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Labo a o io i ual de ma emá icas II
José Ma ía Ga ilán Izquie do (Coo dinado )
An onio A iza Ga cía
Rica do Ba oso Campos
Ángel Sánchez So elo
P o eso es del Depa amen o de Didác ica de las Ma emá icas de la Uni e sidad de
Se illa
Resumen:
En es a memo ia se desc ibe la ac i idad lle ada a cabo con es udian es pa a maes o
de la acul ad de Ciencias de la educación de la Uni e sidad de Se illa. El labo a o io i ual
es el p oduc o del abajo de a ios años in eg ando la ecnología que p opo ciona el
o denado (como so wa e hemos u ilizado, Cab i-Géomè e) y las posibilidades que o ece
in e ne (na egación po páginas web, uso de apple s de ja a y en ío de o mula ios de
espues a).
CONTEXTO DE LA ACTIVIDAD.
El P oyec o de Ayuda a la Docencia Uni e si a ia “Labo a o io Vi ual de
Ma emá icas II” lo hemos lle ado a cabo du an e el cu so 2001/2002 con es udian es del
Tí ulo de Maes o de di e en es especialidades de la Facul ad de Ciencias de la Educación de
la Uni e sidad de Se illa.
Nues o obje i o es amilia iza a los es udian es con el uso de nue as ecnologías
aplicadas al ap endizaje de las ma emá icas y po an o ú iles pa a la enseñanza de las
mismas. En nues a opinión es e ipo de ecnologías (que in eg an p og amas de o denado
con las posibilidades de di usión de in e ne ) acili an un ap endizaje, que a más allá de la
memo ización de concep os y algo i mos, aco de con la isión de las ma emá icas como
ma e ia que se cons uye inculando signi icados a los concep os. Seguimos la
ecomendación de la NCTM (1989) pa a la o mación de p o eso es, los p o eso es deben se
enseñados de o ma pa ecida a como ellos han de enseña .
Respec o al so wa e especí ico de es a Inno ación, Cab i-Géomè e, su elección
in luye en el ipo de a eas que podemos plan ea , esencialmen e a eas de indagación, y en el
con enido ma emá ico obje o de las mismas. No obs an e a pesa de se un p og ama de
geome ía dinámica es posible u iliza lo pa a concep os ma emá icos de o as á eas de las
ma emá icas. Un ejemplo puede se la a ea 4 (sob e pa alelismo analí ico) que con poca
a iación puede adap a se a una a ea sob e unciones lineales.
DESARROLLO DEL PROYECTO
Pa a el desa ollo de es e p oyec o hemos c eado un labo a o io i ual, es deci , un
labo a o io accesible a a és de in e ne (h p://www.pdipas.us.es/g/ga ilan/labo a o iocab i)
con el obje o de acili a a los es udian es el acceso al mismo. La idea de u iliza en
ma emá icas un labo a o io la comenzamos a u iliza du an e el cu so 1997/1998 (Ga ilan y
o os, 1999) con un p og ama de cálculo simbólico (De i e, h p://www.de i e.com) y o o de
geome ía dinámica (Cab i, h p://www.cab i.ne ).
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Una di icul ad que se plan eaba a los es udian es con el labo a o io de ma emá icas
ubicado en el aula de in o má ica de la Facul ad de Ciencias de la Educación e a el acceso al
mismo. Es a di icul ad la hemos esuel o con el labo a o io i ual, ya que pa a u iliza lo los
alumnos sólo necesi aban dispone de una conexión a in e ne . El labo a o io i ual se aloja
en el se ido de la Uni e sidad de Se illa (en la página del coo dinado del P oyec o
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) y po
an o disponemos de un se icio de es adís icas de isi as al mismo. Si bien, la mayo ía de los
es udian es han u ilizado el aula de in o má ica pa a conec a se al labo a o io, ambién se
ienen accesos desde ue a de la acul ad.
