Problemas antiplanos de mecánica de la fractura en materiales anisótropos

1330 ensayos CTOD, corresponden a las probetas en las que se encontraron mayor porcentaje de grano grueso, en cantidades de 12% y 7,8% de tamaño de GC (ASTM) < 7, con valores de 8=1,05 y 8=0,22 mm respectivamente (ver Tabla V). Valoreste último en el umbral de lo rechazable. La última columna de la tabla V, nos informa del lugar donde la grieta por fatiga tuvo su iniciación, estos valores fueron obtenidos por observación microscópica. Se observa que la iniciación de la grieta, siempre ocurre en las zonas adyacentes a la GCHAZ, como son WM y FGHAZ, lo que en algún caso puede suponer, que por los antes señalados de geometria de la LF, la iniciación real sea en la zona de grano grueso. La tabla VI nos informa de los resultados de los ensayos de mecánica de fractura, correspondiente a este ensayo. 1) Se observa en la Tabla I que la mayor tenacidad corresponde a las probetas 1 y 5.También se observó que estas probetas experimentaron un crecimiento estable alto a bajo contenido de grano grueso. Dado que la tensión máxima es de 314N/mm2. Existe un amplio margen de seguridad de 65% con respecto al límite elástico en la ZAC. Se dibujaron las gráficas correspondientes a las nueve probetas para los valores experimentales de longitud de la grieta a tensión de fractura aunque solo se ha representado la gráfica de la probeta 1,encontrándose aceptable los valores y perfiles de los gráficos obtenidos Fig 2, que 1 K ¡, xa 2 max responden a la función a = --"---=,--- 1,4.J,i No se ha demostrado una correlación en los valores en las probetas 1 y 5 de mayor R. González tenacidad a la fractura y los poi microestructura que la grieta atrav implica que no existe una relació bien una dependencia de otros factc 2) Se comprueba el cumplimien función de Paris para valores de los aceros ferriticos -Perlíticos ( acero estructural) da -12 31 . dN = 5,0lx JO ( 11K) · mi crclo; 206,9N I mm 2 < O"ys < 344,8N / mm 2 3) Aunque no se ha encontrado una correlación entre el tamaño de grano y los valores de CTOD que establezcan una proporcionalidad inversa, si se observa que los menores valores obtenidos de CTOD corresponden a valores más altos de contenido de grano grueso muestreado por la grieta, correspondieron a aquellas probetas que en las dos series de ensayos, obtuvieron menor valor de CTOD, es decir, CTOD = 0,22 mm, que obtuvo un 7,8 % de GC < 7.Tabla V Debido a que la línea de fusión no estuvo lo suficientemente recta, no se pudo encontrar un mayor porcentaje de grieta en los 0,5 mm dentro de la misma. No obstante, las zonas adyacentes a la de grano grueso (WM y FG) mostraron los mayores porcentajes de zona por donde atravesó la grieta. 4) Los valores CTOD obtenidos, fueron todos aceptados conforme la norma, ya que todos los CTOD > 0,2 mm. En la tabla IV se representan los valores de CTOD y porcentajes de grano. 5)Se demuestra que la energía calorifica aportada fue adecuada para este tipo de acero encontrando unos valores de CTOD adecuados conforme a la norma. Anales de Ingeniería Mecánica 14 (2003) Pág. 1331-1335 1331 Problemas antiplanos de mecánica de la fractura en materiales anisótropos F. García Sánchez, (1) A. Sáez Pérez, (1) J. Domínguez Abascal Departamento de Ingeniería Civil, de Materiales y Fabricación Universidad de Málaga, Plaza de El Ejido s/n, 29013 Málaga e-mail: [email protected] ( J )Departamento de Mecánica de Medios Continuos, Teoría de Estructuras e l. T. Universidad de Sevilla, Camino de los Descubrimientos s/n, 41092 Sevilla e-mail: andrE',[email protected] y [email protected] Resumen Se present a l a formul a ción mixt a del Método de los Elementos de Contorno (MEC) p a r a p r oblem a s de mecánic a de fractu r a antipl a nos en medios a nisótropos. Se implementan l a s ecu a ciones integrales (El) en desplaz a mientos y en tr a cciones. L