MAT
PE
LLICENCIATURA DE MATEMÁTIQUES
PROBABILITAT
~
I
ESTADISTICA
PROBLEMES
DE
CALCUL
DE
PROBABILITATS
Ramon
N onell
,/
'
UN
IVER
S
IT
AT
POLITE
CN
I
CA
DE
CATA
LUNYA
Biblio ec
a
l
lllllllllllllllllllllllllllllll
ll
lll
lll
ll
llll
lllllllll
l
lll
l
1400313106
FACULTAT DE MAT
EMÁ
TIQUES I ESTADÍSTICA
.)
P oblemes
de
Calcul
de
P obabili a s
P oba
bili
a
i
Es
adís i
ca
Llicencia
u a
de
Ma
em
a
iques
Ramon
Nonell
le
Qu
ad
ime
s
e 99-00
Aques a col·lecció de p oblemes co espon a les assigna u es de P obabili a
i Es adís ica
de
la
Llicencia u a
de
Ma ema iques i d'Es adís ica Ma ema ica 1
de
la
Diploma u a d'Es adís ica,
de
la
Uni e si a Poli ecnica de Ca alunya.
A és que aques es dues assigna u es, si uades en el e ce quad imes e de
la
co esponen ca e a, enen un p og ama mol semblan ,
s'ha
c egu opo ú e
una
única.llis a de p oblemes. To i així els objec ius d'ambdues ma e ies no sóu
iden ics i aques e ,
al
com s'indica més a al!,
s'ha
con empla en l'esmen ada
col·lecció.
La col·lecció es a subdi idida en els qua e emes en
que
es subdi ideix
ca
da
assigna u a i seguin el ma eix o d e de les exposicions eo iques. El
ema
O
s'ha
a egi com a eco da o i.
Els p oblemes p ecedi s de s'han pensa onamen almen pe als alumnes
de
la
Lliceucia u a de Ma ema iques. Els p oblemes p ecedi s
de
* són adien s
pe a
la
Diploma u a d'Es adís ica. To s e
ls
p oblemes nume a s scnse cap
símbol especial són ap opia s pe a ambdues ca e es.
El nomb e de p oblemes de
cada
ema
és mol
sup
e
io al que es
pod a
desen olupa a classe. És pe o
al
amen ecomanable que l'alumne in en i e el
mil..xim
d'ells i que consul i amb
el/
la p o esso /a de p oblemes so
b
e
la
solució
obada.
S'han
inco po a solucions d'alguns p oblemes ep esen a ius de
cada
ema.
Aques a col·lecció de p oblemes és ui de
la
eina eali zada pels p o esso s
Guadalupe Gómez i Ramon Nonell des de l'inici de les esmen ades ca e es.
Di e ses coHeccions i o ocopies
han
p ecedi
la
que
a a
p esen em. També
s'han
inco po a la majo
pa
dels p oblemes d'examen dels da e s anys. Un
nomb e i npo
an
de beca is i p o csso s associa s han colabo a en els da c s
anys en
la
impa
ició de les classes
de
p oblemes i en
majo
o meno mesu a en
la elabo ació de l'esmen ada coHecció. A
o s
ells el nos e sin
ce
ag aºime
n
.
Vol
e
n
ag a
i pe o especialmen
l
'
es o ~
eali za pe
la
Ma ia Alba eda i pel
Ram
on Cle ies, esponsables de la
majo
pa
de solucions i de
la
p ese
n
edició.
TEMA
O
PRELIMIN
ARS
+
O.
l.
Demos eu que:
l.
(
~
) =
(n~k)
n,
k E l n
~
k
2.
Gl
+
(k~
1
)
=
G!:l
n, k E N n > k
3.
;
(7)
=
2n
n
E N
i=O
4.
:(
-1)'(';)
=0
l nEN
i=O
+ 0
.2
.
O de
na
els següen s nomb es combina o is:
(
100)
(lºº) (lºº)
(10º)
(10º)
7 ,
70
,
20
,
50
,
93
+
0.3.
Dona s k,
11
E
N,
k
s;
n ,
ju
s
i iqueu
la
següe
n
igua
l
a
:
(
")
=
(k)
("-k.)
m J=O J m - J
i dedu'iu-ne que:
~
(7
=e:)
.
2 TEMA
O.
PRELIMINARS
0.4
. T es classes d'es udian s enen 20, 18 i
25
alumnes, espec i amen . Es
o ma un equip
amb
un
es udian
de
cada
classe, de quan es mane es podem
o ma
l'
equip? I si el o mem amb
es es udian s de
cada
classe?
SOLUCIÓ
:
Com
que l'es udian que escollim de cada classe és independen de qui
ns
escollim a les al es classes,
enim
2
0*
28*25=9000 o mes di e en s
d 'escolli -los.
En
d
se_qon
ca
.<
ind em
(2
3
°}
{1
3
8}
{2
3
5} = 2130552000 cnmposicions di e -
en s
possib/es de l 'equip.
0.
5.
Repa im
a
l'a
za
12 boles
en e
20 u nes de
mane a
que a
cada
u na
hi
hagi com a mii.xim
una
bola. Calculeu q
uan
es dis ibucions di e en s hi ha
en
cadascun deis següen s casos:
l.
Les 12 boles són iden iques.
2.
Hi
ha
7 boles blanques i 5 de neg es.
+ 0.
6.
En
un co
njun
de n · p elemen s, de
quan
es mane es es p
o
e
una
pa ició
en
n subconjun s de p elemen s?
O.
7.
En
una
eunió hi
ha
6 dones i 4 homes. Si sabem que
en e
els assis en s
hi
ha
qua e
pa elles, quan es possibili a s enim a !'ho a de conjec u a quines
són les
qua e
pa elles? I si sabem que només hi
ha
es pa elles?
0.8.
Sigui n, k E N i de
in
im S(k,
n)
= 1 k + 2k + ... + nk P o eu que
k
&;
e;
1
)S(
i
,n)
=
(n
+
l)k+i
-(n +
1)
Calculeu S(k,
n)
pe a
k = 1, 2, 3.
+
0.9.
Demos eu
qu
e dona s dos nomb es n, k E
N,
n
~
k es compleix
la
següen igua
l
a :
+ 0
.10
. Sigui
{An,n
EN}
una successió
de
con
jun s
. Demos eu:
l.
(lim.
in
An)
c =
li
m.
sup
An
e
2. (lims11.p A
,.
y =
lim.in
An
c
3. l
im
in
A.
=
lim
in
lA.
4.
l 1
im
sup
A
..
= l
im
sup
lA
,.
TE
. A.
O.
?.:-2--
• o .1
1.
Je=,-
+ O.
IZ.
C:___.
su
ccc.:_
jy
.
.!..
l.
·- :
2. .
""!.
--; =
3. An = =
4.
.{
:-.;
= =
-
-=
=

•
i ELn
IN.4.RS
,
==;: i::.'C':~'---am
e.n .
Es
==e:-es
podem
-~,
e en
s
.n -~ ~.-oi.s
di e
·
::i.
.-
~
a
c.a,¿_a
u
na
hi
~
,,...;.;;
hl ha en
~
~
;>a
:.
e una
·
~es
assis en s
~
:::c.~e::-:u
:a
quines
:a:-~
...
~
.
~
:c=p eix
la
TEMA.
O.
PR.ELIMIN.
4RS
+
O.
ll.
Demos eu:
l.
limsup{x,,
::".e} C
{limin x,.
::".e}
2.
limin {x,.
::".e}
e
{lúnsupx,.
::".e}
+
0.12.
Calculen el lími
sup
e io , el lími in e io , i si exis eix el lími de
la
succeHsi<)
{Au
,
HE
N}
:
l.
A,.=
{x·E
N:
x
<li i<leix
n}
2 .
.4.,,={xEl l
:x>
;';}
3. A,. = {(
x,y)
E
IF:':
n2x2 + n4y2
::".
l}
4.
A,.=
{(x
,y)
E
IR
2: x
+y
>
(-1)"}
3
TEMA
1
CALCUL
DE
PROBABILITATS
1.1.
Sigui n un con
jun
qualse ol i C
<;;
P(O). Deno em pe a(C)
la
a-algeb a
gene
ada
pe
C.
P o cu que:
l.
C
<;;
a(C);
2. a(a(C)) = a (
C);
3. si C1
<;;
C2 al
es
ho es
a(C
1)
<;;
a(C
2).
+
1.2.
Sigui C = {A1, .
..
,
An
, .
..
} e P(O)
una
amília nume able de subcon-
jun s
de n amb A, n
Ai
= 0 pe
o
i
i'
j.
P o eu:
l.
a(C) = a (C.),
on
C.=
CU {Ao} i
Ao
=
<U:i
A;)c;
2.
a(C) =
{A
<;;
O als que A =
U;ei
A;, amb I
ini o
nume able i A; E
C.}
3.
A.1
,
...
1
A,
11
.•
• sóu successos elemen als.
SOLUCIÓ
:
J.
/
:m
de
cun
: les ducs inclusious:
• a(C) e a(C.)
j11
IJ"ILC
e<;;
C.
(a
¡ili1JU
C
711
el
¡
i ob
lcm11
1.1
ap.
:J).
• a(C.)
<;;
a(C) Pe
w e
aixo és su icie
n
eu e
qu
e
Ao
E a(C)
{j
u
IJUC
alesho
·cs
C.
<;;
a(C) i pc an , a(C
.)
<;;
a
(a
(C))
=
a(C)); pe o aixo
és
ce
pe qué a(C)
és
ancada pe unions
nume
abl
es
i
pa
s al compleme
n a
i pel Je de se a-
alg
e
b a.
2.
És su icie
n
em·e
qu
e
A=
{A
C O
/A
= U
.4.
;,
{l
ini o
nume abl
e;
A;
E C
.)}
-
i€
1
és una a
dlg
ebm ja que, e iden men ,
A<;;
a(C).
5
6
TEMA
l.
CÁLCUL
DE
PROBABILITATS
2.
Pe
eu e-ho hem
de
comp o a es pun s:
00
• n E
A:
n =
LJ
A; i o s els A; pe anyen a C •.
i=O
• A E A=> Ac E
A:
Sigui A E A alesho es, A =
LJ
A; amb I
iE/
00
ini o nume able. Com que n = U i els A; són disjun s dos
i=O
11
dos, alesho es A e = U A; E A .
i ¡,/
• A és anca pe eimions numembles:
Una unió nume able d
'un
ions nume ables és a la egada una
unió nume able, pe an , la unió nume able d'elemen s
de
A
oma a
a
se
un
elemen
de
A
3.
Reco dem que si
Aés
una a- ilgeb a, A E A
és
elemen al
si
i només
si,
' x
E A,
XCA=>{
X=
0
-X
=A
Sigui a a A E
A,
i suposem que pe
alg11n
i E
{l
,
..
. ,n} A
i::;
A¡.
A E A=>
A=
LJ
A;
i::;
A;. Alesho es,
j - EJ
A=
AnA;
=
LJ(A;
nA;)
= {
:·
jEJ
si i E J
al amen
+
1.3.
Sigui C
i::;
P(n)
qualse ol. P o eu
que
pe a
cada
A E a(C), exis eix
una
amília nume able
de
con
jun
s C0
i::::
C
al
que
A E
u(C
0
).
(ln licació: Si A és
la
unió
de
o es les a- ilgeb es gene a les pe col·leccions
nume ables
de
conjun s
de
C,
p o eu que A és una u-algeb a i que C
i::;
A
i::;
a(C).)
+
1.4.
Si n =
IR,
com a a-a.Igeb a
de
pa s
d'n
se
sol
pend e
l'anomenada
a-álgeb a
de
Bo el,
que
dcno em
pe
l3{1R)
i que es de ineix com la
u-á
l
geb a
gene ada pels in e als del ipus {a, b],
amb
a
:S
b,
a,
b E
IR.
l.
P o eu
qu
e
l3{1R)
coincideix
amb
la
a-álgeb a
gene ada
pe :
(a)
o s
els in e als
obe s
{a,
b);
(h)
.o .s
els in .e als .anca s
[a
,
b]
;
{e)
.o .s
els
in .
e als semiobc s
[a
,
b)
;
{d)
.
o .s
ds
in .c als
[n.,
oo);
(") lo .s d s
inl.
" a.ls {a, oo);
( )
o s
cls in
c
als
(-oo,
b];
(~)
1.ol.s
ds
in ." als
{-oo,b);
(h)
.o .s
ds
ohe .s
de
IR
amb
la
.opologia usual;
(i)
.o .
s els compac es
de
IR
.
