1
l
EST
AM1
p
R
o
B
L
E
M
E
s
.,
DIPLOMATURA D'ESTADÍSTICA
'
ANALISI
'
MATEMATICA 1
·
Albe
A inyó
Mª
Angela
G au
Fe nando
Ma ínez
UNIVERSITAT
POLITECNICA
DE
CATALUNYA
UNIVERSITAT
POLITECNICA
DE
CATALUNYA
Biblio eca
11
11
111
~
l
ll
lllll
ll
lll
lllll
11
11
1
11
11
111
1111
11
11111
11
111
11
11
1
1400326554
Diploma u a
d'Es adís ica
Depa amen
de
Ma ema ica
Aplicada
11
Facul a
de
Ma ema iques
i
Es adís ica.
UPC
ÁNALISI
MATEMÁTICA
1
PROBLEMES
Cu s
1999-2000.
P ime
quad imes e
Albe
A inyó
Mª
Ángela G au
Femado Ma ínez
Ba celona, se emb e 1999
es
eals
complexos
demos ació di ec a,
una
pel con a ecíp oc i
una
pe
educció a
l'absu d
de l'a i mació
?
~_::=:
:
, 2 E N sena
==:;.
n sena .
_
=:_::_
~
ese
n
ació
decimal de
19/8
i 23/29 .
..:..
.-.s
::::.
mb
es
acionals que
enen
pe
ep esen ació decimal 2.3292 i 0.917.
acionals i a,
3
són i acionals, digueu com són
a+
b,
a+
(3,
ab,
a(3,
aa
i
a+
a.
:-
-::
-.;-:?'..:.si
mo iu d'aques e i doneu exemples de nomb es i acionals que
suma s
i mul iplica s
..:;:-- _
.:.
_:-:::.Is .
.,.
.
.,
nooil eco e un
quad a
de e ex A,B,C i D amb eloci a cons an i
un
al e
mobil es
BOU
sob e
la
diagonal AC
amb
la
ma eixa
eloci a , en mo imen
d'anada
i
o nada
. Si en
un
momen
dona
els dos mobils coincideixen en el
pun
A,
demos eu
que
no es
o nen
a
oba .
- )
s·
/ . / ' . 1 d· 1 h m
'2
(p
m)
' . . l
o. a i m n i p q son ac10na s
11e en
s,
a es o es p o eu que -+ - - - - es ac10na .
n 2 q n
b)
Fen
ús de
l'apa a
an e io , p o eu que
en e
dos acionals di e en s semp e hi
ha
un
i acional.
6.
T obeu
un
nomb e eal a
al
que a2 sigui i acional i a4 sigui acional.
1.
T obeu
el
sup em
i l'ín im, si exis eixen, dels conjun s següen s:
a)
E1 =
{1,
2,
3},
b)
Si=
{x E
IR
:
lx
-ll <
2},
c)
E3 =
IR+,
d)
E4
= { x E
(O,
1)
: el desen olupamen decimal de x no
é
nous}.
8.
T obeu, si exis eixen, el sup em, l'ín im, el maxim i el mínim dels conjun s següen s:
a)
A = {2, 2.2, 2.22, 2.222,
..
. } .
b)
B={xEIR.:
x=(-l +~,nEN}
.
c)
C = { x E
IR.
: x2 +
5x
-6 S
Ü}
.
3
9. Fen ús de la p opie a a quimediana, p o eu que el sup em del conjun de ini
pe
{ (n -!} ,_
és
1/
2.
10. Dona s dos subconjun s A i B de R de inim:
A+
B =
{X+
y 1 X E A, y E
B}
Demos eu:
a) sup(A U
B)
=
max{supA
,
sup
B}
b)
sup(AnB)
~min{supA,supB}
e)
sup(A +
B)
=
supA
+
supB
d)
sup(AB
)
-
sup A · sup B
AB
= {
xy
1 x E A, y E B}
11.
