Análisis estático y dinámico de cojinetes de aire mediante elementos finitos

ANALISIS ESTATICO Y DINAMICO DE COJINETES DE AIRE MEDIANTE ELEMENTOS FINITOS CARLOS GARCIA SUAREZ* Depa men o Mechanica1 Engineenng Uni e si y o Cali omia, Be keley RESUMEN Es e a ículo p esen a una o mulación de Buno Gale kin pa a el análisis, median e Elemen os Fini os, de p oblemas es á icos y dinámicos de lub icación gaseosa. Pa a la pa e espacial del p oblema se emplean las habi uales unciones CO, mien as que la in eg ación enel iempo se ealiza con un pa de p edicciónco ección basado en el mé odo de Newma k, algo i mo és e bien conocido en el con ex o del análisis dinámico de es uc u as. Se ealiza un b e e análisis del esquema esul an e en su aplicación a ecuaciones di e enciales o dina ias de p ime o den. La discusión se ilus a con dos ejemplos mo i ados en la ecnología de cabezas olado as pa a discos de almacenamien o magné- ico. La p incipal mo i ación de es e abajo es el desa ollo de un mé odo numé ico lexible, capaz de esol e los di e sos p oblemas que se p esen an en ac uales y, p edeciblemen e, u u as aplicacio- nes de la lub icación median e película de gas. El Mé odo de los Elemen os Fini os en combinación con el p ocedimien o de in eg ación empo al p esen ado es una écnica en ajosa en es e sen ido. SUMM ARY This pape p esen s a Buno Gale kin Fini e Elemen o mula ion o he analysis o s a ic and dynamic gas lub ica ion p oblems. Fo he spa ial pa s anda d C0 unc ions a e used whe eas o ime in eg a ion a p edic o -i nplici co ec o pai based on he Newma k me hod o s uc u al dyna nics is used. A b ie analysis o his algo i hm as applied o i s o de ODEs is p esen ed. Then wo examples om he echnology o lying heads o magne ic eco ding disk des a e sol ed. The main mo i a ion o his wo k is o p o ide a lexible nume ical echnique able o handle he qui e di e se p oblems occu ing in p esen and, p edic ably, u u e gas lub ica ion applica ions. The Fini e Elemen me hod in conjunc ion wi h he ime in eg a ion p ocedu e p esen ed he e is an ad an ageous ool o his pu pose, INTRODUCCION Es e abajo discu e una aplicación del Mé odo de los Elemen os Fini os (MEF), basada en una o mulación de Buno -Gale kin, al análisis es á ico y dinámico de p oblemas de lub icación gaseosa ep esen ados median e la clásica ecuación de Rey- nolds. Es a ecuación desc ibe, ap oximadamen e, el campo de p esiones gene ado po el lujo de gas en e dos supe icies p óximas, que se hallan en mo imien o ela i o. Es una ecuación de ipo pa abólico no lineal, su dominio espacial es una supe icie bidimensional y posee una es uc u a simila a la de los ípicos enómenos de anspo - e median e di usión-con ección. La esolución numé ica de la ecuación de Reynolds se ha con e ido en un pun o c ucial en a ias aplicaciones de la ibología, an o en el égimen incomp esible como comp esiblel. La mayo pa e de los es udios numé icos sob e el compo amien o * Visi ing Schola Recibido: Diciemb e 1984 Uni e si a Poli dcnica de Ca alunya (España) ISSN 0213-1315 28 C. GARCIA SUAREZ de cojine es de gas han u ilizado esquemas de Di e encias Fini as213, mien as que el uso del MEF ha sido más limi ado. La p ime a aplicación del MEF al caso es á ico empleó una écnica de a iación de pa áme os pa a linealiza las ecuaciones de campo4. Más adelan e se u ilizó el habi ual mé odo de New on-Raphson, en combina- ción con un espacio ap oximadamen e basado en los conocidos polinomios de He mi- e5. En g an medida, el in e és