TE. A. _
4:"-...
2.
•
1.5
. - - -
1.8
. E.:-..
jun
ée
'""
2.
E::
..:::.
3. º--=-
5.La=
1.9
.
:::
_ "'-'
""~
dis!='
1.
1
0.
~
al
·
a:z.G.:
~
ucCe~
E::_.::::2:_:-:_
Us
~
.:.
=.;.:¡
.:!:.!
:=..;=.i.!
:::: .-. 1
~~::::::::.a
¿c;::_""~..J
~
;:;_
-.:;_
TEMA l. CALCUL DE PR.OIJABILITATS
2. P o eu que
o
subconjun
d'un
sol elemen és un bo elia i, pe
an ,
ho
és
ambé
o
subconjun nume able de
IR
.
+
1.5.
Sigui n un conjun qualse ol, A
una
a-a.Jgeb a de subconjun s
d' l
i
X un subconjun no
bui
de
n.
P o eu que
Ax
=
{A
n
X;
A E A} és
una
a-algeb a
. De iniu, en pa icula , la
a-algeb a
de Bo el
d'un
in e al de
IR.
+
1.6.
P o eu que un espai p obabili zable (O,
A)
és elemen al sii exis eixen
successos .41,
•..
, A
11
,
•••
dmueu als als que
LJ:
1
Ai
=O.
+
l.
7. Conside em els successos { l} , {
1,
3, 5}, {
2,
4,
6}
co esponen s a l 'espai
de
p obabili a
associa al
llen~amen
d'un
dau. De e mineu la meno algeb a
de successos que els con é i calculeu-ne la mesu a de p obabili a .
1.8.
En cadascun dels expc imen s següen s, de e minen l'espai mos al (o con-
jun
de esul a s):
l.
T iem
una
amília de es ills i ano em els sexes deis ills
o dena s
pe
eda s.
2.
En
un p océs de ab icació, iem
qua e
peces i
ano em
si
cada
peGa
és
de ec uosa o no.
3. Ob im un llib e
pe
qualse ol pagina i comp em
el
nomb e d'e o s d'im-
p em a.
4.
D'una
ba alla
de
52
ca es n'ex aiem dues amb eemplaGamen .
5.
La
ma eixa
si uació que a 4 pe o sense eemplaGamen .
1.9
.
Si
els esde enimen s A i B són disjun s,
so a
quines condicions
A'
i
B'
són
disjun s?
1.10.
En
una
capsa enim
12
ca gols, deis quals 5 són de ec uosos.
En
iem 3
a
l'a za
, sense eemplaGamen . Calculeu la p obabili a de
eu e'n
exac amen
un de de ec uós.
1.11.
Una
u na
con é 100 boles, de les quals són e melles. Suposem que les
boles són seleccionades a
l'a za
d'
una
en
una
i sense eemplaGamen . Calculeu:
l.
la p obabili a que
Ja
p ime a bola sigui e mella;
2. la p obabili a que la bola
50
sigui e mella;
3.
la p obabili a que !'úl ima bola sigui e mella.
1.12.
Es selecciona un
pun
(x,y)
del
quad a
uni a
S
(ésa
di , aquell que
con é
o s
els
pun s
(x, y) als que O $ x $ 1 i O $ y $ 1). Suposeu que
la
p obabili a
que un
pun
pe anyi a un subconjun especi ic de S és igual a
l'a ea
d
'a
ques subconjun . T obeu la p obabili a de
cada
un deis subconjun s
següen s:
7
14
TEMA
l.
C.ÁLCUL DE
PROBABILITATS
2. Suposeu
a a
que un home en e 50 i 59 anys
é
un
his o ial medie amb
episodis
d'angina
de pi .
D'cs .udis medies es coneix que
la
p obabili a de
pa i
la
malal ia M és
del 92%.
(a) Calculen
la
p obabili a que aques home pa eixi
la
malal ia
M saben
que no enia cap
a e ia
calci icada.
(b) Calculen la p obabili a que aques home pa eixi
la
malal ia M si el
p oc.cdimen indica que hi
ha
una
a e
ia
calci icada.
( c)
En
quin deis dos casos és més p obable que aques home pa eixi
la
mala ia
M. Compa eu aques a si uació
ambla
obada
a
l'
a
pa
a
l.
1.
(a) Aques p oblema és
una
cla o aplicació del Teo ema
de
Bayes:
P(M
+
ITo+)
=
P(Al+)P('/{,~(A"';':; l, J1MiJ, To+
J
M
(/J)
P(M+)P Ti+
M+
P
(M
+
IT1+)
P(M
+
)P(T1+
M+)+P(M- P T
1+
M- )
(e) És
més
p olmble en el scgon cas.
2.
(a)
P(M+
P
To+
M+
P(M
+ITo+)
l'(M+)/
'
(T
o+
M
+)+P(M-)
P(
1o
+ M - )
(/¡)
P(M+IT1+)
_
P(M+)P(T1+JM+)
-
P(M+)P(T1+ M+)+P(M
-
)P(T1+
M - )
3.
Semp e és més p obable que el pacien es ig i malal si
hi
ha una
a e ia calci icada, pe o
la
di e encia és més g an quan la p oba·
bili a a p io i
de
pa i
la
malal ia és més pe i a.
1.41.
D'aco d amb dades publicades pe l'INEM en desemb e de 1994 el nomb e
d
'a
u
a s
llicencia s en ciencies de
la
in o mació
e a
de 6236. Deis egis
es es
cleclueix
que
la
ma
ja
pa . deis a .u a .s enen en e
25
i 34
an
ys, conc e ame
n
,
i.
e-
3
~
.
s~-
=-
l.
C·
2.
*
l.
~~
o...:::
el
e=;E
:__
SU
J><lSE""
~
2.
5::..
-
l
-.,,-..¡

;::¿- _:...a.:
c..::::b
:::i
~.~
~
el
:-<-.:TI la
a
::-
~
-
..a..:
1
.
...
5;~'!,S
:
~
~
TEM.4
l.
CÁLCUL
DE
PROBAIJI
LITATS
hi
ha
un 16% meno s de 25 auys, un 62
.5%
en e 25 i 34 i un 21.53 majo s de
34
an
ys. Dins de
cada
un
d'aq
ues s es g ups dis ingim
pe
sexes i obem
un
24.53
d'homes meno s de 25 anys,
un
34
.53 d'homes
en e
25
i 34 anys i un
603
d'homes
ma
jo s de 34 anys.
l.
Ca
lcul
eu
el pe cen a ge de dones llicenciades
en
ciencies de la in o mació
en
a u .
2. Sclecciona uu a u a a l'a za de la població auali zada, si és dona,
ca
l-
culeu
la
p obabili a que ingui
en
e 25 i 34 anys.
3. Raoneu si les dades publicades pe me en a i ma o
ebu
j
a
l'exi
s é
ncia de
disc iminació en la con ac ació labo al de
lli
cencia s/des en ciencies de la
in o mació .
1.42.
Un
p od
uc o de cinem
a,
amb un bon his o ial de nominacions pels "OS-
CAR",
ha
selecciona dos equips de di ecció A i B
pe
la següen pel.lícula
que p odui a. Basan -se en els esul a s d'edicions
an e
io s,
pensa
que
po
aconsegui 0,1,2 o 3 "OSCAR" segons les següen s p obabili a s:
• Si escull l'equip
A,
la p obabili a de
O,
1, 2 i 3 "OSCARS" és 0.24, 0.42,
0.25 i 0.10, espec i amen .
• Si escull l'equip B, les p obabili a s són 0.20, 0.40, 0.40 i 0.00, cspec i a-
men
.
• El p oduc o pen
sa
que p
e
p oblemes de disponib
ili
a
del equips, la
p obabi
li a
d'escolli A és
2/3
de la p obabili a d'escolli B.
1.
Ca
lculeu la p obab
il
i a
que la pel.lícula ebi exac am
en
un "OSCAR".
2. Si la pel·lícula ep
exac a
me
n
un "OSCAR
",
calculeu la p obabili a que
l'
ha
gi
o .
l',,quip A.
3. U
11
a
Jido
na .
ha
S(~
Il
i
que la pel.Jícula
ha
eb
u
a.l~un
cl
1
1111
"OSC
AR
11
,
ca
l
n
l
! 1
la p nlialiili .
a .
'I"
" l'hagi
: l'equip ll.
1.43
. Sabem que una u na co
n é
4
bo
les blanques i 4 de neg es.
N'ex a
iem
4 i les posem en una
al a
u na
. Aga em
una
bola
d'aque
s
a
u
na
i és neg a.
T aba
la
p obabili a d'aga a -ne una de bla
nca
en e les
es es an s.
*
1.44
. Suposem que el emps només po ésse assolei
a
(S) o nú ol (N), i que
el emps
du an
ma ins successius o ma
una
cadena de Ma ko es aciona ia.
Suposem
qu
e Ja ma iu de ansició
é
pe elemen s
Pss
= 0.7,
PSN
= 0.3, PNS = 0.6,
PNN
= 0.4
l.
Si el di end es al
ma í
és nú ol, quina és
la
p obabili a que el dissab e
o ni a se nú o
l.
?
2. Si el dilluns al
ma í
es a
assoleia , quina és
la
p obabil
i
a que
a
n el
dima
s com el dimec es aci sol?
15
16
TEMA
l.
CALCUL
DE
PROBABILITATS
3. Si el dijous al
ma í
és nú ol, quina és
la
p obabili a que aci sol al menys
un dels p ope s es dies?
4. Si el dimec es a sol, quina és
la
p obabili
a
que el dissab e aci sol?
5.
Si el dimec es a sol,
quina
és
la
p obabili a que el dissab e i el diumenge
aci sol?
6. Suposem que
la
p obabili a que aci sol el dimec es és 0.2 i
de
que es igui
nú ol 0.8,
quina
és
la
p obabili a que el di end es es igui nú ol?.
1.
P1
=
PNN
= 0
.4
2.
Aplican
la p opie a
de
Ma ko 1
enim
que
Pi
= P
(X2
=
snx3
= s
1x
1 =
N)
= P
(X2
= SIX1 =
S)P(X3
=
SIX2
=
N)
=
(Pss)
2 = 0.49
:1.
p3
=
P(X5
=Su
Xa =
SU
X1
=
SIX•
=
S)
si apliquem
el
Je que
la p obabili a de
e
Sol
un
dia
no
depen de quin dia és
sinó
de
qnin
emps
ha j
e
el dia an e io , la p opie a de Ma ko i algunes
p opic a s hiisiqnes de les p obabili a s,
ob enim
:
p3
= 1 -
(P(X2
=
NIX
1 =
N))
3 = 1 -
(PNN)
3 = 0.936
4.
P•
=
P(X6
= SIX3 =
S)
=
P(X<
= S
IX
1 =
S)
=
p(
3
lss·
P
e
calen/a aques a p obabili a necessi a em
la
ma in
de
mncisió
en
-es
passos:
P'
= (
d' m
p;
= 0.667
o.
7
0.6 0
..
1
0.4
(
0.
667
)
5.
p,
=
P(X
6 = S n X1 = SIX3 =
S)
=
P(X1
=
SIX
6 =
S)P(X
6 =
s¡x3
= S) = PssP(J)
SS
= 0.4669
6. Si
p
e
nem
com a X 1
l'es a
de la cadena el limec es,
el
ec o de
p obabi/i a s inicials és = (0.2, 0.8).
Així,
p5
=
P(X3
=
N)
=
P
2
on
P2 és
la
ma iu
de ancisió
en
dos passos. Fe
n
aques s
ca/cuis ob cnim
Ps
= 0.338
*
1.45.
Suposem que
una
cadena de
l'l'la
ko
é
¡ua e
es a s
s1, s2,
s,,
s4 i les
1
n<)
l1;1hili
.a s
<l
e ansició cs acionh
i
cs són
1
Pll =
Pi
2 =
P<
1 = }J42 = p 43 =
1'44
=
;¡,
1
1'H
=
Jl
:
J
=
l
:
:!
= 2' J1n = 1,
1'13 = 1'21 =
1'2
3 = ]>24 =
1'32
= 1''4 = o.
TE.
...l.
-
l.
3.
¡_
2.
3.
~=-~
=--=us
e
!Cl
~
=-e::iys
--.,
=s:;,.
.
=
=--=m
ge
,
..:¿
:;-¿:
~--:igu
i
: = :~
=
:.;._:.:
Pe-
--
• .
~
....
