Sobre la regularidad, unicidad y justificación asintótica del problema de Ecuaciones Primitivas del Océano

Bol. Soc. Esp. Ma . Apl. no22(2002), 27–57 Sob e la egula idad, unicidad y jus i icaci´on asin ´o ica del p oblema de Ecuaciones P imi i as del Oc´eano F. Guill´ en-Gonz´ alez1M.A. Rod ´ ıguez-Bellido2 1Depa amen o de Ecuaciones Di e enciales y An´alisis Num´e ico, Uni e sidad de Se illa, 2Depa amen o de Ma em´a ica Aplicada I, Uni e sidad de Se illa, [email p o ec ed], [email p o ec ed] Resumen En es e abajo exponemos, y comen amos b e emen e, los esul ados ob enidos en la Tesis Doc o al de M. A. Rod ´ıguez Bellido, di igida po F. Guill´en Gonz´alez, [15], sob e exis encia, unicidad, egula idad y compo amien o asin ´o ico en iempo pa a las Ecuaciones P imi i as del Oc´eano con condici´on de Di ichle homog´enea en el ondo, as´ı como la ob enci´on (a pa i de las ecuaciones de Na ie -S okes), egula idad y unicidad de un nue o modelo de Ecuaciones P imi i as con nue as condiciones de con o no. P e iamen e se expone el ma co ´ısico y ma em´a ico en el que se encuad an dichas ecuaciones, as´ı como los esul ados que con an e io idad se conoc´ıan sob e es e ema, p es ando especial in e ´es en la mejo a que suponen los nue os esul ados de [15] sob e los ya exis en es. Palab as cla e: Ecuaciones P imi i as, exis encia, unicidad, egula idad, compo amien o asin ´o ico, condiciones de con o no de ipo Di ichle , condiciones de con o no de ipo Na ie . Clasi icaci´on po ma e ias AMS: 35Q30, 35B40, 76D05 1 In oducci´on Si obse amos nues o plane a, e emos que al menos dos e ce as pa es es ´an cubie as po oc´eanos, y odo ´el odeado de la a m´os e a. No es, po an o, ex a˜no que desde p incipios del siglo XIX algunos cien ´ı icos, como Pie e Fecha de ecepci´on: 8 de Mayo de 2002 27 28 F. Guill´ en-Gonz´ alez y M.A. Rod ´ ıguez-Bellido Simon de Laplace, pensasen que las leyes ´ısicas que gobie nan la a m´os e a y el oc´eano pod ´ıan se i pa a p edeci el iempo y clima u u os. Ya en el siglo XX se empez´o a conside a ese in en o de p edicci´on como la esoluci´on de un p oblema de alo es iniciales en ´ısica ma em´a ica. Ac ualmen e, seg´un J. L. Lions, R. Temam y S. Wang [12], pa a en ende el compo amien o u bulen o de la a m´os e a y el oc´eano, y pode p edeci el clima, necesi amos: (a) es ablece las ecuaciones y modelos ma em´a icos que gobie nan el mo imien o y es ados de la a m´os e a y el oc´eano, y las in e acciones que apa ecen en e ellos; (b) es ablece los undamen os ma em´a icos de dichas ecuaciones y modelos; (c) es ablece y esol e ap oximaciones num´e icas de dichas ecuaciones. La a m´os e a es un luido comp esible, desc i o ma em´a icamen e po las ecuaciones de la Hid odin´amica y la Te modin´amica, en donde ac ´uan ambi´en las ue zas cen ´ıpe as y de Co iolis. Dichas ecuaciones desc iben los mo imien os a g an escala, en donde las peque˜nas escalas son conside adas como “ uidos” en los c´alculos num´e icos. Sin emba go, debido a que la escala e ical es mucho meno que la escala ho izon al, podemos usa la ap oximaci´on hid os ´a ica (que e emos a con inuaci´on) que pe mi e ob ene las Ecuaciones P imi i as de la a m´os e a y del oc´eano. Una de las p incipales ue zas que “mue en” el oc´eano es la ue za del ien o, lo que pone de mani ies o que el compo amien o del oc´eano depende de la a m´os e a. Po o a pa e, ambi´en es impo an e la in luencia del oc´eano en el compo amien o de la a m´os e a y del clima. Todas es as obse aciones jus i ican el es udio del mecanismo de acoplamien o en e la a m´os e a y el oc´eano. En es e abajo nos cen a emos en el a amien o ma em´a ico de las Ecuaciones P imi i as del oc´eano, an o en su ob enci´on median e un a gumen o asin ´o ico a pa i de las ecuaciones de Na ie -S okes, como en los esul ados de exis encia, unicidad y egula idad de soluci´on, compo amien o asin ´o ico en iempo, e c. P es a emos especial a enci´on a los esul ados ecogidos en la Tesis Doc o al de la au o a, exponiendo los esul ados de o os au o es que con an e io idad a su de ensa se conoc´ıan sob e es e ema. 2 Ob enci´on del modelo. El oc´eano es conside ado como un luido lige amen e comp esible, con ue zas de Co iolis y cen ´ıpe as. El conjun o de ecuaciones que igen lo que se conoce como “la ge scale ocean model”son: las ecuaciones de momen os, la ecuaci´on