LEYENDO PROBLEMAS ANTIGUOS. DOS EJEMPLOS DEL
SIGLO XVII ESPAÑOL
An onio M. Olle Ma cén ([email p o ec ed])
Cen o Uni e si a io de la De ensa de Za agoza
1. In oducción.
La lec u a de ex os an iguos de ma emá icas puede ene in e és pa a el
p o eso ado de ma emá icas desde múl iples pun os de is a (Lupiáñez, 2002). Exis e
indudablemen e un in e és his ó ico y humanís ico, pues o que la lec u a de ex os
an iguos mues a las ma emá icas den o de un con ex o his ó ico y cien í ico más
amplio y como un cons uc o cul u al humano. Exis e ambién un in e és pu amen e
ma emá ico, ya que no debe desca a se el hecho de que la lec u a de cie as ob as
an iguas, clásicas o no, pueda con ibui a aumen a los conocimien os ma emá icos del
lec o . Finalmen e, ambién enemos un in e és didác ico, pues o que la lec u a de ex os
an iguos puede mos a e o es que algunos alumnos siguen come iendo ac ualmen e o
ilus a obs áculos pa a el ap endizaje de cie os concep os. Como consecuencia de es e
in e és exis e abundan e li e a u a que, en e o os aspec os, mues a expe iencias de
aula basadas en el uso de uen es an iguas pa a diseña ac i idades con di e sos
obje i os (Jahnke y o os, 2000).
Muchos de los p oblemas que apa ecen en ex os an iguos (y que en muchas
ocasiones siguen apa eciendo en los lib os de ex o ac uales) an acompañados de eglas
a i mé icas pa icula izadas a los da os conc e os del p oblema en que se p esen an y
enunciadas sin jus i icación alguna. Po ello, el uso de uen es o iginales necesi a de un
in enso y, a eces complicado, abajo de análisis p e io. Pa e de es e abajo p e io
supone a a de en ende cómo los au o es esuel en los p oblemas que p esen an
pues o que, a menudo, las indicaciones que p esen an son muy escasas. Así pues, la
lec u a de un p oblema an iguo de ca a a su análisis y posible u ilización en el aula
pod ía ealiza se según las siguien es ases:
1. Lec u a de enida del enunciado, mode nizando el lenguaje si es necesa io.
2. Resolución del p oblema haciendo uso de las écnicas que se conside en más
adecuadas y sin ene en cuen a la esolución o iginal del au o .
3. Lec u a de enida de la esolución o iginal del au o , mode nizando el lenguaje si
es necesa io.
4. Análisis de la solución o iginal, a ando de ubica la en el con ex o his ó ico y
ma emá ico de la ob a.
5. Compa ación de la solución o iginal con la ac ual.
Desde el pun o de is a del docen e de ma emá icas, cada uno de es os pasos
puede p esen a dis in as di icul ades y supone, a su ez, opo unidades de ap endizaje y
de pues a en juego de dis in as compe encias p o esionales.
La lec u a del enunciado puede se di ícil an o po el lenguaje u ilizado como
po la ipog a ía del ex o. La e olución en el idioma (o og a ía y g amá ica) puede
esul a in e esan e aunque no sea desde un pun o de is a ma emá ico. Po o o lado, el
enunciado ambién puede p opo ciona in o mación his ó ica in e esan e sob e la época
en la que se esc ibió el p oblema o sob e su au o .
La esolución pe sonal del p oblema es in e esan e desde un pun o de is a
ma emá ico. Su di icul ad puede se a iable y al esol e lo en en amos las posibles
di icul ades que puede p esen a y ambién comp endemos con mayo de alle el
p oblema. Resul a con enien e a a de esol e el p oblema de modo au ónomo como
si ué amos es udian es que es án leyendo el lib o.
La lec u a de la solución del au o compa e con la lec u a del enunciado las
di icul ades lingüís icas. A ellas hay que añadi la posibilidad de que la solución dada
po el au o sea incomple a, poco cla a o, a eces, inco ec a. En cualquie caso, desde
el pun o de is a del p o eso de ma emá icas, esul a in e esan e obse a el modo en
que un p o eso de o a época p esen aba la solución de un p oblema a sus e en uales
alumnos.