Esc i iu l
es
exp essions següen s p escindin dels alo s absolu s:
a)
lx
-
YI
-
lxl;
e)
lixl
-11;
12. T obeu els nomb es x als que:
b)
!xi
-
lx
21;
d)
x -
lx
+
!xi
1 ·
a)
lx
-
31=2;
e)
lx
+ ll <
4;
e)
l
2x
+ 7 I
~
3;
b)
lx
-11+lx+31=4;
d)
lx
+ ll +
lx
+
21
<
2;
)
lx
-ll +
lx
+ ll
=O
;
g)
lx
-lllx +
21=3;
h)
lx
+ lllx -
21
=
-(x
+ l)(x -
2).
3. Demos eu que:
a
ll
x - YI -
ly
-
zil
~
lx
-
zl
Vx
, y, z E
lR;
b)
CTax{
a
,
b}=a+b~la-bl
Va,bEJR;
) . {
b}
_ a + b -
la
-
bl
.J
b
l!'ll
e
Dl.Il
a,
-n V
a,
E
.11' ..
14.
R.es
-0l
eu
les
inequacions següen s:
4
1)/2n
: n
a) j 2x - 2
X
+41<1;
2
b) 1 < ¡x -5x + 6
-
x+2
J <
2;
e)
j
3x
-
5j
-j2x +
3j
>
O;
d) jx2 -5xj >
jx
2j - j5xj.
:.5
. Resoleu les desigual a s següen s:
1 1
a) 4
<X+
3; b) X
-1
X+
1
--<--
x+1-x-1·
16.
T obeu
o s
els nomb es x E
lR
que compleixen jjx -
lj
-
jx
+ ljj
:S
l.
. 1 1 1 1 1 1
17.
P o eu que
s1
jxj
::;
1,
lla o s es
é
x4 + 2x3 +
4x
2 +
Bx
+
16
<
2.
18.
Exp esseu els nomb es complexos següen s de la o ma
a+
bi:
. 3 2 + 3i
a) ( 1 + 3i) ; b) 3 _ 4i ;
e)
is+
il6.
'
d)
~(1-:i).
1 +
i-
8
19. Siguin
z,
z1 i
z2
es nomb es complexos. Comp o eu que se sa is an les
p opie a s
següen s:
a) Z1-+z2 = Z1 +
Z2j
b)
z1
·
z2
=z'i
·z2;
c)z
·
z=jzj
2;
d)z+z=2a
(a=Re(z));
z-z
e) - . - =
2b
(b
=
Im(z))
.
i
20.
Ca
lculeu el conjuga
d'un
nomb e complex exp essa
en
o ma pola .
21. E ec
ueu
les ope acions indicades:
2
-3i
a)-----
e)
(1
-
iJ3) ;
5
e)
(1
-
i)4
;
3+i
4(2 -
i),
5
b)
(l+i)
53;
d)
(1+i~)10.
1-
i ,
1
)
(-1)
5.

22.
Desc i iu geome icamen el conjun dels nomb es complexos z que sa is an
cadascuna
de l
es
condicions següen s:
a)
izl
=
2;
b)
lzl
<
!;
e)
izl
:::;;
1;
d) z + z =
1;
e) z -z = i;
)
z + z =
izl
2.
23.
Dona
un
nomb e complex w di e en de ze o, de e mineu
pe
a quins complexos z di e en s
de w el quocien z + w és
un
nomb e eal. De e mineu
ambé
pe a
quins és imagina i
pu .
z-w
2 D . . b d
3b
-2ai . . l . d , d l 1
4.
e e mmeu
a 1 e o ma que 4 .
s1gm
ea 1 e mo u .
-3i
25.
Esb ineu l'e o del aonamen següen :
1 =
'1
=
J(-1)(-1)
=
RR
= i2 =
-1.
26.
Si
z1
i
z2
són nomb es complexos, p o eu:
a)
lz1
-
z2I:::;;
(1
+
iz11
2) +
(1
+
iz2J
2
);
b) si
z1
és no nul, lla o s
lz1
+
z2I
= izil +
lz2I
{;:::::::}
z2
és eal i no nega iu.
z1
21. Demos eu
la
o mula de De Moi e, que diu que
sin
és
un
nomb e en e , lla o s
(cosa+isina)n
=
cos(na)
+isin(na).
n
28.
Resoleu l'equació
IJ
( cos
ka
+ i sin
ka)
=
l.
k=l
29.
