ANALISIS ESTATICO
Y
DINAMICO DE COJINETES DE AIRE
MEDIANTE ELEMENTOS
FINITOS
CARLOS GARCIA SUAREZ*
Depa men o Mechanica1 Engineenng
Uni e si y
o
Cali omia, Be keley
RESUMEN
Es e a ículo p esen a una o mulación de Buno Gale kin pa a el análisis, median e Elemen os
Fini os, de p oblemas es á icos y dinámicos de lub icación gaseosa. Pa a la pa e espacial del p oblema
se emplean las habi uales unciones
CO,
mien as que la in eg ación enel iempo se ealiza con un pa
de p edicciónco ección basado en el mé odo de Newma k, algo i mo és e bien conocido en el
con ex o del análisis dinámico de es uc u as. Se ealiza un b e e análisis del esquema esul an e
en su aplicación a ecuaciones di e enciales o dina ias de p ime o den. La discusión se ilus a con
dos ejemplos mo i ados en la ecnología de cabezas olado as pa a discos de almacenamien o magné-
ico.
La
p incipal mo i ación de es e abajo es el desa ollo de un mé odo numé ico lexible, capaz
de esol e los di e sos p oblemas que se p esen an en ac uales y, p edeciblemen e, u u as aplicacio-
nes de la lub icación median e película de gas. El Mé odo de los Elemen os Fini os en combinación
con el p ocedimien o de in eg ación empo al p esen ado es una écnica en ajosa en es e sen ido.
SUMM ARY
This pape p esen s a Buno Gale kin Fini e Elemen o mula ion o he analysis o s a ic and
dynamic gas lub ica ion p oblems. Fo he spa ial pa s anda d C0 unc ions a e used whe eas o
ime in eg a ion a p edic o -i nplici co ec o pai based on he Newma k me hod o s uc u al
dyna nics is used. A b ie analysis o his algo i hm as applied o i s o de ODEs is p esen ed.
Then wo examples om he echnology o lying heads o magne ic eco ding disk des a e sol ed.
The main mo i a ion o his wo k is o p o ide a lexible nume ical echnique able o handle he
qui e di e se p oblems occu ing in p esen and, p edic ably, u u e gas lub ica ion applica ions.
The Fini e Elemen me hod in conjunc ion wi h he ime in eg a ion p ocedu e p esen ed he e
is
an ad an ageous ool o his pu pose,
INTRODUCCION
Es e abajo discu e una aplicación del Mé odo de los Elemen os Fini os
(MEF),
basada en una o mulación de Buno -Gale kin, al análisis es á ico
y
dinámico de
p oblemas de lub icación gaseosa ep esen ados median e la clásica ecuación de Rey-
nolds. Es a ecuación desc ibe, ap oximadamen e, el campo de p esiones gene ado
po el lujo de gas en e dos supe icies p óximas, que se hallan en mo imien o ela i o.
Es una ecuación de ipo pa abólico no lineal, su dominio espacial es una supe icie
bidimensional y posee una es uc u a simila a la de los ípicos enómenos de anspo -
e median e di usión-con ección.
La
esolución numé ica de la ecuación de Reynolds se ha con e ido en un pun o
c ucial en a ias aplicaciones de la ibología, an o en el égimen incomp esible como
comp esiblel. La mayo pa e de los es udios numé icos sob e el compo amien o
*
Visi ing Schola
Recibido: Diciemb e
1984
Uni e si a Poli dcnica de Ca alunya (España)
ISSN
0213-1315
28
C.