--
...
-=.
e"1
= =
_-
_;.._;:
:;..Te::.:...._~
l =
_,
.-
=
~~-!
i-1.
i:~
TEMA
l. CALCUL
DE
PROBABILITATS
l.
Si
la
cadena
es a
a
l'es a
s3
en
el momen n,
quina
és
la
p obabili a
que
sigui a l
'es a
s2
en
el
momen
n + 2.?
2. Si la
cadena
es a
a l'
es a
s1
en
el momen
n,
quina
és
la
p ob
abili a
que
sigui a l'es a
.s
3 eu
el
momell . n + 3
.?
3.
Deno em
pe
X1
l'es a
inicial
en
el momen l
de
la
cadena
i suposem que
les
p obabili a s
iuicials són:
P(X1 = s1) =
~'
P(
X1
= s2) =
¡,
P(X
1 = s:i) =
~'
P(X1 = s4) =
~·
Dc
cnninc
u
la
p obabili a
que
la
cade
na
es igui en els
es a s
s1, s2,
s,,,
s4
en
el momen n
pe
cada
un
deis següen s alo s
de
n:
n = 2, 3,
4.
*
1.46.
T es
nois A, B i C
juguen
a ping-pong.
En
cada
joc
dos
d'a
ques s nois
jugu
en
l'un
en
con a
de
l'al e
i el
e ce
s'espe a
. El
guanyado
del
jo
c
n-es
im
juga
en
el j
oc
(n + 1)
-e
sim
con a
el
jugado
que s'espe a a
en
el
joc
n-es
im i
el
pe dedo
del
joc
n-es
im
s'espe a
en
el
joc
(n + 1)-esim.
La
p oba
bi
li a
que
A guanyi a B en qualse ol
joc
és 0.3,
la
p obabili a
que A guanyi a C és ü.G i
la
p obabili a
que B
gua
nyi a C és 0.8.
l.
Ile
¡>n
?se
11
.c~u
aqucs
¡>
ocl~s
c:
m11
1111a
c
adena
de
!
: a ko
a.111ll
p
nl
l
ia
liili .a .s
de
am;ic::i
ó
cs .acio
11
i iL~:-i
de i11i11
cls
po
ss
ihles
es a s
i
cous 11i11
la
ma . i11
de
a.11
s
ic::i6
.
2. Calculen la
p o
b
ab
ili
a
que
els dos nois que compe eixen en el
p im
e
joc
o nin a compe i en el qua
jo
c.
3. De
mos eu
que
aq
ues a
p obabili a
no de
pén
<lels
dos nois que juguin en
p
im
e lloc.
17
18
TEMA
l.
C.ÁLCUL
DE
PROBABILITATS
1. De inim
X;
com el
noi
que espe a du an
el
joc
i-essim,
de mane a
que els es a s possibles són
A,
B i
C.
És
cia que aques p océs
és
una
cadena de Ma ko
ja
que la p obabili a que
en
l'i-essim
joc espe i
un
jugado conc e
només
depen de qui es a a espe an
du an el joc an e io . La
ma iu
de ansició se a:
( o
0.2
0.8 )
p = 0.4 o 0.6
0.7
0.3 o
2.
Nc :c
.~: ;i l 'cm
o.
ma iu
de
nnsi :ió
en
es passos:
( 0.18 0.164 0.656 )
P3 = 0.328 0.18 0.492 .
O.G74
0.246 0.
18
La
11 o mbiU n
¡nc
ens
P.S nn
dcm z
nan
és
,,
=P((X,
=
AnX4
=
A)u
(
X1
=
nnX4
=
B)
u(X,
=
cnx4
=
C))
=
P(X
1 =
A)p~~
+
P(X1
=
B)p~)
1
+
P(X1
= C)pgb
=0.18
.'l
. Del Je que cls es e mes de la dúigona/
de
la
mn iu
de
m
nsic
ió
cu
cs
¡H1.
ss
os
siguin iguals es dcdneix i io.lmen que la p obabili a
que
el8
dos nois que compe eixen
en
el
p ime
joc o nin a compe i
en el qun no lepen de quins sigu.in els
noi.•
qu
e j? guen el
p ime
joc.
*
1.47
.
La
Ma iasu
amb dos nois,
un
noi iu a Sa ia i
l'al
e
a G acia.
Quan
o
l so i amb un
d'
ells el cap de se
mana
escull el de Sa ia
amb
p obabili a
p.
En e
lucs so .ides descansa i passeja amb les amigues.
1.
Desc iu e
la
cadena de Ma ko
amb
es es a s: S pe Sa ia, G pe G acia
i A pe
Am
igues de les so .ides de la Ma ia. Especi iqueu
la
ma
iu de
ansició.
2. El p ime
cap
de se .mana d'aques . mes de no emb e (en el
que
n'hi ha 4)
la l a ia
ha
so
i
amb les amigues.
(a) Calculen la p obabili a que s
u
i amb el noi de
G
ac
ia
dues egades
du an aqnes mes.
(Ji) Calculen
la
p obabili .a . que
sn
.i amb el noi de
G acia
almenys nn
cop
d11 a11 .
a.q11Ps
.
mes.
3.
Supo,eu que el ec o
<le
p obabili a .s inicial és (1/3, 1
/3
, 1/3). Calculeu
In
p ohahili .a . que
do
s caps de se .ma
na
desp és s
11 .i
amh l
es
amigues.
* 1.
48.
Uua.
co
mpanyia d'au ohusos p eocupada
¡)
cls cccn .s accidcn .s degu s
a
¡,
~s
alles
dds
couduc o s decideix e
una
p o a mensual als
scms
con
du
c o s
TL'
.
!...
-.
~
pe:'=
ha:.:..:;...::~
p
1).
=
~-'
3.
~
'1
C1
3.
-·
-
*
l.
o.
:.a -
de
E:-_==
El
g=:--
segi: =::: -:
~
3._!_E~
~TS
=
:;¡.'-';e:
G -ci:2
E.!.=-=..---:-:::~
=-
~~es
-.ca
~ s
TEMA
l.
CÁ.LCUL DE
PROBABILITATS
amb l'objec iu de man eni -los en o ma. El esul a de l'esmen ada p a a po
se P: Passa, C: Con ol i
A:
A u a
indican el següen : Si un conduc o eu
una
A
hau a
d'es a
un mes sense e cap ia ge i en exe cicis in ensius de
pe eccionamen ; si un conduc o
eu una c con inua a en ia ges
o
i que
hau a d1ana cn
simul h..niamcn
exe cicis i con ols¡ si
un
conduc o eu una
P
ol
di . que
es a
en pe ec es condicions de ia ja i no cal que aci és.
La
p obabili a que un conduc o que ha
e
P egui
un
al e c
op
P el p ope mes
és 0.7, la p obabili a que un condu
c o
que
ha
e
c egui un
al
e cop c
el p ope
me
s és 0.3, la p obabili
a.
que
un
conduc o que ha e A egui un
al e
cop A el p ope mes és 0.2,
la
p obabili a que un conduc o que
ha
e
P egui
una
A el p ope mes és 0.1,
la
p obabili a que un conduc
o
que
ha
e
c egui
una
p el p ope mes és 0.6 i
la
p obabili a que un conduc o que
ha
e
A
e
gui una P el p ope mes és 0.2.
l.
Desc iu e
la
cadena de
Ma
ko amb els es a s de ini s a l'enunci
a .
Es-
peci iqueu la m
a
iu de
a
nsició.
2. El co
nd
uc o S .X
ha
e
una P a !'examen del gene . Calculeu
la
p ob-
abili
a
que egui P als examens de
o
l'any.
3. El conduc o S .Y
ha
e
una
C a !'examen del gene . Calculeu
la
p ob-
abili a que al menys eballi un mes al lla g de
o
l
'a
n
y.
Calculeu la
ma
eixa p obabili a suposan que ha
e
una
P a !'examen de gene i
a nbe suposa
n
que
ha
e
una
A a !'examen de gene . Compa eu el
es
e
sul a
s
i
co
ncloeu quina imp
o a
ncia é la
no a
de !
'exa
men de gene .
lnd
icaci
ó:
El calcul de les es p obabili a s segueix el ma eix aonamen .
4. Suposeu que el ec o de p obabili a s inicial és (2/3, 1
/6,
1/6). Ca
lc
uleu
la p obabili a que egui P al
e
b
e i A a !'ab il.
*
1.49
. Sigui X1, X2,
.•
• ,
X,
.,
...
una
cadena de Ma ko es
a
ciona ia amb 3
es a s A, B i C.
Si
la
cadena es
oba
a l'es a A
po
ana
a qualse ol deis
es
es a
s
amb
la
m
a e
ixa p obabili a ; si la cadena és a l
'es a
B po an
a
a
ls
es a s
A i B amb la ma eixa p obabili a ; i si la cadena es obés a l'
es a
C en
el mome
n
n, en el momen n + 1
o
n
a a se a l'es a C.
l.
Rep esen eu aques p océs com una Cadena de Ma ko i cons u'i u la
ma
iu de
a
nsició
P.
2.
C
la.
ss
i ique
11
ds
cs a s
d
<
~
la
Ca.
clc11a.
de
Ma ko
.
Feu p iuw una
n~pw

s
~
u .
aciú
g hlica. És
aq 1 ~s .a.
cade
ua.
i cd
u"i
bl
e'!
3. Si
la
cadena es
aba
en el nomen n a l'es a A, calculeu la p obabili a
que es quedi a A en els següen s dos momen s.
4. Feu se i l
es
equacions de Chapman-Kolmogo o
pe a
calcula la p ob-
ab
ili
a
d'a
ib
a
a
l'
es
a
A en dos passos si
la
cadena
su
de l'es a
A.
*
1.50.
Les pis es
d'una
es
ació
d'
esquí alpí es classi iquen, segons un o d e
de di ic
ul
a
c e
ix
e
n ,
en (V): e des, (B): bla es, (X): e me
ll
es i (N): neg es.
El ge en de l'es ació, basan -se en
un
es udi e
la
empo ada
an e io , é la
següen in o mació:
19

20
TEMA
l.
CALCUL
DE
PROBABILITATS
Ja
p obabili a que un esquiado esqui! el p ime
dia
a
una
pis a
e da
és 0.2, a
una
bla a és 0.5, a
una
e mella és 0.3 i a
una
neg e
és
O;
• si un esquiado comenc;a esquian . a
una
pis a e da, Ja p obabili a que el
dia
següen omani a pis es e des és 0.4, la p obabili a
que
el
dia
següen
agi a
una
bla a
és
el doble que
la
p obabili a que el
dia
següen agi a
una
e mella i la p obabili a que el dia segiien agi a
una
neg e és
O;
•
si
u11
esquiado come n;a esqu
ian
a una pis a bla a, Ja p ob
ab
ili
a
que el
d
ia.
sc
~
g
iic:n
on
wni
a una bla a 6s
0.5
, la p oba
bili a
.
que
esc
ulli
e
des
o
c
mclles és
Ja
ma eixa i Ja p obabili a que el día segiien agi a
una
neg e
és
0.1;
•
si
un esquiado come
nc;a
esquian a
una
pi
s a
e mella,
Ja
p obabili a que
el
día segü
en
esqu
i'i
a
una
e
mella és O. 7 ,
la
p obabili a que escu
ll
i
una
e da és
O,
Ja p obabili a que el
dia
següe
n
agi a
una
bla a és 0.1 i
la
p obabili
a
que el
dia
següen agi a
una
neg e és 0.2;
•
si
un esquiado comenc;a esquian a
una
pis a neg e,
la
p obabili a que el
dia
segiien esqui'i i a pis es e des, bla es o e melles és O.
l.
Expliqueu pe que el p océs es ocas ic desc i a
l'
enuncia és u
na
cadena
de Ma ko . Especi iqueu els
es a
s
d
'a
ques a cadena, classi iqueu-los i
esc i iu Ja
ma
iu de
ansició de p obabili a s.
2.
Un esquiado a cinc dies de acances a esquia pe p ime cop. El p ime
dia escull
una
pis a e
da
, quina és
la
p obabili a que es passi els cinc
dics csquian a pis es e des?
3.
Calcnlcn
Ja
p obabili a que un esquiado , aga a a
l'a za
de l'es ació,
csq
uil d e ce
dia
a
un
a pi
s a
c
mella
.
J. X, "
e1·1i
el ipu.<
de
pi.< ll
e"collida e /'esquiado el dia i (consid-
c an que n ilm a les pis es el d
in
1). Així, cls possibles es a s de
l" cadena se im:
V,
B,
X,
N.
