Laboratorio virtual de matemáticas II

1 Labo a o io i ual de ma emá icas II José Ma ía Ga ilán Izquie do (Coo dinado ) An onio A iza Ga cía Rica do Ba oso Campos Ángel Sánchez So elo P o eso es del Depa amen o de Didác ica de las Ma emá icas de la Uni e sidad de Se illa Resumen: En es a memo ia se desc ibe la ac i idad lle ada a cabo con es udian es pa a maes o de la acul ad de Ciencias de la educación de la Uni e sidad de Se illa. El labo a o io i ual es el p oduc o del abajo de a ios años in eg ando la ecnología que p opo ciona el o denado (como so wa e hemos u ilizado, Cab i-Géomè e) y las posibilidades que o ece in e ne (na egación po páginas web, uso de apple s de ja a y en ío de o mula ios de espues a). CONTEXTO DE LA ACTIVIDAD. El P oyec o de Ayuda a la Docencia Uni e si a ia “Labo a o io Vi ual de Ma emá icas II” lo hemos lle ado a cabo du an e el cu so 2001/2002 con es udian es del Tí ulo de Maes o de di e en es especialidades de la Facul ad de Ciencias de la Educación de la Uni e sidad de Se illa. Nues o obje i o es amilia iza a los es udian es con el uso de nue as ecnologías aplicadas al ap endizaje de las ma emá icas y po an o ú iles pa a la enseñanza de las mismas. En nues a opinión es e ipo de ecnologías (que in eg an p og amas de o denado con las posibilidades de di usión de in e ne ) acili an un ap endizaje, que a más allá de la memo ización de concep os y algo i mos, aco de con la isión de las ma emá icas como ma e ia que se cons uye inculando signi icados a los concep os. Seguimos la ecomendación de la NCTM (1989) pa a la o mación de p o eso es, los p o eso es deben se enseñados de o ma pa ecida a como ellos han de enseña . Respec o al so wa e especí ico de es a Inno ación, Cab i-Géomè e, su elección in luye en el ipo de a eas que podemos plan ea , esencialmen e a eas de indagación, y en el con enido ma emá ico obje o de las mismas. No obs an e a pesa de se un p og ama de geome ía dinámica es posible u iliza lo pa a concep os ma emá icos de o as á eas de las ma emá icas. Un ejemplo puede se la a ea 4 (sob e pa alelismo analí ico) que con poca a iación puede adap a se a una a ea sob e unciones lineales. DESARROLLO DEL PROYECTO Pa a el desa ollo de es e p oyec o hemos c eado un labo a o io i ual, es deci , un labo a o io accesible a a és de in e ne (h p://www.pdipas.us.es/g/ga ilan/labo a o iocab i) con el obje o de acili a a los es udian es el acceso al mismo. La idea de u iliza en ma emá icas un labo a o io la comenzamos a u iliza du an e el cu so 1997/1998 (Ga ilan y o os, 1999) con un p og ama de cálculo simbólico (De i e, h p://www.de i e.com) y o o de geome ía dinámica (Cab i, h p://www.cab i.ne ). 2 Una di icul ad que se plan eaba a los es udian es con el labo a o io de ma emá icas ubicado en el aula de in o má ica de la Facul ad de Ciencias de la Educación e a el acceso al mismo. Es a di icul ad la hemos esuel o con el labo a o io i ual, ya que pa a u iliza lo los alumnos sólo necesi aban dispone de una conexión a in e ne . El labo a o io i ual se aloja en el se ido de la Uni e sidad de Se illa (en la página del coo dinado del P oyec o 1 ) y po an o disponemos de un se icio de es adís icas de isi as al mismo. Si bien, la mayo ía de los es udian es han u ilizado el aula de in o má ica pa a conec a se al labo a o io, ambién se ienen accesos desde ue a de la acul ad. El labo a o io de ma emá icas eque ía que los es udian es ap endiesen a u iliza los p og amas que se manejaban, en e ellos Cab i. El nue o labo a o io i ual inco po a un u o ial sob e Cab i, donde se pueden ap ende las nociones básicas de geome ía dinámica, álidas no sólo pa a es e p og ama, sino pa a odos los p og amas de o denado