de con inuidad, la ecuaci´on e modin´amica o de la empe a u a θ, la Sob e la egula idad y unicidad del p oblema de Ecuaciones P imi i as... 29 ecuaci´on de di usi´on pa a la salinidad Sy la ecuaci´on de es ado:                                  ρdV d + 2ρW×V+ρW×(W× ) + ∇p+ρg=D dρ d +ρ∇·V= 0 dθ d =Qθ dS d =QS ρ= (θ, S) (1) donde ρes la densidad, Vla elocidad (3-dimensional) del lujo, pla p esi´on, g= (0,0, g) es la g a edad, 2ρW×Ves el ´e mino de Co iolis y ρW×(W× ) las ue zas cen ´ıpe as (W= (0,cos λ, sen λ) es el ec o de o aci´on de la Tie a, es el adio de la Tie a y λ=λ(y) es la la i ud), Des la disipaci´on (molecula ), QθyQSlas di usiones de empe a u a y salinidad espec i amen e. Respec o a los ope ado es di e enciales u ilizados, ∇= (∂x, ∂y, ∂z) es el g adien e idimensional, con ∇· el ope ado di e gencia y d d es la “de i ada ma e ial o o al”, es deci , d d =∂ +V·∇ Si hacemos la ap oximaci´on llamada del β-plano, el dominio ocupado po el oc´eano Ω, se desc ibe en coo denadas ca esianas como: Ω = {(x, y, z) = (x, z)∈R3,x∈S, −H(x)< z < 0}. Su on e a ∂Ω = Γb∪Γl∪Γsdonde el ondo Γb, las pa edes la e ales Γly la supe icie Γses ´an de inidas po : Γb={(x, z)∈R3:x∈S, z =−H(x)}, Γl={(x, z)∈R3:x∈∂S, −H(x)< z < 0}, Γs={(x,0) : x∈S}, donde S(secci´on ho izon al) es un abie o aco ado en R2yH(la p o undidad) es una unci´on con inua no nega i a sob e S. Las Figu as 1 y 2 ilus an las posibles con igu aciones del dominio bidimensional (o las secciones e icales de un dominio idimensional): Las di icul ades e´o icas y compu acionales que p esen a el a amien o del sis ema (1) ha lle ado a la conside aci´on de dos simpli icaciones impo an es: a) la ap oximaci´on de Boussinesq, que consis e en desp ecia las di e encias de densidad en odo el sis ema sal o en el ´e mino de g a edad y la ecuaci´on de es ado. De ese modo, ijada una densidad media cons an e 30 F. Guill´ en-Gonz´ alez y M.A. Rod ´ ıguez-Bellido Γ Γ l b s Γ Ω z x Figu a 1: El dominio (2D) con pa edes la e ales. ρ0,ρ=ρ0+ρ0con ρ0<< ρ0. Dicha hip´o esis hace que la ecuaci´on de con inuidad se ans o me en la ecuaci´on de incomp esibilidad pa a la elocidad V, que es una hip´o esis ´ısicamen e ´alida debido a la len a elocidad del agua espec o a la iscosidad en dicho medio. La inclusi´on de las ue zas cen ´ıpe as en el g adien e de una unci´on po encial P(jun o con la p esi´on), pe mi en eesc ibi (1) como: (BEs)                                  d d −µ∆x −ν∂2 zz + 2 (sen(λ) ⊥+ cos(λ)we1) + ∇xP=0 d d w−µ∆xw−ν∂2 zzw−2 cos(λ) 1+∂zP+ρ0 ρ0 g= 0 ∇x· +∂zw= 0 ∂ θ+ ·∇xθ+w∂zθ−µθ∆xθ−νθ∂2 zzθ= 0 ∂ S+ ·∇xS+w∂zS−µS∆xS−νS∂2 zzS= 0 ρ= (θ, S), donde = ( 1, 2) y wson las elocidades ho izon ales y e ical espec i amen e, ⊥= (− 2, 1), y µ,ν,µθ,νθ,µS,νSlos coe icien es de di usi´on ( u bulen a) anis´o opos ho izon al y e ical de ( , w), θyS espec i amen e. ∇x, ∆xy∇x·son los ope ado es g adien e, laplaciano y di e gencia en las a iables ho izon ales. Dicho sis ema ecibe el nomb e de Ecuaciones de Boussinesq del oc´eano. Sob e la egula idad y unicidad del p oblema de Ecuaciones P imi i as... 31 s Γ Ω z x Γ b Figu a 2: El dominio (2D) sin alud. b) la ap oximaci´on hid os ´a ica. Si que emos hace un p oceso de adimensionalizaci´on del sis ema (BEs) espec o a los alo es de e e encia de cada magni ud ´ısica, el an´alisis eal de escalas nos dice que el cocien e en e las longi udes e ical y ho izon al es peque˜no: δ=Z L≈10−3, siendo Lel alo de e e encia de las dimensiones ho izon ales, y Zde las e icales. Adem´as, la elocidad e ical del agua es mucho meno que la elocidad ho izon al, lo que se modela ap oximando la e ce a ecuaci´on de momen os po la llamada ecuaci´on hid os ´a ica: ∂p ∂z =−ρ g, que elaciona la p esi´on y la densidad del oc´eano con la g a edad, y que se ha con e ido en una ecuaci´on undamen al en Oceanog a ´ıa. El an´alisis de escalas nos dice adem´as que pa a que las iscosidades de las dos p ime as componen es de la ecuaci´on de momen os sean del mismo o den ( espec o aδ), necesi amos supone que: ν=δ2ν , µ =νh,con ν =O(1) y νh=O(1). (2) Po simplicidad, s´olo p es a emos a enci´on al sis ema de ecuaciones (no lineal) pa a la elocidad y p esi´on, ya que el sis ema acoplado con la empe a u a y salinidad in oduce ecuaciones de con ecci´on-di usi´on 32 F. Guill´ en-Gonz´ alez y M.A. Rod ´ ıguez-Bellido (lineales si la elocidad es conocida) que