∇x·h i= 0 en S,
ν ∂z |Γs=τ2, |Γb∪Γl=0.
Cen ´andonos en el caso 3D, ob enemos el siguien e esul ado [8]:
Teo ema 9 Si los da os 2yτ2son su icien emen e peque˜nos en las no mas
de L2(Ω)2yH1/2+ε
0(Γs)2 espec i amen e, en onces exis e una ´unica soluci´on
( ue e) pa a (EP)s y se sa is acen las siguien es es imaciones de egula idad
d´ebil y ue e pa a las soluciones: exis e C=C(Ω) >0 al que
k k2
H1(Ω) ≤C
ν2nk 2k2
H−1(Ω) +kτ2k2
H−1/2(Γs)o,(18)
k k2
H2(Ω) ≤C
ν2nk 2k2
L2(Ω) +kτ2k2
H1/2+ε
0(Γs)o.(19)
El esul ado de compo amien o asin ´o ico que ob enemos en [8] es:
Teo ema 10 (Con e gencia de la soluci´on 3D de e oluci´on hacia
la soluci´on 3D es aciona ia) Sea uuna soluci´on ue e de (EP)en
(0,+∞)con segundo miemb o = 1+ 2, donde 1∈L2(0,+∞;L2(Ω)2)y
2∈L2(Ω)2(independien e de ), y la condici´on de Newman τ=τ1+τ2,
donde τ1∈L2(0,+∞;H1/2+ε
0(Γs)2)pa a alg´un ε > 0, al que ∂ τ1∈
L2(0,+∞;H−1/2(Γs)2), y τ2∈H1/2+ε
0(Γs)2pa a alg´un ε > 0( ambi´en
independien e de ). Suponiendo condiciones de peque˜nez (H)3Dcon T=
+∞, si es la soluci´on ue e es aciona ia de (EP)s con segundo miemb o 2
y condici´on de con o no Neumann τ2, en onces u( )→ en la no ma H1(Ω)
cuando ↑+∞.
La demos aci´on sigue los siguien es pasos:
1) Se conside a el p oblema e i icado po w=u− −edonde es la soluci´on
ue e del p oblema es aciona io (dada en el Teo ema 9) y ees la soluci´on
ue e del p oblema lineal e olu i o (S) con da os g= 1,e(0) = u0− y
τ=τ1(dada en el Teo ema 3). Conside amos su o mulaci´on a iacional
y es imamos con unciones es del ipo Aw, ob eniendo:
d
d kwk2
V+kAwk2
L2(Ω) ≤C
ν3/2kAwk2
L2(Ω)kwkV+C
ν11 kwk10
V
+ (a1( ) + a2( )) kwk2
V+b( ),
(20)

Sob e la egula idad y unicidad del p oblema de Ecuaciones P imi i as... 43
donde a1∈L∞(0,∞), a2yb∈L1(0,∞), son unciones dependien es de
los da os.
2) G acias a la hip´o esis de peque˜nez sob e los da os, conseguimos que pa a
un γsu icien emen e peque˜no:
kw( )kV≤γ ν3/2,∀ ∈[0,+∞).
En onces, a pa i de (20) se puede ob ene :
d
d kwk2
V+ + ν
2Ckwk2
V≤Cν2ke( )k2
H2(Ω).
In eg ando la exp esi´on an e io , ob enemos que:
kw( )k2
V≤Z
0
exp(ν
2C(s− ))ke(s)k2
H2(Ω)ds. (21)
Como po hip´o esis sob e los da os y la cons ucci´on de e,kek2
H2(Ω) ∈
L1(0,+∞), en onces pa a odo δ > 0 exis e un T∗∈[0,+∞) al que
Z+∞
T∗ke( )k2
H2(Ω)d < δ.
As´ı pues, descomponiendo la co a de (21) como:
e−ν
2C Z
0
eν
2Cske(s)k2
H2(Ω)ds
≤e−ν
2C eν
2CT∗ZT∗
0ke(s)k2
H2(Ω)ds +Z+∞
T∗ke(s)k2
H2(Ω)ds,
podemos conclui que kw( )k2
V=ku( )−e( )− k2
V→0 cuando ↑+∞.
3) Razonando de mane a an´aloga ob enemos que ke( )kV→0 cuando
↑+∞, lo que nos pe mi e conclui el esul ado de con e gencia
ku( )− k2
H1(Ω) →0.
