O teorema de Poincaré-Miranda

Traballo Fin de Grao O teorema de Poincaré-Miranda Julio Novoa Fernández 2019  2020 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA GRAO DE MATEMÁTICAS Traballo Fin de Grao O TEOREMA DE POINCARÉ-MIRANDA Julio Novoa Fernández Setembro 2020 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA iii Traballo proposto Área de Coñecemento: ANÁLISE MATEMÁTICA Título: O TEOREMA DE POINCARÉ-MIRANDA Titor/a: Rosana Rodríguez López (cotitor: Daniel Cao Labora) Breve descrición do contido O teorema dos valores intermedios, un resultado de capital importancia na Análise Matemática, establece que unha función continua nun intervalo compacto acada todos os valores comprendidos entre aqueles que toma nos seus extremos. Como consecuencia deste resultado, dedúcese o teorema de Bolzano, así como outras relevantes propiedades das funcións continuas denidas en intervalos. O teorema de Poincaré-Miranda constitúe unha xeneralización de grande interese ao caso multidimensional, establecendo unha condición suciente para que unha función continua do cubo [−1,1]n con valores en Rn se anule nalgún punto; condición que se establece en termos dos signos das compoñentes da función en certas caras contrapostas do cubo. O presente traballo está centrado no estudo dunha demostración do mencionado resultado, podendo tamén analizar certas extensións e estudar algunhas das súas posibles aplicacións. Recomendacións Aconséllase ter superado as materias Continuidade e Derivabilidade de Funcións dunha Variable Real e Diferenciación de Funcións de Varias Variables Reais, ademais de ter coñecementos de programas de cálculo simbólico. Índice xeral Resumo ................................. vii Introdución 1 1. Conceptos e resultados preliminares 1 1.1. Combinatoria do n -símplex e o lema de Sperner . . . . . . . . 1 1.2. Propiedades do n -cubo combinatorio . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Resultados topolóxicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4. O teorema do punto xo de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . 17 2. O teorema de Poincaré-Miranda 21 2.1. Enunciado do teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2. Primeira proba do teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3. Algunhas probas alternativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3.1. Nova proba utilizando o teorema do punto xo de Brouwer.......................... 25 2.3.2. Proba utilizando métodos combinatorios . . . . . . . . 27 2.4. Condicións para a unicidade de solución . . . . . . . . . . . . 29 2.5. Xeneralización do teorema a outros dominios . . . . . . . . . 33 3. Aplicacións 35 3.1. Exemplo de comprobación do teorema . . . . . . . . . . . . . 35 3.2. Resolución dun problema físico . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4. Conclusións 45 v Resumo Resumo O teorema de Poincaré-Miranda establece unha condición suciente para garantir que unha aplicación continua f:K−→ Rn ten un cero en K , onde K⊂Rn é un n -cubo e n∈N . O obxectivo principal deste traballo é enunciar e demostrar dito resultado, revisando a proba orixinal de Carlo Miranda e proporcionando dúas probas alternativas. Con este n, introducimos unha serie de conceptos necesarios de combinatoria e topoloxía, incluíndo demostracións do lema de Sperner e do teorema do punto xo de Brouwer. Tamén amosamos unha condición de unicidade e unha posible extensión do teorema de Poincaré-Miranda a dominios máis xerais que o n -cubo. Finalmente, presentamos unha interpretación gráca do teorema e unha aplicación práctica ao problema dos 1+4 corpos. Abstract The Poincaré-Miranda theorem provides a sucient condition to guarantee that a continuous function f:K−→ Rn has a zero in K , where K⊂Rn is an n -cube and n∈N . The main objective of this work is to state and prove the aforementioned result, reviewing Carlo Miranda's original proof and describing two alternative proofs. With that goal in mind, we introduce several necessary concepts of combinatorics and topology, including proofs for the Sperner's lemma and the Brouwer's xed-point theorem. We also produce a uniqueness condition and a possible extension of the Poincaré-Miranda theorem for domains that are more general than n -cubes. Finally, we present a graphical interpretation of the theorem and a practical application to the (1 + 4) -body problem. vii 4 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS E RESULTADOS PRELIMINARES símplex con vértices {wi1, . . . , win+1 } , dados por: wi1=vi1, wi2=1 2(vi1+vi2), . . . (1.3) win=1 n(vi1+···+vin), win+1 = bar (S). Intuitivamente, os vértices da triangulación baricéntrica son precisamente os baricentros de todas as posibles m -caras de S , para 0≤m≤n . É fácil ver que a unión das celas é S . Observamos tamén que todas as celas comparten, como mínimo, o punto bar (S) , que é unha 0 -cara. En xeral, se Ti e Tj teñen en común m+ 1 vértices, entón por (1.3) é doado comprobar que Ti∩Tj é exactamente a m -cara xerada por eses vértices. Polo tanto, concluímos que TB é efectivamente unha triangulación. Unha proba detallada pode consultarse en [10]. Figura 1.2: Tres triangulacións baricéntricas sucesivas nun 2 -símplex. Fonte: [11]. Lema 1.5. A triangulación baricéntrica dun n -símplex S reduce estritamente o tamaño das súas celas con respecto ao diámetro de S . Concretamente, para unha cela Ti calquera, tense a seguinte expresión: diam (Ti)≤n n+ 1 diam (S). (1.4) Demostración. Sen perda de xeneralidade, imos facer a argumentación para a cela T1 que se consegue coa permutación identidade (1, . . . , n + 1) . Para calquera outra permutación, a demostración sería totalmente análoga e simplemente habería que utilizar os seus correspondentes índices. 