no a˜naden di icul ades esenciales (de ipo ma em´a ico). En consecuencia, las Ecuaciones P imi i as del oc´eano ienen desc i as po el siguien e sis ema: (EP)     ∂ + ·∇x +w∂z −νh∆x −ν ∂2 zz +α ⊥+1 ρ0∇xp=0 ∂zp=−ρg, ∇x· +∂zw= 0, donde α= 2 sen(λ). La on e a supe icie Γsno a ´ıa, siendo los nue os Ω, Γly Γb(donde h=H Z): Ω = {(x, z)∈R3,x∈S, −h(x)< z < 0}, Γl={(x, z)∈R3:x∈∂S, −h(x)< z < 0}, Γb={(x, z)∈R3:x∈S, z =−h(x)}. (3) Las Ecuaciones P imi i as del oc´eano (EP) se ob ienen a pa i de la hip´o esis de ap oximaci´on hid os ´a ica en los abajos de J. L. Lions, R. Temam y S. Wang, [10, 11]. Dicha hip´o esis se puede jus i ica como l´ımi e de la o mulaci´on a iacional de las ecuaciones de Na ie -S okes o (BEs) cuando δ→0 imponiendo (2), e los esul ados de O. Besson y M. R. Laydi, [2], pa a el caso es aciona io y los de P. Az´e ad y F. Guill´en-Gonz´alez, [1], pa a el caso de e oluci´on. 2.1 Elecci´on de condiciones de con o no. La “ uen e”de mo imien o del oc´eano es la a m´os e a. No podemos ol ida pues la in e acci´on a m´os e a-oc´eano a la ho a de de e mina cu´ales son las condiciones de in e ase, que se aduci ´an en condiciones de con o no sob e la supe icie del oc´eano. Una hip´o esis simpli icado a es conside a que dicha in e ase es ´a ija, hip´o esis que se denomina de “ echo ´ıgido”( igid lid hypo hesis) y que es ´a basada en dos hechos: (a) el agua es mucho m´as densa que el ai e. De hecho, se obse a que ρa/ρs≈ 10−3, siendo ρala densidad del ai e y ρsla del agua oce´anica, con lo que la in e ase en e el ai e y el agua es muy es able conside ando g andes escalas espaciales, debido a la in ensidad de la ue za g a i acional. (b) a g an escala, el desplazamien o e ical de las ondas de ma eas se puede desp ecia , ya que apa ecen como “ uidos en las al as ecuencias 2 no suelen se enidas en cuen a en la mayo ´ıa de modelos de Ci culaci´on Global. As´ı pues, las condiciones de con o no que apa ecen en la supe icie son (deno ando con el supe ´ındice slas a iables co espondien es al oc´eano y con alas a iables co espondien es a la a m´os e a): w|Γs= 0, s|Γs= a|Γs. Sob e la egula idad y unicidad del p oblema de Ecuaciones P imi i as... 33 Sin emba go, debido a la di e encia de densidad en e ambos medios, apa ece una capa l´ımi e ina en la a m´os e a (de 1 km. de espeso ) y muy ina en el oc´eano (en e 10 y 100 m. de espeso ) que no son a ables num´e icamen e, po el momen o. Usando en onces unos undamen os m´as p ´ac icos, se conside a que los es ue zos de cizalla en la in e ase son debidos a la ue za ho izon al del ien o en supe icie, lo que se aduce ma em´a icamen e como: −ρs 0νs ∂z s=ρaCa D( a− s)| a− s|αsob e Γs, donde Ca Des el coe icien e de ans e encia de momen o. Aqu´ı amos a conside a la siguien e simpli icaci´on: w= 0, ν ∂z s=τsob e Γs, donde τes la ensi´on del ien o sob e la supe icie del oc´eano, que se oma como da o. Con espec o al ondo, impond emos condiciones de adhe encia, pe mi iendo deslizamien o e ical en las pa edes la e ales, que ienen dadas po : w= 0 sob e Γb, s=0sob e Γb∪Γl. (4) Fija emos es as condiciones de con o no en los esul ados que expond emos en la siguien e secci´on. 2.2 El modelo educido. Las a iables del sis ema de Ecuaciones P imi i as ,wypno son del mismo ipo: la elocidad ho izon al e i ica un p oblema de e oluci´on y necesi a po an o da os iniciales pa a queda de e minado ( a iable p on´os ico). La elocidad e ical wno e i ica un p oblema de e oluci´on pe o se puede de e mina a pa i de la a iable p on´os ico ( a iable diagn´os ico). Conc e amen e, in eg ando la ecuaci´on de incomp esibilidad en (z, 0), como w( ;x,0) = 0, ob enemos: w( ;x, z) = Z0 z∇x· ( ;x, s)ds. (5) Pa a la p esi´on, in eg ando en (z, 0) la ecuaci´on hid os ´a ica, ob enemos: p( ;x, z) = ps( ;x) + Z0 z (ρ g)( ;x, s)ds =ps( ;x) + gZ0 z (θ, S)( ;x, s)ds, donde ps( ;x) = p( ;x,0) es la p esi´on en la supe icie del oc´eano. Se eesc ibe en onces el g adien e ho izon al de p esi´on como: 1 ρ0∇xp=1 ρ0∇xps+F(θ, S). Imponiendo la condici´on de con o no (4) sob e wen la exp esi´on de w (5), se llega a la es icci´on ∇x· h i= 0 en (0, T)×S, donde h i( ;x) = 34 F. Guill´ en-Gonz´ alez y M.A. Rod ´ ıguez-Bellido Z0 −h(x) ( ;x, z)dz, con lo que llegamos al siguien e sis ema educido (que a a emos a pa i de aho a) de Ecuaciones P imi i as: (EP)                        ∂ + ·∇x +w∂z −νh∆x −ν ∂2 zz +α ⊥ +1 ρ0∇xps=Fen (0, T)×Ω, ∇x·h i= 0 en (0, T)×S, | =0 = 0en Ω, ν ∂z |Γs=τ, |Γb∪Γl=0en (0, T), donde wdepende de como en (5). Dicho sis ema p esen a las en ajas, desde el pun o de is a compu acional, de elimina wcomo inc´ogni a y educi la p esi´on a una unci´on de dos a iables. Sin emba go, como e emos en el es udio que sigue, debido a la dependencia de w espec o a ∇x· , se da una aniso op´ıa en la egula idad de las de i adas de w. Po ejemplo, si es amos en el caso de una soluci´on d´ebil ∈H1(Ω)2, usando la ecuaci´on de incomp esibilidad, ∂zw=−∇x· ∈L2(Ω) pe o ∇xw /∈L2(Ω) en gene al. Dicha aniso op´ıa hace que el ´e mino no lineal de la ecuaci´on de momen os sea menos egula que en las ecuaciones de Na ie -S okes, y que sea m´as di ´ıcil ob ene soluciones egula es pa a las Ecuaciones P imi i as. 3 Regula idad de las Ecuaciones P imi i as del oc´eano. Pasamos en onces a un es udio ma em´a ico del p oblema (EP ). Comenzamos po desc ibi el ma co uncional y las de iniciones de soluci´on d´ebil y soluci´on ue e: C∞ b,l(Ω) = {ϕ∈C∞(Ω)2;sop(ϕ) es un conjun o compac o ⊆Ω (Γb∪Γl)}, H1 b,l(Ω) = C∞ b,l(Ω)H1 ={ ∈H1(Ω)2; = 0 sob e Γb∪Γl}, H−1 b,l (Ω) = dual de H1 b,l(Ω), V={ϕ∈C∞ b,l(Ω)2;∇x·hϕi= 0 en S}, H=VL2 ={ ∈L2(Ω)2;∇x·h i= 0 en S, h i·n|∂S = 0}, V=VH1 ={ ∈H1(Ω)2;∇x·h i= 0 en S, |Γb∪Γl=0}. Al mul iplica (EP ) po unciones es egula es e in eg a po pa es, esul a la siguien e: Sob e la egula idad y unicidad del p oblema de Ecuaciones P imi i as... 35 De inici´on 1 (Soluci´on d´ebil) Sean u0∈H,F∈L2(0, T;H−1 b,l (Ω)2)y τ∈L2(0, T;H−1/2(Γs)2). Decimos que u: (0, T)×Ω→R2es una soluci´on d´ebil de (EP)en (0, T)si u∈L∞(0, T;H)∩L2(0, T;V), e i ica la o mulaci´on a iacional: ∀ϕ∈C1([0, T]; V) al que ϕ(T) = 0, ZT 0ZΩ¡−u·¡∂ ϕ+ (uH·∇x)ϕ+u3∂zϕ¢+αu⊥·ϕ¢dΩd +ZT 0ZΩ (νh∇xu:∇xϕ+ν ∂zu·∂zϕ)dΩd =ZΩ u0·ϕ(0) dΩ + ZT 0hF, ϕiΩd +ZT 0hτ, ϕiΓsd , y, adem´as, usa is ace la desigualdad de ene g´ıa: 1 2kuk2 L2(Ω) +Z 0³νhk∇xuk2 L2(Ω) +ν k∂zuk2 L2(Ω)´ds ≤1 2ku0k2 L2(Ω) +Z 0hF,uiΩds +Z 0hτ, uiΓsds c.p.d. ∈(0, T). (6) En el caso T= +∞, decimos que ues una soluci´on d´ebil de (EP )en (0,+∞) si ues una soluci´on d´ebil de (EP)en (0, T ),∀T < +∞. Aqu´ı, h·,·iΩdeno a la dualidad en e H−1 b,l (Ω) yH1 b,l(Ω), mien as que h·,·iΓs deno a la dualidad en e H−1/2(Γs)yH1/2(Γs). Deno amos en es a secci´on po u3la elocidad e ical asociada a u. Finalmen e, deno amos la no ma en Vpo kϕk2 V=νhk∇xϕk2 L2(Ω) + ν k∂zϕk2 L2(Ω), y la no ma en H1 b,l(Ω) po kϕk2 H1(Ω) =k∇xϕk2 L2(Ω)N+ k∂zϕk2 L2(Ω). Cuando aumen amos b´asicamen e en un o den la egula idad de la soluci´on, llegamos a la siguien e: De inici´on 2 (Soluci´on ue e) Sean u0∈V,F∈L2(0, T;L2(Ω)2),τ∈ L2(0, T;H1/2(Γs)2)y∂ τ∈L2(0, T;H−1/2(Γs)2). Si uuna soluci´on d´ebil de (EP)en (0, T), decimos que ues una soluci´on ue e si e i ica la siguien e egula idad adicional: u∈L∞(0, T;V)∩L2(0, T;H2(Ω)2∩V), ∂ u∈L2(0, T;H). La exis encia de soluci´on d´ebil de (EP) es bien conocida, e Lewando ski [9] y Lions-Teman-Wang [11], en dominios con p o undidad aco ada in e io men e (que ambi´en denomina emos alud, es deci , h≥hmin > 0 en S). En dichos abajos, se usa un m´e odo de Gale kin pa a ob ene la 42 F. Guill´ en-Gonz´ alez y M.A. Rod ´ ıguez-Bellido 3.2 Compo amien o asin ´o ico de las soluciones. En [8] ambi´en se es udia el compo amien o en iempo hacia un es ado es aciona io (gene ado po los da os segundo miemb o 2y condici´on de con o no Neumann τ2, supues os independien es del iempo). El obje i o es ob ene un esul ado de con e gencia en no ma V, lo que en p incipio nos obliga a conoce bajo qu´e condiciones se ob iene la egula idad ue e del p oblema es aciona io: (EP)s      −νh∆x −ν ∂2 zz + ( ·∇x) + 3∂z +∇xps= 2en Ω, ∇x·h i= 0 en S, ν ∂z |Γs=τ2, |Γb∪Γl=0. Cen ´andonos en el caso 3D, ob enemos el siguien e esul ado [8]: Teo ema 9 Si los da os 2yτ2son su icien emen e peque˜nos en las no mas de L2(Ω)2yH1/2+ε 0(Γs)2 espec i amen e, en onces exis e una ´unica soluci´on ( ue e) pa a (EP)s y se sa is acen las siguien es es imaciones de egula idad d´ebil y ue e pa a las soluciones: exis e C=C(Ω) >0 al que k k2 H1(Ω) ≤C ν2nk 2k2 H−1(Ω) +kτ2k2 H−1/2(Γs)o,(18) k k2 H2(Ω) ≤C ν2nk 2k2 L2(Ω) +kτ2k2 H1/2+ε 0(Γs)o.