GARCIA
SUAREZ
de cojine es de gas han u ilizado esquemas de Di e encias Fini as213, mien as que
el uso del MEF ha sido más limi ado. La p ime a aplicación del MEF al caso es á ico
empleó una écnica de a iación de pa áme os pa a linealiza las ecuaciones de
campo4. Más adelan e se u ilizó el habi ual mé odo de New on-Raphson, en combina-
ción con un espacio ap oximadamen e basado en los conocidos polinomios de He mi-
e5. En g an medida, el in e és despe ado en la esolución numé ica de la ecuación
de Reynolds pa a lujo comp esible es debido al análisis
y
diseño de cabezas olado as
pa a discos de almacenamien o magné ico. Debido a los alo es de los pa áme os
de diseño en los p oduc os ac uales, esul a habi ual de ec a en los pe iles de p esio-
nes g adien es muy p onunciados y ansi o ios a g an elocidad. El p oblema p esen a
las ípicas ca ac e ís icas de los lujos dominados con ec i amen e. Mo i ados po
es a si uación, hemos p esen ado ecien emen e el uso de una o mulación de Ga lekin
en combinación con una écnica de in eg ación selec i a- educida6, que pe mi e
man ene una buena p ecisión global e i ando la esolución de allada de la capa lími e.
En es a úl ima e e encia se emplea on los habi uales
CO
cuad ilá e os de Lag ange,
lo que esul a en ajoso cuando el espeso de la película es discon ínuo o a ía b usca-
men e ya que en onces, la solución del p oblema ca ece de de i adas p ime as con í-
nuas. El abajo p esen e ex iende el análisis al caso ansi o io, pe o sólamen e se
conside a el mé odo de Buno -Gale kin en su o ma habi ual, es deci , no se in oduce
ningún p ocedimien o de "upwind".
El es o de es e abajo puede esquema iza se como sigue. P ime amen e p esen a-
mos la o mulación débil de la ecuación de Reynolds y el p ocedimien o habi ual
u ilizado pa a la esolución del caso es aciona io. Básicamen e és e consis e en la u ili-
zación de unciones de p ueba
C0
y el p oceso i e a i o de New on-Raphson. En segun-
do luga , discu imos el esquema de in eg ación empo al en su aplicación a los sis emas
de ecuaciones di e enciales o dina ias de p ime o den, que esul an de la o mulación
a iacional, una ez que ha sido ealizada la ap oximación espacial. El p incipal algo i -
mo u ilizado a es e espec o es una pa de p edicción-co ección implíci a basado
en el bien conocido mé odo de Newma k7, de nue o en conexión con el p ocedimien o
de New on-Raphson. Es e esquema es o malmen e equi alen e a una amilia de mé o-
dos lineales de dos pasos ( es pun os) y da luga a un g upo bas an e amplio de
algo i mos de in eg ación de segundo o den, con dis in as p opiedades de es abilidad
y p ecisión. Se incluye un b e e análisis de es a amilia de algo i mos en su aplicación
a ecuaciones di e enciales o dina ias de p ime o den. Finalmen e, se p esen an dos
ejemplos o iginados en la ecnología de las cabezas olado as pa a discos de almacena-
mien o magné ico. Pues o que hemos es ingido aquí nues a a ención al mé odo
de Buno -Gale kin en su o ma habi ual, se hace necesa io p es a cie a a ención
a la o ma en que se ealiza la disc e ización en la p oximidad de las capas lími e.
De nues a expe iencia, concluimos que, no malmen e, es su icien e si ua es o cua o
nodos den o de la capa lími e pa a asegu a esul ados es ables, an o en el caso
es á ico como en el dinámico. A es e espec o suge imos una es imación "ad hoc"
pa a calcula el máximo amaño admisible de los elemen os en la susodicha á ea.
Además, con el obje i o de compa a , incluimos en los ejemplos algunos esul ados
ob enidos con un simple mé odo i e ado de Eule . Nues os esul ados son ambién
con as ados con una solución ob enida median e Di e encias Fini as3.
La
p incipal conclusión de es e a ículo es que, sin habe explo ado odas las o mu-
laciones posibles, el mé odo de los Elemen os Fini os es una écnica numé ica lexible
y pode osa pa a el análisis de cojine es de gas. Además, el p ocedimien o de in eg ación
empo al u ilizado es un algo i mo simple y adecuado no sólamen e pa a la p esen e,
sino ambién pa a o as ecuaciones pa abólicas no lineales. Finalmen e mencionamos,
que ha sido nues a in ención ecoge aquí solamen e la o mulación básica y da
ANALISIS ESTATICO
Y
DINAMICO DE COJINETES DE AIRE
29
una me a ilus ación de las posibilidades del esquema. Espe amos p esen a , en una
p óxima comunicación, una u ilización más ex ensa de es a he amien a pa a discu i
el compo amien o de un ipo de cabezas au o-sopo adas pa a disposi i os de almace-
namien o magné ico.
