ACOTACION
DE
LA
PROBABILIDAD
DE
ERROR
EN
UN
SISTEMA
DE
. TRANSMISION DIGITAL
POR
FIBRA OPTICA
R. AGUSTI, G. JUNYENT
Depa amen o
de
Comunicaciones.Uni e sidad
Poli-
~cnica
de
Ba celona
ABSTRACT.-
Dans
ce
papie ,
on
a
ob enu
des
bo nes
in e-
ieu e
e
sup~d.eu e
de
la
p obabili
~
d
'e eu
pa
sym
bole
dans
un
..
sys eme
de
ansmission
num~ ique
pa
Fib e
Op ique.
Pou
eel~,
nous
a ons
employ~
une
simpli ica ion
de
la
m~ hode
exhaus i e
qui
pe me
de
connai e,
pou
chaque
message
ansmis,
la
aleu
de
l'in e ~ ence
in-
e symboles
e
du
b ui
de
g enaille.
L'app osima ion
gaussienne
su
le
b ui
de
g enaille
pe
me
une
~duc ion
consid~ able
du
emps
de
calcul.
-
La
p ~cision
su
la
p obabili ~
d'e eu ,
mesu ~e
pa
l'e
ca
en e
les
bo nes
sup~ ieu e
e
in ~ ieu e,
augmen e-
a ec
le
nomb e
de
symboles
du
message
num~ ique
p is
en
como e.
En in,
les
~sul a s
ob enus
pe me en
de
d~ e mine
l'es
pacemen
des
~p~ eu s.
INTRODUCCION.
255
En
es e
abajo
se
ha
desa o
llado
un
m~ odo
pa a
calcula ,
con
una
exac i ud
su icien e,
la
p oba
bilidad
de
e o
median e
una
aco=
aci6n
supe io
e
in e io
de
la
misma,
con
un
iempo
de
calculo
e
la i amen e
peque io.
Ello
pe mi
e-
exp esa
la
p obabilidad
de
e o
de
una
o ma
muy
sencilla
_
en
un-
ci6n
de
odos
los
pa ame os
del
sis ema,
asi
coma
op imiza los
con
el
in
de
op ene
una
dis ancia
en
e
epe ido es
maxima.
A
la
salida
del
codi icado
de
li
nea
exis e
un
mensaje
digi al
A
que
modula
a
un
Diodo
Lase
o a
un
Diodo
Elec oluminiscen e,
el
cual
inyec a
a
la
ib a
una
po encia
6p
ica,
Pi( ),
dada
po :
-
ESTUDIO
ESTADISTICO.
La
ig.
- 1 mue·
s a
el
diag ama
de
bloques
simpli icado
de
un
sis
ema
ac ual
de
ansmisi6n
digi al
igu a
1
Pi
( )
=
:..
an
P1
h1
( -nT)
n=-co
hl
( )
~
1
Debido
a
que
la
ib a
se
compo a
coma
un
canal
lineal,/
1
/,
la
po
encia
6p ica
a
su
salida
es:
-
P
( )
=
Pi
: l* hz
( )
= .
an
Po
h ( -nT)
n:=-ao
·
Donde:
256
Po = P1 -
A enuaci6n
de
l a
ib
a
h ( )
h1( )*
h2( )
Respues a
impulsional
de
la
i
b a.
De
/2/,
la
co ien e
gene ada
po
el
o odiodo
de
a alancha
iene
da
da
po :
CO
i( )=
qL%!
c5( - ml
I!F""'
q=
Ca ga
el~c ica
del
elec 6n.
~( )
=
Funci6n
gene alizada
del a
.
gm}
=
Secuencia
de
a iables
ale~
o ias
independien es
que
ep esen
an
la
ganancia
de
cada
po ado
-
po
choque-ionizaci6n.
m) =
Secuencia
de
ins an
·
es
de
.
iempo
en
los
que
son
gene ados
los
po ado es
de
ca ga.
La
secuencia
~ m
sigue
una
es a-
dis ica
de
Poisson,
siendo
el
nu-
me e
medio
de
po ado es
po
uni-
dad
de
iempo,
X
( ),
p opo cional
a
P( ):
).( l
=
....§...
P( l+
Ao
q
Donde:
S =
Sensibilidad
del
o odiodo
~0
=
~
q
Io
=
Co ien e
de
Obscu idad
del
o odiodo.
El
p oceso
.
alea o io
a
la
en ada
del
mues eado
es:
.