basados en los mismos p incipios (di e encia en e dibujos y igu as y el p incipio de geome ía dinámica o de “a as e” de obje os). La he amien a básica pa a el u o ial es u iliza apple s de Ja a pa a Cab i, en es e caso hemos u ilizado Cab iJa a.ja (disponible en h p://www.cab i.ne ) pa a ello. Los apple s de Ja a pa a Cab i pe mi en u iliza igu as c eadas con Cab i. Pa a pode u iliza un apple hemos u ilizado las siguien es e ique as de HTML (Lenguaje de Ma cas de Hipe ex o) den o de la página web, donde se especi ica en e o os, el amaño de la en ana del apple , el colo de ondo y la igu a de cab i que se a a u iliza . El siguien e ejemplo es el u ilizado pa a la de inición de obje os: <APPLET CODE="Cab iJa a.class" WIDTH="600" HEIGHT="400" a chi e="Cab iJa a.ja "> <pa am name="lang" alue="en"> <pa am name="bgcolo " alue="#F0F0CC"> <pa am name=" ile" alue="de obj2. ig"> El labo a o io iene a ias pa es: - un u o ial, y unas guías pa a ap ende a u iliza el p og ama, y - un conjun o de ac i idades. Con enido del u o ial. El u o ial con iene cua o apa ados: - Desc ipción del p og ama, es e apa ado desc ibe el p og ama y u ilizando enlaces (que apa ecen sub ayados) se puede “na ega ” a los es an es apa ados del u o ial, que incluyen apple s. El ex o en la página web es el siguien e: “La geome ía es una pa e de la ma emá ica que modela el en o no y desa olla una eo ía con sus p opios axiomas, obje os, eglas y p oblemas y es a dualidad se e leja en el 1 El Ins i u o de Ciencias de la Educación (Uni e sidad de Se illa) a a ubica el labo a o io es su página web, lo que pe mi i á una mayo di usión y un acceso más ácil. 3 cu ículum de algunos países eu opeos, a iando desde un pun o de is a que des aca los aspec os eó icos y o o más desc ip i o (Labo de, 1993). El cu ículum español no es ajeno a es a dualidad. Pa a los Es ánda es y P incipios pa a las Ma emá icas Escola es (2000) la ecnología es esencial en la enseñanza y ap endizaje de las ma emá icas, in luye en las ma emá icas que se enseñan y omen a el ap endizaje de los es udian es. La ecnología incluye el uso de muy dis in os p og amas de o denado . En e ellos podemos ci a los p og amas de cálculo simbólico (como De i e, Maple, Ma hema ica...) que pe mi en esencialmen e ealiza manipulaciones algeb aicas y numé icas así como ep esen aciones g á icas; los p og amas de manejo de da os es adís icos (Excel, Fa hom, SPSS... ) y los p og amas de geome ía dinámica (Cab i-Géomè e, Cinde ella, Geup...). Los p og amas de geome ía dinámica pe mi en ealiza cons ucciones de dos na u alezas, siguiendo a Labo de (1993) : -cons ucción dibujo (dibujo): ealizada de la misma o ma que los dibujos hechos con lápiz y papel, es deci , dibujo a mano alzada. Po ejemplo, podemos aza un segmen o y una ec a que apa en emen e sea pe pendicula . A as ando algún pun o básico, se obse a que la ec a deja de cumpli la p opiedad. - cons ucción igu a ( igu a i ): ealizada u ilizando las p opiedades euclídeas que el p og ama o ece a a és de las he amien as o bien c eadas po el usua io (no malmen e denominadas mac ocons ucciones). Po ejemplo, pa a aza una ec a pe pendicula a un segmen o debemos u iliza la he amien a " ec a pe pendicula ". Cuando se a as e cualquie pun o básico de la cons ucción, la ec a sigue siendo pe pendicula (p incipio de geome ía dinámica ii ). Los obje os que se cons uyen con Cab i (o cualquie o o p og ama de geome ía dinámica) ienen que se de inidos iii explíci amen e pa a que sean econocidos como ales y po an o manejables po el p og ama. Po ejemplo: es segmen os consecu i os y ce ados no de inen un iángulo pa a el p og ama, sal o que sea de inido/cons uido con la he amien a co espondien e; si no