T aballo Fin de G ao
O eo ema de
Poinca é-Mi anda
Julio No oa Fe nández
2019  2020
UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA
GRAO DE MATEMÁTICAS
T aballo Fin de G ao
O TEOREMA DE
POINCARÉ-MIRANDA
Julio No oa Fe nández
Se emb o 2020
UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA
iii
T aballo p opos o
Á ea de Coñecemen o: ANÁLISE MATEMÁTICA
Tí ulo: O TEOREMA DE POINCARÉ-MIRANDA
Ti o /a:
Rosana Rod íguez López (co i o : Daniel Cao Labo a)
B e e desc ición do con ido
O eo ema dos alo es in e medios, un esul ado de capi al impo -
ancia na Análise Ma emá ica, es ablece que unha unción con inua
nun in e alo compac o acada odos os alo es comp endidos en e
aqueles que oma nos seus ex emos. Como consecuencia des e e-
sul ado, dedúcese o eo ema de Bolzano, así como ou as ele an es
p opiedades das uncións con inuas denidas en in e alos.
O eo ema de Poinca é-Mi anda cons i úe unha xene alización de
g ande in e ese ao caso mul idimensional, es ablecendo unha con-
dición sucien e pa a que unha unción con inua do cubo
[−1,1]n
con alo es en
Rn
se anule nalgún pun o; condición que se es ablece
en e mos dos signos das compoñen es da unción en ce as ca as
con apos as do cubo.
O p esen e aballo es á cen ado no es udo dunha demos ación do
mencionado esul ado, podendo amén analiza ce as ex ensións e
es uda algunhas das súas posibles aplicacións.
Recomendacións
Aconséllase e supe ado as ma e ias Con inuidade e De i abilida-
de de Funcións dunha Va iable Real e Di e enciación de Funcións
de Va ias Va iables Reais, ademais de e coñecemen os de p og a-
mas de cálculo simbólico.

Índice xe al
Resumo .................................
ii
In odución 1
1. Concep os e esul ados p elimina es 1
1.1. Combina o ia do
n
-símplex e o lema de Spe ne . . . . . . . . 1
1.2. P opiedades do
n
-cubo combina o io . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Resul ados opolóxicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4. O eo ema do pun o xo de B ouwe . . . . . . . . . . . . . . 17
2. O eo ema de Poinca é-Mi anda 21
2.1. Enunciado do eo ema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2. P imei a p oba do eo ema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3. Algunhas p obas al e na i as . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.1. No a p oba u ilizando o eo ema do pun o xo de
B ouwe .......................... 25
2.3.2. P oba u ilizando mé odos combina o ios . . . . . . . . 27
2.4. Condicións pa a a unicidade de solución . . . . . . . . . . . . 29
2.5. Xene alización do eo ema a ou os dominios . . . . . . . . . 33
3. Aplicacións 35
3.1. Exemplo de comp obación do eo ema . . . . . . . . . . . . . 35
3.2. Resolución dun p oblema ísico . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4. Conclusións 45
Resumo
Resumo
O eo ema de Poinca é-Mi anda es ablece unha condición sucien e pa a
ga an i que unha aplicación con inua
:K−→ Rn
en un ce o en
K
, onde
K⊂Rn
é un
n
-cubo e
n∈N
. O obxec i o p incipal des e aballo é enuncia
e demos a di o esul ado, e isando a p oba o ixinal de Ca lo Mi anda e
p opo cionando dúas p obas al e na i as. Con es e n, in oducimos unha
se ie de concep os necesa ios de combina o ia e opoloxía, incluíndo demos-
acións do lema de Spe ne e do eo ema do pun o xo de B ouwe . Tamén
amosamos unha condición de unicidade e unha posible ex ensión do eo ema
de Poinca é-Mi anda a dominios máis xe ais que o
n
-cubo. Finalmen e, p e-
sen amos unha in e p e ación g áca do eo ema e unha aplicación p ác ica
ao p oblema dos
1+4
co pos.
Abs ac
The Poinca é-Mi anda heo em p o ides a sucien condi ion o gua an-
ee ha a con inuous unc ion
:K−→ Rn
has a ze o in
K
, whe e
K⊂Rn
is an
n
-cube and
n∈N
. The main objec i e o his wo k is o s a e and p o e
he a o emen ioned esul , e iewing Ca lo Mi anda's o iginal p oo and des-
c ibing wo al e na i e p oo s. Wi h ha goal in mind, we in oduce se e al
necessa y concep s o combina o ics and opology, including p oo s o he
Spe ne 's lemma and he B ouwe 's xed-poin heo em. We also p oduce a
uniqueness condi ion and a possible ex ension o he Poinca é-Mi anda heo-
em o domains ha a e mo e gene al han
n
-cubes. Finally, we p esen a
g aphical in e p e a ion o he heo em and a p ac ical applica ion o he
(1 + 4)
-body p oblem.
ii
4
CAPÍTULO 1. CONCEPTOS E RESULTADOS PRELIMINARES
símplex con é ices
{wi1, . . . , win+1 }
, dados po :
wi1= i1,
wi2=1
2( i1+ i2),
.
.
. (1.3)
win=1
n( i1+···+ in),
win+1 =
ba
(S).
In ui i amen e, os é ices da iangulación ba icén ica son p ecisamen e os
ba icen os de odas as posibles
m
-ca as de
S
, pa a
0≤m≤n
.
É ácil e que a unión das celas é
S
. Obse amos amén que odas
as celas compa en, como mínimo, o pun o ba
(S)
, que é unha
0
-ca a. En
xe al, se
Ti
e
Tj
eñen en común
m+ 1
é ices, en ón po (1.3) é doado
comp oba que
Ti∩Tj
é exac amen e a
m
-ca a xe ada po eses é ices. Polo
an o, concluímos que
TB
é e ec i amen e unha iangulación. Unha p oba
de allada pode consul a se en [10].
Figu a 1.2:
T es iangulacións ba icén icas sucesi as nun
2
-símplex. Fon e: [11].
Lema 1.5.
A iangulación ba icén ica dun
n
-símplex
S
educe es i amen e
o amaño das súas celas con espec o ao diáme o de
S
. Conc e amen e, pa a
unha cela
Ti
calque a, ense a seguin e exp esión:
diam
(Ti)≤n
n+ 1
diam
(S).
(1.4)
Demos ación.
Sen pe da de xene alidade, imos ace a a gumen ación pa a
a cela
T1
que se consegue coa pe mu ación iden idade
(1, . . . , n + 1)
. Pa-
a calque a ou a pe mu ación, a demos ación se ía o almen e análoga e
simplemen e habe ía que u iliza os seus co esponden es índices.

1.1. COMBINATORIA DO
N
-SÍMPLEX E O LEMA DE SPERNER
5
En p imei o luga , p obemos que o diáme o de
S
é a máxima dis ancia
en e os seus é ices. Supoñamos que
p, q ∈S
son dous pun os pa a os cales
se acada a máxima dis ancia en
S
. Sabemos da exis encia des es pun os po
se
S
compac o. Sexa
B
a bóla con cen o
p
e aio
d(p, q)
. Imos demos a
po edución ao absu do que na on ei a de
B
debe habe un é ice de
S
.
En e ec o, se is o non se cump ise, exis i ía un ce o
ε > 0
de xei o que a
bóla
Bε
de cen o
p
e aio
d(p, q)−ε
con én odos os é ices de
S
. Pe o
en ón chegamos a unha con adición, xa que emos un conxun o con exo
Bε
que con én odos os é ices pe o non o símplex
S
, que po denición é o
meno con exo que con én di os é ices.
Polo an o, deducimos que exis e un é ice
q0∈∂B
; is o é, e icando
d(p, q) = d(p, q0)
. Podemos epe i es e azoamen o pa a unha bóla con cen-
o
q0
e aio
d(p, q0)
, de o ma que asegu amos a exis encia dun é ice
p0
que
cump e
d(p0, q0) = d(p, q0) = d(p, q)
. Logo, demos amos que o diáme o de
S
se ealiza p ecisamen e en e os é ices. En pa icula , es e mesmo a gu-
men o p oba que, dado un pun o calque a de
S
, o seu pun o máis dis an e
en
S
é un é ice.
Ago a, imos limi a a dis ancia dos é ices de
S
ao ba icen o de
S
. Sen
pe da de xene alidade, omemos o é ice
1
. Podemos mo e o
n
-símplex de
xei o que
1= 0
. En ón, podemos da a seguin e es imación pa a a dis ancia
do é ice
1
ao ba icen o en
S
:




1+ 2+···+ n+1
n+ 1 


≤k 1k+k 2k+···+k n+1k
n+ 1
≤
diam
{ 1, . . . , n+1}· n
n+ 1.