3.3 Unicidad de soluci´on d´ebil/ ue e.
La meno egula idad del ´e mino no lineal (de con ecci´on e ical) en el sis ema
de Ecuaciones P imi i as hace que se necesi e mayo egula idad pa a demos a
la unicidad de soluci´on que en el caso del sis ema de Na ie -S okes. Pa a
comp oba lo, bas a con in en a ep oduci la demos aci´on de unicidad que
apa ece, po ejemplo, en el lib o de P. L. Lions [13]. El p incipal incon enien e
es la aco aci´on del ´e mino:
ZΩ
u3∂zψ·udΩ
44 F. Guill´
en-Gonz´
alez y M.A. Rod ´
ıguez-Bellido
Usando las es imaciones is´o opas, conseguimos una es imaci´on pa a:
(u∈L2(0, T;H1(Ω)) ∩L∞(0, T;L2(Ω)), u3∈L2(0, T ;L2(Ω))
∂zψ∈L∞(0, T;L2(Ω)) ∩L2(0, T;L∞)
Sin emba go, el uso de las es imaciones anis´o opas nos pe mi e ebaja la
egula idad a los siguien es espacios anis´o opos:
(u∈L4(0, T;L2
zL4
x), u3∈L2(0, T;L∞
zL2
x),
∂zψ∈L4(0, T;L2
zL4
x),
de mane a que podemos enuncia el siguien e esul ado:
Teo ema 11 (Unicidad de soluci´on d´ebil/ ue e) Sea usoluci´on d´ebil de (EP )
en (0, T). Si exis e uuna soluci´on d´ebil de (EP)en (0, T ) al que:
∇xu∈L2(0, T;L∞
zL2
x)y∂zu∈L4(0, T;L2
zL4
x),(22)
en onces ambas soluciones coinciden en [0, T ).
No a 4 En 2D, la hip´o esis (22) se ebaja s´olo a ∂zu∈L4(0, T;L2(Ω)). En
cualquie caso, dicha egula idad adicional no es ´a asegu ada en gene al pa a
una soluci´on d´ebil.
4 El modelo de Ecuaciones P imi i as del oc´eano con
condiciones de con o no de ipo Na ie .
Ya sabemos que las Ecuaciones P imi i as se ob ienen a pa i de las ecuaciones
de Na ie -S okes anis´o opas po un an´alisis asin ´o ico cuando el cocien e
de aspec o δ iende a ce o, comple ando dicho modelo con de e minadas
condiciones de con o no ( e [1, 2] pa a condiciones Di ichle en el ondo). Desde
un pun o de is a ´ısico, la elecci´on de condiciones de con o no de ipo Di ichle
homog´eneas pa a la elocidad sob e el ondo s´olo es ´a jus i icada cuando la
iscosidad molecula del luido sea impo an e. Sin emba go, en muchos modelos
geo ´ısicos la iscosidad que se conside a es u bulen a, siendo la iscosidad
molecula desp eciable. Po o a pa e, se sabe que el uso de la condici´on de
con o no de icci´on de ipo Na ie en las ecuaciones de Na ie -S okes p e iene
la apa ici´on de capas l´ımi es.
El obje i o de es a secci´on es doble. P ime o, ob ene nue as condiciones de
con o no pa a las Ecuaciones P imi i as, pa iendo de condiciones de con o no
de ipo Na ie en Na ie -S okes con iscosidad anis´o opa y haciendo ende
el cocien e de aspec o a ce o ([3]). Segundo, analiza una cie a egula idad
adicional global en iempo pa a cualquie soluci´on d´ebil del modelo en un
dominio 2D que implica, en pa icula , la unicidad ([4]).
Sob e la egula idad y unicidad del p oblema de Ecuaciones P imi i as... 45
4.1 Ob enci´on del modelo con nue as condiciones de con o no.
Conside amos un luido gobe nado po las ecuaciones de Na ie -S okes
de e oluci´on, con ue za de Co iolis y iscosidad anis´o opa ( u bulen a).