a s integrales hipersingul ar es asoci a d a s a l a El en t ra cciones se evalú a n medi a nte un cambio de v a ri able que permite su descomposición en integr al es singulares con solución an a lític a conocida e integ ra les r egul a res de fácil integr a ción numéric a . Se consideran l a s soluciones fundament a les p ara pl a no completo y p a ra semiplano. Palabras Claves: Método de elementos de contorno, factor de intensidad de tensiones, a n isotropía, a ntipl a no, hipersingular Abstract This paper discuss on the implementation of the mixed formul a tion of the Boundary Element Method for a ntiplane fr a ctu r e mech a ni cs problems in anisotropic media. The fo r mul a tion makes use of both the displacement a nd the tr a ction integr a l equ a tions. The hypersingul a r kernels appe a ring in the tr a ction equ a tion ar e computed by t ra nsfo rm a tion of the integra l s into regul a r ones, which are calcul a ted numerically, plus simple singu lar integ ra ls with known an a lyt ic a l solutions. Full-pl a ne a nd h a lf-pl a ne fundamental solutions a re conside r ed. Keywords: Bound a ry element method, stress intensity facto r , a nisotropy, a ntiplan e, hypersingul ar _,_...,... ________________________________ _ l. Introducción Es bien conocida la importancia que la determinación del factor de intensidad de tensiones (FIT) tiene en situaciones ingenieriles con presencia de grietas. La determinación de este factor ha sido abordada en la literatura mediante diferentes métodos por multitud de autores, e. g. (7, 8, 10, 12). Estos estudios se han extendido al campo del comportamiento anisótropo con el uso progresivo de materiales que muestran este comportamiento. En este trabajo se aplica el MEC, en su formulación mixta, al análisis de problemas antiplanos anisótropos para la determinación del FIT. Esta formulación implica el tratamiento de integrales hipersingulares que son resueltas aquí mediante un sencillo cambio de variable que posibilita la descomposición de estas integrales en 1332 suma de integrales de solución analítica conocida más una integral regular. Este es un procedimiento más general que los existentes en la literatura [ 11, 6]. 2. Formulación del problema 2.1 Formulación mixta del MEC La formulación mixta del MEC para fuerzas de volumen nulas se basa en ( e. g.[1]): -Ecuación integral en desplazamientos (§ pertenece ar e): clx)u/x) + fp (x,x)uí (x)d[(x) + [e r+ re (1) -Ecuación integral en tracciones (§ pertenece a f+): P¡ (x) + N/x) f s k (x,x)uk (x)dr(x)+ Ge +N/x) f s:k (x,x) u/x)dr(x) = [" = Ni (x) f d k (x, x)pk (x)dr(x) Ge (2) donde re, r + y rson los contornos del problema (fig. la); Pi= p¡ + p¡ y uí = = u¡ - u¡; x=(x1 ,x2) y §=(§1l2) son, r, spectivamente, los puntos de colocación y observación (fig. lb); N es la normal exterior en el punto de colocación. Se ha considerado el caso frecuente de que Pi = O. u y p son las soluciones fundamentales en desplazamientos y tracciones y s k y d:k están relacionados con las derivadas de las anteriores a través (a) Íc --------. F. García Sánchez et al. de las constantes del material. 2.2 Solución fundamental caso antiplano Los problemas bidimensionales anisótropos se desacoplan, si el plano del dominio es de simetría elástica, en un problema plano más uno antiplano. Llamando x 1 -x2 a ese plano, la ecuación de comportamiento en el caso antiplano puede escribirse como (cr23J (C44 C45J ( U31J CJ" 13 = C45 C55 U3:2 (3) y la solución fundamental tiene la siguiente expresión (e.g. [6]): u; ¡ (x,s ) = 2Re{Pn[ A i 3 ln(z' -z l )-a E ll A ii ln(z' -z l ) ]} • { [ A J J Eii A i i ]} p J J(x,s ) =2Re Q JJ -,- f (µ n 1 -n 2 )-a .......