se econoce como iángulo, no es posible calcula el pe íme o, el á ea, e c. Pa a Goldenbe g y Cuoco (1.998) los p og amas de geome ía dinámica pe mi en a los usua ios, después de habe hecho una cons ucción ( igu a), mo e cie os elemen os a as ándolos lib emen e y obse ando cómo o os elemen os esponden dinámicamen e al al e a las condiciones. Pa a noso os al u iliza es os p og amas se es ablecen elaciones geomé icas de ipo explíci o del siguien e modo: - elaciones explíci as del usua io: pa a hace una igu a el usua io debe indica al p og ama las p opiedades euclídeas de la misma. - elaciones explíci as del p og ama: dada una igu a, además de las elaciones es ablecidas po el usua io, apa ecen o as elaciones que se deducen de las an e io es. Po ejemplo, dado un iángulo y sus es medianas, cons uidos como igu a, se deduce que se co an en un pun o (ba icen o). De es a o ma el p og ama hace explíci as esas elaciones no conocidas, a p io i, po el usua io”. G á icamen e es a si uación es la siguien e ( igu a 1): 4 - Concep o de igu a e sus dibujo, usando un apple se puede comp oba la di e encia en e una igu a y un dibujo ealizado con Cab i. La igu a 2 mues a el apple : Los apple s pueden u iliza se de dos o mas: Figu a 1. Sis ema de elaciones geomé icas pe mi idas po Cab i. Figu a 2. Apple de ja a in e ac i o que pe mi e dis ingui un dibujo de una igu a. 5 1.- Mo iéndonos con el a ón sob e él, disponemos de la igu a de Cab i y podemos mo e (a as a ) los pun os básicos y/o los obje os independien es. De es a o ma se puede hace uso del p incipio de geome ía dinámica sin necesidad de muchos conocimien os sob e Cab i. 2.- Una ez si uado el a ón en la zona del apple , hace doble click y se ac i a un menú (el menú se desac i a haciendo ambién doble click) que iene las siguien es opciones: A) Dos bo ones pa a econs ui el p oceso sob e cómo se ha ealizado la igu a paso a paso, un bo ón a anza un paso en la cons ucción y o o lo deshace, jun o con una “ bola” podemos e en qué pun o del p oceso nos encon amos. Si la bola es á al p incipio (a la izquie da) podemos econs ui la igu a pulsando el bo ón de a ance. B) Pe mi e “a as a ” la igu a del apple . La zona de abajo pa a ealiza igu as con Cab i es mayo que la que apa ece en al pan alla del o denado , po eso Cab i pe mi e a as a la zona de la pan alla en la que se cons uye pa a ene acceso a un espacio mayo . Es a opción hace posible amplia la zona de la igu a en los apple s. C) Ac i a la opción de aza de un obje o. Es a es una he amien a del p og ama que se inco po a al apple . D) Inco po a al apple la he amien a de animación de obje os de Cab i. E) Es a opción pe mi e baja se la igu a de Cab i al o denado del usua io. La igu a puede gua da se en un disco como a chi o de Cab i, con ex ensión ig. La igu a 3 mues a el apple del apa ado “De inición de obje os”, con el menú de opciones desplegado: Figu a 3. Apple usado pa a “De inición de obje os” con el menú de opciones disponibles. 6 - De inición de obje os, Cab i sólo econoce los obje os geomé icos explíci amen e c eados, po ejemplo, dos pun os sob e una ec a o man un segmen o solamen e si se le cons uye como al con la he amien a segmen o. Un ejemplo es el que apa ece en el apple u ilizado ( igu a 3), si no de inimos el iángulo como al no podemos calcula su á ea, ni su pe íme o. - P incipio de geome ía dinámica, es e p incipio es cla e pa a los p og amas de es e ipo. Pe mi e es e p incipio hace “ isibles” al usua io las p opiedades geomé icas de la igu a, sin más que a as a algunos obje os de la misma. Es e P incipio es el que hace de es e ipo de p og amas una he amien a de descub imien o, de o mulación y acep ación/ echazo de conje u as. Basándose