despe ado en la esolución numé ica de la ecuación de Reynolds pa a lujo comp esible es debido al análisis y diseño de cabezas olado as pa a discos de almacenamien o magné ico. Debido a los alo es de los pa áme os de diseño en los p oduc os ac uales, esul a habi ual de ec a en los pe iles de p esio- nes g adien es muy p onunciados y ansi o ios a g an elocidad. El p oblema p esen a las ípicas ca ac e ís icas de los lujos dominados con ec i amen e. Mo i ados po es a si uación, hemos p esen ado ecien emen e el uso de una o mulación de Ga lekin en combinación con una écnica de in eg ación selec i a- educida6, que pe mi e man ene una buena p ecisión global e i ando la esolución de allada de la capa lími e. En es a úl ima e e encia se emplea on los habi uales CO cuad ilá e os de Lag ange, lo que esul a en ajoso cuando el espeso de la película es discon ínuo o a ía b usca- men e ya que en onces, la solución del p oblema ca ece de de i adas p ime as con í- nuas. El abajo p esen e ex iende el análisis al caso ansi o io, pe o sólamen e se conside a el mé odo de Buno -Gale kin en su o ma habi ual, es deci , no se in oduce ningún p ocedimien o de "upwind". El es o de es e abajo puede esquema iza se como sigue. P ime amen e p esen a- mos la o mulación débil de la ecuación de Reynolds y el p ocedimien o habi ual u ilizado pa a la esolución del caso es aciona io. Básicamen e és e consis e en la u ili- zación de unciones de p ueba C0 y el p oceso i e a i o de New on-Raphson. En segun- do luga , discu imos el esquema de in eg ación empo al en su aplicación a los sis emas de ecuaciones di e enciales o dina ias de p ime o den, que esul an de la o mulación a iacional, una ez que ha sido ealizada la ap oximación espacial. El p incipal algo i - mo u ilizado a es e espec o es una pa de p edicción-co ección implíci a basado en el bien conocido mé odo de Newma k7, de nue o en conexión con el p ocedimien o de New on-Raphson. Es e esquema es o malmen e equi alen e a una amilia de mé o- dos lineales de dos pasos ( es pun os) y da luga a un g upo bas an e amplio de algo i mos de in eg ación de segundo o den, con dis in as p opiedades de es abilidad y p ecisión. Se incluye un b e e análisis de es a amilia de algo i mos en su aplicación a ecuaciones di e enciales o dina ias de p ime o den. Finalmen e, se p esen an dos ejemplos o iginados en la ecnología de las cabezas olado as pa a discos de almacena- mien o magné ico. Pues o que hemos es ingido aquí nues a a ención al mé odo de Buno -Gale kin en su o ma habi ual, se hace necesa io p es a cie a a ención a la o ma en que se ealiza la disc e ización en la p oximidad de las capas lími e. De nues a expe iencia, concluimos que, no malmen e, es su icien e si ua es o cua o nodos den o de la capa lími e pa a asegu a esul ados es ables, an o en el caso es á ico como en el dinámico. A es e espec o suge imos una es imación "ad hoc" pa a calcula el máximo amaño admisible de los elemen os en la susodicha á ea. Además, con el obje i o de compa a , incluimos en los ejemplos algunos esul ados ob enidos con un simple mé odo i e ado de Eule . Nues os esul ados son ambién con as ados con una solución ob enida median e Di e encias Fini as3. La p incipal conclusión de es e a ículo es que, sin habe explo ado odas las o mu- laciones posibles, el mé odo de los Elemen os Fini os es una écnica numé ica lexible y pode osa pa a el análisis de cojine es de gas. Además, el p ocedimien o de in eg ación empo al u ilizado es un algo i mo