MATERIALES COMPUESTOS
01
SOBRE LAS PROPUESTAS DE HASHIN DE FALLO DE LA
MATRIZ EN COMPRESION
F. Pa ís, J.C. Ma ín, J. Cañas,
Escuela Supe
i
o de Ingenie os. Uni .
de
Se i
ll
a,
Camino
de
lo
s Descub i nien os. s/n, 41092, Se i
JI
a,
Spain.
e-ma
il:
pa [email protected]
Palab as Cla e: Ma e iales Compues os. C i e ios de Fallo, Fallo de la
mm i:::
en
comp esión. C i e io de Has//Ín.
345
R
esumen:
Di e en es c i e ios han sido p opues os pa a p edeci el jallo de los
mm
e iales
compues os.
Ha
sllin u o el indudable mé i o de in oduci la idea de que los c i e ios de
allo pa a ma e iales compues os debe ían es a asociados a los mecanismos de allo
obse mdos. aunque ello
no
queda a comple amen e ecogido en sus p opues as. En es e
abajo, las dos p opues as de
Ha
sllin sob e allo de la ma! i
;;:
en comp esión son
es udiadas
en
el con ex o de laminados unidi eccionales. El é'! a. is
se
pone
en
dilucida la
azonabilidad de
la
p esencia de una esis encia júe a del plano. la esis encia ans e sal
a co adu a.
en
la p edicción d
el
allo de la lámina bajo
cwgas
con
en
idas en el plano.
como
sucede en la seg
un
da
p opues a de Hashin. Se concluye que
in
cluso econociendo
que
el allo in oluc a
me
canismos ue a del plano.
es
e e ec o puede se pel ec amen e
ecogido
po
a iah/es asociadas al plano. Se mu
es
a inalmen e una incohe encia
adicional de
la
dependencia del c i e io
co
n
la
esis encia a co adu a ans e sa
l.
Abs mc .· D{/ e en c i e io lla e been p oposed o p edic
h
e. ailu e o. jib ous composi e
ma
e ials.
I-/
ashin liad he indubiwble me i
o
in oducing he idea ha
h
e ailu e
c i e io
associa ed o . ib ous composi e
1-na e ials
ough o be associa ed
10
lle obse ed
mechanisms o.
a
ilu
e,
al hough i was no e.xac ly co
1·
e ed by his p oposals
..
In
his pape
h
e wo
I-lashin
p oposals
on ailu e
o he
ma ix
in
comp ession a e
swdied
in
he con ex
o
unidi ec ional composi es. The emphasis is pu
in
elucida ing he easonahili y o. he
appea ance
o
cm
olll o. p/ane alloll'able. he ans e sal shea s eng
ll
.
in
he p edic ion
o jailu e
o
ll
e lwnina
und
e in plane load
s,
as happens in lle second
Ha
sllin p opasa/. l
is
concluded ha e en
ecogni:::ing
ha he jailu e may in ol e
ol/1
o
plane mechanisms.
his e lec can he pe¡ ec ly ejlec ed by
in
plan e a iables. An addi ional incohe ence
o
he
dependence o lle c i e ion
1 i h
ll
e
c
ms e sal shea s eng h is inal/y s w¡ n.
1.-
INT
RODUCCIÓN
Un
g
an
núme o de c i e ios
han
sido his ó icamen e p opues o pa a p edeci
el
a
ll
o de
ma e iales compues os ib osos,
Na
has 1•
La
s p ime as p opu
es
a
s a
ancan
de
la
ap
li
cación
de
los c i e
io
s ap
li
ca
bles a ma e iales
ág
il
es (máxima ensión o
má
x
ima
de o mación), o
de
la
adopción
del
c
i
e io
de
plas i icación pa a ma e iales me álicos anisó opos, Azzi y
346 MATERIALES COMPUESTOS O 1
Tsai2 Hashin y Ro cm3, en
el
con ex o
de
un
es udio a a iga, p opusie on pa a una
lám
ina
un
conjun o
de
c i e ios
de
allo basados en
la
e idencia expe imen al. Hashin 4 p opuso
algunos años más a de un conjun o de c i e ios de allo idimensionales que pa icula izó
a
un
caso bidimensional, apa eciendo algunas di e encias con espec o a la an e io
p opues a. Ambas p opues as son, pa a el caso bidimensional, suma izadas en la sección
2.