(19) El esul ado de compo amien o asin ´o ico que ob enemos en [8] es: Teo ema 10 (Con e gencia de la soluci´on 3D de e oluci´on hacia la soluci´on 3D es aciona ia) Sea uuna soluci´on ue e de (EP)en (0,+∞)con segundo miemb o = 1+ 2, donde 1∈L2(0,+∞;L2(Ω)2)y 2∈L2(Ω)2(independien e de ), y la condici´on de Newman τ=τ1+τ2, donde τ1∈L2(0,+∞;H1/2+ε 0(Γs)2)pa a alg´un ε > 0, al que ∂ τ1∈ L2(0,+∞;H−1/2(Γs)2), y τ2∈H1/2+ε 0(Γs)2pa a alg´un ε > 0( ambi´en independien e de ). Suponiendo condiciones de peque˜nez (H)3Dcon T= +∞, si es la soluci´on ue e es aciona ia de (EP)s con segundo miemb o 2 y condici´on de con o no Neumann τ2, en onces u( )→ en la no ma H1(Ω) cuando ↑+∞. La demos aci´on sigue los siguien es pasos: 1) Se conside a el p oblema e i icado po w=u− −edonde es la soluci´on ue e del p oblema es aciona io (dada en el Teo ema 9) y ees la soluci´on ue e del p oblema lineal e olu i o (S) con da os g= 1,e(0) = u0− y τ=τ1(dada en el Teo ema 3). Conside amos su o mulaci´on a iacional y es imamos con unciones es del ipo Aw, ob eniendo: d d kwk2 V+kAwk2 L2(Ω) ≤C ν3/2kAwk2 L2(Ω)kwkV+C ν11 kwk10 V + (a1( ) + a2( )) kwk2 V+b( ), (20) Sob e la egula idad y unicidad del p oblema de Ecuaciones P imi i as... 43 donde a1∈L∞(0,∞), a2yb∈L1(0,∞), son unciones dependien es de los da os. 2) G acias a la hip´o esis de peque˜nez sob e los da os, conseguimos que pa a un γsu icien emen e peque˜no: kw( )kV≤γ ν3/2,∀ ∈[0,+∞). En onces, a pa i de (20) se puede ob ene : d d kwk2 V+ + ν 2Ckwk2 V≤Cν2ke( )k2 H2(Ω). In eg ando la exp esi´on an e io , ob enemos que: kw( )k2 V≤Z 0 exp(ν 2C(s− ))ke(s)k2 H2(Ω)ds. (21) Como po hip´o esis sob e los da os y la cons ucci´on de e,kek2 H2(Ω) ∈ L1(0,+∞), en onces pa a odo δ > 0 exis e un T∗∈[0,+∞) al que Z+∞ T∗ke( )k2 H2(Ω)d < δ. As´ı pues, descomponiendo la co a de (21) como: e−ν 2C Z 0 eν 2Cske(s)k2 H2(Ω)ds ≤e−ν 2C eν 2CT∗ZT∗ 0ke(s)k2 H2(Ω)ds +Z+∞ T∗ke(s)k2 H2(Ω)ds, podemos conclui que kw( )k2 V=ku( )−e( )− k2 V→0 cuando ↑+∞. 3) Razonando de mane a an´aloga ob enemos que ke( )kV→0 cuando ↑+∞, lo que nos pe mi e conclui el esul ado de con e gencia ku( )− k2 H1(Ω) →0. 3.3 Unicidad de soluci´on d´ebil/ ue e. La meno egula idad del ´e mino no lineal (de con ecci´on e ical) en el sis ema de Ecuaciones P imi i as hace que se necesi e mayo egula idad pa a demos a la unicidad de soluci´on que en el caso del sis ema de Na ie -S okes. Pa a comp oba lo, bas a con in en a ep oduci la demos aci´on de unicidad que apa ece, po ejemplo, en el lib o de P. L. Lions [13]. El p incipal incon enien e es la aco aci´on del ´e mino: ZΩ u3∂zψ·udΩ 44 F. Guill´ en-Gonz´ alez y M.A. Rod ´ ıguez-Bellido Usando las es imaciones is´o opas, conseguimos una es imaci´on pa a: (u∈L2(0, T;H1(Ω)) ∩L∞(0, T;L2(Ω)), u3∈L2(0, T ;L2(Ω)) ∂zψ∈L∞(0, T;L2(Ω)) ∩L2(0, T;L∞) Sin emba go, el uso de las es imaciones anis´o opas nos pe mi e ebaja la egula idad a los siguien es espacios anis´o opos: (u∈L4(0, T;L2 zL4 x), u3∈L2(0, T;L∞ zL2 x), ∂zψ∈L4(0, T;L2 zL4 x), de mane a que podemos enuncia el siguien e esul ado: Teo ema 11 (Unicidad de soluci´on d´ebil/ ue e) Sea usoluci´on d´ebil de (EP ) en (0, T). Si exis e uuna soluci´on d´ebil de (EP)en (0, T ) al que: ∇xu∈L2(0, T;L∞ zL2 x)y∂zu∈L4(0, T;L2 zL4 x),(22) en onces ambas soluciones coinciden en [0, T ). No a 4 En 2D, la hip´o esis (22) se ebaja s´olo a ∂zu∈L4(0, T;L2(Ω)). En cualquie caso, dicha egula idad adicional no es ´a asegu ada en gene al pa a una soluci´on d´ebil. 4 El modelo de Ecuaciones P imi i as del oc´eano con condiciones de con o no de ipo Na ie . Ya sabemos que las Ecuaciones P imi i as se ob ienen a pa i de las ecuaciones de Na ie -S okes anis´o opas po un an´alisis asin ´o ico cuando el cocien e de aspec o δ iende a ce o, comple ando dicho modelo con de e minadas condiciones de con o no ( e [1, 2] pa a condiciones Di ichle en el ondo). Desde un pun o de is a ´ısico, la elecci´on de condiciones de con o no de ipo Di ichle homog´eneas pa a la elocidad sob e el ondo s´olo es ´a jus i icada cuando la iscosidad molecula del luido sea impo an e. Sin emba go, en muchos modelos geo ´ısicos la iscosidad que se conside a es u bulen a, siendo la iscosidad molecula desp eciable. Po o a pa e, se sabe que el uso de la condici´on de con o no de icci´on de ipo Na ie en las ecuaciones de Na ie -S okes p e iene la apa ici´on de capas l´ımi es. El obje i o de es a secci´on es doble. P ime o, ob ene nue as condiciones de con o no pa a las Ecuaciones P imi i as, pa iendo de condiciones de con o no de ipo