(1.5)
Es udemos ago a o diáme o da cela
T1
. É cla o que a máxima dis ancia se
ealiza pa a dous é ices de
T1
, que podemos deno a po
wj=1
j( 1+···+
j)
e
wk=1
k( 1+··· + k)
, con
k > j
. Dado que
wj
es á no
n
-símplex
con é ices
{ 1, . . . , k}
, que en po ba icen o
wk
, podemos sob ees ima
a dis ancia en e
wj
e
wk
ao in e cambia
wj
po algún é ice
i
, con
i∈
{1, . . . , k}
. Pola ecuación (1.5), podemos esc ibi :
diam
(T1)≤d( i, wk)≤k
k+ 1 ·
diam
{ 1, . . . , k+1}.
(1.6)
Na ecuación (1.6), podemos aplica as desigualdades diam
{ 1, . . . , k+1} ≤
diam
{ 1, . . . , n+1}
e
k
k+1 <n
n+1
pa a ob e nalmen e a exp esión (1.4),
como que iamos demos a .
6
CAPÍTULO 1. CONCEPTOS E RESULTADOS PRELIMINARES
Denición 1.6.
Pa a un
n
-símplex
S
, unha colo ación p opia (ou de Spe -
ne ) dunha iangulación é unha asignación de
n+ 1
e ique as, que chama-
emos co es, aos é ices da iangulación, de xei o que se e ique:
1. Cada é ice de
S
ecibe unha co dis in a.
2. Os é ices da iangulación que es ean nunha
m
-ca a de
S
só poden
colo a se coas co es dos é ices de
S
que denan esa
m
-ca a.
As co es son ep esen adas po núme os na u ais; así, pa a un
n
-símplex,
as posibles co es o man o conxun o
{1,2,3, . . . , n, n + 1}
. Cando quei amos
indica a colo ación dunha cela, da emos unha lis a das co es dos seus é ices
en e pa én eses.
Pa a comp ende mos ben es a denición, pensemos no amen e nun ián-
gulo
T
con é ices
ABC
e unha iangulación o mada po iángulos máis
pequenos, como o que obse amos na Figu a 1.3. Unha colo ación p opia
se ía:
1. Os é ices
A
,
B
e
C
eñen as co es
1
,
2
e
3
, espec i amen e.
2. Se un é ice da iangulación es á nalgún dos lados de
T
, só pode
colo a se coas co es dos ex emos dese lado. Po exemplo, se es á no
lado
AB
, só pode e as co es
1
ou
2
.
Figu a 1.3:
Colo ación p opia dun
2
-símplex. Fon e: [12].
Denición 1.7.
Dada unha colo ación p opia, unha cela dise de ipo
R
se
cada un dos seus é ices ecibe unha co dis in a. O nome p o én do inglés
ainbow
, que signica a co da ella. Po exemplo, o iángulo somb eado
na Figu a 1.3 é unha cela de ipo
R
.
1.1. COMBINATORIA DO
N
-SÍMPLEX E O LEMA DE SPERNER
7
Lema 1.8.
Toda iangulación cunha colo ación p opia en un núme o impa
de celas de ipo
R
.
Demos ación.
Pa a p oba o Lema 1.8, imos ace indución sob e a dimen-
sión do
n
-símplex. Pa a
n= 1
, emos un segmen o
(a, b)
di idido en segmen-
os máis pequenos e as co es posibles son
1
ou
2
. Os ex emos
a
e
b
deben
ecibi co es dis in as. Así, se empezamos a colo a os pun os in e medios
desde
a
, debemos muda de co un núme o impa de eces, pa a así e mina
nunha co dis in a en
b
. Po an o, hai un núme o impa de segmen os de
ipo
R
.
O caso
n= 2
non se ía p eciso demos alo pa a a indución, pe o imos
acelo po que esul a in e esan e pa a en ende o caso de
n
a bi a io. Supo-
ñamos un iángulo
T
con posibles co es
{1,2,3}
. Podemos encon a celas
de ipo
R
, con colo ación
(1,2,3)
, ou as que chama emos de ipo
Q
, con
colo ación
(1,1,2)
ou
(1,2,2)
. Abusando da no ación, deno amos po
R
e
Q
o núme o de celas de ipo
R
e
Q
, espec i amen e. Sexa
X
o núme o de lados
na on ei a de
T
con colo ación
(1,2)
(lados ex e nos) e sexa
Y
o núme o de
lados con esas colo acións e cun ex emo no in e io de
T
(lados in e nos).
Nes a si uación, obse amos que hai exac amen e dous lados con colo-
ación
(1,2)
po cada cela de ipo
Q
, men es que po cada cela de ipo
R
hai só un deses lados. Ademais, obse amos que cada lado in e no semp e
es á compa ido po dúas celas (sexan de ipo
Q
ou
R
), polo que, ao consi-
de a odas as celas de ipo
Q
e
R
, es amos con ando cada lado in e no po
duplicado. Pola súa pa e, os lados ex e nos só se con an unha ez. É dici ,
chegamos á seguin e ecuación:
2Q+R=X+ 2Y.
(1.7)
Ago a, es inxímonos aos lados ex e nos. Como a on ei a de
T
es á o -
mada po segmen os, cada un des es lados debe es a nun deses segmen os
que, po hipó ese, en os ex emos de co es dis in as. Como xa imos no ca-
so unidimensional, necesa iamen e
X
debe se impa . U ilizando a ecuación
(1.7), chegamos a que
R
amén debe se impa .
Ago a, supoñamos o enunciado ce o pa a
n−1
e demos émolo pa a un
n
-símplex. Imos man e a no ación dos casos an e io es. Nes e caso, es amos
a usa as co es
{1,2,3, . . . , n, n + 1}
. As celas de ipo
R
usan odas as co es,
men es que as de ipo
Q
usan odas menos a co
n+1
, de xei o que unha das
ou as co es se usa dúas eces e as ou as exac amen e unha ez. Conside e-
mos amén as
(n−1)
-ca as que eciben exac amen e as co es
{1,2, . . . , n}
.
Así,
X
deno a o núme o de ca as ex e nas dese ipo e
Y
o núme o de ca as
in e nas con esa colo ación.
8
CAPÍTULO 1. CONCEPTOS E RESULTADOS PRELIMINARES
Cunha a gumen ación análoga ao caso bidimensional, emos que po cada
cela de ipo
Q
hai dúas
(n−1)
-ca as con colo ación
{1,2, . . . , n}
e exac a-
men e unha desas ca as po cada cela de ipo
R
. Ademais, es amos con ando
as ca as in e nas dúas eces e as ex e nas unha ez, polo que chegamos no-
amen e á ecuación (1.7).
Po ou a pa e, se conside amos a on ei a de
S
, as
(n−1)
-ca as ex e nas
con colo ación
{1,2, . . . , n}
o man unha colo ación p opia de dimensión
n−
1
, logo, po hipó ese de indución,
X
é impa . Pola ecuación (1.7), chegamos
a que
R
amén debe se impa .
Co ola io 1.9.
(Spe ne , 1928)
En oda iangulación cunha colo ación p o-
pia exis e unha cela de ipo
R
.
Demos ación.
Aplicando o Lema 1.8, emos que o núme o de celas de ipo
R
non pode se ce o; é dici , polo menos exis e unha.
1.2. P opiedades do
n
-cubo combina o io
Nes a sección, imos deni o espazo
Zn
k
e o
n
-cubo combina o io
C(k)⊂
Zn
k
, que se pode en ende como unha ce a disc e ización do
n
-cubo unida-
de. Tamén in oduci emos o concep o de
n
-símplex en
Zn
k
e de
i
- eciño co
obxec i o de demos a algunhas p opiedades básicas que se án necesa ias
máis adian e.
Denición 1.10.
Sexa
k > 1
un núme o na u al e conside emos o conxun o
Zk={i/k :i∈Z}
. Denimos
Zn
k⊆Rn
como o p odu o ca esiano de
n
copias de
Zk
, ou sexa,
Zn
k=z:{1, . . . , n} −→ Zk:z(i)∈Zk,∀i∈ {1, . . . , n}.
U ilizando no ación ca esiana, denimos amén o elemen o neu o
0 :=
(0,...,0)
e o ec o básico
i
-ésimo,
ei:= (0,...,1/k, . . . , 0)
,
ei(i) = 1/k
.
Denición 1.11.
Un
n
-cubo combina o io é un subconxun o
C⊂Zn
k
da
o ma
C:= C(k) = [0,1]n∩Zn
k=(0,1
k,...,k−1
k, k)n
.
Nou as palab as,
C(k)
é o conxun o de
n
- uplas posibles que se poden o -
ma con eses elemen os. In ui i amen e, podemos pensa es e obxec o como
un
n
-cubo de lado
1
disc e izado nunha g ella ( e Exemplo 1.16).