1.1. COMBINATORIA DO N -SÍMPLEX E O LEMA DE SPERNER 5 En primeiro lugar, probemos que o diámetro de S é a máxima distancia entre os seus vértices. Supoñamos que p, q ∈S son dous puntos para os cales se acada a máxima distancia en S . Sabemos da existencia destes puntos por ser S compacto. Sexa B a bóla con centro p e raio d(p, q) . Imos demostrar por redución ao absurdo que na fronteira de B debe haber un vértice de S . En efecto, se isto non se cumprise, existiría un certo ε > 0 de xeito que a bóla Bε de centro p e raio d(p, q)−ε contén todos os vértices de S . Pero entón chegamos a unha contradición, xa que temos un conxunto convexo Bε que contén todos os vértices pero non o símplex S , que por denición é o menor convexo que contén ditos vértices. Polo tanto, deducimos que existe un vértice q0∈∂B ; isto é, vericando d(p, q) = d(p, q0) . Podemos repetir este razoamento para unha bóla con centro q0 e raio d(p, q0) , de forma que aseguramos a existencia dun vértice p0 que cumpre d(p0, q0) = d(p, q0) = d(p, q) . Logo, demostramos que o diámetro de S se realiza precisamente entre os vértices. En particular, este mesmo argumento proba que, dado un punto calquera de S , o seu punto máis distante en S é un vértice. Agora, imos limitar a distancia dos vértices de S ao baricentro de S . Sen perda de xeneralidade, tomemos o vértice v1 . Podemos mover o n -símplex de xeito que v1= 0 . Entón, podemos dar a seguinte estimación para a distancia do vértice v1 ao baricentro en S :     v1+v2+···+vn+1 n+ 1    ≤kv1k+kv2k+···+kvn+1k n+ 1 ≤ diam {v1, . . . , vn+1}· n n+ 1. (1.5) Estudemos agora o diámetro da cela T1 . É claro que a máxima distancia se realiza para dous vértices de T1 , que podemos denotar por wj=1 j(v1+···+ vj) e wk=1 k(v1+··· +vk) , con k > j . Dado que wj está no n -símplex con vértices {v1, . . . , vk} , que ten por baricentro wk , podemos sobreestimar a distancia entre wj e wk ao intercambiar wj por algún vértice vi , con i∈ {1, . . . , k} . Pola ecuación (1.5), podemos escribir: diam (T1)≤d(vi, wk)≤k k+ 1 · diam {v1, . . . , vk+1}. (1.6) Na ecuación (1.6), podemos aplicar as desigualdades diam {v1, . . . , vk+1} ≤ diam {v1, . . . , vn+1} e k k+1 <n n+1 para obter nalmente a expresión (1.4), como queriamos demostrar. 6 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS E RESULTADOS PRELIMINARES Denición 1.6. Para un n -símplex S , unha coloración propia (ou de Sperner) dunha triangulación é unha asignación de n+ 1 etiquetas, que chamaremos cores, aos vértices da triangulación, de xeito que se verique: 1. Cada vértice de S recibe unha cor distinta. 2. Os vértices da triangulación que estean nunha m -cara de S só poden colorarse coas cores dos vértices de S que denan esa m -cara. As cores son representadas por números naturais; así, para un n -símplex, as posibles cores forman o conxunto {1,2,3, . . . , n, n + 1} . Cando queiramos indicar a coloración dunha cela, daremos unha lista das cores dos seus vértices entre parénteses. Para comprendermos ben esta denición, pensemos novamente nun triángulo T con vértices ABC e unha triangulación formada por triángulos máis pequenos, como o que observamos na Figura 1.3. Unha coloración propia sería: 1. Os vértices A , B e C teñen as cores 1 , 2 e 3 , respectivamente. 2. Se un vértice da triangulación está nalgún dos lados de T , só pode colorarse coas cores dos extremos dese lado. Por exemplo, se está no lado AB , só pode ter as cores 1 ou 2 . Figura 1.3: Coloración propia dun 2 -símplex. Fonte: [12]. Denición 1.7. Dada unha coloración propia, unha cela dise de tipo R se cada un dos seus vértices recibe unha cor distinta. O nome provén do inglés rainbow , que signica arco da vella. Por exemplo, o triángulo sombreado na Figura 1.3 é unha cela de tipo R . 1.1. COMBINATORIA DO N -SÍMPLEX E O LEMA DE SPERNER 7 Lema 1.8. Toda triangulación cunha coloración propia ten un número impar de celas de tipo R . Demostración. Para probar o Lema 1.8, imos facer indución sobre a dimensión do n -símplex. Para n= 1 , temos un segmento (a, b) dividido en segmentos máis pequenos e as cores posibles son 1 ou 2 . Os extremos a e b deben recibir cores distintas. Así, se empezamos a colorar os puntos intermedios desde a , debemos mudar de cor un número impar de veces, para así terminar nunha cor distinta en b . Por tanto, hai un número impar de segmentos de tipo R . O caso n= 2 non sería preciso demostralo para a indución, pero imos facelo porque resulta interesante para entender o caso de n arbitrario. Supoñamos un triángulo T con posibles cores {1,2,3} . Podemos encontrar celas de tipo R , con coloración (1,2,3) , ou as que chamaremos de tipo Q , con coloración (1,1,2) ou (1,2,2) . Abusando da notación, denotamos por R e Q o número de celas de tipo R e Q , respectivamente. Sexa X o número de lados na fronteira de T con coloración (1,2) (lados externos) e sexa Y o número de lados con esas coloracións e cun extremo no interior de T (lados internos). Nesta situación, observamos que hai exactamente dous lados con coloración (1,2) por cada cela de tipo Q , mentres que por cada cela de tipo R hai só un deses lados. Ademais, observamos que cada lado interno sempre está compartido por dúas celas (sexan de tipo Q ou R ), polo que, ao considerar todas as celas de tipo Q e R , estamos contando cada lado interno por duplicado. Pola súa parte, os lados externos só se contan unha vez. É dicir, chegamos á seguinte ecuación: 2Q+R=X+ 2Y. (1.7) Agora, restrinxímonos aos lados externos. Como a fronteira de T está formada por segmentos, cada un destes lados debe estar nun deses segmentos que, por hipótese, ten os extremos de cores distintas. Como xa vimos no caso unidimensional, necesariamente X debe ser impar. Utilizando a ecuación (1.7), chegamos a que R tamén debe ser impar. Agora, supoñamos o enunciado certo para n−1 e demostrémolo para un n -símplex. Imos manter a notación dos casos anteriores. Neste caso, estamos a usar as cores {1,2,3, . . . , n, n + 1} . As celas de tipo R usan todas as cores, mentres que as de tipo Q usan todas menos a cor n+1 , de xeito que unha das outras cores se usa dúas veces e as outras exactamente unha vez. Consideremos tamén as (n−1) -caras que reciben exactamente as cores {1,2, . . . , n} . Así, X denota o número de caras externas dese tipo e Y o número de caras internas con esa coloración. 