La solución dada po el au o debe se conside ada den o de un con ex o
his ó ico y ma emá ico conc e o. Debe e i a se p oyec a sob e los ex os conocimien os
ac uales y ambién conside a como in e io es soluciones que con ojos ac uales
pa ezcan incomple as o inco ec as. T a amos de esol e el p oblema con las
he amien as que pensamos que pudo habe enido el au o en el momen o de esc ibi el
ex o. Es o implica pone nos en el luga del au o e ocediendo en el iempo y ol ida
pa e de nues os conocimien os ma emá icos más “a anzados”. Aunque es o conlle a
di icul ades, puede supone un eje cicio in e esan e
Finalmen e, al compa a la solución que el au o conside aba co ec a con
nues a p opia solución y al analiza y comp ende el o igen de la solución o iginal,
podemos ap ecia el ca ác e his ó ico y e olu i o del conocimien o ma emá ico.
Nue amen e hay que ealiza es a labo de compa ación de la o ma más neu a posible
e i ando lle a a cabo juicios de alo sob e la supe io idad de uno u o o en oque.
Desde el pun o de is a docen e iene mucho más in e és compa a las dis in as
soluciones a un p oblema en base a las ideas que se ponen en juego, a los sis emas de
ep esen ación u ilizados o a alas di icul ades y obs áculos que puede supone cada una
de ellas.
En es e abajo p esen amos dos ejemplos de lec u a de p oblemas an iguos
según los pasos an e io es. Ambos p o ienen de ex os españoles del siglo XVII
disponibles digi almen e en la ed. En cualquie caso, pa a el lec o in e esado,
p opo cionamos algunos b e es apun es bio-bibliog á icos de los au o es de las ob as a
las cuales pe enecen los p oblemas escogidos.
Es os ejemplos ue on u ilizados en un alle impa ido po el au o en las V
Jo nadas de enseñanza de las ma emá icas en Na a a. En dicho alle se esol ie on y
analiza on es os p oblemas y se discu ie on algunas ideas a pa i del abajo ealizado.
En la conclusión, comen a emos algunas ideas sob e las que e lexiona a pa i de es os
p oblemas, así como algunas líneas en las que se pod ía con inua el abajo con es e
ipo de ma e iales.
2. Un p oblema as onómico del alenciano Je ónimo Co és.
Je ónimo Co és ue un au o alenciano, quizás de Gandía, que i ió en e
inales del siglo XVI y p incipios del XVII. No sólo esc ibió sob e ma emá icas y
as onomía, sino ambién sob e ciencias na u ales. (Pica os e, 1891, pp. 57-61). De
hecho, de las seis ob as que se le conocen, sólo dos son de con enido pu amen e
ma emá ico: el Compendio de eglas b e es (Co és, 1594) y la A i hme ica P ac ica
(Co és, 1604). Se conoce muy escasa in o mación sob e su ida y la que se dispone
p o iene casi exclusi amen e de los p ólogos y dedica o ias de sus ob as. Fue maes o
de con a , p obablemen e sin o mación uni e si a ia, u o al menos cinco hijos y su ió
di e sos p oblemas económicos du an e su ida. En 1591 publicó su p ime a ob a, el
T a ado del cómpu o po la mano (Co és, 1591) y la úl ima, Lib o y a ado de los
animales e es es y olá iles (Co és, 1613), apa eció ya de o ma pós uma en 1613.
Sus ob as más conocidas no ue on las de ca ác e ma emá ico. Po ejemplo, su lib o
Fisonomía na u al y a ios sec e os de na u aleza (Co és, 1599) ue edi ado más de
100 eces, mien as que su Luna io nue o, pe pe uo y gene al, y p onós ico de los
iempos uni e sal (Co és, 1596) se edi ó unas 70 eces. Respec o a su ob a ma emá ica,
el ex o más impo an e es su A i hme ica p ac ica (Co és, 1604) que supone, en cie o
modo, la culminación de una ida dedicada a las ma emá icas. En el p ólogo de dicha
ob a el p opio au o dice sob e la ma emá ica que “ha muchos años que la p o eso y
enseño, abajo y dep endo”. Es a ob a (Sala e i Fabiani, 1979), ue eedi ada
pós umamen e dos eces, p ime o en 1659 y de nue o, casi un siglo después del
allecimien o de su au o , en 1724 (Figu a 1).