FORMULACION DEBIL DE LA ECUACION DE REYNOLDS
El
campo de p esiones gene ado po el lujo de gas en e dos supe icies p óximas
en mo imien o ela i o, sa is ace ap oximadamen e la ecuación bidimensional de
Reynolds8, que puede esc ibi se en o ma adimensional como:
a(ph)
(ph3 p
-
Aph)
=
o
-
a
donde p
=
p(x, ) es la p esión adimensional (p esión/p esión de e e encia p,),
h ep esen a el cocien e del espeso de película y una sepa ación de e e encia h,
(no malmen e la sepa ación en el bo de de salida)
y
se supone da o del p oblema,
A
=
ap~ /po hz es el pa áme o ec o ial adimensional del cojine e; L es una longi ud
ca ac e ís ica (p.e. la longi ud del cojine e),
p
es la iscosidad dinámica, es la eloci-
dad ela i a de las supe icies del cojine e,
o
=
1
2p~L2
/po es un segundo pa áme o
adimensional*
y
inalmen e, T es una ecuencia ca ac e ís ica u ilizada pa a adimen-
sionaliza la escala de iempos (puede oma se igual a uno).
A
lo laigo de es e abajo
a
ep esen a un dominio en
R2
y
F
su con o no supues o
sua e. Escala es y pun os se ep esen an con los usuales ca ac e es omanos y los
ec o es en neg i a. Se hace uso de la habi ual no ación del ope ado
es o es, z
indica la di e gencia del ec o
z
y
Vz el g adien e del escala z.
La exp esión débil de la ecuación
(1)
se ob iene as mul iplicación po la unción
de ponde ación
w
y aplicación de la ó mula de Gauss-C een
donde
n
es el ec o uni a io no mal al con o no
F.
Siguiendo la p ác ica habi ual
las unciones de ponde ación
w
se eligen de o ma que oman alo ce o en la pa e
del con o no
F,
donde se imponen las condiciones de con o no esenciales p =p(x, ),
la o a pa e del con o no es denominada
I',.
Las unciones
w
y sus de i adas pa ciales
se suponen de cuad ado in eg able en el dominio
a.
De acue do con la ecuación
(2)
la condición de con o no na u al es ablece la p esc ipción de (ph3 p-Aph)n que,
como puede demos a se, es igual al lujo adimensiona! de masa q(x, ). Nó ese que pa a
inco po a explíci amen e es a condición de con o no en la o mulación a iacional
del p oblema es necesa io in eg a po pa es an o el é mino di usi o como el con ec-
i o de la ecuación.
En la e sión de Elemen os Fini os del mé odo de Buno -Gale kin la pa e espacial
de la solución ap oximada a la ecuación
(2)
se busca en un espacio
de
splines polinómi-
cos de 2equeño sopo e Ni(x) es o es, p(x, )
=
lyi( )Ni(x), o en no ación di ec a,
p
=
N y
(el índice se u iliza pa a indica la aspues a de una ma iz o ec o
columna). Como es habi ual un elemen o
Ni
de la base el espacio ap oximan e oma
*
Los pa áme os
1
y
o son denominados en la e minología inglesa como "bea ing numbe "
y
"squeeze numbe " espec i amen e.
30
C.
GARCIA
SUAREZ
alo unidad en solamen e uno de los nodos y ce o en los o os, de o ma que el ec o
y
=
[yl, y2,
.
.
.,
Yn
]
ep esen a el alo de la unción p(x, ) en los nodos. La igualdad
(2) es sa is echa siendo
w
cualquie miemb o de subespacio ap oximan e o, de o ma
equi alen e, pa a odos los elemen os de la base
Ni.
De iniendo
La ecuación (2) puede esc ibi se de o ma más compac a como
que ep esen a un sis ema de ecuaciones di e enciales o dina ias en la unción y( ).