8 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS E RESULTADOS PRELIMINARES Cunha argumentación análoga ao caso bidimensional, vemos que por cada cela de tipo Q hai dúas (n−1) -caras con coloración {1,2, . . . , n} e exactamente unha desas caras por cada cela de tipo R . Ademais, estamos contando as caras internas dúas veces e as externas unha vez, polo que chegamos novamente á ecuación (1.7). Por outra parte, se consideramos a fronteira de S , as (n−1) -caras externas con coloración {1,2, . . . , n} forman unha coloración propia de dimensión n− 1 , logo, por hipótese de indución, X é impar. Pola ecuación (1.7), chegamos a que R tamén debe ser impar. Corolario 1.9. (Sperner, 1928) En toda triangulación cunha coloración propia existe unha cela de tipo R . Demostración. Aplicando o Lema 1.8, vemos que o número de celas de tipo R non pode ser cero; é dicir, polo menos existe unha. 1.2. Propiedades do n -cubo combinatorio Nesta sección, imos denir o espazo Zn k e o n -cubo combinatorio C(k)⊂ Zn k , que se pode entender como unha certa discretización do n -cubo unidade. Tamén introduciremos o concepto de n -símplex en Zn k e de i -veciño co obxectivo de demostrar algunhas propiedades básicas que serán necesarias máis adiante. Denición 1.10. Sexa k > 1 un número natural e consideremos o conxunto Zk={i/k :i∈Z} . Denimos Zn k⊆Rn como o produto cartesiano de n copias de Zk , ou sexa, Zn k=z:{1, . . . , n} −→ Zk:z(i)∈Zk,∀i∈ {1, . . . , n}. Utilizando notación cartesiana, denimos tamén o elemento neutro 0 := (0,...,0) e o vector básico i -ésimo, ei:= (0,...,1/k, . . . , 0) , ei(i) = 1/k . Denición 1.11. Un n -cubo combinatorio é un subconxunto C⊂Zn k da forma C:= C(k) = [0,1]n∩Zn k=(0,1 k,...,k−1 k, k)n . Noutras palabras, C(k) é o conxunto de n -tuplas posibles que se poden formar con eses elementos. Intuitivamente, podemos pensar este obxecto como un n -cubo de lado 1 discretizado nunha grella (ver Exemplo 1.16). 1.2. PROPIEDADES DO N -CUBO COMBINATORIO 9 Denimos tamén as caras anterior e posterior i -ésimas dun n -cubo combinatorio C(k) como os subconxuntos C− i:= C− i(k) = {z∈C:z(i)=0}, C+ i:= C+ i(k) = {z∈C:z(i)=1} e a fronteira de C(k) como a unión de todas as caras anteriores e posteriores, é dicir, ∂C := ∂C(k) = n [ i=1 (C− i(k)∪C+ i(k)). Denición 1.12. Diremos que un conxunto ordenado S= [z0, . . . , zn]⊂Zn k é un n -símplex en Zn k se existe unha permutación α do conxunto {1, . . . , n} de xeito que z1=z0+eα(1), . . . , zn=zn−1+eα(n). Isto é, cada punto está separado do seguinte por un certo vector básico ei , que chamaremos distancia i -ésima. Ademais, é sinxelo calcular o diámetro de S . É evidente que a máxima distancia é a que existe entre os vértices z0 e zn , que se pode calcular como: diam (S) = d(z0, zn) = qe2 α(1) +···+e2 α(n)=√n k. (1.8) Denición 1.13. Sexa S= [z0, . . . , zn] un n -símplex en Zn k . A i -ésima (n−1) -cara de S é o conxunto Fi(S) = [z0, . . . , zi−1, zi+1, . . . , zn] , para i∈ {0, . . . , n} . Notemos que as únicas (n−1) -caras que son tamén un (n−1) -símplex en Zn−1 k (no sentido da Denición 1.12) son F0(S) e Fn(S) . Denición 1.14. Sexa S= [z0, . . . , zn] un n -símplex en Zn k . O veciño i -ésimo (ou i -veciño) de S , S[i] , defínese como: 1. S[0] = [z1, . . . , zn, x0] , onde x0=zn+ (z1−z0) . 2. Para i∈ {1, . . . , n −1} , S[i] = [z0, . . . , zi−1, xi, zi+1, . . . , zn] , onde xi= zi−1+ (zi+1 −zi) . 3. S[n]=[xn, z0, . . . , zn−1] , onde xn=z0+ (zn−1−zn) . Lema 1.15. 1. Os i -veciños S[i] son n -símplices en Zn k ben denidos, para calquera n -símplex S en Zn k . 10 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS E RESULTADOS PRELIMINARES 2. Os i -veciños son únicos, no sentido de que son os únicos que verican S∩S[i] = Fi(S) , para todo i∈ {0, . . . , n} . 3. Se S⊆C(k) e i∈ {0, . . . , n} , entón S[i]⊆C(k) se e só se Fi(S)* ∂C(k) . Demostración. Probemos cada unha das armacións enunciadas: 1. Imos comprobalo pola Denición 1.12. Nos tres casos, S[i] é un conxunto ordenado de n+1 puntos. Atendendo á orde dos puntos en cada caso, podemos dar explicitamente as distancias entre puntos: a ) Para S[1] : eα(2), . . . , eα(n), eα(1) . b ) Para S[i] : eα(1), . . . , eα(i−1), eα(i+1), eα(i), eα(i+2), . . . , eα(n) . c ) Para S[n] : eα(n), eα(1), . . . , eα(n−1) . Así, comprobamos que cada S[i] é efectivamente un n -símplex en Zn k . 2. É evidente que S∩S[i] = Fi(S) . Vexamos que os S[i] son únicos neste sentido: a ) Se i= 0 , observamos que S[0] ten xados n puntos ordenados en común con S e polo tanto n−1 distancias xas. A única posibilidade para a última distancia é precisamente eα(1) , pois doutra forma non sería un n -símplex. Se i=n , a demostración é análoga. b ) Se i∈ {1, . . . , n−1} , vemos que hai dous subconxuntos de puntos en común con S . En total, ambos subconxuntos teñen n−1 puntos, logo hai n−2 distancias xas. A única forma de proceder para que S[i] sexa un n -símplex é intercambiar os vectores eα(i) e eα(i+1) . Polo tanto, só existe unha forma de denir os S[i] de xeito consistente. 3. Imos comprobalo para i= 0 (os outros casos son análogos). Neste caso, podemos escribir: S= [z1−eα(1), z1, . . . , zn], S[0] = [z1, . . . , zn, zn+eα(1)], F0(S)=[z1, . . . , zn]. Supoñamos que F0(S)⊆∂C(k) ; por exemplo, con F0(S)⊆C+ j(k) . Pola Denición 1.11, isto implica que os puntos z1, . . . , zn teñen todos 1.2. PROPIEDADES DO N -CUBO COMBINATORIO 11 a mesma coordenada j -ésima z(j)=1 , logo necesariamente α(1) = j . Pero entón zn+ej/∈[0,1]n , isto é, S[0] *C(k) . Consideremos agora a outra posibilidade, F0(S)⊆C− j(k) . Neste caso, a compoñente j -ésima de todos os puntos é z(j)=0 e α(1) = j , pero isto implicaría que z1−ej/∈[0,1]n , o cal é un absurdo. Por outra parte, supoñamos S, S[0] ⊆C(k) . Iso signica que a α(1) - ésima coordenada de z1 é maior que 0 e a α(1) -ésima coordenada de zn é menor que 1 , entón F0[S] non pode estar sobre as dúas caras de C(k) que cumpren α(1) = cte. Ademais, ao construír os demais puntos, estamos usando as outras distancias eα(2), . . . , eα(n) . Cada coordenada modícase cun deses eα(i) , logo é imposible que todos os puntos estean nun hiperplano con algunha coordenada constante. É dicir, S[0] non pode estar sobre unha cara de C(k) . Exemplo 1.16. Imos ilustrar todos estes conceptos cun exemplo sinxelo. Tomando n= 2 e k= 4 , consideremos o 2 -cubo combinatorio C(4) ⊂Z2 4 e un 2 -símplex S= [z0, z1, z2] . Como se ve na Figura 1.4, C(4) é un cadrado dividido en 5×5 puntos equiespaciados e S é un triángulo cuxos tres vértices están precisamente sobre algúns deses puntos. Cada un dos i -veciños S[i] de S é outro triángulo cuxa intersección con S é xustamente o seu lado i -ésimo; vemos que non hai outra posibilidade para escoller os S[i] . Ademais, é claro que se algún dos lados de S estivese na fronteira do cubo, entón ese veciño quedaría fóra de C(4) . Figura 1.4: Os i -veciños dun 2 -símplex nun 2 -cubo combinatorio. Fonte: [13]. 