Aunque el uso de los c i e ios de ipo en ol en e de ensiones que ienen su base en
las
p opues as con base ene gé ica han sido ampliamen e ecomendada en ex os
de
ma e
ia
les
compues
os
(Tsai-Hill y Tsai-Wu undamen almen e),
no
es menos cie o que ambién se
ha p oducido una
u
e e oposición a su
uso.
Encabezada undamen almen e po
1-:ia -
Smi h5, a gumen ando
la
a
l
a
de conexión
de
es os c
i
e ios con
los
mecanismos eales
de
allo de los ma e iales compues os.
El
c i e io de
Ha
sh
in
de
al
lo de
la
ma iz a comp esión (exp esión (8)), ha ecibido en
pa icul
a
amplio econocimien o y es en la ac ualid
ad
ecomendado en ex os
de
amplia
aplicación (po ejemplo Mii-Hdbk6) o códigos (po ejem
pl
o MSC-DYTRAN
Adiciona
lm
en e,
se
ha ue
l o
ecien emen e sob e la idea o iginal de Hashin
de
que el
ec o ensión asociado a un plano es el esponsable del allo de la ma i z en ese plano,
p oponiendo modi icaciones
so
b e
la
p opues a o iginal (po ejemplo Sun e
al
8 o K oll y
Hu enbach9
).
Una compa ación en e
la
s p edicciones
de
la
s dos p opues
as
de
Hashin pa a
a
ll
o de
la
ma iz en comp esión ya
ue
abo dada en el con
ex o
de
un
es udio más amp
li
o sob e
c i e ios de
a
ll
o de ma e iales compues os en Pa ís 10 así como
en
Pa
í
s e
al
1 1• El obje i o
de es e abajo es, en el con ex o de compues os unidi eccio
nal
es
di
scu
i
la azonabi
li
dad
de
la
apa ic
ión
de la esis encia a co adu a ans e sal,
un
a esis encia asociada a
un
a
ensión ue a
del
plano
de
la lámina, en un c i e io que p edice
el
allo de la lámina an e
ca gas
de
comp es
ión
en el plano de la lámina.
2.- CRITERIOS DE HASHIN
Exis en dos c
i
e ios en la
li
e a u a asociados
al
nomb e de Hashin que se ecogen a
con inuaci
ón.
C i e io de -/ashin-Ro em (1973)
Fa
ll
o
de
la
ib a a acción ( 0
11
,
XT
2
O)
o
11
= X
,.
(1)
Fallo de la ib a a comp esión (
0
11
:S
O,
Xc 2
O)
-
oll
= Xc (2)
Fallo
de
la
ma iz a acción ( o
22
,
Y.
, S 2
O)
MATERIALES COMPUESTOS O 1 347
(3)
Fall
o de
la
ma iz a comp esión ( o
22
:S
O, Y e, S 2
O)
(4)
C i
e io de
-la
shin 2D (1980)
Fallo
de la ib a a acción. ( 0
11
,
XT,
S 2
O)
(5)
F
all
o
de
la
i
b a a comp esión ( o
11
:S
O,
Xc 2
O)
-o
, = Xc (6)
Fallo
de
la
ma iz a acción ( o
22
,
Y,.,
S 2
O)
(7)
Fallo
de la ma iz a co
mp
es
ión
(
c
22
:S
O, Y e, S,
S,.
2
O)
(8)
Donde
la
di ección 1 es á asociada a la di ección
de
e
u
e zo de
la
i
b a. Adicionalmen e a
la
s esis enci
as
habi uales asociadas a l
as
ensiones
en
el plano, en la exp esión (8) apa ece
la
e
sis encia a co adu a ans e sal S que es a ía asociada a la
e
nsión o
23
. El mecanismo
de
o u a asociado a es a ensión no
in
oluc a a
las
ib as po lo que es azonable espe a
qu
e
S,.
sea in e io al alo de S,
la
esis encia a co adu a en el
pl
ano
de
la
lámin
a.
3.- DISCUSION
La
apa ic
ión
de
S
en el c i e io de allo
de
la ma iz en comp esión, puede gene a alguna
con o e sia dado que incluso an e ca gas coplana ias con l
as
ca gas,
la
lámina
puede
su i
un
a
llo
que in o
lu
c a meca
ni
smos ue a del plano. Pa a cla i ica es e pun o se puede
pen
sa
sob e
un
caso pa ic
ul
a pe o muy ep esen a
i
o:
una lámina bajo comp esión pu a
348 MATERIALES
COMPUESTOS
01
Fig.