Calculeu les a els se enes de
la
uni a .
30.
a)
Una
de les a els cúbiques
d'un
nomb e complex és 3i. Calculeu aques nomb e i les se es
al es a els cúbiques.
b)
Saben
que
3í és
una
a el n-esima
d'un
nomb e complex, calculeu aques nomb e i les se es
al es a els n-esimes.
31.
Demos eu que
la
suma
de les a els cúbiques de qualse ol nomb e complex és ze o.
6
ma
de les
di e en s
u .
5 se es
se
es
32.
T obeu a es les a els de l'equació z6 -2z3 + 2
=O.
33.
Resoleu a C les equacions següen s:
a)
z2 +
iz
+ 1
=O;
b) z =
z-
1;
e)
z3 -z2 -z -2
=O;
d) z3 +
(1
+
i)z
2 + (i -2)z -2i
=O.
34.
De e mineu el complexos z als que
el
seu
quad a
és
igual al seu conjuga .
35.
P o eu
la
igual a
- +
-i
+ - -
-i
= 2 cos -
:/
n E
N.
(1
J3
·)n
(1
J3
·)n
n7T'
2 2 2 2
3'
36.
De e mineu la elació en e a i b
pe
al que
el
complex z = a +
bi
sa is aci la desigual a
Re
(;)
+ Im (
~)
<
l.
37.
Demos eu que la
suma
deis quad a s de
les
es a els cúbiques complexes de qualse ol nomb e
eal
és
ze o.
38.
Calculeu 1 + i + i2 + ... + i43 •
39.
Siguin
1,
a, a2 les a els cúbiques de la uni a , p o eu que
(1
+ a2)4
=a.
40.
T obeu els nomb es complexos que compleixen z1º - 2z5 + 1
=O.
7
c
1ons
eals
de
a iable
eal.
Lími s
i
con inu'i a
obeu el domini de
les
undons següen s:
a)
(x)
=Vx°2-5x+6;
e)
h(x)
= ln(x2 -
5x
+
4)
.
x-6
,
e)
m (
x)
=
x2
-
5x
+ 6 .
y-
x+2
'
X .
b) g(x) =
Jlx
-2¡'
ln(x-1).
d)
k(x) = cosec x '
)
n(x) = a csin(x3 + 1).
2.
Doneu
un
exemple de undó de inida a l'in e al
[O,
1]
que no es igui i ada.
3. T obeu les in e ses de les undons següen s als in e als on sigui possible:
a)
(x)
= coshx
=~(ex+
e-x);
e)
h(x)
= ln(3
+ex);
4.
Demos eu les iden i a s següen s:
x
sinx
a)
an
-
2 = 1 .
+
cosx
.
x+y
x-y
)
CO
S
X+
COS y = 2 COS -2
- . COS -2
-.
2
~in
x
cos
y=
sin(x -
y)+
sin(x
+y).
sinh(x
+y)
x +
anh
y = h h .
COS X COS y
--
~
....,
O)
g
(X)
= 3x + 1
x-2'
x2
d) k(x) = a gsinh 1 +
x4
.
.::
.
~
:
~
-
Runa
undó qualse ol, p o eu que
(x)-
(-x)
és
una
undó sena .
;
::
".;.
-=-'
,
~
e
la un
ció
g(x) =
sin2x
+
sinx
+sin~
és
pe iodica. Quin
és
el seu pe íode?
:
~
~
eu
la eladó exis en en e la g a ica de la undó
(x)
i les de (x)
+a,
.:
ax
), l (x)I i
max{ (x),O}
.
9
8.
Sigui la unció
(x)
=
~(x
+~)de inida
en [1,+oo). Demos eu que és
una
con acció,
ésa
2 X
di , exis eix K E
{O,
1)
al
que
l
(x1) -
(x2)I
:s;
K
lx1
-
x2I
pe a
o
x1,
x2
E
[1,
+oo).
9.
Fen se i la de inició de lími , demos eu que lim x2 = a2.
x- a
10.
Fen
ús
de la de inició de lími , p o eu que:
a)
lim x sin.!, =
O;
x- O
X
b) lim ( 1
1)4
=OO.
x- l X -
11.
