Anàlisi matemàtica 1 : Problemes

1 l EST AM1 p R o B L E M E s ., DIPLOMATURA D'ESTADÍSTICA ' ANALISI ' MATEMATICA 1 · Albert Avinyó Mª Angela Grau Fernando Martínez UNIVERSITAT POLITECNICA DE CATALUNYA UNIVERSITAT POLITECNICA DE CATALUNYA Biblioteca 11 11 111 ~ l ll lllll ll lll lllll 11 11 1 11 11 111 1111 11 11111 11 111 11 11 1 1400326554 Diplomatura d'Estadística Departament de Matematica Aplicada 11 Facultat de Matematiques i Estadística. UPC ÁNALISI MATEMÁTICA 1 PROBLEMES Curs 1999-2000. Primer quadrimestre Albert A vinyó Mª Ángela Grau Femado Martínez Barcelona, setembre 1999 es reals complexos demostració directa, una pel contrarrecíproc i una per reducció a l'absurd de l'afirmació ? ~_::=: : , 2 E N senar ==:;. n senar. _ =:_::_ ~r ese n t ació decimal de 19/8 i 23/29 . ..:.. .-.s ::::. mbr es racionals que tenen per representació decimal 2.3292 i 0.917. racionals i a, f3 són irracionals, digueu com són a+ b, a+ (3, ab, a(3, aa i a+ a. :- -:: -.;-:?'..:.si mo iu d'aquest fet i doneu exemples de nombres irracionals que sumats i multiplicats ..:;:-- _ .:. _:-:::.Is . .,. . t., rnooil recorre un quadrat de vertex A,B,C i D amb velocitat constant i un altre mobil es BOU sobre la diagonal AC amb la mateixa velocitat, fent moviment d'anada i tornada . Si en un moment donat els dos mobils coincideixen en el punt A, demostreu que no es tornen a trobar. - ) s· / . / ' . 1 d·r t 1 h m v'2 (p m) ' . . l o. a i m n i p q son rac10na s 11eren s, a es ores proveu que -+ - - - - es rrrac10na . n 2 q n b) Fent ús de l'apartat anterior, proveu que entre dos racionals diferents sempre hi ha un irracional. 6. Trobeu un nombre real a tal que a2 sigui irracional i a4 sigui racional. 1. Trobeu el suprem i l'ínfim, si existeixen, dels conjunts següents: a) E1 = {1, 2, 3}, b) Si= {x E IR : lx -ll < 2}, c) E3 = IR+, d) E4 = { x E (O, 1) : el desenvolupament decimal de x no té nous}. 8. Trobeu, si existeixen, el suprem, l'ínfim, el maxim i el mínim dels conjunts següents: a) A = {2, 2.2, 2.22, 2.222, .. . } . b) B={xEIR.: x=(-lt+~,nEN} . c) C = { x E IR. : x2 + 5x -6 S Ü} . 3 9. Fent ús de la propietat arquimediana, proveu que el suprem del conjunt definit per { (n -!} ,_ és 1/ 2. 10. Donats dos subconjunts A i B de R definim: A+ B = {X+ y 1 X E A, y E B} Demostreu: a) sup(A U B) = max{supA , sup B} b) sup(AnB) ~min{supA,supB} e) sup(A + B) = supA + supB d) sup(AB ) tsup A · sup B AB = { xy 1 x E A, y E B} 11. Escriviu l es expressions següents prescindint dels valors absoluts: a) lx - YI - lxl; e) lixl -11; 12. Trobeu els nombres x tals que: b) !xi - lx 21; d) x - lx + !xi 1 · a) lx - 31=2; e) lx + ll < 4; e) l 2x + 7 I ~ 3; b) lx -11+lx+31=4; d) lx + ll + lx + 21 < 2; f) lx -ll + lx + ll =O ; g) lx -lllx + 21=3; h) lx + lllx - 21 = -(x + l)(x - 2). 3. Demostreu que: a ll x - YI - ly - zil ~ lx - zl Vx , y, z E lR; b) CTax{ a , b}=a+b~la-bl Va,bEJR; ) . { b} _ a + b - la - bl \.J b l!'ll e Dl.Il a, -n V a, E .11'\.. 