simple y adecuado no sólamen e pa a la p esen e, sino ambién pa a o as ecuaciones pa abólicas no lineales. Finalmen e mencionamos, que ha sido nues a in ención ecoge aquí solamen e la o mulación básica y da ANALISIS ESTATICO Y DINAMICO DE COJINETES DE AIRE 29 una me a ilus ación de las posibilidades del esquema. Espe amos p esen a , en una p óxima comunicación, una u ilización más ex ensa de es a he amien a pa a discu i el compo amien o de un ipo de cabezas au o-sopo adas pa a disposi i os de almace- namien o magné ico. FORMULACION DEBIL DE LA ECUACION DE REYNOLDS El campo de p esiones gene ado po el lujo de gas en e dos supe icies p óximas en mo imien o ela i o, sa is ace ap oximadamen e la ecuación bidimensional de Reynolds8, que puede esc ibi se en o ma adimensional como: a(ph) (ph3 p - Aph) = o - a donde p = p(x, ) es la p esión adimensional (p esión/p esión de e e encia p,), h ep esen a el cocien e del espeso de película y una sepa ación de e e encia h, (no malmen e la sepa ación en el bo de de salida) y se supone da o del p oblema, A = ap~ /po hz es el pa áme o ec o ial adimensional del cojine e; L es una longi ud ca ac e ís ica (p.e. la longi ud del cojine e), p es la iscosidad dinámica, es la eloci- dad ela i a de las supe icies del cojine e, o = 1 2p~L2 /po es un segundo pa áme o adimensional* y inalmen e, T es una ecuencia ca ac e ís ica u ilizada pa a adimen- sionaliza la escala de iempos (puede oma se igual a uno). A lo laigo de es e abajo a ep esen a un dominio en R2 y F su con o no supues o sua e. Escala es y pun os se ep esen an con los usuales ca ac e es omanos y los ec o es en neg i a. Se hace uso de la habi ual no ación del ope ado es o es, z indica la di e gencia del ec o z y Vz el g adien e del escala z. La exp esión débil de la ecuación (1) se ob iene as mul iplicación po la unción de ponde ación w y aplicación de la ó mula de Gauss-C een donde n es el ec o uni a io no mal al con o no F. Siguiendo la p ác ica habi ual las unciones de ponde ación w se eligen de o ma que oman alo ce o en la pa e del con o no F, donde se imponen las condiciones de con o no esenciales p =p(x, ), la o a pa e del con o no es denominada I',. Las unciones w y sus de i adas pa ciales se suponen de cuad ado in eg able en el dominio a. De acue do con la ecuación (2) la condición de con o no na u al es ablece la p esc ipción de (ph3 p-Aph)n que, como puede demos a se, es igual al lujo adimensiona! de masa q(x, ). Nó ese que pa a inco po a explíci amen e es a condición de con o no en la o mulación a iacional del p oblema es necesa io in eg a po pa es an o el é mino di usi o como el con ec- i o de la ecuación. En la e sión de Elemen os Fini os del mé odo de Buno -Gale kin la pa e espacial de la solución ap oximada a la ecuación (2) se busca en un espacio de splines polinómi- cos de 2equeño sopo e Ni(x) es o es, p(x, ) = lyi( )Ni(x), o en no ación di ec a, p = N y (el índice se u iliza pa a indica la aspues a de una ma iz o ec o columna). Como es habi ual un elemen o Ni de la base el espacio ap oximan e oma * Los pa áme os 1 y o son denominados en la e minología inglesa como "bea ing numbe " y "squeeze numbe " espec i amen e. 30 C. GARCIA SUAREZ alo unidad en solamen e uno de los nodos y ce o en los o os, de o ma que el ec o y = [yl, y2, . . ., Yn ] ep esen a el alo de la unción p(x, ) en los nodos. La igualdad (2) es sa is echa siendo w cualquie miemb o de subespacio ap oximan e o, de o ma equi alen e, pa a odos los elemen os de la base