1330
ensayos CTOD, co esponden a las p obe as
en las que se encon a on mayo po cen aje de
g ano g ueso, en can idades de 12% y 7,8%
de amaño de GC (ASTM) < 7, con alo es de
8=1,05 y 8=0,22 mm espec i amen e ( e
Tabla V). Valo - es e úl imo en el umb al de lo
echazable.
La úl ima columna de la abla V, nos in o ma
del luga donde la g ie a po a iga u o su
iniciación, es os alo es ue on ob enidos po
obse ación mic oscópica. Se obse a que la
iniciación de la g ie a, siemp e ocu e en las
zonas adyacen es a la GCHAZ, como son
WM y FGHAZ, lo que en algún caso puede
supone , que po los an es señalados de
geome ia de la LF, la iniciación eal sea en la
zona de g ano g ueso. La abla VI nos in o ma
de los esul ados de los ensayos de mecánica
de ac u a, co espondien e a es e ensayo.
1) Se obse a en la Tabla I que la mayo
enacidad co esponde a las p obe as 1
y
5.También se obse ó que es as p obe as
expe imen a on un c ecimien o es able al o a
bajo con enido de g ano g ueso.
Dado que la ensión máxima es de
314N/mm2. Exis e un amplio ma gen de
segu idad de 65% con espec o al lími e
elás ico en la ZAC. Se dibuja on las g á icas
co espondien es a las nue e p obe as pa a los
alo es expe imen ales de longi ud de la g ie a
a ensión de ac u a aunque solo se ha
ep esen ado la g á ica de la p obe a
1,encon ándose acep able los alo es y
pe iles de los g á icos ob enidos Fig 2, que
1
K
¡,
xa
2
max
esponden a la unción a = --"---=,---
1,4.J,i
No se ha demos ado una co elación en los
alo es en las p obe as 1 y 5 de mayo
R. González
enacidad a la ac u a y los poi
mic oes uc u a que la g ie a a a
implica que no exis e una elació
bien una dependencia de o os ac c
2) Se comp ueba el cumplimien
unción de Pa is pa a alo es de los ace os
e i icos -Pe lí icos ( ace o es uc u al)
da
-12
31 .
dN
=
5,0lx JO ( 11K) · mi
c clo;
206,9N I mm
2
<
O"ys
< 344,8N / mm
2
3) Aunque no se ha encon ado una
co elación en e el amaño de g ano y los
alo es de CTOD que es ablezcan una
p opo cionalidad in e sa, si se obse a que
los meno es alo es ob enidos de CTOD
co esponden a alo es más al os de con enido
de g ano g ueso mues eado po la g ie a,
co espondie on a aquellas p obe as que en las
dos se ies de ensayos, ob u ie on meno alo
de CTOD, es deci , CTOD = 0,22 mm, que
ob u o un 7,8 % de GC < 7.Tabla V
Debido a que la línea de usión no es u o lo
su icien emen e ec a, no se pudo encon a
un mayo po cen aje de g ie a en los 0,5 mm
den o de la misma. No obs an e, las zonas
adyacen es a la de g ano g ueso (WM y FG)
mos a on los mayo es po cen ajes de zona
po donde a a esó la g ie a.
4) Los alo es CTOD ob enidos, ue on odos
acep ados con o me la no ma, ya que odos
los CTOD > 0,2 mm. En la abla IV se
ep esen an los alo es de CTOD y
po cen ajes de g ano.
5)Se demues a que la ene gía calo i ica
apo ada ue adecuada pa a es e ipo de
ace o encon ando unos alo es de CTOD
adecuados con o me a la no ma.
Anales de Ingenie ía Mecánica 14 (2003) Pág. 1331-1335 1331
P oblemas an iplanos de mecánica de la ac u a
en ma e iales anisó opos
F. Ga cía Sánchez, (1) A. Sáez Pé ez, (1) J. Domínguez Abascal
Depa amen o de Ingenie ía Ci il, de Ma e iales y Fab icación
Uni e sidad de Málaga, Plaza de El Ejido s/n, 29013 Málaga
e-mail:
[email p o ec ed]
( J )Depa amen o de Mecánica de Medios Con inuos, Teo ía de Es uc u as e l. T.
