Sobre las propuestas de Hashin de fallo de la matriz en compresión

MATERIALES COMPUESTOS 01 SOBRE LAS PROPUESTAS DE HASHIN DE FALLO DE LA MATRIZ EN COMPRESION F. Pa ís, J.C. Ma ín, J. Cañas, Escuela Supe i o de Ingenie os. Uni . de Se i ll a, Camino de lo s Descub i nien os. s/n, 41092, Se i JI a, Spain. e-ma il: pa [email protected] Palab as Cla e: Ma e iales Compues os. C i e ios de Fallo, Fallo de la mm i::: en comp esión. C i e io de Has//Ín. 345 R esumen: Di e en es c i e ios han sido p opues os pa a p edeci el jallo de los mm e iales compues os. Ha sllin u o el indudable mé i o de in oduci la idea de que los c i e ios de allo pa a ma e iales compues os debe ían es a asociados a los mecanismos de allo obse mdos. aunque ello no queda a comple amen e ecogido en sus p opues as. En es e abajo, las dos p opues as de Ha sllin sob e allo de la ma! i ;;: en comp esión son es udiadas en el con ex o de laminados unidi eccionales. El é'! a. is se pone en dilucida la azonabilidad de la p esencia de una esis encia júe a del plano. la esis encia ans e sal a co adu a. en la p edicción d el allo de la lámina bajo cwgas con en idas en el plano. como sucede en la seg un da p opues a de Hashin. Se concluye que in cluso econociendo que el allo in oluc a me canismos ue a del plano. es e e ec o puede se pel ec amen e ecogido po a iah/es asociadas al plano. Se mu es a inalmen e una incohe encia adicional de la dependencia del c i e io co n la esis encia a co adu a ans e sa l. Abs mc .· D{/ e en c i e io lla e been p oposed o p edic h e. ailu e o. jib ous composi e ma e ials. I-/ ashin liad he indubiwble me i o in oducing he idea ha h e ailu e c i e io associa ed o . ib ous composi e 1-na e ials ough o be associa ed 10 lle obse ed mechanisms o. a ilu e, al hough i was no e.xac ly co 1· e ed by his p oposals .. In his pape h e wo I-lashin p oposals on ailu e o he ma ix in comp ession a e swdied in he con ex o unidi ec ional composi es. The emphasis is pu in elucida ing he easonahili y o. he appea ance o cm olll o. p/ane alloll'able. he ans e sal shea s eng ll . in he p edic ion o jailu e o ll e lwnina und e in plane load s, as happens in lle second Ha sllin p opasa/. l is concluded ha e en ecogni:::ing ha he jailu e may in ol e ol/1 o plane mechanisms. his e lec can he pe¡ ec ly ejlec ed by in plan e a iables. An addi ional incohe ence o he dependence o lle c i e ion 1 i h ll e c ms e sal shea s eng h is inal/y s w¡ n. 1.- INT RODUCCIÓN Un g an núme o de c i e ios han sido his ó icamen e p opues o pa a p edeci el a ll o de ma e iales compues os ib osos, Na has 1• La s p ime as p opu es a s a ancan de la ap li cación de los c i e io s ap li ca bles a ma e iales ág il es (máxima ensión o má x ima de o mación), o de la adopción del c i e io de plas i icación pa a ma e iales me álicos anisó opos, Azzi y 346 MATERIALES COMPUESTOS O 1 Tsai2 Hashin y Ro cm3, en el con ex o de un es udio a a iga, p opusie on pa a una lám ina un conjun o de c i e ios de allo basados en la e idencia expe imen al. Hashin 4 p opuso algunos años más a de un conjun o de c i e ios de allo idimensionales que pa icula izó a un caso bidimensional, apa eciendo algunas di e encias con espec o a la an e io p opues a. Ambas p opues as son, pa a el caso bidimensional, suma izadas en la sección 2. Aunque el uso de los c i e ios de ipo en ol en e de ensiones que ienen su base en las p opues as con base ene gé ica han sido ampliamen e ecomendada en ex os de ma e ia les compues os (Tsai-Hill y Tsai-Wu undamen almen e), no es menos cie o que ambién se ha p oducido una u e e oposición a su uso. Encabezada