El
¡i7'0c
é"
e.•
po modcli za com
una
cadena de Ma ko
ja
que la pmbabili a que /'esquiado esculli
una
pi.
• a
d'u
na
de e minada
ca cgo ~a
n
om
é" depen del
i
pu
s de
pis a
q1w ha cscolli
el
dia an e io .
TE.
...l.
-
E.'...=
-=-:::.
-i.
TS
-~
~
:J.
2.
a
--:-:;i___;_
__,_
'
~-
-=e
• ¡'""~ ,
:¿
::..::c
es...-.=ó
.
TEMA
l.
CALCUL DE
PROBABJLITATS
l.
{con )
la
ma iu de n11sició se a:
(''
2p¡
p¡
.º,)
p-
P2
0.5
P2
- o 0.1 0.7 0.2
o o o 1
a a
bé
,
la
ma iu ha
de
.se
ww
ma iu eslocils ica, i, µe
lmil
s '
ha
de
compli : {
~
d'on p1 = 0.2 i
µ,
= 0.2.
=
0.4
+2p,
+p,
+o
=
p,
+
O.G
+
p,
+
0.1
Ja
només
ens al a classi icm· els es a s
de
la cadena:
¡q
~
e®
•
Hi
ha
dues classes d 'es a s comunican s;
la
classe { /, B,
X}
que
no és ancado, i la classe { N} que si que ha és.
Com, que
hi
lw
una
classe
ancada
que no
con é
ols
els
es als,
La
cadeiia
no
és
i eduible.
• L 'unic es a abso en
és
l 'es a
N,
men e
que /, B i X són ansi-
o is.
• L 'es a N és ecun-en
• To s els es a s són ape iodics.
~I
22
TEMA l. CÁLCUL DE
PROBABILITATS
2. De inim
V;
com
el
succés X ; =
V.
Alesho es,
p =
P(V2
n
V3
n
V.
n
!'.5IV1)
= (p )4 = 0.0256
3. Ens cs in demanan
P(X3
=
X).
Pe a calcula -la necessi a cm
la ma iu
de
ansició en
dos
passos:
(
0.24 0.38
p2 = 0.18 0.
35
0.20 0.12
o o
0.30
0.28
0.51
pe an ,
P(X3
=X)=
; · P(2
)3
= 0.353
0.98 l
0.09
0.15
1
*
1.51.
A uns es udis uni e si a is de es anys de du ació un es udian é
una p obabili a p d'abandona -los i pe
an
de no o na
el
p ope any, una
p obabili .a q de epe i el cu s i una p obabili a de passa de cu s o de
g adua -se
si
ja
es a
a e ce any, (p + q + = 1). Conside em el p océs
cs .ociis .ic Xn que deno a l'es a d'un es udian en n-essim any des que
comen~a
la uni e si a ..
l.
Especi iqueu els es a s d'aques p océs. Expliqueu pe que el p océs
es
-
.ocas ic
desc i a
l'enuncia
és
una cadena de Ma ko . Esc i iu la ma iu
de . ansició de p obabili a s.
2.
Hi
ha
cs a s comunican s?
Hi
ha
algun
es a
abso en ?
3.
Calculeu la p obabili a que un es udian
es
g adu! en es anys. Raoneu
el
pe que de
cada
un dels passos d'aques calcul.
4.
Quina
és
la p obabili a de epe i
el
!.e ce cu s pe a un alumne que
ha
epe i p ime ?
*
1.52.
Les inques ag ícoles de Neb aska (USA)
es
di ideixen en qua e ca -
ego ies en unció de llu dimensió: MOLT
PETITES,
PETITES,
GRANS i
MOLT GRANS. Les inques augmen en o edueixen la se a dimensió en unció
de que
es
comp i o
es
engui e eny. Es suposa que aquelles inques,o bé MOLT
PETITES,o
bé MOLT GRANS, no can ien més la se a dimensió. Les inques
PETITES
i GRANS augmen en a la ca ego ía següen
cada
any amb p obabil-
i .a 0.5, es queden de la ma eixa dimensió amb p obabili a 0.25 i
es
edueixen
a la ca ego ía inmedia amen in e io amb p obabili a 0.25. Deno em pe X n
la dimensió
d'una
inca l'any n.
1.
Espcci iqueu els es a s d'aques p océs. Expliqueu pe que
el
p océs es-
ochs ic dcsc i a l'emmcia és una cadena de Ma ko . Esc i iu
la
ma iu
de . ansició de p obabili a s.
2.
Classi iqueu la cadena de Ma ko . Especi iqueu
si
hi
ha
es a s comuni-
ca11 s,
ccu en s, ansi o is, abso en s.
3.
Calculeu
el
pe íode de la cadena i conclu! u
si
aques a cadena
és
e godica.
TE.
!_.:,
.~
:é
•
e:
.;: .<:ES
es-
~
=.a:....-iu
?"-"'-'-::'OU
L--,.
,
~~
==.i-
~~Cea.
TEMA
l.
C.4.LCUL DE PROBA.BILIT.4TS
4.
Dona
que la inca del S . Smi h
és
ca alogada de GRAN l'any 1996,
calculeu
la
p obabil
i a
que l'any 2000 s'hagi con e
i
en una inca MOLT
PETITA.
Feu se i l
es
eqüacions de Chapman-Kolmogo o pe e
aq
ues
cale
u!.
5. La inca del S . Taylo és ca alogada de MOLT GRAN l'any 1996, cal-
cule
!
la
p obabili a que l'any 2000 s'hagi con e i en
una
in
ca MOLT
PETITA.
23
_...:..:;:_
__
~
Ó
iUE..5
e =!
¡;
_,,
s
-ú
---
= : 5_
"?=-::=a
au
-
:c
;.¿:-a:ne-
~s
.
·:3
Su-
~~..:.s
són
TEMA.
2.
VARIABLES
ALEA.TÓRIES
2.28.
De
mane a
analoga al cas con inu
es
diu que
una
a iable alea o ia X a
alo s en N no
é
memo ia si
pe a
o n EN,
P{X
>
n}
>O, i
pe a
qualssc ol
n,
k E
N,
P({X
> k +
nlx>k))
=
P{X
>
n).
T obeu
o
es
les
possibles
dis ibucions d
'X.
2.29.
En e
dues-cen es amílies amb qua e
ills
cadascuna, quan es cal espe a
que inguin:
l.
T es uens i una nena,
2.
Dos nens i dues nenes,
3. Dues o es nenes.
Suposeu que les p obabili a s de eni un nen o
una
nena son iguals.
2.
30.
De e mina la
moda
o
mo<lcs
de la <lis ibudó
<le
Poisson
<le
pa amc e
A.
2.
31.
Una companyia ae ia en 200 bi lle s pe un
ol
en un a ió que només
é
198 places pe que sap que, en un p omig, un
13
deis ia ge s no es p esen en
a la so ida deis als. De e mina la p obabili a que o s els ia ge s que es
p esen in a la so ida d'aques ol inguin seien .
SO
LUCIÓ:
Resold em aques p oblema u ili zan
la
dis ibució
de
Poisson.
Sigui Y
el
nomb e
de
passa ge s que al en.
Podem ap oxima · Y pe una Poisson
de
¡m ame e
A=
0.01(200) = 2
Lla o s
la
p obabili a que o s els passa ge s que a ibi i inguin bi lle
es
P(Y2:2)
= 0.594
2.32.
Suposem que
una
.a. e
una
dis ibució uni o me a l'in e al
[-2
,
8].
T obeu la unció de densi a de X i calculen la
P(O
< X < 7).
SO
LUCIÓ:
Si
X-
U[-2,8]:
Lla o s:
10
{
1..
(x)
= O
7
si
-2$x$8
al amen
P(O
$
X$
7)
= J
(x)dx
=
~7
= 0.7
o
31

32
TEMA
2.
VARIABLES ALEATÓRIES
2.
33.
Suposem que la mesu a del ol a ge
d'un
ci cui elec ic segueix u
na
dis-
ibució no mal de mi .iana 120 i des iació es anda
2.
Es an
es
mesu amen s
in<lcp
enden s
d'aques
ol a ge. Quina és
la
p obabili a que els es mesu a-
n
e
n
s
es
iguin e
n e
116 i 118?
2.34. T aben
la
mediana, el p ime i el e ce qua il
d'una
dis ibució expo-
nencial de pa a ne e
(3.
2.35. Si
Tés
una
.a. exponencial de pa ame e
(3
al
que
P(T
< 1) = 0.05,
quin és el alo de
(3?
.
2.
36
. Snposeu que
un
ce
sis
ema
co
n
é es componen s que uncionen in-
dependen men
una
de l'al a. Suposeu que la ida de
la
p ime a
co npo-
ncn , mesu ada en ho es, scgueix
una
dis ibució exponencial amb pa 8.me e
(J
= 0.001;
la
ida de
la
scgona componen segueix
una
dis ibució exponencial
a nh pa innc c
(3
= 0.003; i
la
ida de
la
e ce a componen!. segueix
una
dis-
. ilmció exponencial amb pa ame e
(3
= 0.006. De .e mineu
la
p obabili a que
el sis ema uncioni al cap de 100 ho es en
le
s dues si .uacions següen s:
l.
Les
es compone
n .s
es .an connec .ades en se ie.
2. Les es componen .s es
an
connec ades en pa al·le
l.
SO
LUCIÓ
:
Al'ARTAT
1:
!'(X,
2".
lOO,X2
2".100,X3
2".
100)=
P(X,
2".
100)P
(X
2
2".
100)
(PX
3
2".
lOO)=e-0·1- o.3-
o.a=e-
1.
APARTAT
2:
P(X
1
2".
100 o
X2
2".
100 o
X3
2".
100)=
1-{1-e-
01
)(J
-e
·-
0·3 ){1-e-
06
) = 0.988
2.37.
Cinc
es
udi
an s
an un examen de o ma independen i es suposa que el
.
cmps, en minu s, que iguen en acaba -lo segueix
una
dis ibució exponencial
de mi .jana 80 minu s.
Si
aques examen
ha
co
m
e
n~a
a les 9 del
ma í
,
l.
quina és
la
p obabili a que al menys un deis es udian s l'acabi
aba
ns de
les 10 menys
20
?.
2. Si el p ime es udi
an!.
en acaba ho a a les 9 i 25, quina és
la
p ob
ab
ili a
que al mcnys un deis al
e
s es udi
an s
acabi abans de les
10
del
ma í
? .
3. De e mineu
la
p obabili a que
cap
es udian acabi !'examen a
una
dis-
a
ncia de 10 minu s
d'un
al e.
2.38. La
ida
en
an
ys
d'un
gene ado de camps es dis ibueix co
mun
a
We
ibull
de pa iun
c .
cs n = 13 anys i
(3
= 2.
Quina
p opo ció de gene ado s
o
lla ien
dn a
n .
una
ga
an
ia
de 2
anys
?
TD
U~
2.39. e-
so
::..
::c:::j
::-:.-
=-
2
.41.
::_
una
.c
T
oOO..
- .
2.~2
.
-:-:
U
.. ::u:::ll '
L1
3.
S_
2.44.
5_;-
(a
;=
ú _
_a:-:
2.45
.
De
e~
¿¿1
_
:-
0RIES
J
~.C..:::€11
,
~
=.e:--:.:.:a
-
-expo-
< = 0.05,
:~in

~
CG:::l¡>O-
c:-~e
el
¡¡=<lis
·
__.. 7-:¿ bull
~~-ien
TEMA
2.
VARIABLES
ALEJ TORIES
2.39.
Calcula
el alo
de
la
in eg al
SO
LUCIÓ
:
Dc inim:
00
J
e-
3
x'dx.
o
3x
2
=~,
lla o s x2
=z -
i
pe
an
x=-J6 amb
dx
=
~
·
00 00
J
.
-3x'd
1
¡;;--/
1 d
y"[;
J3' '
e x =
;;Y21í
~
e
' dy =
-P(Y
>O)=
-
0
6
0
h
'6
-6
011
Y es una .a. amb llci
X~
N(O,
1)
2.40.
Suposem que
la
du ada
en
minu s
d'una
ucada
a
!l
a
ga
dis ancia
segueix
un
a llei
expo
nencial de
pa am
e
e
1
/5
.
T aba
la
p obabi
li
a
que
la
du ad
a
d'una con e sa:
l.
supe i
els cinc minu s;
2.
es
igui en e cinc i sis minu s;
3.
sigui in e io a es minu s;
4. sigui in e io a sis minu s saben que es supe io a es minu s.