Supond emos que la densidad es cons an e (igual a 1). Suponemos que la
iscosidad anis´o opa ν iene dada po (νh, νh, νz). De inimos el g adien e
anis´o opo como:
∇ν= (νh∂x1, νh∂x2, νz∂z) = (νh∇x, νz∂z),(23)
y el enso de es ue zos angenciales debidos al campo de elocidades, iene
dado po :
Dν(uδ) = ¡∇νuδ+∇
νuδ¢/2,(24)
donde uδes la elocidad del luido, dada po ( δ, wδ), donde δ= ( δ
1, δ
2) es
la componen e ho izon al y wδes la componen e e ical. Supongamos el luido
en un dominio Ωδ={(x, z)∈R3/x= (x1, x2)∈S, −δh(x)<z<0}, y que el
lujo sa is ace una condici´on de acci´on sob e la supe icie Γsdebida al ien o,
una condici´on de con o no Di ichle homog´enea sob e las pa edes la e ales Γδ
l
(si exis en) y una condici´on de con o no de ipo icci´on sob e el ondo Γδ
b. M´as
p ecisamen e, suponemos que la elocidad y el po encial (uδ, pδ) sa is acen el
siguien e sis ema:





















∂ uδ+uδ·∇uδ−2∇· Dν(uδ) + 2W×uδ+∇pδ= 0 en (0, T)×Ωδ,
∇·uδ= 0 en (0, T)×Ωδ,
νz∂z δ=α| ai |( ai − δ), wδ= 0 sob e (0, T)×Γδ
s,
(2 Dν(uδ)nδ+γuδ) g = 0 uδ·nδ= 0 sob e (0, T)×Γδ
b,
uδ= 0 sob e (0, T)×Γδ
l,
uδ| =0 =uδ
0en Ωδ,
(25)
con Dν(uδ) de inido en (24). La ue za de Co iolis iene dada po 2W×uδ
con W=|W|(0,cos θ, sen θ) el ec o de o aci´on de la Tie a y θ=θ(y) es la
la i ud. Deno amos po ai :S→R2la elocidad del ai e sob e la supe icie,
yαyγdos unciones de xno nega i as y aco adas. Reco demos que Dν(uδ)nδ
ep esen a el p oduc o ma iz po ec o de inido po :
(Dν(uδ)nδ)i=
3
X
j=1
(Dν(uδ))ijnj
δ
y (Dν(uδ)nδ) g co esponde a su componen e angencial, dada po :
(Dν(uδ)nδ) g =Dν(uδ)nδ−£(Dν(uδ)nδ)·nδ¤nδ,
donde nδes el ec o no mal ex e io a Γδ
b, dado po :
nδ= (n1
δ, n2
δ, n3
δ) = 1
p1 + |δ∇xh|2(−δ∇xh, −1) .(26)
46 F. Guill´
en-Gonz´
alez y M.A. Rod ´
ıguez-Bellido
No a 5 La condici´on (25)3 ep esen a el e ec o (no lineal) que el ai e eje ce
sob e la elocidad ho izon al del lujo de agua en el Oc´eano. Po o a pa e, en
la condici´on (25)4el coe icien e γ=γ(x)depende de la ugosidad del ondo.
As´ı pues, la condici´on (25)4comple a iene a exp esa los e ec os que la icci´on
con el ondo eje cen sob e la componen e angencial de 2Dν(uδ)nδ.
In oducimos los siguien es espacios uncionales pa a el dominio de pa ida Ωδ:
Vδ=©Φ = (ϕ, ψ)∈(C∞
l(Ωδ))2×(C∞
l(Ωδ)) :
∇·Φ = 0 en Ωδ,Φ·nδ= 0 sob e ∂Ωδ}
donde C∞
l(Ωδ) = ©χ∈C∞(Ωδ) : χ=0en un en o no de Γδ
l}, y de inimos Hδ
yVδcomo la clausu a de Vδen (L2(Ωδ))3y (H1(Ωδ))3, espec i amen e.
No emos que el modelo que ob enemos es no s ´anda d, ya que el ´e mino de
segundo o den −2∇·(Dν(uδ)) no es necesa iamen e di usi o pues, en gene al,
−2h∇·(Dν(uδ)),uδi 6≥ 0.