El labo a o io de ma emá icas eque ía que los es udian es ap endiesen a u iliza los
p og amas que se manejaban, en e ellos Cab i. El nue o labo a o io i ual inco po a un
u o ial sob e Cab i, donde se pueden ap ende las nociones básicas de geome ía dinámica,
álidas no sólo pa a es e p og ama, sino pa a odos los p og amas de o denado basados en
los mismos p incipios (di e encia en e dibujos y igu as y el p incipio de geome ía
dinámica o de “a as e” de obje os). La he amien a básica pa a el u o ial es u iliza apple s
de Ja a pa a Cab i, en es e caso hemos u ilizado Cab iJa a.ja (disponible en
h p://www.cab i.ne ) pa a ello. Los apple s de Ja a pa a Cab i pe mi en u iliza igu as
c eadas con Cab i.
Pa a pode u iliza un apple hemos u ilizado las siguien es e ique as de HTML
(Lenguaje de Ma cas de Hipe ex o) den o de la página web, donde se especi ica en e o os,
el amaño de la en ana del apple , el colo de ondo y la igu a de cab i que se a a u iliza .
El siguien e ejemplo es el u ilizado pa a la de inición de obje os:
<APPLET CODE="Cab iJa a.class" WIDTH="600" HEIGHT="400"
a chi e="Cab iJa a.ja ">
<pa am name="lang" alue="en">
<pa am name="bgcolo " alue="#F0F0CC">
<pa am name=" ile" alue="de obj2. ig">
El labo a o io iene a ias pa es:
- un u o ial, y unas guías pa a ap ende a u iliza el p og ama, y
- un conjun o de ac i idades.
Con enido del u o ial.
El u o ial con iene cua o apa ados:
- Desc ipción del p og ama, es e apa ado desc ibe el p og ama y u ilizando enlaces
(que apa ecen sub ayados) se puede “na ega ” a los es an es apa ados del u o ial, que
incluyen apple s.
El ex o en la página web es el siguien e:
“La geome ía es una pa e de la ma emá ica que modela el en o no y desa olla una
eo ía con sus p opios axiomas, obje os, eglas y p oblemas y es a dualidad se e leja en el
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El Ins i u o de Ciencias de la Educación (Uni e sidad de Se illa) a a ubica el labo a o io
es su página web, lo que pe mi i á una mayo di usión y un acceso más ácil.
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cu ículum de algunos países eu opeos, a iando desde un pun o de is a que des aca los
aspec os eó icos y o o más desc ip i o (Labo de, 1993). El cu ículum español no es ajeno a
es a dualidad.
Pa a los Es ánda es y P incipios pa a las Ma emá icas Escola es (2000) la ecnología
es esencial en la enseñanza y ap endizaje de las ma emá icas, in luye en las ma emá icas que
se enseñan y omen a el ap endizaje de los es udian es. La ecnología incluye el uso de muy
dis in os p og amas de o denado . En e ellos podemos ci a los p og amas de cálculo
simbólico (como De i e, Maple, Ma hema ica...) que pe mi en esencialmen e ealiza
manipulaciones algeb aicas y numé icas así como ep esen aciones g á icas; los p og amas
de manejo de da os es adís icos (Excel, Fa hom, SPSS... ) y los p og amas de geome ía
dinámica (Cab i-Géomè e, Cinde ella, Geup...).
Los p og amas de geome ía dinámica pe mi en ealiza cons ucciones de dos
na u alezas, siguiendo a Labo de (1993) :
-cons ucción dibujo (dibujo): ealizada de la misma o ma que los dibujos hechos
con lápiz y papel, es deci , dibujo a mano alzada. Po ejemplo, podemos aza un
segmen o y una ec a que apa en emen e sea pe pendicula . A as ando algún pun o
básico, se obse a que la ec a deja de cumpli la p opiedad.
- cons ucción igu a ( igu a
i
): ealizada u ilizando las p opiedades euclídeas que el
p og ama o ece a a és de las he amien as o bien c eadas po el usua io
(no malmen e denominadas mac ocons ucciones). Po ejemplo, pa a aza una ec a
pe pendicula a un segmen o debemos u iliza la he amien a " ec a pe pendicula ".
Cuando se a as e cualquie pun o básico de la cons ucción, la ec a sigue siendo
pe pendicula (p incipio de geome ía dinámica
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).