2.41.
Suposem que X es dis ibueix uni o meme
n
a l
'i
n
e al
[O
,
5]
. Dc inim
una
no a
.a.
Y
al
que):
'=
O
si
X~
1,
Y=[)
si
X;:::
3,
i Y = X al a111cn ..
T obcu
la
undó
ele
dis ibució
ele
Y.
2.42.
T obcu
la
unc:ió
de dmisi .a .
el
'
una
.a.
l
uni o me
en
[
O,
1 J.
I/U
cs:·wu .
U uua. .a.
2.43.
Suposeu que el adi
d'
un ce cle és una .a. amb unció de dcusila
(x)
= {
!(3
x +
!)
s
iü
:Sx'.':2
al amen .
De e mineu
la
unció
de
densi a
de
l'a ea
d'aques
ce cle.
2.44.
Suposeu que
la
.a. X
é
pe
[unció de
densi a
. De inim Y =
aX
+ b
(a
.
O).
De e mineu
la
unció de de
nsi a
de
Y.
2.45.
Suposeu que la unció de dens
i a
de X és
J(x)
= {
~-
x
si
X>
Ü
al amen
De e mineu
la
[unció de
densi a
de Y =
../X
.
33
34
TEMA
2.
VARIABLES
ALEATÓRIES
SO
LUCIÓ:
Sigui Y = JX .
q.
X = Y2• Si dc inim x = g(y) ens adonem que
g'(y) = 2y.
A¡ilicnn la ó nu.ln del can i
de
a iable
y(y)
=
x(
g(y)
)g'(y),
in-
d cm que:
/(: )
= {
~-Y'2y
si
y:;::
O
a
l
ame
n
2.46.
Suposeu que X
é
una
dis ibució uni o me a l'in e al
[O
,
l].
Cons uYu
una
.a. Y =
(X)
que ingui
pe
unció de densi
a
{ 3 2
g(y) =
gy
si0<y<2
nl amen .
2.47
.
Siµ;ui
X una a iable alea o ia
amb
di
s
. ibució uni o me a l'in e al [
-1
,
1].
T ob"" la
dcnsi .a. .
lc
Y=
X2 i de Z = IX
I.
2.
48
.
Si
gui X
una
a iable alea o ia
amb
densi
a
T obeu
la
unció de dis ibució i
la
unció de densi a de Y = X2.
2.49.
Conside en l'eqüació de segon
g
an: ax2 -2bx + e = O on a, b, e son
a iables alea o ies indcpcnden s a nb la
ma
eixa
ll
ei uni o me a l'in e al
[O,
1].
l.
Calculen la p obabili .a
qu
e les
a
els siguin
ea
ls.
2. Calcnleu la p obab
ili .
a que la su
ma
de les
du
es a
els sigui meno
qu
e u,
sabe
n que l
es
a
els
so
n eals.
2.50.
El adi
d'nn
ce cle es mesu a ap oximadamen de
mane a
que
é
una
dis . ibució uni o me a l'
in
e al
(a,
b)
.
T oba
la dis . ibució de:
1. El p
e í
m
e
e de la
ci
cum e encia;
2.
L'a
ca
ld
ce cle.
2.
51.
Si
X~
N(¡i, a2) , de nos eu que
P(
I X -¡i l
:S
0.675
a)
= 0.5.
2.52. Si
X~
N(
O,a
2) , ce quen
la
dis ibució de Y =
IX
1-
2.53
. Sigui T
una
.a. exponencial
<l
e pa llme e
(3.
Sigui X la
.a
. disc e
a
< l
dinida
c:o
m
sc~
n
cix
:
X = h:
si
k
:S
T < k +
l,
pc k = O. l , . . . .
T nlH
1
11
la.
m
u:
iú
de
p oh
a.
hili .a
.
<10.
X.
S
O~l'C!
2.
59.
-
2
.60.
-
una~..:....-
S
igu:
2
"=2
..-
~CO
RLES
. ;-Je
.::::-
..
. ·
..-~zulu
.!
].
e u.
!!':1
::"'.:--=~
una
T..&.
:.__~e
a
TEMA
2.
VARIABLES
.4.LEATORIES
2.54.
Suposeu que
la
.a. X segueix
una
(a,
{3).
Sigui e
una
cons an
posi i a.
Ce queu
la
die ibució
de
la
no a .a.
cX
.
2.55.
Suposeu que les .a. X1, X2, .
..
, Xk són independen .s i que
X,
segueix
una
dis ibució exponencial
de
pa iune e
{3;
(i =
!,
2,
...
, k). Dc inim la
.a
.
Y=
min{X
1
,X
2,
...
,Xk).
Ce queu
la dis ibució
de
la
.a.
Y.
2.50
. Sigui X
1111a
.a.
q1ll'
s1!µ;1wix
1111a
dis . il
n cil'>
dl!
Ndh11ll
d1
!
pa h1
11dn
!
<l
1
escala
a i
<le
o
ma
Li.
Demos eu
qu
e
la
.a. Y =
x1i
scgueix
una
llei
exponencial
amb
mi jana
aº
.
SOLUCIÓ:
X -
W(a
,
b)
x(x)
= {
x"
-1
e!7l'
Si
X>
Ü
al amen .
Volem demos a
·
IJ'UC
mnb Y =
Xº
lla 01·s
Y -
exp(
;!..
) .
Sigui x =
g(y)
= y .q.
g'(y)
=
b~.
Tind cm
la
següen Junció de densi a :
jy(y)
= {
(y )º-'e(~
)
'
Y~
si y > O
al
a nen
.
A a
, simpli ican aques a ens queda a:
jy(y)
= {
e
(~)
si
y>
O
a
l
amcn .
2.57.
Sigui X
una
.a. que segueix
una
ll
ei exponencial a nb mi
jana
l.
De-
mos eu
qu
e si a, b >
O,
la .a. Y =
(X
/b)" segueix una di
s
ibu
ció
de
Weibull
de pa clme e d'escala
b-ª
i de o ma l/n.
2.58.
T olwu
la
dc11si a
de l'ü. ca d'
u11
cc dc
si el adi del ma .dx s
<'
g
1w
ix
1111a
llei
cxpo
n
c l<
.
.:
ial a
mU
mi jaua
11L
2.59.
Suposeu
qu
e X -B( >, (!).
Dc111
os .
eu
qu
e 1 - X -B
({
i,
n).
2.
60.
Siguin X i Y
ducs
.a
. iuclcpcndcn s. Suposcm que X es
cli
s . ibucix com
una
uni o me
en
els cn e s 1, 2, 314, 5 i Y
co
m una uni o me a l'in e al
(O,
5).
Sigui Z
un
a .a. de inida de la següeu mane a:
{X
Z = y
T obeu
la unció de densi
a
de Z.
a
mb
p obabili a
0.5
amb
p ob
a
bili a
0.5
35
36 TEMA
2.
VARIABLES ALEATÓRIES
2.61. Sigui X una .a. amb undó de densi a
(x)
de inida com al p oblema
?? De inim
la
.a. Y = pa en e a de
X.
T obeu la unció de densi a de Y.
2
.62
.
':"
~-
Ca!c
2.
6~
.
2.65.
=-
~
en::a
:.e.
=-
.......
2
.66
.
:::_
:;:ae:
den::JE
___
-~
·é..:::e::~
2
.6
7.
T
~---
~
o
:.
:..-
~-

,,-
..
~
:..
:
~
:
_
_;,
_
:-
O
RLES
;:::::.b:ema
=.o-
ée
L
TEMA
2.
VARIABLES
ALE.4TÓRIES
2.62.
Sigui X
una
.a. con í nua, amb unció de densi a
(x)
= 1
+ax
2
-1$X$1,
-1.,:;
a$
1
Calculeu
E(X)
i Va (X).
2.63.
Una llis a de n objec es
es a
o denada alea o iamen ; pe a
aba
un
objec c dona .1 es busca seqücncialmen ins a oba -lo. Quiu
l~s
el
uoml> P
espe a d'objec es que hau eu1 d'inspecciona , suposan que
cada
u11
d'ells és
igualmen p obable d'ésse
el
ce ca . (Qües ions d'aques a
na u al
esa
esde e11en
en
el
disseny d'algo i mes d'onli11ado ).
2.
64.
Sigui
)(
uua .a.
uu
uega i a i cou í uua, demos eu que
E(X)
=
"¡
1 -F(x)]dx.
2.65.
Suposem que dues lo e ies
ene11
11
bi lle s
cada
una
i idén ic p emi. En
e mes del guany espe a , és milla comp a dos bi lle s de la ma eixa lo e ia o
comp a un de
cada
Jo e ia?
2.66
. Suposem que X
~
N(O,
o-
2
).
U ili zan
Ja
unció gene ado a de momen s
demos eu que els momen s sena s de X són ze o i que els momen s pa ells
énen dona s pe
(2n)!a
2n
p
,2n
= 2
71
n!
2.67.
Suposeu que X
és
una
.a. amb unció gene ado a de momen s
1 -
·</J( )
= ;¡(3e1
+e
1) pe -
oo
< <
oo.
T obeu la mi jana i la a ianc;a de
X.
SOL
U
CIÓ:
..
'(
) 1
(3
-1) -1
E(X)=m
1
(X)=41
1
11
=
0=4
"-e
11=0-:;¡·
Lla o s, saben que
m2(X)
=
E(X
2) i V a (
X)
=
m2(X)-m1
(X)2, hem
ic
nl nlm·m,(X):
Pe an
m2(X)
=
1/J"( )¡
=O
=
~(3e'
+ e-'li =O
=l.
Va (X)=1-G)
2 3
4
37
38
TE
MA
2.
VARIA.BLES
ALEATÓRIES
2.6
8.
S11pos<'1
1
que
PI
a.
di
d'
11n
.c cle
é-.c;;
m n
.íl.
qiw
'P-R11eíx
una.
llei cxponcn-
ci<d
d"
111i ..ia.na
m. = (3/4i )1i".
l.
Ca!culeu la p oba.bili .a que el
adi
<le!
ce cle sigui in e io a 0.43. Quin
és el signi ica del alo = 0.43?
2.
Don
en
la
unció de dens
i a
.
del o
lum
del ce cle .
.3.
Quina
llei se1'ucix el olum del ce cle i amb quins
pa am
e es?
2.6
9.
Conside
em
la
a ia.ble al
ea o
ia
X
que
mesu a
el
emps
en
minu .s que
i
ga
a
o
ll
a
una
!lan e na.
Es
coneix que segueix
una
ll
ei exponencial de m
i jan
a
l/
o.
l.
T obeu
la
und
ó de densi .a .
de
la
,·a iable alea o ia Z =
3(
1 + X2
).
2. Calculen la
p obabili a
que
Z sigui
al
menys 10 ho es2.
3.
Ca ac .e i
.ze
u
la
llci de la a iable
alea o ia
U = Z -3.
2.
70.
La
unció ge
ne ado a
de
mom
en .s
d'u
na a i
ab
le
alea o
ia X és
de
la
o ma:
1/;(
)
= (0.4e1 + 0.6)8
l.
Calcul
en
la unció
gene ado a
de
momen s
de
la
a iable a
lea o ia
Y =
3X
+2.
2.
Cal .uleu
E(
Y)
i Va (Y).
3. Quina llei
de
p
obab
ili
a
segueix
la
.a X?
2. 7
1.
La
du
a
da
T,
en
ho es,
d'un
a .icle
es
di
s
i
bue
ix segons
una
llei
expo
nen-
cial
de
mi .iana 5 ho cs. Al m
esu a
T es
po
com
e
e un
e o
E.
Aqu
es
e o
E es
po
s
upos
a
que
es di
s ib
ueix uni o mem
en
a l
'in
e al
[-0.01
, 0.01]. Si
E i T són
independen s
,
obeu
la
unció de dcns
i .
a
del
emps
ano a
en
ho
es
E+T.
2.
72.
Hem comenc;a
una
colecció de
c o
mo
s que
cons a
de n c omos di e
en s
.
Com
p e
m els
c o
mos d 'un a
un
i el en
edo
ens assegu
a
que la p
obabili a
d'
ob en
i
un
c o
mo de qualse ol i
pus
és
la
ma
eixa
.
Qu
an s
c omos
esp
e em
comp a
pe
a
co
mpl
e a
la colecció? Calculen
aques
al
o
pe
n =
10
.
2.73.
