Problemes de Càlcul de Probabilitats

MAT PE LLICENCIATURA DE MATEMÁTIQUES PROBABILITAT ~ I ESTADISTICA PROBLEMES DE CALCUL DE PROBABILITATS Ramon N onell ,/ ' UN IVER S IT AT POLITE CN I CA DE CATA LUNYA Bibliotec a l lllllllllllllllllllllllllllllll ll lll lll ll llll lllllllll l lll l 1400313106 FACULTAT DE MAT EMÁ TIQUES I ESTADÍSTICA .) Problemes de Calcul de Probabilitats Proba bili ta t i Es tadísti ca Llicencia tura de Mat em at iques Ramon Nonell ler Qu ad rime str e 99-00 Aquesta col·lecció de problemes correspon a les assignatures de Probabilitat i Estadística de la Llicenciatura de Matematiques i d'Estadística Matematica 1 de la Diplomatura d'Estadística, de la Universitat Politecnica de Catalunya. Atés que aquestes dues assignatures, situades en el tercer quadrimestre de la corresponent carrera, tenen un programa molt semblant, s'ha cregut oportú fer una única.llista de problemes. Tot i així els objectius d'ambdues materies no sóu identics i aquest fet, tal com s'indica més aval!, s'ha contemplat en l'esmentada col·lecció. La col·lecció esta subdividida en els quatre temes en que es subdivideix ca da assignatura i seguint el mateix ordre de les exposicions teoriques. El tema O s'ha afegit com a recordatori. Els problemes precedits de t s'han pensat fonamentalment per als alumnes de la Lliceuciatura de Matematiques. Els problemes precedits de * són adients per a la Diplomatura d'Estadística. Tots e ls problemes numerats scnse cap símbol especial són apropiats per a ambdues carreres. El nombre de problemes de cada tema és molt sup er ior al que es podra desenvolupar a classe. És pero alt ament recomanable que l'alumne intenti fer el mil..xim d'ells i que consulti amb el/ la professor/a de problemes so br e la solució trobada. S'han incorporat solucions d'alguns problemes representatius de cada tema. Aquesta col·lecció de problemes és fruit de la feina realitzada pels professors Guadalupe Gómez i Ramon Nonell des de l'inici de les esmentades carreres. Diverses coHeccions i fotocopies han precedit la que ara presentem. També s'han incorporat la major part dels problemes d'examen dels darrers anys. Un nombre irnport ant de becaris i profcssors associats han colaborat en els darrcrs anys en la impart ició de les classes de problemes i en major o menor mesura en la elaboració de l'esmentada coHecció. A tots ells el nostre sin ce r agraºime nt . Vol e rn agra ir pero especialment l ' esfor~ realitzat per la Maria Albareda i pel Ram on Cleries, responsables de la major part de solucions i de la prese nt edició. TEMA O PRELIMIN ARS + O. l. Demostreu que: l. ( ~ ) = (n~k) \f n, k Ef\l n ~ k 2. Gl + (k~ 1 ) = G!:l \f n, k E N n > k 3. f; (7) = 2n \fn E N i=O 4. f:( -1)'(';) =0 lfnEN i=O + 0 .2 . Orde na els següents nombres combinatoris: ( 100) (lºº) (lºº) (10º) (10º) 7 , 70 , 20 , 50 , 93 + 0.3. Donats k, 11 E N, k s; n , ju st ifiqueu la següe nt igua lt at : ( ") = t (k) ("-k.) m J=O J m - J i dedu'iu-ne que: ~ (7r =e:) . 2 TEMA O. PRELIMINARS 0.4 . Tres classes d'estudiants tenen 20, 18 i 25 alumnes, respectivament. Es forma un equip amb un estudiant de cada classe, de quantes maneres podem formar l' equip? I si el formem amb tr es estudiants de cada classe? SOLUCIÓ : Com que l'estudiant que escollim de cada classe és independent de qui ns escollim a les altres classes, tenim 2 0* 28*25=9000 formes diferents d 'escollir-los. En d se_qon ca .< tindrem (2 3 °} {1 3 8} {2 3 5} = 2130552000 cnmposicions diferents possib/es de l 'equip. 0. 5. Repartim a l'at zar 12 boles entre 20 urnes de manera que a cada urna hi hagi com a mii.xim una bola. Calculeu q uan tes distribucions diferents hi ha en cadascun deis següents casos: l. Les 12 boles són identiques. 2. Hi ha 7 boles blanques i 5 de negres. + 0. 6. En un co njunt de n · p elements, de quant es maneres es p ot fe r una partició en n subconjunts de p elements? O. 7. En una reunió hi ha 6 dones i 4 homes. Si sabem que entre els assistents hi ha quatre parelles, quantes possibilitats tenim a !'hora de conjecturar quines són les quatre parelles? I si sabem que només hi ha tres parelles? t 0.8. Sigui n, k E N i de fin im S(k, n) = 1 k + 2k + ... + nk Proveu que k &; e; 1 )S( i ,n) = (n + l)k+i -(n + 1) Calculeu S(k, n) pera k = 1, 2, 3. + 0.9. Demostreu qu e donats dos nombres n, k E N, n ~ k es compleix la següent igua lt at: + 0 .10 . Sigui {An,n EN} una successió de con junts . Demostreu: l. (lim. inf An) c = li m. sup An e 2. (lims11.p A ,. y = lim.inf An c 3. l t im inf A. = lim inf lA. 4. l 1 im sup A .. = l im sup lA ,. TE .\fA. O. ?.:-2-- • o .1 1. Je=,- + O. IZ. C:___. su ccc.:_ tjy . .!.. l. ·- : 2. . ""!. --; = 3. An = = 4. .{ :-.; = = - -= = • itELn fIN.4.RS , ==;:ti::.'C':~'---am e.nt. Es ==e:-es podem -~, tferen ts .nr-~r~.-oi.s dife r· ::i. .- ~ a c.a,¿_a ur na hi ~ ,,...;.;; hl ha en ~ ~ ;>a :. fer una · ~es assistents ~ :::c.~e::-:u :ar quines :a:-~ ... ~ .t ~ :c=preix la TEMA. O. PR.ELIMIN. 4RS + O. ll. Demostreu: l. limsup{x,, ::".e} C {liminfx,. ::".e} 2. liminf{x,. ::".e} e {lúnsupx,. ::".e} + 0.12. Calculen el límit sup erior, el límit inferior, i si existeix el límit de la succeHsi<) {Au , HE N} : l. A,.= {x·E N: x <livi<leix n} 2 . .4.,,={xEl\l :x> ;';} 3. A,. = {( x,y) E IF:': n2x2 + n4y2 ::". l} 4. A,.= {(x ,y) E IR 2: x +y > (-1)"} 3 TEMA 1 CALCUL DE PROBABILITATS t 1.1. Sigui n un con junt qualsevol i C <;; P(O). Denotem per a(C) la a-algebra gene rada per C. Provcu que: l. C <;; a(C); 2. a(a(C)) = a ( C); 3. si C1 <;; C2 al es hores a(C 1) <;; a(C 2). + 1.2. Sigui C = {A1, . .. , An , . .. } e P(O) una família numerable de subconjunts de n amb A, n Ai = 0 per tot i i' j. Proveu: l. a(C) = a (C.), on C.= CU {Ao} i Ao = <U:i A;)c; 2. a(C) = {A <;; O tals que A = U;ei A;, amb I finito numerable i A; E C.} 3. A.1 , ... 1 A, 11 .• • sóu successos elementals. SOLUCIÓ : J. /fr :m de vcun : les ducs inclusious: • a(C) e a(C.) j11 IJ"ILC e<;; C. (a ¡ili1JU C 711 el ¡ irob lcm11 1.1 ap. :J). • a(C.) <;; a(C) Per vwre aixo és suficie nt veure qu e Ao E a(C) {j u IJUC aleshor ·cs C. <;; a(C) i pcr tant, a(C .) <;; a (a (C)) = a(C)); pero aixo és ce rt perqué a(C) és tancada per unions nume rabl es i pa s al compleme nta ri pel Jet de ser aalg e bra. 2. És suficie nt vem·e qu e A= {A C O /A = U .4. ;, {l finito numerabl e; A; E C .)} - i€ 1 és una a dlg ebm ja que, evidentment, A<;; a(C). 5 6 TEMA l. CÁLCUL DE PROBABILITATS 2. Per veure-ho hem de comprovar tres punts: 00 • n E A: n = LJ A; i tots els A; pertanyen a C •. i=O • A E A=> Ac E A: Sigui A E A aleshores, A = LJ A; amb I iE/ 00 finit o numerable. Com que n = U i els A; són disjunts dos i=O 11 dos, aleshores A e = U A; E A . it¡,/ • A és tancat per reimions numembles: Una unió numerable d 'un ions numerables és a la vegada una unió numerable, per tant, la unió numerable d'elements de A tomara a ser un element de A 3. Recordem que si Aés una a-tilgebra, A E A és elemental si i només si, 'tx E A, XCA=>{ X= 0 -X =A Sigui ara A E A, i suposem que per alg11n i E {l , .. . ,n} A i::; A¡. A E A=> A= LJ A; i::; A;. Aleshores, j - EJ A= AnA; = LJ(A; nA;) = { :· jEJ si i E J altrament + 1.3. Sigui C i::; P(n) qualsevol. Proveu que pera cada A E a(C), existeix una família numerable de con junt s C0 i:::: C tal que A E u(C 0 ). (lnrlicació: Si A és la unió de totes les a-tilgebres generarles per col·leccions numerables de conjunts de C, proveu que A és una u-algebra i que C i::; A i::; a(C).) + 1.4. Si n = IR, com a a-a.Igebra de parts d'n se sol pendre l'anomenada a-álgebra de Borel, que dcnotem per l3{1R) i que es defineix com la u-á l gebra generada pels intervals del tipus {a, b], amb a :S b, a, b E IR. l. Proveu qu e l3{1R) coincideix amb la a-álgebra generada per: (a) tots els intervals oberts {a, b); (h) t.ot.s els int.ervals t.ancats [a , b] ; {e) t.ot.s els int. ervals semiobcrts [a , b) ; {d) t. ot.s ds int.crvals [n., oo); (") lot.s d s inl. "rva.ls {a, oo); (f) tots cls in tc rvals (-oo, b]; (~) 1.ol.s ds int."rvals {-oo,b); (h) t.ot.s ds ohert.s de IR amb la t.opologia usual; (i) t.ot. s els compactes de IR . TE.