Calculeu els lími s següen s:
4 + 3
) l. X X
+X
a im ·
x- O
x2 -2x '
e)
lim
'3x
+ 1 -
yX+3
x- l
Jsx
+ 3 - ../3x + 5;
e)
lim (
3x
+
2)
2x.
x- oo
3x -1 '
g)
lim ( X2 + 2x -1 )
x+
1
x- (-2)
x+3
') 1
. sin2 x + sin x -2
1
Im
'
x- ¡
sin2 x -4 sin x +
3'
k)
limx
2
-{a+l)x+a
x- a
x3
-
a3
;
xm-1
m) lim , ;
x- l X -
o) lim
(ª~+b~)x
X- OO
2 j
b) lim
~- il-X.
x- O
X ,
1
d) lim{l + 5x): ;
x- O
)
lim ( co x -co 2x);
x- O
h) lim
J(l
+
ax){l
+
bx)
-1
x- O
X j
X .
') lim
--==::::::::::::::=:=~¡;;'
J
x- oo
J X + J X + y X
1 1
l)
lim x 3 - 2x 3 + 1
x- l (x _ 1)2 ;
Xn
-yn
n) lim ;
x- ¡¡
X -y
p)
2~~
( J X +
Vx
-J X -
Vx).
12.
Demos eu la con inul a de les uncions següen s a
pa i
de la de inició:
a)
(x)
=
3x
2 +
5x;
b)
(x)
=!xi+
10.
10
P o eu que
F'(x)
exis eix
pe a
o
x E
(a,
b)
i que
{
(x)
~(x)I
i i(x)
h(x)
F'(x)
= 1 1 +
91
(X)
92
(X)
1 l
li
(X)
9~
(X)
9.
Calculeu i simpli iqueu les de i ades de les undons següen s:
x2
-1
a)
y=
In--·
x2 +
1'
=x
c)
y=
a c an
y
Ux;
e)
y=
xx1n"'.
,
X a
b)
y=
sin(lnx);
1
d)
y=
a csin
./X;
)
y=
e5in((2x)i).
,
2
an
2 +
an
2 .
)
y=
--In
x
a'
g sin a
an
- -
an
-
1
2x
+ 1
h)y=ln 'x2+x+l-
J3a c an--=
2 2
10.
Sigui
(x)
=
x(x
-
l)(x
-
2)
...
(x -1000). T obeu '(O).
11.
T obeu els alo s de
a,
b,
e
pe
als quals les g a iques de
(x)
= x2
+ax+
b i 9(x) = x3 -e e
allen al
pun
(1,
2)
i enen la ma eixa angen en aques pun .
12.
Demos eu que
pe a
o
m E
R,
la
undó
polinomica m(x) = x3 -3x + m
no
é
dues a e!
en
[O,
1].
13.
Sigui :
[O,
1]
-+
[O,
1]
una
undó
con ínua i de i able al que
'(x)
i 1
pe a
o
x E
[O,
1:
Demos eu que exis eix
un
únic
xo
E
[O,
1]
al que
(xo)
=
xo.
14.
Si és
una
undó
que posseeix e ce a de i ada ini a en [a,
b]
i si
(a)=
(b) =
J'(a)
= J'(b)
=O,
demos eu que
la
e ce a de i ada ambé s'anuHa en
un
pun
de l'in e al
(a,
b).
15.
Demos eu que si i 9 són con ínues en
[a,
b]
i de i ables en
(a,
b)
i 9'(x) i
Ope a
o
x d
(a,
b),
lla o s exis eix algun x de
(a,
b)
amb
'(x)
(x)
- (a)
9'(x) =
g(b)
-g(x) ·
18

1
;) = x3 -e e
é dues a e!
;o x E
[O,
l
e
a
o
x d·
~
u
p
oseu
que
és de i able
en
[a
,
b].
Demos eu
que
si el
mínim
de
sob e [a,
b]
es a
en
a
- .
.,
:s
j'(
a)
;::::
O i que si
es a
en
b lla o s '(b) s O .
.:. 1 .
Si
gui de i able
a
l que lim
x '
(x)
=O.