Ni. De iniendo La ecuación (2) puede esc ibi se de o ma más compac a como que ep esen a un sis ema de ecuaciones di e enciales o dina ias en la unción y( ). EL CASO ESTATICO La solución co espondien e al égimen es aciona io puede ob ene se esol iendo la eq. (4) con la condición de que el espeso de película sea independien e del iempo ah/a = O, o di ec amen e esol iendo el sis ema no lineal de ecuaciones K(y,O) = 0. Adop amos el ul imo p ocedimien o y u ilizamos el bien conocido mé odo de New on- Rapson pa a educi el p oblema a una secuencia de ecuaciones lineales donde la ma iz angen e KT y el esiduo R se de inen como Los habi uales p ocedimien os del FEM pueden emplea se pa a esol e es a ecua- ción. Po ejemplo, Rodhe y Oh5 u iliza on los polinomios de He mi e como base de su ap oximación y en el p esen e abajo empleamos los cuad ilá e os Lag angianos de cua o nodosg. Sin emba go, como ya se ha mencionado, apa ece una di icul ad cuando el pa áme o del cojine e A aumen a y la ecuación (1) queda dominada po las de i adas espaciales de p ime o den. En onces la solución desa olla una cápa lími e de espeso 0(1/ IA1)lO. La malla de elemen os debe se lo su icien emen e ina pa a ecoge los b uscos cambios que ípicamen e se p esen an en es as es uc u as y, de no se así se apa ecen oscilaciones indeseables en la solución numé ica que pueden hace que és a esul e o almen e inap o echable. En el p ime o de los ejemplos que se conside a más a de, señalamos un c i e io 'ad hoc' (basado en la bien conocida condición sob e el núme o de Pecle pa a p oblemas de anspo e) pa a es ima el amaño máximo de los elemen os que deben si ua se en la capa lími e. Gene almen e bas a con coloca es o cua o nodos de los cuad ilá e os bilineales den o de la capa lími e pa a asegu a es abilidad, an o en el caso dinámico como es á ico, aunque la si uación ansi o ia es un poco más exigen e en cuan o a disc e ización se e ie e. Es e ipo de enómeno, ecuen e en el análisis de lujos dominados con ec i amen e, ANALISIS ESTATICO Y DINAMICO DE COJINETES DE AIRE ha conducido a las denominadas o mulaciones '~pwind"~*' que p e enden e i a la esolución de allada de la capa lími e a la ez que se p ese a una buena p ecisión en el es o del dominio. Es as écnicas, habi ualmen e empleadas pa a la esolución de la ecuación de Na ie -S okes, las ecuaciones lineales de anspo e y más ecien e- men e algunos p oblemas hipe bólicosl*, han sido u ilizadas ecien emen e, en una de sus e siones más simples1*, en el con ex o de la ecuación de Reynolds6. EL CASO DINAMICO En el caso dinámico el sis ema de ecuaciones di e enciales o dina ias no lineales de p ime o den (4) debe esoi e se. Pa a man ene la sencillez de no ación es con e- nien e esc ibi dicha ecuación ma icial en la o ma canónica donde (y, ) = M-l( )[F( )y-K(y, )]. La condición inicial se ob iene imponiendo y = y,, habiéndose ob enido y, de la solución es á ica. Po a ias azones odos los mé odos desc i os a con inuación son implíci os. En p ime luga , como ya se ha mencionado, una malla ina iene que emplea se en la capa lími e. Es o implica que cabe espe a modos p opios al os que impond ían una se e a es icción en el amaño del in e alo de iempo a u iliza con cualquie esquema explíci o de in eg ación. En segundo luga , la ecuación (7) es no lineal y sus coe icien- es dependen del iempo. Es o signi ica que la ma iz de coe icien es iene que ecalcu- la se, en cualquie caso, al menos cada pocos pasos, haciendo ca os los esquemas explíci