\fA. _ 4:"-... 2. • 1.5 . - - - 1.8 . E.:-.. junt ée '"" 2. E:: ..:::. 3. º--=- 5.La= 1.9 . ::: _ "'-' ""~ dis!=' 1. 1 0. ~ al · a:z.G.: ~ ucCe~ E::_.::::2:_:-:_ Us ~ .:. =.;.:¡ .:!:.! :=..;=.i.! :::: .-. 1 ~~::::::::.a ¿c;::_""~..J ~ ;:;_ -.:;_ TEMA l. CALCUL DE PR.OIJABILITATS 2. Proveu que tot subconjunt d'un sol element és un borelia i, per tant, ho és també tot subconjunt numerable de IR . + 1.5. Sigui n un conjunt qualsevol, A una a-a.Jgebra de subconjunts d'rl i X un subconjunt no buit de n. Proveu que Ax = {A n X; A E A} és una a-algebra . Definiu, en particular, la a-algebra de Borel d'un interval de IR. + 1.6. Proveu que un espai probabilitzable (O, A) és elemental sii existeixen successos .41, •.. , A 11 , ••• dmueutals tals que LJ: 1 Ai =O. + l. 7. Considerem els successos { l} , { 1, 3, 5}, { 2, 4, 6} corresponents a l 'espai de probabilitat associat al llen~ament d'un dau. Determineu la menor algebra de successos que els conté i calculeu-ne la mesura de probabilitat. 1.8. En cadascun dels expcriments següents, determinen l'espai mostral (o conjunt de resultats): l. Triem una família de tres fills i anotem els sexes deis fills ordenats per edats. 2. En un procés de fabricació, triem quatre peces i anotem si cada peGa és defectuosa o no. 3. Obrim un llibre per qualsevol pagina i comptem el nombre d'errors d'impremta. 4. D'una baralla de 52 cartes n'extraiem dues amb reemplaGament. 5. La mateixa situació que a 4 pero sense reemplaGament. 1.9 . Si els esdeveniments A i B són disjunts, sota quines condicions A' i B' són disjunts? 1.10. En una capsa tenim 12 cargols, deis quals 5 són defectuosos. En triem 3 a l'atzar , sense reemplaGament. Calculeu la probabilitat de treure'n exactament un de defectuós. 1.11. Una urna conté 100 boles, de les quals r són vermelles. Suposem que les boles són seleccionades a l'atzar d' una en una i sense reemplaGament. Calculeu: l. la probabilitat que Ja primera bola sigui vermella; 2. la probabilitat que la bola 50 sigui vermella; 3. la probabilitat que !'última bola sigui vermella. 1.12. Es selecciona un punt (x,y) del quadrat unitat S (ésa dir, aquell que conté tots els punts (x, y) tals que O $ x $ 1 i O $ y $ 1). Suposeu que la probabilitat que un punt pertanyi a un subconjunt especific de S és igual a l'area d 'a quest subconjunt. Trobeu la probabilitat de cada un deis subconjunts següents: 7 14 TEMA l. C.ÁLCUL DE PROBABILITATS 2. Suposeu ara que un home entre 50 i 59 anys té un historial medie amb episodis d'angina de pit. D'cst.udis medies es coneix que la probabilitat de patir la malaltia M és del 92%. (a) Calculen la probabilitat que aquest home pateixi la malaltia M sabent que no tenia cap arteria calcificada. (b) Calculen la probabilitat que aquest home pateixi la malaltia M si el proc.cdiment indica que hi ha una arter ia calcificada. ( c) En quin deis dos casos és més probable que aquest home pateixi la malatia M. Compareu aquesta situació ambla trobada a l' a par ta t l. 1. (a) Aquest problema és una claro aplicació del Teorema de Bayes: P(M + ITo+) = P(Al+)P('/{,~(A"';':;fl,tJ1MiJ,tTo+ J M (/J) P(M+)P Ti+ M+ P (M + IT1+) P(M + )P(T1+ M+)+P(MP T 1+ M- ) (e) És més prolmble en el scgon cas. 2. (a) P(M+ P To+ M+ P(M +ITo+) l'(M+)/ ' (T o+ fM +)+P(M-) P( 1o + M - ) (/¡) P(M+IT1+) _ P(M+)P(T1+JM+) - P(M+)P(T1+fM+)+P(M - )P(T1+ fM - ) 3. Sempre és més probable que el pacient estigtti malalt si hi ha una arteria calcificada, pero la diferencia és més gran quan la proba· bilitat a priori de patir la malaltia és més petita. 1.41. D'acord amb dades publicades per l'INEM en desembre de 1994 el nombre d 'at ur ats llicenciats en ciencies de la informació era de 6236. Deis regis tr es es cleclueix que la ma jar part. deis at.urat.s tenen entre 25 i 34 an ys, concretame nt , i. e3 ~ . s~- =- l. C· 2. * l. ~~ o...::: el t e=;E :__ SU J><lSE"" ~ 2. 5::.. - rl -.,,-..¡ ;::¿-r_:...a.: c..::::b :::i ~.~ ~ el :-<-.:TI la a ::- ~ - ..a..: 1 . ... 5;~'!,S : ~ ~ TEM.4 l. CÁLCUL DE PROBAIJI LITATS hi ha un 16% menors de 25 auys, un 62 .5% entre 25 i 34 i un 21.53 majors de 34 an ys. Dins de cada un d'aq uests tres grups distingim per sexes i trobem un 24.53 d'homes menors de 25 anys, un 34 .53 d'homes entre 25 i 34 anys i un 603 d'homes ma jors de 34 anys. l. Ca lcul eu el percentatge de dones llicenciades en ciencies de la informació en atur. 2. Scleccionat uu aturat a l'atzar de la població aualitzada, si és dona, ca lculeu la probabilitat que tingui en tre 25 i 34 anys. 3. Raoneu si les dades publicades permeten afirmar o r ebut j ar l'exi sté ncia de discriminació en la contractació laboral de lli cenciats/des en ciencies de la informació . 1.42. Un prod uctor de cinem a, amb un bon historial de nominacions pels "OSCAR", ha seleccionat dos equips de direcció A i B per la següent pel.lícula que produira. Basant-se en els resultats d'edicions anter iors, pensa que pot aconseguir 0,1,2 o 3 "OSCAR" segons les següents probabilitats: • Si escull l'equip A, la probabilitat de O, 1, 2 i 3 "OSCARS" és 0.24, 0.42, 0.25 i 0.10, respectivament. • Si escull l'equip B, les probabilitats són 0.20, 0.40, 0.40 i 0.00, rcspectivament . • El productor pen sa que p er problemes de disponib ili tat del equips, la probabi litat d'escollir A és 2/3 de la probabilitat d'escollir B. 1. Ca lculeu la probab il itat que la pel.lícula rebi exactam ent un "OSCAR". 2. Si la pel·lícula rep exacta me nt un "OSCAR ", calculeu la probabilitat que l' ha gi fot. l',,quip A. 3. U 11 a Jido nat. ha S(~ Il t it que la pel.Jícula ha reb ut a.l~un cl 1 1111 "OSC AR 11 , ca l rn l t!t1 la prnlialiilit. at. 'I" " l'hagi t\ :t l'equip ll. 1.43 . Sabem que una urna co nté 4 bo les blanques i 4 de negres. N'extra iem 4 i les posem en una altra urna . Agafem una bola d'aque s ta u rna i és negra. Trabar la probabilitat d'agafar-ne una de bla nca entre les tr es restants. * 1.44 . Suposem que el temps només pot ésser assolei at (S) o núvol (N), i que el temps durant matins successius forma una cadena de Markov estacionaria. Suposem qu e Ja matriu de transició té per elements Pss = 0.7, PSN = 0.3, PNS = 0.6, PNN = 0.4 l. Si el divendres al matí és núvol, quina és la probabilitat que el dissabte torni a ser núvo l. ? 2. Si el dilluns al matí esta assoleiat , quina és la probabil it at que ta nt el dima rt s com el dimecres faci sol? 15 16 TEMA l. CALCUL DE PROBABILITATS 3. Si el dijous al matí és núvol, quina és la probabilitat que faci sol al menys un dels propers tres dies? 4. Si el dimecres fa sol, quina és la probabili tat que el dissabte faci sol? 5. Si el dimecres fa sol, quina és la probabilitat que el dissabte i el diumenge faci sol? 6. Suposem que la probabilitat que faci sol el dimecres és 0.2 i de que estigui núvol 0.8, quina és la probabilitat que el divendres estigui núvol?. 1. P1 = PNN = 0 .4 2. Aplicant la propietat de Markot1 tenim que Pi = P (X2 = snx3 = s 1x 1 = N) = P (X2 = SIX1 = S)P(X3 = SIX2 = N) = (Pss) 2 = 0.49 :1. p3 = P(X5 =Su Xa = SU X1 = SIX• = S) si apliquem el Jet que la probabilitat de fer Sol un dia no depen de quin dia és sinó de qnin t emps ha j et el dia anterior, la propietat de Markov i algunes propictats hiisiqnes de les probabilitats, obtenim : p3 = 1 - (P(X2 = NIX 1 = N)) 3 = 1 - (PNN) 3 = 0.936 4. P• = P(X6 = SIX3 = S) = P(X< = S IX 1 = S) = p( 3 lss· P er calen/ar aquesta probabilitat necessitarem la matrin de tmncisió en tr-es passos: P' = ( d'rm p; = 0.667 o. 7 0.6 0 .. 1 0.4 r ( 0. 667 ) 5. p, = P(X 6 = S n X1 = SIX3 = S) = P(X1 = SIX 6 = S)P(X 6 = s¡x3 = S) = PssP(J) SS = 0.4669 6. Si pr e nem com a X 1 l'estat de la cadena el rlimecres, el vector de probabi/itats inicials és v = (0.2, 0.8). Així, p5 = P(X3 = N) = vP 2 on P2 és la matriu de trancisió en dos passos. Fe nt aquests ca/cuis obtcnim Ps = 0.338 * 1.45. Suposem que una cadena de l'l'la rkov té r¡uatre estats s1, s2, s,, s4 i les 1 n<) l1;1hili t.ats <l e transició cstacionh ri cs són 1 Pll = Pi 2 = P< 1 = }J42 = p 43 = 1'44 = ;¡, 1 1'H = Jl : tJ = fl : t:! = 2' J1n = 1, 1'13 = 1'21 = 1'2 3 = ]>24 = 1'32 = 1''4 = o. TE. \f...l. - l. 3. ¡_ 2. 