14. R.es -0l eu les inequacions següents: 4 1)/2n : n a) j 2x - 2 X +41<1; 2 b) 1 < ¡x -5x + 6 - x+2 J < 2; e) j 3x - 5j -j2x + 3j > O; d) jx2 -5xj > jx 2j - j5xj. :.5 . Resoleu les desigualtats següents: 1 1 a) 4 <X+ 3; b) X -1 X+ 1 --<-- x+1-x-1· 16. Trobeu tots els nombres x E lR que compleixen jjx - lj - jx + ljj :S l. . 1 1 1 1 1 1 17. Proveu que s1 jxj ::; 1, llavors es té x4 + 2x3 + 4x 2 + Bx + 16 < 2. 18. Expresseu els nombres complexos següents de la forma a+ bi: . 3 2 + 3i a) ( 1 + 3i) ; b) 3 _ 4i ; e) is+ il6. ' d) ~(1-:i). 1 + i8 19. Siguin z, z1 i z2 tres nombres complexos. Comproveu que se satisfan les propietats següents: a) Z1-+z2 = Z1 + Z2j b) z1 · z2 =z'i ·z2; c)z · z=jzj 2; d)z+z=2a (a=Re(z)); z-z e) - . - = 2b (b = Im(z)) . i 20. Ca lculeu el conjugat d'un nombre complex expressat en forma polar. 21. Efec tueu les operacions indicades: 2 -3i a)----- e) (1 - iJ3)t; 5 e) (1 - i)4 ; 3+i 4(2 - i), 5 b) (l+i) 53; d) (1+i~)10. 1i , 1 f) (-1) 5. 22. Descriviu geometricament el conjunt dels nombres complexos z que satisfan cadascuna de l es condicions següents: a) izl = 2; b) lzl < !; e) izl :::;; 1; d) z + z = 1; e) z -z = i; f) z + z = izl 2. 23. Donat un nombre complex w diferent de zero, determineu per a quins complexos z diferents de w el quocient z + w és un nombre real. Determineu també pera quins és imaginari pur. z-w 2 D . . b d r 3b -2ai . . l . d , d l 1 4. etermmeu a 1 e torma que 4 . s1gm rea 1 e mo u . -3i 25. Esbrineu l'error del raonament següent: 1 = v'1 = J(-1)(-1) = RR = i2 = -1. 26. Si z1 i z2 són nombres complexos, proveu: a) lz1 - z2I:::;; (1 + iz11 2) + (1 + iz2J 2 ); b) si z1 és no nul, llavors lz1 + z2I = izil + lz2I {;:::::::} z2 és real i no negatiu. z1 21. Demostreu la formula de De Moivre, que diu que sin és un nombre enter, llavors (cosa+isina)n = cos(na) +isin(na). n 28. Resoleu l'equació IJ ( cos ka + i sin ka) = l. k=l 29. Calculeu les arrels setenes de la unitat. 30. a) Una de les arrels cúbiques d'un nombre complex és 3i. Calculeu aquest nombre i les seves altres arrels cúbiques. b) Sabent que 3í és una arrel n-esima d'un nombre complex, calculeu aquest nombre i les seves altres arrels n-esimes. 31. Demostreu que la suma de les arrels cúbiques de qualsevol nombre complex és zero. 6 ma de les diferents ur. 5 seves se ves 32. Trobeu tates les arrels de l'equació z6 -2z3 + 2 =O. 33. Resoleu a C les equacions següents: a) z2 + iz + 1 =O; b) z = z1; e) z3 -z2 -z -2 =O; d) z3 + (1 + i)z 2 + (i -2)z -2i =O. 34. Determineu el complexos z tals que el seu quadrat és igual al seu conjugat. 