Teo ema 12 Supongamos h∈W2,∞(S),h > 0en S,|∇xh|> c > 0sob e
∂S ∩{h= 0},uδ
0∈Hδ,α1/3 ai ∈L3(0, T;L3(Ω)2)y





















C(Ω)|νh−νz|k∇xhkW1/2,∞(S)≤νh
4,
δ2C(Ω)|νh−νz|³1 + 2khk2
W1,∞(S)´k∇xhkW1/2,∞(S)≤νz
16,
2δ|νh−νz|C(Ω)k∇xhkW1/2,∞(S)h(x) + δνh|∂2
ijh(x)|
≤γ(x)
2p1 + δ2|∇xh(x)|2,∀i, j = 1,2, c.p.d. x∈S,
(27)
donde C(Ω) = C(S)C0(Ω) con C0(Ω) depende de las inyecciones de Sobole de
H1en H1/2- on e a. En onces, exis e una soluci´on d´ebil del p oblema al que:
∀Φ = (ϕ, ψ)∈C1([0, T ]; Vδ)con Φ(T) = 0,























−ZT
0ZΩδ
uδ·¡∂ Φ + uδ·∇Φ¢+ 2 ZT
0ZΩδ
Dν(uδ)·∇Φ
+ZT
0ZΓs
α| ai |¡ δ− ai ¢·ϕ+ 2 ZT
0ZΩδ¡W×uδ¢·Φ
+ZT
0ZΓδ
b
γ¡uδ×nδ¢·(Φ ×nδ) = ZΩδ
uδ
0·Φ(0).
(28)
Adem´as, dicha soluci´on sa is ace la siguien e desigualdad de ene g´ıa, pa a odo
Sob e la egula idad y unicidad del p oblema de Ecuaciones P imi i as... 47
≥0:
kuδ( )k2
(L2(Ωδ))3+νhZ
0k∇xuδ(s)k2
L2(Ωδ)6ds +νz
2Z
0k∂zuδ(s)k2
L2(Ωδ)3ds
+Z
0ZΓs
α| ai || δ|2+Z
0ZΓδ
b
γ|uδ|2≤ kuδ
0k2
(L2(Ωδ))3+Z
0ZS
α| ai |3.
(29)
No a 6 Las hip´o esis (27) asegu an la disipaci´on del p oblema, necesa ia pa a
que el modelo sea ´ısicamen e admisible.
Esquema de la demos aci´on: Se sigue un p ocedimien o de ipo
Gale kin. Al aco a los ´e minos que apa ecen en la o mulaci´on a iacional
al oma como unciones es las soluciones de Gale kin ap oximadas, apa ece
un ´e mino con lic i o que p o iene del g adien e aspues o de la elocidad,
que aho a no se anula po que enemos un g adien e anis´o opo. Dicho ´e mino
se puede eesc ibi como un ´e mino sob e la on e a de la o ma:
ZΩδ
∇νuδ·∇uδ=δνhZSH δ|Γδ
b· δ|Γδ
bdx
+δ(νh−νz)D∇x·³ δ|Γδ
b´, δ|Γδ
b·∇xhEH−1/2(S),H1/2(S),
(30)
donde H ep esen a el hessiano de δ, es deci , H= (∂2
ijh)ij. Pa a aco a es e
´e mino se usan desigualdades de in e polaci´on de espacios de Sobole Hsen sus
co espondien es espacios de azas, imponiendo las hip´o esis (27) pa a llega a
con ola es e ´e mino con las no mas L2yH1que apa ecen a la izquie da de la
desigualdad de ene g´ıa que se p e ende consegui ( e [3, 15] pa a los de alles).
No a 7 [3]
1) Si γ6= 0 y|Γδ
l|>0, se pueden eesc ibi las hip´o esis (27) de mane a
m´as ´acil ya que la semino ma del g adien e en L2(Ωδ)es equi alen e a
la no ma en H1(Ωδ).
2) Si γ6= 0 y|Γδ
l|= 0, se puede ob ene exis encia de soluci´on d´ebil sin la
hip´o esis (27)3, pe o en onces no se ga an iza la disipa i idad del sis ema.
3) Si γ= 0 y|Γδ
l|= 0 (es deci , en el caso de deslizamien o sob e el ondo y
sin pa edes la e ales), se puede ga an iza la exis encia de soluci´on d´ebil
pe o no la disipaci´on del sis ema.
Nos in e esamos aho a po el compo amien o asin ´o ico cuando δ→0 de
las soluciones d´ebiles uδ(pa a cada dominio Ωδ) ob enidas en el Teo ema 12.