1.
Fallo de
un
l
am
inado unidi eccion
al
bajo
co
mp csión pu a pe pendi
cu
la a l
as
ib as.
pe pendicula a
la
s ib as,
c
22
<0 y
c
12=
0.
Pod ía a gumen a se que bajo
es ~s
condiciones
el
al
lo de
la
lámina no apa ece
en
el
plano, in oluc ando en onces
un
mecamsmo
u
e a
del
MATERIALES
COMPUESTOS
O 1 349
plano donde ST juga
ía
un
cie o pa
pel
, quedando así
su
p esencia en
la
ex
p esión
del
c i e io jus i icada.
En
o den a cla i ica es a cues
i
ón se h
an
ll
e ado a cabo a ios
en
ayo pa a un
co
mpues o
un
idi eccional bajo ca gas
de
comp esión pu a. Los esul ados (l
os
cspcc
ím
e
ne
s o os) de
cua o ensayos, que se han ealizado de acue do a ASTM D
34
1
O,
son p ese
n
ados
en
la
i
gu a l.
D
os
hech
os
pueden se inmedia ame
n
e obse ad
os
de
la igu a 1:
a)
el
al
lo
es bas an e epe i i o
b)
el
al
lo cla amen e in
o
luc a
un
me
ca
ni
smo de o u a
u
e a
del
plano.
La obse ación de los especímenes o os co
ndu
ci
ía
a
pe
nsa que
ha
y
un
plano de una
o ien ación bas
an
e bien de i
ni
da
do
nde
el
allo
se
p oduce.
E.
e pla
no.
de
ac
ue do a la
igu a
2.
end ía en ·ione. nominales no1males
(c )
y angenciales ( ) de
a
lo :
=
-c
22 s
ma
cosa (9)
Fig
. 2. Es ado en
ion
al en el plano
de
a
l
o
supues o de inido po
un
ángulo
a.
Es e se ía un caso donde la in e acción
cu
ad
á ica, o iginalme
n
e p opu
es
a
po
Hashin, en e las
en
iones asociadas al
plano
de
~1 ll
o
pod ía
se
úcilme
n
e
ap
li
cad
a.
En o
d
en a de e
min
a el
a
lo de
a asocia
do
al c
uál
el
a
ll
o apa ece, la
id
ea
se
ía
en onces m
ax
imiza la exp
es
ión ( 1 0).
La
in
c
lu
s
ión
de las esis enci
as
que apa ecen
en
la
exp esión ( 1
O)
equie e alg
una
ex
plicación
co
mpleme
n
a
i
a.
Con e e enc
ia
al p ime é mino,
un
a
nu
e a esis enc
ia
Y e
*,
asociada al allo o iginado po a.
ha
s
id
o en p incipio incluida. Su con
ex
ión con
Y
e se á más a de
di
sc
u
ida.
Co
n
e
e e
nci
a
al seg
un
do é mi
no,
pa ece ob io que el
a
lo admisible de es el
a
lo de la
e
sis enc
ia
a co adu a ans e sa 1 S 1.
( 1
O)
De i
a
nd
o la exp esión ( 1
O)
en o
d
en a ob ene l
os
a
lo es
ex
emos
de
a,
se
ob
i
en
e:
.
{-4
c
;, , ? a
;,
( , . , ] 0
smacos
- . cos·
a+
--
cos-a
- sm-
a)
=
Y" S'
e (
ll)
35
0 MATERIAL
ES
CO
MP
UEST
OS
01
Exp esión que es sa
i
s echa cua
nd
o:
a = O ( 1
2a)
( 1
2b)
El p ime alo ob iamen e co espo
nd
e
al
plano pe pendic
ul
a a la ca
ga
y el s
eg
undo al
pl
ano cu
ya
01ien
a
ción depende
de
los
a
lo es de S Te Y e*.
Pa a ene una idea del
a
lo de a asociado a es e segundo caso, apliquemos la exp e
sió
n
(
12b)
al
ma e ial sob e el que se han hecho los ensayos,
AS
/350 1, en
el
que Y c=
2S.