35. Proveu la igualtat - + -i + - - -i = 2 cos - \:/ n E N. (1 J3 ·)n (1 J3 ·)n n7T' 2 2 2 2 3' 36. Determineu la relació entre a i b per tal que el complex z = a + bi satisfaci la desigualtat Re (;) + Im ( ~) < l. 37. Demostreu que la suma deis quadrats de les tres arrels cúbiques complexes de qualsevol nombre real és zero. 38. Calculeu 1 + i + i2 + ... + i43 • 39. Siguin 1, a, a2 les arrels cúbiques de la unitat, proveu que (1 + a2)4 =a. 40. Trobeu els nombres complexos que compleixen z1º - 2z5 + 1 =O. 7 c 1ons reals de variable real. Límits i continu'itat robeu el domini de les fundons següents: a) f(x) =Vx°2-5x+6; e) h(x) = ln(x2 - 5x + 4) . x-6 , e) m ( x) = fx2 - 5x + 6 . yx+2 ' X . b) g(x) = Jlx -2¡' ln(x-1). d) k(x) = cosec x ' f) n(x) = arcsin(x3 + 1). 2. Doneu un exemple de fundó definida a l'interval [O, 1] que no estigui fitada. 3. Trobeu les inverses de les fundons següents als intervals on sigui possible: a) f(x) = coshx =~(ex+ e-x); e) h(x) = ln(3 +ex); 4. Demostreu les identitats següents: x sinx a) tan - 2 = 1 . + cosx . x+y x-y ) CO S X+ COS y = 2 COS -2 - . COS -2 -. 2 ~in x cos y= sin(x - y)+ sin(x +y). sinh(x +y) x + tanh y = h h . COS X COS y -- ~ ...., O) g (X) = 3x + 1 x-2' x2 d) k(x) = argsinh 1 + x4 . .:: . ~ f: ~ -t Runa fundó qualsevol, proveu que f(x)- f(-x) és una fundó senar. ; :: ".;. -=-' , ~ e la fun ció g(x) = sin2x + sinx +sin~ és periodica. Quin és el seu període? : ~ v ~ eu la reladó existent entre la grafica de la fundó f(x) i les de f (x) +a, .: ax ), lf(x)I i max{f(x),O} . 9 8. Sigui la funció f(x) = ~(x +~)definida en [1,+oo). Demostreu que és una contracció, ésa 2 X dir, existeix K E {O, 1) tal que lf (x1) -f (x2)I :s; K lx1 - x2I pera tot x1, x2 E [1, +oo). 9. Fent servir la definició de límit, demostreu que lim x2 = a2. x-ta 10. Fent ús de la definició de límit, proveu que: a) lim x sin.!, = O; x-tO X b) lim ( 1 1)4 =OO. x-tl X - 11. Calculeu els límits següents: 4 + 3 ) l. X X +X a im · x-tO x2 -2x ' e) lim v'3x + 1 - yX+3 x-tl Jsx + 3 - ../3x + 5; e) lim ( 3x + 2) 2x. x-too 3x -1 ' g) lim ( X2 + 2x -1 ) x+ 1 x-t(-2) x+3 ') 1 . sin2 x + sin x -2 1 Im ' x-t¡ sin2 x -4 sin x + 3' k) limx 2 -{a+l)x+a x-ta x3 - a3 ; xm-1 m) lim , ; x-tl X - o) lim (ª~+b~)x X-tOO 2 j b) lim ~-vil-X. x-tO X , 1 d) lim{l + 5x):r; x-tO f) lim ( cot x -cot 2x); x-tO h) lim J(l + ax){l + bx) -1 x-tO X j X . ') lim --==::::::::::::::=:=~¡;;' J x-too J X + J X + y X 1 1 l) lim x 3 - 2x 3 + 1 x-tl (x _ 1)2 ; Xn -yn n) lim ; x-t¡¡ X -y p) 2~~ ( J X + Vx -J X - Vx). 12. Demostreu la continultat de les funcions següents a partir de la definició: a) f(x) = 3x 2 + 5x; b) f(x) =!xi+ 10. 10 Proveu que F'(x) existeix pera tot x E (a, b) i que f{ (x) f~(x)I ifi(x) h(x) F'(x) = 1 1 + 91 (X) 92 (X) 1 l li (X) 9~ (X) 9. Calculeu i simplifiqueu les derivades de les fundons següents: x2 -1 a) y= In--· x2 + 1' rr=x c) y= arctan y Ux; e) y= xx1n"'. , X a b) y= sin(lnx); 1 d) y= arcsin ./X; f) y= e5in((2x)i). , 2 tan 2 + tan 2 . ) y= --In x a' g sin a tan - - tan - 1 2x + 1 h)y=lnv'x2+x+lJ3arctan--= 2 2 10. Sigui f(x) = x(x - l)(x - 2) ... (x -1000). Trobeu f'(O). 