undamen almen e po 1-:ia - Smi h5, a gumen ando la a l a de conexión de es os c i e ios con los mecanismos eales de allo de los ma e iales compues os. El c i e io de Ha sh in de al lo de la ma iz a comp esión (exp esión (8)), ha ecibido en pa icul a amplio econocimien o y es en la ac ualid ad ecomendado en ex os de amplia aplicación (po ejemplo Mii-Hdbk6) o códigos (po ejem pl o MSC-DYTRAN Adiciona lm en e, se ha ue l o ecien emen e sob e la idea o iginal de Hashin de que el ec o ensión asociado a un plano es el esponsable del allo de la ma i z en ese plano, p oponiendo modi icaciones so b e la p opues a o iginal (po ejemplo Sun e al 8 o K oll y Hu enbach9 ). Una compa ación en e la s p edicciones de la s dos p opues as de Hashin pa a a ll o de la ma iz en comp esión ya ue abo dada en el con ex o de un es udio más amp li o sob e c i e ios de a ll o de ma e iales compues os en Pa ís 10 así como en Pa í s e al 1 1• El obje i o de es e abajo es, en el con ex o de compues os unidi eccio nal es di scu i la azonabi li dad de la apa ic ión de la esis encia a co adu a ans e sal, un a esis encia asociada a un a ensión ue a del plano de la lámina, en un c i e io que p edice el allo de la lámina an e ca gas de comp es ión en el plano de la lámina. 2.- CRITERIOS DE HASHIN Exis en dos c i e ios en la li e a u a asociados al nomb e de Hashin que se ecogen a con inuaci ón. C i e io de -/ashin-Ro em (1973) Fa ll o de la ib a a acción ( 0 11 , XT 2 O) o 11 = X ,. (1) Fallo de la ib a a comp esión ( 0 11 :S O, Xc 2 O) - oll = Xc (2) Fallo de la ma iz a acción ( o 22 , Y. , S 2 O) MATERIALES COMPUESTOS O 1 347 (3) Fall o de la ma iz a comp esión ( o 22 :S O, Y e, S 2 O) (4) C i e io de -la shin 2D (1980) Fallo de la ib a a acción. ( 0 11 , XT, S 2 O) (5) F all o de la i b a a comp esión ( o 11 :S O, Xc 2 O) -o , = Xc (6) Fallo de la ma iz a acción ( o 22 , Y,., S 2 O) (7) Fallo de la ma iz a co mp es ión ( c 22 :S O, Y e, S, S,. 2 O) (8) Donde la di ección 1 es á asociada a la di ección de e u e zo de la i b a. Adicionalmen e a la s esis enci as habi uales asociadas a l as ensiones en el plano, en la exp esión (8) apa ece la e sis encia a co adu a ans e sal S que es a ía asociada a la e nsión o 23 . El mecanismo de o u a asociado a es a ensión no in oluc a a las ib as po lo que es azonable espe a qu e S,. sea in e io al alo de S, la esis encia a co adu a en el pl ano de la lámin a. 3.- DISCUSION La apa ic ión de S en el c i e io de allo de la ma iz en comp esión, puede gene a alguna con o e sia dado que incluso an e ca gas coplana ias con l as ca gas, la lámina puede su i un a llo que in o lu c a meca ni smos ue a del plano. Pa a cla i ica es e pun o se puede pen sa sob e un caso pa ic ul a pe o muy ep esen a i o: una lámina bajo comp esión pu a 348 MATERIALES COMPUESTOS 01 Fig. 1. Fallo de un l am inado unidi eccion al bajo co mp csión pu a pe pendi cu la a l as ib as. pe pendicula a la s ib as, c 22 <0 y c 12= 0. Pod ía a gumen a se que bajo es ~s condiciones el al lo de la lámina no apa ece en el plano, in oluc ando en onces un mecamsmo u e a del MATERIALES COMPUESTOS O 1 349 plano donde ST juga ía un cie o pa pel , quedando así su p esencia en la ex p esión del c i e io jus i icada. En o den a cla i ica es a cues i ón se h an ll e ado a cabo a ios en ayo pa a un co mpues o un idi eccional bajo ca gas de comp esión pu a. Los esul ados (l os cspcc ím e ne s o os) de cua o ensayos, que se han ealizado de acue do a ASTM D 34 1 O, son p ese n ados en la i gu a l. D os hech os pueden se inmedia ame n e obse ad os de la igu a 1: a) el al lo es bas an e epe i i o b) el al lo cla amen e in o luc a un me ca ni smo de o u a u e a del plano. La obse ación de los especímenes o os co ndu ci ía a pe nsa que ha y un plano de una o ien ación bas an e bien de i ni da do nde el allo se p oduce. E. e pla no. de ac ue do a la igu a 2. end ía en ·ione. nominales no1males (c ) y angenciales ( ) de a lo : = -c 22 s ma cosa (9) Fig . 