1.2. PROPIEDADES DO
N
-CUBO COMBINATORIO
9
Denimos amén as ca as an e io e pos e io
i
-ésimas dun
n
-cubo com-
bina o io
C(k)
como os subconxun os
C−
i:= C−
i(k) = {z∈C:z(i)=0},
C+
i:= C+
i(k) = {z∈C:z(i)=1}
e a on ei a de
C(k)
como a unión de odas as ca as an e io es e pos e io es,
é dici ,
∂C := ∂C(k) =
n
[
i=1
(C−
i(k)∪C+
i(k)).
Denición 1.12.
Di emos que un conxun o o denado
S= [z0, . . . , zn]⊂Zn
k
é un
n
-símplex en
Zn
k
se exis e unha pe mu ación
α
do conxun o
{1, . . . , n}
de xei o que
z1=z0+eα(1), . . . , zn=zn−1+eα(n).
Is o é, cada pun o es á sepa ado do seguin e po un ce o ec o básico
ei
,
que chama emos dis ancia
i
-ésima.
Ademais, é sinxelo calcula o diáme o de
S
. É e iden e que a máxima
dis ancia é a que exis e en e os é ices
z0
e
zn
, que se pode calcula como:
diam
(S) = d(z0, zn) = qe2
α(1) +···+e2
α(n)=√n
k.
(1.8)
Denición 1.13.
Sexa
S= [z0, . . . , zn]
un
n
-símplex en
Zn
k
. A
i
-ésima
(n−1)
-ca a de
S
é o conxun o
Fi(S) = [z0, . . . , zi−1, zi+1, . . . , zn]
, pa a
i∈ {0, . . . , n}
.
No emos que as únicas
(n−1)
-ca as que son amén un
(n−1)
-símplex
en
Zn−1
k
(no sen ido da Denición 1.12) son
F0(S)
e
Fn(S)
.
Denición 1.14.
Sexa
S= [z0, . . . , zn]
un
n
-símplex en
Zn
k
. O eciño
i
-ésimo
(ou
i
- eciño) de
S
,
S[i]
, de ínese como:
1.
S[0] = [z1, . . . , zn, x0]
, onde
x0=zn+ (z1−z0)
.
2. Pa a
i∈ {1, . . . , n −1}
,
S[i] = [z0, . . . , zi−1, xi, zi+1, . . . , zn]
, onde
xi=
zi−1+ (zi+1 −zi)
.
3.
S[n]=[xn, z0, . . . , zn−1]
, onde
xn=z0+ (zn−1−zn)
.
Lema 1.15.
1. Os
i
- eciños
S[i]
son
n
-símplices en
Zn
k
ben denidos, pa a calque a
n
-símplex
S
en
Zn
k
.

10
CAPÍTULO 1. CONCEPTOS E RESULTADOS PRELIMINARES
2. Os
i
- eciños son únicos, no sen ido de que son os únicos que e ican
S∩S[i] = Fi(S)
, pa a odo
i∈ {0, . . . , n}
.
3. Se
S⊆C(k)
e
i∈ {0, . . . , n}
, en ón
S[i]⊆C(k)
se e só se
Fi(S)*
∂C(k)
.
Demos ación.
P obemos cada unha das a macións enunciadas:
1. Imos comp obalo pola Denición 1.12. Nos es casos,
S[i]
é un con-
xun o o denado de
n+1
pun os. A endendo á o de dos pun os en cada
caso, podemos da explici amen e as dis ancias en e pun os:
a
) Pa a
S[1]
:
eα(2), . . . , eα(n), eα(1)
.
b
) Pa a
S[i]
:
eα(1), . . . , eα(i−1), eα(i+1), eα(i), eα(i+2), . . . , eα(n)
.
c
) Pa a
S[n]
:
eα(n), eα(1), . . . , eα(n−1)
.
Así, comp obamos que cada
S[i]
é e ec i amen e un
n
-símplex en
Zn
k
.
2. É e iden e que
S∩S[i] = Fi(S)
. Vexamos que os
S[i]
son únicos nes e
sen ido:
a
) Se
i= 0
, obse amos que
S[0]
en xados
n
pun os o denados
en común con
S
e polo an o
n−1
dis ancias xas. A única
posibilidade pa a a úl ima dis ancia é p ecisamen e
eα(1)
, pois
dou a o ma non se ía un
n
-símplex. Se
i=n
, a demos ación é
análoga.
b
) Se
i∈ {1, . . . , n−1}
, emos que hai dous subconxun os de pun os
en común con
S
. En o al, ambos subconxun os eñen
n−1
pun os,
logo hai
n−2
dis ancias xas. A única o ma de p ocede pa a que
S[i]
sexa un
n
-símplex é in e cambia os ec o es
eα(i)
e
eα(i+1)
.
Polo an o, só exis e unha o ma de deni os
S[i]
de xei o consis en e.
3. Imos comp obalo pa a
i= 0
(os ou os casos son análogos). Nes e caso,
podemos esc ibi :
S= [z1−eα(1), z1, . . . , zn],
S[0] = [z1, . . . , zn, zn+eα(1)],
F0(S)=[z1, . . . , zn].
Supoñamos que
F0(S)⊆∂C(k)
; po exemplo, con
F0(S)⊆C+
j(k)
.
Pola Denición 1.11, is o implica que os pun os
z1, . . . , zn
eñen odos
1.2. PROPIEDADES DO
N
-CUBO COMBINATORIO
11
a mesma coo denada
j
-ésima
z(j)=1
, logo necesa iamen e
α(1) = j
.
Pe o en ón
zn+ej/∈[0,1]n
, is o é,
S[0] *C(k)
. Conside emos ago a a
ou a posibilidade,
F0(S)⊆C−
j(k)
. Nes e caso, a compoñen e
j
-ésima
de odos os pun os é
z(j)=0
e
α(1) = j
, pe o is o implica ía que
z1−ej/∈[0,1]n
, o cal é un absu do.
Po ou a pa e, supoñamos
S, S[0] ⊆C(k)
. Iso signica que a
α(1)
-
ésima coo denada de
z1
é maio que
0
e a
α(1)
-ésima coo denada de
zn
é meno que
1
, en ón
F0[S]
non pode es a sob e as dúas ca as de
C(k)
que cump en
α(1) =
c e. Ademais, ao cons uí os demais pun os,
es amos usando as ou as dis ancias
eα(2), . . . , eα(n)
. Cada coo denada
modícase cun deses
eα(i)
, logo é imposible que odos os pun os es ean
nun hipe plano con algunha coo denada cons an e. É dici ,
S[0]
non
pode es a sob e unha ca a de
C(k)
.
Exemplo 1.16.
Imos ilus a odos es es concep os cun exemplo sinxelo.
Tomando
n= 2
e
k= 4
, conside emos o
2
-cubo combina o io
C(4) ⊂Z2
4
e
un
2
-símplex
S= [z0, z1, z2]
. Como se e na Figu a 1.4,
C(4)
é un cad ado
di idido en
5×5
pun os equiespaciados e
S
é un iángulo cuxos es é ices
es án p ecisamen e sob e algúns deses pun os. Cada un dos
i
- eciños
S[i]
de
S
é ou o iángulo cuxa in e sección con
S
é xus amen e o seu lado
i
-ésimo;
emos que non hai ou a posibilidade pa a escolle os
S[i]
. Ademais, é cla o
que se algún dos lados de
S
es i ese na on ei a do cubo, en ón ese eciño
queda ía ó a de
C(4)
.
Figu a 1.4:
Os
i
- eciños dun
2
-símplex nun
2
-cubo combina o io. Fon e: [13].
12
CAPÍTULO 1. CONCEPTOS E RESULTADOS PRELIMINARES
1.3. Resul ados opolóxicos
Nes a sección, imos p oba algunhas p oposicións de ca ác e opoló-
xico que se án de axuda en capí ulos pos e io es. P imei o, deni emos a
p opiedade do pun o xo e p oba emos que é opolóxica. Tamén da emos
homeomo smos explíci os en e o
n
-símplex es ánda , o
n
-cubo e a
n
-bóla.
Finalmen e, demos a emos un lema de compacidade que se á necesa io pa a
da unha das p obas al e na i as do eo ema de Poinca é-Mi anda.
Como apun amen o, nas nosas p obas imos u iliza algunhas p opiedades
básicas da opoloxía euclídea. Conc e amen e, usa emos que os compac os
en
Rn
son exac amen e os echados e limi ados, que a compacidade e a com-
pacidade secuencial son equi alen es en
Rn
e que calque a subconxun o de
Rn
é Hausdo . Ademais, da emos po p obado un eo ema sob e homeo-
mo smos (Teo ema 1.22). Es es esul ados elemen ais poden consul a se en
[14].
Denición 1.17.
Un espazo mé ico non balei o
(X, dX)
en a p opiedade
do pun o xo se calque a aplicación con inua
:X−→ X
en un pun o xo,
is o é, un pun o
x∈X
al que
(x) = x
.