--=¡--(µ n 1 -n 2) Z ·Z Z ·Z (4) donde a=O para plano completo, a= 1 para semiplano, n=(n1 ,n2) es la normal exterior al contorno en el punto de observación (fig. 1 b) y los términos P33, Q33, A33 y E33, dependen de las propiedades del material. z ( y zx son, respectivamente, el punto de colocación y el de observación en el plano complejo, definidos mediante: z ( = = g 1 + µ g 2,zx = x 1 + µ x2 con µ = -( C45 + i C 44 C55 -C 5 )/c 44, véase [2]. Con todo lo anterior, tras discretizar los contornos del dominio, las expresiones ( 1) y (2) forman un sistema de ecuaciones para el cálculo de los desplazamientos y tracciones sobre re y de los incrementos de desplazamiento sobre r +· 2.3 Integración hipersingular En las expresiones (1) y (2) aparecen integrandos de distinto orden de r Figura J. (a) Denominación de los contornos para un dominio con grieta. (b) Normal un itaria exterior en el punto de observación Anales de Ingeniería Mecánica 14 (2003) Pág. 1331-1335 1333 singularidad: débil, en los términos u , que se integran mediante cuadraturas de Gauss con ponderación logarítmica; fuerte, en los términos p , cuya integración puede obviarse con la condición de movimiento de sólido rígido; e hipersingular, debido a los términos s:k que han sido integrados como se indica a continuación. Las integrales hipersingulares tienen la forma J µn 1 -n 2 <I> dI' r.Czx-zé, )2 q (5) donde Q> q son las funciones de forma que en este trabajo han sido funciones cuadráticas. Mediante el cambio de variable r = zx -zf podemos escribir ( ver fig. 1 b) = dr dx 1 + dr dx 2 = µ n 1 -n 2 ( 6) dr dx ¡ dr dx 2 dr Por otra parte, desarrollando en serie de Taylor las funciones de forma tenemos $, ( r )-,p,(r -O)+ L:4' ]-$., +$'., r +c{r'] (7) Llevando la expresión (6) y los dos primeros términos del desarrollo en serie (7) a (5), las integrales hipersingulares pueden ser h 1 00000¡00000r (c) .• a .1. a •. w h 1 , a I a descompuestas en suma de integrales de solución analítica conocida más una integral regular fácilmente calculable mediante cuadraturas ordinarias de Gauss: 2.4 Determinación del factor de intensidad de tensiones Para la determinación del FIT emplearemos la expresión que lo relaciona con los desplazamientos de los contornos de la grieta (e. g. [10]) Km =-{ }óu 3 Im 1/(C 45 + µ C 44 ) (9) donde el asterisco indica el nodo más cercano al vértice de grieta y, como habitualmente, r indica distancia desde el vértice. Para el elemento del vértice de giieta se utiliza un elemento recto, a un cuarto, discontinuo, que representa el comportamiento Ji de los desplazamientos en el entorno del vértice de grieta [8]. w i ¡' : 1 ¡ 00 0\ T . 1 . ·- -·- - h - --¡ : i w w r®®i®® h ll 1 (d) Figura 2. Ejemplos resueltos:(a,b ) dominio infinito, (c,d) dominio finito, (e) semiespacio 1334 3. Ejemplos Numéricos A continuación se presentan los FIT normalizados (K.m=Km/t( rea)º 5) obtenidos para los problemas que se ilustran en la fig. 2. Se han considerado tanto un material cuasi-isótropo, que permite comparar nuestros resultados con los existentes en la literatura, como un material ortótropo (grafito-epoxy: C44=3.5 GPa, C55=7.07 GPa, C4s=O GPa). 3.1 Ejemplos de dominio infmito (figuras 2a y 2b) La concordancia entre los resultados obtenidos para el caso cuasi-isótropo y los de las referencias ([9], [61) se pone de manifiesto en la figura 3 y en la tabla 1. Las mallas empleadas para el caso de la fig. 2a ha sido de 1 O elementos para el segmento horizontal y de 2 a 6 elementos para el oblicuo según su longitud. Para el caso de la Fig. 2b se ha usado una malla de 1 O elementos. Km• ,--- - - - --- - -- - -- - 1.025 K ª 11 -------- - ------- - - - --------- - -------------- 1.000 --------------------------------------------------------- 0.975 0.950 0925 0.900 0.875 0850 -----K I;------------------------------------------------ --------------------------------------------------------- . --------------- -Estetrabajo ---------------------- • Sih 1965 0.825 L':=:;:::::::::::;::::::::::'...,__ - - _=i o.o 0.1 0.2 0.3 0.4 o.5 0.6 0.7 0.8 0.9 bla Figura 3. K·w