Bol. Soc. Esp. Ma . Apl. no26(2003), 141–145
La labo docen e del p o eso de ma em´a icas
A. A anda
Depa amen o de ´
Algeb a. Uni e sidad de Se illa
[email p o ec ed]
En e las misiones que la sociedad encomienda a la Uni e sidad ocupa un
luga des acado, jun o con la in es igaci´on, la o maci´on de los es udian es,
la p epa aci´on de los j´o enes que asumi ´an en un u u o inmedia o complejas
esponsabilidades p o esionales. Es indudable que una o maci´on de calidad
necesi a un plan eamien o global de la educaci´on, desde las p ime as e apas
has a la Uni e sidad. Po lo que espec a a los p ime os cu sos de la Licencia u a
en Ma em´a icas, enemos que p es a a enci´on a la e apa que a desde el
Bachille a o a los es udios uni e si a ios y, muy especialmen e, a la ansici´on
en e ambos ni eles.
En el p oceso de ense˜nanza-ap endizaje in e ienen una se ie de ac o es que
amos a a a de i exponiendo a lo la go de es as no as. A modo de esumen
pod ´ıamos ci a : las en ajas e incon enien es del modelo axiom´a ico-deduc i o
en la ense˜nanza, la in uici´on y el igo , el papel de la His o ia en el p oceso
educa i o, obje i os, me odolog´ıa, mo i aci´on, e aluaci´on, e c. En de ini i a, se
a a de analiza qu´e se ense˜na, pa a qu´e se ense˜na y c´omo se ense˜na.
El m´e odo axiom´a ico-deduc i o
Como sabemos, el modelo axiom´a ico-deduc i o consis e en cons ui una eo ´ıa
es ableciendo un sis ema de pos ulados o axiomas y deduciendo o demos ando
a pa i de ellos las p opiedades o eo emas que cons i uyen la p opia eo ´ıa. Las
ma em´a icas se han enido exponiendo bajo es e modelo desde la an ig¨uedad
g iega, siendo los Elemen os de Euclides el ejemplo pa adigm´a ico, aunque su
uso en la ense˜nanza ha sido m´as ecien e. De hecho, la culminaci´on del p oceso
se p oduce a mediados del siglo XX con Bou baki.
En e las en ajas de la u ilizaci´on de es e modelo en la ense˜nanza pod ´ıamos
des aca las siguien es:
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1. Al p esen a la eo ´ıa como un edi icio pe ec amen e cons uido se
consigue una mejo isi´on es uc u al de la misma.
2. Con la p esen aci´on es uc u ada de la eo ´ıa se consigue una no able
simpli icaci´on y econom´ıa de no aciones y s´ımbolos.
3. Op imizaci´on de la elaci´on ¸con enidos expues os- iempo empleado”,
hecho que se hace casi imp escindible en la explicaci´on de algunos
p og amas.
4. Posibilidad de ansmi i la eo ´ıa a un mayo n´ume o de alumnos,
incidiendo as´ı en la p oblem´a ica de la elaci´on num´e ica p o eso -alumno.
En e los incon enien es cabe se˜nala :
1. La di e encia en e la o ma en que se gene a una eo ´ıa, a pa i de un
p oblema conc e o al que hay que da soluci´on, y la o ma de p esen a la,
desapa eciendo incluso, a eces, el p oblema que la gene ´o, lo que puede
p o oca al a de mo i aci´on en el alumno.
2. La ´ıpica secuencia axioma-de inici´on-lema- eo ema-co ola io puede c ea
di icul ad pa a dis ingui los aspec os esenciales de los acceso ios; po
ejemplo, pone excesi o ´en asis en las demos aciones puede hace c ee
que la demos aci´on es m´as impo an e que el p opio eo ema.
3. E ec os nega i os sob e la c ea i idad del alumno que, al e la eo ´ıa
comple amen e elabo ada, puede minus alo a el papel de la in uici´on en
el quehace ma em´a ico.
Po supues o, odas es as en ajas e incon enien es son absolu amen e
discu ibles y s´olo la e lexi´on y la p ´ac ica, unidas a las ci cuns ancias de cada
si uaci´on, nos pe mi i ´an elegi el camino adecuado.