Na ie en Na ie -S okes con iscosidad anis´o opa y haciendo ende el cocien e de aspec o a ce o ([3]). Segundo, analiza una cie a egula idad adicional global en iempo pa a cualquie soluci´on d´ebil del modelo en un dominio 2D que implica, en pa icula , la unicidad ([4]). Sob e la egula idad y unicidad del p oblema de Ecuaciones P imi i as... 45 4.1 Ob enci´on del modelo con nue as condiciones de con o no. Conside amos un luido gobe nado po las ecuaciones de Na ie -S okes de e oluci´on, con ue za de Co iolis y iscosidad anis´o opa ( u bulen a). Supond emos que la densidad es cons an e (igual a 1). Suponemos que la iscosidad anis´o opa ν iene dada po (νh, νh, νz). De inimos el g adien e anis´o opo como: ∇ν= (νh∂x1, νh∂x2, νz∂z) = (νh∇x, νz∂z),(23) y el enso de es ue zos angenciales debidos al campo de elocidades, iene dado po : Dν(uδ) = ¡∇νuδ+∇ νuδ¢/2,(24) donde uδes la elocidad del luido, dada po ( δ, wδ), donde δ= ( δ 1, δ 2) es la componen e ho izon al y wδes la componen e e ical. Supongamos el luido en un dominio Ωδ={(x, z)∈R3/x= (x1, x2)∈S, −δh(x)<z<0}, y que el lujo sa is ace una condici´on de acci´on sob e la supe icie Γsdebida al ien o, una condici´on de con o no Di ichle homog´enea sob e las pa edes la e ales Γδ l (si exis en) y una condici´on de con o no de ipo icci´on sob e el ondo Γδ b. M´as p ecisamen e, suponemos que la elocidad y el po encial (uδ, pδ) sa is acen el siguien e sis ema:                      ∂ uδ+uδ·∇uδ−2∇· Dν(uδ) + 2W×uδ+∇pδ= 0 en (0, T)×Ωδ, ∇·uδ= 0 en (0, T)×Ωδ, νz∂z δ=α| ai |( ai − δ), wδ= 0 sob e (0, T)×Γδ s, (2 Dν(uδ)nδ+γuδ) g = 0 uδ·nδ= 0 sob e (0, T)×Γδ b, uδ= 0 sob e (0, T)×Γδ l, uδ| =0 =uδ 0en Ωδ, (25) con Dν(uδ) de inido en (24). La ue za de Co iolis iene dada po 2W×uδ con W=|W|(0,cos θ, sen θ) el ec o de o aci´on de la Tie a y θ=θ(y) es la la i ud. Deno amos po ai :S→R2la elocidad del ai e sob e la supe icie, yαyγdos unciones de xno nega i as y aco adas. Reco demos que Dν(uδ)nδ ep esen a el p oduc o ma iz po ec o de inido po : (Dν(uδ)nδ)i= 3 X j=1 (Dν(uδ))ijnj δ y (Dν(uδ)nδ) g co esponde a su componen e angencial, dada po : (Dν(uδ)nδ) g =Dν(uδ)nδ−£(Dν(uδ)nδ)·nδ¤nδ, donde nδes el ec o no mal ex e io a Γδ b, dado po : nδ= (n1 δ, n2 δ, n3 δ) = 1 p1 + |δ∇xh|2(−δ∇xh, −1) .(26) 46 F. Guill´ en-Gonz´ alez y M.A. Rod ´ ıguez-Bellido No a 5 La condici´on (25)3 ep esen a el e ec o (no lineal) que el ai e eje ce sob e la elocidad ho izon al del lujo de agua en el Oc´eano. Po o a pa e, en la condici´on (25)4el coe icien e γ=γ(x)depende de la ugosidad del ondo. As´ı pues, la condici´on (25)4comple a iene a exp esa los e ec os que la icci´on con el ondo eje cen sob e la componen e angencial de 2Dν(uδ)nδ. In oducimos los siguien es espacios uncionales pa a el dominio de pa ida Ωδ: Vδ=©Φ = (ϕ, ψ)∈(C∞ l(Ωδ))2×(C∞ l(Ωδ)) : ∇·Φ = 0 en Ωδ,Φ·nδ= 0 sob e ∂Ωδ} donde C∞ l(Ωδ) = ©χ∈C∞(Ωδ) : χ=0en un en o no de Γδ l}, y de inimos Hδ yVδcomo la clausu a de Vδen (L2(Ωδ))3y (H1(Ωδ))3, espec i amen e. No emos que el modelo que ob enemos es no s ´anda d, ya que el ´e mino de segundo o den −2∇·(Dν(uδ)) no es necesa iamen e di usi o pues, en gene al, −2h∇·(Dν(uδ)),uδi 6≥ 0. Teo ema 12 Supongamos h∈W2,∞(S),h > 0en S,|∇xh|> c > 0sob e ∂S ∩{h= 0},uδ 0∈Hδ,α1/3 ai ∈L3(0, T;L3(Ω)2)y                      C(Ω)|νh−νz|k∇xhkW1/2,∞(S)≤νh 4, δ2C(Ω)|νh−νz|³1 + 2khk2 W1,∞(S)´k∇xhkW1/2,∞(S)≤νz 16, 2δ|νh−νz|C(Ω)k∇xhkW1/2,∞(S)h(x) + δνh|∂2 ijh(x)| ≤γ(x) 2p1 + δ2|∇xh(x)|2,∀i, j = 1,2, c.p.d. x∈S, (27) donde C(Ω) = C(S)C0(Ω) con C0(Ω) depende de las inyecciones de Sobole de H1en H1/2- on e a. En onces, exis e una soluci´on d´ebil del p oblema al que: ∀Φ = (ϕ, ψ)∈C1([0, T ]; Vδ)con Φ(T) = 0,                        −ZT 0ZΩδ uδ·¡∂ Φ + uδ·∇Φ¢+ 2 ZT 0ZΩδ Dν(uδ)·∇Φ +ZT 0ZΓs α| ai |¡ δ− ai ¢·ϕ+ 2 ZT 0ZΩδ¡W×uδ¢·Φ +ZT 0ZΓδ b γ¡uδ×nδ¢·(Φ ×nδ) = ZΩδ uδ 0·Φ(0). (28) Adem´as, dicha soluci´on sa is ace la siguien e desigualdad de ene g´ıa, pa a odo Sob e la egula idad y unicidad del p oblema de Ecuaciones P imi i as... 47 ≥0: kuδ( )k2 (L2(Ωδ))3+νhZ 0k∇xuδ(s)k2 L2(Ωδ)6ds +νz 2Z 0k∂zuδ(s)k2 L2(Ωδ)3ds +Z 0ZΓs α| ai || δ|2+Z 0ZΓδ b γ|uδ|2≤ kuδ 0k2 (L2(Ωδ))3+Z 0ZS α| ai |3. (29) No a 6 Las hip´o esis (27) asegu an la disipaci´on del p oblema, necesa ia pa a que el modelo sea ´ısicamen e admisible. Esquema de la demos aci´on: Se sigue un p ocedimien o de ipo Gale kin. Al aco a los ´e minos