P oposición 1.18.
Sexan
(X, dX)
e
(Y, dY)
dous espazos mé icos non ba-
lei os. Supoñamos que exis e un homeomo smo
h:X−→ Y
. En ón, se
(X, dX)
en a p opiedade do pun o xo,
(Y, dY)
amén en di a p opiedade.
Demos ación.
Supoñamos que
(X, dX)
en a p opiedade do pun o xo. Sexa
un homeomo smo
h:X−→ Y
e sexa unha aplicación con inua
g:Y−→ Y
.
Vexamos que
g
en un pun o xo. O p imei o paso é deni unha no a
aplicación
=h−1◦g◦h.
A aplicación in e sa
h−1:Y−→ X
exis e po se
h
un homeomo smo, así
que
es á ben denida. Ademais, no emos que
:X−→ X
. Como
(X, dX)
en a p opiedade do pun o xo, exis e un pun o
x∈X
al que
(x) = x
.
Pola denición de
, is o signica que
(h−1◦g◦h)(x) = x
. Se aplicamos
h
en cada lado des a úl ima igualdade, esul a que
g(h(x)) = h(x),
o que que e dici que
h(x)∈Y
é un pun o xo de
g
. Así que
(Y, dY)
en a
p opiedade do pun o xo.
1.3. RESULTADOS TOPOLÓXICOS
13
Obse ación
1.19
.
Nos seguin es apa ados imos aballa con espazos mé i-
cos
(X, dE)
, onde
X⊂Rn
e
dE
é a dis ancia euclídea usual. Pa a simplica
a no ación, esc ibi emos
X⊂Rn
sen necesidade de especica a mé ica,
pois semp e se á a mesma.
Denición 1.20.
Sexa
n∈N
. A bóla echada
n
-dimensional (ou
n
-bóla
echada) de aio
R > 0
e cen o
a∈Rn
de ínese como o conxun o
Bn
a,R =
{x∈Rn:dE(a, x)≤R}
.
As
n
-bólas coas que aballa emos se án semp e echadas e con cen o a
o ixe
a= (0,...,0)
, así que ala emos simplemen e de
n
-bólas de aio
R > 0
.
Ademais, a
n
-bóla de aio
R= 1
(ou di ec amen e
n
-bóla) deno a émola po
Bn
.
Denición 1.21.
Un ec ángulo en
Rn
(ou hipe ec ángulo) é un p odu o
ca esiano
K
de in e alos, is o é,
K= [a1, b1]×···×[an, bn],
onde
ai, bi∈R
,
i∈ {1, . . . , n}
. Se odos os in e alos coinciden, ala emos
de
n
-cubo ou hipe cubo. Un caso pa icula é o
n
-cubo de lado
L
, que é da
o ma
[0, L]×···×[0, L].
Se
L= 1
, ala emos do
n
-cubo unidade
In
ou simplemen e
n
-cubo.
Teo ema 1.22.
Sexa
:X−→ Y
unha aplicación con inua e bixec i a,
onde
X
é compac o e
Y
é Hausdo . En ón
é un homeomo smo.
P oposición 1.23.
O
n
-cubo
In
e o
n
-símplex es ánda
∆n
son homeomo -
os pa a calque a
n∈N
.
Demos ación.
Denimos a aplicación
: ∆n−→ In
. A imaxe de
x=
(x1, . . . , xn)∈∆n
én dada pola exp esión:
(x) = 








x
m´ax{x1,...,xn}
n
P
j=1
xj, x 6= 0,
0, x = 0,
(1.9)
onde es amos usando a no ación
0 = (0,...,0) ∈Rn
.
Obse amos que a di isión que apa ece en (1.9) es á ben denida, pois o
denominado nunca se anula. Tomemos ago a un pun o calque a
x∈∆n
e
examos que
(x)∈In
. O caso
x= 0
é e iden e, así que supoñamos
x6= 0
.
20
CAPÍTULO 1. CONCEPTOS E RESULTADOS PRELIMINARES
Co ola io 1.28.
O
n
-cubo
In
en a p opiedade do pun o xo, pa a calque a
n∈N
.
Demos ación.
É consecuencia do Teo ema 1.26, a P oposición 1.18 e a P o-
posición 1.24.

Capí ulo 2
O eo ema de
Poinca é-Mi anda
Nes e capí ulo p esen a emos o eo ema de Poinca é-Mi anda, que pode
se en endido como unha ex ensión do coñecido Teo ema de Bolzano ao caso
mul idimensional. T as expoñe o seu enunciado clásico e a súa  adución
na linguaxe ma emá ica mode na, desc ibi emos a p oba o ixinal elabo ada
po Ca lo Mi anda en [22]. Así mesmo, p esen a emos ou as posibles p obas
do ci ado eo ema, como as incluídas en [13] e [23].
2.1. Enunciado do eo ema
A p imei a e sión do eo ema de Poinca é-Mi anda oi enunciada en
1883 po Hen i Poinca é nunha dise ación sob e o p oblema dos es co pos
[15]. O au o indicou que o esul ado e a unha consecuencia dun aballo
p e io de Leopold K onecke p esen ado en 1869 (publicado en dúas pa es,
[24] e [25]) e non o eceu ningunha demos ación. O enunciado o ixinal en
[15], unha ez aducido do ancés, é o seguin e:
Sexan
ξ1
,
ξ2
,...,
ξn
uncións con inuas de
n
a iables
x1
,
x2
,...,
xn
;
onde a a iable
xi
es á suxei a a a ia en e os lími es
+ai
e
−ai
.
Supoñamos que, pa a
xi=ai
,
ξi
sexa cons an emen e posi i a, e
pa a
xi=−ai
, cons an emen e nega i a; eu digo que exis e un
sis ema de alo es das
x
pa a o cal odas as
ξ
se anulan.
T as a publicación o ixinal de Poinca é, os ma emá icos que es uda on o eo-
ema de Poinca é-Mi anda u iliza on enunciados lixei amen e dis in os; po
21
22
CAPÍTULO 2. O TEOREMA DE POINCARÉ-MIRANDA
exemplo, modicando o dominio das aplicacións con inuas. Pa a xa a no-
ación e a e minoloxía mode nas, imos da unha p imei a e sión bas an e
ecen e, publicada po Hélène F ankowska en 2018, [26]. En seccións pos e-
io es, esc ibi emos o enunciado conc e o que u ilizou cada au o e da emos
a demos ación co esponden e.
Figu a 2.1:
Jules Hen i Poinca é (1854-1912). Fon e: [27].
Teo ema 2.1.
(Enunciado de F ankowska [26])
Conside emos un núme o
L > 0
e o n-cubo
K= [−L, L]×···×[−L, L]⊂Rn.
Sexa
= ( 1, ..., n) : K−→ Rn
unha unción con inua de o ma que:
i(x)≥0,∀x∈ {(x1, ..., xn)∈K:xi=−L},
(2.1)
i(x)≤0,∀x∈ {(x1, ..., xn)∈K:xi=L}.
(2.2)
En ón,
en un equilib io en
K
; é dici , exis e un pun o
x∗∈K
de xei o
que
(x∗)=0
.
Obse ación
2.2
.
É doado ob e unha e sión algo máis xe al do Teo ema
2.1. Po exemplo, podemos mul iplica po
−1
algunha coo denada
i
, con
i∈ {1, . . . , n}
, sen que is o modique as consecuencias do eo ema. Nou as
palab as, pa a di a coo denada
i
-ésima, a condición (2.1) non en po que i
asociada ao hipe plano
xi=−L
, senón que pode ía es a asociada a
xi=L
e ice e sa pa a a desigualdade (2.2).
2.2. PRIMEIRA PROBA DO TEOREMA
23
Obse ación
2.3
.
Unha in e p e ación da obse ación an e io é que o Teo-
ema 2.1 a ma que odo campo ec o ial en an e nun hipe cubo
K
en un
ce o en
K
. Se mul iplicamos po
−1
odas as desigualdades (2.1) e (2.2),
ob emos unha e sión análoga do eo ema: odo campo ec o ial saín e nun
hipe cubo
K
en un ce o en
K
.
2.2. P imei a p oba do eo ema
A p oposición de Poinca é pe maneceu esquecida du an e décadas [28] a é
o ano 1940, cando oi edescube a po Sil io Cinquini [29]. El mesmo xo
unha en a i a de demos ación, pe o esul ou es a incomple a. Ese mesmo
ano, Ca lo Mi anda es udou o p oblema que lle p opuxo Cinquini e publicou
a p imei a p oba igo osa [22], baseándose na equi alencia da p oposición
de Poinca é co eo ema do pun o xo de B ouwe . No noso caso, como xa
demos amos o Co ola io 1.28, se á sucien e con p oba que o eo ema de
Poinca é-Mi anda é consecuencia do eo ema de B ouwe .