11. Trobeu els valors de a, b, e per als quals les grafiques de f(x) = x2 +ax+ b i 9(x) = x3 -e e tallen al punt (1, 2) i tenen la mateixa tangent en aquest punt. 12. Demostreu que pera tot m E R, la fundó polinomica fm(x) = x3 -3x + m no té dues arre! en [O, 1]. 13. Sigui f : [O, 1] -+ [O, 1] una fundó contínua i derivable tal que f'(x) i 1 pera tot x E [O, 1: Demostreu que existeix un únic xo E [O, 1] tal que f (xo) = xo. 14. Si f és una fundó que posseeix tercera derivada finita en [a, b] i si f (a)= f(b) = J'(a) = J'(b) =O, demostreu que la tercera derivada també s'anuHa en un punt de l'interval (a, b). 15. Demostreu que si f i 9 són contínues en [a, b] i derivables en (a, b) i 9'(x) i Opera tot x d (a, b), llavors existeix algun x de (a, b) amb f'(x) f(x) -f(a) 9'(x) = g(b) -g(x) · 18 1 ;) = x3 -e e é dues arre! ;ot x E [O, l e ra tot x d· ~ u p oseu que f és derivable en [a , b]. Demostreu que si el mínim de f sobre [a, b] esta en a - . ., :s j'( a) ;:::: O i que si esta en b llavors f'(b) s O . .:. 1 . Si gui f derivable ta l que lim xf' (x) =O. Proveu que lim (f (3x + 2) -f (x)) =O . x-+oo x-+oo :8. Demostreu que tota funció f definida en un cert interval [a , b] i derivable en (a , b) que compleixi lf (x1) -f (x2)I S klx1 - x2lm pe ra qualssevol x1 , x2 i pera una certa constant m > 1 és una funció constant . 19. Sigui f: [a , b] -t JR. una funció contínua a l'interval [a , b] i derivable a l'obert (a, b). Demostreu que existeix t E (a, b) tal que _1 1 a b ¡ a -b. f (b) f(a) = f (t) + tf'(t). 20. Demostreu les desigualtats següents: a) arctanx > - 1 x 2, si x >O ; +x b) In(l + x2) S x2, pera tot x ; e) 1 - !:. <In~ < ~ -1, si O < a < x. x a a 21. Demostreu que si a i /3 són dos nombres diferents de l'interval [¡, '!] aleshores J3 sin a -sin/3 1 - < < . 3 - cos /3 -cos a - Calculeu, utilitzant la regla de l'Hópital, els Iímits de les funcions següents: ) 1. ex b) 1. In x a im -5 ; im r.:: ; x -+oox x-+oo yX e) lim xtan~ ; x-+oo 1 d) lim x"'i . X -7 00 ?J. naon eu perque els límits següents no es poden calcular per la regla de l' Hópita l i calculeu-los - - _: ;:. ::n a lt re metode : x2 sin l a) lim x · x-+0 sinx ' b l. x + sinx ) lffi . . x-+oo X - Sin X 19 24. Resoleu pel metode de Newton les equadons següents obtenint el resultat amb error més que 106: a) x -cos x = O; e) x2 -1 = sinx; ) . 1 e 5smx = x + -; X g) ex = 5x + 10, i) 2x 2 -lOx + 10 + cos ~ = O; 25. Estudieu si la fundó següent és derivable a l'origen f(x) = { x2 sin1/x, o, 26. Sigui f(x) = x ln(l +!xi) pera tot x E lR. a) És f contínua? b) Quantes vegades és derivable en x = O? 27. Sigui k E IR i f (x) = { x2 sin l + kx X ' o, a) Estudieu la derivabilitat de f. b) Estudieu la continultat de f'. 28. Es considera la fundó f(x) = { 1, o, ax 3 + bx2 + c.x + d, b) lOX = 6x+30; d) XX= 10¡ f) xex = 1; 1 h) ln X = 1 + - j X j) x4 -X -3 = 0. Si X'# 0, Si X= 0. si x '#O; si X= 0. si x <O; si 0 $X $ 1; Si X> l. Determineu a, b, e i d per tal que f sigui contínua i derivable a IR. És f dues vegades derivable : IR? 29. Sigui f una fundó contínua al punt O tal que lim f (x)/x 2 = 2, i sigui g una fundó fitad c.. x-+0 Demostreu que f g és derivable al punt O i calculeu (Jg)'(O). 