Figu a 1.
En la página 456 de la A i hme ica P ac ica (Figu a 2) encon amos un
p oblema clásico elacionado con la as onomía. En conc e o se a a de es udia la
conjunción de Júpi e y Sa u no; es deci , es udia el iempo que a dan dichos plane as
en ol e a es a alineados con el Sol. Desde un pun o de is a his ó ico, es posible
encon a p oblemas semejan es a es e en ex os de dis in os o ígenes y adiciones
(Mea illa & Olle , 2015). Se a a, en ealidad, de un p oblema de mó iles en el que la
as onomía p opo ciona únicamen e un con ex o en el que plan ea el p oblema.
Figu a 2.
La lec u a del p oblema p opo ciona in o mación in e esan e. Además de los
da os as onómicos sob e la o ación de Júpi e y Sa u no en o no al Sol, muy ajus ados
a la ealidad, se habla de Ca dano y, además, podemos descub i el año de esc i u a del
lib o; pues o que se dice que den o de 20 años se á 1623. Pese a ene casi 400 años, la
lec u a del p oblema no es complicada, aunque la o og a ía y g amá ica a ía mucho de
las ac uales. En cualquie caso, el enunciado del p oblema exp esado en lenguaje
mode no y de o ma concisa se ía el siguien e:
“Sa u no a da 30 años en comple a su ó bi a en o no al sol, mien as que Júpi e lo
hace en 12. Si hoy ambos plane as es án alineados con el Sol, ¿cuándo ol e án a
es a lo?”.
Una posible solución a es e p oblema, al y como pod ía encon a se en
cualquie lib o de ex o ac ual y u ilizando lenguaje algeb aico, es la siguien e. Si
llamamos x al iempo que a da án en ol e a encon a se ambos plane as, el plane a
más ápido (Júpi e ) hab á dado exac amen e una uel a más que el más len o (Sa u no)
en ese iempo. Po an o se debe cumpli que
𝑥𝑥
12 =𝑥𝑥
30 + 1
Resol iendo la ecuación se ob iene la espues a buscada: 20 años.
La solución o iginal de Co és, como se co esponde con un ex o de a i mé ica,
no in oluc a ningún uso de lenguaje algeb aico. De hecho, la espues a del au o es
me amen e desc ip i a:
“Mul iplica los 12 años de Júpi e po los 30 de Sa u no, y ob end ás 360 años, que
pa idos po 18, que es la di e encia de 12 a 30, sald án 20 años”.
Como es habi ual en ex os de la época, el au o no da ningún ipo de indicación
sob e las ideas subyacen es al p oceso que desc ibe. Si e omamos la solución
algeb aica mode na y de allamos los pasos necesa ios pa a esol e la ecuación an e io ,
ob enemos una secuencia de ope aciones como la siguien e:
𝑥𝑥
12 =𝑥𝑥
30 + 1 ⇒𝑥𝑥
12 −𝑥𝑥
30 = 1 ⇒�30 −12
30 ×12�𝑥𝑥= 1 ⇒𝑥𝑥=30 ×12
30 −12 =360
18 =20
En el úl imo paso de es a secuencia de ope aciones apa ecen las ope aciones que Co és
p oponía como solución al p oblema. El p oduc o de 12 po 30 di idido en e la
di e encia de esos mismos dos núme os. Sin emba go, no debemos pensa que el au o ,
al da es a solución, es u ie a lle ando a cabo las ope aciones que acabamos de mos a .
De hecho, en oda su ob a no apa ece ningún con enido elacionado con el álgeb a. Así
pues, si que emos en ende ealmen e la solución o iginal de Co és, hemos de a a de
da una in e p e ación a esas ope aciones que in oluc e únicamen e ideas a i mé icas.