que apa ecen en la o mulaci´on a iacional al oma como unciones es las soluciones de Gale kin ap oximadas, apa ece un ´e mino con lic i o que p o iene del g adien e aspues o de la elocidad, que aho a no se anula po que enemos un g adien e anis´o opo. Dicho ´e mino se puede eesc ibi como un ´e mino sob e la on e a de la o ma: ZΩδ ∇νuδ·∇uδ=δνhZSH δ|Γδ b· δ|Γδ bdx +δ(νh−νz)D∇x·³ δ|Γδ b´, δ|Γδ b·∇xhEH−1/2(S),H1/2(S), (30) donde H ep esen a el hessiano de δ, es deci , H= (∂2 ijh)ij. Pa a aco a es e ´e mino se usan desigualdades de in e polaci´on de espacios de Sobole Hsen sus co espondien es espacios de azas, imponiendo las hip´o esis (27) pa a llega a con ola es e ´e mino con las no mas L2yH1que apa ecen a la izquie da de la desigualdad de ene g´ıa que se p e ende consegui ( e [3, 15] pa a los de alles). No a 7 [3] 1) Si γ6= 0 y|Γδ l|>0, se pueden eesc ibi las hip´o esis (27) de mane a m´as ´acil ya que la semino ma del g adien e en L2(Ωδ)es equi alen e a la no ma en H1(Ωδ). 2) Si γ6= 0 y|Γδ l|= 0, se puede ob ene exis encia de soluci´on d´ebil sin la hip´o esis (27)3, pe o en onces no se ga an iza la disipa i idad del sis ema. 3) Si γ= 0 y|Γδ l|= 0 (es deci , en el caso de deslizamien o sob e el ondo y sin pa edes la e ales), se puede ga an iza la exis encia de soluci´on d´ebil pe o no la disipaci´on del sis ema. Nos in e esamos aho a po el compo amien o asin ´o ico cuando δ→0 de las soluciones d´ebiles uδ(pa a cada dominio Ωδ) ob enidas en el Teo ema 12. Supond emos que h≈1 y: νh≈1, νz=δ2ν (ν ≈1),(31) 48 F. Guill´ en-Gonz´ alez y M.A. Rod ´ ıguez-Bellido α/δ →¯αyγ/δ →¯γen L∞(S)-d´ebil∗,(32) e in oducimos los siguien es cambios de a iable: Z=z δ,Vδ( ;x, Z) = δ( ;x, z), W δ( ;x, Z) = wδ( ;x, z) δ,(33) que nos lle an al dominio (adimensional) Ω = {(x, Z)∈R3:x∈S, −h(x)< Z < 0}, cuyas on e as ienen dadas po Γs≡S× {0}, Γl={(x, Z)∈R3:x∈ ∂S, −h(x)<Z<0}y Γb=∂Ω ¡Γs∪Γl¢. P obamos en onces que cuando δ iende a 0, en onces la soluci´on Uδ= (Vδ, Wδ) eescalada seg´un (33) a pa i de una soluci´on ( δ, wδ) de las ecuaciones de Na ie -S okes (25), posee una subsucesi´on que con e ge a una soluci´on U= (V, W ) del modelo de Ecuaciones P imi i as:                                  ∂ V+ (U·∇)V−∆νV+kV⊥+∇xP= 0 en (0, T)×Ω, ∂ZP= 0,∇x·V+∂ZW= 0 en (0, T)×Ω, ν ∂ZV= ¯α| ai |( ai −V), W = 0 sob e (0, T )×Γs, ν ¡1 + νh|∇xh|2/ν ¢∂ZVnZ=AV|Γb,sob e (0, T)×Γb, (V, W)·n= 0 sob e (0, T)×Γb, V= 0 sob e (0, T)×Γl, V| =0 =V0en Ω, (34) donde ∇x= (∂x1, ∂x2), ∆ν=νh∆x+ν ∂2 Z, ∆x=∂2 x1+∂2 x2,V⊥= (−V2, V1), k=|W|sen θy AV|Γb=γV|ΓbnZ+νhHV|ΓbnZ+νh∇x·(V|Γb)nx−νh∇x(V|Γb)nx,(35) con n= (nx, nZ) el ec o no mal ex e io a Γb. La condici´on (35) end ´a un sen ido “dual” a a ´es de la o mulaci´on d´ebil (38) de (34) . No a 8 En dimensi´on 2, la condici´on de con o no en el ondo se educe a: ν ∂ZV|Γb=βV|Γbcon β=(¯γ+νhh00) 1 + νh|h0|2/ν . Conside ando en onces los siguien es espacios uncionales en el l´ımi e: V={˜ Φ = ( ˜ϕ, ˜ ψ)∈(C∞ l(Ω))3:∇· ˜ Φ = 0 en Ω,˜ Φ·n= 0 sob e ∂Ω}, donde C∞ l(Ω) = ©χ∈C∞(Ω) : χ=0en un en o no de Γl}, y de iniendo Hp im,Vp im yYp im como las clausu as de Vpa a las no mas ke ΦkHp im =keϕk(L2(Ω))2,ke ΦkVp im =keϕk(H1(Ω))2yke ΦkYp im =keϕk(H2(Ω))2 espec i amen e, donde eϕ= (e Φ1,e Φ2), ob enemos el siguien e esul ado [3]: Sob e la egula idad y unicidad del p oblema de Ecuaciones P imi i as... 49 Teo ema 13 En las hip´o esis del Teo ema 12, si suponemos adem´as que: kVδ 0k2 (L2(Ω))2+kδW δ 0k2 L2(Ω) ≤Cinic, Vδ 0*V0en L2(Ω)2-d´ebil∗, (36) en onces, exis e una subsucesi´on de Uδ= (Vδ, Wδ)(ob enida po el eescalamien o (33) de una soluci´on uδde las ecuaciones de Na ie -S okes) que con e ge a U= (V, W)en el sen ido siguien e: (Vδ, Wδ)→(V, W)en L2(0, T ;VP im)-d´ebil Vδ→Ven L∞(0, T;L2(Ω)2)-d´ebil∗.