EL
CASO ESTATICO
La
solución co espondien e al égimen es aciona io puede ob ene se esol iendo
la eq.
(4)
con la condición de que el espeso de película sea independien e del iempo
ah/a
=
O,
o di ec amen e esol iendo el sis ema no lineal de ecuaciones K(y,O)
=
0.
Adop amos el ul imo p ocedimien o y u ilizamos el bien conocido mé odo de New on-
Rapson pa a educi el p oblema a una secuencia de ecuaciones lineales
donde la ma iz angen e
KT
y el esiduo
R
se de inen como
Los habi uales p ocedimien os del
FEM
pueden emplea se pa a esol e es a ecua-
ción. Po ejemplo, Rodhe y Oh5 u iliza on los polinomios de He mi e como base
de su ap oximación y en el p esen e abajo empleamos los cuad ilá e os Lag angianos
de cua o nodosg. Sin emba go, como ya se ha mencionado, apa ece una di icul ad
cuando el pa áme o del cojine e A aumen a y la ecuación
(1)
queda dominada po
las de i adas espaciales de p ime o den. En onces la solución desa olla una cápa
lími e de espeso 0(1/ IA1)lO. La malla de elemen os debe se lo su icien emen e ina
pa a ecoge los b uscos cambios que ípicamen e se p esen an en es as es uc u as y,
de no se así se apa ecen oscilaciones indeseables en la solución numé ica que pueden
hace que és a esul e o almen e inap o echable. En el p ime o de los ejemplos que
se conside a más a de, señalamos un c i e io 'ad hoc' (basado en la bien conocida
condición sob e el núme o de Pecle pa a p oblemas de anspo e) pa a es ima
el amaño máximo de los elemen os que deben si ua se en la capa lími e. Gene almen e
bas a con coloca es
o
cua o nodos de los cuad ilá e os bilineales den o de la capa
lími e pa a asegu a es abilidad, an o en el caso dinámico como es á ico, aunque
la si uación ansi o ia es un poco más exigen e en cuan o a disc e ización se e ie e.
Es e ipo de enómeno, ecuen e en el análisis de lujos dominados con ec i amen e,
ANALISIS ESTATICO
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DINAMICO DE COJINETES DE
AIRE
ha conducido a las denominadas o mulaciones '~pwind"~*' que p e enden e i a
la esolución de allada de la capa lími e a la ez que se p ese a una buena p ecisión
en el es o del dominio. Es as écnicas, habi ualmen e empleadas pa a la esolución
de la ecuación de Na ie -S okes, las ecuaciones lineales de anspo e y más ecien e-
men e algunos p oblemas hipe bólicosl*, han sido u ilizadas ecien emen e, en una
de sus e siones más simples1*, en el con ex o de la ecuación de Reynolds6.
EL
CASO DINAMICO
En el caso dinámico el sis ema de ecuaciones di e enciales o dina ias no lineales
de p ime o den
(4)
debe esoi e se. Pa a man ene la sencillez de no ación es con e-
nien e esc ibi dicha ecuación ma icial en la o ma canónica
donde (y, )
=
M-l( )[F( )y-K(y, )]. La condición inicial se ob iene imponiendo
y
=
y,, habiéndose ob enido y, de la solución es á ica.
Po a ias azones odos los mé odos desc i os a con inuación son implíci os. En
p ime luga , como ya se ha mencionado, una malla ina iene que emplea se en la capa
lími e. Es o implica que cabe espe a modos p opios al os que impond ían una se e a
es icción en el amaño del in e alo de iempo a u iliza con cualquie esquema
explíci o de in eg ación. En segundo luga , la ecuación (7) es no lineal y sus coe icien-
es dependen del iempo. Es o signi ica que la ma iz de coe icien es iene que ecalcu-
la se, en cualquie caso, al menos cada pocos pasos, haciendo ca os los esquemas
explíci os.
El mé odo de Newma k pa a ecuaciones di e enciales o dina ias de p ime o den.