para grieta bilineal (fig. 2j Tabla l. K•m para grietas vecinas en dominio infinito (fig. 2b, a = 0.45 d) Vértice: A B e D Este trabajo 1.0179 1.0290 0.4836 0.5591 E. Pan (1997) (6] 1.0160 1.0269 0.4830 0.5580 3.2 Ejemplos de dominio finito (figuras 2c y 2d) Para caso cuasi-isótropo la tabla 2 muestra, nuevamente, la concordancia de nuestros resultados y los existentes en la literatura [3, 4, 5, 6]. La figura 4 muestra los resultados para caso anisótropo en función del ángulo entre las direcciones de ortotropía y el F. García Sánchez et al. sistema de referencia, <j>. Este ángulo provoca una matriz de comportamiento anisótropa aunque el material sea ortótropo. La malla empleada en ambos casos consta de 24 elementos en el contorno exterior y 6 elementos para definir la grieta. Tabla 2.K·w para placa cuadrada ( jigs. 2c y 2d) Este Maet Pan Ejemplo e/w trabajo al. (1997) [6] o 1.1311 1.130 (3] 1.1276 Fig. 2c 0.5 1.1542 1.178 [5) 1.154 Fig. 2d o 0.9232 0.923 [4) 0.9231 Tabla 3. K·w para grieta vertical en semiespacio (fig. 2e, h = 2a) Vértice: A B Este trabajo 1.0499 1.0299 an (1997) [6] 1.0487 1.0287 3.3 Ejemplo de semiespacio (figura 2e) Nuevamente puede apreciarse la exactitud de los resultados para el caso cuasi-isótropo en la comparación de la tabla 3. La malla empleada tiene 14 elementos para definir la grieta. La superficie libre no es necesario mallarla usando la solución de semiplano. 4. Conclusiones Se ha presentado la implementación de la formulación núxta del MEC para el estudio de problemas antiplanos de mecánica de la fractura en medios anisótropos. Las integraciones hipersingulares implícitas en la El en tracciones se han resuelto mediante un sencillo proceso de regularización con la ayuda de un cambio de variable y del desarrollo en serie de Taylor de las funciones de forma en el entorno del punto de colocación. La generalidad del procedimiento de integración permite el empleo de elementos discontinuos a un cuarto que modelan el comportamiento del sólido en los alrededores del vértice de una Anales de Ingeniería Mecánica 14 (2003) Pág. 1331-1335 1335 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1.2 1.4 1.3 1.2 ------------------------------------------------------ 1.1 -------- -------------------------------- ------------- 1 --- ---------------------------------------- ------ --- 0.9 -------------------------------------------- ------- ----- 0.8 L- - --'- - __._ ____, 15 30 45 60 75 O 15 30 45 60 75 Figura 4. K•m frente al ángulo de las direcciones de ortotropía con el sistema de referencia, ,p. Jzda: caso de fig. 2c. Dcha: caso de jig. 2d grieta. Los FIT se evalúan directamente a partir de los desplazamientos calculados para el nodo más cercano al vértice de grieta. De la comparación de los resultados obtenidos con los existentes en la literatura se deduce la eficacia y precisión del método expuesto. 5. Referencias l. F. García, A. Sáez, J. Domínguez, Actas Mét. Num. Ing. V, Madrid, (2002) 170. 2. S.G. Lekhnitskii, Th. elast. anis. el. body, Holden-Day, San Francisco, (1963). 3. S.W. Ma, Eng. Frac. Mech., Vol. 30, (1988) 435. 4. S.W. Ma, Int. J. Frac., Vol. 39, (1989) 323. 5. S.W. Ma, L.X. Zhang, Eng_ Frac. Mech., Vol. 40, (1991) l. 6. E. Pan, Int. J. Frac., Vol. 88, (1997) 41. 7. E. Pan, C.-S. Chen, B. Amadei, Eng. Anal. Bound. El., Vol. 20, (1997) 185. 8. A. Sáez, R. Gallego, J. Domínguez, Int. J. Num. Meth. Eng., Vol. 38, (1995) 1861. 9. G.C. Sih, Trans. ASME, Ser. E, J. Appl. Mech., Vol. 32, (1965) 51. 10. G.C. Sih, P.C. Paris, G.R. Irwin, Int. J. Frac. Mech., Vol. 1, (1965) 189. 11. P. Sollero, M.H. Aliabadi, Int. J. Frac., Vol. 64, (1993) 269. 12. P. Sollero, M.H. Aliabadi, Comp. Struc., Vol. 31, (1995) 229. 6. Agradecimientos Los autores expresan su agradecimiento al Ministerio de Ciencia y Tecnología por el apoyo económico recibido a través del proyecto DPI2000-12 l 7-C02-0 l.