Uni e sidad de Se illa, Camino de los Descub imien os s/n, 41092 Se illa
e-mail: and E',[email p o ec ed] y
[email p o ec ed]
Resumen
Se p esen
a
l
a
o mul
a
ción mix
a
del Mé odo de los Elemen os de Con o no (MEC) p
a
a
p
oblem
a
s de mecánic
a
de ac u
a
an ipl
a
nos en medios
a
nisó opos. Se implemen an l
a
s
ecu
a
ciones in eg ales (El) en desplaz
a
mien os y en
a
cciones. L
a
s in eg ales
hipe singul
a
es asoci
a
d
a
s
a
l
a
El en
a
cciones se e alú
a
n medi
a
n e un cambio de
a
i able
que pe mi e su descomposición en in eg
al
es singula es con solución an
a
lí ic
a
conocida e
in eg
a
les
egul
a
es de ácil in eg
a
ción numé ic
a
. Se conside an l
a
s soluciones
undamen
a
les p
a a
pl
a
no comple o y p
a
a semiplano.
Palab as Cla es: Mé odo de elemen os de con o no, ac o de in ensidad de ensiones,
a
n
iso opía,
a
n ipl
a
no, hipe singula
Abs ac
This pape discuss on he implemen a ion o he mixed o mul
a
ion o he Bounda y
Elemen Me hod o
a
n iplane
a
c u
e mech
a
ni cs p oblems in aniso opic media. The
o
mul
a
ion makes use o bo h he displacemen
a
nd he
a
c ion in eg
a
l equ
a
ions. The
hype singul
a
ke nels appe
a
ing in he
a
c ion equ
a
ion
a
e compu ed by
a
ns o m
a
ion o
he in eg a
l
s in o egul
a
ones, which a e calcul
a
ed nume ically, plus simple singu
la
in eg
a
ls wi h known an
a
ly ic
a
l solu ions. Full-pl
a
ne
a
nd h
a
l -pl
a
ne undamen al solu ions
a
e conside
ed.
Keywo ds: Bound
a
y elemen me hod, s ess in ensi y ac o
,
a
niso opy,
a
n iplan e,
hype singul
a
_,_...,... ________________________________
_
l. In oducción
Es bien conocida la impo ancia que la
de e minación del ac o de in ensidad de
ensiones (FIT) iene en si uaciones
ingenie iles con p esencia de g ie as. La
de e minación de es e ac o ha sido
abo dada en la li e a u a median e
di e en es mé odos po mul i ud de
au o es, e. g. (7, 8, 10, 12). Es os es udios
se han ex endido al campo del
compo amien o anisó opo con el uso
p og esi o de ma e iales que mues an es e
compo amien o. En es e abajo se aplica
el MEC, en su o mulación mix a, al
análisis de p oblemas an iplanos
anisó opos pa a la de e minación del FIT.
Es a o mulación implica el a amien o de
in eg ales hipe singula es que son
esuel as aquí median e un sencillo cambio
de a iable que posibili a la
descomposición de es as in eg ales en
1332
suma de in eg ales de solución analí ica
conocida más una in eg al egula . Es e es
un p ocedimien o más gene al que los
exis en es en la li e a u a [ 11, 6].
2. Fo mulación del p oblema
2.1 Fo mulación mix a del MEC
La o mulación mix a del MEC pa a
ue zas de olumen nulas se basa en ( e.
g.[1]):
-Ecuación in eg al en desplazamien os (§
pe enece a
e):
clx)u/x)
+ p (x,x)uí
(x)d[(x)
+
[e
+
e
(1)
-Ecuación in eg al en acciones (§
pe enece a +):
P¡ (x) + N/x)
s k (x,x)uk
(x)d (x)+
Ge
+N/x)
s:k (x,x) u/x)d (x) =
["
=
Ni (x)
d k
(x,
x)pk (x)d (x)
Ge
(2)
donde e, + y
-
son los con o nos del
p oblema ( ig. la); Pi= p¡ + p¡ y uí =
=
u¡
-
u¡;
x=(x1
,x2) y §=(§1l2) son,
, spec i amen e, los pun os de colocación y
obse ación ( ig. lb); N es la no mal
ex e io en el pun o de colocación. Se ha
conside ado el caso ecuen e de que
Pi = O. u y p son las soluciones
undamen ales en desplazamien os y
acciones y s k y d:k es án elacionados
con las de i adas de las an e io es a a és
(a) Íc --------.