3. ~=-~ =--=us e !Cl ~ =-e::iys --., =s:;,. . = =--=m ge , ..:¿ :;-¿: ~--:igu i : = :~ = :.;._:.: Pe- -- • . ~ .... -- ... -=. e"1 = = __;.._;: :;..Te::.:...._~ l = _, .- = ~~-! i-1. i:~ TEMA l. CALCUL DE PROBABILITATS l. Si la cadena esta a l'estat s3 en el moment n, quina és la probabilitat que sigui a l 'estat s2 en el moment n + 2.? 2. Si la cadena esta a l' esta t s1 en el moment n, quina és la prob abilitat que sigui a l'estat .s 3 eu el momellf. n + 3 .? 3. Denotem per X1 l'estat inicial en el moment l de la cadena i suposem que les probabilitats iuicials són: P(X1 = s1) = ~' P( X1 = s2) = ¡, P(X 1 = s:i) = ~' P(X1 = s4) = ~· Dc tcnninc u la probabilitat que la cade na estigui en els estats s1, s2, s,,, s4 en el moment n per cada un deis següents valors de n: n = 2, 3, 4. * 1.46. Tres nois A, B i C juguen a ping-pong. En cada joc dos d'a quests nois jugu en l'un en contra de l'altre i el tercer s'espera . El guanyador del jo c n-es im juga en el j oc (n + 1) -e sim contra el jugador que s'esperava en el joc n-es im i el perdedor del joc n-es im s'espera en el joc (n + 1)-esim. La proba bi litat que A guanyi a B en qualsevol joc és 0.3, la probabilitat que A guanyi a C és ü.G i la probabilitat que B gua nyi a C és 0.8. l. Ile ¡>n ?se 11 t.c~u aqucst ¡>r ocl~s c: m11 1111a c adena de !\ :farkov a.111ll p nl l ia liilit.at.s de tram;ic::i ó cst.acio 11 itriL~:-i deti11i11t cls po ss ihles estats i coustr11i11t la mat.ri11 de tra.11 s ic::i6 . 2. Calculen la pro b ab ilit at que els dos nois que competeixen en el prim er joc tornin a competir en el quart jo c. 3. De mostreu que aq uesta probabilitat no de pén <lels dos nois que juguin en p rim er lloc. 17 18 TEMA l. C.ÁLCUL DE PROBABILITATS 1. Definim X; com el noi que espera durant el joc i-essim, de manera que els estats possibles són A, B i C. És ciar que aquest procés és una cadena de Markov ja que la probabilitat que en l'i-essim joc esperi un jugador concret només depen de qui estava esperant durant el joc anterior. La matriu de transició sera: ( o 0.2 0.8 ) p = 0.4 o 0.6 0.7 0.3 o 2. Ncr:c .~:r;itrlf'cm fo. matriu de trnnsir:ió en tres passos: ( 0.18 0.164 0.656 ) P3 = 0.328 0.18 0.492 . O.G74 0.246 0. 18 La 11rofmbiUtnt r¡nc ens P.Stnn dcmrz nant és ,, =P((X, = AnX4 = A)u ( X1 = nnX4 = B) u(X, = cnx4 = C)) = P(X 1 = A)p~~ + P(X1 = B)p~) 1 + P(X1 = C)pgb =0.18 .'l . Del Jet que cls tres termes de la dúigona/ de la mntriu de tm nsic ió cu frcs ¡H1. ss os siguin iguals es dcdneix trivio.lment que la probabilitat que el8 dos nois que competeixen en el primer joc tornin a competir en el qunrt no rlepen de quins sigu.in els noi.• qu e j?tguen el primer joc. * 1.47 . La Mariasurt amb dos nois, un noi viu a Sarria i l'alt re a Gracia. Quan vo l sortir amb un d' ells el cap de se tmana escull el de Sarria amb probabilitat p. Entre rlucs sort.ides descansa i passeja amb les amigues. 1. Descriure la cadena de Markov amb tres estats: S per Sarria, G per Gracia i A per Am igues de les sort.ides de la Maria. Especifiqueu la ma triu de transició. 2. El primer cap de set.mana d'aquest. mes de novembre (en el que n'hi ha 4) la l\faria ha so rtit amb les amigues. (a) Calculen la probabilitat que s ur ti amb el noi de Gr ac ia dues vegades durant aqnest mes. (Ji) Calculen la probabilit.at. que snrt .i amb el noi de Gracia almenys nn cop d11ra11t. a.q11Ps t. mes. 3. Supo,eu que el vector <le probabilitat.s inicial és (1/3, 1 /3 , 1/3). Calculeu In prohahilit.at. que do s caps de set.ma na després s 11rt.i amh l es amigues. * 1. 48. Uua. co mpanyia d'autohusos preocupada ¡) cls rcccnt.s accidcnt.s deguts a ¡, ~s falles dds couductors decideix fer una prova mensual als scms con du ctors TL' . !... -. ~ pe:'= ha:.:..:;...::~ p \1). = ~-' 3. ~ '1 C1 3. -· - * l. o. :.a - de E:-_== El g=:-- segi: =::: -: ~ 3._!_E~ ~TS = :;¡.'-';e: Gr-ci:2 E.!.=-=..---:-:::~ =- ~~es -.ca ~ts TEMA l. CÁ.LCUL DE PROBABILITATS amb l'objectiu de mantenir-los en forma. El resultat de l'esmentada prava pot ser P: Passa, C: Control i A: Atura indicant el següent: Si un conductor treu una A haura d'estar un mes sense fer cap viatge i fent exercicis intensius de perfeccionament; si un conductor tr eu una c continuara fent viatges tot i que haura d1anar fcnt simulth..niamcnt exercicis i controls¡ si un conductor treu una P vol dir. que esta en perfectes condicions de viatjar i no cal que faci rés. La probabilitat que un conductor que ha tret P tregui un altre c op P el proper mes és 0.7, la probabilitat que un condu cto r que ha tret c tregui un alt re cop c el proper me s és 0.3, la probabilit a.t que un conductor que ha tret A tregui un altre cop A el proper mes és 0.2, la probabilitat que un conductor que ha tr et P tregui una A el proper mes és 0.1, la probabilitat que un conduc tor que ha tret c tregui una p el proper mes és 0.6 i la probabilitat que un conductor que ha tret A tre gui una P el proper mes és 0.2. l. Descriure la cadena de Mar kov amb els estats definits a l'enunci at. Especifiqueu la m at riu de tra nsició. 2. El co nd uctor Sr.X ha tret una P a !'examen del gener. Calculeu la probabilit at que tregui P als examens de to t l'any. 3. El conductor Sr.Y ha tret una C a !'examen del gener. Calculeu la probabilitat que al menys treballi un mes al llarg de tot l 'a n y. Calculeu la ma teixa probabilitat suposant que ha tret una P a !'examen de gener i tarnbe suposa nt que ha t ret una A a !'examen de gener. Compareu el tr es re sulta ts i co ncloeu quina imp orta ncia té la nota de ! 'exa men de gener. lnd icaci ó: El calcul de les tres probabilitats segueix el mateix raonament. 4. Suposeu que el vector de probabilitats inicial és (2/3, 1 /6, 1/6). Ca lc uleu la probabilitat que tregui P al fe br er i A a !'abril. * 1.49 . Sigui X1, X2, .• • , X, ., ... una cadena de Markov es ta cionaria amb 3 estats A, B i C. Si la cadena es troba a l'estat A pot anar a qualsevol deis tres esta ts amb la m ate ixa probabilitat; si la cadena és a l 'estat B pot an ar a ls estats A i B amb la mateixa probabilitat; i si la cadena es trobés a l' estat C en el mome nt n, en el moment n + 1 to rn a a ser a l'estat C. l. Representeu aquest procés com una Cadena de Markov i constru'i u la matr iu de tra nsició P. 2. C la. ss ifique 11 ds cstats d < ~ la Ca. clc11a. de Marko v. Feu priuwr una n~pw  s t ~ ut. aciú grhlica. És aqt1t~st.a. cade ua. irrcd u"i bl e'! 3. Si la cadena es traba en el rnoment n a l'estat A, calculeu la probabilitat que es quedi a A en els següents dos moments. 4. Feu servir l es equacions de Chapman-Kolmogorov pera calcular la probab ili tat d'arr ib ar a l' es tat A en dos passos si la cadena surt de l'estat A. * 1.50. Les pistes d'una es tació d' esquí alpí es classifiquen, segons un ordre de dific ult at cre ix e nt, en (V): verdes, (B): blaves, (X):verme ll es i (N): negres. El gerent de l'estació, basant-se en un estudi fet la temporada anterior, té la següent informació: 19 20 TEMA l. CALCUL DE PROBABILITATS Ja probabilitat que un esquiador esqui! el primer dia a una pista verda és 0.2, a una blava és 0.5, a una vermella és 0.3 i a una negre és O; • si un esquiador comenc;a esquiant. a una pista verda, Ja probabilitat que el dia següent romani a pistes verdes és 0.4, la probabilitat que el dia següent vagi a una blava és el doble que la probabilitat que el dia següent vagi a una vermella i la probabilitat que el dia segiient vagi a una negre és O; • si u11 esquiador comern;a esqu iant a una pista blava, Ja prob ab ili ta t que el d ia. sc ~ g iic:nt ron wni a una blava 6s 0.5 , la proba bilita t. que esc ulli ve rdes o vc rmclles és Ja mateixa i Ja probabilitat que el día segiient vagi a una negre és 0.1; • si un esquiador come nc;a esquiant a una pi sta vermella, Ja probabilitat que el día segü ent esqu i'i a una ve rmella és O. 7 , la probabilitat que escu ll i una verda és O, Ja probabilitat que el dia següe nt vagi a una blava és 0.1 i la probabilit at que el dia següent vagi a una negre és 0.2; • si un esquiador comenc;a esquiant a una pista negre, la probabilitat que el dia segiient esqui'i i a pistes verdes, blaves o vermelles és O. l. Expliqueu per que el procés estocastic descrit a l' enunciat és u na cadena de Markov. Especifiqueu els esta ts d 'a questa cadena, classifiqueu-los i escriviu Ja mat riu de tr ansició de probabilitats. 