Uno de los p ocedimien os más comúnmen e empleados pa a la in eg ación de las
ecuaciones de segundo o den de la dinámica de es uc u as, lo cons i uye el bien cono-
cido mé odo de Newma k7. Básicamen e és e consis e en una amilia de algo i mos
implíci os de segundo o den pa ame izada po dos escala es. Aquí u ilizamos las ela-
ciones asociadas con es e p ocedimien o pa a ob ene un algo i mo con is a a la
esolución de las ecuaciones de p ime o den (7). Más adelan e se e á que el esquema
es equi alen e a un habi ual p ocedimien o linea implíci o de dos pasos ( es pun os),
como ha sido señalado ya po Zienkiewicz15 con e e encia a las ecuaciones de la
dinámica es uc u al. A es e espec o señalamos que es e algo i mo ha sido u ilizado
sólo ocasionalmen e pa a ecuaciones di e enciales de p ime o den y no en la o ma
gene al discu ida aquíg. Sin emba go el p ocedimien o esul a bas an e ú il ya que
su p ecisión y la disipación numé ica pueden ajus a se ácilmen e modi icando los
alo es de los dos pa áme os mencionados,
Los pasos que cons i uyen el esquema son como sigue.
,
1)P edicción.- Supónganse conocidas en un ins an e , las can idades yn,yn y una
ap oximación a
y,
(más adelan e se explica cómo calcula y, a pa i de y, e Y,).
Los supe índices se e ie en al ins an e de iempo en que las a iables o u iciones
son e aluadas. Una p edicción de segundo o den de y,+, e y,+, ep esen ada po
y:+:,, e se calcula como
:

32
C.
G
ARCIA
SUAREZ
donde A es el amaño del in e alo de iempo.
,2) Co ección.- Las bien conocidas ecuaciones de ~ewma k' pueden esc ibi se como
:
donde
y
y
0
son dos pa áme os cons an es a de e mina . El paso de co ección consis e
de la ecuación
Mn+l
yn+i
+
K(Yn+i , n+i
)
-
Fn+i
Yn+i
=
O
(10)
jun o con la ecuación (9)1 .
Debido a que la ec. (10) es no-lineal en hacemos uso, una ez más, del mé odo
i e a i o de New on-Rapson. La e sión linea izada del co ec o es
donde
K,
es la ma iz angen e de inida en la ec. (6). Es e segundo paso es epe ido
un núme o ijo de eces o has a que el esiduo, es o es el miemb o de echo de la
ec. (1 1)1, sea más pequeño que una cie a co a. Gene almen e, hemos adop ado
el c i e io habi ual de de ene el p oceso i e a i o, den o de cada in e alo de iempo,
cuando el úl imo esiduo calculado es más pequeño que una cie a acción del compu-
ado al comienzo del in e alo (es no malmen e ecomendable combina es a egla
con un lími e supe io al núme o o al de i e aciones po in e alo de iempo, co ien-
emen e dos o es i e aciones son su icien es).
3)Una ap oximación de segundo o den a se ob iene median e la ec. (9) o de
o ma equi alen e
donde es el úl imo alo calculado en el paso 2.
T as es e úl imo paso la a iable iempo se inc emen a en A . Nó ese que es e ipo
de implemen ación pe mi e ácilmen e modi ica el amaño del in e alo de iempo.
El algo i mo p osigue ol iendo al paso uno.
En los ejemplos que se p esen an más abajo, el análisis dinámico se ealiza siemp e
.
.
as el cálculo de la solución es á ica y se u ilizan los alo es de
yo
=
yo
=
O
pa a
inicia el caso dinámico.
Pa a examina las p opiedades del algo i mo p esen ado esc ibimos és e en la habi-
ual o ma de los mé odos mul ipaso, Sus i uyendo la ecuación (9)1 en el miemb o
izquie do de la ec.
(7)
a la ez que y, se exp esa en unción de
9,
,yn,, e median e
eliminación de ynA1 de las ecuaciones (9) (esc i as en e los ins an es n
y
n-l)
se ob iene
ANALISIS ESTATICO
Y
DINAMICO DE COJINETES DE AIRE
3
3
donde
Nó ese sin -emba go que la eliminación de y,-, es sólamen e posible si
2079,
Pa a
el caso en que
20-y
=
O
se obs.e a de la ecuación
(9)
que el mé odo se educe a .la
ap oximación de C ank-Nicholson,
Las p opiedades de con e gencia y es abilidad del mé odo pueden, en una p ime a
ase, se es udiadas con la ayuda de la eo ía de los mé odos lineales mul ipaso.