F. Ga cía Sánchez e al.
de las cons an es del ma e ial.
2.2 Solución undamen al caso an iplano
Los p oblemas bidimensionales anisó opos
se desacoplan, si el plano del dominio es de
sime ía elás ica, en un p oblema plano más
uno an iplano. Llamando x
1
-x2 a ese plano,
la ecuación de compo amien o en el caso
an iplano puede esc ibi se como
(c 23J (C44
C45J ( U31J
CJ"
13
= C45 C55 U3:2
(3)
y la solución undamen al iene la siguien e
exp esión (e.g. [6]):
u;
¡
(x,s ) = 2Re{Pn[
A
i
3
ln(z' -z
l
)-a
E
ll
A
ii
ln(z'
-z
l
) ]}
• { [ A
J
J Eii A
i
i ]}
p
J
J(x,s ) =2Re Q
JJ
-,-
(µ n
1
-n
2
)-a .......--=¡--(µ n
1
-n
2)
Z ·Z Z ·Z
(4)
donde a=O pa a plano comple o, a= 1 pa a
semiplano, n=(n1
,n2) es la no mal ex e io
al con o no en el pun o de obse ación
( ig. 1 b) y los é minos P33, Q33, A33 y E33,
dependen de las p opiedades del ma e ial.
z
( y zx son, espec i amen e, el pun o de
colocación y el de obse ación en el plano
complejo, de inidos median e:
z
( =
=
g
1
+ µ
g
2,zx = x
1
+ µ x2 con
µ =
-( C45 + i C 44 C55 -C 5
)/c
44, éase
[2].
Con odo lo an e io , as disc e iza los
con o nos del dominio, las exp esiones ( 1) y
(2) o man un sis ema de ecuaciones pa a el
cálculo de los desplazamien os y acciones
sob e e y de los inc emen os de
desplazamien o sob e
+·
2.3 In eg ación hipe singula
En las exp esiones (1) y (2) apa ecen
in eg andos de dis in o o den de
Figu a J. (a) Denominación de los con o nos pa a un dominio con g ie a.
(b) No mal un i a ia ex e io en el pun o de obse ación
Anales de Ingenie ía Mecánica 14 (2003) Pág. 1331-1335 1333
singula idad: débil, en los é minos u , que
se in eg an median e cuad a u as de Gauss
con ponde ación loga í mica; ue e, en los
é minos p , cuya in eg ación puede
ob ia se con la condición de mo imien o de
sólido ígido; e hipe singula , debido a los
é minos s:k que han sido in eg ados como
se indica a con inuación.
Las in eg ales hipe singula es ienen la
o ma
J µn
1
-n
2
<I> dI'
.Czx-zé, )2 q
(5)
donde Q>
q son las unciones de o ma que en
es e abajo han sido unciones cuad á icas.
Median e el cambio de a iable = zx -z
podemos esc ibi (
e ig. 1 b)
= d dx
1
+ d dx
2
= µ n
1
-n
2 (
6)
d dx
¡
d dx
2
d
Po o a pa e, desa ollando en se ie de
Taylo las unciones de o ma enemos
$, (
)-,p,(
-O)+
L:4'
]-$., +$'.,
+c{ ']
(7)
Lle ando la exp esión (6) y los dos p ime os
é minos del desa ollo en se ie (7) a (5), las
in eg ales hipe singula es pueden se
h
1
00000¡00000
(c)
.•
a
.1.
a •.