Los obje os que se cons uyen con Cab i (o cualquie o o p og ama de geome ía
dinámica) ienen que se de inidos
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explíci amen e pa a que sean econocidos como ales y
po an o manejables po el p og ama. Po ejemplo: es segmen os consecu i os y ce ados
no de inen un iángulo pa a el p og ama, sal o que sea de inido/cons uido con la
he amien a co espondien e; si no se econoce como iángulo, no es posible calcula el
pe íme o, el á ea, e c.
Pa a Goldenbe g y Cuoco (1.998) los p og amas de geome ía dinámica pe mi en a
los usua ios, después de habe hecho una cons ucción ( igu a), mo e cie os elemen os
a as ándolos lib emen e y obse ando cómo o os elemen os esponden dinámicamen e al
al e a las condiciones. Pa a noso os al u iliza es os p og amas se es ablecen elaciones
geomé icas de ipo explíci o del siguien e modo:
- elaciones explíci as del usua io: pa a hace una igu a el usua io debe indica al
p og ama las p opiedades euclídeas de la misma.
- elaciones explíci as del p og ama: dada una igu a, además de las elaciones
es ablecidas po el usua io, apa ecen o as elaciones que se deducen de las an e io es.
Po ejemplo, dado un iángulo y sus es medianas, cons uidos como igu a, se
deduce que se co an en un pun o (ba icen o). De es a o ma el p og ama hace
explíci as esas elaciones no conocidas, a p io i, po el usua io”.
G á icamen e es a si uación es la siguien e ( igu a 1):
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- Concep o de igu a e sus dibujo, usando un apple se puede comp oba la di e encia en e
una igu a y un dibujo ealizado con Cab i. La igu a 2 mues a el apple :
Los apple s pueden u iliza se de dos o mas:
Figu a 1. Sis ema de elaciones geomé icas pe mi idas po Cab i.
Figu a 2. Apple de ja a in e ac i o que pe mi e dis ingui un dibujo de una
igu a.
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1.- Mo iéndonos con el a ón sob e él, disponemos de la igu a de Cab i y podemos
mo e (a as a ) los pun os básicos y/o los obje os independien es. De es a o ma se puede
hace uso del p incipio de geome ía dinámica sin necesidad de muchos conocimien os sob e
Cab i.
2.- Una ez si uado el a ón en la zona del apple , hace doble click y se ac i a un
menú (el menú se desac i a haciendo ambién doble click) que iene las siguien es opciones:
A) Dos bo ones pa a econs ui el p oceso sob e cómo se ha ealizado la
igu a paso a paso, un bo ón a anza un paso en la cons ucción y o o lo
deshace, jun o con una “ bola” podemos e en qué pun o del p oceso nos
encon amos. Si la bola es á al p incipio (a la izquie da) podemos econs ui
la igu a pulsando el bo ón de a ance.
B) Pe mi e “a as a ” la igu a del apple . La zona de abajo pa a ealiza
igu as con Cab i es mayo que la que apa ece en al pan alla del o denado ,
po eso Cab i pe mi e a as a la zona de la pan alla en la que se cons uye
pa a ene acceso a un espacio mayo . Es a opción hace posible amplia la
zona de la igu a en los apple s.
C) Ac i a la opción de aza de un obje o. Es a es una he amien a del
p og ama que se inco po a al apple .
D) Inco po a al apple la he amien a de animación de obje os de Cab i.
E) Es a opción pe mi e baja se la igu a de Cab i al o denado del usua io. La
igu a puede gua da se en un disco como a chi o de Cab i, con ex ensión ig.
La igu a 3 mues a el apple del apa ado “De inición de obje os”, con el menú de opciones
desplegado:
Figu a 3. Apple usado pa a “De inición de obje os” con el menú de opciones
disponibles.

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- De inición de obje os, Cab i sólo econoce los obje os geomé icos explíci amen e
c eados, po ejemplo, dos pun os sob e una ec a o man un segmen o solamen e si se le
cons uye como al con la he amien a segmen o. Un ejemplo es el que apa ece en el apple
u ilizado ( igu a 3), si no de inimos el iángulo como al no podemos calcula su á ea, ni su
pe íme o.