En pa icula , es posible comp oba que el algo i mo es consis en e de segundo o den
y que iene un in e alo de es abilidad eal ilimi ado pa a
Es a condición asegu a ía la es abilidad numé ica del algo i mo si los au o alo es
de
en la ec.
(7)
uesen eales y nega i os. Además en es e caso el eo ema de equi a-
lencia de L.axi6 asegu a ía la con e gencia. Sin emba go, dado que la ma iz K,, de ini-
da po la ec. (6), es asimé ica, sus au o alo es pueden se complejos y la conclusión
p eceden e debe adop a se con p ecaución.
A
pesa de ello, los expe imen os numé-
icos ealizados has a aho a pa ecen indica que los lími es (16) pueden emplea se
con con ianza.
Mayo conocimien o sob e las p opiedades de es abilidad puede ob ene se calcu-
lando las aíces del polinomio ca ac e ís ico asociado con la ec. (13), ob enido al
aplica es a úl ima exp esión a la ecuaci611 escala de p ueba
X
=
hxi7. Dado que
el mé odo conside a dos in e alos consecu i os de iempo, dos aíces dis in as pueden
en gene al espe a se. El módulo de és as es una medida del ac o de ampli icación
in oluc ado en el p oceso de in eg ación. Como es bien sabido un mé odo es able
debe p esen a ambas aíces meno es que uno. Además, es ambién deseable, y de
hecho es a p opiedad igu a como pa e de algunas o as de iniciones de es abilidad,
que las aíces e olucionen como el e dade o ac o de ampli icación ehA
,
endiendo
a ce o según el p oduc o hA iende a menos in ini o. Es o asegu a ía que los modos
al os son ápidamen e disipados, dejando sólamen e la signi ica i a espues a asociada
a los modos bajos. En la Figu a 1 el ódulo de las aíces asociadas con el mé odo
de Newma k ha sido ep esen ado pa a a ios alo es de
y
y
0
(en la igu a indicados
,
como
G
y
B
espec i amen e). En el g á ico co espondien e a y
=
0.5
el ac o de
ampli icación de la ap oximación de C ank-Nicholson
(20
=
y) ha sido ambién dibu-
jado. Pa a cada caso una de las aíces es ep esen ada median e línea con ínua y o a
con azo discon ínuo, cuando ambas son complejas conjugadas no es posible hace
la dis inción y sólamen e puede obse a se la línea con ínua.
Mé odos del mismo o den de consis encia pueden se compa ados median e los
alo es co espondien es de la cons an e de e o . Es a cons an e es simplemen e
el p ime coe icien e no nulo del desa ollo en se ie de Taylo que se emplea pa a
34
C. GARCIA SUAREZ
de e mina el o den de consis encia1'. Puede comp oba se que es e coe icien e se
esc ibe en é minos de los pa áme os
a
y
0
como18
:
Es e alo jun o con las p opiedades de es abilidad ilus adas en la Fig.
1
si en
pa a e ec ua una p ime a e aluación de un esquema dado. Nó ese que el mínimo
alo de la cons an e de e o se ob iene con el mé odo de C ank-Nichols~n: C=1/12.
De hecho, Dahlquis lg ha demos ado que la cons an e de e o más pequeña que
puede ob ene se con cualquie mé odo de segundo o den, que sea incondicionalmen e
es able, co esponde al mé odo de C ank-Nicholson. Es bien sabido que el p ecio po
es e esul ado óp imo es una ela i amen e pob e e olución de las aíces co espon-
dien es (Fig. l), lo que causa un amo iguamien o demasiado len o
y
de ca ác e oscila-
o io de los modos al os.