w
h
1
,
a I a
descompues as en suma de in eg ales de
solución analí ica conocida más una in eg al
egula ácilmen e calculable median e
cuad a u as o dina ias de Gauss:
2.4 De e minación del ac o de
in ensidad de ensiones
Pa a la de e minación del FIT emplea emos
la exp esión que lo elaciona con los
desplazamien os de los con o nos de la
g ie a (e. g. [10])
Km =-{ }óu
3
Im 1/(C 45 + µ C 44 ) (9)
donde el as e isco indica el nodo más
ce cano al é ice de g ie a y, como
habi ualmen e, indica dis ancia desde el
é ice. Pa a el elemen o del é ice de
giie a se u iliza un elemen o ec o, a un
cua o, discon inuo, que ep esen a el
compo amien o
Ji
de los desplazamien os
en el en o no del é ice de g ie a [8].
w
i
¡' : 1 ¡
00 0
T
. 1 . ·- -·- -
h -
--¡ :
i w
w
®®i®®
h ll
1 (d)
Figu a 2. Ejemplos esuel os:(a,b
) dominio in ini o, (c,d) dominio
ini o, (e) semiespacio
1334
3. Ejemplos Numé icos
A con inuación se p esen an los FIT
no malizados (K.m=Km/ (
ea)º 5) ob enidos
pa a los p oblemas que se ilus an en la ig.
2. Se han conside ado an o un ma e ial
cuasi-isó opo, que pe mi e compa a
nues os esul ados con los exis en es en la
li e a u a, como un ma e ial o ó opo
(g a i o-epoxy: C44=3.5 GPa, C55=7.07 GPa,
C4s=O
GPa).
3.1 Ejemplos de dominio in mi o ( igu as
2a y 2b)
La conco dancia en e los esul ados
ob enidos pa a el caso cuasi-isó opo y los
de las e e encias ([9], [61) se pone de
mani ies o en la igu a 3 y en la abla 1. Las
mallas empleadas pa a el caso de la ig. 2a
ha sido de 1
O elemen os pa a el segmen o
ho izon al y de 2 a 6 elemen os pa a el
oblicuo según su longi ud. Pa a el caso de la
Fig. 2b se ha usado una malla de 1
O
elemen os.
Km• ,---
- - - --- - -- - -- -
1.025 K
ª
11 -------- - ------- - - - --------- - --------------
1.000 ---------------------------------------------------------
0.975
0.950
0925
0.900
0.875
0850
-----K I;------------------------------------------------
---------------------------------------------------------
.
---------------
-Es e abajo ----------------------
• Sih 1965
0.825 L':=:;:::::::::::;::::::::::'...,__ - - _=i
o.o 0.1 0.2 0.3 0.4 o.5 0.6 0.7 0.8 0.9 bla
Figu a 3. K·w pa a g ie a bilineal ( ig. 2j
Tabla l. K•m pa a g ie as ecinas en dominio
in ini o ( ig. 2b, a = 0.45 d)
Vé ice:
A
B
e
D
Es e abajo 1.0179 1.0290 0.4836 0.5591
E. Pan (1997) (6]
1.0160 1.0269 0.4830 0.5580
3.2 Ejemplos de dominio ini o ( igu as 2c
y 2d)
Pa a caso cuasi-isó opo la abla 2 mues a,
nue amen e, la conco dancia de nues os
esul ados y los exis en es en la li e a u a [3,
4, 5, 6]. La igu a 4 mues a los esul ados
pa a caso anisó opo en unción del ángulo
en e las di ecciones de o o opía y el
F. Ga cía Sánchez e al.
sis ema de e e encia, <j>. Es e ángulo
p o oca una ma iz de compo amien o
anisó opa aunque el ma e ial sea o ó opo.
La malla empleada en ambos casos cons a
de 24 elemen os en el con o no ex e io y 6
elemen os pa a de ini la g ie a.