- P incipio de geome ía dinámica, es e p incipio es cla e pa a los p og amas de es e
ipo. Pe mi e es e p incipio hace “ isibles” al usua io las p opiedades geomé icas de la
igu a, sin más que a as a algunos obje os de la misma. Es e P incipio es el que hace de
es e ipo de p og amas una he amien a de descub imien o, de o mulación y
acep ación/ echazo de conje u as.
Basándose en es e P incipio Sie pinska, D ey us y Hillel (1999) han in oducido la
noción de ep esen aciones dinámicas pa a Cab i con el siguien e signi icado: el “a as e”
p oduce ep esen aciones dinámicas que consis en, de hecho, de muchas ep esen aciones
ob enidas a a és de un cambio en un pa áme o, in i ando al obse ado a econoce que
pe manece in a ian e y qué cambia en la igu a, y de es e modo al ez busca una ca ego ía
abs ac a, un obje o ma emá ico.
El ejemplo u ilizado en el apple es la p opiedad del ba icen o de un iángulo.
Tenemos un iángulo, el ba icen o y una mediana. El ba icen o di ide a la mediana en dos
segmen os ¿qué elación gua dan las longi udes de los dos segmen os que se o man?
A as ando cualquie a de los é ices del iángulo podemos “ e ” que es án en elación 2:1,
pa a cualquie iángulo.
Con enido de las Ac i idades
Las ac i idades es án diseñadas u ilizando apple s con el obje i o de p omo e el
ap endizaje geomé ico en los es udian es. El ma co eó ico de e e encia en nues o abajo
es el de Van-Hiele que modela el azonamien o geomé ico en 5 ni eles (Ho e , 1981).
Basándonos en el modelo de Van-Hiele, Cab i pe mi e el diseño de a eas que
p omue an el a ance de un ni el a o o. El p og ama nos pe mi e diseña a eas desde es
pe spec i as di e en es: pe spec i a sin é ica, pe spec i a analí ica (con coo denadas) y
pe spec i a de ans o maciones.
Con el obje i o de acili a a los es udian es en ega las espues as en cualquie
momen o las a eas disponen de un o mula io que se en ía a a és de in e ne cuando se
ellena y que se ecibe po co eo elec ónico. Es e co eo iden i ica la di ección IP del
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o denado desde el que se en ía.
Den o del o mula io de odas las a eas se posibili a que se en íen suge encias sob e
el labo a o io en gene al y sob e las a eas en pa icula . Las dos p ime as p egun as de cada
a ea e san sob e el uso de Cab i, la p ime a cues ión quie e que los es udian es iden i iquen
los pun os básicos de la igu a (aquellos que pueden a as a se) y de los que no se mue en se
pide que jus i iquen po qué.
- Ta ea 1, clasi icación de cuad ilá e os. El obje i o de es a a ea es que los alumnos
de inan y clasi iquen cuad ilá e os. El p oceso de de ini en geome ía no es un p oceso
sencillo, Ba oso (2000) ha ealizado un análisis de di e en es de iniciones del iángulo y
apun a algunas de las di icul ades que los es udian es pueden encon a se según u ilicen una u
o a de inición. A pa i de ese abajo nos plan eamos cómo diseña a eas con Cab i pa a
que los es udian es analiza an las p opiedades de de e minados cuad ilá e os y los de inie an.
De es a mane a pueden los es udian es desc ibi las p opiedades de los dis in os cuad ilá e os
y e cuáles son ele an es pa a de ini los. Además es posible es ablece je a quías de
clasi icación según las p opiedades que ca ac e icen cada igu a.
La siguien e igu a mues a el apple ( igu a 4) que u ilizamos y que disc imina
p opiedades de los cuad ilá e os ales como, longi udes de lados, de diagonales, ángulos en e
lados, ángulos en e diagonales.
Figu a 4. Apple u ilizado pa a clasi ica cuad ilá e os.
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Algunas de las p egun as incluidas en el o mula io de la a ea son las siguien es:
¿Qué p opiedades ela i as a las longi udes de lados y diagonales ienen las dis in as
igu as?