Podemos encon a , al menos, dos posibles in e p e aciones.
1. Sa u no da 1/30 de uel a al año, mien as que Júpi e da 1/12 de uel a al año.
Así pues, al cabo de un año, el núme o de uel as de adelan o de Júpi e sob e
Sa u no se á:
1
12 −1
30 =30 −12
12 ×30
En consecuencia, pa a que el adelan o sea exac amen e de una uel a, debe á
habe anscu ido un núme o de años igual a:
30 ×12
30 −12 =20
2. Supongamos que han anscu ido 360 años (p oduc o de 30 y 12). En ese
iempo, Sa u no hab á dado 12 uel as en o no al Sol mien as que Júpi e hab á
dado 30. Es deci , el adelan o de Júpi e sob e Sa u no al cabo de 360 años es de
18 uel as ( es a de 30 y 12). Po lo an o, si que emos sabe el iempo que debe
anscu i pa a que dicho adelan o sea sólo de una uel a, bas a con di idi 360
en e 18.
Finalmen e, pa a comple a la lec u a del p oblema, amos a compa a las es
soluciones que hemos p esen ado pa a analiza las posibles o alezas y debilidades de
cada una de ellas.
• Como es habi ual, la solución algeb aica pe mi e una esolución ápida y di ec a
del p oblema, pe o ocul a el signi icado de las ope aciones ealizadas. Es muy
di ícil, po no deci imposible, p opo ciona una in e p e ación, po ejemplo, al
p oduc o de 30 po 12 en es e con ex o. Además, el plan eamien o de la ecuación
no es i ial y es necesa io obse a que en el momen o del eencuen o el
plane a más ápido hab á dado exac amen e una uel a más que el plane a más
len o.
• La p ime a esolución a i mé ica implica la conside ación de las elocidades de
cada plane a. Es o aumen a la complejidad de es a solución pues o que debe
cons ui se una nue a magni ud. Po lo demás, es a solución in oluc a ideas
sencillas sob e p opo cionalidad y azones in e sas. Así, en el úl imo paso se
in ie e la azón que ep esen a el núme o de uel as de en aja al cabo de un
año, pa a ob ene el iempo necesa io pa a ob ene una en aja de una uel a. En
es e caso, ampoco es ácil asigna un signi icado cla o y sencillo al p oduc o y a

la di e encia de 30 y 12. Dichas ope aciones su gen únicamen e den o de la
aplicación de un algo i mo de ope ación con acciones.
• La segunda esolución a i mé ica es un ejemplo de la llamada egla de alsa
posición. Se a a de la solución concep ualmen e más simple pues no equie e
de la conside ación de nue as magni udes. Además, las ope aciones ealizadas
ienen un sen ido cla o y sencillo. El p oduc o de 30 po 12 se oma pa a
conside a un iempo que se múl iplo de ambos. La di e encia en e 30 y 12 son
las uel as de adelan o del ápido sob e el len o en ese iempo. El cocien e se
ealiza pa a ob ene un alo uni a io, po lo que de nue o apa ecen ideas
elacionadas con la p opo cionalidad.
3. Un p oblema de he encias de And és Puig de Vic
De la ida de And és Puig sabemos incluso menos que de Je ónimo Co és.
Nació en Vic, según los da os que leemos en su ob a, es udió en Valencia y i ió en
Ba celona (Rod íguez Vidal, 1980). Su única ob a conocida es la A i hme ica
espec la i a y p ac ica y a e de algeb a (Puig, 1672) que se publicó po p ime a ez en
1670 (Figu a 3) y ue eedi ada, al menos en cua o ocasiones más has a mediados del
siglo XVIII (León & Sanz, 1994).
Figu a 3.
En la página 246 de la A i hme ica espec la i a y p ac ica y a e de algeb a
(Figu a 4) encon amos un cu ioso p oblema de he encias. Es os p oblemas de he encias
son muy comunes en las a i mé icas de la época y ienen un cla o o igen musulmán.