os. El mé odo de Newma k pa a ecuaciones di e enciales o dina ias de p ime o den. Uno de los p ocedimien os más comúnmen e empleados pa a la in eg ación de las ecuaciones de segundo o den de la dinámica de es uc u as, lo cons i uye el bien cono- cido mé odo de Newma k7. Básicamen e és e consis e en una amilia de algo i mos implíci os de segundo o den pa ame izada po dos escala es. Aquí u ilizamos las ela- ciones asociadas con es e p ocedimien o pa a ob ene un algo i mo con is a a la esolución de las ecuaciones de p ime o den (7). Más adelan e se e á que el esquema es equi alen e a un habi ual p ocedimien o linea implíci o de dos pasos ( es pun os), como ha sido señalado ya po Zienkiewicz15 con e e encia a las ecuaciones de la dinámica es uc u al. A es e espec o señalamos que es e algo i mo ha sido u ilizado sólo ocasionalmen e pa a ecuaciones di e enciales de p ime o den y no en la o ma gene al discu ida aquíg. Sin emba go el p ocedimien o esul a bas an e ú il ya que su p ecisión y la disipación numé ica pueden ajus a se ácilmen e modi icando los alo es de los dos pa áme os mencionados, Los pasos que cons i uyen el esquema son como sigue. , 1)P edicción.- Supónganse conocidas en un ins an e , las can idades yn,yn y una ap oximación a y, (más adelan e se explica cómo calcula y, a pa i de y, e Y,). Los supe índices se e ie en al ins an e de iempo en que las a iables o u iciones son e aluadas. Una p edicción de segundo o den de y,+, e y,+, ep esen ada po y:+:,, e se calcula como : 32 C. G ARCIA SUAREZ donde A es el amaño del in e alo de iempo. ,2) Co ección.- Las bien conocidas ecuaciones de ~ewma k' pueden esc ibi se como : donde y y 0 son dos pa áme os cons an es a de e mina . El paso de co ección consis e de la ecuación Mn+l yn+i + K(Yn+i , n+i ) - Fn+i Yn+i = O (10) jun o con la ecuación (9)1 . Debido a que la ec. (10) es no-lineal en hacemos uso, una ez más, del mé odo i e a i o de New on-Rapson. La e sión linea izada del co ec o es donde K, es la ma iz angen e de inida en la ec. (6). Es e segundo paso es epe ido un núme o ijo de eces o has a que el esiduo, es o es el miemb o de echo de la ec. (1 1)1, sea más pequeño que una cie a co a. Gene almen e, hemos adop ado el c i e io habi ual de de ene el p oceso i e a i o, den o de cada in e alo de iempo, cuando el úl imo esiduo calculado es más pequeño que una cie a acción del compu- ado al comienzo del in e alo (es no malmen e ecomendable combina es a egla con un lími e supe io al núme o o al de i e aciones po in e alo de iempo, co ien- emen e dos o es i e aciones son su icien es). 3)Una ap oximación de segundo o den a se ob iene median e la ec. (9) o de o ma equi alen e donde es el úl imo alo calculado en el paso 2. T as es e úl imo paso la a iable iempo se inc emen a en A . Nó ese que es e ipo de implemen ación pe mi e ácilmen e modi ica el amaño del in e alo de iempo. El algo i mo p osigue ol iendo al paso uno. En los ejemplos que se p esen an más abajo, el análisis dinámico se ealiza siemp e . . as el cálculo de la solución es á ica y se u ilizan los alo es de yo = yo = O pa a inicia el caso dinámico. Pa a examina las p opiedades del algo i mo p esen ado esc ibimos és e en la habi- ual o ma de los mé odos mul ipaso, Sus i uyendo la ecuación (9)1 en el miemb o izquie do de la ec. (7) a la ez que y, se exp esa en unción de 9, ,yn,, e median e eliminación de ynA1 de las ecuaciones (9) (esc i as en e los ins an es n y n-l) se ob iene ANALISIS ESTATICO Y DINAMICO DE COJINETES DE