La
du ació
en
ba es, T, d'
un
ub
elec onic segueix
una
di
s ibució
expo
-
nencial
de
mi
ja
na µ ho es. A
un
dels
co
n . ols
de
quali a
mos
egem
un
lo
,
om unciona
(de
o
m
a accele
ada)
aq
n
es s
.ubs d
n
a
n
30
minu
s
i
se
leccion
em
com a bons aquells
ubs
que no s
'h
an esp
a lla
du an
la p a a.
1. Calcnleu
la
und
ó
de
dis . ibució lels
.
nb
s
hon
s.
2.
Quina
és la
du
ació
espe ada
dels u
bs
bons?.
2.
2. 75.
::.
·-
~a~
3.
2. 7
6.
_.¿'
S
ig-:.:.::
.:
m0:::.c-~
-
'.!
.
3.
de
..
=-'-
~.;_
~
O
RI
ES
nen-
'~
Quin
,
~~:s
que
:
:.C
-=.::jana
,)_-.
,;;:;
¿e
la
--..;.
}"
~::en

,
:_~~e::- o
, •.
-:
~~
:
~
..
:-
(.
Si
--
=.:::
!:!o es
TEMA
2.
V.4.RI.4.BLES .4.LE.4.TÓRIES
2.
74.
Siguin T1, T2, T3, T4, T5 els emps de uncionamen independen , en ho es,
de cinc componen s elec óniques.
S'ha
demos a
expe imen almen que la
dis ibució d'aques s emps es
compo a
comuna
llei de Weibull
amb
pa iune e
d'escala 10 i
pa áme e
de o ma 2.
1.
Posem
una
d'aqucs es componen s
en
uncionameu i es ol es udia
el
seu
compo amen
p obabilí s ic
cada
3 ho es. Es dema a que calculeu la
unció de dis ibució i que l'e alueu en cls puu s 31 61 91 12,
10
, 18.
2. Es dissenya un sis ema que posa en uncionamen simul ani les cinc com-
ponen s. Es
demana
que calculeu la p obabili a que
el
nomb e de com-
ponen s que allin en e g i
12
ho es sigui com a maxim 3.
És
aonable
pensa que el
sis ema
uuciouani dcsp és
<le
12
}10 cs?
2.75.
El
emps
d'espe a en
una
cua
d1un
supenne ca
un dissab e al
malí
segueix
una
llei exponencial de
mi jana
10
minu s.
l.
Si
una
pe sona a iba a la cua a les 11:10 i
ja
po a espe an 5 minu s,
quina
és la p obablili a que
enca a
hagi d'espe a 5 minu s més
coma
mí
nim?
2.
El dissab e passa an
a iba
es amics al ma eix supe me ca i an
decidi e la comp a, i
ambé
la cua,
pe
sepa a .
Si
deno em
pe
T
el
emps
d'espe a
o al
deis es amics, de e mineu la unció gene ado a de
momen s de T i especi iqueu pe quins alo s
es a
ben de inida. Quina llei
segueix la a iable alea o ia T?
3. U ili zeu el
esul a
de
l'apa a
2 pe calcula , en ho es,
el
momen
cen a
d'o d e
3.
2.
76.
La
unció gene ado a de momen s
d'una
a iable alea o ia X és la següen :
<P( )
=
(i
_
;3)
10 pe <
3.
Siguin X1,
...
, X7 a iables alea ó ies independen s i
amb
unció gene ado a de
momen s
</i( ).
l.
Quina
llei segueix la a iable alea o ia
X.
7 =
X¡
+·7·+x,?
2.
Calculeu E(X?}.
3.
Quina
ans o mació de
.Y
7 la con e i í a en
una
a iable alea ó ia que
seguí s
una
llei x2?
2.
77.
Donades dues a iables alea ó ies X i Y independen s i id
en
icam
en
dis ibu! des amb unció gene ado a de momen s
<P( )
=
e''+J
-
00
< < oo,
de inim la a iable alea o ia Z =
3X
-
4Y
+
2.
39
40
TEMA
2.
VARJABLES
ALEATÓRJES
l.
T obcu
la
unció gene ado a de
momen s
de
Z.
2. Calculcu l'cspe an<;a i
la
a ia
ncia
de
Z.
2.78.
Es udia
la
dis ibució
d'una
.a. X
que
é
o s
els seus
momen s
iguals:
Quina
con<lició e i ica
p?
2.
79
. Considc em les uncions
1
p¡( )
= 2 - eª ' 1
p2( )=1+14
·
l.
Comp o eu
que
p
1 és
la
unció
ca ac e ís ica
d'una
llei
disc e a
i calculen
l'cspe an~a
i la a ihncia cl1aques a llei.
2.
És
p
2
una
unció ca ac e ís ica?
En
cas
a i ma iu calculeu l'espe an<;a i
la
a iAncia
<le
la
llei co esponen .
2.80.
Calcula
la [unció
ca ac c b
.
ica
ele
la
clis ibucío
de
Be nouilli i de
la
di
s ibució Binomial. Calculeu
amb
é les espe ances i a iancies.
2.
81.
Siµ;ui
X "
"'
' '"ª·
amb
dis .
ib11ciú
ele
Cauchy.
l.
Calculen
E(X)
i
Va (X).
2. Demos . eu que
ambé
és Cauchy.
2.
82.
Siguin X1 i X2
<lues
.a. indc
pe
nde
n s
i no mals
de
mi janes
µ1 i µ2 i
de a iancies
a
i
ai.
cspec i amen .
l.
Calculen
la
unció
ca ac e ís ica
de
la
.a. X1.
2.
Calc11le11
la
unció
ca ac e ís ica
ele
la
.a.
Y=
Xi
-X2.
2.83
. Suposcu
qu
e X
'"
una
.a. disc e a
amb
undó
gene ado a
de
momen s
1
1 1(
) = ¡¡(4
+e'+
e- 1)
pe
-
oo
< <
oo
.
l.
Calculen l'espe nn ;a i
la
a ian ;a
de
X.
2. Calculeu
la
dis ibució de
p ob
abili
a
de
X.
3. Don
eu
la
nnció gene ado a
el
e
mom
e
n
s de
la
no a a iable
alea o ia
'
= n +
l1X
.
TD
!...~
-
~-
s
o:.. .:c::
·
A?
.-
.:._
::
-:
P
ee·
A
P.
"
--
=.
~
.-
-
~
-
Le
_':.-
e
_
F.-~
-
an
;;
:.
=
-=
P
e:
'--"
S1
:-
~
.,:-_:
~S
TS
J.
e;
12.
;:::ub-
.X
_:.']..=~i
-;:..:
=
~
-
11"
=-;:e: le::i s
TEl I.4 3.
DISTRIIJUCIONS
MULTIVARI.4NTS
3.12.
Siguin
Xi
Y dues .a.'s con íuues. La .a. X es dis ibueix segons una
llei 11ui on w a l'in e al
[O,
10]. S1ohsc a
X=
:e
i cu aques es condicions la
.a
Y es dis ibucix
uni onnemen
a l'in e al
[O,
x].
l.
Duncu
la
unció
de
dcnsi a
conjun a
del ec o
(X,
Y).
2.
Calc.uleu
P(X
> l
').
3. Doneu la unció de
densi a
de
la
.a.
X+
Y.
3.13.
Suposem que
es
.a.
X1,X2,X3
de inides a
l'in e
al
[O
,
l]
cnen
pe
unció de
densi a
conjun a
(
X ¡
,X2,x
3) = {
~X¡X2X3
si Ü
<X;<
l,(i
=
1,2,3
),
al amcn .
De inim les no es a iables
Y¡
= X1, Y2 = X1X2 i
Y3
= X1X2X3. T obeu
la
unció
de
densi a
conjun a
de Y1,
Y2,
Y3
.
SO
LUCIÓ:
Busquem
el
domini
de les
no es
.a.
's:
X1
=Y¡
Ü <
X1
< 1 B Ü
<Y¡
< 1,
,.
y2 O " O
l'
l'
.~z
=
Vi
<
-'2
< 1 B < 2 <
¡,
X3 =
~
O< X3 < 1 -
O<
Y3
< Yz ,
.Y2
pe
an
el
1wu
dom
ini
és O < Y3 <
l,..
2 <
Y1
< 1.
Sigui
J =
D(X
1
,X
2
,X")
= (
' D(Vi ,Y2,Y3)
-)'.,
Y,"1"
o
o
1
~
Y,
-i
),
al
que
1
IJ
I =
y,y,·
I'c
lan
,
(y,,
y,,
! J) = Ri:1
J:2J
:
"IJI
= 8y
J/(yi:<Jz
). I'c · 1m la
1m
ciú de
dcu.'iilu cunjuula és:
{ J!! L
(y1,yz,y3)
=
/í'"'
si
O <
Y3
<
Y2
<
Y1
< 1
al amen .
3.14.
Siguin X i Y dues .a.
amb
unció de de
nsi a
conjun a
(x,y)={
~(x+y)
T obeu
la
undó
de
densi a
de
X+
Y .
si Ü
~X~
y~
1
a
l
am
e
n
.
3.15.
Siguin X y Y
dues
.a. i.i.d. (independen s i
iden icamen
dis ibu"i des)
segons
una
exponencial de
pa ame e
(3
. T obeu la
undó
de
densi a
de X -
Y.
47

48
TEMA
3.
DISTRIBUCIONS MULTIVAR.IANTS
3.
16
. Siguin X y Y dues
.a
.
amb
unció
de
densi a
conjun a
(x
1) = {
Bxy
si O $ x $ y $ 1
'Y
O
al amen
De inim
dues
no es .a.
U=
X/Y
i
V=
Y.
l.
De e minen
la
unció
de
densi a
conjun a
de U i V.
2. Són X i Y independen s?
3.
Són
U i V independen s?
3.17
. Signin
Xi
Y
dues
a iables a
lea
o ies independen s,
cadascuna
amb
dis-
ilmció
un
i o me
en
l'in e al
(O
, 1). De inim U =
X+
Y,
V=
X -Y
T obeu
J;¡
d nsi a
de
(U,
V)
i les
densi a s
ma ginals.
+ 3.18. Sigui X
una .a
.
ambdis
.
ibucióuni o mecn
{0,1,
. . . ,
n-1},i
Y
una
a iable alca .c ia indcpenden .
de
X
amb
dis ibució uni o me
en
[O
, l
].
T obeu
li'
nnció
de
dis ibnció
de X + Y. T obeu
la
mi jana
i
la
a iancia
de
X + Y
3.19.
Suposem
que
un
dia
de e mina
du
es pe sones A i B
a iben
a un mag-
a .zem
de
o ma
independen .
La
pe sona
A
es
queda
15
minu s
al
maga zem
i
la
B 10
minu s.
Si el emps d
'a
ibada
d'aques es
pe sones segueix
una
dis-
ibució uni o me
en e
les 9 i les
10
del
ma í
,
quina
és
la
p obabili a
que A i
B coincideixin al
maga xem?
3.20
. Les .a.
X,
Y, Z
enen
pe
densi a
conjun a
(
x
z)
= { 2 si O < x < y < 1 i O < z < 1
' y, O
al amen .
Calcul
eu
la
P(3X
> Y l l <
4Z
< 2)
SOLUCIÓ:
,;=O
1:=
~
Í,
~
2dzdxdy
_
1:
=
01:=!
dxdy
_
1:=0
~y
dy
_ 2
.
:=O
.
:=x
Í,
~
2dzdydx
-
1:=0
. :
=x
dydx
-J:=
0
(1
-
x)dx
-
3·
3.
21.
Siguin X1 i X2 dues
.a
.
independen s
que segueixen
una
dis ibució
G
amma
de pa i11nc . cs a i
.X.
T obcu
E(R
2) a
on
R2 = X? +
X:
.
3.2
2.
T es
a
iables alea o ies X1, X2, X, són una
mos a
( .a. i.
i.d
.) d'
una
po 1Ll 'i '1
1111i o 11w
a l'i11l.
'
al
:l.
1:11
. 0P . • mi11c11
l
alo de
3.2-L
~~
3.25
.
::=
""'"""
e e
~
.:.e
:::. :J
'!
.
3
3.
26.
C::
elp ~~~~
..
acles<;'-" :::: -
L
'es¡aC.,-
--<==
C¿..=-
2.
C"--'-
:.:~_z;_
!
_
.TS
~
a:::b
dis-
- ! .
-:
:-obeu
.
1·
una
-::uheu
a-:::X
- ·.
~:l.=
:nag
-
~
3
-:::..a
~::mció
TEMA
3.