2. Un esquiador va cinc dies de vacances a esquiar per primer cop. El primer dia escull una pista ve rda , quina és la probabilitat que es passi els cinc dics csquiant a pistes verdes? 3. Calcnlcn Ja probabilitat que un esquiador, agafat a l'atza r de l'estació, csq uil d tercer dia a un a pi sta vcr mella . J. X, " e1·1i el tipu.< de pi.<tll e"collida ver /'esquiador el dia i (considcrant que nrrilm a les pistes el d in 1). Així, cls possibles estats de l" cadena serim: V, B, X, N. El ¡i7'0c é" e.• pot modclitzar com una cadena de Markov ja que la pmbabilitat que /'esquiador esculli una pi. •ta d'u na determinada catcgor~a n om é" depen del ti pu s de pista q1w ha cscollit el dia anterior. TE. \f...l. - E.'...= -=-:::. -i. TS -~ ~ :J. 2. a --:-:;i___;_ __,_ ' ~- -=e • ¡'""~ , f:¿ r::..::c es...-.=ó . TEMA l. CALCUL DE PROBABJLITATS l. {cont) la matriu de trn11sició sera: ('' 2p¡ p¡ .º,) pP2 0.5 P2 - o 0.1 0.7 0.2 o o o 1 ara bé , la mafriu ha de .ser ww matriu eslocilstica, i, µer lmil s ' ha de complir: { ~ d'on p1 = 0.2 i µ, = 0.2. = 0.4 +2p, +p, +o = p, + O.G + p, + 0.1 Ja només ens falta classificm· els estats de la cadena: r¡q ~ e® • Hi ha dues classes d 'estats comunicants; la classe { \/, B, X} que no és tancado, i la classe { N} que si que ha és. Com, que hi lw una classe tancada que no conté tols els estals, La cadeiia no és irreduible. • L 'unic estat absorvent és l 'estat N, mentre que \/, B i X són transitoris. • L 'estat N és recun-ent • Tots els estats són aperiodics. ~I 22 TEMA l. CÁLCUL DE PROBABILITATS 2. Definim V; com el succés X ; = V. Aleshores, p = P(V2 n V3 n V. n \!'.5IV1) = (pvv)4 = 0.0256 3. Ens cstrin demanant P(X3 = X). Per a calcular-la necessitarcm la matriu de transició en dos passos: ( 0.24 0.38 p2 = 0.18 0. 35 0.20 0.12 o o 0.30 0.28 0.51 per tant, P(X3 =X)= v; · P(2 )3 = 0.353 0.98 l 0.09 0.15 1 * 1.51. A uns estudis universitaris de tres anys de duració un estudiant té una probabilitat p d'abandonar-los i per tant de no tornar el proper any, una probabilit.at q de repetir el curs i una probabilitat r de passar de curs o de graduar-se si ja esta a tercer any, (p + q + r = 1). Considerem el procés cst.ociist.ic Xn que denota l'estat d'un estudiant en n-essim any des que comen~a la universitat.. l. Especifiqueu els estats d'aquest procés. Expliqueu per que el procés es - t.ocastic descrita l'enunciat és una cadena de Markov. Escriviu la matriu de t.ransició de probabilitats. 2. Hi ha cstats comunicants? Hi ha algun estat absorvent? 3. Calculeu la probabilitat que un estudiant es gradu! en tres anys. Raoneu el perque de cada un dels passos d'aquest calcul. 4. Quina és la probabilitat de repetir el !.ercer curs per a un alumne que ha repetit primer? * 1.52. Les finques agrícoles de Nebraska (USA) es divideixen en quatre categories en funció de llur dimensió: MOLT PETITES, PETITES, GRANS i MOLT GRANS. Les finques augmenten o redueixen la seva dimensió en funció de que es compri o es vengui terreny. Es suposa que aquelles finques,o bé MOLT PETITES,o bé MOLT GRANS, no canvien més la seva dimensió. Les finques PETITES i GRANS augmenten a la categoría següent cada any amb probabilit.at 0.5, es queden de la mateixa dimensió amb probabilitat 0.25 i es redueixen a la categoría inmediatament inferior amb probabilitat 0.25. Denotem per X n la dimensió d'una finca l'any n. 1. Espccifiqueu els estats d'aquest procés. Expliqueu per que el procés estochstic dcscrit a l'emmciat és una cadena de Markov. Escriviu la matriu de t.ransició de probabilitats. 2. Classifiqueu la cadena de Markov. Especifiqueu si hi ha estats comunica11ts, rccurrents, transitoris, absorvents. 3. Calculeu el període de la cadena i conclu! u si aquesta cadena és ergodica. TE. \!_.:, .~ :é • e: .;:r.<:ES es- ~ =.a:....-iu ?"-"'-'-::'OU L--,. , ~~ ==.i- ~~Cea. TEMA l. C.4.LCUL DE PROBA.BILIT.4TS 4. Donat que la finca del Sr. Smith és catalogada de GRAN l'any 1996, calculeu la probabil itat que l'any 2000 s'hagi conve rti t en una finca MOLT PETITA. Feu servir l es eqüacions de Chapman-Kolmogorov per fer aq uest cale u!. 5. La finca del Sr. Taylor és catalogada de MOLT GRAN l'any 1996, calcule \! la probabilitat que l'any 2000 s'hagi convertit en una fin ca MOLT PETITA. 23 _...:..:;:_ __ ~ Ó iUE..5 e =! ¡;r _,, s -ú --- = : 5_ "?=-::=a au - :c ;.¿:-a:ne- ~s . ·:3 Su- ~~..:.s són TEMA. 2. VARIABLES ALEA.TÓRIES 2.28. De manera analoga al cas continu es diu que una variable aleatoria X a valors en N no té memoria si pera tot n EN, P{X > n} >O, i pera qualsscvol n, k E N, P({X > k + nlx>k)) = P{X > n). Trobeu tot es les possibles distribucions d 'X. 2.29. Entre dues-centes famílies amb quatre fills cadascuna, quantes cal esperar que tinguin: l. Tres uens i una nena, 2. Dos nens i dues nenes, 3. Dues o tres nenes. Suposeu que les probabilitats de tenir un nen o una nena son iguals. 2. 30. Determinar la moda o mo<lcs de la <listribudó <le Poisson <le paramctre A. 2. 31. Una companyia aeria ven 200 bitllets per un vol en un avió que només té 198 places perque sap que, en un promig, un 13 deis viatgers no es presenten a la sortida deis vals. Determinar la probabilitat que tots els viatgers que es presentin a la sortida d'aquest vol tinguin seient. SO LUCIÓ: Resoldrem aquest problema utilitzant la distribució de Poisson. Sigui Y el nombre de passatgers que falten. Podem aproximar· Y per una Poisson de ¡mramefre A= 0.01(200) = 2 Llavors la probabilitat que tots els passatgers que affibiri tinguin bitllet es P(Y2:2) = 0.594 2.32. Suposem que una v.a. te una distribució uniforme a l'interval [-2 , 8]. Trobeu la funció de densitat de X i calculen la P(O < X < 7). SO LUCIÓ: Si XU[-2,8]: Llavors: 10 { 1.. f(x) = O 7 si -2$x$8 altrament P(O $ X$ 7) = J f(x)dx = ~7 = 0.7 o 31 32 TEMA 2. VARIABLES ALEATÓRIES 2. 33. Suposem que la mesura del voltatge d'un circuit electric segueix u na distribució normal de mit.iana 120 i desviació estandar 2. Es fan tres mesuraments in<lcp endents d'aquest voltatge. Quina és la probabilitat que els tres mesurarn e nt s est iguin e ntre 116 i 118? 2.34. Traben la mediana, el primer i el tercer quartil d'una distribució exponencial de pararnetre (3. 2.35. Si Tés una v.a. exponencial de parametre (3 tal que P(T < 1) = 0.05, quin és el valor de (3? . 2. 36 . Snposeu que un ce rt sist ema co nt é tres components que funcionen independentment una de l'altra. Suposeu que la vida de la primera cornponcnt, mesurada en hores, scgueix una distribució exponencial amb par8.metre (J = 0.001; la vida de la scgona component segueix una distribució exponencial arnh parinnctrc (3 = 0.003; i la vida de la tercera componen!. segueix una dist.rilmció exponencial amb parametre (3 = 0.006. Det.ermineu la probabilitat que el sistema funcioni al cap de 100 hores en le s dues sit.uacions següents: l. Les tr es compone nt.s est.an connect.ades en serie. 2. Les tres component.s est an connectades en paral·le l. SO LUCIÓ : Al'ARTAT 1: !'(X, 2". lOO,X2 2".100,X3 2". 100)= P(X, 2". 100)P (X 2 2". 100) (PX 3 2". lOO)=e-0·1o.3o.a=e1. APARTAT 2: P(X 1 2". 100 o X2 2". 100 o X3 2". 100)= 1-{1-e01 )(J -e ·- 0·3 ){1-e06 ) = 0.988 2.37. Cinc est udi ants fan un examen de forma independent i es suposa que el t. cmps, en minuts, que triguen en acabar-lo segueix una distribució exponencial de mit.jana 80 minuts. Si aquest examen ha co m e n~at a les 9 del matí , l. quina és la probabilitat que al menys un deis estudiants l'acabi aba ns de les 10 menys 20 ?. 2. Si el primer estudi an!. en acabar ho fa a les 9 i 25, quina és la prob ab ilitat que al mcnys un deis al tre s estudi ants acabi abans de les 10 del matí ? . 