Es e p oblema en conc e o se encuen a en mul i ud de ex os an e io es como, po
ejemplo, el Lib o p ime o, de A i hme ica Algeb a ica de Ma co Au el (1552).
Figu a 4.
La esc i u a es muy simila a la de la ob a de Co és analizada an e io men e y
su lec u a esul a sencilla. En es e caso la in o mación his ó ica es escasa más allá de la
apa ición de una unidad mone a ia an igua, los ducados. La adap ación del p oblema al
lenguaje mode no, man eniendo el uso de los ducados como unidad mone a ia es la
siguien e:
“Un homb e hace es amen o, dejando cie os hijos, y cie a can idad de hacienda.
O denó que el hijo p ime o u iese 300 ducados y la sex a pa e de los es an es, que el
segundo u iese 600 ducados y la sex a pa e de los es an es, y el e ce o 900 ducados y
la sex a pa e de los es an es, e c. De es e modo, esul ó que odos los hijos ecibie on
la misma he encia. ¿Cuán a ue la he encia y cuán o ocó a cada hijo?”.
A con inuación p oponemos una posible solución a es e p oblema. Supongamos
que H es el impo e de la he encia, y que xk es la pa e de la misma que ecibe el k-
ésimo hijo. En onces, enemos que
𝑥𝑥𝑘𝑘=300𝑘𝑘+1
6�𝐻𝐻−300𝑘𝑘−�𝑥𝑥𝑖𝑖
𝑘𝑘−1
𝑖𝑖=1 �
En pa icula , se iene que
𝑥𝑥1=300 +1
6(𝐻𝐻−300)
𝑥𝑥2=600 +1
6(𝐻𝐻−600 −𝑥𝑥1)
y como odos los hijos deben ecibi la misma he encia (es deci , x1 = x2), se ob iene que
300 +1
6(𝐻𝐻−300)=600 +1
6(𝐻𝐻−600 −𝑥𝑥1)
de donde se deduce que x1 = 1500 y, consecuen emen e, que el pad e enía 5 hijos y que
su he encia ue H = 7500.
Pese a que el ex o de Puig p esen a con enidos algeb aicos, es e p oblema
apa ece en una sección en la que no se hace uso de los mismos. De hecho, la solución
dada po el au o es bas an e esquemá ica y pu amen e desc ip i a:
“Qui a el nume ado de 1/6 del denominado y queda án 5 y an os hijos dejó el pad e;
sabido cuán os hijos dejó. Mul iplica po 300 ducados que se dan en p incipio, po 5 y
mon a án 1500 ducados y an os inie on po cada hijo, y po que los hijos son 5
mul iplica los 1500 ducados po 5 y mon a án 7500 ducados po la hacienda que dejó el
pad e; p uébalo pues es ácil, y halla ás se e dad”.
Da una in e p e ación de es a solución esul a algo más complicado que en el
caso an e io , debido a que se a a de un p oblema más complejo que in oluc a
múl iples can idades desconocidas. Vamos a p esen a un posible azonamien o que
quizás pe mi a comp ende el o igen de la solución dada po Puig. Pa a ello amos a
u iliza lenguaje simbólico (con la misma no ación an e io ), si bien odos los
a gumen os que p esen a emos se pod ían p esen a e ó icamen e de un modo más
his o icis a. Comenzamos calculando lo que ecibe el p ime hijo y eesc ibiéndolo
adecuadamen e:
𝑥𝑥1=300 +1
6(𝐻𝐻−300)=𝐻𝐻
6+5
6⋅300
Es deci , el p ime hijo ecibe un sex o de la he encia y cinco sex os de 300. Es a
mane a de esc ibi la pa e del p ime hijo es in e esan e po que saca a la luz la es a de
“el nume ado de 1/6 del denominado ”. Aho a, hacemos algo pa ecido con la pa e del
segundo hijo:
𝑥𝑥2=600 +1
6(𝐻𝐻−600 −𝑥𝑥1)=𝐻𝐻
6+5
6⋅300 +5
6⋅300 −1
6𝑥𝑥1
En es e caso, al esc ibi la pa e del segundo hijo de es a o ma, podemos
compa a lo muy ácilmen e con la pa e del p ime hijo. Pa a que ambos eciban lo
mismo se debe cumpli que
5
6⋅300 −1
6𝑥𝑥1= 0
Y así se ob iene la solución buscada.