P o eu que lim
(
(3x + 2) - (x))
=O
.
x-+oo x-+oo
:8.
Demos eu
que
o a
unció de inida
en
un
ce
in e al
[a
,
b]
i de i able
en
(a
,
b)
que
compleixi
l
(x1) -
(x2)I
S klx1 -
x2lm
pe
a
qualsse ol
x1
,
x2
i
pe a
una
ce a
cons an
m > 1 és
una
unció
cons an
.
19. Sigui
:
[a
,
b]
-
JR.
una
unció
con ínua
a l'in e al
[a
,
b]
i de i able a
l'obe
(a,
b).
Demos eu
que exis eix E
(a,
b)
al
que
_1
1 a b ¡
a -b.
(b)
(a) = ( ) +
'( ).
20.
Demos eu
les
desigual a s
següen s:
a)
a c anx
> -
1 x 2, si x
>O
;
+x
b)
In(l
+ x2) S x2,
pe a
o
x ;
e) 1 -
!:.
<In~
<
~
-1, si O < a <
x.
x a a
21.
Demos eu
que si a i
/3
són dos nomb es di e en s de l'in e al [¡,
'!]
alesho es
J3 sin a -sin/3 1
- < < .
3 - cos
/3
-cos a -
Calculeu,
u ili zan
la egla de l'Hópi al, els Iími s de les uncions següen s:
) 1.
ex
b) 1. In x
a im -5 ; im
.::
;
x
-+oox
x-+oo
yX
e) lim
x an~
;
x-+oo
1
d) lim x"'i .
X
-7
00
?J.
naon
eu
pe que
els lími s següen s no es
poden
calcula
pe
la
egla
de
l'
Hópi a
l i calculeu-los
- -
_:
;:.
::n a
l
e
me ode
:
x2 sin l
a) lim x ·
x-+0
sinx
' b l. x +
sinx
)
l i
. .
x-+oo X -
Sin
X
19
24.
Resoleu pel me ode de New on les
equadons
següen s
ob enin
el
esul a
amb
e o més
que
10-
6:
a) x -cos x =
O;
e)
x2
-1
=
sinx;
) . 1
e
5smx
= x +
-;
X
g)
ex
=
5x
+ 10,
i)
2x
2 -lOx + 10 + cos
~
=
O;
25.
Es udieu
si la
undó
següen és de i able a l'o igen
(x)
= { x2
sin1/x,
o,
26.
Sigui
(x)
= x
ln(l
+!xi)
pe a
o
x E
lR.
a) És con ínua?
b) Quan es egades és de i able
en
x =
O?
27.
Sigui k E
IR
i
(x) = { x2 sin l +
kx
X '
o,
a)
Es udieu
la de i abili a de .
b)
Es udieu
la
con inul a
de '.
28.
Es conside a
la
undó
(x)
= {
1,
o,
ax
3 + bx2 +
c.x
+
d,
b)
lOX
=
6x+30;
d)
XX=
10¡
) xex =
1;
1
h) ln X = 1 + - j
X
j) x4 -X -3 =
0.
Si
X'#
0,
Si
X=
0.
si x '#O;
si
X=
0.
si x
<O;
si 0
$X
$
1;
Si
X>
l.
De e mineu
a,
b,
e i d
pe
al que sigui con ínua i de i able a
IR.
És dues egades de i able :
IR?
29.
Sigui
una
undó
con ínua al
pun
O al que lim
(x)/x
2 =
2,
i sigui g
una
undó
i ad
c..
x-+0
Demos eu que g és de i able al
pun
O i calculeu (Jg)'(O).
20
30. Siguin , g i h es uncions de i ables a
o
lR,
calculeu
la
undó
de i ada de
(g
(h2(x +
1)))
. ( g(x) + 1 )
1 (g(x))2 + 1 .
31.
P o eu que l'equació
ex
= 1 + x
é
exac amen
una
solució eal.
32.
Demos eu que exis eix
un
únic x E
(O,
7
/2)
al
que x =
1/ an
x.
33.
Es udieu
el nomb e d'a els eals de
la
unció (x) = 2x3 -3bx2 + 8 segons els alo s del
pa ame e
b.