Figu a 2.2:
Ca lo Mi anda (1912-1982). Fon e: [30].
Teo ema 2.4.
(Enunciado de Mi anda [22])
Se
1, 2, . . . , n
son
n
uncións
de a iable
(x1, x2, . . . , xn)
con inuas no n-cubo
K= [−L, L]×···×[−L, L]
e ales que e ican as desigualdades
i(x1, . . . , xi−1,−L, xi+1, . . . , xn)≥0,
(2.3)
i(x1, . . . , xi−1, L, xi+1, . . . , xn)≤0,
(2.4)
24
CAPÍTULO 2. O TEOREMA DE POINCARÉ-MIRANDA
en ón exis e polo menos unha solución do seguin e sis ema:
i(x1, x2, . . . , xn)=0, i = 1,2, . . . , n.
(2.5)
Demos ación.
Imos demos a que o Teo ema 2.4 é consecuencia do Co o-
la io 1.28. En p imei o luga , podemos supoñe que as desigualdades (2.3) e
(2.4) se dan en sen ido es i o (xus ica emos is o ao nal da p oba). Así, é
posible deni as can idades
εi
, pa a
i= 1, ..., n
, de o ma que cump an
0< εi<−δ0
i
mi
,
(2.6)
0< εi<δ00
i
Mi
,
(2.7)
onde
δ0
i
e
δ00
i
son as dis ancias dos conxun os
A= −1
i(−∞,0)
e
B=
−1
i(0,∞)
aos hipe planos
xi=−L
e
xi=L
, espec i amen e; e
mi
e
Mi
son o mínimo (nega i o) e o máximo (posi i o) da
i
no seu dominio.
No emos que o conxun o
A
é echado (p eimaxe dun echado po
con-
inua) e o hipe plano
xi=−L
es inxido a
K
é compac o (subconxun o
echado de
K
compac o) e, ademais, son conxun os disxun os. Polo an o, é
cla o que a dis ancia
δ0
i
é posi i a. Cun azonamen o análogo, emos que
δ00
i
amén é unha dis ancia posi i a.
Po ou a pa e, denimos as seguin es uncións:
Fi=xi+εi· i.
(2.8)
É cla o que es as no as
Fi
e ican a condición
|Fi| ≤ L
, logo es amos nas
hipó eses do Co ola io 1.28 e exis e un pun o xo
xi=Fi(xi)
. Despexando
en (2.8), deducimos que o sis ema (2.5) en solución, como que íamos p oba .
En caso de que as desigualdades (2.3) e (2.4) non se cump isen en sen ido
es i o, bas a ía oma
ε > 0
e deni as uncións
0
i= i−ε·xi,
(2.9)
de xei o que (2.3) e (2.4) xa se sa is án de xei o es i o e podemos deni
as can idades
ε0
i
como en (2.6) e (2.7). Podemos epe i o p oceso an e io e
deni unhas uncións análogas a (2.8), is o é,
F0
i= (1 −ε·ε0
i)·xi+ε0
i· 0
i.
(2.10)
Tomando
ε
sucien emen e pequeno, é cla o que podemos limi a as uncións
F0
i
nun ce o hipe cubo
K0
e, aplicando o Co ola io 1.28, asegu amos a exis-
encia dunha solución pa a
0
i= 0
. Facendo
ε→0
e pola exp esión (2.9),
is o ga an e que o sis ema (2.5) en un ce o, como que íamos p oba .
2.3. ALGUNHAS PROBAS ALTERNATIVAS
25
Obse ación
2.5
.
É in e esan e demos a amén a ou a implicación que
deu Mi anda en [22], is o é, que o Co ola io 1.28 é consecuencia do Teo ema
2.4. Des a o ma, queda á p obada a equi alencia dos eo emas de Poinca é-
Mi anda e de B ouwe .
Supoñamos que
F1, . . . , Fn
son uncións nas condicións do Co ola io 1.28.
Podemos p olonga cada
Fi
a odo
R
man endo a es ición
|Fi| ≤ L
. De-
nimos ago a
i=Fi−xi.
(2.11)
Podemos encon a un
L0>0
sucien emen e g ande pa a que se cump an
as desigualdades (2.3) e (2.4). Polo Teo ema 2.4, o sis ema (2.5) en polo
menos unha solución. Despexando en (2.11), is o signica que
Fi
en un
pun o xo. Ademais, a condición
|Fi| ≤ L
pe mí enos asegu a que odo
pun o
(x1, ..., xn)
es á con ido no hipe cubo
|xi| ≤ L
; polo an o, o pun o
xo amén es á nese hipe cubo.
2.3. Algunhas p obas al e na i as
A pa i do a igo [22] publicado po Mi anda en 1940, o esul ado co-
mezou a se coñecido como o eo ema de Poinca é-Mi anda. Múl iples ma e-
má icos eñen e isado es e esul ado, o ecendo di e sas p obas al e na i as
ou simplicando os a gumen os o ixinais que u ilizou Mi anda. Nas seguin es
seccións p esen amos unha selección dalgunhas desas demos acións.
2.3.1. No a p oba u ilizando o eo ema do pun o xo de
B ouwe
O ma emá ico belga Jean Mawhin é un dos maio es expe os no eo ema
de Poinca é-Mi anda. En e ou os a igos, en 2007 publicou unha e isión
exhaus i a do eo ema do pun o xo de B ouwe e as súas equi alencias,
onde se dá unha e e encia comple a da his o ia do eo ema de Poinca é-
Mi anda [28]. Nun a igo pos e io de 2019, el mesmo o eceu unha p oba
al e na i a [23]. A de andi a p oba es á baseada nunha aplicación al e na i a
do eo ema de B ouwe e, a di e enza da e sión de Mi anda, é moi o máis
di ec a, e i ando e que dis ingui os casos de desigualdades es i as e non
es i as.
Teo ema 2.6.
(Enunciado de Mawhin [23])
Conside emos un hipe ec án-
gulo
K= [−R1, R1]×···×[−Rn, Rn]⊂Rn
e unha aplicación
:K−→ Rn

26
CAPÍTULO 2. O TEOREMA DE POINCARÉ-MIRANDA
con inua, de manei a que pa a cada
i∈ {1, . . . , n}
se cump e:
i(x)≤0,∀x∈ {(x1, ..., xn)∈K:xi=−Ri},
(2.12)
i(x)≥0,∀x∈ {(x1, ..., xn)∈K:xi=Ri}.
(2.13)
En ón,
en polo menos un ce o en
K
.
Demos ación.
Comezamos denindo a aplicación
p:Rn−→ Rn
, cuxa com-
poñen e
i
-ésima pa a o pun o
x= (x1, . . . , xn)
én dada pola exp esión:
pi(x) =

















−Ri, x ∈(−∞,−Ri),
xi, x ∈[−Ri, Ri],
Ri, x ∈(Ri,∞).
(2.14)
É ácil e que
p(x) = x
pa a odo
x∈K
e que
p(Rn)⊂K
. En pa icula ,
is o úl imo implica que
|p(x)| ≤ qPn
j=1 R2
j
pa a odo
x∈K
.
Ago a, denimos unha no a aplicación (con inua)
g:Rn−→ Rn
dada
po
g=p− ◦p
. Pa a un pun o calque a
x∈Rn
, podemos limi a a
aplicación:
|g(x)| ≤ |p(x)|+| (p(x))| ≤
u
u
n
X
j=1
R2
j+ m´ax
x∈K| (x)|:= R0
Tal e como denimos a can idade
R0
, é inmedia o comp oba que
g
le a
a bóla
BR0
en si mesma. Polo an o, es amos en condicións de aplica o
Co ola io 1.27 e podemos asegu a a exis encia dun pun o xo pa a a unción
g
, é dici :
x∗=p(x∗)− (p(x∗)).
(2.15)
Pa a concluí , bas a ía e que
x∗∈K
pois nese caso e íamos
p(x∗) = x∗
e (2.15) implica ía
(x∗)=0
. Se i ésemos que
x∗6∈ K
, en ón exis i ía
i∈ {1, . . . , n}
al que
x∗
i<−Ri
ou
x∗
i> Ri
. Sen pe da de xene alidade.
omemos o p imei o caso. Usando a denición de
pi
en (2.14) e que
x∗
é un
pun o xo segundo (2.15), emos que
−Ri> x∗
i=pi(x∗)− i(pi(x∗)) = −Ri− i(pi(x∗)) ≥ −Ri,
o cal é un absu do.