en es e P incipio Sie pinska, D ey us y Hillel (1999) han in oducido la noción de ep esen aciones dinámicas pa a Cab i con el siguien e signi icado: el “a as e” p oduce ep esen aciones dinámicas que consis en, de hecho, de muchas ep esen aciones ob enidas a a és de un cambio en un pa áme o, in i ando al obse ado a econoce que pe manece in a ian e y qué cambia en la igu a, y de es e modo al ez busca una ca ego ía abs ac a, un obje o ma emá ico. El ejemplo u ilizado en el apple es la p opiedad del ba icen o de un iángulo. Tenemos un iángulo, el ba icen o y una mediana. El ba icen o di ide a la mediana en dos segmen os ¿qué elación gua dan las longi udes de los dos segmen os que se o man? A as ando cualquie a de los é ices del iángulo podemos “ e ” que es án en elación 2:1, pa a cualquie iángulo. Con enido de las Ac i idades Las ac i idades es án diseñadas u ilizando apple s con el obje i o de p omo e el ap endizaje geomé ico en los es udian es. El ma co eó ico de e e encia en nues o abajo es el de Van-Hiele que modela el azonamien o geomé ico en 5 ni eles (Ho e , 1981). Basándonos en el modelo de Van-Hiele, Cab i pe mi e el diseño de a eas que p omue an el a ance de un ni el a o o. El p og ama nos pe mi e diseña a eas desde es pe spec i as di e en es: pe spec i a sin é ica, pe spec i a analí ica (con coo denadas) y pe spec i a de ans o maciones. Con el obje i o de acili a a los es udian es en ega las espues as en cualquie momen o las a eas disponen de un o mula io que se en ía a a és de in e ne cuando se ellena y que se ecibe po co eo elec ónico. Es e co eo iden i ica la di ección IP del 7 o denado desde el que se en ía. Den o del o mula io de odas las a eas se posibili a que se en íen suge encias sob e el labo a o io en gene al y sob e las a eas en pa icula . Las dos p ime as p egun as de cada a ea e san sob e el uso de Cab i, la p ime a cues ión quie e que los es udian es iden i iquen los pun os básicos de la igu a (aquellos que pueden a as a se) y de los que no se mue en se pide que jus i iquen po qué. - Ta ea 1, clasi icación de cuad ilá e os. El obje i o de es a a ea es que los alumnos de inan y clasi iquen cuad ilá e os. El p oceso de de ini en geome ía no es un p oceso sencillo, Ba oso (2000) ha ealizado un análisis de di e en es de iniciones del iángulo y apun a algunas de las di icul ades que los es udian es pueden encon a se según u ilicen una u o a de inición. A pa i de ese abajo nos plan eamos cómo diseña a eas con Cab i pa a que los es udian es analiza an las p opiedades de de e minados cuad ilá e os y los de inie an. De es a mane a pueden los es udian es desc ibi las p opiedades de los dis in os cuad ilá e os y e cuáles son ele an es pa a de ini los. Además es posible es ablece je a quías de clasi icación según las p opiedades que ca ac e icen cada igu a. La siguien e igu a mues a el apple ( igu a 4) que u ilizamos y que disc imina p opiedades de los cuad ilá e os ales como, longi udes de lados, de diagonales, ángulos en e lados, ángulos en e diagonales. Figu a 4. Apple u ilizado pa a clasi ica cuad ilá e os. 8 Algunas de las p egun as incluidas en el o mula io de la a ea son las siguien es: ¿Qué p opiedades ela i as a las longi udes de lados y diagonales ienen las dis in as igu as? De las p opiedades an e io es, iden i ica aquellas que son comunes a dos de ellas. ¿Qué p opiedades ela i as a los ángulos en e lados y en e diagonales ienen las dis in as igu as? ¿Hay alguna p opiedad que ca ac e ice a alguna de las igu as di e enciándola de las o as dos? Ta ea 2, pun os no ables del iángulo. Dado un iángulo y sus cua o pun os no ables (ba icen o, o oen o, incen o y ci cuncen o) se les plan ean ac i idades