20 30. Siguin f, g i h tres funcions derivables a tot lR, calculeu la fundó derivada de f (g (h2(x + 1))) . ( g(x) + 1 ) 1 f (g(x))2 + 1 . 31. Proveu que l'equació ex = 1 + x té exactament una solució real. 32. Demostreu que existeix un únic x E (O, 7r /2) tal que x = 1/tan x. 33. Estudieu el nombre d'arrels reals de la funció f (x) = 2x3 -3bx2 + 8 segons els valors del parametre b. Pera b = 3, calculeu el valor aproximat de l'arrel més petita amb dues xifres decimals exactes. 34. Proveu la igualtat següent, sinx 1 arctan = -x . 1 + cosx 2 35. Fent ús del teorema del valor mitja , calculeu 2~~ (V ( x + 1) 3 -2 - y/ x3 _ 2) . 36. a) Siguin f i g dues funcions derivables en IR tals que existeix xo E IR amb f(x 0) = g(xo) i f'(x) ~ g'(x) pera tot x > xo. Demostreu que si x > xo aleshores f(x) ~ g(x). b) Sigui f : IR-+ IR tals que existeixen f' i f" estrictament positives. Demostreu que lim f(x) = x-+oo +oo. Indicació: Apliqueu l' apartat a prenent com a g la recta tangent a f en el punt xo. 21 El polinomi de Taylor i aplicacions l. Trobeu l'equació de la parabola que aproxima millor en el punt (O, O) a la corba f (x) = ex ln(x + 1). 2. Quants termes s'han de prendre en el desenvolupament de Taylor de la fundó f (x) = ln(l -x) per obtenir el valor de In O. 75 amb error més petit que 103 ? x2 x3 3. Per a quins valors de x podem calcular 1 + x +--¡- + - 31 en lloc de ex cometent un error menor 2. . que 104? 4. Trobeu el desenvolupament de Taylor d'ordre 3 de la funció f(x) = esinx en x =O. 5. Fent ús de la fórmula de Taylor, desenvolupeu el polinomi x3 -2x2 + 5x -7 en potencies de (x -1). Feu el mateix per un altre metode. 6. Trobeu el polinomi de Taylor de grau dos en O de la fundó f(x) = (c3 +x)i, pera e i= O, i fiteu }'error comes en l'aproximació en el cas e > O i x > O. 7. Fent ús dels polinomis de Taylor corresponents, calculeu sin 1, sin~ petit que 105. e2 amb un error més 8. Calculeu els límits següents: ) l. tan(ax) a 1m b ; x-tO X e) lim (2x2 -3x + 1) tan(rrx); x-+t 3 ) . (coshx-l)ln(l+x)-x 2 e hm ( . . ) ; x-+O x sm x -arcsm x b) lim (1 -cos x) arctan x. x-+0 x sin2 x ' ln(l + x) -x f) Jim X • x-tO 1 - COS 2 9. Sigui f una fundó contínua sobre l'interval [O, 1] tal que f(O) =O i f'(x) és finita i creixent en l'interval x E (O, 1). Proveu que si f és creixent en (O, 1) llavors també ho és la funció g definida f (x) per g(x) = --. X 23 10. Determineu els intervals de creixement i decreixement de cada una de les funcions següents i trobeu els seus extrems (en el cas que existeixin) en els dominis de definició: a) f (x) = log(x2 -9), lxl > 3; b) f(x)=x 3 +ax+b, , xER; e) f(x)=x~(x-1) 4 , 0$x$1. 