Tabla 2.K·w pa a placa cuad ada (
jigs. 2c y
2d)
Es e Mae Pan
Ejemplo e/w abajo al. (1997) [6]
o
1.1311 1.130 (3] 1.1276
Fig. 2c
0.5 1.1542 1.178 [5) 1.154
Fig. 2d
o
0.9232 0.923 [4) 0.9231
Tabla 3. K·w pa a g ie a e ical
en semiespacio ( ig. 2e, h = 2a)
Vé ice: A B
Es e abajo 1.0499 1.0299
an (1997) [6] 1.0487 1.0287
3.3 Ejemplo de semiespacio ( igu a 2e)
Nue amen e puede ap ecia se la exac i ud
de los esul ados pa a el caso cuasi-isó opo
en la compa ación de la abla 3. La malla
empleada iene 14 elemen os pa a de ini la
g ie a. La supe icie lib e no es necesa io
malla la usando la solución de semiplano.
4. Conclusiones
Se ha p esen ado la implemen ación de la
o mulación núx a del MEC pa a el es udio
de p oblemas an iplanos de mecánica de la
ac u a en medios anisó opos. Las
in eg aciones hipe singula es implíci as en
la El en acciones se han esuel o median e
un sencillo p oceso de egula ización con la
ayuda de un cambio de a iable y del
desa ollo en se ie de Taylo de las
unciones de o ma en el en o no del pun o
de colocación. La gene alidad del
p ocedimien o de in eg ación pe mi e el
empleo de elemen os discon inuos a un
cua o que modelan el compo amien o del
sólido en los al ededo es del é ice de una
Anales de Ingenie ía Mecánica 14 (2003) Pág. 1331-1335 1335
1.7
1.6
1.5
1.4
1.3
1.2
1.4
1.3
1.2 ------------------------------------------------------
1.1 -------- -------------------------------- -------------
1 --- ---------------------------------------- ------ ---
0.9 -------------------------------------------- ------- -----
0.8 L- - --'- - __._ ____,
15 30 45 60 75 O 15 30 45 60 75
Figu a 4. K•m en e al ángulo de las di ecciones de o o opía con el sis ema de e e encia, ,p.
Jzda: caso de ig. 2c. Dcha: caso de jig. 2d
g ie a. Los FIT se e alúan di ec amen e a
pa i de los desplazamien os calculados
pa a el nodo más ce cano al é ice de
g ie a. De la compa ación de los esul ados
ob enidos con los exis en es en la li e a u a
se deduce la e icacia y p ecisión del mé odo
expues o.
5. Re e encias
l. F. Ga cía, A. Sáez, J. Domínguez,
Ac as Mé . Num. Ing. V, Mad id,
(2002) 170.
2. S.G. Lekhni skii, Th. elas . anis. el.
body, Holden-Day, San F ancisco,
(1963).
3. S.W. Ma, Eng. F ac. Mech., Vol. 30,
(1988) 435.
4. S.W. Ma, In . J. F ac., Vol. 39,
(1989) 323.
5. S.W. Ma, L.X. Zhang, Eng_ F ac.
Mech., Vol. 40, (1991) l.
6. E. Pan, In . J. F ac., Vol. 88, (1997)
41.
7. E. Pan, C.-S. Chen, B. Amadei, Eng.
Anal. Bound. El., Vol. 20, (1997)
185.
8. A. Sáez, R. Gallego, J. Domínguez,
In . J. Num. Me h. Eng., Vol. 38,
(1995) 1861.
9. G.C. Sih, T ans. ASME, Se . E, J.
Appl. Mech., Vol. 32, (1965) 51.
10. G.C. Sih, P.C. Pa is, G.R. I win, In .
J. F ac. Mech., Vol. 1, (1965) 189.
11. P. Solle o, M.H. Aliabadi, In . J.
F ac., Vol. 64, (1993) 269.
12. P. Solle o, M.H. Aliabadi, Comp.
S uc., Vol. 31, (1995) 229.
6. Ag adecimien os
Los au o es exp esan su ag adecimien o al
Minis e io de Ciencia y Tecnología po el
apoyo económico ecibido a a és del
p oyec o DPI2000-12 l 7-C02-0 l.