2. Es ado en ion al en el plano de a l o supues o de inido po un ángulo a. Es e se ía un caso donde la in e acción cu ad á ica, o iginalme n e p opu es a po Hashin, en e las en iones asociadas al plano de ~1 ll o pod ía se úcilme n e ap li cad a. En o d en a de e min a el a lo de a asocia do al c uál el a ll o apa ece, la id ea se ía en onces m ax imiza la exp es ión ( 1 0). La in c lu s ión de las esis enci as que apa ecen en la exp esión ( 1 O) equie e alg una ex plicación co mpleme n a i a. Con e e enc ia al p ime é mino, un a nu e a esis enc ia Y e *, asociada al allo o iginado po a. ha s id o en p incipio incluida. Su con ex ión con Y e se á más a de di sc u ida. Co n e e e nci a al seg un do é mi no, pa ece ob io que el a lo admisible de es el a lo de la e sis enc ia a co adu a ans e sa 1 S 1. ( 1 O) De i a nd o la exp esión ( 1 O) en o d en a ob ene l os a lo es ex emos de a, se ob i en e: . {-4 c ;, , ? a ;, ( , . , ] 0 smacos - . cos· a+ -- cos-a - sm- a) = Y" S' e ( ll) 35 0 MATERIAL ES CO MP UEST OS 01 Exp esión que es sa i s echa cua nd o: a = O ( 1 2a) ( 1 2b) El p ime alo ob iamen e co espo nd e al plano pe pendic ul a a la ca ga y el s eg undo al pl ano cu ya 01ien a ción depende de los a lo es de S Te Y e*. Pa a ene una idea del a lo de a asociado a es e segundo caso, apliquemos la exp e sió n ( 12b) al ma e ial sob e el que se han hecho los ensayos, AS /350 1, en el que Y c= 2S. D ado el momen o p ese n e del desa o ll o que se es á ea li za ndo omamos Y c* =Y e pa a ob ene id eas cuali a i as. Pu es o que el a lo de S es desconocido, ealizamos el cál cu lo pa a di e e n es alo es de k (S1=kS), ob e ni é nd ose los esul ados que apa ecen en la abla l. k 1 0.9 0 .8 0 .7 0.6 0 .5 a 35° 37.64° 39.SO 40.98° 42.16° 43" Tabla J. Valo es de a que p oducen alo es ex emos del c i e i o de a ll o. Es inmedia ame n e des acable el bu en acue d o en e la e nd enc ia en los a lo es de a encon ados y la o ien ación de los planos de a ll o que se pu ede obse a en los especímen es o os que apa ecen en la igu a 1. En cualquie caso, es ne cesa i o calcula los a lo es del c i e io pa a el pa de po i bl es al o e s de a. En el caso o. ig ua l a O el c i e io a ap li ca se í a la ec ua ción ( 13a) y en el caso de a dis in o de ce o el c i e io se ía el e lejado en la ecuación (l 3b). a = O => (c )= ( c " )~ l1 y· e (1 3a) ( 13b) L os alo es del coe i cie n e C pa a di e en c s a lo es de k apa ecen en la abla 2. k 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 MATERIALES COMPUESTOS 01 35 ! 1. 55 1.86 2.32 3.05 4.26 [ 1.33 ~____, _ _¡_______L_____L_______L__- Tabla 2. Va lo es del coe ici en e C. Si endo el a lo de C mayo que la uni d ad pa a c ua lquie ipo de ma e i al, e ll o signi ica, de ac ue do a las exp es iOne s ( 13) que el plano o i e n ado a , unción de ST , co n ola el a ll o del ma e ial y no el plano a= O, lo c uá l es á de acue do con la e id encia expe imen a l. Sin e mba go es a mbi én cie o que pa a el caso de co mp es ión pu a ( c 12 =0), el allo apa ece cuando c n alcanza el a lo Y e-De h ec ho, Y e es de inida de es a mane a: el alo de c 22 pa a el cuál el ma e ial alla. Ll egados a es e pun o ha y dos c i e i os que p od ían p edeci ap opiadamen e