3. Determineu la probabilitat que cap estudiant acabi !'examen a una dista ncia de 10 minuts d'un altre. 2.38. La vida en an ys d'un generador de camps es distribueix co mun a We ibull de pariun ct. rcs n = 13 anys i (3 = 2. Quina proporció de generadors fo llarien dnra nt. una ga ran tia de 2 anys ? TD U~ 2.39. eso ::.. ::c:::j ::-:.- =- 2 .41. ::_ una t.cr T roOO.. - . 2.~2 . -:-: Uf .. ::u:::llf' L1 3. S_ 2.44. 5_;- (a ;= ú _ _a:-: 2.45 . De te~ ¿¿1 _ :- 0RIES J ~.C..:::€11 , ~ =.e:--:.:.:a - -expo- < = 0.05, :~in  ~ CG:::l¡>Oc:-~e el ¡¡=<lis · __.. 7-:¿ bull ~~-ien TEMA 2. VARIABLES ALEJ\TORIES 2.39. Calcular el valor de la integral SO LUCIÓ : Dcfinim: 00 J e3 x'dx. o 3x 2 =~, llavors x2 =zfi per tant x=-J6 amb dx = ~ · 00 00 J . -3x'd 1 ¡;;--/ 1 d y"[; J3'r' e x = r;;Y21í ~ e ' dy = -P(Y >O)= - 0 v6 0 vh v'6 -6 011 Y es una v.a. amb llci X~ N(O, 1) 2.40. Suposem que la durada en minuts d'una trucada a !l ar ga distancia segueix un a llei expo nencial de param et re 1 /5 . Trabar la probabi li tat que la durad a d'una conversa: l. superi els cinc minuts; 2. est igui entre cinc i sis minuts; 3. sigui inferior a tres minuts; 4. sigui inferior a sis minuts sabent que es superior a tres minuts. 2.41. Suposem que X es distribueix uniformeme nt a l 'i nt erval [O , 5] . Dcfinim una nova v.a. Y t al que): '= O si X~ 1, Y=[) si X;::: 3, i Y = X altra111cnt.. Trobcu la fundó ele distribució ele Y. 2.42. Trobcu la func:ió de dmisit.at. el ' una v.a. \l uniforme en [ O, 1 J. I/U cs:·wut. U uua. v.a. 2.43. Suposeu que el radi d' un cercle és una v.a. amb funció de dcusilat f(x) = { !(3 x + !) s iü :Sx'.':2 altrament. Determineu la funció de densitat de l'area d'aquest cercle. 2.44. Suposeu que la v.a. X té per [unció de densitat f. Definim Y = aX + b (a f. O). Determineu la funció de de nsitat de Y. 2.45. Suposeu que la funció de dens itat de X és J(x) = { ~- x si X> Ü altrament Determineu la [unció de densitat de Y = ../X . 33 34 TEMA 2. VARIABLES ALEATÓRIES SO LUCIÓ: Sigui Y = JX t. q. X = Y2• Si dcfinim x = g(y) ens adonem que g'(y) = 2y. A¡ilicnnt la fórrnu.ln del canvi de variable fy(y) = fx( g(y) )g'(y), tindrcm que: /(:r) = { ~-Y'2y si y:;:: O a ltr ame nt 2.46. Suposeu que X té una distribució uniforme a l'interval [O , l]. ConstruYu una v.a. Y = r(X) que tingui per funció de densit at { 3 2 g(y) = gy si0<y<2 nltrament. 2.47 . Siµ;ui X una variable aleatoria amb di st .ribució uniforme a l'interval [ -1 , 1]. Trob"" la dcnsit.a.t. rlc Y= X2 i de Z = IX I. 2. 48 . Si gui X una variable aleatoria amb densi tat Trobeu la funció de distribució i la funció de densitat de Y = X2. 2.49. Consideren l'eqüació de segon gr an: ax2 -2bx + e = O on a, b, e son variables aleatories indcpcndents arnb la mat eixa ll ei uniforme a l'interval [O, 1]. l. Calculen la probabilit.at qu e les ar rels siguin r ea ls. 2. Calcnleu la probab ilit. at que la su ma de les du es a rr els sigui menor qu e u, sabe nt que l es a rr els so n reals. 2.50. El radi d'nn cercle es mesura aproximadament de manera que té una dist.ribució uniforme a l' int erval (a, b) . Trobar la dist.ribució de: 1. El p erí m et re de la ci rcumferencia; 2. L'ar ca rld cercle. 2. 51. Si X~ N(¡i, a2) , dernostreu que P( I X -¡i l :S 0.675 a) = 0.5. 2.52. Si X~ N( O,a 2) , cerquen la distribució de Y = IX 12.53 . Sigui T una v.a. exponencial <l e parllmetre (3. Sigui X la v.a . discre ta < l dinida c:o m sc~ n cix : X = h: si k :S T < k + l, pcr k = O. l , . . . . TrnlH 1 11 la. fm u: iú de proh a. hilit.a t. <10. X. S O~l'C! 2. 59. - 2 .60. - una~..:....- S igu: 2 "=2 ..- ~CO RLES . ;-Je .::::- .. . · ..-~zulu .! ]. e u. !!':1 ::"'.:--=~ una T..&. :.__~e ta TEMA 2. VARIABLES .4.LEATORIES 2.54. Suposeu que la v.a. X segueix una r(a, {3). Sigui e una constant positiva. Cerqueu la dietribució de la nova v.a. cX . 2.55. Suposeu que les v.a. X1, X2, . .. , Xk són independent.s i que X, segueix una distribució exponencial de pariunetre {3; (i = !, 2, ... , k). Dcfinim la v.a . Y= min{X 1 ,X 2, ... ,Xk). Cerqueu la distribució de la v.a. Y. 2.50 . Sigui X 1111a v.a. q1ll' s1!µ;1wix 1111a dist.ril ntcil'> dl! \Ndh11ll d1 ! parh1 11dn ! <l 1 escala a i <le for ma Li. Demostreu qu e la v.a. Y = x1i scgueix una llei exponencial amb mitjana aº . SOLUCIÓ: X - W(a , b) fx(x) = { tx" -1 e!7l' Si X> Ü altrament. Volem demostra r· IJ'UC mnb Y = Xº llav01·s Y - exp( ;!.. ) . Sigui x = g(y) = yt t.q. g'(y) = b~. Tindrcm la següent Junció de densitat: jy(y) = { t(yt)º-'e(~ ) ' tY~ si y > O al trarnent . Ara , simplificant aquesta ens quedara: jy(y) = { te (~) si y> O a lt ramcnt. 2.57. Sigui X una v.a. que segueix una ll ei exponencial arnb mit jana l. Demostreu qu e si a, b > O, la v.a. Y = (X /b)" segueix una di st ribu ció de Weibull de parclmetre d'escala b-ª i de forma l/n. 2.58. Trolwu la dc11sitat de l'ü.rca d' u11 ccrdc si el radi del mat.dx s <' g 1w ix 1111a llei cxpo n ctl< . .: ial a mU mitjaua 11L 2.59. Suposeu qu e X -B(r>, (!). Dc111 ost. r eu qu e 1 - X -B ({ i, n). 2. 60. Siguin X i Y ducs v.a . iuclcpcndcnts. Suposcm que X es cli st.ribucix com una uniforme en els cnters 1, 2, 314, 5 i Y co m una uniforme a l'interval (O, 5). Sigui Z un a v .a. definida de la següeut manera: {X Z = y Trobeu la funció de densi tat de Z. a mb probabilitat 0.5 amb prob a bilitat 0.5 35 36 TEMA 2. VARIABLES ALEATÓRIES 2.61. Sigui X una v.a. amb fundó de densitat f(x) definida com al problema ?? Definim la v.a. Y = part entera de X. Trobeu la funció de densitat de Y. 2 .62 . ':" ~- Ca!c 2. 6~ . 2.65. =- ~ ten::a :.e. =- ....... 2 .66 . :::_ :;:ae: den::JE ___ -~ \·é..:::e::~ 2 .6 7. Tr ~--- ~ o :. :..- ~- ,,- .. ~ :.. : ~ : _ _;, _ :- O RLES ;:::::.b:ema =.oée L TEMA 2. VARIABLES ALE.4TÓRIES 2.62. Sigui X una v.a. contí nua, amb funció de densitat f(x) = 1 +ax 2 -1$X$1, -1.,:; a$ 1 Calculeu E(X) i Var(X). 2.63. Una llista de n objectes esta ordenada aleatoriament; per a trabar un objectc donat.1 es busca seqücncialment fins a trobar-lo. Quiu l~s el uoml>rP esperat d'objectes que haureu1 d'inspeccionar, suposant que cada u11 d'ells és igualment probable d'ésser el cercat. (Qüestions d'aquesta natural esa esdeve11en en el disseny d'algoritmes d'onli11ador). 2. 64. Sigui )( uua v .a. uu uegativa i coutí uua, demostreu que E(X) = f "¡ 1 -F(x)]dx. 2.65. Suposem que dues loteries tene11 11 bitllets cada una i idéntic premi. En termes del guany esperat, és millar comprar dos bitllets de la mateixa loteria o comprar un de cada Joteria? 2.66 . Suposem que X ~ N(O, o2 ). Utilitzant Ja funció generadora de moments demostreu que els moments senars de X són zero i que els moments parells vénen donats per (2n)!a 2n p ,2n = 2 71 n! 2.67. Suposeu que X és una v.a. amb funció generadora de moments 1 - ·</J(t) = ;¡(3e1 +e 1) per - oo < t < oo. Trobeu la mitjana i la varianc;a de X. SOL U CIÓ: .. '( ) 1 (3 t -1) -1 E(X)=m 1 (X)=41 1 11 = 0=4 "-e 11=0-:;¡· Llavors, sabent que m2(X) = E(X 2) i V ar( X) = m2(X)-m1 (X)2, hem tic rnlrnlm·m,(X): Per tant m2(X) = 1/J"(t)¡ t=O = ~(3e' + e-'lit=O =l. Var(X)=1-G) 2 3 4 37 38 TE MA 2. VARIA.BLES ALEATÓRIES 2.6 8. S11pos<'1 1 que PI ra. di d' 11n r.crcle é-.c;; mrn v.íl. qiw f'P-R11eíx una. llei cxponcnci<d d" 111it..ia.na m. = (3/4ir)1i". l. Ca!culeu la proba.bilit.at que el radi <le! cercle sigui inferior a 0.43. Quin és el significat del valor r = 0.43? 2. Don en la funció de dens ita t. del vo lum del cercle . .3. Quina llei se1'ucix el volum del cercle i amb quins param etres? 2.6 9. Consider em la varia.ble al eato ria X que mesura el temps en minut.s que t ri ga a fo ll ar una !lanterna. Es coneix que segueix una ll ei exponencial de m itjan a l/ o. l. Trobeu la fund ó de densit.at. de la ,·ariable aleatoria Z = 3( 1 + X2 ). 2. Calculen la probabilitat que Z sigui al menys 10 hores2. 3. Caract.eri t.ze u la llci de la variable aleatoria U = Z -3. 2. 70. La funció ge neradora de mom ent.s d'u na vari ab le aleator ia X és de la forma: 1/;( t) = (0.4e1 + 0.6)8 l. Calcul en la funció generadora de moments de la variable a leatoria Y = 3X +2. 2. Calr.uleu E( Y) i Var(Y). 