Pe a
b = 3, calculeu el alo ap oxima de l'a el més
pe i a
amb dues xi es decimals
exac es.
34.
P o eu la
igual a
següen ,
sinx
1
a c an
=
-x
.
1 +
cosx
2
35.
Fen ús del eo ema del alo
mi ja
, calculeu
2~~
(V
( x +
1)
3 -2 -
y/
x3 _
2)
.
36.
a) Siguin i g dues uncions de i ables en
IR
als que exis eix
xo
E
IR
amb
(x
0) = g(xo) i
'(x)
~
g'(x)
pe a
o
x > xo. Demos eu que
si
x >
xo
alesho es
(x)
~
g(x).
b) Sigui : IR-+
IR
als que exis eixen
'
i
"
es ic amen posi i es. Demos eu
que
lim
(x)
=
x-+oo
+oo.
Indicació: Apliqueu l'
apa a
a p enen com a g la ec a
angen
a en el
pun
xo.
21
El
polinomi
de
Taylo
i
aplicacions
l.
T obeu l'equació de la pa abola que ap oxima millo en el
pun
(O,
O)
a la co ba (x) =
ex
ln(x +
1).
2.
Quan s e mes
s'han
de p end e en
el
desen olupamen de Taylo de la undó (x) =
ln(l
-x)
pe
ob eni el alo de
In
O.
75
amb e o més
pe i
que
10-
3 ?
x2
x3
3.
Pe a quins alo s de x podem calcula 1 + x
+--¡-
+ -
31
en lloc de
ex
come en
un
e o meno
2.
.
que
10-
4?
4.
T obeu el desen olupamen de Taylo d'o d e 3 de la unció
(x)
=
esinx
en x
=O.
5. Fen ús de
la
ó mula de Taylo , desen olupeu
el
polinomi x3 -2x2 + 5x -7 en po encies de
(x -1). Feu el ma eix pe un al e me ode.
6.
T obeu el polinomi de Taylo de g au dos en O de la undó
(x)
=
(c3
+x)i,
pe a
e
i=
O,
i i eu
}'e o comes en l'ap oximació en el cas e > O i x >
O.
7. Fen ús dels polinomis de Taylo co esponen s, calculeu sin
1,
sin~
pe i
que
10-
5.
e2 amb un e o més
8.
Calculeu els lími s següen s:
) l.
an(ax)
a
1m
b ;
x- O
X
e)
lim (2x2 -3x +
1)
an( x);
x-+
3
) .
(coshx-l)ln(l+x)-x
2
e hm ( . . ) ;
x-+O x sm x -a csm x
b) lim
(1
-cos x) a c an x.
x-+0 x sin2 x '
ln(l
+ x) -x
)
Jim
X •
x- O
1 - COS 2
9.
Sigui
una
undó
con ínua sob e l'in e al
[O,
1]
al que (O)
=O
i
'(x)
és
ini a i c eixen en
l'in e al x E
(O,
1). P o eu que
si
és c eixen en
(O,
1)
lla o s ambé ho és la unció g de inida
(x)
pe g(x) =
--.
X
23
10.
De e mineu els in e als de c eixemen i dec eixemen de cada
una
de les uncions següen s i
obeu
els seus ex ems (en el cas que exis eixin) en els dominis de de inició:
a) (x) = log(x2 -9), lxl > 3;
b)
(x)=x
3
+ax+b,
,
xER;
e)
(x)=x~(x-1)
4
,
0$x$1.
11.
T obeu
el
maxim i el mínim de les uncions següen s en els in e als co esponen s:
a)
(x)
=
5x
2 -
4x
+ 2 en
[O,
3];
1
b) (x) =
--
-7 en
[-5,
5];
X
5x
2
e) (x) = 4x _ 1 en [-'l,
2];
x2
-3
d)
J (x) =
--
1 en [-10,
il·
x+
/
12. Sig ú J :
lR
-+
lR
una
unció dues egades de i able en
lR
que sa is a:
(1)
=
3,
(O)
= 2 i
/ "(x)/
< 2
pe a
o
x E
(O,
1).