12 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS E RESULTADOS PRELIMINARES 1.3. Resultados topolóxicos Nesta sección, imos probar algunhas proposicións de carácter topolóxico que serán de axuda en capítulos posteriores. Primeiro, deniremos a propiedade do punto xo e probaremos que é topolóxica. Tamén daremos homeomorsmos explícitos entre o n -símplex estándar, o n -cubo e a n -bóla. Finalmente, demostraremos un lema de compacidade que será necesario para dar unha das probas alternativas do teorema de Poincaré-Miranda. Como apuntamento, nas nosas probas imos utilizar algunhas propiedades básicas da topoloxía euclídea. Concretamente, usaremos que os compactos en Rn son exactamente os fechados e limitados, que a compacidade e a compacidade secuencial son equivalentes en Rn e que calquera subconxunto de Rn é Hausdor. Ademais, daremos por probado un teorema sobre homeomorsmos (Teorema 1.22). Estes resultados elementais poden consultarse en [14]. Denición 1.17. Un espazo métrico non baleiro (X, dX) ten a propiedade do punto xo se calquera aplicación continua f:X−→ X ten un punto xo, isto é, un punto x∈X tal que f(x) = x . Proposición 1.18. Sexan (X, dX) e (Y, dY) dous espazos métricos non baleiros. Supoñamos que existe un homeomorsmo h:X−→ Y . Entón, se (X, dX) ten a propiedade do punto xo, (Y, dY) tamén ten dita propiedade. Demostración. Supoñamos que (X, dX) ten a propiedade do punto xo. Sexa un homeomorsmo h:X−→ Y e sexa unha aplicación continua g:Y−→ Y . Vexamos que g ten un punto xo. O primeiro paso é denir unha nova aplicación f=h−1◦g◦h. A aplicación inversa h−1:Y−→ X existe por ser h un homeomorsmo, así que f está ben denida. Ademais, notemos que f:X−→ X . Como (X, dX) ten a propiedade do punto xo, existe un punto x∈X tal que f(x) = x . Pola denición de f , isto signica que (h−1◦g◦h)(x) = x . Se aplicamos h en cada lado desta última igualdade, resulta que g(h(x)) = h(x), o que quere dicir que h(x)∈Y é un punto xo de g . Así que (Y, dY) ten a propiedade do punto xo. 1.3. RESULTADOS TOPOLÓXICOS 13 Observación 1.19 . Nos seguintes apartados imos traballar con espazos métricos (X, dE) , onde X⊂Rn e dE é a distancia euclídea usual. Para simplicar a notación, escribiremos X⊂Rn sen necesidade de especicar a métrica, pois sempre será a mesma. Denición 1.20. Sexa n∈N . A bóla fechada n -dimensional (ou n -bóla fechada) de raio R > 0 e centro a∈Rn defínese como o conxunto Bn a,R = {x∈Rn:dE(a, x)≤R} . As n -bólas coas que traballaremos serán sempre fechadas e con centro a orixe a= (0,...,0) , así que falaremos simplemente de n -bólas de raio R > 0 . Ademais, a n -bóla de raio R= 1 (ou directamente n -bóla) denotarémola por Bn . Denición 1.21. Un rectángulo en Rn (ou hiperrectángulo) é un produto cartesiano K de intervalos, isto é, K= [a1, b1]×···×[an, bn], onde ai, bi∈R , i∈ {1, . . . , n} . Se todos os intervalos coinciden, falaremos de n -cubo ou hipercubo. Un caso particular é o n -cubo de lado L , que é da forma [0, L]×···×[0, L]. Se L= 1 , falaremos do n -cubo unidade In ou simplemente n -cubo. Teorema 1.22. Sexa f:X−→ Y unha aplicación continua e bixectiva, onde X é compacto e Y é Hausdor. Entón f é un homeomorsmo. Proposición 1.23. O n -cubo In e o n -símplex estándar ∆n son homeomorfos para calquera n∈N . Demostración. Denimos a aplicación f: ∆n−→ In . A imaxe de x= (x1, . . . , xn)∈∆n vén dada pola expresión: f(x) =          x m´ax{x1,...,xn} n P j=1 xj, x 6= 0, 0, x = 0, (1.9) onde estamos usando a notación 0 = (0,...,0) ∈Rn . Observamos que a división que aparece en (1.9) está ben denida, pois o denominador nunca se anula. Tomemos agora un punto calquera x∈∆n e vexamos que f(x)∈In . O caso x= 0 é evidente, así que supoñamos x6= 0 . 20 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS E RESULTADOS PRELIMINARES Corolario 1.28. O n -cubo In ten a propiedade do punto xo, para calquera n∈N . Demostración. É consecuencia do Teorema 1.26, a Proposición 1.18 e a Proposición 1.24. Capítulo 2 O teorema de Poincaré-Miranda Neste capítulo presentaremos o teorema de Poincaré-Miranda, que pode ser entendido como unha extensión do coñecido Teorema de Bolzano ao caso multidimensional. Tras expoñer o seu enunciado clásico e a súa tradución na linguaxe matemática moderna, describiremos a proba orixinal elaborada por Carlo Miranda en [22]. Así mesmo, presentaremos outras posibles probas do citado teorema, como as incluídas en [13] e [23]. 2.1. Enunciado do teorema A primeira versión do teorema de Poincaré-Miranda foi enunciada en 1883 por Henri Poincaré nunha disertación sobre o problema dos tres corpos [15]. O autor indicou que o resultado era unha consecuencia dun traballo previo de Leopold Kronecker presentado en 1869 (publicado en dúas partes, [24] e [25]) e non ofreceu ningunha demostración. O enunciado orixinal en [15], unha vez traducido do francés, é o seguinte: Sexan ξ1 , ξ2 ,..., ξn funcións continuas de n variables x1 , x2 ,..., xn ; onde a variable xi está suxeita a variar entre os límites +ai e −ai . Supoñamos que, para xi=ai , ξi sexa constantemente positiva, e para xi=−ai , constantemente negativa; eu digo que existe un sistema de valores das x para o cal todas as ξ se anulan. Tras a publicación orixinal de Poincaré, os matemáticos que estudaron o teorema de Poincaré-Miranda utilizaron enunciados lixeiramente distintos; por 21 22 CAPÍTULO 2. O TEOREMA DE POINCARÉ-MIRANDA exemplo, modicando o dominio das aplicacións continuas. Para xar a notación e a terminoloxía modernas, imos dar unha primeira versión bastante recente, publicada por Hélène Frankowska en 2018, [26]. En seccións posteriores, escribiremos o enunciado concreto que utilizou cada autor e daremos a demostración correspondente. Figura 2.1: Jules Henri Poincaré (1854-1912). Fonte: [27]. Teorema 2.1. (Enunciado de Frankowska [26]) Consideremos un número L > 0 e o n-cubo K= [−L, L]×···×[−L, L]⊂Rn. Sexa f= (f1, ..., fn) : K−→ Rn unha función continua de forma que: fi(x)≥0,∀x∈ {(x1, ..., xn)∈K:xi=−L}, (2.1) fi(x)≤0,∀x∈ {(x1, ..., xn)∈K:xi=L}. (2.2) Entón, f ten un equilibrio en K ; é dicir, existe un punto x∗∈K de xeito que f(x∗)=0 . Observación 2.2 . É doado obter unha versión algo máis xeral do Teorema 2.1. Por exemplo, podemos multiplicar por −1 algunha coordenada fi , con i∈ {1, . . . , n} , sen que isto modique as consecuencias do teorema. Noutras palabras, para dita coordenada i -ésima, a condición (2.1) non ten por que ir asociada ao hiperplano xi=−L , senón que podería estar asociada a xi=L e viceversa para a desigualdade (2.2). 2.2. PRIMEIRA PROBA DO TEOREMA 23 Observación 2.3 . Unha interpretación da observación anterior é que o Teorema 2.1 arma que todo campo vectorial entrante nun hipercubo K ten un cero en K . Se multiplicamos por −1 todas as desigualdades (2.1) e (2.2), obtemos unha versión análoga do teorema: todo campo vectorial saínte nun hipercubo K ten un cero en K . 