3. Quina llei de p robab ilit at segueix la v.a X? 2. 7 1. La dur a da T, en hores, d'un art.icle es di st ri bue ix segons una llei expo nencial de mit.iana 5 horcs. Al m esurar T es pot com et re un error E. Aqu est error E es pot s upos ar que es di strib ueix uniformem ent a l 'in terval [-0.01 , 0.01]. Si E i T són independents , trobeu la funció de dcns it. at del temps anotat en hor es E+T. 2. 72. Hem comenc;at una colecció de cro mo s que consta de n cromos difer ents . Com pre m els cro mos d 'un a un i el ven edor ens assegu ra que la p robabilitat d' obten ir un cro mo de qualsevol ti pus és la mat eixa . Qu ants cromos esp erem comprar per a co mpl etar la colecció? Calculen aquest val or per n = 10 . 2.73. La duració en bares, T, d' un tub electronic segueix una di stribució expo - nencial de mi tja na µ hores. A un dels co nt.rols de qualitat mostr egem un lot , fom funcionar (de fo rm a acceler ada) aq n ests t.ubs d nr a nt 30 minu ts i se leccion em com a bons aquells tubs que no s 'h an esp atllat durant la prava. 1. Calcnleu la fund ó de dist.ribució rlels t. nb s hon s. 2. Quina és la du ració esperada dels tu bs bons?. 2. 2. 75. ::. ·- ~a~ 3. 2. 7 6. _.¿' S ig-:.:.:: .: m0:::.c-~ - '.! . 3. de .. =-'- ~.;_ ~ O RI ES nen- '~ Quin , ~~:s que : :.C -=.::jana ,)_-. ,;;:; ¿e la --..;. }" ~::en  r , :_~~e::-ro r , •. -: ~~ : ~ .. :- (. Si -- =.::: !:!ores TEMA 2. V.4.RI.4.BLES .4.LE.4.TÓRIES 2. 74. Siguin T1, T2, T3, T4, T5 els temps de funcionament independent, en hores, de cinc components electróniques. S'ha demostrat experimentalment que la distribució d'aquests temps es comporta comuna llei de Weibull amb pariunetre d'escala 10 i parámetre de forma 2. 1. Posem una d'aqucstes components en funcionameut i es vol estudiar el seu comportament probabilí stic cada 3 hores. Es demarra que calculeu la funció de distribució i que l'evalueu en cls puuts 31 61 91 12, 10 , 18. 2. Es dissenya un sistema que posa en funcionament simultani les cinc components. Es demana que calculeu la probabilitat que el nombre de components que fallin entre g i 12 hores sigui com a maxim 3. És raonable pensar que el sistema fuuciouani dcsprés <le 12 }10rcs? 2.75. El temps d'espera en una cua d1un supennercat un dissabte al malí segueix una llei exponencial de mitjana 10 minuts. l. Si una persona arriba a la cua a les 11:10 i ja porta esperant 5 minuts, quina és la probablilitat que encara hagi d'esperar 5 minuts més coma mí nim? 2. El dissabte passat van arribar tres amics al mateix supermercat i van decidir fer la compra, i també la cua, per separat. Si denotem per T el temps d'espera total deis tres amics, determineu la funció generadora de moments de T i especifiqueu per quins valors esta ben definida. Quina llei segueix la variable aleatoria T? 3. Utilitzeu el resultat de l'apartat 2 per calcular, en hores, el moment centrat d'ordre 3. 2. 76. La funció generadora de moments d'una variable aleatoria X és la següent: <P(t) = (i _\ ;3) 10 per t < 3. Siguin X1, ... , X7 variables aleatóries independents i amb funció generadora de moments </i(t). l. Quina llei segueix la variable aleatoria X. 7 = X¡ +·7·+x,? 2. Calculeu E(X?}. 3. Quina transformació de .Y 7 la convertirí a en una variable aleatória que seguí s una llei x2? 2. 77. Donades dues variables aleatóries X i Y independents i id ent icam ent distribu! des amb funció generadora de moments <P(t) = e''+Jt - 00 < t < oo, definim la variable aleatoria Z = 3X - 4Y + 2. 39 40 TEMA 2. VARJABLES ALEATÓRJES l. Trobcu la funció generadora de moments de Z. 2. Calculcu l'csperan<;a i la varia ncia de Z. t 2.78. Estudiar la distribució d'una v.a. X que té tots els seus moments iguals: Quina con<lició verifica p? t 2. 79 . Considcrem les funcions 1 rp¡(t) = 2 - eª ' 1 rp2(t)=1+14 · l. Comproveu que rp 1 és la funció característica d'una llei discreta i calculen l'csperan~a i la varihncia cl1aquesta llei. 2. És rp 2 una funció característica? En cas afirmatiu calculeu l'esperan<;a i la variAncia <le la llei corresponent. t 2.80. Calcular la [unció caractcrbt . ica ele la clistribucío de Bernouilli i de la di stribució Binomial. Calculeu tamb é les esperances i variancies. t 2. 81. Siµ;ui X " "' ' '"ª· amb dist.r ib11ciú ele Cauchy. l. Calculen E(X) i Var(X). 2. Demost.reu que t també és Cauchy. t 2. 82. Siguin X1 i X2 <lues v.a. indc pe nde nts i normals de mitjanes µ1 i µ2 i de variancies af i ai. rcspectivament. l. Calculen la funció característica de la v.a. X1. 2. Calc11le11 la funció característica ele la v.a. Y= Xi -X2. 2.83 . Suposcu qu e X '" una v.a. discreta amb fundó generadora de moments 1 1f1( t) = ¡¡(4 +e'+ e1) per - oo < t < oo . l. Calculen l'espernnr;a i la varianr;a de X. 2. Calculeu la distribució de prob abili tat de X. 3. Don eu la fnnció generadora el e mom e nt s de la nova variable aleatoria \' = n + l1X . TD !...~ - ~- s o:..r.:c:: · A? .- .:._ :: -: P ee· A P. " -- =. ~ .- - ~ - Le _':.- e _ F.-~ - an ;; :. = -= P e:r '--" S1 :- ~ .,:-_: ~S TS J. e; 12. ;:::ub- .X _:.']..=~i -;:..: = ~ - 11" =-;:e:rle::its TEl\I.4 3. DISTRIIJUCIONS MULTIVARI.4NTS 3.12. Siguin Xi Y dues v.a.'s contíuues. La v.a. X es distribueix segons una llei 11uifonrw a l'interval [O, 10]. S1ohscrva X= :e i cu aquestes condicions la v.a Y es distribucix unifonnement a l'interval [O, x]. l. Duncu la funció de dcnsitat conjunta del vector (X, Y). 2. Calc.uleu P(X > l '). 3. Doneu la funció de densitat de la v.a. X+ Y. 3.13. Suposem que tres v.a. X1,X2,X3 definides a l'inter val [O , l] t cnen per funció de densitat conjunta f( X ¡ ,X2,x 3) = { ~X¡X2X3 si Ü <X;< l,(i = 1,2,3 ), altramcnt. Definim les noves variables Y¡ = X1, Y2 = X1X2 i Y3 = X1X2X3. Trobeu la funció de densitat conjunta de Y1, Y2, Y3 . SO LUCIÓ: Busquem el domini de les noves v.a. 's: X1 =Y¡ Ü < X1 < 1 B Ü <Y¡ < 1, ,. y2 O " O l' l' .~z = Vi < -'2 < 1 B < 2 < ¡, X3 = ~ O< X3 < 1 t-t O< Y3 < Yz , .Y2 per tant el 1wu dom ini és O < Y3 < l,.. 2 < Y1 < 1. Sigui J = D(X 1 ,X 2 ,X") = ( ' D(Vi ,Y2,Y3) -)'., Y,"1" o o 1 ~ Y, -i ), tal que 1 IJ I = y,y,· I'cr lant , f(y,, y,, !fJ) = Ri:1 J:2J : "IJI = 8y J/(yi:<Jz ). I'cr· t1mt la f 1m ciú de dcu.'iilut cunjuula és: { J!!tL f(y1,yz,y3) = /í'"' si O < Y3 < Y2 < Y1 < 1 altrament. 3.14. Siguin X i Y dues v.a. amb funció de de nsitat conjunta f(x,y)={ ~(x+y) Trobeu la fundó de densitat de X+ Y . si Ü ~X~ y~ 1 a lt ram e nt . 3.15. Siguin X y Y dues v.a. i.i.d. (independents i identicament distribu"i des) segons una exponencial de parametre (3 . Trobeu la fundó de densitat de X - Y. 47 48 TEMA 3. DISTRIBUCIONS MULTIVAR.IANTS 3. 16 . Siguin X y Y dues v.a . amb funció de densitat conjunta f(x 1) = { Bxy si O $ x $ y $ 1 'Y O altrament Definim dues noves v.a. U= X/Y i V= Y. l. Determinen la funció de densitat conjunta de U i V. 2. Són X i Y independents? 3. Són U i V independents? 3.17 . Signin Xi Y dues variables a leat ories independents, cadascuna amb distrilmció un iforme en l'interval (O , 1). Definim U = X+ Y, V= X -Y Trobeu J;¡ drnsitat de (U, V) i les densitats marginals. + 3.18. Sigui X unav.a . ambdist . ribucióuniformecn {0,1, . . . , n-1},i Y una variable alcat.c\ria indcpendent. de X amb distribució uniforme en [O , l ]. Trobeu li'\ fnnció de distribnció de X + Y. Trobeu la mitjana i la variancia de X + Y 3.19. Suposem que un dia determinat du es persones A i B arriben a un magat.zem de forma independent. La persona A es queda 15 minuts al magatzem i la B 10 minuts. Si el temps d 'arr ibada d'aquestes persones segueix una distribució uniforme entre les 9 i les 10 del matí , quina és la probabilitat que A i B coincideixin al magatxem? 3.20 . Les v.a. X, Y, Z tenen per densitat conjunta f( x z) = { 2 si O < x < y < 1 i O < z < 1 ' y, O altrament. Calcul eu la P(3X > Y l l < 4Z < 2) SOLUCIÓ: r,;=O 1:= ~ Í, ~t 2dzdxdy _ 1: = 01:=! tdxdy _ 1:=0 ~y dy _ 2 .r :=O .r :=x Í, ~ t 2dzdydx - 1:=0 .r: =x tdydx -J:= 0 (1 - x)dx - 3· 3. 21. Siguin X1 i X2 dues v.a . independents que segueixen una distribució G amma de pari11nct.rcs a i .X. Trobcu E(R 2) a on R2 = X? + X:f . 