2.3. ALGUNHAS PROBAS ALTERNATIVAS
27
2.3.2. P oba u ilizando mé odos combina o ios
En apa ados p e ios, es udamos que o lema de Spe ne asegu aba a exis-
encia dun ce o ipo de colo ación pa a o
n
-símplex, o cal daba unha p oba
elemen al do eo ema do pun o xo de B ouwe . Algúns ma emá icos, co-
mo Kuhn [31] ou Wolsey [32], enuncia on as súas p opias e sións cúbicas do
lema de Spe ne , is o é, adap adas ao
n
-cubo combina o io. En 1997, o ma e-
má ico polaco Wladyslaw Kulpa publicou un a igo [13] no que demos a un
esul ado análogo ao lema de Spe ne e, como consecuencia, p oba o eo ema
de Poinca é-Mi anda. A di e enza das p obas de Mi anda e Mawhin, Kulpa
non eco e ao eo ema de B ouwe . A súa p oba é bas an e elemen al, no
sen ido de que só p ecisamos do concep o de
n
-cubo combina o io e algun-
has p opiedades básicas, ademais dun lema écnico de conxun os compac os
(Lema 1.25).
Teo ema 2.7.
(Enunciado de Kulpa [13]) Conside emos o
n
-cubo unida-
de
In= [0,1]n⊂Rn
e, pa a cada
i≤n
, as
i
-ésimas ca as pos e io es e
an e io es:
I−
i={x∈In:xi= 0},
I+
i={x∈In:xi= 1}.
Conside emos amén a unción con inua
:In−→ Rn
, de xei o que pa a
cada
i≤n
se e ica
i(I−
i)⊂(−∞,0]
e
i(I+
i)⊂[0,∞)
. En ón, exis e un
pun o
c∈In
al que
(c)=0
.
Demos ación.
Comezamos denindo os conxun os
H−
i= −1
i(∞,0]
e
H+
i=
−1
i[0,∞)
. Obse emos que
In=H−
i∪H+
i
, pa a calque a
i∈ {1, . . . , n}
.
Denimos amén
F0=In
e
Fi=H+
i I−
i
, pa a
i∈ {1, . . . , n}
. Así, podemos
cons uí a aplicación
ϕ:In−→ {0, . . . , n}
, dada po :
ϕ(x) = m´ax (j:x∈
j
k=0
Fk).
(2.16)
Imos es uda algunhas p opiedades impo an es da unción
ϕ
:
P opiedade
1
: Se
x∈I−
i
, en ón
ϕ(x)< i
. Is o é consecuencia de
I−
i∩Fi=∅
e de (2.16).
P opiedade
2
: Se
x∈I+
i
, en ón
ϕ(x)6=i−1
. Pa a comp obalo, su-
poñamos pola con a que
ϕ(x) = i−1
. Po (2.16), is o signica que
x∈Ti−1
k=0 Fk
e
x /∈Fi
. Pe o, po ou o lado
x∈I+
i⊆H+
i
e
I+
i∩I−
i=∅
,
polo que
x∈Fi
e chegamos a unha con adición.
28
CAPÍTULO 2. O TEOREMA DE POINCARÉ-MIRANDA
P opiedade
3
: Se
ϕ(x) = i
, en ón
x∈H+
i
. É consecuencia de (2.16) e
de que
In=H−
i∪H+
i
.
P opiedade
4
: Se
ϕ(x) = i−1
, en ón
x∈H−
i
. É consecuencia de (2.16)
e de que
In=H−
i∪H+
i
.
P opiedade
5
: Pa a calque a subconxun o
S⊂In
, se
ϕ(S∩Iε
i) =
{0,1, . . . , n−1}
, en ón
i=n
e
ε=−
. É consecuencia das P opiedades
2.3.2 e 2.3.2.
Conside emos ago a o
n
-cubo combina o io
C(k)
. Di emos que un subcon-
xun o
S⊆C(k)
de
l+ 1
pun os é admisible se
ϕ(S) = {0, . . . , l}
. Imos
p oba po indución na dimensión
n
que o núme o de
n
-símplices admisibles
en
C(k)
,
α(C(k))
, é semp e impa . O caso
n= 0
é e iden e, pois
C(k) = {0}
e
S={0}
é o único
0
-símplex admisible, logo emos
α(C(k)) = 1
impa .
Supoñamos ce o pa a
(n−1)
-símplices e conside emos un
n
-símplex
S=
[z0, . . . , zn]⊆C(k)
en
Zn
k
. Sexa
α(S)
o núme o de
(n−1)
-ca as admisibles
de
S
. Se
S
é admisible, en ón
ϕ(S) = {0, . . . , n}
e a única
(n−1)
-ca a
admisible é a que se ob én eliminando o é ice
zi
al que
ϕ(zi) = n
. Polo
an o,
α(S) = 1
. Se
S
non é admisible, dis inguimos dous casos:
1. Se
ϕ(S) = {0, . . . , n −1}
, is o signica que hai dous índices
i6=j
pa a os cales ,
zi=zj
, de o ma que se omi imos algún deses é ices,
ob emos unha
(n−1)
-ca a admisible. É dici ,
α(S) = 2
.
2. Se
{0, . . . , n−1}*ϕ(S)
, non hai ningunha o ma de omi i un é ice
pa a o ma unha
(n−1)
-ca a admisible, logo
α(S) = 0
.
Conside emos odos os posibles
n
-símplices
S⊆C(k)
. Podemos esc ibi a
ecuación
α(C(k)) ≡X
S
α(S) m´od 2,
(2.17)
xa que se
S
non é admisible,
α(S)≡0 m´od 2
, así que non con ibúe ao
sumando da de ei a.
Po ou a pa e, imos aplica o Lema 1.15 á nosa si uación. Se
S
en
unha
(n−1)
-ca a na on ei a de
C(k)
, en ón o
S[i]
que compa a esa ca a
con
S
non pode es a den o de
C(k)
, así que esa
(n−1)
-ca a só es á en
S
.
Se a
(n−1)
-ca a non es á na on ei a, en ón es á compa ida exac amen e
po dous
n
-símplices en
C(k)
, o p opio
S
e o
S[i]
co esponden e.
Pola ecuación (2.17), as
(n−1)
-ca as admisibles que non es ean na on-
ei a de
C(k)
es án con ándose po duplicado e, como es amos aballando en
2.4. CONDICIÓNS PARA A UNICIDADE DE SOLUCIÓN
29
módulo
2
, non a ec an á suma o al. É dici , só conside amos
F⊂∂C(k)
, on-
de
F
é unha
(n−1)
-ca a admisible. A P opiedade 2.3.2 implica que
F⊂C+
n
e, como imos na Denición 1.13,
F
pode pensa se como un
(n−1)
-símplex
en
Zn−1
k
. Polo an o, podemos aplica a hipó ese de indución a
PSα(S)
e
asegu amos que é un núme o impa . Po (2.17), is o implica que
α(C(k))
é
impa , como que íamos p oba .
En pa icula , acabamos de demos a que, pa a calque a
k > 1
, semp e
exis e un
n
-símplex admisible
Sk⊂C(k)
, is o é, al que
ϕ(Sk) = {0, . . . , n}
.
Polas P opiedades 2.3.2 e 2.3.2, é cla o que exis en pun os
x, y ∈Sk
ales
que
x∈H+
i
e
y∈H−
i
, pa a cada
i∈ {1, . . . , n}
. Nou as palab as:
H+
i∩Sk6=∅ 6=H−
i∩Sk,∀i∈ {1, . . . , n}.
Ademais, diam
(Sk) = √n
k
pola ecuación (1.8), logo
l´ımk→∞
diam
(Sk) = 0
.
Obse emos amén que os conxun os
H+
i
e
H−
i
son compac os, po se e-
chados e limi ados. En ón, aplicando o Lema 1.25, podemos ga an i que o
conxun o
H=
n
i=1
(H+
i∩H−
i)
non é balei o. Po ou a pa e, é cla o que calque a pun o
c∈H⊂In
e ica
(c) = 0
. En conclusión, asegu amos a exis encia dun pun o
c∈In
que cump e
(c)=0
.
2.4. Condicións pa a a unicidade de solución
Nas seccións an e io es, imos que o eo ema de Poinca é-Mi anda ga-
an e a exis encia dun ce o, pe o en ningún momen o emos asegu ada a
súa unicidade. Temos a mo i ación do que acon ece no caso unidimensional,
is o é, o eo ema de Bolzano. Nesas condicións, se unha unción con inua
:I−→ R
cambia de signo no in e alo
I
, en ón exis e unha aíz de
en
I
. Ademais, se
é de i able e a de i ada é es i amen e posi i a en odo
R
(ou equi alen emen e, es i amen e nega i a), en ón di a aíz é única.