11. Trobeu el maxim i el mínim de les funcions següents en els intervals corresponents: a) f(x) = 5x 2 - 4x + 2 en [O, 3]; 1 b) f (x) = -- -7 en [-5, 5]; X 5x 2 e) f (x) = 4x _ 1 en [-'l, 2]; x2 -3 d) J (x) = -- 1 en [-10, il· x+ / 12. Sigtú J : lR -+ lR una funció dues vegades derivable en lR que satisfa: f (1) = 3,f (O) = 2 i /f"(x)/ < 2 pera tot x E (O, 1). Demostreu que f és estrictament creixent en un entorn de l'origen. Indicació: Utilitzeu la fórmula de Taylor de grau 1 de la funció f al voltant de !'origen. 13. Estudieu i representeu graficament les funcions segi:ents: a) Y= (x -1)2 ( x; 2) 3; 1 1 1 e) y= - - --+--; x x-1 x-2 x(x-1). e) y= x2+1 ' g) y = e4x - e2x. ' i) Y= (x2)X; k) y= sinx + sin2x. 2 ' 24 x3 b) y= / . 1 \'); X . d) y= l ' X3 -1 X . f) Y = (X _ 1 )(X -3) ' h) y= x3 cx; j) y=ln(x 3 -3x+2); l) y= sin(x + 1) _ 1 X ;:; -· ~' ~ - ~ 14. Sigui f(x) = ax 2 + x2 sin~ si x #O f (O) =O, on a> l. a) És f derivable en O? b) Demostreu que f té un mínim en x = O. c) Demostreu que f no és creixent en cap interval del tipus [O, b]~ 15. Trobeu un punt de la carba y = 4 - x2 tal que la tangent a la carba per aquest punt determini amb els eixos un triangle d'area mínima al primer quadrant. 16. Calculeu l'area maxima d'un triangle isosceles de perímetre 12. 1 7. Descamponeu el nombre 100 en dos sumands de manera que la suma deis seus cubs sigui mínima. 18. En un triangle isosceles de base 6 i ali;ada 10 s'inscriu un altre triangle isosceles de manera que les bases d'ambdós siguin paraHeles i el vertex del segon estigui en el punt mig de la base del primer. Calculeu les dimensions del que tindra area maxima. 19. Donat un quadrat de costat l, separeu quatre petits quadrats en els seus vertexs, per tal de fabricar una capsa de base quadrada. Determineu quina és la capsa de volum maxim que es pot construir així. 20. Calculeu les dimensions del cilindre de volum més gran i area total igual a 300. 21. Una finestra té forma de rectangle amb un semicercle a sobre, el diametre del qual és igual a la base del rectangle. Si el perímetre total de la finestra és 2, trobeu les dimensions tals que la seva area sigui maxima. 22. D'entre tots els triangles rectangles d'area constant demostreu que el que té mínima la hipotenusa és l'isoscels. 23. Trobeu el punt de la carba y= x3 més proxim al punt (O, 1). 24. Sigui a, b E lil Trobeu el nombre exacte de solucions de l'equació lnx =ax - b. Indicació: En el cas a> O, estudieu el maxim de la fundó f (x) = lnx - ax+ b. 25. Calculeu els límits següents: . eªx _ cas ~x, (/3 #O), hm R,,.. --- - x-tO -l. casxln(x-a) 1m ( . x-ta In ex - eª) 25 26. Demostreu que ) l/x2 ) l. (tanx _ 1¡3 a im -- -e . x-+0 X . b) l. X cos X -sin X -1 im - --. x-+0 x sin2 x · 3 27 . Donada la funció f(x) = yX+T: a) Calculeu el polinomi de grau 4 de la funció f al voltant de l'origen. b) Fent ús del polinomi de Taylor de grau dos, calculeu un valor aproximat de Jf.02 i doneu una estimació de l'error comes. 