De las p opiedades an e io es, iden i ica aquellas que son comunes a dos de ellas.
¿Qué p opiedades ela i as a los ángulos en e lados y en e diagonales ienen las
dis in as igu as?
¿Hay alguna p opiedad que ca ac e ice a alguna de las igu as di e enciándola de las
o as dos?
Ta ea 2, pun os no ables del iángulo. Dado un iángulo y sus cua o pun os no ables
(ba icen o, o oen o, incen o y ci cuncen o) se les plan ean ac i idades de indaga po su
posición ela i a. P egun as sob e en qué casos es án alineados, y po qué; cuándo son
coinciden es, e c.
Ta ea 3, pa alelismo analí ico. Obje i o de es a a ea es el ca ac e iza el pa alelismo
en e ec as en o ma analí ica (coo denadas ec angula es en es e caso). Se les p egun a a los
es udian es sob e los coe icien es de las ecuaciones de dos ec as pa alelas.
Ta ea 4, ans o maciones geomé icas. Obje i o es es udia un ipo de ans o mación
geomé ica como es la sime ía axial. Las p egun as e san sob e los in a ian es de dicha
ans o mación. Cuándo una ec a es in a ian e po una sime ía, qué pun os son in a ian es.
En el caso de la ci cun e encia se les pide en qué caso se ans o ma en ella misma, cuándo
una ci cun e encia y su ans o mada son angen es.
Con enidos de las Guías
Las guías son documen os que es án disponibles en la página web del labo a o io en
o ma o pd (se pueden lee con el Reade de Adobe) pa a aquellos que quie an dispone de
un documen o pa a ap ende a u iliza Cab i.
Cuando nos plan eamos en inco po a p og amas de o denado pa a la
enseñanza/ap endizaje de las ma emá icas que emos dis ingui dos aspec os de los mismos:
- ges ión del en o no in o má ico, y
- ges ión del en o no ma emá ico del p og ama.
En es e caso hemos p ocedido de es a o ma y la guía iene dos pa es, la p ime a
pa e es una guía pa a ges iona el en o no in o má ico y la segunda es una guía de ges ión
del en o no geomé ico.
De momen o sólo es á disponible una guía de cada ipo. Del en o no in o má ico es á
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disponible Cómo empeza y e mina , que explica los p ime os pasos pa a maneja el
p og ama. De la ges ión del en o no geomé ico es a un es udio del cuad o de he amien as
Cons ui .
ALGUNOS RESULTADOS
Aún no disponemos de odos los esul ados que podemos ob ene del desa ollo de es e
P oyec o de Ayuda a la Docencia. Podemos da algunos esul ados que son ela i os a las
posibilidades de in ene .
En p ime luga pensamos que el uso del o denado y de in e ne mo i a de mane a
posi i a a los es udian es, ya que conside an impo an e conoce y usa es e ipo de
he amien as. Hemos comp obado que los es udian es se conec an al labo a o io desde si ios
di e en es al aula de in o má ica. De es a o ma es amos a o eciendo un cambio de ac i ud
hacia las ma emá icas. Además la di usión es mayo ya que según la es adís icas de isi as
hay en adas al labo a o io desde dis in os países.
Desde el pun o de is a ma emá ico, es amos p ocediendo a un análisis de las
espues as que hemos ecibido a a és del co eo elec ónico a las a eas p opues as en el
labo a o io. Debemos ca ego iza las espues as de los es udian es basándonos en el ma co
eó ico que hemos adop ado. Po ejemplo que emos iden i ica los a ibu os ele an es de los
cuad ilá e os pa a los es udian es y de qué o ma los de inen. Que emos ambién analiza que
ipos de clasi icaciones ealizan los es udian es con los mismos, es deci , si clasi ican los
cuad ilá e os de o ma exclusi a (po ejemplo cuad ado y ec ángulo son clases disjun as) o
bien de o ma inclusi a (los cuiad ados son una clase de ec ángulos), elemen o és e que
pe mi e e ique a ni eles de comp ensión geomé ica.
BIBLIOGRAFÍA:
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