Supond emos que h≈1 y:
νh≈1, νz=δ2ν (ν ≈1),(31)

48 F. Guill´
en-Gonz´
alez y M.A. Rod ´
ıguez-Bellido
α/δ →¯αyγ/δ →¯γen L∞(S)-d´ebil∗,(32)
e in oducimos los siguien es cambios de a iable:
Z=z
δ,Vδ( ;x, Z) = δ( ;x, z), W δ( ;x, Z) = wδ( ;x, z)
δ,(33)
que nos lle an al dominio (adimensional)
Ω = {(x, Z)∈R3:x∈S, −h(x)< Z < 0},
cuyas on e as ienen dadas po Γs≡S× {0}, Γl={(x, Z)∈R3:x∈
∂S, −h(x)<Z<0}y Γb=∂Ω ¡Γs∪Γl¢. P obamos en onces que cuando δ
iende a 0, en onces la soluci´on Uδ= (Vδ, Wδ) eescalada seg´un (33) a pa i
de una soluci´on ( δ, wδ) de las ecuaciones de Na ie -S okes (25), posee una
subsucesi´on que con e ge a una soluci´on U= (V, W ) del modelo de Ecuaciones
P imi i as:

































∂ V+ (U·∇)V−∆νV+kV⊥+∇xP= 0 en (0, T)×Ω,
∂ZP= 0,∇x·V+∂ZW= 0 en (0, T)×Ω,
ν ∂ZV= ¯α| ai |( ai −V), W = 0 sob e (0, T )×Γs,
ν ¡1 + νh|∇xh|2/ν ¢∂ZVnZ=AV|Γb,sob e (0, T)×Γb,
(V, W)·n= 0 sob e (0, T)×Γb,
V= 0 sob e (0, T)×Γl,
V| =0 =V0en Ω,
(34)
donde ∇x= (∂x1, ∂x2), ∆ν=νh∆x+ν ∂2
Z, ∆x=∂2
x1+∂2
x2,V⊥= (−V2, V1),
k=|W|sen θy
AV|Γb=γV|ΓbnZ+νhHV|ΓbnZ+νh∇x·(V|Γb)nx−νh∇x(V|Γb)nx,(35)
con n= (nx, nZ) el ec o no mal ex e io a Γb. La condici´on (35) end ´a un
sen ido “dual” a a ´es de la o mulaci´on d´ebil (38) de (34) .
No a 8 En dimensi´on 2, la condici´on de con o no en el ondo se educe a:
ν ∂ZV|Γb=βV|Γbcon β=(¯γ+νhh00)
1 + νh|h0|2/ν
.
Conside ando en onces los siguien es espacios uncionales en el l´ımi e:
V={˜
Φ = ( ˜ϕ, ˜
ψ)∈(C∞
l(Ω))3:∇· ˜
Φ = 0 en Ω,˜
Φ·n= 0 sob e ∂Ω},
donde C∞
l(Ω) = ©χ∈C∞(Ω) : χ=0en un en o no de Γl}, y de iniendo
Hp im,Vp im yYp im como las clausu as de Vpa a las no mas
ke
ΦkHp im =keϕk(L2(Ω))2,ke
ΦkVp im =keϕk(H1(Ω))2yke
ΦkYp im =keϕk(H2(Ω))2
espec i amen e, donde eϕ= (e
Φ1,e
Φ2), ob enemos el siguien e esul ado [3]:
Sob e la egula idad y unicidad del p oblema de Ecuaciones P imi i as... 49
Teo ema 13 En las hip´o esis del Teo ema 12, si suponemos adem´as que:
kVδ
0k2
(L2(Ω))2+kδW δ
0k2
L2(Ω) ≤Cinic,
Vδ
0*V0en L2(Ω)2-d´ebil∗,
(36)
en onces, exis e una subsucesi´on de Uδ= (Vδ, Wδ)(ob enida po el
eescalamien o (33) de una soluci´on uδde las ecuaciones de Na ie -S okes)
que con e ge a U= (V, W)en el sen ido siguien e:
(Vδ, Wδ)→(V, W)en L2(0, T ;VP im)-d´ebil
Vδ→Ven L∞(0, T;L2(Ω)2)-d´ebil∗.(37)
Adem´as, U= (V, W)es una soluci´on d´ebil del sis ema (34); es deci , ∀˜
Φ =
( ˜ϕ, ˜
ψ)∈C1([0, T]; V)con ˜