2.2. Primeira proba do teorema A proposición de Poincaré permaneceu esquecida durante décadas [28] até o ano 1940, cando foi redescuberta por Silvio Cinquini [29]. El mesmo xo unha tentativa de demostración, pero resultou estar incompleta. Ese mesmo ano, Carlo Miranda estudou o problema que lle propuxo Cinquini e publicou a primeira proba rigorosa [22], baseándose na equivalencia da proposición de Poincaré co teorema do punto xo de Brouwer. No noso caso, como xa demostramos o Corolario 1.28, será suciente con probar que o teorema de Poincaré-Miranda é consecuencia do teorema de Brouwer. Figura 2.2: Carlo Miranda (1912-1982). Fonte: [30]. Teorema 2.4. (Enunciado de Miranda [22]) Se f1, f2, . . . , fn son n funcións de variable (x1, x2, . . . , xn) continuas no n-cubo K= [−L, L]×···×[−L, L] e tales que verican as desigualdades fi(x1, . . . , xi−1,−L, xi+1, . . . , xn)≥0, (2.3) fi(x1, . . . , xi−1, L, xi+1, . . . , xn)≤0, (2.4) 24 CAPÍTULO 2. O TEOREMA DE POINCARÉ-MIRANDA entón existe polo menos unha solución do seguinte sistema: fi(x1, x2, . . . , xn)=0, i = 1,2, . . . , n. (2.5) Demostración. Imos demostrar que o Teorema 2.4 é consecuencia do Corolario 1.28. En primeiro lugar, podemos supoñer que as desigualdades (2.3) e (2.4) se dan en sentido estrito (xusticaremos isto ao nal da proba). Así, é posible denir as cantidades εi , para i= 1, ..., n , de forma que cumpran 0< εi<−δ0 i mi , (2.6) 0< εi<δ00 i Mi , (2.7) onde δ0 i e δ00 i son as distancias dos conxuntos A=f−1 i(−∞,0) e B= f−1 i(0,∞) aos hiperplanos xi=−L e xi=L , respectivamente; e mi e Mi son o mínimo (negativo) e o máximo (positivo) da fi no seu dominio. Notemos que o conxunto A é fechado (preimaxe dun fechado por f continua) e o hiperplano xi=−L restrinxido a K é compacto (subconxunto fechado de K compacto) e, ademais, son conxuntos disxuntos. Polo tanto, é claro que a distancia δ0 i é positiva. Cun razonamento análogo, temos que δ00 i tamén é unha distancia positiva. Por outra parte, denimos as seguintes funcións: Fi=xi+εi·fi. (2.8) É claro que estas novas Fi verican a condición |Fi| ≤ L , logo estamos nas hipóteses do Corolario 1.28 e existe un punto xo xi=Fi(xi) . Despexando en (2.8), deducimos que o sistema (2.5) ten solución, como queríamos probar. En caso de que as desigualdades (2.3) e (2.4) non se cumprisen en sentido estrito, bastaría tomar ε > 0 e denir as funcións f0 i=fi−ε·xi, (2.9) de xeito que (2.3) e (2.4) xa se satisfán de xeito estrito e podemos denir as cantidades ε0 i como en (2.6) e (2.7). Podemos repetir o proceso anterior e denir unhas funcións análogas a (2.8), isto é, F0 i= (1 −ε·ε0 i)·xi+ε0 i·f0 i. (2.10) Tomando ε sucientemente pequeno, é claro que podemos limitar as funcións F0 i nun certo hipercubo K0 e, aplicando o Corolario 1.28, aseguramos a existencia dunha solución para f0 i= 0 . Facendo ε→0 e pola expresión (2.9), isto garante que o sistema (2.5) ten un cero, como queríamos probar. 2.3. ALGUNHAS PROBAS ALTERNATIVAS 25 Observación 2.5 . É interesante demostrar tamén a outra implicación que deu Miranda en [22], isto é, que o Corolario 1.28 é consecuencia do Teorema 2.4. Desta forma, quedará probada a equivalencia dos teoremas de PoincaréMiranda e de Brouwer. Supoñamos que F1, . . . , Fn son funcións nas condicións do Corolario 1.28. Podemos prolongar cada Fi a todo R mantendo a restrición |Fi| ≤ L . De- nimos agora fi=Fi−xi. (2.11) Podemos encontrar un L0>0 sucientemente grande para que se cumpran as desigualdades (2.3) e (2.4). Polo Teorema 2.4, o sistema (2.5) ten polo menos unha solución. Despexando en (2.11), isto signica que Fi ten un punto xo. Ademais, a condición |Fi| ≤ L permítenos asegurar que todo punto (x1, ..., xn) está contido no hipercubo |xi| ≤ L ; polo tanto, o punto xo tamén está nese hipercubo. 2.3. Algunhas probas alternativas A partir do artigo [22] publicado por Miranda en 1940, o resultado comezou a ser coñecido como o teorema de Poincaré-Miranda. Múltiples matemáticos teñen revisado este resultado, ofrecendo diversas probas alternativas ou simplicando os argumentos orixinais que utilizou Miranda. Nas seguintes seccións presentamos unha selección dalgunhas desas demostracións. 2.3.1. Nova proba utilizando o teorema do punto xo de Brouwer O matemático belga Jean Mawhin é un dos maiores expertos no teorema de Poincaré-Miranda. Entre outros artigos, en 2007 publicou unha revisión exhaustiva do teorema do punto xo de Brouwer e as súas equivalencias, onde se dá unha referencia completa da historia do teorema de PoincaréMiranda [28]. Nun artigo posterior de 2019, el mesmo ofreceu unha proba alternativa [23]. A devandita proba está baseada nunha aplicación alternativa do teorema de Brouwer e, a diferenza da versión de Miranda, é moito máis directa, evitando ter que distinguir os casos de desigualdades estritas e non estritas. Teorema 2.6. (Enunciado de Mawhin [23]) Consideremos un hiperrectángulo K= [−R1, R1]×···×[−Rn, Rn]⊂Rn e unha aplicación f:K−→ Rn 26 CAPÍTULO 2. O TEOREMA DE POINCARÉ-MIRANDA continua, de maneira que para cada i∈ {1, . . . , n} se cumpre: fi(x)≤0,∀x∈ {(x1, ..., xn)∈K:xi=−Ri}, (2.12) fi(x)≥0,∀x∈ {(x1, ..., xn)∈K:xi=Ri}. (2.13) Entón, f ten polo menos un cero en K . Demostración. Comezamos denindo a aplicación p:Rn−→ Rn , cuxa compoñente i -ésima para o punto x= (x1, . . . , xn) vén dada pola expresión: pi(x) =                  −Ri, x ∈(−∞,−Ri), xi, x ∈[−Ri, Ri], Ri, x ∈(Ri,∞). (2.14) É fácil ver que p(x) = x para todo x∈K e que p(Rn)⊂K . En particular, isto último implica que |p(x)| ≤ qPn j=1 R2 j para todo x∈K . Agora, denimos unha nova aplicación (continua) g:Rn−→ Rn dada por g=p−f◦p . Para un punto calquera x∈Rn , podemos limitar a aplicación: |g(x)| ≤ |p(x)|+|f(p(x))| ≤ v u u t n X j=1 R2 j+ m´ax x∈K|f(x)|:= R0 Tal e como denimos a cantidade R0 , é inmediato comprobar que g leva a bóla BR0 en si mesma. Polo tanto, estamos en condicións de aplicar o Corolario 1.27 e podemos asegurar a existencia dun punto xo para a función g , é dicir: x∗=p(x∗)−f(p(x∗)). (2.15) Para concluír, bastaría ver que x∗∈K pois nese caso teríamos p(x∗) = x∗ e (2.15) implicaría f(x∗)=0 . Se tivésemos que x∗6∈ K , entón existiría i∈ {1, . . . , n} tal que x∗ i<−Ri ou x∗ i> Ri . Sen perda de xeneralidade. tomemos o primeiro caso. Usando a denición de pi en (2.14) e que x∗ é un punto xo segundo (2.15), temos que −Ri> x∗ i=pi(x∗)−fi(pi(x∗)) = −Ri−fi(pi(x∗)) ≥ −Ri, o cal é un absurdo. 