AIRE 3 3 donde Nó ese sin -emba go que la eliminación de y,-, es sólamen e posible si 2079, Pa a el caso en que 20-y = O se obs.e a de la ecuación (9) que el mé odo se educe a .la ap oximación de C ank-Nicholson, Las p opiedades de con e gencia y es abilidad del mé odo pueden, en una p ime a ase, se es udiadas con la ayuda de la eo ía de los mé odos lineales mul ipaso. En pa icula , es posible comp oba que el algo i mo es consis en e de segundo o den y que iene un in e alo de es abilidad eal ilimi ado pa a Es a condición asegu a ía la es abilidad numé ica del algo i mo si los au o alo es de en la ec. (7) uesen eales y nega i os. Además en es e caso el eo ema de equi a- lencia de L.axi6 asegu a ía la con e gencia. Sin emba go, dado que la ma iz K,, de ini- da po la ec. (6), es asimé ica, sus au o alo es pueden se complejos y la conclusión p eceden e debe adop a se con p ecaución. A pesa de ello, los expe imen os numé- icos ealizados has a aho a pa ecen indica que los lími es (16) pueden emplea se con con ianza. Mayo conocimien o sob e las p opiedades de es abilidad puede ob ene se calcu- lando las aíces del polinomio ca ac e ís ico asociado con la ec. (13), ob enido al aplica es a úl ima exp esión a la ecuaci611 escala de p ueba X = hxi7. Dado que el mé odo conside a dos in e alos consecu i os de iempo, dos aíces dis in as pueden en gene al espe a se. El módulo de és as es una medida del ac o de ampli icación in oluc ado en el p oceso de in eg ación. Como es bien sabido un mé odo es able debe p esen a ambas aíces meno es que uno. Además, es ambién deseable, y de hecho es a p opiedad igu a como pa e de algunas o as de iniciones de es abilidad, que las aíces e olucionen como el e dade o ac o de ampli icación ehA , endiendo a ce o según el p oduc o hA iende a menos in ini o. Es o asegu a ía que los modos al os son ápidamen e disipados, dejando sólamen e la signi ica i a espues a asociada a los modos bajos. En la Figu a 1 el ódulo de las aíces asociadas con el mé odo de Newma k ha sido ep esen ado pa a a ios alo es de y y 0 (en la igu a indicados , como G y B espec i amen e). En el g á ico co espondien e a y = 0.5 el ac o de ampli icación de la ap oximación de C ank-Nicholson (20 = y) ha sido ambién dibu- jado. Pa a cada caso una de las aíces es ep esen ada median e línea con ínua y o a con azo discon ínuo, cuando ambas son complejas conjugadas no es posible hace la dis inción y sólamen e puede obse a se la línea con ínua. Mé odos del mismo o den de consis encia pueden se compa ados median e los alo es co espondien es de la cons an e de e o . Es a cons an e es simplemen e el p ime coe icien e no nulo del desa ollo en se ie de Taylo que se emplea pa a 34 C. GARCIA SUAREZ de e mina el o den de consis encia1'. Puede comp oba se que es e coe icien e se esc ibe en é minos de los pa áme os a y 0 como18 : Es e alo jun o con las p opiedades de es abilidad ilus adas en la Fig. 1 si en pa a e ec ua una p ime a e aluación de un esquema dado. Nó ese que el mínimo alo de la cons an e de e o se ob iene con el mé odo de C ank-Nichols~n: C=1/12. De hecho, Dahlquis lg ha demos ado que la cons an e de e o más pequeña que puede ob ene se con cualquie mé odo de segundo o den, que sea incondicionalmen e es able, co esponde al mé odo de C ank-Nicholson. Es bien sabido que el p ecio po es e esul ado óp imo es una ela i amen e pob e e olución de las aíces co espon- dien es (Fig. l), lo que causa un amo iguamien o demasiado len o y de ca ác e oscila- o io de los modos al os. Figu a 1 .