El igo y la in uici´on
Es bien sabido que el igo es una he amien a necesa ia pa a el ma em´a ico,
pe o es impo an e no sob e alo a su impo ancia y sabe en qu´e momen o
debe hace se p esen e. Los p ocesos ma em´a icos, como los p ocesos cien ´ı icos
en gene al, a a iesan dos e apas: en p ime luga hay una ase ”in ui i a”en
la que se busca, se imagina, se conje u a sob e cu´al puede se la soluci´on del
p oblema. En es a e apa se puede ac ua sin igo , es m´as, a eces el igo puede
se con ap oducen e. En segundo luga es ´a la ase ”demos a i a”en la que, po
m´e odos igu osos, hay que p oba que la soluci´on encon ada es e dade amen e
la soluci´on del p oblema. Aqu´ı es donde el igo se hace imp escindible.
As´ı pues, el igo hace su apa ici´on al inal del camino y es a ci cuns ancia
debemos ene la en cuen a en el p oceso de ense˜nanza-ap endizaje pa a no
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ca ga al alumno con un excesi o igo desde el p incipio, sino que, po
el con a io, debemos omen a su c ea i idad, desa ollando la in uici´on y
haci´endole pe de el miedo a hace p opues as que despu´es puedan esul a
alsas.
La His o ia de las Ma em´a icas en el p oceso educa i o
Acla emos, an e odo, que no se a a aqu´ı de es ablece una asigna u a sob e
His o ia de las Ma em´a icas, que, po o a pa e y desde nues o pun o de is a,
c eemos necesa ia en el Plan de Es udios de cualquie Facul ad de Ma em´a icas,
sino m´as bien una p opues a de in eg a la his o ia den o del sis ema l´ogico-
deduc i o que se usa en la ense˜nanza de las Ma em´a icas.
Las azones po las que c eemos que es a in eg aci´on puede se posi i a se
esumen ´acilmen e:
1. Recupe aci´on de los o ´ıgenes de las eo ´ıas, gene ando in e ´es en conoce
los p oblemas que ue on el mo o de las mismas.
2. In e calando apun es his ´o icos, an´ecdo as y comen a ios de la biog a ´ıa
de los ma em´a icos que desa olla on la eo ´ıa se puede hace m´as humana
y menos ´a ida la ´ıa cadena deduc i a.
3. La His o ia siemp e nos da ´a una isi´on m´as ce cana de cu´ales han sido
los aspec os m´as impo an es de una eo ´ıa, y cu´ales son aquellos o os
que han esul ado despu´es in e esan es pa a la p opia Ma em´a ica y pa a
o as disciplinas.
4. La necesidad de adop a no aciones y lenguajes ma em´a icos p ecisos
encuen a en la His o ia can idad de ejemplos que la jus i ican y ponen
de mani ies o cu´ando ha hecho al a el igo pa a esol e p oblemas
undamen ales.
Es as azones cons i uyen ambi´en una gu´ıa pa a pone en p ´ac ica un uso de
la His o ia como he amien a pedag´ogica, pe o ha de se
el p o eso quien busque en cada momen o el hecho his ´o ico ap opiado pa a
consegui en sus clases el e ec o deseado.
Las clases y las u o ´ıas
El ma co undamen al en el que se desa olla la labo docen e es la clase
y la u o ´ıa. Ya hemos hablado de la impo ancia que iene un adecuado
equilib io en e igo e in uici´on y es en la clase donde hay que consegui lo.
En las asigna u as del pe il que es amos a ando se pone especial ´en asis
en la esoluci´on de p oblemas, y es en las clases p ´ac icas donde mejo se
puede conduci al alumno po el camino de la in uici´on y de la c eaci´on. Pa a
log a lo c eemos que no se debe explica un p oblema como si se a a a de la
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demos aci´on de un eo ema, sino que se debe ansmi i el p oceso que se ha
seguido pa a encon a la soluci´on: comp ensi´on cla a del enunciado, p oblemas
an´alogos, c´alculos p e ios, dibujos, caminos e ´oneos, e c.
Se debe ´an p opone eje cicios o denados po di icul ad y deja que los alumnos
a en de esol e los. Es con enien e dedica un iempo a es a a ea con la
p esencia del p o eso en clase, animando a la consul a en oz al a y a posibles
p opues as de soluci´on po pa e de compa˜ne os.