3.2 2. Tres va riables aleatories X1, X2, X, són una mostra (v.a. i. i.d .) d' una po\1Llf'it'1 1111ifor11w a l'i11l. f'rv al f:l. 1:11 . 0Pt.f•rmi11c11 rl valor de 3.2-L ~~ 3.25 . ::= ""'""" e e ~ .:.e :::.r:J '! . 3 3. 26. C:: elpr~~~~ .. acles<;'-" :::: - L 'es¡aC.,- --<== C¿..=- 2. C"--'- :.:~_z;_ ! _ \.TS ~ a:::b disr - ! . -: :-obeu . 1· una -::uheu a-:::X - \ ·. ~:l.= :nag - ~ 3 -:::..a ~::mció TEMA 3. DISTRIBUCIONS MULTIVARIANTS 3.23. Siguin X1 ,X 2 i X3 tres v.a. independents distribuY de s segons una llei Gamma de parametres (a 1, 1), (a 2, 1) i {a 3, 1) respectivament. l. Doneu la funció de densitat conjunta del vector aleatori (X 1 ,X 2 ,X 3 ). 2. Definim y _ X1 \'" _ X1 + X2 , _ \ \ • i - X1 +X,' ' - X1 +X,+ X,' 1 :i - • i +. '+ .\ ;¡. Doneu la fundó de densit at. co njunta del vector aleatori (Y 1, Y2, l'. 1 ). 3. Són les v .a . Y1 1 Y2 i Y1 mutuamcnt in dependents? 4. Quines Beis segueixen les v.a. Y1, Y2, i Y3? 3.24. Es llencen una serie de cohe ts fins qu e hi ha un ll e n,am e nt exit ós. Si aixo no succeix en cinc proves l'experime nt s'a t ura i s'inspecciona l 'e quip. Suposarcm que hi ha un a probabilit at cons tant i igual a 0.8 d'obt en ir un llen,amen t ex it ós i qu e les preves succesives són ind e pende nt s. El cost del primer ll e n~ ament és de [( millions de pessetes pero el cost.dels següents lle n,ament s és de K/3 millions de pessetes. Cada vegada que hi ha un llen,a menbt exitós s' obté una cert.a informació qu e es pot expressar com un guany de C millions de pessetes. Si T és el cost net de l'experime nt , trob eu la distribució de probabilita t de T. 3 .2 5. U na age ncia de compra - venta de cotxes paga una quanti ta t X (en centenars de milers de pessetes) per un c otxe usa t i el ven per u na qu an ti tat \'" (t a mbé en centenars de milers de pe ssetes). Suposem qu e Ja llei co n ju n ta de les vari ab l es ale atori es (X, Y) té per fund ó de densitat: f(x,y¡(x ,y) = { ~x si O '.Ó y '.Ó 6 al t ramen t. l . Calculeu la funció de Jen s itat co njun ta del vector aleatori (U ,\!) on U = Y - Xi V= 2Y. Precisseu a mb cl are dat el domini de definició de ( U,\!). 2. Dctcnuineu el guany mig en la compr a ~ vcnta de cotxes usats d'a qu esta aµ;C 11 cia . 3. Calculcu la fu nció de dens itat de la variable alcat.ilria Y rn ndicio nada a .\ i caract.P ritzl~11 la lk i w s 11l ta. ut. 4. Si el prnu de compra d' un cotxe és de 300.000 pe ssetes, quin és el g uan y mig, en pe sset es, al vendre'J? 3.26. Un esta dísti c ha de fer un tr eba ll que inclou diferents pro gra mes amb el progr am ar i SAS. Sigui X la va ri able aleatoria que indi ca el nombr e de vegades qu e ha de co mpil ar un progra ma SAS aba ns que funciona cor re cta m en t. L 'estadíst ic ob se rv a, qu e en te nu e mig , X val 3. l. Calculeu la fundó gen eradora de mome nt s de la variable X . 2. Ca lculeu l 'es p e ra n ~a i la varian,a de X fent se rvir l'apartat a). 49 50 TEMA 3. DISTRIBUCIONS MULTIVARIANTS 3. Si finalment la feina inclou 4 tasques independents i per cada una d'elles ha de compilar un programa SAS, calculeu la funció generadora de moments de la variable aleatoria Y, nombre de compilacions necessaries per acabar la feina. Caracteritzeu la llei d'Y. 3.27. Siguin Xi Y variables aleatories independents exponencials de parametre ,\, Definim les noves variables Z = X + bY i T = Y2 per b ;::: O. l. Identifiqueu la ll ei de T. 2. Calrnl<>11 l a. funci<'> ¡;rn1craclora de momcn t. s de Z 3. Trobe 11 un valor de b tal que Z segueixi una llei Gamma . 4. Calculen la funció de densitat conjun ta del vector aleat.ori (Z, T) . 5. Són independent.s les variables X+ Y i Y2? lndicació: Utilitzeu els apartats anteriors. 3.28. Sigui (X, Y) un vector aleatori amb densitat: ¡( ) { k(xy + ~ ) ·'"•Y = O Calculen P(Y < l IX <~). si (x, y) E [O, l][O, 2) altrament . 3. 29. Cornproveu que efect.ivament les rnarginals d 'una distribució normal bivariada són nonna ls. 3.30 . Siguin (X 1, X2) dues v.a. amb distribució conjunta normal bivariada. Definim dues noves v.a com segueix: i tals que A = ( n.1 1 a21 a12 ) an mnb IA.I i O. D<~mostn~11 qnr la r1istrilrndó conjunta de (Y 11 } ,.. 2) {•s normal bivariada. 3.31. Sip;uin (X 1, X2) <l 11 cs v.a. amb dist.ribució conjunta normal b iv ariada i l;iJs 'I"" \l ;i . r(.\' 1) = \l;i.r(.\'1) . n.,111<ist.r"11 fJ'"' i<'s v.a S = .\'1 +X, i D = .\'1 -.\' 2 s1 °)JJ ind1 ~ pc11d1~11ts . :~.;~2 . Sig11in (.Y 1• X2) d11 es v.a . amb dist.rihur:ió conjunta. normal bivar ia da. a.mb mitjatws Jt .1 i ¡1.2, varihncics af i aj i co rrcl ac ió p. Determinen la distribució de .\1 - 3X 2. TE.'.!..'. _ SOL L" - -C 3.33. :::-=- ·- m~ --:> :r - so :.. ::- - 3.35. " _......::. - Cova .: _:: : ] . 3 .36 . a da i...: d el". 3.37 . S:~- I' \o.ri ai..3. ~ - - 1 ' i u :e-' - ~ a l"! . .:::c..-~ ;, c.: - _?. ..:. -l .\"TS ~ :: e: esha iii. , ::1!- =.c;::: ents . ;e acab ar 1 ::e: ;a...-a.:::e tre - =..i.:---:::.a.! bib:::.2.. .:..--r-~-:.ada i -X, TEMA 3. DISTRIBUCIONS MULTIVARIANTS SO LUCIÓ : Si definim Y1 = X1 - 3X 2 i Y2 = X,, veient el problema {3.28) te nim que (Y 1, Y2) és normal bivariada. Utilitzant l'enunciat del problema {3.27) sabem que les marginals Y¡ i Y2 d'una Normal bivariada, són Normals. Calcul em l'esperanra i la var·ianra rlY1 : E(Y¡) = E(X 1 - 3X 2) = E(X ¡) - 3E(X2) = ¡t1 - 3¡t2 \lar(Y¡) = E((Y¡ )2)-(E(Y¡ ))2 = E((X 1 - 3X 2 ))-(E(X¡) - 3E (X2))2 = E(Xf) - 6E(X 1X2) + 9E(Xf) -E ( Xf ) + 6E(X1)E(X2) - 9E ( X2f = V ar( X¡)+ 9Var(X 2) - 6Covar(X 1X 2) =o[+ 9o:j -6po,o2. Per tant Xi - 3X 2 - N(µ¡ - 3µ2,0[ + 9oi -6po¡o2) 3.33. Sigui X - N(O, 1), i Y J X - N( 2X - 3, 12). Determineu la distribució mar gina l de Y i la correl ac ió ent re X i Y . 3.34. Siguin X i Y v .a. indep en d ents amb la mateixa varian~a. Calculeu Covar(X + Y,X -Y). SO LUCIÓ: Covar(X +Y, X - Y) = Covar(X, X - Y)+ Covar(Y, X -Y) = Covar(X , X) - Covar(X, Y) + Co v ar(Y, X) -Cova r(Y , Y) = Covar( X ,X) - Covar(Y, Y)= \lar(X) - Var(Y) =O 3.35. Siguin X, Y, Z tr es v.a . tal s qu e Va r(X) = 1, Var(Y) = 4, Var (Z ) = 8, Covar(X , Y) = 1, Covar(X, Z) = - 1, Covar(Y ,Z ) = 2. D ete rmin eu: J. Va r(X + Y + Z) . 2. Var( 3X -Y -2Z + 1). 3.36. Sigui (X, Y) un vector al cato ri que segueix una distribució nor mal bivariada de pa rll.m etr cs t Lx , ¡t 1 ? , a~ , a~ ? ,p. Dem ost reu que Ja <listribudó co ndicioual de Y, cloua.t X = x, és la distrilmció no rm al de mitjana ¡i. = ¡ty + p;;(x- ¡_1, x) i de varian~a o;= o~(l -p2 ). 3.37. Sigui (X, Y) un vector al eato ri qu e segueix una di st ribució n or mal bivariada de parám e tr es ¡1x = 40, µy = 20, o~ = 9, o~ - = 4 i p = 0.6. Trob eu l' int erva l rn és curt ([a, b]) tal que la p rob abilit at condicion ada de qu e Y pe rt anyi a l' interva l ([a, b]) don at que X = 22 sigui igual a 0.90. 51 G2 TEMA 3. DISTRJBUCIONS MULTIVARJANTS 3.38. U11a cnginycrn geologa vol explorar un jaciment. tal que la seva projecció sobre la superficie terrestre pot considerar-se el.lí ptica, amb semieixos a i b, a > b. Sit.uant !'origen de coordenades al centre de l'el.lipse i orientant adequadamcnt els eixos, aquesta té per eqüació x2 /a 2 + y2 /b 2 = l. L 'estrategia de mostreig exigeix s ituar punts de mostreig (X, Y) sobre el terreny de manera que la scva dc11sit.at. corrcspongui a una distribució normal bivariant amb parametres ¡1 .x = O, /'1 ' = O, <T}. > O,"}. > O i coeficient de correlació poblacional PXY =O. l. Det.ermineu la llci de la variable aleatoria '!: + ~. "x "Y 2. Det.ermi11cu u11a possible solució pels valors de <T}. i "~' de forma que la probabilitat que un punt de mostreig caigui dins l'el.lipse sigui igual a 0.90. 3. 39 . Sigui T = ¿::::~=! kXk is=¿::::~=! xk , a on les xk són V.a . independents de mitja.na Jt i variarn;a a2. l. Calculen E(T) i Var(T). 2. Calculen la covarian~a i la correlació entre S i T. 3. 40. Sigui11 X1, ••• , X., v.<t. indcpendcnts amb fnnció de dist.ribució F1, . • • , F., i densitats J.y 11 • .• ,fxn respectivament. Siguin .1\'"(n) = max{X 1, .. . ,Xn} i X¡I) = min{X 1, ... ,X.,}. l. Calcul en les funcions de distribució i de densitat de X¡.,1 i de X¡ 1¡ a partir de les dist.ribucions i densitats de X1, ... , X.,. 