2.3. ALGUNHAS PROBAS ALTERNATIVAS 27 2.3.2. Proba utilizando métodos combinatorios En apartados previos, estudamos que o lema de Sperner aseguraba a existencia dun certo tipo de coloración para o n -símplex, o cal daba unha proba elemental do teorema do punto xo de Brouwer. Algúns matemáticos, como Kuhn [31] ou Wolsey [32], enunciaron as súas propias versións cúbicas do lema de Sperner, isto é, adaptadas ao n -cubo combinatorio. En 1997, o matemático polaco Wladyslaw Kulpa publicou un artigo [13] no que demostra un resultado análogo ao lema de Sperner e, como consecuencia, proba o teorema de Poincaré-Miranda. A diferenza das probas de Miranda e Mawhin, Kulpa non recorre ao teorema de Brouwer. A súa proba é bastante elemental, no sentido de que só precisamos do concepto de n -cubo combinatorio e algunhas propiedades básicas, ademais dun lema técnico de conxuntos compactos (Lema 1.25). Teorema 2.7. (Enunciado de Kulpa [13]) Consideremos o n -cubo unidade In= [0,1]n⊂Rn e, para cada i≤n , as i -ésimas caras posteriores e anteriores: I− i={x∈In:xi= 0}, I+ i={x∈In:xi= 1}. Consideremos tamén a función continua f:In−→ Rn , de xeito que para cada i≤n se verica fi(I− i)⊂(−∞,0] e fi(I+ i)⊂[0,∞) . Entón, existe un punto c∈In tal que f(c)=0 . Demostración. Comezamos denindo os conxuntos H− i=f−1 i(∞,0] e H+ i= f−1 i[0,∞) . Observemos que In=H− i∪H+ i , para calquera i∈ {1, . . . , n} . Denimos tamén F0=In e Fi=H+ i\I− i , para i∈ {1, . . . , n} . Así, podemos construír a aplicación ϕ:In−→ {0, . . . , n} , dada por: ϕ(x) = m´ax (j:x∈ j \ k=0 Fk). (2.16) Imos estudar algunhas propiedades importantes da función ϕ : Propiedade 1 : Se x∈I− i , entón ϕ(x)< i . Isto é consecuencia de I− i∩Fi=∅ e de (2.16). Propiedade 2 : Se x∈I+ i , entón ϕ(x)6=i−1 . Para comprobalo, supoñamos pola contra que ϕ(x) = i−1 . Por (2.16), isto signica que x∈Ti−1 k=0 Fk e x /∈Fi . Pero, por outro lado x∈I+ i⊆H+ i e I+ i∩I− i=∅ , polo que x∈Fi e chegamos a unha contradición. 28 CAPÍTULO 2. O TEOREMA DE POINCARÉ-MIRANDA Propiedade 3 : Se ϕ(x) = i , entón x∈H+ i . É consecuencia de (2.16) e de que In=H− i∪H+ i . Propiedade 4 : Se ϕ(x) = i−1 , entón x∈H− i . É consecuencia de (2.16) e de que In=H− i∪H+ i . Propiedade 5 : Para calquera subconxunto S⊂In , se ϕ(S∩Iε i) = {0,1, . . . , n−1} , entón i=n e ε=− . É consecuencia das Propiedades 2.3.2 e 2.3.2. Consideremos agora o n -cubo combinatorio C(k) . Diremos que un subconxunto S⊆C(k) de l+ 1 puntos é admisible se ϕ(S) = {0, . . . , l} . Imos probar por indución na dimensión n que o número de n -símplices admisibles en C(k) , α(C(k)) , é sempre impar. O caso n= 0 é evidente, pois C(k) = {0} e S={0} é o único 0 -símplex admisible, logo temos α(C(k)) = 1 impar. Supoñamos certo para (n−1) -símplices e consideremos un n -símplex S= [z0, . . . , zn]⊆C(k) en Zn k . Sexa α(S) o número de (n−1) -caras admisibles de S . Se S é admisible, entón ϕ(S) = {0, . . . , n} e a única (n−1) -cara admisible é a que se obtén eliminando o vértice zi tal que ϕ(zi) = n . Polo tanto, α(S) = 1 . Se S non é admisible, distinguimos dous casos: 1. Se ϕ(S) = {0, . . . , n −1} , isto signica que hai dous índices i6=j para os cales , zi=zj , de forma que se omitimos algún deses vértices, obtemos unha (n−1) -cara admisible. É dicir, α(S) = 2 . 2. Se {0, . . . , n−1}*ϕ(S) , non hai ningunha forma de omitir un vértice para formar unha (n−1) -cara admisible, logo α(S) = 0 . Consideremos todos os posibles n -símplices S⊆C(k) . Podemos escribir a ecuación α(C(k)) ≡X S α(S) m´od 2, (2.17) xa que se S non é admisible, α(S)≡0 m´od 2 , así que non contribúe ao sumando da dereita. Por outra parte, imos aplicar o Lema 1.15 á nosa situación. Se S ten unha (n−1) -cara na fronteira de C(k) , entón o S[i] que comparta esa cara con S non pode estar dentro de C(k) , así que esa (n−1) -cara só está en S . Se a (n−1) -cara non está na fronteira, entón está compartida exactamente por dous n -símplices en C(k) , o propio S e o S[i] correspondente. Pola ecuación (2.17), as (n−1) -caras admisibles que non estean na fronteira de C(k) están contándose por duplicado e, como estamos traballando en 2.4. CONDICIÓNS PARA A UNICIDADE DE SOLUCIÓN 29 módulo 2 , non afectan á suma total. É dicir, só consideramos F⊂∂C(k) , onde F é unha (n−1) -cara admisible. A Propiedade 2.3.2 implica que F⊂C+ n e, como vimos na Denición 1.13, F pode pensarse como un (n−1) -símplex en Zn−1 k . Polo tanto, podemos aplicar a hipótese de indución a PSα(S) e aseguramos que é un número impar. Por (2.17), isto implica que α(C(k)) é impar, como queríamos probar. En particular, acabamos de demostrar que, para calquera k > 1 , sempre existe un n -símplex admisible Sk⊂C(k) , isto é, tal que ϕ(Sk) = {0, . . . , n} . Polas Propiedades 2.3.2 e 2.3.2, é claro que existen puntos x, y ∈Sk tales que x∈H+ i e y∈H− i , para cada i∈ {1, . . . , n} . Noutras palabras: H+ i∩Sk6=∅ 6=H− i∩Sk,∀i∈ {1, . . . , n}. Ademais, diam (Sk) = √n k pola ecuación (1.8), logo l´ımk→∞ diam (Sk) = 0 . Observemos tamén que os conxuntos H+ i e H− i son compactos, por ser fechados e limitados. Entón, aplicando o Lema 1.25, podemos garantir que o conxunto H= n \ i=1 (H+ i∩H− i) non é baleiro. Por outra parte, é claro que calquera punto c∈H⊂In verica f(c) = 0 . En conclusión, aseguramos a existencia dun punto c∈In que cumpre f(c)=0 . 2.4. Condicións para a unicidade de solución Nas seccións anteriores, vimos que o teorema de Poincaré-Miranda garante a existencia dun cero, pero en ningún momento temos asegurada a súa unicidade. Temos a motivación do que acontece no caso unidimensional, isto é, o teorema de Bolzano. Nesas condicións, se unha función continua f:I−→ R cambia de signo no intervalo I , entón existe unha raíz de f en I . Ademais, se f é derivable e a derivada é estritamente positiva en todo R (ou equivalentemente, estritamente negativa), entón dita raíz é única. Considerando dimensións superiores, é razoable pensar nunha analoxía dese resultado para Poincaré-Miranda; isto é, se existe a matriz xacobiana e é denida (positiva ou negativa) en todo Rn , entón o cero é único. Veremos que efectivamente esta proposición é certa e, de feito, é semellante ao teorema fundamental de inxectividade de Gale-Nikaido-Inada, que pode consultarse en [33]. Para facilitar os cálculos, nós restrinxiremos un pouco máis as hipóteses e asumiremos que a aplicación de partida é de clase C1 . 