D
ado
el
momen o p ese
n
e del desa o
ll
o que
se
es á ea
li
za
ndo omamos Y
c*
=Y e
pa
a ob ene
id
eas cuali a i as.
Pu
es o que el
a
lo de
S
es desconocido, ealizamos
el
cál
cu
lo pa a
di e e
n
es alo es de k (S1=kS), ob e
ni
é
nd
ose los esul ados que apa ecen
en
la abla l.
k 1 0.9 0
.8
0
.7
0.6 0
.5
a 35° 37.64°
39.SO
40.98° 42.16° 43"
Tabla
J.
Valo
es
de a que p oducen alo es
ex
emos del
c i
e
i
o de
a
ll
o.
Es
inmedia ame
n
e des acable el
bu
en acue
d
o en e la e
nd
enc
ia
en los
a
lo es de a
encon ados y la o ien ación de los planos de
a
ll
o que
se
pu
ede obse a en los
especímen
es
o os que apa ecen en la igu a 1.
En cualquie caso, es
ne
cesa
i
o calcula los
a
lo es del c i e io pa a el pa de po i
bl
es
al
o
e
s de
a.
En el caso
o.
ig
ua
l a O el c i e io a ap
li
ca se
í
a la ec
ua
ción ( 13a) y en el caso
de a dis in o de ce o el
c
i
e
io se ía el e lejado en
la
ecuación
(l
3b).
a = O
=>
(c
)=
(
c
"
)~
l1
y·
e
(1
3a)
( 13b)
L
os
alo
es
del coe
i
cie
n
e C pa a di
e
en
c
s
a
lo
es
de
k apa ecen en la abla
2.
k 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5
MATERIALES COMPUESTOS
01
35
!
1.
55 1.86 2.32 3.05 4.26
[
1.33
~____,
_
_¡_______L_____L_______L__-
Tabla
2.
Va
lo es
del
coe ici
en
e
C.
Si
endo el
a
lo de C mayo que la
uni
d
ad
pa a c
ua
lquie ipo de ma e
i
al, e
ll
o signi ica, de
ac
ue do a las exp es
iOne
s ( 13) que el plano o
i
e
n
ado a , unción de
ST
, co
n
ola el a
ll
o del
ma
e ial y
no
el plano a=
O,
lo c
uá
l es á de acue
do
con la
e
id
encia expe imen a
l.
Sin
e
mba
go
es
a
mbi
én cie
o
que pa a
el
caso de
co
mp
es
ión pu a (
c
12
=0), el allo
apa ece cuando
c n
alcanza el
a
lo Y e-De h
ec
ho, Y e es de inida de es a mane a:
el
alo
de
c
22
pa
a el cuál el ma e ial alla.
Ll
egados a
es
e
pun o
ha
y dos c i e
i
os que p
od
ían
p edeci ap opiadamen e el
a
ll
o del
caso
bajo conside ación.
c
12=0.
El
p ime o,
no
asociado al meca
ni
smo de
a
ll
o, p edeci ía
el allo cuando:
(14a)
El segundo, asociado
al
mecanis
mo
de allo que ocu e en el
pl
ano
in
clinado
un
ánoulo a ,
p edeci ía el
a
ll
o cuando: "'
(
14b)
es ando el
a
lo de a de i
ni
do po la ecuación (12b).
Todo es
o
conduce a
co
nc
lui
que el alo de la
e
sis encia asociado a
c
22
que apa ece en
la
exp esión (
14a)
, comúnme
n
e usado en di
se
ño,
no
es
el
a
lo
ea
l ad
ni
ible del ma e
ial
en
comp es
ión
pe
p
endic
ul
a a la ib a si: a) se acep
a
que la in e acción cuad á ica en e
la
s
compone
n
es d
el
ec o ensión p oduce el a
llo
, y b) si se
de
sea que la
ec
uación del
c i e io que p edice el
a
ll
o es é as
oc
iada al
e
d
ade o mecanismo de
a
ll
o.
H
ay
que ema ca que de acue do a la e minolog
ía
gene ada, el s
ím
bolo Y e*
in
cluido en la
exp e
s
ió
n 14b ep ese
n
a ía el
e
dade o alo de
la
esis encia
de
l ma e ial aso
ci
ado a la
comp esión pa alela a las
i
b as.