(37) Adem´as, U= (V, W)es una soluci´on d´ebil del sis ema (34); es deci , ∀˜ Φ = ( ˜ϕ, ˜ ψ)∈C1([0, T]; V)con ˜ Φ(T) = 0,                                  −ZT 0ZΩ V·(∂ ˜ϕ+U·∇˜ϕ)dΩd +ZT 0ZΩ kV⊥·˜ϕdΩd +ZT 0ZΩ (νh∇xV·∇x˜ϕ+ν ∂ZV·∂Z˜ϕ)dΩd +ZT 0 νhh∇x·(V|Γb),˜ϕ|Γb·∇xhiH−1/2(S),H1/2(S)+νhZT 0ZΓbHV·˜ϕ(−nZ) +ZT 0ZΓs ¯α| ai |(V− ai )·˜ϕ+ZT 0ZΓb ¯γV·˜ϕ(−nZ) = ZΩ V0·˜ϕ(0)dΩ (38) que e i ica, adem´as, la desigualdad de ene g´ıa, pa a odo ≥0, kV( )k2 L2(Ω) +Z 0ZΩ³νh|∇xV|2+ν 2|∂ZV|2´dΩds +Z 0ZΓs ¯α| ai ||V|2+Z 0ZΓb ¯γ|V|2(−nZ)≤Cinic +Z 0ZΓs ¯α| ai |3. (39) No a 9 El l´ımi e cuando δ→0de las hip´o esis (27) nos da las co espondien es hip´o esis de disipaci´on pa a el p oblema l´ımi e (34). Esquema de la demos aci´on: Haciendo el cambio de a iable (33) en la o mulaci´on a iacional (28) y omando unciones es adecuadas, podemos demos a que la sucesi´on (Vδ, Wδ) es ´a aco ada en L2(0, T;Vp im) y Vδ en L∞(0, T;L2(Ω)3). En onces exis e una subsucesi´on (que deno a emos de la misma o ma) con e gen e como en (37). Es o nos pe mi e conclui la con e gencia de los ´e minos lineales de la o mulaci´on a iacional. Tambi´en se puede demos a que Vδcon e ge ue e a Ven L2(0, T;L2(Ω)2), usando una a ian e dada en [1], de la compacidad en espacios Lpcon alo es 50 F. Guill´ en-Gonz´ alez y M.A. Rod ´ ıguez-Bellido en un Banach [16], lo que pe mi e la con e gencia de los ´e minos no lineales. Asimismo, la hip´o esis (36) sob e los da os iniciales ga an iza la con e gencia de los ´e minos dependien es de los da os iniciales. Po ´ul imo, pa a ob ene la con e gencia de los ´e minos de on e a, usamos la con e gencia ue e de Vδy cie as desigualdades de in e polaci´on ( e [3] y [15] pa a los de alles). No a 10 Aplicando el Lema de De Rham ([16]) en las o mulaciones a iacionales asociadas al p oblema ap oximado (25) y al p oblema l´ımi e (34), podemos ecupe a los po enciales espec i os PδyP, como dis ibuciones, ales que las ecuaciones de momen os ela i as a (25) eescaladas con (33) y las ecuaciones de momen os ela i as a (34) se sa is acen en H−1(0, T ;H−1(Ω)3) (espacio dual de H1 0(0, T; (H1 0(Ω))3)) y en H−1(0, T; (W−1, 0(Ω))3)(espacio dual de H1 0(0, T; (W1, 0(Ω))3)) espec i amen e, siendo > 2y 0su exponen e conjugado. Adem´as, conside ando la con e gencia del es o de ´e minos en las ecuaciones de momen os, podemos p oba : ∇xPδ→ ∇xPen H−1(0, T; (W−1, 0(Ω))2)-d´ebil k∂ZPδkH−1(0,T ;H−1(Ω)) ≤Cδ. En pa icula , ob enemos con e gencia ue e de ∂ZPδa∂ZP(= 0) en H−1(0, T;H−1(Ω)). Llegados a es e pun o, s´olo nos queda iden i ica las condiciones de con o no e i icadas po la soluci´on a iacional l´ımi e (V, W) ob enida en el Teo ema an e io . Llamando Tal enso de es ue zos: T=  νh∂x1V1−P νh∂x2V1ν ∂ZV1 νh∂x1V2νh∂x2V2−P ν ∂ZV2 0 0 −P , ob enemos que ∇ · T∈H−1(0, T;L1(Ω)3). Po o a pa e, ambi´en se iene que T∈H−1(0, T;L1(Ω)3×3). Es as egula idades nos pe mi en de ini la aza no mal de Ten (W1,∞(∂Ω)3)0, donde W1,∞(∂Ω) = {φ|∂Ω:φ∈W1,∞(Ω)}, do ado de la no ma: kχkW1,∞(∂Ω) = in φ∈W1,∞(Ω) kφkW1,∞(Ω), φ|∂Ω=χ, como DTn; ( ˜ϕ, ˜ ψ)E=ZΩ T·∇( ˜ϕ, ˜ ψ) + ZΩ (∇·T)·( ˜ϕ, ˜ ψ) =ZΩ (νh∇xV·∇x˜ϕ+ν ∂ZV·∂Z˜ϕ) −ZΩ P∇·( ˜ϕ, ˜ ψ) + ZΩ (∇·T)·( ˜ϕ, ˜ ψ), (40) Sob e la egula idad y unicidad del p oblema de Ecuaciones P imi i as... 51 pa a odo ( ˜ϕ, ˜ ψ)∈(W1,∞(Ω))3. Es a desigualdad se sa is ace en D0(0, T). Pa iendo de la de inici´on de aza no mal pa a Ten (W1,∞(∂Ω)3)0, amos a p oba que la aza no mal pa a el enso F=Ãνh∂x1V1νh∂x2V1ν ∂ZV1 νh∂x1V2νh∂x2V2ν ∂ZV2! es ´a de inida en (W1,∞(∂Ω)2)0. Con es e obje i o, pa a cada ˜ϕ∈(W1,∞(Ω))2 conside amos ˜ ψde al o ma que ( ˜ϕ, ˜ ψ)·n= 0 sob e ∂Ω. As´ı, podemos de ini hFn; ˜ϕi(W1,∞(∂Ω)2)0×(W1,∞(∂Ω))2po la exp esi´on: hFn; ˜ϕi=DTn; ( ˜ϕ, ˜ ψ)E.(41) Las exp esiones (40) y (41) nos pe mi i ´an encon a las condiciones de con o no que apa ecen en (34). 4.2 Resul ados de egula idad y unicidad pa a el modelo 2D. Nos cen amos aho a en el modelo ob enido po paso al l´ımi e en la subsecci´on an e io pa a el caso de un dominio 2D, de inido como: Ω = {(x, z)∈R2/ x ∈S, −h(x)< z < 0}, siendo Sun in e alo abie o y h:¯ S→R+una unci´on con inua no nega i a que se anula sob e ∂S. La on e a del dominio es ∂Ω = Γb∪Γsdonde: Γb={(x, z)∈R2:x∈S, z =−h(x)},Γs={(x, 0), x ∈S}. El m´e odo que seguimos sigue siendo ´alido si conside amos pa edes la e ales. Es udiamos en onces la elocidad del luido ( , w) y la p esi´on pque sa is acen el siguien e sis ema: (EP)         ∂ + ∂x +w∂z −νh∂2 x −ν ∂2 z +∂xp= en (0, T)×Ω, ∂zp= 0 en (0, T)×Ω,h i= 0 en (0, T)×S, ν ∂z |Γs=α| ai |( ai − ), ν ∂z |Γb=β(x) en (0, T), | =0 = 0en Ω donde w( , x, z) = Z0 z ∂x ( , x, ξ)dξ yh i( ;x) = Z0 −h(x) ( ;x, z)dz. No a 11 Deno amos po : (0, T )×Ω→Runa ue za ex e na, ai : (0, T)×S→Rla elocidad ho izon al del ai e sob e la supe icie y 0: Ω →R la elocidad ho izon al inicial. Finalmen e, α∈Res una cons an e posi i a y β=β(x)una unci´on posi i a de inida en S(que depende de la ugosidad del ondo). L´ogicamen e, hemos conside ado una iscosidad anis´o opa (νh, ν ).