el a ll o del caso bajo conside ación. c 12=0. El p ime o, no asociado al meca ni smo de a ll o, p edeci ía el allo cuando: (14a) El segundo, asociado al mecanis mo de allo que ocu e en el pl ano in clinado un ánoulo a , p edeci ía el a ll o cuando: "' ( 14b) es ando el a lo de a de i ni do po la ecuación (12b). Todo es o conduce a co nc lui que el alo de la e sis encia asociado a c 22 que apa ece en la exp esión ( 14a) , comúnme n e usado en di se ño, no es el a lo ea l ad ni ible del ma e ial en comp es ión pe p endic ul a a la ib a si: a) se acep a que la in e acción cuad á ica en e la s compone n es d el ec o ensión p oduce el a llo , y b) si se de sea que la ec uación del c i e io que p edice el a ll o es é as oc iada al e d ade o mecanismo de a ll o. H ay que ema ca que de acue do a la e minolog ía gene ada, el s ím bolo Y e* in cluido en la exp e s ió n 14b ep ese n a ía el e dade o alo de la esis encia de l ma e ial aso ci ado a la comp esión pa alela a las i b as. El símbolo Y e que apa ece en la exp esión ( 14a) ep e se n a e n onces un a lo nominaUapa en e de la esis encia asociada a c 22. En onces, acep ando la in e acción cu ad á ic a en e las co mp onen es del ec o ensión pa a p edec i el a ll o, ambas ex p esiones ( 14a y b) pod ían se usadas pa a p edeci el allo si el ap opiado a lo de las es is encias al y como apa ecen en la s ex p esiones ( 14) son usadas. La ex p esión ( 14a) ha s ido ípi camen e u sa da con un a lo de Y c. que de hecho, e ni e nd o en men e el meca ni smo de a ll o eal, es una unción de S T· Es o signi ica que si en un cie o ma en al compues o y debi do a cualquie a zón ba sa da en su ab icación o en el ca mbi o de 352 MATERlALES COMPUESTOS 01 sus componen es o in e ase, el al o de ST es mejo ado, ello implica en pa alelo que el alo de Y e esul a amb ié n mejo ado. Lo que se de e m ina en un ensayo no mal de comp esión es lo que aquí ha sido denominado Y e- La de e minación del e dade o alo de la esis encia asociada a una ensión no mal de comp esión, Y e*, pod ía se ealizada po medio de las ecuaciones {14), acep ando una ez más la in e acción cuad á ica de la s componen es del ec o ensión pa a p edeci el allo. Ll egando a es e pun o es cla amen e incohe en e in clui en un c i e io el al o de Y e, el cuál, como se ha mos ado, es una esis encia nominal ( unción de S T) , y la apa ición explici a de ST, in ocando que el allo puede in oluc a a un mecanismo ue a del plano. Es e hecho ha quedado p obado que se inco po a a la p edicción po medio del uso de una esis encia nominal Y e- Hay que menciona que odo es o no es pa icula de los ma e iales compues os. En me ales, el allo bajo acción o comp esión s im ple es á ambién asociado a mecanis mo s u e a de l plano, no implicando es e hecho la apa ición expl íci a de una esis encia asociada al plano de a ll o. Hay inalmen e una úl ima cues ión que añade má s dudas sob e la p opues a de Hashin de a ll o de la ma iz a comp esión y en pa icula de la apa ición explici a de S T· En un c i e io de allo del ipo: (a, ,, s ;;' ) = 1 donde S; /' 1 ep esen a la esis encia asociada a a;j, la u nción sa i s ace que: o - < 0 o s ~ ' 'J (15) ( 1 6) E ll o indica que cuando se inc emen a el alo de la esis encia, el alo de di sm inuye y el es ado ensional bajo conside ación es á más le jo s del allo. En elación a la ecuación (8), la condición an e io es cla amen e sa i s echa po S. Con e e encia a Y e: C ii SO a , ' --= ____d. +a , y:- < O ay 2S -- e e T donde 180 ep esen a la pa e izquie da de la ecuación (8) y donde a 22 <0 y ST > O. Sin emba go, con elación a S : a , (a 21 _ +YJ>O 2S ~ ( 17) ( 18 ) MATER ALES COMPUESTOS 01 353 El esul ado de la ecuación ( 18) p ueba que inc emen ando la esis encia a co adu a ans e sal (un hecho que de acue do con la e idencia expe imen al, igu a 1, debe ía e asa el allo), conduce a p edeci que el ma e ial es á más ce ca del allo. 4.