- Módulo de las aíces del polinomio ca ac e ís ico asociado al mé odo de Newma k pa a ecuaciones di e enciales o dina ias de p ime o den, La amilia y1.5 esul a un mé odo pa icula men e a ac i o. Pa a P4.8 la cons an- e de e o es sólamen e 1.6112. y el dibujo (pa a G=1 .S) de la Figu a 1 indica cómo, pa a pequeños alo es de 0 (p.e. B=l.), el ac o de ampli icación con e ge ápida- men e hacia ce o. Los alo es 04.8 y y1.5 han sido suge idos po zienkiewiczg al deduci el esquema dado po las ecuaciones (13) y (14) como una aplicación del M.E.F. en la di ección del iempo. De hecho el alo de es os pa ame os se co espon- de con una ponde ación "consis en e" de ipo Gale kin. Debe indica se que odos los cómpu os p esen ados aquí han sido ealizados empleando una ma iz de masa consis en e, al y como se indica en la ecuación (3), dado que algunos expe imen os ealizados con una ma iz condensada po cuad a u a die on luga a esul ados muy pob es. Mé odo i e ado de Eule . Con el- p opósi o de compa a en los ejemplos que siguen se ha empleado ambién una e sión i e ada del mé odo de Eule de di e encias a asadas. Es bien conocido ANALISIS ESTATICO Y DINAMICO DE COJINETES DE AIRE 35 que es e algo i mo es ex emadamen e es able pe o posee sólamen e una p ecisión de p ime o den. El esquema u ilizado consis e de una p edicción de p ime o den o - Yn+i - 2~n - Yn-i (1 7) seguida sólo de una pasada po el co ec o 2- hni1 NN~AY.~~ +/no% NN dyndn + /, A n+i ln VN[N~~;+, h3 VN Ay, - Ah,, N Ayn]dn = n+i donde 1 NN yndn -i NIN yLl h3 VN yn - AN yn] - QNd (19) A a n+i LQ An es de ealiza la siguien e p edicción del alo de y debe se ac ualizado, es o es Yn+i = Yn + AY^. EJEMPLOS Los ejemplos que siguen es án mo i ados en el análisis de cabezas olan es pa a discos de almacenamien o magné ico. Una si uación dinámica ípica incluye un pa ín (cabeza) plano o o mado po dos planos* olando, a una al u a que a ía en e 1pm y 4pm, sob e el disco, que gi a al ededo de su eje a unas 3.600 .p.m. En odos los casos el pa ín se conside a ijo en el espacio y las i egula idades en la supe icie del disco se simulan median e c es as o inden aciones. Es as y cualquie o a a iación del espeso de película es simplemen e ecogida median e una unción h = h(x, ) ap o- piada. El cambio en el espeso de película p oduce una pe u bación en el pe il es á ico de p esiones. Es a espues a ansi o ia es el obje o del análisis. Ejemplo 1. Se conside an un cojine e de anchu a in ini a con un pa ín plano y una c es a de pe il senoidal. En la Figu a 2 se p esen a un esquema de la geome ía cuya de ini- ción exac a es como sigue: el cocien e en e el máximo y el mínimo espeso de película es 4., la al u a de la c es a es el 20% del mínimo espeso de película (en el bo de de salida) y la longi ud de la c es a es el 30% de la p oyección ho izon al del pa ín. Los cálculos se han ealizado con un pa áme o de cojine e A=400. y un pa áme o o=100. Inicialmen e la c es a se si úa desde -0.3 a 0.0. La elocidad adimensional de la c es a ha sido independien emen e ijada a 10. es o es, se equie en 13~10-~ unidades de iempo pa a c uza comple amen e la supe icie del cojine e. Pa a es ablece las dimensiones ap opiadas de bs "elemen os que deben si ua se en el bo de de salida de ca a a e i a la apa ición de osc~laciones numé icas indeseables, * La denominación inglesa co espondien e es " appe - la slide ". 42 C. G ARCIA SUAREZ 17. C. W. Gea . 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