DISTRIBUCIONS
MULTIVARIANTS
3.23.
Siguin X1
,X
2 i X3
es
.a. independen s dis ibuY
de
s segons
una
llei
Gamma
de
pa ame es
(a
1, 1),
(a
2, 1) i
{a
3, 1) espec i amen .
l.
Doneu
la
unció de
densi a
conjun a
del ec o
alea o i
(X
1
,X
2
,X
3
).
2.
De inim
y _
X1
'"
_ X1 +
X2
, _ •
i -
X1
+X,'
' -
X1
+X,+
X,'
1
:i
- • i +.
'+
.
;¡.
Doneu la
undó
de
densi
a .
co
njun a
del ec o alea o i
(Y
1, Y2,
l'.
1
).
3. Són les
.a
. Y1 1 Y2 i Y1 mu uamcn
in
dependen s?
4.
Quines
Beis segueixen les .a. Y1, Y2, i Y3?
3.24.
Es
llencen una se ie de cohe
s
ins
qu
e hi ha un
ll
e
n,am
e
n
exi
ós. Si aixo
no succeix
en
cinc p o es l'expe ime
n
s'a
u a
i s'inspecciona l
'e
quip.
Suposa cm
que hi
ha
un
a p obabili
a
cons
an
i igual a 0.8
d'ob
en
i
un
llen,amen
ex
i
ós i
qu
e les
p e es
succesi es són
ind
e
pende
n
s. El
cos
del
p ime
ll
e
n~
amen
és de
[(
millions de pesse es pe o el cos .dels següen s lle
n,amen
s és de K/3 millions
de
pesse es.
Cada
egada que hi
ha
un
llen,a
menb
exi ós
s'
ob é
una
ce .a
in o mació
qu
e
es
po
exp essa com un guany de C millions de pesse es. Si T
és el
cos
ne
de
l'expe ime
n
,
ob
eu
la
dis ibució de
p obabili a
de
T.
3
.2
5.
U
na
age
ncia de
comp a
-
en a
de
co xes
paga
una
quan i
a
X (en cen-
ena s
de
mile s de pesse es) pe
un
c
o xe
usa
i el en
pe
u
na
qu
an
i
a
'"
(
a
mbé
en
cen ena s
de mile s de
pe
sse es). Suposem
qu
e Ja llei
co
n
ju
n
a
de
les
a i
ab
l
es
ale
a o i
es
(X,
Y)
é
pe
und
ó de densi a :
(x,y¡(x
,y)
= {
~x
si O
'.Ó
y
'.Ó
6
al
amen
.
l . Calculeu
la
unció de
Jen
s
i a
co
njun
a del ec o
alea o i
(U
, !)
on
U =
Y -
Xi
V=
2Y. P ecisseu a
mb
cl
a e
da
el domini de de inició de (
U, !).
2.
Dc cnuineu
el
guany
mig
en
la
comp
a
~
cn a
de
co xes
usa s
d'a
qu
es a
aµ;C
11
cia
.
3. Calculcu
la
u
nció de dens
i a
de
la
a iable alca .il ia Y
n
ndicio
nada
a
.
i
ca ac .P
i zl~11
la
lk
i w s
11l
a.
u .
4. Si el p nu
de
comp a
d'
un
co xe és de 300.000
pe
sse es, quin és el g
uan
y
mig, en pe
sse
es, al end e'J?
3.26.
Un
es a
dís i
c ha de e
un
eba
ll que inclou di e en s
p o
g a
mes
amb
el p og
am
a
i SAS. Sigui X la a
i
able alea o ia que indi
ca
el
nomb
e de eg-
ades
qu
e ha
de
co
mpil
a
un
p og a
ma
SAS
aba
ns que unciona co
e
c a
m
en
.
L
'es adís
ic
ob
se
a,
qu
e en e
nu
e mig , X al 3.
l.
Calculeu la
undó
gen
e ado a
de mome
n
s de la a iable X .
2.
Ca
lculeu
l
'es
p
e
a
n
~a
i
la
a ian,a
de X en se
i
l'apa a
a).
49
50
TEMA
3.
DISTRIBUCIONS
MULTIVARIANTS
3.
Si inalmen
la
eina inclou 4 asques independen s i pe
cada
una
d'elles
ha
de compila
un
p og ama SAS, calculeu la unció gene ado a
de
momen s
de
la
a iable alea o ia
Y,
nomb e de compilacions necessa ies pe acaba
la eina. Ca ac e i zeu
la
llei
d'Y.
3.27.
Siguin
Xi
Y a iables alea o ies independen s exponencials
de
pa ame e
, , De inim les no es a iables Z = X +
bY
i T = Y2 pe b
;:::
O.
l.
Iden i iqueu la
ll
ei de
T.
2.
Cal nl<>11
l
a.
unci<'>
¡; n1c aclo a
de
momcn
.
s
de
Z
3. T obe
11
un alo de b
al
que Z segueixi una llei
Gamma
.
4. Calculen
la
unció de densi a conjun
a
del ec o alea .o i (Z,
T)
.
5. Són independen .s les a iables
X+
Y i Y2?
lndicació:
U ili zeu els apa a s an e io s.
3.28.
Sigui
(X,
Y)
un ec o alea o i amb densi a :
¡(
) {
k(xy
+
~
)
·'"•Y
= O
Calculen
P(Y
< l
IX
<~).
si
(x,
y) E
[O,
l][O,
2)
al amen
.
3.
29.
Co np o eu que e ec .i amen les na ginals d
'una
dis ibució no mal bi-
a iada són
nonna
ls.
3.30
. Siguin
(X
1, X2) dues .a. amb dis ibució conjun a no mal bi a iada.
De inim dues no es
.a
com segueix:
i
als
que
A = (
n.1
1
a21
a12
)
an
mnb
IA.I
i O.
D<~mos n~11
qn
la
1is il ndó conjun a de
(Y
11 }
,..
2)
{•s
no mal bi a iada.
3.31.
Sip;uin
(X
1, X2)
<l
11
cs .a. amb dis . ibució conjun a no mal b
i
a iada
i
l;iJs
'I""
l
;i
.
(. '
1) = l;i. (. '1) .
n.,111<is . "11
J'"'
i<'s
.a
S = . '1
+X,
i D = . '1
-. '
2
s1
°)JJ
ind1
~
pc11d1~11 s
.
:~.;~2
.
Sig11in (.Y 1• X2)
d11
es
.a
.
amb
dis . ihu :ió conjun a.
no mal
bi a
ia
da. a.mb
mi ja ws
J
.1 i ¡1.2, a ihncics a i aj i
co
cl
ac
ió p. De e minen
la
dis ibució de
. 1 -
3X
2.
TE.'.!..'. _
SOL
L"
-
-C
3.33.
:::-=-
·-
m~
--:>
:
-
so
:..
::-
-
3.35. "
_......::.
-
Co a
.:
_::
:
] .
3
.36
.
a
da
i...:
d
el".
3.37
.
S:~-
I'
o. i
ai..3.
~
- -
1
'
i
u
:e-'
-
~
a
l"!
.
.:::c..-~
;,
c.:
-
_?.
..:.
-l
. "TS
~
::
e:
esha
iii.
,
::1!-
=.c;:::
en s
.
;e
acab
a
1
::e:
;a...-a.:::e
e
-
=..i.:---:::.a.!
bi-
b:::.2..
.:..-- -~-:.ada
i
-X,
TEMA
3. DISTRIBUCIONS
MULTIVARIANTS
SO
LUCIÓ
:
Si
de inim Y1 = X1 -
3X
2 i
Y2
=
X,,
eien el p oblema {3.28) e
nim
que
(Y
1, Y2)
és
no mal bi a iada.
U ili zan l'enuncia del p oblema {3.27) sabem que les ma ginals
Y¡
i
Y2
d'una No mal bi a iada, són No mals.
Calcul
em
l'espe an a i la a ·ian a
lY1
:
E(Y¡) =
E(X
1 -
3X
2) =
E(X
¡) -
3E(X2)
=
¡ 1
-
3¡ 2
la (Y¡)
= E((Y¡
)2)-(E(Y¡
))2 =
E((X
1 -
3X
2
))-(E(X¡)
-
3E
(X2))2 =
E(X )
-
6E(X
1X2) +
9E(X )
-E (
X
) +
6E(X1)E(X2)
-
9E
(
X2
=
V
a (
X¡)+
9Va (X
2) -
6Co a (X
1X
2)
=o[+
9o:j -6po,o2.
Pe
an
Xi
-
3X
2 -
N(µ¡
-
3µ2,0[
+
9oi
-6po¡o2)
3.33.
Sigui X -
N(O,
1), i Y J X -
N(
2X
-
3,
12). De e mineu la dis ibució
ma
gina
l
de
Y i
la
co el
ac
ió
en
e X i Y .
3.34.
Siguin X i Y .a. indep
en
d
en s
amb
la
ma eixa
a ian~a.
Calculeu
Co a (X
+
Y,X
-Y).
SO
LUCIÓ:
Co a (X
+Y,
X -
Y)
=
Co a (X,
X -
Y)+
Co a (Y, X -Y) =
Co a (X
,
X)
-
Co a (X,
Y)
+
Co
a (Y,
X)
-Co a
(Y
,
Y)
=
Co a (
X
,X)
-
Co a (Y,
Y)=
la (X)
-
Va (Y)
=O
3.35.
Siguin
X,
Y, Z
es
.a
.
al
s
qu
e Va
(X)
= 1, Va (Y) = 4, Va
(Z
) = 8,
Co a (X
,
Y)
= 1, Co a (X, Z) = - 1, Co a (Y
,Z
) = 2. D
e e
min
eu:
J. Va
(X
+ Y +
Z)
.
2. Va (
3X
-Y -2Z + 1).
3.36.
Sigui
(X,
Y)
un
ec o al
ca o
i que segueix
una
dis ibució no
mal
bi a i-
ada
de
pa
ll.m
e
cs
Lx
,
¡
1
?
,
a~
,
a~
?
,p.
Dem
os
eu que Ja <lis ibudó
co
ndicioual
de
Y,
cloua.
X = x,
és
la
dis ilmció no
m
al de mi jana
¡i.
= ¡ y +
p;;(x-
¡_1,
x)
i de
a ian~a
o;=
o~(l
-p2
).
3.37.
Sigui
(X,
Y)
un
ec o al
ea o
i
qu
e segueix
una
di
s
ibució n
o
mal bi-
a iada
de
pa ám
e
es ¡1x = 40,
µy
= 20,
o~
= 9,
o~
-
= 4 i p = 0.6.
T ob
eu
l'
in
e a
l
n
és cu ([a,
b])
al que la p
ob
abili
a
condicion
ada
de
qu
e Y pe
anyi
a l'
in e a
l ([a,
b])
don
a que X = 22 sigui igual a 0.90.
51
G2
TEMA
3.
DISTRJBUCIONS
MULTIVARJANTS
3.38.
U11a
cnginyc n geologa
ol
explo a un jacimen .
al
que la se a p ojecció
sob e la supe icie e es e po conside a -se el.lí p ica, amb semieixos a i
b,
a >
b.
Si .uan !'o igen de coo denades al cen e de l'el.lipse i
o ien an
ade-
quadamcn
els eixos,
aques a
é
pe
eqüació x2
/a
2 + y2
/b
2 =
l.
L
'es a egia
de
mos eig exigeix s
i ua
pun s
de mos eig
(X,
Y)
sob e el
e eny
de
mane a
que
la sc a
dc11si .a .
co cspongui a
una
dis ibució no mal bi a ian
amb
pa ame es
¡1
.x =
O,
/'1
' = O,
<T}.
> O,"}. > O i coe icien de co elació poblacional
PXY
=O.
l.
De .e mineu la llci de la a iable
alea o ia
'!: +
~.
"x
"Y
2. De .e mi11cu
u11a
possible solució pels alo s de
<T}.
i
"~'
de o ma que la
p obabili a
que un
pun
de mos eig caigui dins l'el.lipse sigui igual a
0.90.
3.
39
. Sigui T =
¿::::~=!
kXk
is=¿::::~=!
xk
, a on les
xk
són
V.a
.
independen s
de mi ja.na
J
i a ia n;a a2.
l.
Calculen
E(T)
i Va (T).
2.
Calculen la
co a ian~a
i
la
co elació
en e
S i T.
3.
40.
Sigui11
X1,
•••
, X.,
.< .
indcpendcn s
amb
nnció de dis . ibució F1, . • • ,
F.,
i densi a s
J.y
11
•
.•
, xn
espec i amen . Siguin
.1 '"(n)
=
max{X
1,
..