Φ(T) = 0,

































−ZT
0ZΩ
V·(∂ ˜ϕ+U·∇˜ϕ)dΩd +ZT
0ZΩ
kV⊥·˜ϕdΩd
+ZT
0ZΩ
(νh∇xV·∇x˜ϕ+ν ∂ZV·∂Z˜ϕ)dΩd
+ZT
0
νhh∇x·(V|Γb),˜ϕ|Γb·∇xhiH−1/2(S),H1/2(S)+νhZT
0ZΓbHV·˜ϕ(−nZ)
+ZT
0ZΓs
¯α| ai |(V− ai )·˜ϕ+ZT
0ZΓb
¯γV·˜ϕ(−nZ) = ZΩ
V0·˜ϕ(0)dΩ
(38)
que e i ica, adem´as, la desigualdad de ene g´ıa, pa a odo ≥0,
kV( )k2
L2(Ω) +Z
0ZΩ³νh|∇xV|2+ν
2|∂ZV|2´dΩds
+Z
0ZΓs
¯α| ai ||V|2+Z
0ZΓb
¯γ|V|2(−nZ)≤Cinic +Z
0ZΓs
¯α| ai |3.
(39)
No a 9 El l´ımi e cuando δ→0de las hip´o esis (27) nos da las co espondien es
hip´o esis de disipaci´on pa a el p oblema l´ımi e (34).
Esquema de la demos aci´on: Haciendo el cambio de a iable (33) en
la o mulaci´on a iacional (28) y omando unciones es adecuadas, podemos
demos a que la sucesi´on (Vδ, Wδ) es ´a aco ada en L2(0, T;Vp im) y Vδ
en L∞(0, T;L2(Ω)3). En onces exis e una subsucesi´on (que deno a emos de
la misma o ma) con e gen e como en (37). Es o nos pe mi e conclui la
con e gencia de los ´e minos lineales de la o mulaci´on a iacional.
Tambi´en se puede demos a que Vδcon e ge ue e a Ven L2(0, T;L2(Ω)2),
usando una a ian e dada en [1], de la compacidad en espacios Lpcon alo es
50 F. Guill´
en-Gonz´
alez y M.A. Rod ´
ıguez-Bellido
en un Banach [16], lo que pe mi e la con e gencia de los ´e minos no lineales.
Asimismo, la hip´o esis (36) sob e los da os iniciales ga an iza la con e gencia
de los ´e minos dependien es de los da os iniciales.
Po ´ul imo, pa a ob ene la con e gencia de los ´e minos de on e a, usamos
la con e gencia ue e de Vδy cie as desigualdades de in e polaci´on ( e [3] y
[15] pa a los de alles).
No a 10 Aplicando el Lema de De Rham ([16]) en las o mulaciones
a iacionales asociadas al p oblema ap oximado (25) y al p oblema l´ımi e (34),
podemos ecupe a los po enciales espec i os PδyP, como dis ibuciones, ales
que las ecuaciones de momen os ela i as a (25) eescaladas con (33) y las
ecuaciones de momen os ela i as a (34) se sa is acen en H−1(0, T ;H−1(Ω)3)
(espacio dual de H1
0(0, T; (H1
0(Ω))3)) y en H−1(0, T; (W−1, 0(Ω))3)(espacio
dual de H1
0(0, T; (W1,
0(Ω))3)) espec i amen e, siendo > 2y 0su exponen e
conjugado. Adem´as, conside ando la con e gencia del es o de ´e minos en las
ecuaciones de momen os, podemos p oba :
∇xPδ→ ∇xPen H−1(0, T; (W−1, 0(Ω))2)-d´ebil
k∂ZPδkH−1(0,T ;H−1(Ω)) ≤Cδ.
En pa icula , ob enemos con e gencia ue e de ∂ZPδa∂ZP(= 0) en
H−1(0, T;H−1(Ω)).
