Acotación de la probabilidad de error en un sistema de transmisión digital por fibra óptica

ACOTACION DE LA PROBABILIDAD DE ERROR EN UN SISTEMA DE . TRANSMISION DIGITAL POR FIBRA OPTICA R. AGUSTI, G. JUNYENT Depa amen o de Comunicaciones.Uni e sidad Poli- ~cnica de Ba celona ABSTRACT.- Dans ce papie , on a ob enu des bo nes in e- ieu e e sup~d.eu e de la p obabili ~ d 'e eu pa sym bole dans un .. sys eme de ansmission num~ ique pa Fib e Op ique. Pou eel~, nous a ons employ~ une simpli ica ion de la m~ hode exhaus i e qui pe me de connai e, pou chaque message ansmis, la aleu de l'in e ~ ence in- e symboles e du b ui de g enaille. L'app osima ion gaussienne su le b ui de g enaille pe me une ~duc ion consid~ able du emps de calcul. - La p ~cision su la p obabili ~ d'e eu , mesu ~e pa l'e ca en e les bo nes sup~ ieu e e in ~ ieu e, augmen e- a ec le nomb e de symboles du message num~ ique p is en como e. En in, les ~sul a s ob enus pe me en de d~ e mine l'es pacemen des ~p~ eu s. INTRODUCCION. 255 En es e abajo se ha desa o llado un m~ odo pa a calcula , con una exac i ud su icien e, la p oba bilidad de e o median e una aco= aci6n supe io e in e io de la misma, con un iempo de calculo e la i amen e peque io. Ello pe mi e- exp esa la p obabilidad de e o de una o ma muy sencilla _ en un- ci6n de odos los pa ame os del sis ema, asi coma op imiza los con el in de op ene una dis ancia en e epe ido es maxima. A la salida del codi icado de li nea exis e un mensaje digi al A que modula a un Diodo Lase o a un Diodo Elec oluminiscen e, el cual inyec a a la ib a una po encia 6p ica, Pi( ), dada po : - ESTUDIO ESTADISTICO. La ig. - 1 mue· s a el diag ama de bloques simpli icado de un sis ema ac ual de ansmisi6n digi al igu a 1 Pi ( ) = :.. an P1 h1 ( -nT) n=-co hl ( ) ~ 1 Debido a que la ib a se compo a coma un canal lineal,/ 1 /, la po encia 6p ica a su salida es: - P ( ) = Pi : l* hz ( ) = . an Po h ( -nT) n:=-ao · Donde: 256 Po = P1 - A enuaci6n de l a ib a h ( ) h1( )* h2( ) Respues a impulsional de la i b a. De /2/, la co ien e gene ada po el o odiodo de a alancha iene da da po : CO i( )= qL%! c5( - ml I!F""' q= Ca ga el~c ica del elec 6n. ~( ) = Funci6n gene alizada del a . gm} = Secuencia de a iables ale~ o ias independien es que ep esen an la ganancia de cada po ado - po choque-ionizaci6n. m) = Secuencia de ins an · es de . iempo en los que son gene ados los po ado es de ca ga. La secuencia ~ m sigue una es a- dis ica de Poisson, siendo el nu- me e medio de po ado es po uni- dad de iempo, X ( ), p opo cional a P( ): ).( l = ....§... P( l+ Ao q Donde: S = Sensibilidad del o odiodo ~0 = ~ q Io = Co ien e de Obscu idad del o odiodo. El p oceso . alea o io a la en ada del mues eado es: . 00 y(. )= i( )• h3( )= q[:, ~ h3( - ml (1) I!F"CD h3( ) = Respues a impulsional del ampli icado + ci cui o equi alen e de pequena senal del o odiodo. La exp esi6n (1) la podemos descom pone como: y( )=E[y( )]+s( ) (2) De /3~: _ 00 E [ y ( l) = SM Po L. an h ( -nT) (3) n=-co Donde: M = E [ gm] = Ganancia de Mul ipli- caci6n. h( ) = h ( )* h3( ) j:3 ( ) d = 0 ·CD De (3), se deduce que el alo me- diose compo a como la ' senal', siendo s( ) = y( ) - E [y( )] el R uido Sho del ecep o . De /4/ , s( ) se puede ap oxima po una es ad s ica gaussiana de m edia ce o y a ianza: J 2 ( )= E [s2( )) = q2 E (g 2) }.( )O' h ~( ) s = q sE [g2] Po [ ~ hn( -mT)+ I!F " CX> + q E [ g2) Io BN Con: 2 hn ( ) = h ( ) *' h3 ( ) 1 J = 1.