36 CAPÍTULO 3. APLICACIÓNS desigualdades (2.23) e (2.24) no rectángulo K : f1(0, y) = 1 2(y−3) <0,∀y∈[0,2], (3.3) f1(1, y) = y2+y 2+1 6>0,∀y∈[0,2], (3.4) f2(x, 0) = −x 2−3<0,∀x∈[0,1], (3.5) f2(x, 2) = 2x2−x 2+13 3>0,∀x∈[0,1]. (3.6) Vexamos agora a inxectividade de f . O primeiro paso é calcular as derivadas parciais de primeira orde e construír a matriz xacobiana: Jf(x, y) =      2x2+y2+ 1 2xy +1 2 2xy −1 22y2+x2+ 1      . Para ver que Jf(x, y) é denida, aplicamos a Proposición 2.12. Temos que vericar a inecuación (2.25) para todo (x, y)∈R2 . Desenvolvendo e agrupando termos axeitadamente, obtemos a desigualdade 2x4+ 2y4+x2y2+ 3x2+ 3y2+ 1 >0, que claramente é certa para todo (x, y)∈R2 . Ademais, a(x, y)>0 nesta matriz, así que Jf(x, y) é denida positiva. Estamos entón nas condicións do Corolario 2.11, polo que garantimos a existencia e unicidade dun punto (x∗, y∗)∈K tal que f(x∗, y∗)=0 . Na Figura 3.1, imos estudar cal é a interpretación gráca deste resultado. O rectángulo K aparece representado en cor verde. As desigualdades (3.3) e (3.4) aseguran que a función f1 é negativa no lado esquerdo de K e positiva no lado dereito. A continuidade de f1 implica que, se tomamos calquera camiño do lado esquerdo ao lado dereito de K (ou viceversa), debemos pasar por un punto onde f1 sexa nula. Isto signica que existe unha certa curva na que f1 vale cero e que divide K nunha parte esquerda e nunha parte dereita (na gráca, a curva vermella). De igual modo, razoamos que debe haber unha curva en cuxos puntos f2 é cero e que ademais divide K nunha parte superior e nunha inferior (na gráca, a curva azul). Observamos na Figura 3.1 que ditas curvas deben cortar polo menos nun punto, que será unha raíz de f . Para a nosa aplicación particular, observamos que o punto (x∗, y∗)∈K é único, tal e como aseguramos coa condición de unicidade. 3.2. RESOLUCIÓN DUN PROBLEMA FÍSICO 37 Figura 3.1: Curvas implícitas f1(x, y)=0 e f2(x, y) = 0 no rectángulo [0,1]×[0,2] . Ademais, podemos empregar métodos numéricos xa implementados para dar unha aproximación dese punto (x∗, y∗) . A estimación obtida é: x∗≈0,282871, y∗≈1,35909. 3.2. Resolución dun problema físico O problema dos tres corpos xurdiu no século XVIII coa motivación de modelar o comportamento do Sol, a Terra e a Lúa dunha forma precisa. O problema foi amplamente estudado no século XIX tanto por físicos como por matemáticos, debido á súa estreita relación coas ecuacións diferenciais e os sistemas dinámicos. Xa temos comentado que Henri Poincaré publicou resultados importantes acerca deste tema en 1883 [15] e en 1886 [16]; de feito, foi precisamente neste contexto no que o matemático formulou o teorema de Poincaré-Miranda. En xeral, o problema dos n corpos, para n∈N , pode ser formulado da seguinte maneira. Consideremos n partículas no espazo R3 . Para i∈ 38 CAPÍTULO 3. APLICACIÓNS {1, . . . , n} , a partícula i -ésima ten masa puntual mi∈R e o seu vector de posición denótase por ri=ri(t)∈R3 . Coñecemos os valores iniciais da posición ri(0) , da velocidade r0 i(0) e da aceleración r00 i(0) . O noso obxectivo será determinar a evolución temporal das n partículas en calquera instante, {r1(t), . . . , rn(t)} . Este conxunto recibe o nome de solución ou conguración do sistema. As partículas seguen a lei de gravitación de Newton, isto é, a interacción mutua entre as partículas i e j vén dada por Fij =Gmimj(ri−rj) kri−rjk3, (3.7) onde G é a constante de gravitación universal. A ecuación (3.7) pode introducirse na segunda lei de Newton e, sumando para todas as partículas, obtemos a ecuación do movemento da partícula i -ésima: mi d2ri dt2= n X j=1,j6=i Gmimj(ri−rj) kri−rjk3. (3.8) Aplicando a ecuación (3.8) a todas as partículas e, tendo en conta que cada vector de posición ten tres coordenadas, obtemos un sistema de 3n ecuacións diferencias ordinarias de segunda orde. O problema dos n corpos consiste en encontrar unha solución deste sistema en forma fechada, é dicir, unha expresión cunha cantidade nita de operacións aritméticas. O caso n= 1 é trivial e, para n= 2 , pode encontrarse unha solución en forma fechada de xeito bastante simple. Porén, o caso n= 3 é notablemente complexo. Ao longo das décadas, matemáticos como Euler, Lagrange ou D'Alembert presentaron modelos para casos particulares do problema dos tres corpos, pero a solución xeral permaneceu sen resolver [38]. Non foi até 1887 cando Heinrich Bruns probou en [39] que, de feito, é imposible encontrar unha solución en forma fechada para n≥3 . Debemos destacar que é posible resolver formalmente o problema dos n corpos mediante series de Taylor. O caso tridimensional foi probado en 1912 por Karl Sundman [40] e en 1991 o matemático Quidong Wang xeneralizouno para n > 3 , en [41]. Porén, ao tratarse dunha serie innita, é necesario truncala nun número nito de termos para aplicala a calquera situación práctica, perdendo así a exactitude. Ademais, o truncamento da serie é moi pouco eciente desde o punto de vista computacional, polo que normalmente se utilizan outros métodos numéricos máis sosticados. Para o noso traballo, imos estudar unha versión simplicada do problema que se coñece como aproximación dos 1 + n corpos. Nesta situación, consideramos que un dos corpos ten unha masa signicativamente maior que as 3.2. RESOLUCIÓN DUN PROBLEMA FÍSICO 39 outras n partículas, cuxas masas pódense desprezar. Estes supostos semellan unha boa opción para estudar un sistema planetario, pois normalmente a estrela é moito máis masiva que os planetas que orbitan arredor dela. Por esta mesma razón, é razoable procurar solucións planas, xa que ese é o comportamento que observamos nos movementos periódicos dos planetas. Por último, tamén é coherente procurar solucións centrais: en vez de considerar as interaccións individuais, podemos asumir que a forza gravitatoria resultante que actúa sobre cada partícula é a que exerce o centro de masas (neste caso, o corpo masivo) e a aceleración inducida é proporcional á distancia entre ambos corpos. Tendo en conta todas estas condicións e aproximacións, podemos transformar o sistema de 6n ecuacións diferenciais do tipo (3.8) nun novo sistema de n ecuacións alxébricas. En efecto, pode demostrarse (por exemplo, en [42]) que as solucións centrais planas (SCP) do problema dos 1 + n corpos son órbitas sobre un mesmo círculo centrado no corpo masivo. Podemos supoñer dito círculo de raio unidade e centro na orixe de coordenadas. Deste xeito, as n traxectorias son estables, periódicas no tempo e, en certo modo, só dependen das condicións iniciais. Pero non todas as conguracións angulares das n