Figu a
1
.-
Módulo de las aíces del polinomio ca ac e ís ico asociado al mé odo de Newma k pa a
ecuaciones di e enciales o dina ias de p ime o den,
La
amilia y1.5 esul a un mé odo pa icula men e a ac i o. Pa a
P4.8
la cons an-
e de e o es sólamen e 1.6112.
y
el dibujo (pa a G=1
.S)
de la Figu a 1 indica cómo,
pa a pequeños alo es de
0
(p.e. B=l.), el ac o de ampli icación con e ge ápida-
men e hacia ce o. Los alo es
04.8
y
y1.5 han sido suge idos po zienkiewiczg
al deduci el esquema dado po las ecuaciones (13)
y
(14) como una aplicación del
M.E.F.
en la di ección del iempo. De hecho el alo de es os pa ame os se co espon-
de con una ponde ación "consis en e" de ipo Gale kin.
Debe indica se que odos los cómpu os p esen ados aquí han sido ealizados
empleando una ma iz de masa consis en e, al
y
como se indica en la ecuación
(3),
dado que algunos expe imen os ealizados con una ma iz condensada po cuad a u a
die on luga a esul ados muy pob es.
Mé odo i e ado de Eule .
Con el- p opósi o de compa a en los ejemplos que siguen se ha empleado ambién
una e sión i e ada del mé odo de Eule de di e encias a asadas. Es bien conocido
ANALISIS ESTATICO
Y
DINAMICO DE COJINETES
DE
AIRE
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que es e algo i mo es ex emadamen e es able pe o posee sólamen e una p ecisión
de p ime o den. El esquema u ilizado consis e de una p edicción de p ime o den
o
-
Yn+i
-
2~n
-
Yn-i
(1
7)
seguida sólo de una pasada po el co ec o
2-
hni1
NN~AY.~~
+/no%
NN dyndn
+
/,
A
n+i
ln
VN[N~~;+,
h3 VN Ay,
-
Ah,, N Ayn]dn
= n+i
donde
1
NN yndn
-i
NIN yLl h3 VN yn
-
AN yn]
-
QNd (19)
A a
n+i
LQ
An es de ealiza la siguien e p edicción del alo de y debe se ac ualizado, es o es
Yn+i
=
Yn
+
AY^.
EJEMPLOS
Los ejemplos que siguen es án mo i ados en el análisis de cabezas olan es pa a
discos de almacenamien o magné ico. Una si uación dinámica ípica incluye un pa ín
(cabeza) plano o o mado po dos planos* olando, a una al u a que a ía en e 1pm
y 4pm, sob e el disco, que gi a al ededo de su eje a unas 3.600 .p.m. En odos los
casos el pa ín se conside a ijo en el espacio y las i egula idades en la supe icie del
disco se simulan median e c es as o inden aciones. Es as y cualquie o a a iación
del espeso de película es simplemen e ecogida median e una unción h
=
h(x, ) ap o-
piada. El cambio en el espeso de película p oduce una pe u bación en el pe il
es á ico de p esiones. Es a espues a ansi o ia es el obje o del análisis.
Ejemplo
1.
Se conside an un cojine e de anchu a in ini a con un pa ín plano y una c es a
de pe il senoidal. En la Figu a
2
se p esen a un esquema de la geome ía cuya de ini-
ción exac a es como sigue: el cocien e en e el máximo y el mínimo espeso de película
es 4., la al u a de la c es a es el 20% del mínimo espeso de película (en el bo de
de salida) y la longi ud de la c es a es el 30% de la p oyección ho izon al del pa ín.
Los cálculos se han ealizado con un pa áme o de cojine e A=400. y un pa áme o
o=100. Inicialmen e la c es a se si úa desde -0.3 a 0.0. La elocidad adimensional
de la c es a ha sido independien emen e ijada a 10. es o es, se equie en 13~10-~
unidades de iempo pa a c uza comple amen e la supe icie del cojine e.
Pa a es ablece las dimensiones ap opiadas de
bs
"elemen os que deben si ua se
en el bo de de salida de ca a a e i a la apa ición de osc~laciones numé icas indeseables,
*
La denominación inglesa co espondien e es " appe - la slide ".
42
C.
G
ARCIA SUAREZ
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