Conside ando dimensións supe io es, é azoable pensa nunha analoxía
dese esul ado pa a Poinca é-Mi anda; is o é, se exis e a ma iz xacobiana
e é denida (posi i a ou nega i a) en odo
Rn
, en ón o ce o é único. Ve-
emos que e ec i amen e es a p oposición é ce a e, de ei o, é semellan e
ao eo ema undamen al de inxec i idade de Gale-Nikaido-Inada, que pode
consul a se en [33]. Pa a acili a os cálculos, nós es inxi emos un pouco
máis as hipó eses e asumi emos que a aplicación de pa ida é de clase
C1
.
36
CAPÍTULO 3. APLICACIÓNS
desigualdades (2.23) e (2.24) no ec ángulo
K
:
1(0, y) = 1
2(y−3) <0,∀y∈[0,2],
(3.3)
1(1, y) = y2+y
2+1
6>0,∀y∈[0,2],
(3.4)
2(x, 0) = −x
2−3<0,∀x∈[0,1],
(3.5)
2(x, 2) = 2x2−x
2+13
3>0,∀x∈[0,1].
(3.6)
Vexamos ago a a inxec i idade de
. O p imei o paso é calcula as de i adas
pa ciais de p imei a o de e cons uí a ma iz xacobiana:
J (x, y) = 




2x2+y2+ 1 2xy +1
2
2xy −1
22y2+x2+ 1





.
Pa a e que
J (x, y)
é denida, aplicamos a P oposición 2.12. Temos que e-
ica a inecuación (2.25) pa a odo
(x, y)∈R2
. Desen ol endo e ag upando
e mos axei adamen e, ob emos a desigualdade
2x4+ 2y4+x2y2+ 3x2+ 3y2+ 1 >0,
que cla amen e é ce a pa a odo
(x, y)∈R2
. Ademais,
a(x, y)>0
nes a
ma iz, así que
J (x, y)
é denida posi i a. Es amos en ón nas condicións
do Co ola io 2.11, polo que ga an imos a exis encia e unicidade dun pun o
(x∗, y∗)∈K
al que
(x∗, y∗)=0
.
Na Figu a 3.1, imos es uda cal é a in e p e ación g áca des e esul ado.
O ec ángulo
K
apa ece ep esen ado en co e de. As desigualdades (3.3) e
(3.4) asegu an que a unción
1
é nega i a no lado esque do de
K
e posi i a
no lado de ei o. A con inuidade de
1
implica que, se omamos calque a
camiño do lado esque do ao lado de ei o de
K
(ou ice e sa), debemos pasa
po un pun o onde
1
sexa nula. Is o signica que exis e unha ce a cu a
na que
1
ale ce o e que di ide
K
nunha pa e esque da e nunha pa e
de ei a (na g áca, a cu a e mella). De igual modo, azoamos que debe
habe unha cu a en cuxos pun os
2
é ce o e que ademais di ide
K
nunha
pa e supe io e nunha in e io (na g áca, a cu a azul). Obse amos na
Figu a 3.1 que di as cu as deben co a polo menos nun pun o, que se á
unha aíz de
. Pa a a nosa aplicación pa icula , obse amos que o pun o
(x∗, y∗)∈K
é único, al e como asegu amos coa condición de unicidade.

3.2. RESOLUCIÓN DUN PROBLEMA FÍSICO
37
Figu a 3.1:
Cu as implíci as
1(x, y)=0
e
2(x, y) = 0
no ec ángulo
[0,1]×[0,2]
.
Ademais, podemos emp ega mé odos numé icos xa implemen ados pa a
da unha ap oximación dese pun o
(x∗, y∗)
. A es imación ob ida é:
x∗≈0,282871,
y∗≈1,35909.
3.2. Resolución dun p oblema ísico
O p oblema dos es co pos xu diu no século XVIII coa mo i ación de
modela o compo amen o do Sol, a Te a e a Lúa dunha o ma p ecisa. O
p oblema oi amplamen e es udado no século XIX an o po ísicos como
po ma emá icos, debido á súa es ei a elación coas ecuacións di e enciais
e os sis emas dinámicos. Xa emos comen ado que Hen i Poinca é publicou
esul ados impo an es ace ca des e ema en 1883 [15] e en 1886 [16]; de ei o,
oi p ecisamen e nes e con ex o no que o ma emá ico o mulou o eo ema de
Poinca é-Mi anda.
En xe al, o p oblema dos
n
co pos, pa a
n∈N
, pode se o mulado
da seguin e manei a. Conside emos
n
pa ículas no espazo
R3
. Pa a
i∈
38
CAPÍTULO 3. APLICACIÓNS
{1, . . . , n}
, a pa ícula
i
-ésima en masa pun ual
mi∈R
e o seu ec o de
posición denó ase po
i= i( )∈R3
. Coñecemos os alo es iniciais da
posición
i(0)
, da elocidade
0
i(0)
e da acele ación
00
i(0)
. O noso obxec i o
se á de e mina a e olución empo al das
n
pa ículas en calque a ins an e,
{ 1( ), . . . , n( )}
. Es e conxun o ecibe o nome de solución ou congu ación
do sis ema.
As pa ículas seguen a lei de g a i ación de New on, is o é, a in e acción
mu ua en e as pa ículas
i
e
j
én dada po
Fij =Gmimj( i− j)
k i− jk3,
(3.7)
onde
G
é a cons an e de g a i ación uni e sal. A ecuación (3.7) pode in-
oduci se na segunda lei de New on e, sumando pa a odas as pa ículas,
ob emos a ecuación do mo emen o da pa ícula
i
-ésima:
mi
d2 i
d 2=
n
X
j=1,j6=i
Gmimj( i− j)
k i− jk3.
(3.8)
Aplicando a ecuación (3.8) a odas as pa ículas e, endo en con a que cada
ec o de posición en es coo denadas, ob emos un sis ema de
3n
ecuacións
di e encias o dina ias de segunda o de. O p oblema dos
n
co pos consis e
en encon a unha solución des e sis ema en o ma echada, é dici , unha
exp esión cunha can idade ni a de ope acións a i mé icas.
O caso
n= 1
é i ial e, pa a
n= 2
, pode encon a se unha solución en
o ma echada de xei o bas an e simple. Po én, o caso
n= 3
é no ablemen-
e complexo. Ao longo das décadas, ma emá icos como Eule , Lag ange ou
D'Alembe p esen a on modelos pa a casos pa icula es do p oblema dos
es co pos, pe o a solución xe al pe maneceu sen esol e [38]. Non oi a é
1887 cando Hein ich B uns p obou en [39] que, de ei o, é imposible encon a
unha solución en o ma echada pa a
n≥3
.
Debemos des aca que é posible esol e o malmen e o p oblema dos
n
co pos median e se ies de Taylo . O caso idimensional oi p obado en 1912
po Ka l Sundman [40] e en 1991 o ma emá ico Quidong Wang xene alizouno
pa a
n > 3
, en [41]. Po én, ao a a se dunha se ie inni a, é necesa io un-
cala nun núme o ni o de e mos pa a aplicala a calque a si uación p ác ica,
pe dendo así a exac i ude. Ademais, o uncamen o da se ie é moi pouco
ecien e desde o pun o de is a compu acional, polo que no malmen e se
u ilizan ou os mé odos numé icos máis sos icados.
Pa a o noso aballo, imos es uda unha e sión simplicada do p oblema
que se coñece como ap oximación dos
1 + n
co pos. Nes a si uación, consi-
de amos que un dos co pos en unha masa signica i amen e maio que as
3.2. RESOLUCIÓN DUN PROBLEMA FÍSICO
39
ou as
n
pa ículas, cuxas masas pódense desp eza . Es es supos os seme-
llan unha boa opción pa a es uda un sis ema plane a io, pois no malmen e
a es ela é moi o máis masi a que os plane as que o bi an a edo dela. Po
es a mesma azón, é azoable p ocu a solucións planas, xa que ese é o com-
po amen o que obse amos nos mo emen os pe iódicos dos plane as. Po
úl imo, amén é cohe en e p ocu a solucións cen ais: en ez de conside a
as in e accións indi iduais, podemos asumi que a o za g a i a o ia esul-
an e que ac úa sob e cada pa ícula é a que exe ce o cen o de masas (nes e
caso, o co po masi o) e a acele ación inducida é p opo cional á dis ancia
en e ambos co pos.
Tendo en con a odas es as condicións e ap oximacións, podemos ans-
o ma o sis ema de
6n
ecuacións di e enciais do ipo (3.8) nun no o sis ema
de
n
ecuacións alxéb icas. En e ec o, pode demos a se (po exemplo, en [42])
que as solucións cen ais planas (SCP) do p oblema dos
1 + n
co pos son
ó bi as sob e un mesmo cí culo cen ado no co po masi o. Podemos supoñe
di o cí culo de aio unidade e cen o na o ixe de coo denadas. Des e xei o,
as
n
axec o ias son es ables, pe iódicas no empo e, en ce o modo, só de-
penden das condicións iniciais. Pe o non odas as congu acións angula es
das
n
pa ículas sob e o cí culo dan luga a unha SCP. Os ángulos iniciais
deben cump i unhas ce as condicións, que es uda emos a con inuación.