00
y(. )=
i( )•
h3( )=
q[:,
~
h3( - ml
(1)
I!F"CD
h3( )
=
Respues a
impulsional
del
ampli icado
+
ci cui o
equi alen
e
de
pequena
senal
del
o odiodo.
La
exp esi6n
(1)
la
podemos
descom
pone
como:
y( )=E[y( )]+s( )
(2)
De
/3~:
_
00
E [ y
( l)
=
SM
Po
L.
an
h ( -nT) (3)
n=-co
Donde:
M = E [
gm]
=
Ganancia
de
Mul
ipli-
caci6n.
h( )
=
h ( )*
h3( )
j:3
( )
d
= 0
·CD
De
(3),
se
deduce
que
el
alo
me-
diose
compo a
como
la
'
senal',
siendo
s( )
=
y( )
- E
[y( )]
el
R
uido
Sho
del
ecep o .
De
/4/
,
s(
)
se
puede
ap oxima
po
una
es
ad s ica
gaussiana
de
m
edia
ce o
y
a ianza:
J
2
( )=
E
[s2( ))
=
q2
E
(g
2) }.( )O'
h
~(
)
s
= q
sE
[g2]
Po [
~
hn( -mT)+
I!F
"
CX>
+ q E [
g2)
Io
BN
Con:
2
hn
( )
=
h
( )
*'
h3
( )
1 J
=
1.}~
( )
d
.
De
/5/,
E [g2]
iene
dada
po :
E[gl
~
M2
F(M) 1
F(M)
=KM+
(1-k) ·
(2-
M)
=Fac o
de
Rui
do
en
exceso
del
o odiodo.
K =
Cons an e
del
o odiodo.
Si
a
la
exp esi6n
(2)
le
anadi nos
el
Ruido
Te mico,
~( ),
del
ecep o ,
la
exp esi6n
gene al
del
p oceso
y( )
es:
Cl>
y( )
= s M
Po
"[ an
h( -nT)
+
n( )
(4)
n=-oo
Siendo:
n( )
=
s( )
+
~( )
nT( )
=
P oceso
alea o io
gaussiano,
es a-
.
ciona io,
de
edia
ce a
y
independien e
del
!TEl1saje
A .
E [n2
( )]
=
o-~
T
s( )
=
P oceso
alea o io
gaussiano,
no
es-
aciona io,
de
media
ce o
y
es ad s icamen
e
dependien e
del
mensaje
A.
-
CALCULO
DE
LA
PROBABILIDAD
DE
ERROR.
Si
en
el
ins an e
o
se
mues ea
el
s mbolo
ao,
se
deduce,
(4),
:
y( ol
= s M
Po
a0
h( ol
+ s M P0w + n0
(5)
Donde:
<X>
I
w =
'[
an
h( o-nT)
n=-oo
eo
-oo
oo
L.'=L+L
n=-oo n=-1
n=1
n0 =
n( ol
In e e encia
en e
s mbolos
Las
p obabilidades
condicionadas
de
e o
ienen
dadas
po :
P(e
/
0)
= P(w + n0) D/ao =
0)
(6)
P(e,/1) =
P(w+
n'
.::- [
h(
0
)-
D]
I ao =
1}
- 0
(7)
Con:
D'
= s M Po D = Umb a!
de
decisi6n
n0 =
no/(S
M Po)
En
(5)
se
ap ecia
que
an o
la
In e e~
cia
en e
Sllnbolos
com:::J
n'
Cl.epo..nden
de
o
dos
los
sllnbolos
ansmi~idos.Se
puede l
si npli ica
los
calculos
conside ando
so-
lamen e
los
s mbolos
~
p 6ximos
al
mues
eado,
(a_N1'
...
,
a_
1, a0, a1,
...
,
~
2
),
ob eniendo
una
co a
in e io
y
supe io
de
la
p obabilidad
de
e o .
Pa a
calcula
di
chas
co as,
se
au en an
los
ndices
N1
y-
N2
has a
que
el
e o
pa
uncamien 6
del
mensaje
sea
desp eciable.
pa a
ello
se
d~
inen
las
siguien es
a iables
alea o ias:
=
N2
,,
L.
an
h( o-nT)
n= -N1
1 = ~
an
h( o-nT)
n)
N2
n<
-N1
De
(6)
y
{7),
las
J? obabilidades
de
e o
son:
P(e/0)=
P(
+ n0
>
D-
l/a
0 =
0)
P(e/1)
= P {
+n
0
<-
[h(
0
l-D]
-l/a
0 =
1)
Si
L
es
una
co a
supe io
de
1 :L
'),I
1 I ,
esul a,
[61 , :
P _
(e/0)
~
P
(e/0)
~
P +
(e/0)
P_(e/Ol
= P
( +n
0
"?.