}~ ( ) d . De /5/, E [g2] iene dada po : E[gl ~ M2 F(M) 1 F(M) =KM+ (1-k) · (2- M) =Fac o de Rui do en exceso del o odiodo. K = Cons an e del o odiodo. Si a la exp esi6n (2) le anadi nos el Ruido Te mico, ~( ), del ecep o , la exp esi6n gene al del p oceso y( ) es: Cl> y( ) = s M Po "[ an h( -nT) + n( ) (4) n=-oo Siendo: n( ) = s( ) + ~( ) nT( ) = P oceso alea o io gaussiano, es a- . ciona io, de edia ce a y independien e del !TEl1saje A . E [n2 ( )] = o-~ T s( ) = P oceso alea o io gaussiano, no es- aciona io, de media ce o y es ad s icamen e dependien e del mensaje A. - CALCULO DE LA PROBABILIDAD DE ERROR. Si en el ins an e o se mues ea el s mbolo ao, se deduce, (4), : y( ol = s M Po a0 h( ol + s M P0w + n0 (5) Donde: <X> I w = '[ an h( o-nT) n=-oo eo -oo oo L.'=L+L n=-oo n=-1 n=1 n0 = n( ol In e e encia en e s mbolos Las p obabilidades condicionadas de e o ienen dadas po : P(e / 0) = P(w + n0) D/ao = 0) (6) P(e,/1) = P(w+ n' .::- [ h( 0 )- D] I ao = 1} - 0 (7) Con: D' = s M Po D = Umb a! de decisi6n n0 = no/(S M Po) En (5) se ap ecia que an o la In e e~ cia en e Sllnbolos com:::J n' Cl.epo..nden de o dos los sllnbolos ansmi~idos.Se puede l si npli ica los calculos conside ando so- lamen e los s mbolos ~ p 6ximos al mues eado, (a_N1' ... , a_ 1, a0, a1, ... , ~ 2 ), ob eniendo una co a in e io y supe io de la p obabilidad de e o . Pa a calcula di chas co as, se au en an los ndices N1 y- N2 has a que el e o pa uncamien 6 del mensaje sea desp eciable. pa a ello se d~ inen las siguien es a iables alea o ias: = N2 ,, L. an h( o-nT) n= -N1 1 = ~ an h( o-nT) n) N2 n< -N1 De (6) y {7), las J? obabilidades de e o son: P(e/0)= P( + n0 > D- l/a 0 = 0) P(e/1) = P { +n 0 <- [h( 0 l-D] -l/a 0 = 1) Si L es una co a supe io de 1 :L '),I 1 I , esul a, [61 , : P _ (e/0) ~ P (e/0) ~ P + (e/0) P_(e/Ol = P ( +n 0 "?. D+L/a0 = o) M-1 [ = L .1... e c D- (m) +L 1 P (m) I!FO 2 -./2 c s,o ,m M-1 [ P (e/0) = L .1... e c D- {m)-L ) P(m) + IlFO 2 {2 <T:i:,o ,m P _ (e/1) ~ P (e/1) ~ P~(e/1) M-1 1 [h( 0 )-D+ (m)+L) P_(e/1)=L 2 e c P(m) I!FO -,[2 U.s' 1 ' ,m M-1 1 [ h( 0 )-D+ (m)-L J P+(e/1) =L: ~ c P(m) IlFO {2 <T ' 1 ',m Donde: 11 = 2 (N1 + N2) N2 (m) = L 1 am,i h( 0 -iT) i=-Nl 257 (a -N .•. a. 1 ,a 1, ... , a N ) = Secuen m, J! 1 m,- m, m, 2 - cia que co esponde al n :i e o m exp esado en bina io. 2 2 GS,o,m = Bo(m) +c;-T 2 2 GJ:,o,m = Ao (m) + OT 2 .2 OS,1,m = B1 (m) +~TT 2 +~ Cl!,1,m = A1(m) T N2 AQ(m)=q M2 F(M) s Po L 1 a . h ( 0 -iT) + i=-N1 m,J. n + q M2 F(M) Io ~ A1 (m) = AQ (m) +q M2 F (M) Bo (m) = Ao (m) +q M2 F (M) s Po hn( ol _ s Po ~ hn< o-iT) i'>N2 i<-N1 B1 (m) = A1 (m) +q M 2 F (M) s Po L hn ( o-iT) i>N2 i<-N1 P(m) = P obabilidad del mensaje m. CAI.CUIO DE IA DISTANCIA ENTRE REPETIDORES. De las an e io es exp esiones se ob ie ne, pa a unas de e minadas p obabilidades- de e o , el alo de Po en unci6n de la dis ancia L. Con lo cual la dis ancia en- e epe ido es iene que e i ica la - si guien e desigualdad. - p1 dBm -cl L ~ Po (L) dBm elF= A enci6n a la ib a (dB/Km) RESULTADO DE IA SIMUIACION • . Da os: - Velocidad de ansmisi6n:34 y 140 Mbi /s - Codi icaci6n :RZ (SO%) - Funci6n de ans e encia de la ib a 1/7/1: H2( l = exp l-1 <-~ 0 l 2 ) l =Ln2 -cl. o = o1· L - Funci6n de ans e encia del eceJ? o : Bessel. - Recep o op imizado desde el pun o de is a de Ruido T&m.ico, M:Sp :ima , Umb a! 258 6p imo, ecuencia de ca e del ecep o 6p i na y ins an e de mues eo 6p imo. - P(e/0) = P(e/1) = 10- 9 - Ampli icado : igu a 2 igu a 2 - Fo odiodo, 8 Fo odiodo de a alancha (APD): ~ = 0.8~, 5=0.5816, K=0.02, Io=10~ Fo odiodci sin e ec o mul iplica i o (PIN) : M=1, F(M)=1, Io=10nA Pa a dichos da os el esul ado de la si- mulaci6n iene dado en la igu a 3 , donde Po es la po encia 6p ica necesa ia pa a ene una p obabilidad de e o de 10-9 en unci6n de la dis ancia L. , ... .. , . ' . .. • ... .. L igu a 3 BIBLIOGRAFIA. /1/ S.D. Pe sonick, The Bell Sys- em. Techn. Jou nal, pp. 1175- 1194, Sep embe 1973. /2/ S.D. P~ sonick, The Bell Sys- em. Techn. Jou nal, pp. 843- 874, July-Augus 1973. /3/ A. 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