28. Sense fer ús de la calculadora, digueu quin d'aquests dos nombres és més gran: 10001000 o 1001 999 • Indicació: Utilitzeu la funció f (x) = (1000 + x) lOOO-x . 29. Calculeu els extrems relatius de les funcions següents: a) f (x) = ln J2x 3 + 3x2 ; b) g(x) = 1/{/x 2 -8x+ 17 . 30. Calculeu els extrems absoluts de la funció f(x) = 1 sin xi+ x a l'interval [O, 27r] . 31. Dibuixeu la grafica de la funció f(x) = {/X2(1 -x). 32 . Trobeu el nombre d'arrels reals del polinomi P(x) = x4 -4x 3 -2x2 +12x + b, segons els valors del parametre b. Indicació: Estudieu la gra.fica de la funció. 33. Sigui g(x) una funció dues vegades derivable i estrictament positiva a IR. Definim la funció f(x) = (1 + x -x3)g(x). Es demana: a) Estudiar el nombre d'arrels de f (x). b) Trobar els nombres reals tals que ~(~] = ~gj . e) Demostrar que dios l'interval (-1, 1) existeixen coma mínim dos punts amb f'(x) = g'(x), i coma mínim un amb f"(x) = g"(x) l ln(l + sinx)I 34. Sigui g(x) = pera tot x :/=O . X a) Pot definir-se g al punt x = O de manera que sigui continua? 26 .- ~ 3i ·- ;;¡ .... r . - 5 b) Representeu graficament la fundó J(x) = ln(l + sinx) i, a partir d'ella, representeu h(x) = l ln(l + sinx)I. c) Calculeu el polinomi de Taylor de grau 5 de la fundó f en un entorn del punt xo =O. d) Calculeu de tres maneres diferents el límit següent: l. ln(l+sinx) Im S . x-+0 X e) Demostreu que 1 + sinx ~ ex per a tot x E [O, 7r /2}. 35. A les dues de la tarda un cotxe passa pel punt kilometric 400 de }'autopista A~ 7 a una velodtat de 70 Km/h. Deu minuts més tard passa pel punt kilometric 425 d'aquesta mateixa autopista a una velodtat de 80 Km/h. a) Proveu maternaticament que en algun instant la velocitat del cotxe és de 72 Km/h. b) Fent ús del teorema del valor mitja sobre la fundó que mesura l'espai recorregut, proveu que en algun instant aquest cotxe ha superat la velocitat maxima permesa (120 Km/h.) 36. Raoneu la certesa o falsedat de l'afirmadó següent: Sigui f : 1R -t lR una fundó contínua amb f (O) = -1 i f (x) > x2 si lxl > 3. Aleshores existeixen a, b E IR, a 1b que compleixen f (a) = .f (b) = O. 31. Calculeu el polinomi de Taylor de grau nen el pur.t x =O de la fundó f ( x) = In J 1 + x l -x· 38. Dos pobles A i B estan situats a diferents ribes d'un riu: ... 3 Km A • 0.5 Km B Un noi que viu a A té una amiga en el poble B i vol anar a veur~la en un temps mínim. Trobeu el camí óptim, sabent que el noi neda en línea recta a una velodtat uniforme de 3 Km/h., camina a una velodtat també uniforme de 5 Km/h . i surt del poble A sempre nedant. 27 39. Estudieu si el punt x = O és un extrem relatiu de les funcions següents: a) f (x) = x5 sin2 x, b) g(x) = {e-l/x2' o, 40. Sigui A(t) l'area del segment circular següent: A(t) Si X -:f= 0, Si X= Ü. a) Proveu que A(t) = ~ (t -sin t). lndicació: L'area d'un sector circular d'angle t i radi r és igual a tr 2 /2. b) Fent ús del polinomi de Taylor per a la fundó sin t, calculeu A(0.1) amb un error més petit que 103. 28