D+L/a0 = o)
M-1
[
= L
.1...
e c
D-
(m)
+L 1 P
(m)
I!FO
2
-./2
c s,o
,m
M-1
[
P
(e/0)
= L
.1...
e c
D- {m)-L
) P(m)
+ IlFO 2
{2
<T:i:,o
,m
P _
(e/1)
~
P
(e/1)
~
P~(e/1)
M-1
1
[h(
0
)-D+ (m)+L)
P_(e/1)=L
2
e c
P(m)
I!FO
-,[2
U.s'
1
'
,m
M-1
1 [
h(
0
)-D+ (m)-L
J
P+(e/1)
=L:
~ c
P(m)
IlFO
{2
<T '
1
',m
Donde:
11
= 2
(N1
+
N2)
N2
(m) = L 1
am,i
h(
0
-iT)
i=-Nl
257
(a
-N
.•.
a.
1
,a
1,
...
, a N ) =
Secuen
m,
J!
1
m,-
m,
m,
2 -
cia
que
co esponde
al
n :i e o m
exp esado
en
bina io.
2 2
GS,o,m
= Bo(m) +c;-T
2 2
GJ:,o,m
=
Ao
(m) +
OT
2 .2
OS,1,m
=
B1
(m)
+~TT
2
+~
Cl!,1,m
=
A1(m)
T
N2
AQ(m)=q
M2
F(M)
s Po L 1 a . h
(
0
-iT)
+
i=-N1
m,J. n
+ q
M2
F(M)
Io
~
A1
(m)
=
AQ
(m)
+q
M2
F
(M)
Bo
(m) =
Ao
(m) +q
M2
F
(M)
s Po
hn( ol
_
s Po
~
hn< o-iT)
i'>N2
i<-N1
B1
(m)
= A1
(m)
+q M
2 F
(M)
s Po L
hn
( o-iT)
i>N2
i<-N1
P(m) =
P obabilidad
del
mensaje
m.
CAI.CUIO
DE
IA
DISTANCIA
ENTRE
REPETIDORES.
De
las
an e io es
exp esiones
se
ob ie
ne,
pa a
unas
de e minadas
p obabilidades-
de
e o ,
el
alo
de
Po
en
unci6n
de
la
dis ancia
L. Con
lo
cual
la
dis ancia
en-
e
epe ido es
iene
que
e i ica
la
-
si
guien e
desigualdad.
-
p1
dBm
-cl L
~
Po
(L)
dBm
elF=
A enci6n
a
la
ib a
(dB/Km)
RESULTADO
DE
IA
SIMUIACION
• .
Da os:
-
Velocidad
de
ansmisi6n:34
y 140
Mbi /s
-
Codi icaci6n
:RZ
(SO%)
-
Funci6n
de
ans e encia
de
la
ib a
1/7/1:
H2( l =
exp
l-1 <-~
0
l
2
)
l =Ln2
-cl.
o
=
o1·
L
-
Funci6n
de
ans e encia
del
eceJ? o :
Bessel.
-
Recep o
op imizado
desde
el
pun o
de
is a
de
Ruido
T&m.ico,
M:Sp :ima
, Umb a!
258
6p imo,
ecuencia
de
ca e
del
ecep o
6p i na y
ins an e
de
mues eo
6p imo.
-
P(e/0)
=
P(e/1)
=
10-
9
-
Ampli icado
:
igu a
2
igu a
2
-
Fo odiodo,
8
Fo odiodo
de
a alancha
(APD):
~
=
0.8~,
5=0.5816, K=0.02,
Io=10~
Fo odiodci
sin
e ec o
mul iplica i o
(PIN)
:
M=1,
F(M)=1, Io=10nA
Pa a
dichos
da os
el
esul ado
de
la
si-
mulaci6n
iene
dado
en
la
igu a
3 , donde
Po
es
la
po encia
6p ica
necesa ia
pa a
ene
una
p obabilidad
de
e o
de
10-9
en
unci6n
de
la
dis ancia
L.
,
...
..
,
. ' .
..
•
...
..
L
igu a
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