Como hemos dicho, en es e caso el uso del lenguaje algeb aico es me amen e
ci cuns ancial y odo pod ía habe se lle ado a cabo de o ma e bal. Es e en oque se
ap oxima muy p obablemen e a la cadena de azonamien os usada po el au o ya que
implica únicamen e la manipulación de las can idades in oluc adas descomponiéndolas
de mane a adecuada pa a pe mi i compa aciones. Además, es as manipulaciones ponen
de mani ies o cla amen e el po qué de las condiciones del p oblema. Pa a que el
p ocedimien o uncione es c ucial que cada hijo eciba sucesi amen e 300 ducados más
que el an e io .
Te minamos la lec u a del p oblema compa ando ambas soluciones.
• El uso del lenguaje algeb aico en la solución mode na pe mi e esc ibi de o ma
cla a la pa e xk de cada uno delos hijos. Sin emba go, sólo son necesa ias las
pa es de los dos p ime os pa a esol e el p oblema. En es e sen ido un uso
excesi o y ac í ico del álgeb a puede ocul a es e hecho y complica la
esolución del p oblema innecesa iamen e. También su ge la di icul ad del
excesi o núme o de incógni as (po an o de símbolos) que se deben u iliza ,
jun o con el hecho de que se desconozca el núme o de hijos.
• En la posible solución del au o su ge de o ma muy na u al la compa ación
en e los dos p ime os hijos, lo que elimina la necesidad de usa una de las
can idades desconocidas del p oblema. Sin emba go, es necesa ia una
manipulación ad hoc y nada e iden e de las can idades implicadas. De hecho
es a necesidad ilus a que el p oblema es á plan eado a pa i de la solución. En
odo caso, es e ipo de manipulaciones son in e esan es po sus simili udes con el
ipo de ans o maciones que se ealizan al esol e ecuaciones y obliga a un
manejo signi ica i o de los signi icados de las ope aciones.
4. A modo de conclusión
En es e b e e abajo hemos p esen ado dos ejemplos de cómo lee un p oblema
an iguo. Ambos p oblemas, sob e odo el p ime o, pueden esol e se con cie a
acilidad u ilizando écnicas algeb aicas, sin emba go, en ninguno de los dos casos el
au o hizo uso de dichas écnicas pa a su esolución. Es más, en ambos casos la solución
dada po el au o se limi a a enume a las ope aciones conc e as que se deben ealiza
con los da os conc e os del p oblema pa a ob ene la solución.
La necesidad de conside a de enidamen e los p oblemas es udiados y de busca
los a gumen os subyacen es a las soluciones me amen e desc ip i as que p esen aban
los au o es supone un eje cicio in e esan e pa a un docen e, ya sea en o mación o en
eje cicio. Obliga, po ejemplo, a conside a dis in os ni eles de azonamien o a i mé ico
o algeb aico pa a encon a soluciones adecuadas desde un pun o de is a his ó ico.
También implica la compa ación de dis in os mé odos de esolución, alo ando en ajas
e incon enien es de cada uno de ellos.
En algunas ocasiones las soluciones o iginales, pese a a a se de simples
“ ece as” son suscep ibles de se gene alizadas pa a se u ilizadas en si uaciones más
gene ales. De hecho, algunos in es igado es sos ienen que ese e a uno de los obje i os
de los au o es al plan ea ese ipo de soluciones. De hecho, supone un eje cicio
in e esan e, que pod ía comple a el análisis ealizado, pla ea e siones gene ales no
sólo de los enunciados de los p oblemas, sino ambién de los mé odos de esolución
p esen ados.
En cualquie caso, pensamos que es e ipo de abajo con ex os his ó icos es
in e esan e pa a el p o eso ado y animamos a los lec o es a que abo den es e ipo de
lec u as.
Re e encias bibliog á icas
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