Demos eu que
és
es ic amen c eixen en un en o n de l'o igen.
Indicació: U ili zeu la ó mula de Taylo de g au 1 de la unció al ol an de !'o igen.
13.
Es udieu i ep esen eu g a icamen les uncions segi:en s:
a)
Y=
(x
-1)2
(
x;
2)
3;
1 1 1
e)
y=
- -
--+--;
x
x-1
x-2
x(x-1).
e)
y=
x2+1
'
g)
y =
e4x
-
e2x.
'
i)
Y=
(x2)X;
k)
y=
sinx
+
sin2x.
2 '
24
x3
b)
y=
/ . 1
');
X .
d)
y=
l '
X3
-1
X .
)
Y =
(X
_ 1
)(X
-3) '
h)
y=
x3
cx;
j)
y=ln(x
3
-3x+2);
l)
y=
sin(x +
1)
_ 1
X
;:;
-·
~'
~
-
~

14.
Sigui
(x)
=
ax
2 + x2
sin~
si x
#O
(O)
=O,
on
a>
l.
a) És de i able
en
O?
b) Demos eu que
é
un
mínim en x =
O.
c)
Demos eu que no és c eixen
en
cap in e al del ipus
[O,
b]~
15.
T obeu
un
pun
de la
ca ba
y = 4 - x2
al
que la angen a la
ca ba
pe
aques
pun
de e mini
amb els eixos
un
iangle
d'a ea
mínima al p ime quad an .
16.
Calculeu
l'a ea
maxima
d'un
iangle isosceles de pe íme e 12.
1 7. Descamponeu
el
nomb e 100 en dos sumands de mane a que la
suma
deis seus cubs sigui
mínima.
18.
En
un
iangle isosceles de base 6 i ali;ada
10
s'insc iu
un
al e iangle isosceles
de
mane a
que les bases d'ambdós siguin pa aHeles i
el
e ex del segon es igui en
el
pun
mig de la base del
p ime . Calculeu les dimensions del que
ind a
a ea maxima.
19.
Dona
un
quad a
de cos a l, sepa eu
qua e
pe i s
quad a s en els seus e exs,
pe
al
de
ab ica
una
capsa de base quad ada. De e mineu quina és la capsa de olum maxim que
es
po
cons ui així.
20.
Calculeu les dimensions del cilind e de olum més
g an
i
a ea
o al
igual a 300.
21.
Una
ines a
é
o ma de ec angle amb un semice cle a sob e,
el
diame e del qual és igual a
la base del ec angle. Si el pe íme e
o al
de la ines a
és
2,
obeu
les dimensions als que la se a
a ea
sigui maxima.
22.
D'en e
o s els iangles ec angles
d'a ea
cons an demos eu que el que
é
mínima
la hipo-
enusa és l'isoscels.
23.
T obeu
el
pun
de
la
ca ba
y=
x3 més p oxim al
pun
(O,
1).
24.
Sigui
a,
b E
lil
T obeu el nomb e exac e de solucions de l'equació
lnx
=ax
-
b.
Indicació:
En
el cas
a>
O,
es udieu el maxim de la
undó
(x) =
lnx
-
ax+
b.
25.
Calculeu els lími s següen s:
.
eªx
_ cas
~x,
(/3
#O),
hm
R,,..
---
-
x- O
-l.
casxln(x-a)
1m
( .
x- a
In
ex
-
eª)
25
26. Demos eu que
)
l/x2
) l.
( anx
_ 1¡3
a im
--
-e
.
x-+0 X .
b) l. X
cos
X -sin X -1
im -
--.
x-+0 x sin2 x · 3
27
. Donada la unció
(x)
= yX+T:
a) Calculeu el polinomi de g au 4 de la unció al ol an de l'o igen.
b) Fen ús del polinomi de Taylo de
g au
dos, calculeu
un
alo ap oxima de
J .02
i doneu
una
es imació de l'e o comes.
28.
Sense e ús de la calculado a, digueu quin d'aques s dos nomb es
és
més g an: 10001000 o
1001
999 • Indicació: U ili zeu la unció (x) = (1000 + x) lOOO-x .