Llegados a es e pun o, s´olo nos queda iden i ica las condiciones de con o no
e i icadas po la soluci´on a iacional l´ımi e (V, W) ob enida en el Teo ema
an e io . Llamando Tal enso de es ue zos:
T=

νh∂x1V1−P νh∂x2V1ν ∂ZV1
νh∂x1V2νh∂x2V2−P ν ∂ZV2
0 0 −P
,
ob enemos que ∇ · T∈H−1(0, T;L1(Ω)3). Po o a pa e, ambi´en se iene
que T∈H−1(0, T;L1(Ω)3×3). Es as egula idades nos pe mi en de ini la aza
no mal de Ten (W1,∞(∂Ω)3)0, donde W1,∞(∂Ω) = {φ|∂Ω:φ∈W1,∞(Ω)},
do ado de la no ma:
kχkW1,∞(∂Ω) = in φ∈W1,∞(Ω) kφkW1,∞(Ω),
φ|∂Ω=χ,
como DTn; ( ˜ϕ, ˜
ψ)E=ZΩ
T·∇( ˜ϕ, ˜
ψ) + ZΩ
(∇·T)·( ˜ϕ, ˜
ψ)
=ZΩ
(νh∇xV·∇x˜ϕ+ν ∂ZV·∂Z˜ϕ)
−ZΩ
P∇·( ˜ϕ, ˜
ψ) + ZΩ
(∇·T)·( ˜ϕ, ˜
ψ),
(40)
Sob e la egula idad y unicidad del p oblema de Ecuaciones P imi i as... 51
pa a odo ( ˜ϕ, ˜
ψ)∈(W1,∞(Ω))3. Es a desigualdad se sa is ace en D0(0, T).
Pa iendo de la de inici´on de aza no mal pa a Ten (W1,∞(∂Ω)3)0, amos
a p oba que la aza no mal pa a el enso
F=Ãνh∂x1V1νh∂x2V1ν ∂ZV1
νh∂x1V2νh∂x2V2ν ∂ZV2!
es ´a de inida en (W1,∞(∂Ω)2)0. Con es e obje i o, pa a cada ˜ϕ∈(W1,∞(Ω))2
conside amos ˜
ψde al o ma que ( ˜ϕ, ˜
ψ)·n= 0 sob e ∂Ω. As´ı, podemos de ini
hFn; ˜ϕi(W1,∞(∂Ω)2)0×(W1,∞(∂Ω))2po la exp esi´on:
hFn; ˜ϕi=DTn; ( ˜ϕ, ˜
ψ)E.(41)
Las exp esiones (40) y (41) nos pe mi i ´an encon a las condiciones de con o no
que apa ecen en (34).
4.2 Resul ados de egula idad y unicidad pa a el modelo 2D.
Nos cen amos aho a en el modelo ob enido po paso al l´ımi e en la subsecci´on
an e io pa a el caso de un dominio 2D, de inido como:
Ω = {(x, z)∈R2/ x ∈S, −h(x)< z < 0},
siendo Sun in e alo abie o y h:¯
S→R+una unci´on con inua no nega i a
que se anula sob e ∂S. La on e a del dominio es ∂Ω = Γb∪Γsdonde:
Γb={(x, z)∈R2:x∈S, z =−h(x)},Γs={(x, 0), x ∈S}.
El m´e odo que seguimos sigue siendo ´alido si conside amos pa edes la e ales.
Es udiamos en onces la elocidad del luido ( , w) y la p esi´on pque
sa is acen el siguien e sis ema:
(EP)








∂ + ∂x +w∂z −νh∂2
x −ν ∂2
z +∂xp= en (0, T)×Ω,
∂zp= 0 en (0, T)×Ω,h i= 0 en (0, T)×S,
ν ∂z |Γs=α| ai |( ai − ), ν ∂z |Γb=β(x) en (0, T),
| =0 = 0en Ω
donde
w( , x, z) = Z0
z
∂x ( , x, ξ)dξ yh i( ;x) = Z0
−h(x)
( ;x, z)dz.
No a 11 Deno amos po : (0, T )×Ω→Runa ue za ex e na, ai :
(0, T)×S→Rla elocidad ho izon al del ai e sob e la supe icie y 0: Ω →R
la elocidad ho izon al inicial. Finalmen e, α∈Res una cons an e posi i a y
β=β(x)una unci´on posi i a de inida en S(que depende de la ugosidad del
ondo). L´ogicamen e, hemos conside ado una iscosidad anis´o opa (νh, ν ).