de indaga po su posición ela i a. P egun as sob e en qué casos es án alineados, y po qué; cuándo son coinciden es, e c. Ta ea 3, pa alelismo analí ico. Obje i o de es a a ea es el ca ac e iza el pa alelismo en e ec as en o ma analí ica (coo denadas ec angula es en es e caso). Se les p egun a a los es udian es sob e los coe icien es de las ecuaciones de dos ec as pa alelas. Ta ea 4, ans o maciones geomé icas. Obje i o es es udia un ipo de ans o mación geomé ica como es la sime ía axial. Las p egun as e san sob e los in a ian es de dicha ans o mación. Cuándo una ec a es in a ian e po una sime ía, qué pun os son in a ian es. En el caso de la ci cun e encia se les pide en qué caso se ans o ma en ella misma, cuándo una ci cun e encia y su ans o mada son angen es. Con enidos de las Guías Las guías son documen os que es án disponibles en la página web del labo a o io en o ma o pd (se pueden lee con el Reade de Adobe) pa a aquellos que quie an dispone de un documen o pa a ap ende a u iliza Cab i. Cuando nos plan eamos en inco po a p og amas de o denado pa a la enseñanza/ap endizaje de las ma emá icas que emos dis ingui dos aspec os de los mismos: - ges ión del en o no in o má ico, y - ges ión del en o no ma emá ico del p og ama. En es e caso hemos p ocedido de es a o ma y la guía iene dos pa es, la p ime a pa e es una guía pa a ges iona el en o no in o má ico y la segunda es una guía de ges ión del en o no geomé ico. De momen o sólo es á disponible una guía de cada ipo. Del en o no in o má ico es á 9 disponible Cómo empeza y e mina , que explica los p ime os pasos pa a maneja el p og ama. De la ges ión del en o no geomé ico es a un es udio del cuad o de he amien as Cons ui . ALGUNOS RESULTADOS Aún no disponemos de odos los esul ados que podemos ob ene del desa ollo de es e P oyec o de Ayuda a la Docencia. Podemos da algunos esul ados que son ela i os a las posibilidades de in ene . En p ime luga pensamos que el uso del o denado y de in e ne mo i a de mane a posi i a a los es udian es, ya que conside an impo an e conoce y usa es e ipo de he amien as. Hemos comp obado que los es udian es se conec an al labo a o io desde si ios di e en es al aula de in o má ica. De es a o ma es amos a o eciendo un cambio de ac i ud hacia las ma emá icas. Además la di usión es mayo ya que según la es adís icas de isi as hay en adas al labo a o io desde dis in os países. Desde el pun o de is a ma emá ico, es amos p ocediendo a un análisis de las espues as que hemos ecibido a a és del co eo elec ónico a las a eas p opues as en el labo a o io. Debemos ca ego iza las espues as de los es udian es basándonos en el ma co eó ico que hemos adop ado. Po ejemplo que emos iden i ica los a ibu os ele an es de los cuad ilá e os pa a los es udian es y de qué o ma los de inen. Que emos ambién analiza que ipos de clasi icaciones ealizan los es udian es con los mismos, es deci , si clasi ican los cuad ilá e os de o ma exclusi a (po ejemplo cuad ado y ec ángulo son clases disjun as) o bien de o ma inclusi a (los cuiad ados son una clase de ec ángulos), elemen o és e que pe mi e e ique a ni eles de comp ensión geomé ica. BIBLIOGRAFÍA: Ba oso R. (2000): El p oceso de de ini en ma emá icas. Un caso: El iángulo. Enseñanza de las Ciencias.Vol 18, nº2, 285-295. Ga ilan J. M y o os (1999): So wa e en el ap endizaje de las ma emá icas. Re is a de enseñanza uni e si a ia, Núme o Ex ao dina io, 349-360. Goldembe g P. y Cuoco A. (1998): Dynamics Geome y as a b idge om Euclidean geome y o Analysis, en King J. y Scha schneide D. (Ed s) Geome y Tu ned On. Ma hema ical associa ion o Ame ica, (no es 41), Washing on, D.C. Ho e , A. 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