partículas sobre o círculo dan lugar a unha SCP. Os ángulos iniciais deben cumprir unhas certas condicións, que estudaremos a continuación. Sexa θi∈S1⊂R2 a posición angular inicial (en radiáns) que forma a partícula i -ésima co corpo masivo. Denimos a función f:S1−→ R , dada por: f(θ) = 1−√2 4p(1 −cos θ)3!sen θ. (3.9) Entón, como pode verse en [42], as SCP do problema dos 1+n corpos deben satisfacer un sistema de n ecuacións. A ecuación i -ésima, onde i∈ {1, . . . , n} , vén dada pola expresión: n X j=1 f(θj−θi)=0. (3.10) Imos estudar o caso n= 4 . Denimos as novas variables u=θ2−θ1 , v= θ3−θ1 e w=θ4−θ1 . Entón, o sistema do tipo (3.10) pode reducirse a un sistema equivalente de tres ecuacións:      f(u) + f(v) + f(w) = 0, f(u)−f(v−u)−f(w−u) = 0, f(v)−f(u−v)−f(w−v) = 0, 40 CAPÍTULO 3. APLICACIÓNS onde estamos a usar a propiedade f(−θ) = −f(θ) , que se deduce de (3.9) polo feito de que a función seno é impar. Nótese que a cuarta ecuación que aparecería f(w)−f(u−w)−f(v−w) = 0 sería redundante. Sen perda de xeneralidade, imos procurar SCP simétricas; isto é, aquelas que verican θ4−θ3=θ2−θ1 . Con esta condición, é inmediato ver que w=u+v , co cal podemos eliminar unha ecuación no sistema anterior. É máis, podemos denir unha nova aplicación g:S1×S1−→ R2 coa seguinte expresión: g1(u, v) = f(u) + f(v) + f(u+v), g2(u, v) = f(u)−f(v)−f(v−u). Deste xeito, as SCP simétricas do problema dos 1+4 corpos poden acharse, precisamente, a partir das raíces desta aplicación g . Imos aplicar o Teorema 2.6 para asegurar a existencia dun cero. Consideremos o rectángulo K= [0,7; 0,8] ×[1,3; 1,5] ⊂S1 e vexamos que a aplicación g:K−→ R2 é continua en K . En efecto, pola ecuación (3.9), a función f é continua no intervalo (0, π) . Dado un punto (u, v)∈K , é claro que u e v non poden valer nin 0 nin π . Ademais, podemos facer as siguientes limitacións: 0<2≤u+v≤2,3< π, 0<0,5≤v−u≤0,8< π. Polo tanto, estamos evitando as dúas singularidades de f e g é continua en todo o dominio K , como queriamos probar. Agora, debemos estudar as desigualdades (2.12) e (2.13). O primeiro paso é estudar o comportamento crecente ou decrecente de f . Observando a expresión (3.9), é sinxelo ver que f é crecente en 0,π 2 , xa que é un produto de dúas funcións crecentes onde un factor é positivo nese intervalo. Por outra parte, aplicando a regra do produto, podemos calcular a derivada de f : f0(θ) = 1−√2 4p(1 −cos θ)3!0 sen θ+ 1−√2 4p(1 −cos θ)3!cos θ. Vexamos o comportamento de f0 en π 2, π . O primeiro sumando é un produto de dúas funcións, onde o seno claramente é decrecente e positivo nese intervalo. Ademais, se desenvolvemos a outra derivada, obtemos 3 sen θ 4√2(1 −cos θ)5/2, 3.2. RESOLUCIÓN DUN PROBLEMA FÍSICO 41 que é un cociente con numerador decrecente, denominador crecente e positivo en π 2, π . Polo tanto, o primeiro sumando de f0 é un produto de funcións decrecentes e positivas no intervalo dado. En canto ao segundo sumando, é o produto dunha función crecente positiva por unha decrecente negativa, así que ese sumando tamén é decrecente. Polo tanto, f0 é suma de dúas funcións decrecentes, así que f0 é decrecente en π 2, π . Ademais, f0(2) <0 , logo f0 é negativa en (2, π) e deducimos que f é decrecente en (2, π) . En resumo, acabamos de probar analiticamente o comportamento crecente e decrecente de f respectivamente nos intervalos 0,π 2 e (2, π) , que é o que precisamos para os seguintes cálculos. Como complemento, podemos utilizar métodos numéricos e comprobar que f ten un máximo no punto θ∗≈1,891 , sendo f crecente no intervalo (0, θ∗) e decrecente en (θ∗, π) . Como estamos traballando cunha función real, podemos visualizar a situación na Figura 3.2. Figura 3.2: Gráca da función f no intervalo (0,7; π) . Tendo en conta o comportamento de f , comprobemos (2.12) e (2.13). 42 CAPÍTULO 3. APLICACIÓNS Para calquera u∈[0,7; 0,8] e v∈[1,3; 1,5] , temos que: g1(0,7; v)≤f(0,7) + f(1,5) + f(2) ≈ −0,031 <0, g1(0,8; v)≥f(0,8) + f(1,3) + f(2,3) ≈0,24 >0, g2(u; 1,3) ≤f(0,7) −f(1,3) −f(0,6) ≈0,40 >0, g2(u; 1,5) ≥f(0,8) −f(1,5) + f(0,7) ≈ −0,031 <0. Desta forma, estamos en condicións de aplicar o Teorema 2.6 e aseguramos a existencia dun punto (u∗, v∗)∈K tal que g(u∗, v∗)=0 . Noutras palabras, garantimos que existe unha SCP simétrica para o problema dos 1 + 4 corpos. Como na sección anterior, podemos debuxar unha gráca coas curvas implícitas g1(u, v) = 0 e g2(u, v) = 0 (Figura 3.3) e visualizar a existencia desa raíz de g . Figura 3.3: Curvas g1(u, v) = 0 e g2(u, v)=0 no rectángulo [0,7; 0,8] ×[1,3; 1,5] . Finalmente, tamén é interesante dar unha aproximación numérica da raíz 3.2. RESOLUCIÓN DUN PROBLEMA FÍSICO 43 (u∗, v∗) . Unha aproximación é: u∗≈0,724272, v∗≈1,376255. Capítulo 4 Conclusións O noso estudo do teorema de Poincaré-Miranda partiu dunha motivación moi concreta: xeneralizar o teorema de Bolzano a dimensións superiores. Con todo, ao longo do traballo vimos que este resultado ten múltiples implicacións e aplicacións que van máis alá da análise matemática. Así, mediante o uso de ferramentas combinatorias e topolóxicas, proporcionamos tres demostracións alternativas do teorema. Tamén establecemos que o teorema de PoincaréMiranda, o teorema do punto xo de Brouwer e o lema de Sperner son todos equivalentes entre eles; un feito interesante se temos en conta que os tres resultados orixináronse en contextos históricos ben distintos. Por outra parte, respondemos a algunhas cuestións que xorden naturalmente ao enunciar o teorema. Deste modo, vimos que podemos asegurar a unicidade de solución se impoñemos certas condicións máis restritivas na aplicación de partida. Ademais, deducimos que o teorema pode aplicarse en dominios máis xerais que o n -cubo, facendo unha demostración explícita para a n -bóla. Tamén comprobamos as hipóteses do teorema nunha función bidimensional particular e presentamos unha interpretación gráca que, en certo modo, é semellante á que se estuda no caso do teorema de Bolzano. Finalmente, cabe destacar que, ademais do interese intrínseco e histórico, o teorema de Poincaré-Miranda ten certa relevancia na investigación matemática actual. En seccións anteriores presentamos diversos traballos de recente publicación, como por exemplo [26] ou [35], nos que se estudan extensións, xeneralizacións e outras cuestións teóricas relativas ao teorema. É máis, como vimos en [37], o resultado ten aplicacións modernas en campos diferentes ás matemáticas, como a bioloxía, a mecánica ou a enxeñaría. 45