Aunque cen emos nues a a enci´on en la esoluci´on de p oblemas debemos
hace e a los alumnos que los p oblemas no se esuel en si no se conocen
los esul ados e´o icos que se han ob enido en las clases de eo ´ıa. En ´es as
es impo an e comenza siemp e con una in oducci´on al ema que se a a
explica , alg´un apun e his ´o ico, conocimien os p e ios, elaci´on con lo is o
an e io men e, e c. En el o den p ´ac ico, y dado que nues a he amien a de
abajo es la piza a, es con enien e di idi la de modo que pueda esc ibi se, po
un lado, las de iniciones, eo emas y dem´as p oposiciones que cons i uyen la
eo ´ıa, aspec o o mal de la explicaci´on, y, po o o, las p uebas, los in en os de
demos aci´on, dibujos, b´usqueda de soluciones, e c. De es a mane a se ansmi e
al alumno la dualidad in uici´on- igo de la que hemos hablado ampliamen e.
Si bien la piza a es nues a he amien a de abajo habi ual, los medios
audio isuales e in o m´a icos pueden juga un impo an e papel en la clase. El
uso de p og amas como De i e o Maple pueden acili a el abajo en ´
Algeb a, y
p og amas de Geome ´ıa din´amica, como Cab i, en e o os, pe mi en apun a
soluciones a p oblemas geom´e icos, que luego pueden se obje o de an´alisis m´as
p o undo. Po supues o, es os p og amas se hacen necesa ios en la o maci´on de
los u u os p o eso es de Ense˜nanza Secunda ia.
Po lo que espec a a las u o ´ıas, c eemos que deben se con empladas bajo dos
pun os de is a. De un lado, puede en ende se como la acci´on o ien ado a de
un p o eso sob e un educido n´ume o de alumnos, pa a hace un seguimien o
de su endimien o a lo la go del cu so, ecoge suge encias, de ec a p oblemas,
e c. En es e sen ido ha habido en los cu sos 2001-02 y 2002-03 una expe iencia
con alumnos de P ime Cu so de la Facul ad, en la que ha pa icipado el au o ,
y que ha sido alo ada posi i amen e, si bien se conside a insu icien e con is as
al u u o.
Po o o lado, en endemos la u o ´ıa como luga de encuen o del alumno con el
p o eso pa a esol e dudas de eo ´ıa, o ien a en la esoluci´on de p oblemas,
selecciona bibliog a ´ıa, inicia y di igi abajos, e c. Siendo es a la o ma
de u o ´ıa que habi ualmen e se o ece a los alumnos, debemos po encia la y
omen a en ellos la cos umb e de consul a desde el p incipio de cu so y no s´olo
cuando la ce can´ıa de los ex´amenes se lo exige.
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La e aluaci´on
La e aluaci´on es la con inuaci´on na u al del p oceso de ense˜nanza-ap endizaje y
no debemos en ende la como un ´ami e acad´emico o adminis a i o, sino como
una componen e m´as unida a la p og amaci´on y a la me odolog´ıa. En e ec o,
podemos dis ingui dos aspec os de la e aluaci´on que, aunque di e en es, se
complemen an pe ec amen e. Po un lado, la e aluaci´on de los conocimien os
adqui idos po los alumnos nos pe mi e hace una alo aci´on y emi i una
cali icaci´on. Es e obje i o se consigue adicionalmen e con p uebas y ex´amenes,
pe o c eemos que, de alguna mane a, hay que ende a que el peso de la
no a inal de un alumno no ecaiga exclusi amen e en el examen. Es e ac o
nega i o se ag a a a´un m´as cuando las asigna u as son cua imes ales y, sob e
odo, en los p ime os cu sos de la Licencia u a. Po eso, se es udian ´o mulas
que nos pe mi an di e si ica la in o maci´on sob e cada alumno, como p uebas
in e medias, exposici´on de p oblemas en clase, p esen aci´on de abajos, labo
u o ial, e c.
El segundo aspec o de la e aluaci´on nos a ec a a noso os como docen es, ya
que la in o maci´on que se ob iene de ella nos puede ayuda a alo a nues o
abajo y a ealiza las opo unas modi icaciones y co ecciones me odol´ogicas.
Conclusi´on
C eemos que en es as no as se apun an, quiz´as demasiado esquem´a icamen e,
algunas pau as a segui pa a ealiza una labo docen e de calidad, ace c´andonos
al alumno, haci´endole pa ´ıcipe de la belleza que encie an las Ma em´a icas,
ayud´andole en sus p ime os pasos uni e si a ios, p epa a ´andolo pa a a on a
es udios supe io es, e c., e c.