2. Idcm si les v.a . son identicament distribuides. 3. 41. Suposem que F és una fundó de distribució contí nua sobre R; i siguin cr 1 i cr 1 rlos nombres tals que F(cr¡) = 0.3 i F(cr2) = 0.8. Seleccionem 25 ohscrvacions a l'atzar <le la distribució que té F per funció de distribució. Quina (•s i<l prohahilitat que sis deis valors obscrvats sig11in més petits que 0 11 deu (~st.iguit1 (~11tw n1 i 0 21 i 11011 deis valors ohscrvats siguin supcriors a o. 2 .? 3.42. Tcnim un rlau no equilibrat.. La probabilit.at que aparegui la cara i quan es fa ro<lar es denota per p;. Suposem que p¡ = 0.11, P2 = 0.30, p3 = 0.22, )J.1 = 0.05, ¡1, = 0.25, p6 = 0.07. Aquest dau es llen~a 40 vegades. Denotem per X 1 el nombre de cares parelles que apareixcn i per X2 el nombre de vegades que surt un 1 o un 3. Calculeu la P(X1 = 20 , X2 = 15). 3.43 . Siguin X1, •.. , Xn v.a.'s inclependents i dist.ribuicles segons una llei de \Vdhnll(n,¡3). Trohen la fundó de dcnsit.at del X¡ 1) = min{X¡, . . . ,X.,} 3.44 . El t. emps total que un camió hi és al magatzem esta definit per una varia bl e al eator ia X. Sigui Y la variable temps d'espera en la cua, i Z el temps de descárrega (X = Y+ Z). La distribució conjunta de (X, Y) és: !( ) _ { 0. 25 exp { -0.5x} x,y -O siO'.Sy'.Sx<oo altrament. 3 3A5 . = -T '.! 3 . .: 6. 2. 3 - - • o:.: . .-CL ::cú .. 'E..-l .\" TS JPl3. ¡-ro }ecció =.ei:x:E ~ i b. ·--: arl e- =~G-"::e tres ~ ::cy =o. A! i:r=...s. ~.Je la '! E: == i2.1al a .~éen ts . . Fn . \. '1} i ;;. ;>artir ~ a...~1 quan ~ = 0.22. ~ ~ -=~ per --:."~r.sque ~ :.!ei de ·. ~;;e: una .; e:: :c:nps ... . TEMA 3. DISTRIBUCIONS MULTI V.4. RIANTS l. Calculeu el temps mig total que el camió rornan al rnagatzern. 2. Calculeu el ternps mig de descarrega. 3. Idcntifiqueu les lleis que segucixen les variables X, Y i Z. 4. Estudieu la independencia entre els següents parells de var ia bles al eator ies: Xi Y, Xi Z i Z i l', 5. Calculeu el coeficient de corrclació entre el temps tota l i el tcmps d'espera en la cua . 3.45. Siguin U1, U2, U3 v.a. independents i uniformes a l'interval [ O, l] . l. Trobeu la funció de densitat conjun ta de U1, U2, U3. 2. A una autopista hi han tres gasolineres disposades aleatoriament i independ e ntm ent al llarg d'un quilom et re. Quina és la probabilit at que no hi hagin dues gasolineres situades a una distanc ia in fe ri or a 1 /3 Km.? 3.46 . Si U1, •• • , Un són v.a. uniformes a l'in terva l [O, l] i independents, trob eu: l. E(U(I¡) i E(U(nJl 2. E(U(nl - U¡l)) 3. E (U¡ k¡ -U (k1)) a on Uw indica el j-essim estadístic d'ordre . SOLU C IÓ: 53 TEMA 3. DISTRIBUCIONS MULTIVARIANTS Al'AflTAT 1: Sigui f(tt) = 1¡0,q(tt) amli i per· tant r {º six:SO F(u) = f_ 00 f(tt)du = x si O :S x :S 1 altrament, 1 - F(u) = { ix si X '.S Ü siü:Sx:Sl altrament, llavors si es dcfineix fu¡l)(tt) = nf ( u)(l - F(u))n1, tenim que fu(l¡(n) = n(l - x)" -11¡0,1j(n), amb l oo 1' 1 E(U(I¡) = u,J( n)du = nu(l - 11 .)"-1du = nf3(2,n) = -- , -oo o n + 1 on (3(p, q) = J01 ¡v1 (1 - t)q-t dt = W/,~ ~j) . De mrmem similar, si rlefinim fu¡n¡(u) = nf(u)(F(u)) "- 1 = nu" -11 ¡0,11(u) es pot com71rovar que loo n E(U¡n¡) = ufu(n )(u)dtt = -- 1. -oc n + APARTAT 2: APARTAT 3: Sigui llavor ·s n-1 E(Urnl -U(I¡) = n + 1 ( ) (' n! k-' (l )"- kd _ _ k E u(! •) =lo (k - l)!(n -k)! l¡o,!]U - 1L " - ••• -n + 1' i per trmt 1 E(Ur¡,1 -Urk-1)) = n + 1. TE.. '.!.~ - 3.47 . :-, . -- - = 3 3...1 9. s_ ~ es&:..-....:~.:.. :::.:!Ljc. \TS ... _..~ que .. -- -1 k-1 " - k)! ¡o,qu (1-ur - \ e = -: - 1' TEMA 3. DISTRIBUCIONS lVIULTN4RI.4NTS 3.4 7. Els investigadors Lieblein i Zelen varen cornprovar, després de no rn brosos assajos de laboratori, que el nombre de revolucions (en rnilions) fins a la fallada de coixinets de boles seguia una llei de Weibull. A un laboratori d'automoc ió valen decidir-se entre dos tipus de coixinets, que anmnenarern tipus A i ti pus B, i per aquest rnotiu els analitzen independentme nt i estimen que els p ara metres d 'escala són respectivament °'A = 80 i aa = 100, i els parametres de forma són respectivainent f3A = 2 i {3 8 = l. Els tecnics del laboratori pensen que fóra interessant assajar amb dos coixinets simultilneament, perü, abans de dissenyar un nou prototipus, demanen a l'estadístic del laboratori que els ajudi a estudiar el compo rt ament probabilístic del temps de fa ll ada mí nim, U ,, i mitxim, U2, entre els dos ti pus A i B. l. Calculeu la funció de distribució de U1 i U2 . 2. Quiua és la probabilitat que el temps de fallada mínim sigui iuferior u 80 milious de revolucions? Quina és la probabilitat que el temps ele fallada mil. xim sigui inferior a 80 milions <le revolw.:iom;"! 3. No satisfets amb cls resultats de l disseuy comp artit tipus A-tipus Il, d"- cideixen prova.r amb dos coixinets del mateix tipus. Cara.cteri tz eu les ll eis de Vi i U2, iIIdi cant a quina família pe rtayen si aquesta. és coneguda, si posen dos coixinets de tipus A. 3.48 . Una professora de la FME agafa habitua lment l'autobu s número 7 entre les 8:00 i les 8: 15 del vespre. Segons diu aquest autobús triga molt en passar. Pe r aquest motiu !'espera 5 minuts coma maxim. Passada aq ues ta estona sense senyals de ! 'a utobús decideix utilit zar el metro. Per averiguar si l' esmentada professora té a° no raó hem an at a la pa r ada del 7 i hem averiguat que entre les 8:00 i les 8: 15 del vespre d'un dia laborable només arriba a l 'atza r un únic autobús. Aquest autobús roman a la parada durant 8 minuts. A partir d 'ara treballeu sota l'hipotesi que existeix un únic autobús que arriba entre les 8:00 i les 8:15 a aq u esta parad a, ésa dir, que Prob{autobús arribi entre les 8: 00 i les 8: 15} =l. Demanem: l. La probabilitat que la professora arribi abans que ! 'a utobús; 2. La probabilitat que quan la professora arribi ja hi sigui !' aut obús; 3. Supo sa nt que la professora ja esta asseg uda a !'autobús espe rant a qu e a qu est inic!i el seu reco rr eg ut , la probabilit at que la professo ra ha gi arrib at abans que !'autobús; 4. La probabilit at que la professora acabi agafant el metro. lndicacions : Pot esser útil que definiu una variable aleatoria T pel te mps d'arribada de /'autobús i una altre Y pel temvs d'arribada de la v ro fessora i que pe ns eu sobre quina és la distribució de cada una d 'e lles. Pot ésser clarificador que revres en teu cada un deis esdeveniments, pe ls quals es de - mana la probabili tat , en un plot d T versus Y . 3.49 . Suposeu qu e el coc fici e nt d' intel·ligencia (CI) deis alumnes d'E sta dí st ica es distribueix norma[ment amb mitjana 120 i variarn;a 150. ;j[ ) 56 TEMA 3. DISTRJBUCIONS MULTIVARIANTS l. Si una classe de 50 alumnes es seleccionada a l'atzar, quina és la probabilitat que el coeficient d'intel·ligencia mig sigui superior a 125? 2. Si seleccionem dos grups de 50 estudiants a l'at.zar, quina és la probabilitat que el coeficient mig de les dues classes difereixi en més de 5 punts? 3. Necessitem 5 estudiants per formar un equip per participar en una olimpíada estadística. Anem entrevistant estudiants fins a obtenir 5 amb CI més gran que 125. Calculen la probabilitat d' ha v er d'entrevistat 11 estudian ts . t 3.50. Tircm una moneda t.rcs cops. Dcsignem pcr X el nombre de cares que han sortit, i per Y el valor absolut de la diferencia entre el nombre de cares i r!e creus. Troheu la dist.ribució del vector aleatori (X , Y), les distribucions marginals de X i de Y, i l'esperan~a de X.Y. + 3.51. Siguin X i Y variables aleatories independents amb distribució expo·· nencial de parametre .X i I' respectivament. Definim U = min(X., Y) , V = l¡u =X }· Trobeu la llei conjunta rle (U, V) . Trobeu la distribució de U i V. Són U i V independe nt. s? 3.52. Agafem un nombre X a l'atzar a l'interval (O , l]. Fixat X , triem un nomhrc Y a l'atzar en l'interval [X , l] . Determineu: l. La llei conjunta de (X, Y) i la llei de Y. 2. El valor mig de X.Y. 3. La llei de X condiciona da per Y TE_ D Al rn os c on m:::~ -· si·.~-~ J 4.5. -= - =- ·- - l. C•