El
símbolo Y e que apa ece en la exp esión ( 14a)
ep e
se
n
a e
n
onces
un
a
lo nominaUapa en e de
la
esis encia asociada a
c
22.
En
onces, acep ando la in e acción cu
ad
á
ic
a en e las co
mp
onen es del ec o ensión pa a
p
edec
i
el
a
ll
o, ambas
ex
p esiones (
14a
y b) pod ían
se
usadas pa a p edeci el allo si el
ap
opiado
a
lo de las
es
is encias al y como
apa
ecen en
la
s
ex
p esiones ( 14) son usadas.
La
ex
p esión ( 14a) ha s
ido
ípi
camen e u
sa
da
con
un
a
lo de Y c. que de hecho, e
ni
e
nd
o
en
men e el meca
ni
smo de
a
ll
o eal, es una unción de S T·
Es
o signi ica que si en
un
cie o
ma en al compues
o
y debi
do
a cualquie
a
zón
ba
sa
da en su ab icación o en el ca
mbi
o de
352 MATERlALES COMPUESTOS
01
sus componen es o
in
e ase, el al
o
de ST es mejo ado, ello implica en pa alelo que
el
alo de Y e esul a amb
ié
n mejo ado.
Lo
que se de e
m
ina en
un
ensayo no mal
de
comp esión es
lo
que aquí
ha
sido
denominado Y e- La de e minación del e dade o alo de la esis encia asociada a
una
ensión no mal de comp esión, Y e*, pod ía se ealizada po medio de las ecuaciones
{14),
acep ando una ez más
la
in e acción cuad á ica de
la
s componen es del ec o ensión pa a
p edeci
el
allo.
Ll
egando a es e pun
o
es cla amen e incohe en e
in
clui en un c i e io el al
o
de Y e, el
cuál, como se ha mos ado, es una esis encia nominal ( unción de S
T)
, y
la
apa ición
explici
a
de
ST,
in ocando que el allo puede in oluc a a un mecanismo ue a del plano.
Es e hecho ha quedado p obado que
se
inco po a a la p edicción po medio del uso de
una
esis encia nominal Y
e-
Hay que menciona que odo es o
no
es pa icula de los ma e iales compues os.
En
me ales, el allo bajo acción o comp esión s
im
ple es á ambién asociado a mecanis
mo
s
u
e a
de
l plano,
no
implicando es e hecho la apa ición expl
íci
a de una esis encia asociada
al
plano de
a
ll
o.
Hay inalmen e una úl ima cues ión que añade
má
s dudas sob e
la
p opues a de Hashin de
a
ll
o de
la
ma iz a comp esión y en pa icula de la apa ición explici a de S T· En
un
c i e io
de allo del ipo:
(a,
,,
s
;;'
) = 1
donde
S;
/'
1 ep esen a la esis encia asociada a a;j,
la
u
nción sa
i
s ace que:
o
- < 0
o
s
~
'
'J
(15)
( 1 6)
E
ll
o indica que cuando se inc emen a el alo
de
la esis encia, el alo
de
di
sm
inuye y
el
es ado ensional bajo conside ación es á más le
jo
s del allo. En elación a la ecuación (8), la
condición an e io es cla amen e sa
i
s echa po
S.
Con e e encia a Y
e:
C
ii
SO
a , '
--=
____d.
+a , y:- < O
ay 2S
--
e
e T
donde 180 ep esen a
la
pa e izquie da de la ecuación (8) y donde a
22
<0 y
ST
>
O.
Sin emba go, con elación a S :
a , (a
21
_
+YJ>O
2S
~
(
17)
(
18
)
MATER ALES COMPUESTOS
01
353
El
esul ado de la ecuación ( 18) p ueba que inc emen ando la esis encia a co adu a
ans e sal (un hecho que de acue do con
la
e idencia expe imen al, igu a
1,
debe ía
e asa el allo), conduce a p edeci que el ma e ial es á más ce ca del allo.
4.- CONCLUSIONES
Sob
e
la
p esencia explíci a de
la
esis encia a co adu
a
ans e sal en
el
c i e io de Hashin
de
allo de la ma iz en comp esión, pod ía habe se a gumen ado que ello es azonable
debi
do
al
hecho de que en p esencia
de
ca gas coplana ias
el
~ llo
pu
ede in oluc a
meca
nismos ue a del plano (ello e ec i amen e ha sido mos ado sob e
el
pa icula e
ilus a i o caso de comp esión simple).