. ,Xn} i
X¡I)
=
min{X
1,
...
,X.,}.
l.
Calcul
en
les uncions de dis ibució i de
densi a
de X¡.,1 i de
X¡
1¡ a
pa i
de les dis . ibucions i
densi a s
de X1,
...
, X.,.
2.
Idcm si les
.a
. son iden icamen dis ibuides.
3.
41.
Suposem que F és
una
undó
de dis ibució con í
nua
sob e
R;
i siguin
c
1 i
c
1
los
nomb es als que F(c ¡) = 0.3 i F(c 2) = 0.8. Seleccionem
25
ohsc acions a l'a za
<le
la dis ibució que
é
F pe unció de dis ibució. Quina
(•s
i<l
p ohahili a que sis deis alo s obsc a s
sig11in
més pe i s que 0
11
deu
(~s .igui 1
(~11 w
n1 i 0
21
i
11011
deis alo s ohsc a s siguin supc io s a
o.
2
.?
3.42.
Tcnim un lau no equilib a ..
La
p obabili .a que apa egui
la
ca a
i
quan
es a o<la es
deno a
pe
p;.
Suposem que
p¡
= 0.11,
P2
= 0.30, p3 = 0.22,
)J.1 = 0.05,
¡1,
= 0.25, p6 = 0.07. Aques
dau
es
llen~a
40
egades.
Deno em
pe
X 1
el
nomb e
de ca es pa elles que apa eixcn i
pe
X2
el
nomb e
de egades que
su
un 1 o un 3. Calculeu
la
P(X1 =
20
,
X2
= 15).
3.43
. Siguin X1, •.. , Xn .a.'s inclependen s i dis . ibuicles segons
una
llei de
Vdhnll(n,¡3). T ohen la
undó
de dcnsi .a del
X¡
1) =
min{X¡,
. . .
,X.,}
3.44
. El
.
emps
o al
que un camió hi és al
maga zem
es a
de ini
pe
una
a ia
bl
e al
ea o
ia
X.
Sigui Y
la
a iable emps
d'espe a
en
la
cua, i Z el
emps
de descá ega
(X
=
Y+
Z).
La
dis ibució
conjun a
de
(X,
Y)
és:
!(
) _ { 0.
25
exp {
-0.5x}
x,y -O
siO'.Sy'.Sx<oo
al amen .
3
3A5
. =
-T
'.!
3 .
.:
6.
2.
3 - - •
o:.: .
.-CL

::c-
ú
..
'E..-l
. "
TS
JPl3.
¡- o }ecció
=.ei:x:E
~
i b.
·--:
a l
e-
=~G-"::e
es
~
::cy
=o.
A!
i: =...s.
~.Je
la
'!
E:
== i2.1al a
.~éen
s
. . Fn
. .
'1}
i
;;.
;>a i
~
a...~1
quan
~
= 0.22.
~
~
-=~
pe
--:."~ .sque
~
:.!ei
de
·.
~;;e:
una
.;
e::
:c:nps
...
.
TEMA
3.
DISTRIBUCIONS
MULTI
V.4.
RIANTS
l.
Calculeu el emps mig
o al
que el camió o nan al naga ze n.
2.
Calculeu el e nps mig de desca ega.
3. Idcn i iqueu les lleis que segucixen les a iables
X,
Y i Z.
4. Es udieu
la
independencia
en e
els següen s pa ells de a
ia
bles al
ea o
ies:
Xi
Y,
Xi
Z i Z i
l',
5.
Calculeu el coe icien de co clació en e el emps
o a
l i el cmps d'espe a
en la cua .
3.45.
Siguin U1, U2, U3 .a. independen s i uni o mes a l'in e al [
O,
l]
.
l.
T obeu la unció de
densi a
conjun
a
de U1, U2, U3.
2. A
una
au opis a hi han es gasoline es disposades alea o iamen i inde-
pend
e
n m
en al lla g
d'un
quilom
e
e. Quina és la p obabili
a
que no hi
hagin dues gasoline es si uades a
una
dis anc
ia
in
e
i
o
a 1
/3
Km.?
3.46
. Si U1,
••
• ,
Un
són .a. uni o mes a l'in
e a
l
[O,
l]
i independen s,
ob
eu:
l.
E(U(I¡)
i
E(U(nJl
2.
E(U(nl
- U¡l))
3. E
(U¡
k¡ -U
(k-
1)) a on
Uw
indica el j-essim es adís ic d'o d e .
SOLU
C
IÓ:
53
TEMA
3.
DISTRIBUCIONS
MULTIVARIANTS
Al'A lTAT
1:
Sigui
( )
= 1¡0,q( ) amli
i
pe ·
an
{º
six:SO
F(u)
=
_
00
( )du
= x
si
O
:S
x
:S
1
al amen ,
1 -
F(u)
= {
i-
x
si
X
'.S
Ü
siü:Sx:Sl
al amen ,
lla o s
si
es dc ineix u¡l)( ) = n (
u)(l
-
F(u))n-
1,
enim
que
u(l¡(n)
=
n(l
-
x)"
-11¡0,1j(n), amb
l
oo
1'
1
E(U(I¡)
= u,J(
n)du
=
nu(l
-
11
.)"-1du =
n 3(2,n)
=
--
,
-oo
o n + 1
on (3(p, q) = J01
¡ -
1
(1
-
)q-
d
=
W/,~
~j)
.
De
m mem
simila , si le inim
u¡n¡(u) =
n (u)(F(u))
"-
1 =
nu"
-11
¡0,11(u)
es
po
com71 o a que loo n
E(U¡n¡) =
u u(n
)(u)d =
--
1.
-oc
n +
APARTAT
2:
APARTAT
3:
Sigui
lla o
·s
n-1
E(U nl -U(I¡) = n + 1
( )
('
n!
k-'
(l
)"-
kd
_ _ k
E
u(!
•) =lo (k -
l)!(n
-k)! l¡o,!]U -
1L
" - ••• -n + 1'
i pe
m
1
E(U ¡,1
-U k-1)) = n + 1.
TE..
'.!.~
-
3.47
.
:-,
.
--
- =
3
3...1
9.
s_
~
es&:..-....:~.:..
:::.:!Ljc.
TS
...
_..~
que
..
--
-1
k-1
" - k)! ¡o,qu
(1-u
-
e
=
-:
- 1'
TEMA
3.
DISTRIBUCIONS lVIULTN4RI.4NTS
3.4
7.
Els in es igado s Lieblein i Zelen a en co np o a , desp és de no
n
b osos
assajos de labo a o i, que el nomb e de e olucions (en nilions) ins a la allada
de coixine s de boles seguia
una
llei de Weibull. A un labo a o i
d'au omoc
ió
alen decidi -se en e dos ipus de coixine s, que anmnena e n ipus A i
i
pus
B,
i
pe
aques
no iu els anali zen independen me
n
i es imen que els p
a a
me es
d 'escala són espec i amen
°'A
= 80 i
aa
= 100, i els pa ame es de o ma són
espec i ainen 3A = 2 i
{3
8 =
l.
Els ecnics del labo a o i pensen que ó a
in e essan assaja amb dos coixine s simul ilneamen , pe ü, abans
de
dissenya
un nou p o o ipus, demanen a l'es adís ic del labo a o i que els ajudi a es udia
el compo
amen
p obabilís ic del emps de a
ll
ada
mí nim, U
,,
i mi xim, U2,
en e
els dos
i
pus A i B.
l.
Calculeu
la
unció de dis ibució de U1 i
U2
.
2.
Quiua
és
la
p obabili a que el emps de allada mínim sigui iu e io u 80
milious de e olucions?
Quina
és la p obabili a que el emps
ele
allada
mil.
xim sigui in e io a 80 milions
<le
e olw.:iom;"!
3.
No
sa is e s amb cls esul a s
de
l disseuy comp
a i
ipus A- ipus Il, d"-
cideixen
p o a.
amb dos coixine s del ma eix ipus. Ca a.c e i
z
eu les
ll
eis
de
Vi i U2,
iIIdi
can a quina amília
pe
ayen si aques a. és coneguda, si
posen dos coixine s de ipus
A.
3.48
.
Una
p o esso a de la
FME
aga a
habi ua
lmen
l'au obu
s núme o 7
en e
les 8:00 i les 8:
15
del esp e. Segons diu aques au obús
iga
mol
en
passa .
Pe
aques mo iu !'espe a 5 minu s
coma
maxim.
Passada
aq
ues
a
es ona sense
senyals de !
'a
u obús decideix u ili
za
el me o.
Pe
a e igua si l'
esmen ada
p o esso a é
a°
no aó hem
an
a
a
la
pa
ada
del 7 i hem a e igua que en e
les 8:00 i les 8:
15
del esp e
d'un
dia
labo able només
a iba
a l
'a za
un únic
au obús. Aques au obús
oman
a
la
pa ada
du an
8 minu s. A
pa i
d
'a a
eballeu
so a
l'hipo esi que exis eix un únic au obús que
a iba
en e les 8:00 i
les 8:15 a
aq
u
es a
pa ad
a,
ésa
di , que
P ob{au obús
a ibi en e les
8:
00 i les
8:
15}
=l.
Demanem:
l.
La
p obabili a que la p o esso a a ibi
abans
que !
'a
u obús;
2.
La
p obabili a que
quan
la
p o esso a a ibi
ja
hi sigui !'
au
obús;
3. Supo
sa
n
que
la
p o esso a
ja
es a
asseg
uda
a !'au obús espe
an
a
qu
e
a
qu
es inic!i el seu eco
eg
u
, la p obabili
a
que la p o esso
a
ha
gi a ib
a
abans que !'au obús;
4.
La
p obabili
a
que la p o esso a acabi aga an el me o.
lndicacions
:
Po
esse
ú il
que de iniu
una
a iable alea o ia T pel e
mps
d'a ibada de /'au obús i
una
al e Y pel
em s
d'a ibada de
la
o
esso a
i que pe
ns
eu sob e quina és
la
dis ibució de cada una d
'e
lles.
Po
ésse
cla i icado que e es
en
eu cada un deis esde enimen s, pe
ls
quals es
de
-
mana
la p obabili
a
, en
un
plo
d T e sus Y .
3.49
. Suposeu
qu
e el coc
ici
e
n
d'
in el·ligencia (CI) deis alumnes
d'E
s a
dí
s
ica
es dis ibueix no ma[men amb
mi jana
120 i a ia n;a 150.
;j[
)
56
TEMA
3.
DISTRJBUCIONS
MULTIVARIANTS
l.
Si
una
classe de 50 alumnes es seleccionada a l'a za , quina és
la
p oba-
bili a que el coe icien d'in el·ligencia mig sigui supe io a 125?
2. Si seleccionem dos g ups de 50 es udian s a l'a .za , quina és
la
p obabili a
que el coe icien mig de les dues classes di e eixi en més de 5 pun s?
3. Necessi em 5 es udian s pe o ma
un
equip pe pa icipa en
una
olimpíada
es adís ica. Anem en e is an es udian s ins a ob eni 5
amb
CI
més g an
que 125. Calculen la p obabili a d'
ha
e
d'en e is a
11
es udian
s
.
3.50.
Ti cm
una
moneda . cs cops. Dcsignem pc X el nomb e de ca es que
han so i , i pe Y el alo absolu de
la
di e encia en e el nomb e de ca es
i
!e
c eus. T oheu
la
dis . ibució del ec o alea o i
(X
,
Y),
les dis ibucions
ma ginals de X i de
Y,
i
l'espe an~a
de
X.Y.
+
3.51.
Siguin X i Y a iables alea o ies independen s amb dis ibució expo··
nencial de
pa ame e
.X
i
I'
espec i amen . De inim
U = min(X.,
Y)
, V =
l¡u
=X
}·
T obeu la llei conjun a
le
(U,
V)
. T obeu la dis ibució de U i
V.
Són U i V independe
n .
s?
3.52.
Aga em
un
nomb e X a
l'a za
a l'in e al
(O
, l].
Fixa
X , iem un nom-
h c Y a
l'a za
en l'in e al
[X
,
l]
. De e mineu:
l.
La
llei conjun a de
(X,
Y)
i
la
llei
de
Y.
2. El alo mig de
X.Y.
3.
La
llei de X condiciona
da
pe Y
TE_ D
Al
n
os
c
on
m:::~
-·
si·.~-~
J
4.5.
-=
-
=-
·-
-
l.
C•