29. Calculeu els ex ems ela ius de les uncions següen s:
a)
(x) = ln
J2x
3 +
3x2
;
b) g(x) =
1/{/x
2
-8x+
17
.
30.
Calculeu els ex ems absolu s de la unció
(x)
= 1 sin
xi+
x a l'in e al
[O,
27 ]
.
31.
Dibuixeu la g a ica de la unció
(x)
= {/X2(1 -x).
32
. T obeu el nomb e d'a els eals del polinomi P(x) = x4
-4x
3 -2x2
+12x
+
b,
segons els alo s
del
pa ame e
b.
Indicació: Es udieu la g a. ica de la unció.
33.
Sigui g(x)
una
unció dues egades de i able i es ic amen posi i a a
IR.
De inim la unció
(x)
=
(1
+ x -x3)g(x). Es demana:
a)
Es udia
el nomb e d'a els de (x).
b)
T oba
els nomb es eals als que
~(~]
=
~gj
.
e)
Demos a
que dios l'in e al
(-1,
1)
exis eixen
coma
mínim dos
pun s
amb
'(x)
= g'(x), i
coma
mínim
un
amb
"(x)
= g"(x)
l
ln(l
+ sinx)I
34.
Sigui g(x) =
pe a
o
x
:/=O
.
X
a)
Po
de ini -se g al
pun
x = O de mane a que sigui con inua?
26
.-
~
3i
·-
;;¡
....
.
-
5
b) Rep esen eu g a icamen la undó J(x) =
ln(l
+
sinx)
i,
a
pa i
d'ella, ep esen eu
h(x) = l
ln(l
+ sinx)I.
c)
Calculeu el polinomi de Taylo de g au 5 de la undó en
un
en o n del
pun
xo
=O.
d)
Calculeu de es mane es di e en s
el
lími següen :
l.
ln(l+sinx)
Im
S .
x-+0 X
e)
Demos eu que 1 +
sinx
~
ex
pe a
o
x E
[O,
7
/2}.
35.
A les dues de la
a da
un
co xe passa pel pun kilome ic 400 de }'au opis a
A~
7 a
una
elod a
de 70
Km/h.
Deu minu s més
a d
passa pel pun kilome ic 425 d'aques a ma eixa au opis a a
una
elod a
de 80
Km/h.
a) P o eu ma e na icamen que en algun ins an la eloci a del co xe és de 72
Km/h.
b) Fen ús del eo ema del alo mi ja sob e la undó que mesu a l'espai eco egu , p o eu que
en algun ins an aques co xe ha supe a la eloci a maxima pe mesa (120
Km/h.)
36.
Raoneu la ce esa o alseda de l'a i madó següen :
Sigui :
1R
-
lR
una
undó con ínua amb
(O)
=
-1
i (x) > x2
si
lxl
>
3.
Alesho es
exis eixen
a,
b E
IR,
a
1-
b que compleixen
(a)
=
.
(b)
= O.
31.
Calculeu
el
polinomi de Taylo de g au
nen
el
pu . x
=O
de la undó
( x) = In J 1 + x
l
-x·
38. Dos pobles A i B es an si ua s a di e en s ibes
d'un
iu:
...
3 Km
A •
0.5 Km
B
Un noi que iu a A é
una
amiga en el poble B i ol
ana
a
eu ~la
en un emps mínim. T obeu
el camí óp im, saben que el noi neda en línea ec a a una
elod a
uni o me de 3
Km/h.,
camina
a
una
elod a
ambé uni o me de 5
Km/h
. i
su
del poble A semp e nedan .
27
39.
Es udieu
si
el
pun
x = O
és
un
ex em ela iu de
les
uncions següen s:
a) (x) = x5 sin2 x,
b)
g(x) =
{e-l/x2'
o,
40.
Sigui A( ) l'a ea del segmen ci cula següen :
A( )
Si
X
-: =
0,
Si
X=
Ü.
a) P o eu que A( ) =
~
(
-sin ). lndicació: L'a ea d'un sec o ci cula d'angle i adi
és
igual a
2
/2.
b) Fen ús del polinomi de Taylo pe a la undó sin , calculeu A(0.1) amb
un
e o més pe i
que
10-
3.
28