Sexa
θi∈S1⊂R2
a posición angula inicial (en adiáns) que o ma a
pa ícula
i
-ésima co co po masi o. Denimos a unción
:S1−→ R
, dada
po :
(θ) = 1−√2
4p(1 −cos θ)3!sen θ.
(3.9)
En ón, como pode e se en [42], as SCP do p oblema dos
1+n
co pos deben
sa is ace un sis ema de
n
ecuacións. A ecuación
i
-ésima, onde
i∈ {1, . . . , n}
,
én dada pola exp esión:
n
X
j=1
(θj−θi)=0.
(3.10)
Imos es uda o caso
n= 4
. Denimos as no as a iables
u=θ2−θ1
,
=
θ3−θ1
e
w=θ4−θ1
. En ón, o sis ema do ipo (3.10) pode educi se a un
sis ema equi alen e de es ecuacións:





(u) + ( ) + (w) = 0,
(u)− ( −u)− (w−u) = 0,
( )− (u− )− (w− ) = 0,
40
CAPÍTULO 3. APLICACIÓNS
onde es amos a usa a p opiedade
(−θ) = − (θ)
, que se deduce de (3.9)
polo ei o de que a unción seno é impa . Nó ese que a cua a ecuación que
apa ece ía
(w)− (u−w)− ( −w) = 0
se ía edundan e.
Sen pe da de xene alidade, imos p ocu a SCP simé icas; is o é, aquelas
que e ican
θ4−θ3=θ2−θ1
. Con es a condición, é inmedia o e que
w=u+
, co cal podemos elimina unha ecuación no sis ema an e io . É
máis, podemos deni unha no a aplicación
g:S1×S1−→ R2
coa seguin e
exp esión:
g1(u, ) = (u) + ( ) + (u+ ),
g2(u, ) = (u)− ( )− ( −u).
Des e xei o, as SCP simé icas do p oblema dos
1+4
co pos poden acha se,
p ecisamen e, a pa i das aíces des a aplicación
g
. Imos aplica o Teo ema
2.6 pa a asegu a a exis encia dun ce o. Conside emos o ec ángulo
K=
[0,7; 0,8] ×[1,3; 1,5] ⊂S1
e examos que a aplicación
g:K−→ R2
é
con inua en
K
. En e ec o, pola ecuación (3.9), a unción
é con inua no
in e alo
(0, π)
. Dado un pun o
(u, )∈K
, é cla o que
u
e
non poden ale
nin
0
nin
π
. Ademais, podemos ace as siguien es limi acións:
0<2≤u+ ≤2,3< π,
0<0,5≤ −u≤0,8< π.
Polo an o, es amos e i ando as dúas singula idades de
e
g
é con inua en
odo o dominio
K
, como que iamos p oba .
Ago a, debemos es uda as desigualdades (2.12) e (2.13). O p imei o
paso é es uda o compo amen o c ecen e ou dec ecen e de
. Obse ando a
exp esión (3.9), é sinxelo e que
é c ecen e en
0,π
2
, xa que é un p odu o
de dúas uncións c ecen es onde un ac o é posi i o nese in e alo.
Po ou a pa e, aplicando a eg a do p odu o, podemos calcula a de i-
ada de
:
0(θ) = 1−√2
4p(1 −cos θ)3!0
sen θ+ 1−√2
4p(1 −cos θ)3!cos θ.
Vexamos o compo amen o de
0
en
π
2, π
. O p imei o sumando é un p o-
du o de dúas uncións, onde o seno cla amen e é dec ecen e e posi i o nese
in e alo. Ademais, se desen ol emos a ou a de i ada, ob emos
3 sen θ
4√2(1 −cos θ)5/2,
3.2. RESOLUCIÓN DUN PROBLEMA FÍSICO
41
que é un cocien e con nume ado dec ecen e, denominado c ecen e e posi i o
en
π
2, π
. Polo an o, o p imei o sumando de
0
é un p odu o de uncións
dec ecen es e posi i as no in e alo dado. En can o ao segundo sumando, é
o p odu o dunha unción c ecen e posi i a po unha dec ecen e nega i a, así
que ese sumando amén é dec ecen e. Polo an o,
0
é suma de dúas uncións
dec ecen es, así que
0
é dec ecen e en
π
2, π
. Ademais,
0(2) <0
, logo
0
é
nega i a en
(2, π)
e deducimos que
é dec ecen e en
(2, π)
.
En esumo, acabamos de p oba anali icamen e o compo amen o c e-
cen e e dec ecen e de
espec i amen e nos in e alos
0,π
2
e
(2, π)
, que é
o que p ecisamos pa a os seguin es cálculos. Como complemen o, podemos
u iliza mé odos numé icos e comp oba que
en un máximo no pun o
θ∗≈1,891
, sendo
c ecen e no in e alo
(0, θ∗)
e dec ecen e en
(θ∗, π)
. Co-
mo es amos aballando cunha unción eal, podemos isualiza a si uación
na Figu a 3.2.
Figu a 3.2:
G áca da unción
no in e alo
(0,7; π)
.
Tendo en con a o compo amen o de
, comp obemos (2.12) e (2.13).

42
CAPÍTULO 3. APLICACIÓNS
Pa a calque a
u∈[0,7; 0,8]
e
∈[1,3; 1,5]
, emos que:
g1(0,7; )≤ (0,7) + (1,5) + (2) ≈ −0,031 <0,
g1(0,8; )≥ (0,8) + (1,3) + (2,3) ≈0,24 >0,
g2(u; 1,3) ≤ (0,7) − (1,3) − (0,6) ≈0,40 >0,
g2(u; 1,5) ≥ (0,8) − (1,5) + (0,7) ≈ −0,031 <0.
Des a o ma, es amos en condicións de aplica o Teo ema 2.6 e asegu amos
a exis encia dun pun o
(u∗, ∗)∈K
al que
g(u∗, ∗)=0
. Nou as palab as,
ga an imos que exis e unha SCP simé ica pa a o p oblema dos
1 + 4
co -
pos. Como na sección an e io , podemos debuxa unha g áca coas cu as
implíci as
g1(u, ) = 0
e
g2(u, ) = 0
(Figu a 3.3) e isualiza a exis encia
desa aíz de
g
.
Figu a 3.3:
Cu as
g1(u, ) = 0
e
g2(u, )=0
no ec ángulo
[0,7; 0,8] ×[1,3; 1,5]
.
Finalmen e, amén é in e esan e da unha ap oximación numé ica da aíz
3.2. RESOLUCIÓN DUN PROBLEMA FÍSICO
43
(u∗, ∗)
. Unha ap oximación é:
u∗≈0,724272,
∗≈1,376255.
Capí ulo 4
Conclusións
O noso es udo do eo ema de Poinca é-Mi anda pa iu dunha mo i ación
moi conc e a: xene aliza o eo ema de Bolzano a dimensións supe io es. Con
odo, ao longo do aballo imos que es e esul ado en múl iples implicacións
e aplicacións que an máis alá da análise ma emá ica. Así, median e o uso de
e amen as combina o ias e opolóxicas, p opo cionamos es demos acións
al e na i as do eo ema. Tamén es ablecemos que o eo ema de Poinca é-
Mi anda, o eo ema do pun o xo de B ouwe e o lema de Spe ne son odos
equi alen es en e eles; un ei o in e esan e se emos en con a que os es
esul ados o ixiná onse en con ex os his ó icos ben dis in os.
Po ou a pa e, espondemos a algunhas cues ións que xo den na u al-
men e ao enuncia o eo ema. Des e modo, imos que podemos asegu a a
unicidade de solución se impoñemos ce as condicións máis es i i as na
aplicación de pa ida. Ademais, deducimos que o eo ema pode aplica se en
dominios máis xe ais que o
n
-cubo, acendo unha demos ación explíci a pa-
a a
n
-bóla. Tamén comp obamos as hipó eses do eo ema nunha unción
bidimensional pa icula e p esen amos unha in e p e ación g áca que, en
ce o modo, é semellan e á que se es uda no caso do eo ema de Bolzano.
Finalmen e, cabe des aca que, ademais do in e ese in ínseco e his ó-
ico, o eo ema de Poinca é-Mi anda en ce a ele ancia na in es igación
ma emá ica ac ual. En seccións an e io es p esen amos di e sos aballos de
ecen e publicación, como po exemplo [26] ou [35], nos que se es udan ex-
ensións, xene alizacións e ou as cues ións eó icas ela i as ao eo ema. É
máis, como imos en [37], o esul ado en aplicacións mode nas en campos
di e en es ás ma emá icas, como a bioloxía, a mecánica ou a enxeña ía.
45