En
el
azonamien o seguido en el p esen e es udio ha sido mos ado cómo es e mecanismo
de
allo ue a del plano puede se pe ec amen e omado en conside ación po medio de
esi
s encias coplana ias. las cuales de hecho son unciones de las esis encias asociadas a
en
siones ue a del plano. Es o pa a el caso bajo conside ación indica ía que un inc emen o
en
la
e
sis encia a co adu a ans e sal de ma e iales compues os ib osos debe ía implica ,
debido
al
mecanismo de
a
ll
o ue a del plano, un inc emen o en la esis encia apa en e a
comp esión.
La
p esencia
el
e
un
mecanismo de allo ue a
del
plano
no
equie e pues la
p e
sencia de esis encia asociada a una ensión ue a
del
plano.
Finalmen e, ha sido, en cualquie caso, demos ado que hay una cla a incohe encia
en
la
exp esión de
la
p opues a de Hashin que incluye la esis encia a co adu a ans e sal pa a
p
edeci
el
a
ll
o de la ma iz a comp esión.
In
c emen a
el
alo de la esis encia
an
s e sa
l,
un
hecho que de acue do a la e idencia expe imen al aponada po
lo
s ensayos
mo
s ados en es e es udio debe ía p oduci
un
e aso en
la
apa ición del allo. conduce a
p edeci una más p on a apa ición del mismo.
5.-
AGRA
DECIMiENTOS
El
p ime au o ag adece la
in
i ación de
K.
Jackson y
S.
Kellas pa a una es ancia
en
NASA-LARC du an e la cuál se gene a on las ideas p esen adas en es e es udio.
Lo
s es au o es ag adecen a Ca los Dá ila (NASA -LARC) s
us
comen a ios sob e los
e
sul ados ob en idos.
6.- REFERENCIAS
l.
Nahas,
M.
N., (1994),
"S
u ey
o
ailu e and pos - ailu e heo ies
o
lamina ed ibe -
e
in o ced composi es
",
J.
o Comp.
Tech. and Res., 8, 138-153.
2.
Azzi,
V.
D.
and Tsai,
S.
W.
, ( 1965). "Aniso opic S eng h
o
Compos
i
es",
Expe imen
al
Mechanics,
S,
283-288.
3.
Hashin,
z.
and Ro cm,
A.
, (
19
73), "A a igue ailu e c i c ion o íbe ein o ced
ma
e
ials",
J.
o
Composi e Ma e ials, 7 448-464.

354 MATERIALES COMPUESTOS
01
4. Hashin,
Z.
, (
19
80), "Failu c c i e ion o unidi ec ional ib
e
co
mp
osi es", J.
o
Applied
Mcchanics, 47, 329-334.
5.
Ha -Smi h,
L.
J., ( 1992), "The
o
le
o
biaxial s csse
in
di
c imina ing be ween
meaning
ul
and illuso y co
mp
os
i e
ai
lu e heo ies", Nin h
000
/NASA/FAA, 3,
1507-
1528.
6.
MIL-HDBK-17-2E, ( 1998), Polyme Ma ix Comp. Ma .
P
op., Dep.
o
De . Handbook.
7.
MS
C-DYTRAN 4.0.
8. Sun, C.
T.
, Q
ui
nn, B. J., Tao, J. and Oplinge ,
D.
W., (
199
6),
"Co
mp
a a i
e
e a
lu
a ion
o
ailu e analys
is
mc
hods o composi e l
am
ina c
s,
Re p. DOT/F AA/ AR -95/
10
9.
9.
KJ'OIJ
,
L.
a
nd
Hu e
nb
ach,
W.
, ( 1997), "
Ph
ysically based ailu e c i e ion
o
dimensioning
o
hick-wa
ll
ed lamina es", App. Comp. Ma ., 4, 32
1-
332.
1
O.
Pa ís, F
.,
(2
00
1 ), "On ailu e c i e ia
o
íb ous composi c ma e ials", NASA Repo
:
NASA/CR-200 1
-2
106
61.
JI
. Pa ís,
F.
, Cañas, J. Y Ma ín, J. C., ( 1999), Conside aciones sob e el c i e io de Has
hin
,
Ma e
i
ales Compues os 99, ed. Co z y Pin ado, pp 429-437.