- CONCLUSIONES Sob e la p esencia explíci a de la esis encia a co adu a ans e sal en el c i e io de Hashin de allo de la ma iz en comp esión, pod ía habe se a gumen ado que ello es azonable debi do al hecho de que en p esencia de ca gas coplana ias el ~ llo pu ede in oluc a meca nismos ue a del plano (ello e ec i amen e ha sido mos ado sob e el pa icula e ilus a i o caso de comp esión simple). En el azonamien o seguido en el p esen e es udio ha sido mos ado cómo es e mecanismo de allo ue a del plano puede se pe ec amen e omado en conside ación po medio de esi s encias coplana ias. las cuales de hecho son unciones de las esis encias asociadas a en siones ue a del plano. Es o pa a el caso bajo conside ación indica ía que un inc emen o en la e sis encia a co adu a ans e sal de ma e iales compues os ib osos debe ía implica , debido al mecanismo de a ll o ue a del plano, un inc emen o en la esis encia apa en e a comp esión. La p esencia el e un mecanismo de allo ue a del plano no equie e pues la p e sencia de esis encia asociada a una ensión ue a del plano. Finalmen e, ha sido, en cualquie caso, demos ado que hay una cla a incohe encia en la exp esión de la p opues a de Hashin que incluye la esis encia a co adu a ans e sal pa a p edeci el a ll o de la ma iz a comp esión. In c emen a el alo de la esis encia an s e sa l, un hecho que de acue do a la e idencia expe imen al aponada po lo s ensayos mo s ados en es e es udio debe ía p oduci un e aso en la apa ición del allo. conduce a p edeci una más p on a apa ición del mismo. 5.- AGRA DECIMiENTOS El p ime au o ag adece la in i ación de K. Jackson y S. Kellas pa a una es ancia en NASA-LARC du an e la cuál se gene a on las ideas p esen adas en es e es udio. Lo s es au o es ag adecen a Ca los Dá ila (NASA -LARC) s us comen a ios sob e los e sul ados ob en idos. 6.- REFERENCIAS l. Nahas, M. N., (1994), "S u ey o ailu e and pos - ailu e heo ies o lamina ed ibe - e in o ced composi es ", J. o Comp. Tech. and Res., 8, 138-153. 2. Azzi, V. D. and Tsai, S. W. , ( 1965). "Aniso opic S eng h o Compos i es", Expe imen al Mechanics, S, 283-288. 3. Hashin, z. and Ro cm, A. , ( 19 73), "A a igue ailu e c i c ion o íbe ein o ced ma e ials", J. o Composi e Ma e ials, 7 448-464. 354 MATERIALES COMPUESTOS 01 4. Hashin, Z. , ( 19 80), "Failu c c i e ion o unidi ec ional ib e co mp osi es", J. o Applied Mcchanics, 47, 329-334. 5. Ha -Smi h, L. J., ( 1992), "The o le o biaxial s csse in di c imina ing be ween meaning ul and illuso y co mp os i e ai lu e heo ies", Nin h 000 /NASA/FAA, 3, 1507- 1528. 6. MIL-HDBK-17-2E, ( 1998), Polyme Ma ix Comp. Ma . P op., Dep. o De . Handbook. 7. MS C-DYTRAN 4.0. 8. Sun, C. T. , Q ui nn, B. J., Tao, J. and Oplinge , D. W., ( 199 6), "Co mp a a i e e a lu a ion o ailu e analys is mc hods o composi e l am ina c s, Re p. DOT/F AA/ AR -95/ 10 9. 9. KJ'OIJ , L. a nd Hu e nb ach, W. , ( 1997), " Ph ysically based ailu e c i e ion o dimensioning o hick-wa ll ed lamina es", App. Comp. Ma ., 4, 32 1- 332. 1 O. Pa ís, F ., (2 00 1 ), "On ailu e c i e ia o íb ous composi c ma e ials", NASA Repo : NASA/CR-200 1 -2 106 61. JI . Pa ís, F. , Cañas, J. Y Ma ín, J. C., ( 1999), Conside aciones sob e el c i e io de Has hin , Ma e i ales Compues os 99, ed. 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